8/10/2019 Propagation d Onde Elastiques Dans Les Cristaux Phononiques-3
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Ministre de lEnseignement Suprieur et de la Recherche ScientifiqueUniversit Mouloud Mammeri, Tizi-Ouzou
Facult des SciencesDpartement de Physique
MEMOIRE DE MAGISTER
Spcialit : Physique
Option : Science de la matire
Prsent par :Sedik KHEFFACHE
Thme :
Propagation dondes lastiquesdans les cristaux phononiques
bidimensionnels
Devant la commission dexamen compose de :
Mr Omar Lamrous Professeur UMMTO PrsidentMr Belhadi Mehand Professeur UMMTO RapporteurMme Lalam Fadila Professeur UMMTO ExaminateurMr Hellal Slimane Professeur UMMTO ExaminateurMr Belkhir Abderrahmane Matre de Confrences (A) UMMTO Examinateur
Soutenu le : 28 / 09 / 2011
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Remerciements
Je remercie en premier lieu mon Dieu limpntrable qui ma
donn le courage pour complter la ralisation de mon travail.
Le travail prsent dans ce mmoire a t ralis au
laboratoire de physique et chimie des matriaux LPCM de
lUniversit Mouloud Mammeri de Tizi Ouzou sous la direction du
professeur Belhadi Mehand, que je tiens remercier infiniment et
chaleureusement pour sa rigueur, sa simplicit, sa gnrosit et sa
disponibilit durant toute la dure du travail. Ses conseils prcieux
mont permis de mener bien mon travail de mmoire.
Je remercie galement lensemble des enseignants qui ont
contribus ma formation. Que monsieur le prsident et lesmembres du jury trouvent ici lexpression de mon respect pour
avoir fait lhonneur dexaminer ce travail de mmoire de magister.
Ma gratitude va au personnel de la bibliothque et de la
scolarit sans oublier et heureux de remercier mes cher parents,
mes frres, mes proches, ainsi que tous mes amis pour leurs
soutient, leurs aides, leurs encouragements et le temps quils mont
consacr pour la ralisation de ce mmoire de magister.
Kheffache Sedik
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ii
Ddicace
Je ddie ce travail :
ma chre mre et mon cher pre;
mes surs et mon frre ;
mes oncles et mes tantes ;
toute ma famille et la famille hachi ;
A mes amis : Docteur Bettache Hachimi, G Youcef et sa fiance, Yefsah Ch, Hadjsaid
A, B mouhend , D Nacer, L abdenour, younes C. H , S. Amirouche, Tahar..
Eu fait je ddie ce travail tous mes amis(es) que jai connus depuis mon enfance la o
ils se trouvent, mes amis (es) de lcole primaire frres Kasdi, ainsi que mes amis (es) de
CEM et de lyce, sans doute mes amis (es) de luniversit, encore mes amis(es) que jeconnais sur le net, Ricardo, Pierre, Vamsi, Djaber, Toufik, Youcef, Mouhammed,
Nesrine, wafa, Douaa, Zineb, Zina, Natali, Entesare, Rose, Birsen, et autres ;
A tous mes amis de MLE : Kaci et son neveu Mensour, G. youcef, L. Athmane, K.
Mouloud, Lyes, Lahlou, Ali, Mourad, Abdelghani, Farid, Riad, Volta Giovanino,
Gabriele Tonelli, G. Antonio, B. Oualid, Bahri, Z. Mouhamed, A. Lorenzo et autres.
tous mes enseignants ;
A mes futurs amis(es) et aux chers lecteurs de ce mmoire.
KHEFFACHEKHEFFACHEKHEFFACHEKHEFFACHE SEDIKSEDIKSEDIKSEDIK
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TABLE DES MATIRES
iii
.
Table des matires
Remerciements i
Ddicace ii
Table des matires iii
Table des figures v
Introduction 01
Chapitre. I Les cristaux phononiques
1Structures priodiques 05
1.1 Rseau rciproque 06
1.2 Zone de Brillouin 07
2Ondes acoustiques et lastiques 08
2.1 Propagation des ondes dans les milieux lastiques 09
3Cristaux photoniques 13
3.1 Les cristaux photoniques bidimensionnels 13
3.2 Les cristaux photoniques tridimensionnels 14
3.3 Guides dondes cristaux photoniques. 14
4Les cristaux phononiques 15
4.1 Qu'est-ce qu'un cristal phononique ? 15
4.2 mergence des cristaux phononiques 16
4.3 Exprience sur la sculpture de Sempere 19
4.4 Notion de bande interdite 21
4.5 cartement du gap phononique 22
4.6 Guidage et filtre slectif 24
4.7 Comparaison entre les cristaux phononiques et
photoniques
26
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TABLE DES MATIRES
iv
Chapitre. II mthodes de rsolution des quations de propagation des ondes
1 Introduction 28
2 Mthode des lments finis 29
3 Mthodes de diffusion multiple 294 Mthode de dveloppement en ondes planes 30
4.1. Brve introduction la mthode 30
4.2 Description de la mthode 30
5 La mthode des diffrences finies dans le domaine temporel 34
5.1 Introduction la mthode FDTD 34
5.2 Description de la mthode 34
5.3 Discrtisation du tenseur des contraintes 37
5.4 Critre de stabilit 39
6 Organigrammes de calcul 39
Chapitre. III Calcul de bandes interdites
1 Modele tudi 42
2 -Structure de bande 44
2.1 -Structure de bande calcule par la mthode FDTD 44
2.2 -Formules des diffrences finies 44
2.3 Fentre de calcul FDTD 46
2.4 -Conditions initiales 47
2.5 -Conditions aux limites priodiques 47
2.6 -Transformation en domaine de frquences 48
2.7 Courbe de dispersion 48
2.8 Structure de bande calcule par la mthode PWE 49
3 Influence des paramtres du systme sur le gap 53
3.1 Influence du paramtre de maille 53
3.2 Influence du rayon des cylindres 54
3.3 Influence de la fraction volumique 56
3.4 Influence de la densit des cylindres 56
Conclusion et perspectives 58
Rfrences bibliographiques 60
Annexe 64
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TABLE DES MATIRES
v
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INTRODUCTION
~ 1 ~
INTRODUCTION
Dans un solide cristallin constitu datomes placs aux nuds dun rseau priodique,
le potentiel du rseau ionique cre des bandes dnergies pour la propagation des lectrons.
Les lectrons nont accs qu certains niveaux, spars entre eux par des bandes interdites.
Ce concept de bandes interdites a t dvelopp initialement dans le cadre de la thorie
lectronique des solides; cest le cas notamment des semi-conducteurs [1,2].
Les possibilits offertes par ces matriaux sur le contrle des fonctions d'ondes
lectroniques se devaient immanquablement de susciter, terme, quelques ides quant
l'application d'un principe similaire des ondes progressives de diffrentes natures. Il a fallu
attendre la fin des annes 80 pour rellement voir merger une extension de la notion de
bandes interdites au moins aux ondes lectromagntiques et ainsi assister la naissance des
cristaux photoniques [3].
Le concept de matriaux Bandes Interdites de Photons BIP (en anglais Photonic Band
Gap PBG) ou cristaux photoniques est apparu il y a une vingtaine dannes sous limpulsionde Yablonovitch [4]. Un cristal photonique est une structure dont lindice dilectrique est
modul de faon priodique. Grce lanalogie formelle qui existe entre les quations de
Maxwell rgissant la propagation des ondes lectromagntiques dans un milieu dilectrique et
lquation de Schrdinger pour les lectrons, on peut apprhender les cristaux photoniques
avec les outils et les concepts dvelopps en physique du solide [5].
La propagation des ondes lectromagntiques dans des milieux htrognes dots dunestructure indice dilectrique priodique, peut se dcrire par des bandes, dont certaines
peuvent tre interdites. Une radiation lumineuse avec une nergie situe dans la bande
interdite ne pourra pas pntrer dans le matriau priodique, quelle que soit son incidence ou
sa polarisation car la densit de modes photoniques ayant t modifie jusqu lannulation
par lenvironnement dilectrique priodique, il nexiste pas de mode avec une nergie
correspondante. Ces proprits rendent les cristaux photoniques intressants pour de
nombreuses applications dans les systmes optolectroniques telles que loptique intgre etles fibres microstructures [5].
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INTRODUCTION
~ 2 ~
limage des cristaux photoniques un matriau composite dont la densit et les
constantes lastiques sont des fonctions priodiques de la position, peut prsenter sous
certaines conditions des bandes interdites pour les ondes acoustiques ou lastiques. Ce sont
des matriaux bandes interdites phononiques, encore appels cristaux phononiques.
Il a fallu au moins une dcennie pour assister une transposition de la plupart de ces
mmes phnomnes l'acoustique. Les cristaux phononiques, mentionns pour la premire
fois en 1993, sont des matriaux composites constitus de rseaux priodiques d'inclusions
une, deux ou trois dimensions insres dans une matrice, [2, 6, 7]. Dans le domaine de
frquence dune bande interdite, un cristal phononique se comporte comme un miroir
acoustique parfaitement rflchissant. Ils consistent galement mettre profit les
phnomnes de diffusion se produisant dans un matriau composite priodique pour empcher
la propagation des ondes acoustiques et/ou lastiques dans toutes les directions de l'espace.
La mise en vidence des proprits lies la priodicit des cristaux phononiques
prsente un intrt certain d'un point de vue purement fondamental. Sils existent
naturellement ou sils sont fabriqus artificiellement ils prsentent une riche varit de
proprits physiques et un grand intrt pour la recherche fondamentale et applique ; ce qui
est intressant pour des applications telles que : dispositifs dondes acoustiques [8], systmes
d'isolation phonique [9,10], filtres frquentiels [11,12] et absorption de vibrations [13].
D'autres applications videntes sont rapidement envisages telles que les structures
antisismiques [14]. Rcemment, pour rduire limpact des tremblements de terre sur les
structures, Shi et ses collaborateurs, [11] fabriquent une base priodique avec des carts de
frquence faible bande, ce qui est tout fait diffrent de lapproche traditionnelle utilise en
gnie civil.
