1 FORMULAS Y TABLAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO ALUMNO/A: ………………………………………………………… 3º Ed. 2015 (EHE 08; EC2) ESTE TEXTO ES PARA REALIZAR EL EXAMEN DE LA ASIGNATURA.ESTA TERMINANTEMENTE PROHIBIDO ESCRIBIR NADA EN ÉL, SIN AUTORIZACIÓN DEL PROFESOR. SERÁ REVISADO POR EL PROFESOR Y PUEDE SIGNIFICAR LA DESCALIFICACIÓN DEL EXAMEN.
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Cemento de aluminato de calcio CAC/R (endurecimiento rápido)
Cementos con características adicionales:
- Cementos resistentes a sulfatos o aguas de mar (SR, MR)
- Cementos de bajo calor de hidratación (BC)
RC 97. Tipos de cemento y composiciones: proporción en masa (1)
Tipo de
Cem.
Denominación
Designación
Clínker K
Escoria de Horno alto
S
Humo de Sílice D
Puzolanas Naturales
P
Cenizas Volantes
V
Caliza L
Componentes Minoritarios
Adiciones (2)
CEM I Cemento Portland
CEM I 95-100 —— —— —— —— —— 0-5
CEM II
Cem Portland con escoria
CEM II/A-S CEM II/B-S
80-94 65-79
6-20 21-35
—— ——
—— ——
—— ——
—— ——
0-5 0-5
Cem Portland + humo de sílice
CEM II/A-D 90-94 —— 6-10 —— —— —— 0-5
Cem Portland con puzolana
CEM II/A-P CEM II/B-P
80-94 65-79
—— ——
—— ——
6-20 21-35
—— ——
—— ——
0-5 0-5
Cem Portland + ceniza volante
CEM II/A-V CEM II/B-V
80-94 65-79
—— ——
—— ——
—— ——
6-20 21-35
—— ——
0-5 0-5
Cem Portland con caliza
CEM II/A-L 80-94 —— —— —— —— 6-20 0-5
Cem Portland Mixto (3).
CEM II/A-M CEM II/B-M
80-94 65-79
6-20 21-35
(4) (5) (4) (5)
(6)
CEM III Cemento de horno Alto
CEM III/A CEM III/B
35-64 20-34
36-65 66-80
—— ——
—— ——
—— ——
—— ——
0-5 0-5
CEM IV Cemento Puzolánico
CEM IV/A CEM IV/B
65-89 45-64
—— ——
11-35 (4) 36-55 (4)
—— ——
0-5 0-5
CEM V Compuesto CEM V/A 40-64 18-30 —— 18- 30 —— 0-5
1. Los valores de la tabla se refieren al núcleo de cemento, entendiéndose por tal el "clínker" y las adiciones con exclusión del sulfato de calcio (regulador de fraguado) y de los aditivos.
2. Los componentes minoritarios adicionales pueden ser "filler", o uno o más de los componentes principales, a menos que están incluidos ya como tales en el cemento.
3. Cuando algún cemento portland, mixto, en razón de su composición, se pueda incluir en alguno de los tipos II anteriores, deberá llevar la denominación y designación correspondientes a dicho tipo.
4. La proporción de humo de sílice se limita al 10 por 100. 5. La proporción de "filler" se limita al 5 por 100. 6. La proporción de caliza se limita al 20 por 100.
4
RC 97. Prescripciones mecánicas y físicas de los cementos comunes
Clase resistente
Resistencia a compresión [N/mm2] Tiempo de fraguado
Expansión [mm]
Resistencia inicial Resistencia normal
a 28 días
Principio [Minutos]
Final [Horas] 2 días 7 días
32,5 - 16,0 32,5 52,5
60
12 10
32,5R (1) 13,5 -
42,5 13,5 -
42,5 62,5 42,5 R (1)
20,0 -
52,5 20,0 -
52,5 - 45 52,5 R (1)
30,0 -
(1) R = Alta resistencia inicial
En general se acepta utilizar:
Tipo de hormigón Tipo de cemento
Hormigón en masa Cementos comunes
Cementos para usos especiales (BC, etc.)
Hormigón armado Cementos comunes
Hormigón pretensado Cementos comunes tipo CEM I y II/ A-D
Áridos
SUSTANCIAS PERJUDICIALES
Cantidad máxima
en % del peso
total de la
muestra
Árido
fino
Árido
grueso
Terrones de arcilla, determinados con arreglo al método de ensayo indicado
en la UNE 7133:58.
1.00 0.25
Partículas blandas, determinadas con arreglo al método de ensayo indicado en
la UNE 134:58.
