Propagazione delle varianze, conosciuta come propagazione degli errori. Siano x 1 , x 2 , … x n n variabili casuali e poniamo , , …) = y ( ) Supponiamo inoltre nota la matrice delle covarianze delle x e vogliamo determinare la varianza di y. Se facciamo uno sviluppo in serie di Taylor, bloccata al primo ordine, intorno al valore = ( , , … ) di (x 1 , x 2 , … x n ), abbiamo y ( ) = y( ) + ∑ - ) più termini di ordine superiore e dove la derivata è calcolata in = . Il valore atteso di questa espressione vale {( )} )
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Propagazione delle varianze,
conosciuta come propagazione
degli errori.
Siano x1, x2, … x n n variabili casuali e
poniamo
, , … ) = y ( )
Supponiamo inoltre nota la matrice delle
covarianze delle x e vogliamo determinare la
varianza di y.
Se facciamo uno sviluppo in serie di Taylor,
bloccata al primo ordine, intorno al valore
= ( , , … )
di (x1, x2, … x n ), abbiamo
y ( ) = y( ) + ∑ - )
più termini di ordine superiore e dove la
derivata è calcolata in = .
Il valore atteso di questa espressione vale
{ ( )} )
più termini di ordine superiore, poiché ogni
termine del primo ordine vale zero.
Solo nel caso in cui le quantità ( xi – μi )
siano piccole, i termini di ordine superiore
possono essere trascurati.
A questo punto si può ottenere la varianza di
y.
V{ ( )}=E{ ( ) [ ( )]}2 { ( ) ( )}
Per quanto detto prima, sempre trascurando i
termini di ordine superiore, si ha che
V{ ( )} ∑ ∑
( )
dove le derivate sono calcolate in = .
Per n variabili indipendenti tutti i termini di
covarianza sono zero e la varianza di y vale
V{ ( )} ∑ (
)² ( )
Un esempio.
Consideriamo la media aritmetica di n
variabili indipendenti x1, x2, … x n aventi tutti
la stessa varianza σ²:
=
∑
Le derivate parziali di y rispetto ad ogni xi
valgono 1/n e le derivate di ordine più alto
sono nulle.
Ne consegue, senza nessuna approssimazione
che la varianza della media aritmetica vale
) = ∑ (
)² σ²
²
Campione e popolazione
Una funzione di densità di probabilità f(x) per
una variabile continua o, equivalentemente,
un insieme di probabilità nel caso discreto
descrivono le proprietà di una popolazione. In
fisica si associa una variabile casuale all’esito
di una osservazione e la p.d.f. f(x)
descriverebbe l’esito di tutte le possibili
misure su un sistema se le misure fossero
ripetute infinite volte nelle stesse condizioni
sperimentali. Poiché ciò è impossibile, il
concetto di popolazione per un fisico
rappresenta un'idealizzazione che non può
essere ottenuta nella pratica.
Un reale esperimento consiste di un numero
finito di osservazioni e una successione x1, x2,
… xn di una certa quantità costituisce un
campione di dimensione n. Per questo
campione possiamo definire la media
aritmetica o media del campione
=
∑
e la varianza del campione
=
∑
- )²
la cui distribuzione dipenderà dalla
distribuzione parente e dalla dimensione del
campione Le due quantità sono funzioni di
variabili casuali e sono anche esse variabili
casuali. Infatti se prendiamo un nuovo
campione di dimensione n otterremo in
generale una nuova media aritmetica e una
nuova varianza : ossia queste grandezze
avranno una loro distribuzione, che dipenderà
dalle proprietà della distribuzione “parente” e
dalla dimensione n del campione.
Il nostro obiettivo è adesso come ricavare, a
partire dalle informazioni che ricaviamo da
un campione, informazioni che riguardano
l’intera popolazione. Naturalmente il
campione deve essere rappresentativo della
popolazione, altrimenti, come accade spesso
nei sondaggi, si ottengono risultati sbagliati.
Per la legge dei grandi numeri la media del
campione tende alla media della popolazione
al tendere di n all’infinito.
Infatti questa legge ( nella forma debole )
prevede che, dato un intero positivo ε, la
probabilità che la media del campione
differisca da μ di una quantità maggiore di ε
tende a zero nel limite di n infinito :
Si può anche dimostrare che il valore atteso
della media del campione coincide con la
media della popolazione e che il valore atteso
di s2 coincide con σ
2 .
Distribuzioni di probabilità
Si possono diverse distribuzioni di
probabilità: quelle di cui parleremo per il
momento è la distribuzione binomiale, quella
di Poisson, quella uniforme, quella normale e
quella del χ².
Distribuzione binomiale. Supponiamo di avere due esiti esclusivi A e Ā