En revanche, les dimensions mises en uvre dans les cristaux phononiques, structures
artificielles cres par la main de l'homme, sont beaucoup plus importantes. Elles vont de
quelques mtres pour les plus imposantes cent nanomtres. A cette chelle, la matire
apparat comme continue et les lois de la mcanique classique peuvent tre employes avec
une bonne confiance. Cest l'chelle microscopique que les cristaux phononiques ont le plus
de potentiel.
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INTRODUCTION
~ 3 ~
Les principes des cristaux phononiques s'expriment de la mme faon quelle que soit
l'chelle choisie pour leur ralisation, seules les frquences de fonctionnement changent.
Cependant leurs concepts peuvent tre dmontrs l'chelle, c'est--dire avec des structures
dont les dimensions sont relativement grandes, donc facilement accessibles. En raison des
avances rcentes dans les techniques de fabrication, le dveloppement des micros et des
nanotechnologies, des cristaux phononiques de plus en plus petits peuvent tre raliss par des
procds qui ressemblent ceux de la microlectronique, employs par exemple pour la
ralisation des microprocesseurs de nos ordinateurs. La microlectronique a dbut il y a
cinquante ans, la photonique suit depuis une vingtaine d'anne et arrive maturit ; l'avenir
dira si la nanophononique pourra suivre ces exemples prestigieux [7].
Plus rcemment, l'attention s'est tourne vers la propagation des ondes dans des bandes
passantes la fois au dessus et au dessous de la bande interdite, le cas inhabituel la rfraction
ngative [15,16]. Les tudes thoriques et exprimentales de la propagation des ondes
lastiques et/ou acoustiques dans des matriaux composites constitus de rseaux priodiques
d'inclusions une, deux ou trois dimensions insres dans une matrice ont t concernes
principalement en termes de leur relation de dispersion. Aujourdhui, la communaut
scientifique dispose de nombreuses mthodes numriques efficaces pour simuler la
propagation des ondes lastiques ou acoustiques au sein des cristaux phononiques.
Le travail prsent dans ce mmoire de magister sinscrit dans le cadre dune contribution
ltude thorique lie la propagation dondes lastiques dans les cristaux phononiques
bidimensionnels (2D). Ces derniers sont constitus dun rseau priodique de cylindres infinis
dans une matrice avec application des cylindres en Duralumin insrs dans une matrice
dpoxy.Ce travail, porte sur le dveloppement et lapplication de mthodes analytiques et de
simulations numriques utilises pour la rsolution des quations de propagation dondeslastiques dans les cristaux phononiques bidimensionnels (2D),en loccurrence la mthode
de dveloppement en ondes planes (PWE) et la mthode des diffrences finies dans le
domaine temporel (FDTD). Et ce pour le calcul de bande interdite phononique dans le cas
dune polarisation transversale ; ceci constitue le sujet principal de notre travail.
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INTRODUCTION
~ 4 ~
Le premier chapitre du prsent travail est consacr aux rappels de quelques notions de la
physique du solide et quelques notions de base des ondes lastiques et acoustiques, ainsi que
leur propagation. Un aperu sur les cristaux photoniques et les cristaux phononiques qui font
lobjet de notre tude ont t rigoureusement dtaills.
Le deuxime chapitre, est consacr la prsentation des diffrentes mthodes thoriques
utilises pour ltude des cristaux phononiques. La mthode de dveloppement en ondes
planes et la mthode de discrtisation des quations de propagation dans le domaine temporel
et dans lespace, FDTD (Finite Diffrence Time Domaine) y sont introduites. Il existe, bien
entendu, dautres mthodes thoriques disponibles dans la littrature scientifique pour traiter
les sujets dtudeet nous mentionnons de certaines de ces mthodes dans cette partie.
Dans le troisime chapitre, nous prsentons les rsultats numriques lis la propagation
dondes lastiques dans les cristaux phononiques bidimensionnels (2D), dont nous avons
appliqu les deux mthodes sur lesquelles sappuie notre travail de calcul de la structure de
bande phononique ; les diffrents diagrammes de bandes obtenues par ces dernires sont
prsents et comments ainsi que leffet de certains paramtres du systme sur les
caractristiques du gap phononique savoir leffet du rseau dans lequel les cylindres sont
insrs, leffet du paramtre de maille, du rayon des cylindres, de la fraction volumique et de
la nature et de la densit des cylindres.
Le travail prsente une conclusion gnrale et certaines perspectives offertes par notre
approche dans ce domaine. Le lecteur trouvera galement en annexe certains points discuts
en dtails.
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CHAPITRE. I CRISTAUX PHONONIQUES
~ 5 ~
Chapitre 1
Les cristaux phononiques
La propagation dondes acoustiques dans les milieux htrognes dots dune structure
priodique fait lobjet dun grand intrt depuis quelques dcennies. Un grand nombre de
structures priodiques a t tudi et des approches thoriques varies ont t employes.
Toutes ces mthodes ont mis en vidence lexistence de proprits physiques telles que la
prsence de bandes interdites (Gap) correspondant une forte attnuation et des bandes
passantes dattnuation moindre des ondes lectromagntiques.
limage des cristaux photoniques qui ont la proprit dempcher la lumire de sepropager dans certaines gammes de frquence, on peut concevoir des matriaux composites
qui rflchissent totalement les ondes ultrasonores ou le son. Ces matriaux permettent
dlaborer des isolants phoniques bien plus efficaces que les isolants usuels.
Cet tat de lart revient sur les concepts ncessaires la comprhension des matriaux
bandes interdites phononiques. A ce titre, il svertue dans un premier temps fournir
quelques notions fondamentales sur les structures priodiques, les ondes lastiques et les
cristaux phononiques.
I.1 Structures priodiques
Un cristal est un matriau solide constitu dun arrangement priodique datomes ou de
molcules reparties dans les trois directions de lespace. La physique de ltat condens est
alors largement consacre les tudier. La priodicit de la structure dun cristal, est
reprsente par un ensemble de points gomtriques rgulirement disposs dans lespace.
Cet ensemble est appel rseau cristallin ou rseau deBravaiset les points le constituant sontappels nuds du rseau, qui peuvent tre imagins comme les sommets des mailles.
La structure est alors reconstruite par simple translation de la maille, dans lespace trois
dimensions, le rseau est dfini par les trois vecteurs de translation fondamentaux appels
vecteurs de base , ,. Pour une translation quelconque partir dun point, onobtient [1]:
. (I.1)
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CHAPITRE. I CRISTAUX PHONONIQUES
~ 6 ~
O u, v, wsont des entiers et lensemble des points dfinis par lquation (I.1) pour toutesles valeurs des entiers u, v, w dfinit un rseau. Un rseau est un arrangement priodique
rgulier de points dans lespace, ainsi donc la structure cristalline nest forme que lorsque
lon attache la mme base datomes chaque nud du rseau, alors :
Structure cristalline = rseau + base
Le rseau et les vecteurs de translation sont dits primitifs si un couple quelconque de
points dfinis par , autour desquels larrangement atomique est identique, satisfait larelation (I.1) pour un choix convenable des entiers u, v, w.
I.1.1 Rseau rciproque
A toute structure cristalline est associe deux rseaux : le rseau direct et le rseau
rciproque. Une figure de diffraction dun cristal est une carte du rseau rciproque du cristal,
quand nous faisons subir une rotation, nous faisons subir la mme rotation au rseau direct et
au rseau rciproque [17]. Si, et sont les vecteurs primitifs du rseau cristallin, un nudde ce rseau est repr par un vecteur tel que :
.(I.2)
Et si, , sont les vecteurs primitifs du rseau rciproque, un nud de ce rseau estrepr par un vecteur tel que :
. (I.3)Ou u, v, wsont les coordonnes dun nud du rseau direct et h, k, l les indices de Miller
dfinissants un nud du rseau rciproque. Les deux rseaux sont relis par les dfinitions
suivantes :
. 2 , . 2 et . 2 avec: , et avec . .
Le facteur 2nest pas utilis par les cristallographes mais il est pratique en physique du
solide. Les vecteurs du rseau cristallin (direct) ont les dimensions dune [longueur] ; les
vecteurs du rseau rciproque ont les dimensions dune [longueur]-1
.
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CHAPITRE. I CRISTAUX PHONONIQUES
~ 7 ~
I.1.2 Zone de Brillouin
Lnonc le plus important de la condition de diffraction pour la physique de ltat solide
fut donn par Brillouin. Cest la seule construction utilise dans la thorie des bandes
dnergie pour les lectrons dun cristal et dans lexpression des excitations lmentaires descristaux. Par raison de symtrie, la zone de Brillouin est par dfinition la maille de Wigner-
Seitz du rseau rciproque; nous reprsentons les vecteurs joignant un site du rseau
rciproque tous les sites voisins, puis on dessine les plans bissecteurs perpendiculaires ces
vecteurs. Le volume le plus petit autour du site choisi limit par ces plans est appel zone de
Brillouin.
Nous pouvons construire les zones suprieures de Brillouin de la mme manire, la ime
zone de Brillouin est lespace limit dune part par les plans bissecteurs perpendiculaires aux
vecteurs joignant le site lorigine aux ime sites voisins et dautre part les plans bissecteurs
des zones de Brillouin inferieures. La figure I.1 montre les zones de Brillouin du rseau
rciproque de structure carre [17].
Figure I.1(a) 1ere, (b) 2ieme, (c) 3ieme zone de Brillouin dun rseau carr.
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CHAPITRE. I CRISTAUX PHONONIQUES
~ 8 ~
I.2 Ondes acoustiques et lastiques
Les ondes acoustiques et lastiques font partie de notre exprience quotidienne et de notre
environnement le plus immdiat. Les ondes sonores se propagent dans l'atmosphre. Elles
vhiculent la parole humaine et nous informent sur ce qui nous entoure. Les ondesacoustiques sont utilises dans des domaines aussi bien diversifis tels que l'imagerie
chographique du corps humain, la dtection et la localisation d'objets sous-marins (le sonar),
l'tude des sismesetc.