-- 5.00
Material retenido por el tamiz 0,063 UNE EN 933-2:96 y que flota en líquido de
peso específico 2, determinado con arreglo al método de ensayo indicado en
la UNE EN 1744-1:98.
0.50
1.00
Compuestos totales de azufre expresados en SO3= y referidos al árido seco,
determinados con arreglo al método de ensayo indicado en la UNE EN 1744-
1:98.
1.00
1.00
Sulfatos solubles en ácidos, expresados en SO3= y referidos al árido seco,
determinados con arreglo al método de ensayo indicado en la UNE EN 1744-
1:98.
0.80
0.80
Cloruros expresados en CI- y referidos al
árido seco, determinados con arreglo al
método de ensayo indicado en la UNE EN
1744-1:98.
Hormigón armado u hormigón en
masa que contenga armaduras
para reducir la fisuración.
0.05
0.05
Hormigón pretensado. 0.03 0.03
Parábola de Fuller:
PE = 100D
d
Siendo PE el porcentaje de árido en peso que pasa por un tamiz determinado, d el diámetro del árido que
pasa por el tamiz analizado y D el diámetro del árido mayor (o tamaño máximo del árido).
5
Curva de Bolomey:
PE = a + (100-a)D
d
Consistencia Valores de a
Rodados Machacados
Seca y Plástica 10 12
Blanda 11 13
Fluida 12 14
Tamices normalizados por las normas UNE, que son los que se indican:
Tamices
Abertura en [mm]
UNE EN 933 -2:96
0.063 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 10 16
20 31.5 40 63 125
Cortesía de Jiménez Montoya.
Cortesía de Jiménez Montoya
6
Límites Material retenido acumulado, en % en peso, en los tamices
4 mm 2 mm 1 mm 0.5 mm 0.25 mm 0.125 mm 0.063 mm
Superior 0 4 16 40 70 82 (1)
Inferior 20 38 60 82 94 100 100
El módulo de finura representa el tamiz medio, o sea, la abertura o tamaño medio de la partícula retenida
en él y se describe para las arenas, cuál es el módulo de finura mínimo y máximo que tienen que tener
para emplearse en hormigones. Este módulo, las clasifica en finas, medias y gruesas.
El coeficiente de forma ( ) de un árido, es obtenido a partir de un conjunto de n granos representativos
de dicho árido, mediante la expresión:
1 2
1 2
3 3 3
.....
.....6
n
n
V V V
d d d
donde es:
= coeficiente de forma;
Vi = volumen de cada grano;
di = la mayor dimensión de cada grano, es decir, la distancia entre los dos planos paralelos y tangentes a
ese grano que estén más alejados entre sí de entre todos los que sea posible trazar.
El tamaño máximo del árido grueso será menor que las dimensiones siguientes:
a) 0,8 veces la distancia horizontal libre entre vainas o armaduras que no formen grupo, o entre un borde
de la pieza y una vaina o armadura que forme un ángulo mayor que 45o con la dirección de hormigonado.
b) 1,25 veces la distancia entre un borde de la pieza y una vaina o armadura que forme un ángulo no mayor que 45o con la dirección de hormigonado. c) 0,25 veces la dimensión mínima de la pieza, excepto en los casos siguientes: - Losa superior de los forjados, donde el tamaño máximo del árido será menor que 0,4 veces el espesor mínimo. - Piezas de ejecución muy cuidada (caso de prefabricación en taller) y aquellos elementos en los que el efecto pared del encofrado sea reducido (forjados que se encofran por una sola cara), en cuyo caso será menor que 0,33 veces el espesor mínimo. Los áridos se designan como:
d/D – IL - N
donde.
d/D, indica fracción granulométrica comprendida entre un tamaño mínimo d y un tamaño máximo D, en
mm,
IL, indica forma de Presentación ( R, rodado; T, triturado (machacado); M, mezcla),
N, indica Naturaleza (C, calizo; S, silíceo; G, granito; O, ofita; B, basalto; D, dolomítico; Q, traquita; I,
fonolita; V, varios; A, artificial; R, reciclado).
Agua
Exponente de hidrógeno pH 5
Sustancias disueltas 15 gr/litro
Sulfatos SO4= excepto para cemento SR que llega a 5 gr/litro 1 gr/litro
Ion cloruro Cl-
Para hormigón pretensado 1 gr/litro
Para hormigón armado o en masa con armadura antifisuración 3 gr/litro
Hidratos de carbono (grasas) 0
Sustancias orgánicas solubles en éter 15 gr/litro
7
Aditivos
Inclusores de aire: para elaborar hormigones menos densos, más ligeros. Debido a la rotura de
capilares interiores, aumentan la resistencia a heladas, en general.