Nos tlphones portables et nos tlvisions comportent des filtres lectroniques exploitant
des ondes acoustiques haute frquence dans des cristaux synthtiques exotiques. Toutes les
ondes acoustiques sont composes de vibrations progressives des atomes composant le milieu
de propagation; donc elles ne se propagent que dans des milieux matriels: gaz, liquide, ou
solide. Notons que dans ce dernier cas, les atomes sont contraints de rester en moyenne autour
de leur position d'quilibre, et l'onde se propage en mettant en mouvement une succession de
plans cristallins; on parle alors d'ondes lastiques.
Dans le cas des ondes sonores dans l'air, ou des ondes acoustiques dans l'eau, les atomes
du fluide ne sont pas assujettis rester en une position donne de l'espace, mais l'onde
reprsente toujours un mouvement collectif communiquant d'atome en atome dans unedirection donne.
Le schma ci-dessous indique les principales applications des ondes sonores, acoustiques
et lastiques en fonction de la frquence des signaux employs.
Figure I.2Domaines frquentiels des ondes acoustiques
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CHAPITRE. I CRISTAUX PHONONIQUES
~ 9 ~
I.2.1 Propagation des ondes dans des milieux lastiques
La thorie de llasticit a pour objectif dtudier les phnomnes mcaniques mis en jeu
lors de lapplication dune force un corps donn, cette dernire affectant la forme comme le
volume du corps tudi. Chaque point du corps subit donc un changement de position mesurpar un vecteur dplacement u. Notamment la cristallographie permet de classer les matriaux
selon leurs types de symtries, chaque symtrie est directement associe un tenseur de
quatrime ordre appel tenseur de rigidit not et reliant les dformations auxcontraintes , cest la loi de Hooke donne par [18] :
.
, (I.4)
avec . (I.5)Ce tenseur est symtrique. Ses termes non diagonaux sont relis aux dformations par
cisaillement alors que les lments diagonaux correspondant aux allongements sont
indpendants. Notons que les tenseurs de contraintes et de dformations tant symtriques par consquent, la permutation des deux premiers indices ou des deuxderniers indices des constantes lastiques
caractrisant le matriau est telle que :
. (I.6)En termes de dplacements, la loi de Hooke, devient :
. (I.7)Comme , les deux sommations du ct droit de lquation (I.7) sont gales, alors : . (I.8)La relation ci-dessus rduit le nombre de constantes lastiques. En effet il est alors possible
dutiliser des notations contractes et la loi de Hooke devient :
. , (I.9)
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CHAPITRE. I CRISTAUX PHONONIQUES
~ 10 ~
avec
.
A partir de la relation fondamentale de la dynamique ; en tenant compte de la loi de Hooke et
la loi de la conservation de la quantit de mouvement, lquation du mouvement scrit [3] :
. (I.10) dsigne la densit du corps (matriau) et Fi les forces extrieures mises en jeu. Unereformulation de cette dernire quation en utilisant la relation (I.8) permet dobtenir
lquation de propagation, qui en absence de forces extrieures ( F i ) se ramne :
. (I.11)Pour un solide isotrope le tenseur des rigidits lastiques prsente une invariance vis--
vis des axes de rfrence du systme. Cependant, les proprits du solide sont les mmes
quelle que soit la direction de lespace considr. Dans ce cas, deux paramtres suffisent
caractriser la relation liant les contraintes aux dformations, il sagit des coefficients de
Lam tel que : 2, , /2. (I.12)Ainsi donc le tenseur des rigidits lastiques est de la forme :
0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
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CHAPITRE. I CRISTAUX PHONONIQUES
~ 11 ~
Les constantes lastiques sont exprimes comme suite :
. (I.13)Pour les contraintes normales : 2. (I.14)Pour les contraintes tangentielles (i j) :
, (I.15)do
2 , .
La combinaison des quations (I.14) et (I.15) permet de reformuler lquation (I.4) et
dobtenir : 2 , (I.16)avec est le symbole de Kronecker.
En remplaant les expressions (I.5) et les coefficients de Lam dans lquation (I.16), la
loi de Hooke, peut sexprimer comme suit [3] :
2 2 , (I.17)do, lquation de propagation scrit :
. (I.18)Les cristaux se rpartissent dans sept systmes qui se subdivisent en trente-deux classes.
Un cristal appartenant un systme possde obligatoirement certains lments de symtrie.
Le fait que le comportement dun cristal est le mme dans toute position symtrique dune
position de rfrence, il diminue le nombre de constantes ncessaires la description de ce
comportement. Ainsi, le nombre de constantes de rigidit qui interviennent dans la loi de
Hooke natteint heureusement pas le chiffre. Les fluides peuvent tre traits comme des
solides isotropes, moyennant une adaptation du tenseur des rigidits lastiques (injection, par
exemple, des coefficients de compressibilit).
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CHAPITRE. I CRISTAUX PHONONIQUES
~ 12 ~
I.2.2 Diffrents types d'ondes
Nous avons vu que la propagation des ondes lastiques rsultait d'un quilibre entre les
forces appliques au solide faisant office de milieu de propagation et les forces lastiques
internes de rappel . Dans un volume, ces forces peuvent tre des forces de compression ou
de cisaillement, impliquant ainsi la propagation d'ondes du mme type. Ces ondes peuvent se
propager de faon dcouple (milieu isotrope) ou non (solide anisotrope). Mais les milieux
lastiques peuvent aussi, dans le cas o le substrat de propagation est de dimension finie,
supporter d'autres types d'ondes, dont les proprits de propagation sont lies aux conditions
aux limites imposes. Nous donnons ici quelques notions gnrales sur la propagation des
ondes lastiques dans diffrentes configurations.
I.2.2.1 Les ondes de LambLes ondes de Lamb, (appeles aussi ondes de plaque), sont des ondes acoustiques qui se
propagent dans des milieux de faible paisseur, (de l'ordre d'une fraction de longueur d'onde).
Elles peuvent tre aussi la superposition de deux ondes de surface qui se propagent sans
interaction, sur chacune des interfaces libres de la plaque tant que lpaisseur de cette dernire
est grande devant la longueur donde . Lorsque lpaisseur de la plaque devient comparable
la longueur donde, les deux ondes de surfaces se couplent pour former une onde de Lamb qui
a t mise en vidence par le gophysicien anglais Lamb en 1917 [19]. Ces ondes de plaques,sont dispersives et ont la particularit de mettre en mouvement la totalit de lpaisseur de la
plaque, et peuvent se propager sur une grande distance. Elles sont utilises gnralement pour
tudier les structures de bande des cristaux phononiques dpaisseur finie [20-22].
I.2.2.2 Ondes de Rayleigh
Si l'on impose maintenant une limite physique au milieu de propagation, comme par
exemple une surface libre homogne, les conditions aux limites mcaniques comme
lectriques induites vont affecter les proprits des ondes se propageant dans le milieu. Dans
ce cas prcis, il existe un type particulier d'ondes dont l'amplitude dcrot exponentiellement
avec la profondeur et n'affecte donc le substrat que sur une paisseur de l'ordre de la longueur
d'onde du mode. Ces ondes de surface prsentent en effet un vecteur de dplacement dont la
composante normale est vanescente. Cette famille de modes est bien connue des
gophysiciens; elles sont dites ondes de Rayleigh, elles ne sont pas dispersives et prsentent
une attnuation quasi-nulle lors de leur propagation dans un substrat. Les ondes de Rayleigh
peuvent en effet tre aisment gnres la surface d'un cristal phononique [23,24].
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CHAPITRE. I CRISTAUX PHONONIQUES
~ 13 ~
I.3 Cristaux photoniques
Cest en 1987 que E. Yablonovitch, [25] et S.John, [26] introduisent pour la premire
fois lide de bandes interdites photoniques (BIP) dans les cristaux photoniques. Ces cristaux
qui prsentent une variation priodique dindice de rfraction de lordre de la longueur
donde, interdisent la propagation des ondes lumineuses dans certaines gammes de longueur
donde situes lintrieur de la bande interdite, et ceci quel que soit langle dincidence.
Il existe diffrents types de cristaux photoniques, classer selon leur dimensionnalit.
A une dimension, on trouve les biens connus miroirs de Bragg (figure I.3) forms dune
alternance de couches de bas et haut indice. Le principe des miroirs de Bragg peut tre
gnralis deux ou trois dimensions, constituant des cristaux photoniques 2D ou 3D.
Figure I.3reprsentation Schmatique des cristaux photoniques 1D, 2D ou 3D Les
diffrentes couleurs reprsentent des matriaux de constantes dilectriques diffrentes [27].
I.3.1 Les cristaux photoniques bidimensionnels
A deux dimensions, les cristaux photoniques sont composs dun rseau priodique de
piliers de dilectrique dans lair ou de trous dair percs dans un dilectrique. Les deux
rseaux les plus courants pour lorganisation des piliers (ou des trous) sont le rseau carr et
le rseau triangulaire (ou hexagonal). La figure I.4, prsente ces deux rseaux avec leurs
zones de Brillouin respectives [27].
Figure I.4a) Rseau carr et sa zone de Brillouin associe, b) Rseau triangulaire et sazone de Brillouin associe [27].
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CHAPITRE. I CRISTAUX PHONONIQUES
~ 14 ~
I.3.2 Les cristaux photoniques tridimensionnels
Les cristaux photoniques tridimensionnels permettent dobtenir une bande interdite
omnidirectionnelle. Le premier cristal photonique tridimensionnels, appel Yablonovite, fut
fabriqu en 1991 par E. Yablonovitch [4] en perant mcaniquement des trous selon des
angles bien choisis dans un bloc de plexiglas, de faon trouver la structure cristalline du
diamant (cubique face centre).
Comme exemples de cristaux photoniques tridimensionnels, citons la structure tas de
bois et les Yablonovite, reprsentes sur la figure I.5[27,28].
Figure I.5Reprsentation des structures de la Yablonovite et de tas de bois [28].
I.3.3 Guides dondes cristaux photoniques
En introduisant un dfaut linaire (omission dune ou plusieurs ranges de trous) dans lecristal photonique, il est possible de guider la lumire selon une direction choisie. Un photon
restera confin dans le guide dondes si son nergie reste lintrieur de la bande interdite.
Des composants divers sont ralisables partir de dfauts linaires (figure I.6). La
transmission au travers de ces dispositifs peut tre optimise en modifiant la taille ou la forme
des trous au niveau du virage ou de la jonction, afin de minimiser le couplage entre le mode
guid et les modes rayonns au niveau des courbures [27].
Figure I.6Diffrents composants base de dfauts linaires a)guide droit, b) virage 1200 et c) jonction Y
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CHAPITRE. I CRISTAUX PHONONIQUES
~ 15 ~
I.4 Les cristaux phononiques
Imaginez une fort dans laquelle des arbres seraient plants suivant un plan rgulier
parfaitement priodique. Dans cette fort, le diamtre des troncs varie fort peu d'un arbre ses
voisins et la distance qui les spare est partout rigoureusement la mme. La structure
priodique bidimensionnelle que forment les arbres est intuitivement similaire un
arrangement parfaitement ordonn des atomes dans un cristal, pour peu que l'on fasse
abstraction de la diffrence d'chelle. Un promeneur suivant un chemin trac dans cette fort
aurait la surprise de constater que les sons lui parviennent dforms. Plus prcisment, d'un
orchestre jouant proximit, il entendrait distinctement les sons graves des contrebasses ou
les sons aigus des violons, mais s'apercevrait que toute une partie du spectre sonore entre ces
deux extrmes manque l'appel ! Cette attnuation d'une certaine bande de frquence est la
signature de l'existence d'une bande interdite pour le son, elle-mme consquence de
l'arrangement priodique des arbres. Une telle fort est un exemple de ce que les physiciens
nomment un cristal phononique[6,29].
I.4.1 Qu'est-ce qu'un cristal phononique?
Les cristaux phononiques sont les analogues lastiques des matriaux bandes interdites
photoniques et ont t propos en 1993 par Kushwaha et ses collgues de lUniversit de Lille
en France [30]. Ce sont des matriaux composites constitus de rseaux priodiques
d'inclusions une, deux ou trois dimensions insres dans une matrice. Dans le domaine de
frquence dune bande interdite, un cristal phononique se comporte comme un miroir
acoustique parfaitement rflchissant. Un excellent isolant phonique est alors obtenu si la
bande interdite apparat pour les plus basses des frquences audibles (de 2Hz 20 kHz).
Un cristal phononique unidimensionnel est un composite stratifi obtenu en empilant en
alternance des couches de matriaux de caractristiques physiques diffrentes (proprits
lastiques diffrentes). Dans ces structures unidimensionnelles, les domaines de frquence
o les bandes interdites apparaissent dpendent de la direction de propagation de londe
incidente [2]. Ces cristaux phononiques unidimensionnels conduisent de nombreuses
applications dans lisolation acoustique basse frquence. En raison de leurs structures, il est
facile dobtenir de grandes bandes interdites. La figure I.7 montre un cristal phononique
unidimensionnel compos de deux matriaux diffrents A et B [31].
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CHAPITRE. I CRISTAUX PHONONIQUES
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Figure I.7Reprsentation schmatique dun cristal phononique unidimensionnel.
Dans le cas d'un cristal phononique bidimensionnel, les inclusions sont des cylindres de
section quelconque que l'ont peut disposer par exemple suivant un rseau carr ou triangulaire
(figureI.8). Les inclusions peuvent aussi tre composes d'un matriau diffrent de celui de la
matrice qui peut tre de simples trous. L'essentiel est que la diffusion (linterfrence) des
ondes acoustiques et/ou lastiques sur ces inclusions soit trs efficace, [2].
Figure I.8Reprsentation schmatique dun cristal phononique deux dimensions.
On distingue plusieurs classes de cristaux phononiques selon la nature physique des
constituants, tels que les composites solide/solide (respectivement fluide/fluide) dont tous les
constituants sont des solides (respectivement fluides) et les composites mixtes forms la fois
de solides et de fluides.
I.4.2 mergence des cristaux phononiques
Depuis les travaux pionniers de E. Yablonovitch [25] et S. John [26] qui reposent sur
ltude des phnomnes physiques des structures priodiques de diffuseurs dilectriques
(matriaux composites), autrement appels cristaux photoniques ouvrent la voie aux
premires ralisations exprimentales et la conception de composants optiques trs efficaces.
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CHAPITRE. I CRISTAUX PHONONIQUES
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Les prdictions thoriques et exprimentales ont montr que ces types de matriaux
empchent la propagation des ondes lumineuses dans une plage de frquences ou de longueur
dondes, qualifie de bande interdite (band gap) [25,26]. Par ailleurs, une analogie a t
promptement formule afin que ces essences soient tendues ltude de la propagation des
ondes lastiques et acoustiques dans des structures priodiques, avec des proprits lastiques
diffrentes; cette nouvelle classe de matriaux est qualifie de cristaux phononiques.
Le point de dpart de ces cristaux phononiques, postrieur lapparition des cristaux
photoniques synthtiques, peut tre fix vers 1993. A cette date M. S. Kushwaha [30] publie
un article prsentant le calcul de la structure de bandes dun matriau composite priodique
bidimensionnel, dont le diagramme de bande est reproduit sur la figure I.9. Ce matriau est
constitu par des cylindres daluminium insrs dans une matrice de nickel. Il prsente unebande interdite absolue, c'est--dire capable de bloquer la propagation des ondes incidentes
quelque soit leur direction.
Figure I.9Structure de bandes pour un cristal phononique parfait consistant en un
arrangement de tiges d'aluminium dans une matrice de nickel
Bien aprs, ltude des structures priodiques bandes interdites phononiques fait lobjet
dun domaine de recherche dactualit en plein dveloppement. Les proprits des ces bandes
interdites ont t tudies thoriquement et exprimentalement. En effet, la premire
dmonstration exprimentale dune bande interdite dans le domaine de lacoustique audible a
t effectue sur une structure objectivement non prvue pour cela, puisquil sagit dune
sculpture minimaliste de lartiste Eusebio Sempere [7] (la description de lexprience sera
dcrite dans le paragraphe imminent).
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CHAPITRE. I CRISTAUX PHONONIQUES
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La mise en vidence des proprits lies la priodicit du matriau prsente un intrt
certain d'un point de vue purement fondamental, les possibilits d'applications des cristaux
phononiques justifient plus encore leur tude: structures antivibratoires ou encore
transducteurs figurent parmi les premiers systmes voqus. D'autres applications videntes
sont rapidement envisages: systmes d'isolation phonique [8,9], structures antisismiques
[32], filtrage et traitement du signal acoustique, etc.
Dun point de vue exprimental, les cristaux phononiques bnficient en revanche d'un
avantage considrable par rapport leurs homologues optiques. Cet avantage apparat tout
dabord la fabrication : la structuration a lieu des chelles macroscopiques, en rapport avec
la longueur donde attnue (les ondes lastiques existent en effet sur une trs large gamme de
frquence s'tendant du Hertz, dans le cas des ondes sismiques, au giga Hertz, comme dans
les rseaux de tlcommunication sans fil [7]), donc aisment contrlable. Ensuite, du point
de vue de la mesure, les acousticiens ont leur disposition lamplitude et la phase grce aux
transducteurs pizolectriques, tandis que les dtecteurs optiques sont intrinsquement limits
la mesure de lintensit du champ. Enfin, les paramtres mis en jeu dans lapparition des
bandes interdites sont beaucoup plus riches en acoustique quen optique [33].
Une nouvelle forme des cristaux phononiques, structures priodiques constitues de
matriaux pizolectriques ou pizomagntiques vient de se raliser. Il convient de noter que
la propagation des ondes lastiques/acoustiques, et lectromagntiques dans ces systmes a
t tudie rcemment. En outre, les cristaux phononiques composs de matriaux intelligents
(par exemple, pizolectrique, pizomagntique, ferrolectrique, pyrolectrique,,,) ont t
tudis en profondeur, toutefois, la pluparts des tudes sont principalement axes sur les
structures unidimensionnelles et bidimensionnelles, les cristaux phononiques
tridimensionnelles reoivent moins dattention [34].
Ces types de cristaux phononiques sont largement utiliss en imagerie mdicale,
transducteurs ultrason, et dans les capteurs navals. Combinant par exemple une cramique et
un polymre passif afin de concevoir des capteurs ultrasons, ce procd offre des avantages
substantiels, la nouveaut rsultante ne rside pas dans les constituants mais dans la faon
dont ils sont assembls (structure priodique) pour produire des matriaux avec des proprits
adaptes chaque demande spcifique [35].
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CHAPITRE. I CRISTAUX PHONONIQUES
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Depuis, de nombreux composites pertinents ont t proposs. Dans le domaine acoustique
les cristaux phononiques sont qualifis comme cristaux soniques, ultrasoniques et
hypersoniques, selon la frquence de fonctionnement. Chaque classe mne diffrentes
applications et comporte diffrentes approches technologiques. Lobjectif tant dans un
premier temps de concevoir des cristaux soniques capables d'attnuer les ondes acoustiques
dans les frquences audibles [38]. Ces dernires s'tendent de 20 Hz 20 kHz. Les cristaux
phononiques se doivent de prsenter des dimensions au-del du mtre, ce qui limite
grandement les possibilits de mise en place d'un tel systme antibruit. Par ailleurs, dans
le rgime ultrasonique (20 kHz - 1GHz) dont les longueurs d'onde beaucoup plus courte
que dans le rgime sonique et puis les cristaux phononiques sont galement beaucoup plus
faibles(de quelques centimtres des fractions de millimtres).
Dans la gamme hypersonique (> 1 GHz) les longueurs d'ondes sont plus courtes
que celles du rgime ultrasonique. Le comportement des phonons hypersonique est crucial
pour de nombreux phnomnes physiques dans les matriaux, titre d'exemple, l'interaction
entre les lectrons et les phonons haute frquence et linteraction acousto-optique.