Fluidificantes: aumentan la docilidad y permiten disminuir el agua de amasado.
Superfluidificantes: son mejores que los anteriores porque permiten disminuir mayor cantidad de
agua. De los más usados en la práctica.
Aceleradores de fraguado (o de endurecimiento): para prefabricados, climas muy fríos, etc.
Retardadores de fraguado: grandes macizos con gran desprendimiento de calor de hidratación. Son
incorporados en todos los hormigones de Central actualmente, para permitir un tiempo mínimo para
transporte y colocación adecuada.
Inhibidores de fraguado: similares a los anteriores pero para transportar hormigones a muy largas
distancias (camiones de transporte o Mixers).
Anticongelantes: climas muy fríos.
Impermeabilizantes: estructuras estancas.
Inhibidores de corrosión de armaduras: ambientes muy agresivos.
Inhibidores de reacción álcali-áridos: evitan la reacción entre el cemento y los áridos.
Para el bombeo: reducen el rozamiento en la tubería de bombeo.
Hormigones proyectados: disminuyen el descuelgue o caída.
Para inyecciones: aumentan la consistencia.
Colorantes: fin estético.
Adiciones
Recogidas y aceptadas en EHE:
Ceniza volante: son las cenizas que salen por las chimeneas de las centrales termoeléctricas, en
estas chimeneas hay unos filtros para que estas cenizas sean recogidas y no salgan al
ambiente.
Humo de sílice: procede de la producción de microprocesadores. Directamente de la fundición de
sílice.
No recogidas en EHE:
Escoria: las sustancias vítreas que flotan en el acero en los procesos de fundidos. Son
impurezas del acero que se retiran y que se aprovechan para el cemento a precio muy barato.
Puzolana natural: es un tipo de piedra natural de naturaleza volcánica procedente de Puzuoli
(Italia) o de similares características. Esta piedra ya la conocían los romanos y la empleaban
para sus construcciones.
Filler calizo: es el polvo de las canteras de caliza, residuos de triturado en las canteras. De todas
las adiciones es la menos contaminante, y junto con el humo de sílice la que más resistencia
aporta al cemento.
Armaduras de Acero
Las armaduras pasivas podrán estar constituidas por:
barras corrugadas
mallas electrosoldadas
armaduras básicas electrosoldadas en celosía
Los diámetros nominales de las barras corrugadas se ajustarán a la siguiente serie comercial:
Análisis de canto inferior al Recomendado (d REC )
Para el B 500 S y B 400 S:
2
2
0.252
1 / 1 /
d REC d
d d r d
1 2 2 0.310 REC
Donde r es el recubrimiento de la armadura en la zona comprimida.
Cálculo de Verificación o Comprobación ( 0.85cc )
u dM M
O también,
d
Siendo:
2
u
cd
M
b d f ;
2
dd
cd
M
b d f
1)
1 11
yd
cd cd
A f T
b d f b d f ;
2 22
yd
cd cd
A f T
b d f b d f
2)
22
0 1 2
3)
A) Si 0 0 ; prescindiendo de la colaboración del hormigón, puede tomarse:
1 2(1 )
donde era: 2 2' d d r d
B) Para 00 0.310 ; este es el caso más frecuente. Se fija el máximo en 0.310REC .
con 0 se obtiene
0 , y luego:
0 2 2(1 )
Para el caso en que 0.1667 , debe hacerse 2 0 , con lo que directamente se halla
0 .
C) Para 0 0.310 ; se trata de una sección excesivamente armada. De forma aproximada, se
recomienda tomar:
2 20.252 (1 )
Flexión Compuesta (Método de Ehlers) (gran excentricidad 0 / 2e h r )
Se hace:
0d
d
Me
N
20
2
d de e
Luego:
2
d
d
cd
N e
b d f
dd
cd
N
b d f
Hallado el valor de d, se entra en tabla ( 0.85cc ):
Para d 0.252
1 d d
y luego:
1 1( )yd d d cd cdT A f b d f b d f
Para d 0.252
2
2
0.252
1
d
1 2 0.310 d
Las capacidades mecánicas resultarán:
2 2 2yd cdT A f b d f
1 1 1yd cdT A f b d f
Comprobación o verificación
¨d
Si se quiere conocer el valor del momento último resistido por la sección: 2
u u cdM N e b d f
1)
0 1 2d
2)
Si 0 0 , prescindiendo de la colaboración del hormigón, puede tomarse:
1 2( ) (1 )d
Si 00 0.310 , entrando en tabla con
0 , se encuentra 0 .