D'autres structures susceptibles d'attnuer largement les ondes lastiques ont t
rapportes par l'quipe de Zhengyou Liu l'universit de Hong Kong [7,39]. L'ide estd'introduire localement des diffuseurs rsonants qui permettent au matriau de prsenter des
constantes lastiques ngatives dans une gamme de frquences bien dfinie. Une rotation de
45 degrs de tous les diffuseurs dun cristal de maille carre permet douvrir une large bande
interdite. Avec une telle technique, il devient possible de commander distance le filtrage
dun faisceau sonore.
Les cristaux bande interdite totale sont galement de bons candidats pour la ralisation
de guides dondes : il est dsormais possible de modifier la direction dun faisceau sonore
grce des guides en forme de L [33, 40, 41]. Dautres types darrangements des cristaux
ont galement t conus, ils permettent de modifier la direction de propagation sans requrir
de bande interdite totale [33,42].
Lintgralit de ces dmonstrations thoriques et exprimentales a conduit une croissance
considrable et incontestable de beaucoup de travaux ddis aux cristaux phononiques,
engouement qui n'a cess de crotre l'heure actuelle comme l'illustre la figure I.10 [36].
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CHAPITRE. I CRISTAUX PHONONIQUES
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Figure I.10volution du nombre de publications ayant trait aux matriaux bandes interditeslastiques de 1988 aot 2006 [36].
I.4.3 Exprience sur la sculpture de Sempere
En 1995, Rosa Martinez-Sala, et ses collgues (J. Sancho, J. Sanchez, V. V. Gomez, J. J.
Llinares, F. Meseguer) de l'universit de Valence ont en effet employ comme objet de travail
une sculpture minimaliste de l'artiste espagnol Eusebio Sempere expose dans les jardins de la
Juan March Fundation Madrid [7] (figure I.11) ont dtermin exprimentalement lesproprits de filtrage sonore, en disposant des microphones autour de la sculpture constitue
de cylindres en acier de 2,9 cm de diamtre disposs selon un rseau carr de 10 cm de
paramtre de maille.
Figure I.11Sculpture minimaliste de lartiste Eusebio Semper [7].
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CHAPITRE. I CRISTAUX PHONONIQUES
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Leurs mesures ont montr l'attnuation du signal transmis dans une fine gamme de
frquence autour de 2 kHz. Lattnuation rside dans les interfrences entre les multiples
ondes diffuses par les tubes d'acier. Du fait de la disposition priodique de ces tubes, ces
interfrences peuvent tre constructives ou destructives suivant la frquence des ondes. Dans
le cas o les interfrences sont destructives, on parle de bande interdite car les ondes
acoustiques sont rapidement attnues la traverse du cristal phononique. Des tudes
thoriques postrieure [7, 33, 37] montrent quil ne sagit pas de bandes interdites totales,
mais plutt de pseudo-gaps (bande interdite directionnelles) car lattnuation introduite par la
structure dpend de la direction du vecteur donde incident.
I.4.4 Notion de bande interdite
La propagation des ondes mcaniques dans un milieu est gnralement dcrite par une
relation de dispersion entre frquence et vecteur d'onde k. Le mcanisme rgissant la
constitution de bande interdite est bas sur les rflexions de Bragg en raison de la priodicit
du cristal.
En gnral, la rgularit de l'agencement des lments de dispersion des cristaux
phononiques donne lieu des rflexions de Bragg l'intrieur du cristal. La notion de bande
interdite peut tre comprise en reprsentant les interfrences des ondes multiplement diffuses
dans le cristal phononique. L'interfrence constructive ou destructive des ondes cre des
gammes de frquences pour lesquelles les ondes peuvent se propager travers le cristal ou
sont bloques par le cristal.
Un cristal phononique unidimensionnel est un composite stratifi obtenu en empilant en
alternance des couches de matriaux de caractristiques physiques diffrentes. Dans ces
structures unidimensionnelles, lensemble des diffuseurs est rparti de faon priodique, les
ondes sont trs fortement diffuses d'un obstacle l'autre. Elles interfrent de faonconstructive ou destructive suivant la frquence de l'onde incidente. Une bande interdite
apparat quand les ondes diffuses interfrent destructivement dans une direction de
propagation de londe incidente donne de sorte que leur rsultante dcroisse lors de la
traverse du cristal phononique.
Un cristal unidimensionnel n'a pas de bande interdite complte parce que ses proprits
lastiques sont priodiques dans une direction. Lorsque le vecteur d'onde se forme
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CHAPITRE. I CRISTAUX PHONONIQUES
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perpendiculairement la direction de propagation, il ne sera pas traduit, alors il n'y aura pas
de bande interdite dans cette direction.
Dans une structure bidimensionnelle et tridimensionnelle, en revanche, il est possible
dobtenir des bandes interdites absolues ou omnidirectionnelles, cest- dire quune onde defrquence appartenant une telle bande interdite ne peut pas se propager, quelque soit son
angle dincidence. On peut ainsi montrer quun rseau cubique faces centres (c.f.c.) de
bulles dair dans de leau prsente une ou plusieurs bandes interdites absolues, condition que
les sphres occupent au moins 10 % du volume total du composite. De mme, en plaant dans
lair des cubes dacier de taille adquate aux diffrents nuds dun rseau (c.f.c.), on peut
aussi obtenir une bande interdite dans les trois directions [2].
I.4.5 cartement du gap phononique
Comme nous lavons indiqu dans les sections antcdentes, les ondes lastiques ou
acoustiques se propagent dans les structures priodiques souvent appels cristaux
phononiques [6]. Ces derniers sont composs dun milieu lastique, par exemple, rseau
priodique de cylindres dans un systme bidimensionnel insrs dans une matrice de proprit
lastique diffrente [43]. Bien que, ces structures ninterdisent la propagation des ondes
acoustiques / lastiques que dans le plan du rseau et non dans lespace, elles sont desstructures bandes interdites phononiques. Elles se prtent plus aisment la ralisation de
guides dondes et de filtres acoustiques [44].
Cependant, lcartement de la bande interdite phononique dpend fortement de la
symtrie et de la forme du diffuseur ainsi que de son orientation. Cette dpendance est une
caractristique commune aux cristaux phononiques et photoniques. Leffet de la forme et de
la symtrie des diffuseurs sur le gap phononique dun cristal phononique bidimensionnel a t
tudi rcemment par Kuang [43]. Par ailleurs, les cristaux phononiques peuvent tre
faonns dans plusieurs rseaux principalement, hexagonaux, triangulaires et carrs ; les
diffuseurs prennent des formes multiples notamment hexagones, cercles, triangles et carrs,
telle que le montre la figure I.12.
Nanmoins, pour une symtrie donne du rseau, lcart de la bande interdite phononique
apparait et mme plus large lorsque la forme et lorientation des diffuseurs correspondaient
celles du rseau, c'est--dire des diffuseurs de forme hexagonale insrs dans un rseau
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CHAPITRE. I CRISTAUX PHONONIQUES
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hexagonal, des diffuseurs de forme carre incrs dans uns rseau carr, des diffuseurs de
forme rectangulaire incrs dans un rseau rectangulaireetc [43].
Figure I.12Modles des cristaux phononiques bass sur les diffrents types derseaux couplant les diffrentes formes de diffuseurs : (a, b, c et d) rseauxcarrs de paramtre a ;(e, f, g et h) rseaux rectangulaire de paramtres L1 etL2 ; (i, j, k, et l) rseaux triangulaire de paramtre a. en (a, b, c) les diffuseurssous forme de cercle de rayon r0 ;en (b, f, j) hexagone rgulire de longueurlatral b ; en (c, j, k) carr ; en (d, h, l) rectangle de longueur l 1et l2.
De plus, pour une forme donne de diffuseur, le gap se manifeste galement plus large et
ceci lorsque le rseau a la plus grande coordination, car la symtrie du cristal nest pas rduite
par les diffuseurs, ce moment le gap phononique peut tre contrl en ajustant lorientationet la taille des diffuseurs [43]. cet effet, des tudes ont t effectues dans le but de voir
linfluence de certains paramtres structurels des tiges (inclusions) et de la matrice en
particulier la densit de masse sur la bande interdite phononique, alors deux classes de
cristaux phononiques se prsentent ; ceux avec des tiges de haute densit insrs dans une
matrice de faible densit, et ceux avec des tiges de faible densit noyes dans une matrice de
haute densit.Par consquent lcartement du gap phononique apparait plus notable dans les
structures contenant des diffuseurs de haute densit noys dans une matrice de faible densit ;
ce qui nest pas le cas dans la seconde classe dont le gap apparait plus troit.
Les paramtres rgissant les cristaux phononiques bidimensionnels ont fait lobjet
dtudes approfondies ; Economou, Sigalas, Kushwaha et Halevi [33, 45,46] tablissent
quelques rgles de base pour le dimensionnement de structures bidimensionnelles bandes
interdites compltes. Les paramtres ayant une influence significative sont la topologie du
rseau, le contraste de vitesse et de densit et la fraction volumique des inclusions.
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CHAPITRE. I CRISTAUX PHONONIQUES
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La topologie cermet, constitue de diffuseurs isols, semble gnralement prfrable la
topologie rseau, dans laquelle les diffuseurs sont interconnects. Diminuer la symtrie de la
maille semble gnralement fournir de bons rsultats : un arrangement cubique faces
centres est a priori plus favorable quun arrangement cubique simple ou centr. En ce qui
concerne les composites solide-solide, un contraste de densit important est crucial pour
lapparition de bandes interdites totales. Plus spcifiquement, des diffuseurs de forte densit
dans une matrice de faible densit semblent favorables, alors que cest loppos pour les
composites liquide-liquide. Quant la fraction volumique optimale dapparition dune large
bande interdite absolue (dfinie par le rapport de sa largeur sur sa frquence centrale), stend
de 10 50 %, et dpend fortement des autres paramtres [2].