23
0 2 2(1 )
3. Si 0 0.310 , se entra en tabla con
3
010 / ydf (para ydf en kg/cm
2) ó
2
010 / ydf (para ydf en
N/mm2). Con este valor se encuentra
0 y .
0 2 2(1 )
Indices de Sobrerresistencia y de Sobreseguridad
Coeficiente o índice de sobrerresistencia
'100
T T
T [%]
Donde es:
: Índice de sobrerresistencia
T' : Capacidad de la armadura colocada
T : Capacidad teórica exacta o buscada
Coeficiente o índice de sobreseguridad
100
u d
d
M M
M [%]
Donde es:
: Índice de sobreseguridad
Mu: Momento último resistido
Md : Momento de Diseño o Cálculo.
Disposición de armaduras 1) Armadura de montaje en el cálculo
Si existen armaduras pasivas en compresión, para poder tenerlas en cuenta en el cálculo será preciso que vayan sujetas por cercos o estribos, cuya separación st y diámetro φt sean:
st ≤ 15 φmín (φmín diámetro de la barra comprimida más delgada)
φt ≥ ¼ φmáx (φmáx diámetro de la armadura comprimida más gruesa) Para piezas comprimidas, en cualquier caso, st debe ser inferior que la dimensión menor del elemento y no mayor que 30 cm. EHE recomienda poner como montaje, 30 % armadura tracción y mínimo 2 del 12. Desde el punto de vista económico, cuando la armadura de montaje desde el 30% es muy grande, no se suele colocar (va armadura menor y mínimo 2 del 12). 2) Distribución en la sección
La armadura pasiva longitudinal resistente, o la de piel, habrá de quedar distribuida para evitar que queden zonas de hormigón sin armaduras, de forma que la distancia entre dos barras longitudinales consecutivas (s) cumpla las siguientes limitaciones:
s ≤ 30 cm.
s ≤ tres veces el espesor bruto de la parte de la sección del elemento, alma o alas, en las que vayan situadas.
3) Barras aisladas
La distancia libre, horizontal y vertical, entre dos barras aisladas consecutivas, será igual o superior al mayor de los tres valores siguientes: − 20 mm; salvo en viguetas y losas alveolares pretensadas donde se tomarán 15 mm; − el diámetro de la mayor barra; − 1,25 veces el tamaño máximo del árido.
4) Anclaje de las armaduras pasivas (de EHE) Las longitudes básicas de anclaje (lb), dependen, entre otros factores, de las propiedades de adherencia de
las barras y de la posición que éstas ocupan en la pieza de hormigón. Atendiendo a la posición que ocupa la barra en la pieza, se distinguen 2 casos:
– Posición I, de adherencia buena, para las armaduras que durante el hormigonado forman con la horizontal un ángulo comprendido entre 45º y 90º o que en el caso de formar un ángulo inferior a 45º, están situadas en la mitad inferior de la sección o a una distancia igual o mayor a 30 cm de la cara superior de una capa de hormigonado.
– Posición II, de adherencia deficiente, para las armaduras que, durante el hormigonado, no se encuentran en ninguno de los casos anteriores.
– En el caso de que puedan existir efectos dinámicos, las longitudes de anclaje indicadas se aumentarán en 10 φ.
La longitud neta de anclaje no podrá adoptar valores inferiores al mayor de los tres siguientes:
24
– a) 10 φ;
– b) 150 mm;
– c) la tercera parte de la longitud básica de anclaje para barras traccionadas y los dos tercios de dicha longitud para barras comprimidas.
Tipos de anclajes (varían las longitudes, Ver EHE):
TABLAS
Tabla de valores de ; en el Dominio 2 con distintos cc
Los valores de y para 0.85cc , se han tabulado en función de
Luego, las ecuaciones adimensionales quedan:
11 2
ydf
1 12 2 1 2 2 1 2( ) ( ) ( ) c
yd ydf f
Con:
1 0.0023 7
Y donde ahora se ha hecho 2 2( ) c (momento reducido proporcionado por el hormigón)
Haciendo:
22 2
d
cd
N e
b h f
Considerando siempre e2 como la excentricidad referida a la armadura más comprimida (A2) Se halla el
normal reducido como:
dd
cd
N
b h f
Cortesía de Jiménez Montoya
27
22
d
h
Donde d2 es el recubrimiento en la parte más comprimida. La tabla se hace para valores de 2 = 0.05, 0.10
y 0.15, por lo que para otros valores se deberá interpolar.