I.4.6 Guidage et filtres slectifs
Il est possible de raliser des guides dondes et des filtres en frquences trs slectifs en
modifiant localement la structure priodique du cristal bidimensionnel (2D). Ainsi, en
enlevant une ou plusieurs ranges de cylindres dans une structure bidimensionnelles 2D, on
cre un guide creux (figureI.13a) permettant la propagation pratiquement sans perte dondes
de frquence appartenant la bande interdite du cristal parfait [2]. De plus, en enlevant dans
la direction perpendiculaire ce guide creux un ou plusieurs cylindres, on donne naissance
un rsonateur de taille finie (figure I.13b) qui a pour effet dempcher la transmission de
certaines frquences. Ces zros de transmission peuvent aussi tre obtenus en crant des
cavits au voisinage du guide (figureI.13c). Des gomtries de guide plus complexes peuvent
tre envisages. Par exemple, en enlevant des cylindres dans deux directions perpendiculaires,
on cre un guide coud en forme de L (figureI.13d), cependant une onde de frquence
bien dtermine peut se propager en suivant la forme coude du guide [2].
Figure I.13 Diffrentes gomtries de guides donde et de filtres obtenues partir duncristal phononique deux dimensions : (a) guide linaire, (b) rsonateur, (c) cavit cre au
voisinage du guide linaire, (d) guide coud. La flche indique la direction de propagation dufaisceau donde incident.
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CHAPITRE. I CRISTAUX PHONONIQUES
~ 25 ~
l'gard de filtre slectif, cela consiste changer la nature dune range de cylindres
dans le cristal phononique bidimensionnel (2D). Ltude a montr quun systme composite
mixte form dun rseau carr de barreaux dacier insrs dans de leau ; une range de
barreaux a t remplace par des cylindres creux dont le volume intrieur est aussi rempli
deau et de mme diamtre extrieur (figureI.14) [2]. Le signal se propageant dans le cristal
phononique perturb a t normalis par le signal se propageant dans un mme volume deau.
Ainsi donc il rsulte de cette normalisation des transmissions lgrement suprieures lunit.
Le cristal phononique parfait prsente une bande interdite allant de 105 210 kHz et il
apparat pour une frquence de 148 kHz un pic de transmission situ lintrieur de la bande.
Le dfaut rectiligne insr dans la structure parfaite a donn naissance au pic de
transmission, un filtre frquentiel slectif a t ainsi obtenu. Cette proprit peut tre utilisepour sparer partir dun signal incident une large bande de frquences spcifiques. Il suffit
pour cela de remplacer dans la structure parfaite plusieurs ranges de cylindres par des tubes
de diamtres intrieurs diffrents [44,47].
Figure I.14 Systmes composites mixtes forms dun rseau carr de barreaux dacier insrsdans de leau ; une range de barreaux a t remplace par des cylindres creux dont le volumeintrieur est aussi rempli deau et de mme diamtre extrieur. La flche indique la direction
de propagation du faisceau donde incident.
I.4.7 Comparaison entre les cristaux phononiques et photoniques
Les cristaux phononiques tels quils sont dfinies auparavant, sont des structures
priodiques. Cependant, il y a de fortes analogies entre la propagation des lectrons dans les
cristaux ordinaires et les ondes lectromagntiques et lastiques dans les cristaux photoniques
et phononiques respectivement. Les proprits fondamentales rgissant la propagation des
ondes lectroniques, lectromagntiques et lastiques dans les structures priodiques
tridimensionnelles isotropes sont rsumes sur le tableau I.1 [48].
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CHAPITRE. I CRISTAUX PHONONIQUES
~ 26 ~
proprits Cristal lectronique Cristalphotonique Cristalphononique
Matriaux
Cristallin (naturel ou
obtenu parcroissance)
Compos de deux
matriauxdilectriques.
Compos de deux matriaux
lastiques.
ParamtresConstantes
universelles nombresatomiques
Constantesdilectriques des
constituants.
Densits, vitesse du sondans les constituants
Constantes demaille
1-5 (microscopique)0.1m -1cm
(msoscopiques oumacroscopiques)
msoscopiques oumacroscopiques
Ondes De Broglie(lectron)
lectromagntiquesou lumineuses(photon) E.B
Vibration ou sonores(phonon) u
Polarisation Spin (haut et bas)Transversale :. 0
.
Trans. Longit :.
quationdiffrentielle
c
milieu isotrope
Particuleslibres
(electron)
(photons) (phonons)
Bandesinterdite
Augmente avec lepotentiel dans lecristal ; pas dtat
lectronique possible.
Augmente avec ; pas
de photons, pas de
lumire.
Augmente avec ;pas de vibration, pas de son
Gammespectrale
Ondes radio, micro-ondes, optiques,rayons X
Micro-ondes,optique
Tableau I.1Proprits cls pour ltude des structures de bandes dans les matriauxtridimensionnels isotropes.
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CHAPITRE. I CRISTAUX PHONONIQUES
~ 27 ~
Bien que la structure de bandes phononiques dun cristal gap phononique est analogue
la structure de bande dun cristal gap photonique, celle-ci est aussi analogue la structure de
bande lectronique dun semi-conducteur. Le concept de bandes interdites dvelopp
initialement dans le cadre de la thorie lectronique des solides peut tre tendu dautres
types dondes se propageant dans les matriaux composites.
La propagation des ondes lectromagntiques et/ou lastiques acoustiques dans les
matriaux composites a fait lobjet dune attention particulire. Ces derniers en loccurrence
les cristaux photoniques et phononiques respectivement, existent naturellement, ou sont
fabriqus artificiellement. Ils montrent une grande varit dintrt de proprits physiques,
la fois sur le plan de la recherche fondamentale et celui de la recherche applique.
Les cristaux phononiques ont des proprits qui concordent avec celles des cristaux
photoniques, toute fois il existe une certaine nuance entre eux. Les cristaux photoniques
peuvent tre caractriss par deux paramtres indpendants, savoir le rapport de la fonction
dilectrique et la fraction volumique occupe par un de ces composants ; tandis que pour les
cristaux phononiques plusieurs paramtres peuvent dterminer la propagation des ondes, tels
que : le rapport des vitesses transversales et longitudinales, la densit, la fraction
volumiqueetc. [49]. Dans les deux cas la propagation des ondes dpend de la structure.
En outre, ces dernires annes, il a t dmontr que les cristaux photoniques sous
certaines conditions, se comportent comme des matriaux indice de rfraction ngatif et que
ces types de matriaux peuvent tre utiliss dans la fabrication de super lentilles. En parallle,
de fortes rsonances apparaissent des faibles frquences et ceci ouvre la possibilit de
produire des lentilles phoniques [49].
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CHAPITRE. II MTHODES DE RSOLUTION
~ 28 ~
CHAPITRE II
METHODES DE RESOLUTION DES EQUATIONS
DE PROPAGATION DES ONDES ELASTIQUES
II.1. Introduction
Lide quun matriau composite constitu de rseaux priodiques dinclusions une,
deux ou trois dimensions peut agir fortement sur la propagation des ondes lastiques ou
acoustiques nest pas ancienne. Cette nouvelle classe de matriaux est qualifie de cristaux
phononiques comme nous lavons dj voqu dans le chapitre prcdent. Ceci en fait un
domaine de recherche dbullition exponentielle et en volution permanente.
Aujourdhui, la communaut scientifique dispose de nombreuses mthodes numriques
efficaces pour simuler la propagation des ondes lastiques ou acoustiques au sein des cristaux
phononiques telles que : la mthode de diffusion multiple (multiple scattering method)
(MSM) [50], la mthode de la masse condense (lumped mass method) (LMM) [51], la
mthode des petites ondelettes (wavelet based method) (WBM) [52], la mthode matrice de
transfert (transfer matrix method) (TMM) [53,54], la mthode variationnelle (variational
method) (VM) [55], la thorie dadaptation des modes propres (Eigen-mode matching theory)(EMMT) [56] , la mthode des lments finis (finite element method) (FEM) [57] incluant la
mthode de dveloppement en ondes planes (plane wave) (PW) [48,58-60], et la mthode des
diffrences finies dans le domaine temporel (finite difference time-domain method) (FDTD)
[61-63].
Toutes ces mthodes ont t dveloppes pour dterminer les structures des bandes
lectroniques ; elles sont tendues pour calculer celles des cristaux photoniques etphononiques, en particulier celles des cristaux phononiques bidimensionnels.
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CHAPITRE. II MTHODES DE RSOLUTION
~ 29 ~
II.2. Mthode des lments finis
La mthode des lments finis (FEM) est une mthode numrique adapte la rsolution
des quations aux drives partielles, elle est base sur la description gomtrique de la
structure sous forme dun maillage.
Dans le cadre de ce modle, le cristal phononique est considr comme un arrangement
priodique infini dans les directions X et Y. Le domaine est ensuite fragment en cellules
lmentaires indexes par la paire d'entiers (m, p), chacune tant compose d'un trou unique
entour du matriau constitutif de la matrice. Cette cellule lmentaire est ensuite divise en
lments connects par des nuds. On excite alors la structure complte avec une onde plane,
caractrise par un vecteur d'onde rel k [7]. La mthode des lments finis est capable de
simuler des structures phononiques de dimension finie ou infinie avec ou sans dfauts. Cette
mthode a connu un dveloppement prodigieux mais elle ncessite de grands espaces
mmoires pour des structures gomtrie complexe.
II.3. Mthode de diffusion multiple
La mthode de diffusion multiple (MSM) dcoula de la mthode Korring- Kohn-
Rostoker (KKR) [15,35, 50], dveloppe initialement pour le calcul de la structurelectronique des solides. Le succs de cette mthode rside dans le calcul des structures de
bandes lectroniques et lectromagntiques. Son application a t tendue des problmes
acoustiques ou lastiques, pour calculer les structures de bande phononique. Elle est
galement susceptible de calculer la transmission de ces ondes dans les matriaux composites
structure priodiques et alatoires ; ce qui nest pas le cas pour la mthode de
dveloppement en ondes planes, alors que la MSM semble tre numriquement efficace.
Dans un systme priodique ou alatoire form de tiges (diffuseurs), par exemple,
parallles une direction donne, de section quelconque (circulaire, carr, rectangulaire,
elliptique) insres dans une matrice, londe incidente sur chaque diffuseur est la somme
des ondes diffuses par tous les autres diffuseurs. Dou lappellation diffusion multiple.
Dans ce qui suit nous dtaillons les mthodes sur lesquelles sappuiera notre travail,
ventuellement la mthode de dveloppement en ondes planes (PWE) et la mthode des
diffrences finies dans le domaine temporel (FDTD).
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CHAPITRE. II MTHODES DE RSOLUTION
~ 30 ~
II.4- Mthode de dveloppement en ondes planes
II.4.1- Introduction la mthode
La Mthode de dveloppement en ondes planes(ou PWE Plane Wave Expansion),introduite en acoustique par Economou en 1993 [33], permet de calculer rapidement les
relations de dispersion des cristaux phononiques parfaits. A lorigine, cette mthode vient du
monde de la physique des solides, puisquelle est inspire de la mthode dite Augmented
Plane Wave Method (APW), qui a rencontr un grand succs pour les calculs de structures de
bandes [33]. Son principe repose sur la dcomposition en sries de Fourier des coefficients
lastiques du milieu htrogne, combine lutilisation du thorme de Floquet-Bloch [33].
II.4.2 Description de la mthode
Dans un solide homogne et isotrope le champ de dplacement ou vecteur de
dplacement lastique dpend du temps tet de la position , il peut se dcomposer sous laforme [2]:
, (II.1)
est la composante longitudinale c'est--dire parallle la direction de propagation delonde et la composante transversale ou perpendiculaire cette direction. A chaquecomposante et est associ une vitesse longitudinale et transversalerespectivement. Un solide homogne et isotrope peut tre alors caractris par sa densit etpar les deux vitesses .
Par ailleurs, un milieu inhomogne infini, dont les constituants sont des matriaux solides
supposs lastiquement isotropes. En tout point , ce milieu est caractris par la densit et par les deux constantes lastiques et . Le vecteur de dplacement lastique ,associ la propagation de londe lastique satisfait lquation suivante [2]:
2. , (II.2)avec 1,2,3, la composante de selon les axes du repre cartsien (O, X, Y, Z).
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CHAPITRE. II MTHODES DE RSOLUTION
~ 31 ~
En lasticit, pour un solide homogne et isotrope, les constantes lastiques et sont dfinies par les relations suivantes :
, (II.3) . (II.4)
Ces deux constantes ont la dimension dune pression, de mme pour un milieu
inhomogne, les constantes lastiques et sont donnes pars les expressionssuivantes, [43]:
, (II.5)
. (II.6)En remplaant les quations (II.5) et (II.6) dans lquation (II.2), cette dernire devient :
,
2. . (II.7)
Sont respectivement les vitesses longitudinale et transversale et dsigne la densit.Dans un cristal phononique infiniment tendu, les fonctions , sontinvariantes par translation dun vecteur du rseau direct. Par consquent, leurs transformes
de Fourier sur les vecteurs G du rseau rciproque, sont donnes par [43]:
, (II.8a)
, (II.8b)
. (II.8c)Lanalogie entre lquation de propagation (II.7) et lquation de Schrdinger [33,48],
nous permet dappliquer ici le thorme de Floquet-Bloch. Les solutions de lquation de
propagation dans un cristal phononique infini prennent donc la forme dondes planes (de
vecteur de BlochK), modules en amplitude par une fonction (r) respectant la priodicit du
cristal. Cette fonction peut elle aussi scrire comme une srie de Fourier sur les vecteurs G
du rseau rciproque :
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CHAPITRE. II MTHODES DE RSOLUTION
~ 32 ~
, exp. exp. . (II.9)wtant la frquence de londe.
En substituant les expressions (II.8a), (II.8b), (II.8c) et(II.9) dans lquation (II.7),
lquation du mouvement scrit :
. . 2 . 0. (II.10)
Si nous permettons G de prendre tout les points du rseau rciproque alors l'quation
(II.10) est un ensemble infini d'quations linaires pour les vecteurs propres . Pour unevaleur donne du vecteur de Bloch Kcet ensemble d'quations a des solutions pour certaines
valeurs propres o n = 1.2..En tenant compte de lhypothse que le cristal phononique en question est constitu de
deux matriaux diffrents nots aet b, chaque maille lmentaire est compose seulement de
ces deux matriaux. Les matriaux a et b sont caractriss par leurs constantes lastiques
respectivement : , , , , et . De plus les coefficients de remplissage desmatriaux a etbsont notsfet (f-1) respectivement.
En revanche, les coefficients de Fourier de lquation (II.8a) prennent une formeparticulirement simple, et sexpriment comme suite :
.. (II.11)Lintgration seffectue sur toute la cellule lmentaire,Vctant son volume, dans le cas
dun cristal bidimensionnel, que nous traiterons plus tard dans le chapitre suivant, estremplac par et le volume Vc remplac par laire de la cellule lmentaireAc.
Pour un vecteur donde du rseau rciproque nul (G = 0), lquation (II.11) donne
simplement la densit moyenne, par consquent :
0 1 . (II.12)Pour G 0, nous pouvons crire :
. .. (II.13)
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CHAPITRE. II MTHODES DE RSOLUTION
~ 33 ~
La premire intgration de lquation (II.13) couvre le matriau a, tandis que la seconde
couvre le matriau b, alors nous pouvons crire lquation (II.11) sous la forme suivante :
. .. (II.14)Le deuxime terme de lquation (II.14) correspond la fonction de structure note :
.. (II.15)Finalement, nous avons :
1 , 0, , 0. (II.16)
De faon similaire les quations (II.8b) et (II.8c) donnent :
1 , 0 , , 0, (II.17)
1 , 0, , 0. (II.18)
Finalement, si nous galons le terme G G dans la sommation de lquation (II.10), celle-
ci peut tre rcrite comme ceci :
| | . . . 2 . . 0 (II.19)
La relation de dispersion sobtient donc en rsolvant lquation ci-dessus pourchaque vecteur de Bloch K. Toutefois la rsolution dune telle quation est complique. La
difficult rside dans linsparabilit des diffrents modes de vibration.
De nombreuses mthodes de calcul ont t mises en uvre afin de permettre le
dimensionnement ou la prdiction du comportement des ondes lastiques au cours de leur
propagation dans des cristaux phononiques. Aprs avoir rappel la mthode de
dveloppement en ondes planes, nous nous attachons ici donner quelques rappels sur la
mthode des diffrences finies, communment dsigne par l'acronyme anglais FDTD (Finite
Difference Time Domain), qui a t largement employe pour le traitement thorique de cescristaux phononiques.
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CHAPITRE. II MTHODES DE RSOLUTION
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II.5 -La mthode des diffrences finies dans le domaine temporel
II.5.1 -Introduction la mthode FDTD
La mthode des diffrences finies permet une rsolution numrique rigoureuse des
quations de Maxwell pour les ondes lectromagntiques dans les cristaux photoniques. Les
champs lectrique et magntique sont chantillonns dans le domaine de calcul en utilisant le
maillage de Yee [7] de faon pouvoir appliquer un schma de diffrences finies centres.
Elle a t introduite pour les cristaux phononiques par Sigalas et Garcia, [7] pour pallier aux
problmes de convergence numrique initialement rencontrs lors du calcul de diagrammes de
bandes pour des systmes mixtes (inclusions liquides dans une matrice solide ou inversement)
par la mthode de dcomposition en ondes planes [18].
La FDTD prsente un avantage considrable par rapport sa consur permettre de
modliser une onde incidente sur un cristal phononique que l'on peut spcifier comme tant de
dimension finie, sous la forme de paquets d'ondes, rsultant en un systme d'excitation plus
proche de l'exprience qu'un modle d'ondes planes. Cette mthode a t pralablement
exploite pour la simulation de matriaux priodiquement structurs, en particulier pour les
cristaux photoniques, l'image des travaux de Chan et al. [64] ou encore de Fan et al. [65].
Le principe consiste de faon trs sommaire discrtiser dans le domaine spatial comme
temporel les quations constitutives du problme ; fixer des conditions aux limites adaptes
et calculer de manire explicite l'volution dans le domaine temporel dune grandeur
physique, considrer par exemple le champ lectrique ou magntique dans le cas d'un cristal
photonique, ou le champ de dplacement ou de vitesse dans celui d'un cristal phononique.
II.5.2-Description de la mthodeLquation de propagation des ondes lastiques dans un solide inhomogne et isotrope est
donne par lquation(II.7).
1
.
Cette quation peut tre reformule sous une forme condense comme suit [31,51] :
, (II.20)
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CHAPITRE. II MTHODES DE RSOLUTION
~ 35 ~
avec 2 , (II.21.a)
/2. (II.21.b)
Dans les expressions ci-dessus :
: reprsente la iieme
composante du vecteur du dplacement lastique u(r).: Le tenseur de dformation: Le tenseur de contrainte,sont les coefficients de Lam, est la densit massique., sont relies aux vitesses de propagations des ondes lastiques dans le milieuconsidr par les relations suivantes :
, (II.23) 2 . (II.24)
sont les vitesses longitudinale et transversale respectivement.Nous traitons ici le cas dun cristal phononique bidimensionnels infini dans une direction
donne par exemple suivant Z. Pour un tel systme, il existe une symtrie de translation le
long de laxe Z, et les coefficients ,et ne dpendent pas de Z. Lquation depropagation de londe pour la composante z est alors dcouple des quations dondes pour
les composantesxety. Les quations dcrivant les composantesxetyscrivent [35,61] :
, (II.25)
, (II.26)
avec, 2 , (II.27) 2 , (II.28)
. (II.29)Ces quations constituent la base de la mthode FDTD dans les systmes
bidimensionnels, lapplication de cette dernire consiste diviser le domaine de simulation en
subdomaines (grilles) avec des dimensions ,et les composantes du vecteurde dplacement lastique sont discrtises, dfinies comme suit :
, , ,,, (II.30) avec, , , 1 , 1 0.
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CHAPITRE. II MTHODES DE RSOLUTION
~ 36 ~
Figure II.1Grille FDTD bidimensionnelle.
Figure II.2Echantillonnage temporel.
Les quations (II.25) (II. 29) cites ci-dessus, leurs drives spatiales et temporelles
sont approximes par les diffrences finies telles que [35-61] :
Pour les drives spatiales, nous utilisons les diffrences centres (central differences) :
,,
, , , , , , , (II.31)
,,
, , , , , , . (II.32)
Pour les drives temporelles, nous utilisons les diffrences en avant et en arrire
(forward and backward differences) :
,, , ,, (II.33)
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CHAPITRE. II MTHODES DE RSOLUTION
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avec,
, , , , 1 , , , (II.34)
, , , , , , 1 . (II.35)
A partir de lquation (II.25), en utilisant lexpansion (i, j, k) et en suivant la procdure
dcrite plus haut nous obtenons :
, , 1 2 , , , , 1
, , ,
, ,
, , , , , (II.36)
De mme, partir de lquation (II.26), en faisant lexpansion (i+1/2, j+1/2, k), nous
obtenons :
, , 1 2 , , , , 1,
, 1, , , ,,
, , 1, ,,. (II.37)
II.5.3 Discrtisation du tenseur de contrainte
Les composantes du tenseur des contraintes , peuvent s'crire suivant lemme principe que nous avons dvelopp pour discrtiser le vecteur du dplacement lastique
et cela partir de lquation (II.21a). Leurs expressions aprs discrtisation sont donnes
par [35] :
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CHAPITRE. II MTHODES DE RSOLUTION
~ 38 ~
, , 2 , ,,,, ,
, ,,,, . (II.38)
, , 2 , ,,,, ,
, ,,,, . (II.39)
, 1, 2 , 1 ,,,, ,
, 1
,,,, .
(II.40)
, , 2 , ,,,, ,
, ,,,, . (II.41)
, , , ,,,, , ,,,, .(II.42)
, , , ,,,, , 12 12,12,12,12, . (II.43)
1, , 1, ,,,, ,
1, ,,,, . (II.44)
Ti,j
, k i,j
,,,,
i , j
,,,,
. (II.45)
La discrtisation prsente dans les quations prcdentes assure de manire prcise la
drive centrale du second degr pour la drive spatiale. Cependant, ceci a comme
consquence, les composantes du champ de dplacement ou vecteur de dplacement lastique
ont t centres dans les diffrents points de lespace, , pour et , pour . Pour calculer les composantes , , du champ du dplacement qui nesont pas enregistres en mmoire, nous utilisons lexpression suivante :
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CHAPITRE. II MTHODES DE RSOLUTION
~ 39 ~
u i , j , k u i 1, j 1 , k u i 1, j , k u i, j 1 , k u i, j , k/4.Les ltape k+1sont calcules partir de leur valeurs de ltape k.
II.5.3 Critre de stabilit.
Afin dassurer la stabilit des calculs, un critre de stabilit est utilis [35] :
0.5/ (II.46)
La vitesse c est plus leve que les vitesses des ondes lastiques des composs du
composite, et ,sont souvent choisis comme 1/ndu paramtre du rseau.
De plus, pour le calcule de la bande interdite (le gap phononique) dans les structures
priodiques dans le plan X-Y, il est plus commode de supposer quune distribution dun
champ initial satisfait au thorme de Bloch linstant t = 0 ; ce qui est compatible aux
conditions aux limites priodiques, celles-ci seront traites en dtail dans le chapitre suivant
lors du calcul de la relation de dispersion du cristal phononique. Les rsultats obtenus dans ledomaine temporel sont ensuite transforms dans le domaine de frquences par la
transformation de Fourrier [61, 66,67].
II.6 Organigrammes de calcul.
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CHAPITRE. II MTHODES DE RSOLUTION
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Figure II.3 Organigramme de calcul pour la PWE
Declare variables
Calculate the band structure along the firstBrillouin zone
Eigen the dynamic matrix
Sort band gap
Plot band gap
Start program
End
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Figure II.3 Organigramme de calcul pour la FDTD.
Dclaration des variables
Fentre de calcul FDTD
Application du thorme de Bloch et discrtisation desquations de mouvement
Application des conditions initiales
Application des conditions aux limites
Start program
End
Application de la transform de Fourrier et transformationen domaine frquentiel
Identification des valeurs propres partir du spectrefrquentiel
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CONCLUSION .
~ 65 ~
Conclusions
Lide quun matriau composite constitu de rseaux priodiques dinclusions une,deux ou trois dimensions pouvant agir fortement sur la propagation dondes lastiques ou
acoustiques est dactualit. Cette nouvelle classe de matriaux est qualifie de cristaux
phononiques. Ceux-ci ont fait un domaine de recherche dbullition exponentielle et en
volution permanente. Un grand nombre de structures priodiques a t tudi et des
approches thoriques varies ont t employes. Toutes ont mis en vidence lexistence de
proprits physiques telles que la prsence de bandes interdites correspondant une forte
attnuation des bandes passantes.
Le travail prsent dans ce mmoire, sinscrit dans le cadre dune contribution ltude
thorique lie la propagation dondes lastiques dans les cristaux phononiques
bidimensionnels. Dans ce travail, nous avons calcul les relations de dispersion dun cristal
phononique bidimensionnels, constitu de cylindres en Duralumin disposs suivant un rseau
carr ou triangulaire insrs dans une matrice dpoxy dans le cas dune polarisation
transversale. Et ce, en utilisant les deux mthodes sur lesquelles sest appuy notre travail, en
loccurrence la mthode dondes planes (PWE) et la mthode des diffrences finies dans le
domaine temporel (FDTD).
Dans un premier temps, nous avons effectu un rappel sur les structures priodiques en
passant par les cristaux photoniques, lmergence des cristaux phononiques et leurs
applications, par la suite nous avons dcris en dtail les deux mthodes cits plus haut.
Le deuxime volet de notre travail est ddi aux calculs des proprits physiques lies la
propagation dondes lastiques dans un cristal phononique (duralumin/poxy). Des calculs
numriques montrent lexistence de bandes interdites compltes indpendamment da la
direction de propagation, toutefois il existe des bandes interdites non absolues dpendantes de
la direction de propagation.
Les relations de dispersion ont t calcules en premier lieu en utilisant la mthode
FDTD, les rsultats obtenus en utilisant la mthode dondes planes (PWE) concident
parfaitement avec les rsultats obtenus en utilisant la premire mthode(FDTD).
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CONCLUSION .
~ 66 ~
La mthode de dveloppement en ondes planes permet de dterminer rapidement la
structure de bandes, cependant le reste du travail de ce mmoire a t effectu en utilisant
cette dernire, notamment pour ltude de linfluence des paramtres du systme sur les gaps.
Nous avons vu linfluence des paramtres du systme sur le gap, tel que leffet de la
structure sur la bande phononique ; deux types de structures ont t tudis, le rseau carr et
le rseau triangulaire. Dans ces deux cas de figure il existe des bandes interdites compltes
stendant sur toute la zone de Brillouin, indpendamment de la direction de propagation. Le
plus grand nombre de gaps apparait dans la structure triangulaire.
Par ailleurs, ltude a t tendue dautres paramtres tels que le paramtre de maille, le
rayon des cylindres et la fraction volumique. Linfluence de ces derniers sur les gaps se
traduit par lapparition de deux grandes larges bandes interdites. Elles stalent sur une large
gamme de paramtres influant et elles stendent du domaine sonique au domaine
ultrasonique et ce pour les deux cas de structure triangulaire et carre.
Enfin nous avons termin nos calculs par linfluence de la densit des cylindres sur le gap
et paralllement linfluence de la densit de la matrice. Dans le premier cas, pour des
cylindres de haute densit insrs dans une matrice de faible densit la largeur du gap a t
augment tandis que dans le cas des cylindres de faible densit insrs dans une matrice a
forte densit, la largeur du gap est trs troite, quasiment nul. Lcartement de la bande
interdite dpend de la structure darrangement des cylindres, de la fraction volumique et de la
densit du milieu. Les structures possdant ce type de bandes interdites peuvent avoir des
applications dans diffrents domaines tels que les transducteurs, les guides dondes ou encore
les filtres frquentiels haute slectivit.
Ce travail, limit au calcul de la bande interdite pour des structures carres et
triangulaires dans le cas dune polarisation transversale peut tre tendu dautres
configurations comme les structures hexagonales ; idem pour la forme des inclusions, dans le
cas dune polarisation mixte. Dautres tudes savrent ncessaires et porteront sur : ltude
des cristaux anisotropes et des cristaux pizolectriques qui sont largement utiliss en pratique
ainsi que sur ltude de la diffusion dondes lastiques lorsquon introduit des dfauts dans la
structure, tout cela entrent dans nos perspectives.
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ANNEXES
~ 71 ~
ANNEXE
Zones de Brillouin
Cette annexe a pour but de fournir quelques dfinitions fondamentales ayant trait aux
rseaux priodiques et en particulier la notion de zone irrductible de Brillouin. Elle est
largement inspire d'ouvrages traitant de la physique des semi-conducteurs, auxquels nous
suggrons au lecteur de se reporter pour de plus amples dtails [18].
La cellule de Wigner-Seitz est une cellule primitive rendant compte de la symtrie
lmentaire de la maille du systme tudi. Elle possde donc la symtrie du rseau de
bravais. Dun point de vue gomtrique, sa construction s'effectue dans le rseau direct en
trois tapes, illustres sur la figure A.1 :
On dfinit un point origine dans la maille cristalline, partir duquel on vient tracer des
segments liant ce point ses voisins immdiats,
On trace ensuite les bissectrices ces lignes de construction,
Le plus petit polyhdre compris entre les dites bissectrices est la cellule de wigner-seitz du
cristal.
Figure. A.1 : Mthode de construction de la cellule de Wigner-Seitz.
La premire zone de Brillouin est l'quivalent direct de cette cellule de Wigner-Seitz pour
le rseau rciproque1. Le tableau A.1 montre les cellules de Wigner-Seitz pour les rseaux
cubiques centrs (CC) et cubique fac