Finalmente se encuentran las cuantías mecánicas dependiendo de dos casos, que son:
Para 2 20.425 0.85
La solución más económica se obtiene haciendo A1 = 0. No se agotaría el hormigón en compresión en la
zona menos comprimida, con lo que es innecesario el uso de armadura allí (1 0 ). Luego será:
Dominio 4a 2 d
Dominio 5 2 d
Para 2 20.425 0.85
Son necesarias las dos armaduras trabajando a compresión y las dos cuantías mecánicas serán:
2 21
2
0.85 0.425
2 1 0.85 d
Donde ahora se ha definido:
d
h
Luego:
1
1 1 1
yd
cd
cd
A fT b h f
b h f
Cortesía de Jiménez Montoya
28
2
2 2 2
yd
cd
cd
A fT b h f
b h f
Diagrama de Interacción para armaduras simétricas
0
2
d
cd
N e
b h f ;
d
cd
N
b h f
Y se halla:
yd
TOTAL
cd
A f
b h f
Donde es:
0 d
d
Me
N
0e : excentricidad definida respecto al baricentro de la sección bruta.
Cortesía de Jiménez Montoya . Con 0.85cc
29
Valor de Excentricidad mínima (EHE y EC2)
En soportes y elementos de función análoga, toda sección sometida a una solicitación normal exterior de compresión Nd debe ser capaz de resistir dicha compresión con una excentricidad mínima, debida a la
incertidumbre en la posición del punto de aplicación del esfuerzo normal, igual al mayor de los valores:
emin = MAX [h/20 y 2 cm]
Dicha excentricidad debe ser contada a partir del centro de gravedad de la sección bruta y en la dirección más desfavorable de las direcciones principales y sólo en una de ellas.
Flexión Esviada. Métodos de cálculo
1. Uso de Ábaco de Roseta (los ábacos están más adelante)
Será:
d
cd
N
b a f ;
2
aa
cd
M
b a f ;
2
bb
cd
M
b a f
El mayor de los dos momentos reducidos será 1 y el menor
2 . Luego, buscando en el octante (o
cuadrante) correspondiente al valor del normal reducido, se obtiene:
tot yd
cd
A f
a b f
2. Reducción a flexión recta
1 2
Donde si se tiene una sección de ( a b ), sometida a unos esfuerzos de dN ,
xdM y ydM , se hallarán x
y y desde cada uno de ellos y se hará:
1 : el mayor de los momentos reducidos hallados
2 : el menor de los momentos reducidos hallados
El valor de de halla en tabla en función del normal reducido , y es:
Estado Límite de Punzonamiento El área crítica se define a una distancia igual a 2d desde el perímetro del área cargada o del soporte, siendo d
el canto útil de la losa.
Losas sin armadura de punzonamiento
No será necesaria armadura de punzonamiento si se verifica la siguiente condición:
sd rd
donde:
sd : Tensión tangencial nominal de cálculo en el perímetro crítico.
,
1
sd ef
sd
F =
u d
sd,ef F :Esfuerzo efectivo de punzonamiento de cálculo, teniendo en cuenta el efecto del momento transferido
entre losa y soporte.
,sd ef sdF = F
: Coeficiente que tiene en cuenta los efectos de excentricidad de la carga. Cuando no existen momentos
transferidos entre losa y soporte toma el valor 1.00. Cuando existan momentos transferidos entre losa y
soporte, puede tomarse igual a 1.15 en soportes interiores, 1.40 en soportes de borde y 1.50 en soportes
de esquina.
sd F : Esfuerzo de punzonamiento de cálculo. Se obtendrá como la reacción del soporte. En el caso de losas
pretensadas debe incluir la componente vertical del pretensado.
1u : Perímetro crítico definido en las figuras
d : Canto útil de la losa.
rd : Tensión máxima resistente en el perímetro crítico, con ckf en N/mm
2.
1/30.18
0.1 'rd cdl cv
c
= 100 f
Con un valor mínimo de:
1/23/20.0750.1 'rd cdcv
c
= f
l : Cuantía geométrica de armadura longitudinal principal de tracción de la losa, calculada mediante
0.02l x y
siendo x y y las cuantías en dos direcciones perpendiculares. En cada dirección la cuantía a considerar
es la existente en un ancho igual a la dimensión del soporte más 3d a cada lado del soporte o hasta el borde
de la losa, si se trata de un soporte de borde o esquina.
= 2.001 + 200 / d con d en mm
2' '
' 0.3 12 /2
cdx cdy
cd cdf N mm
51
,' d x
cdx
x
N
A ; ,' d Y
cdY
Y
N
A
Donde:
,d xN y ,d yN : fuerzas longitudinales en la superficie crítica (de las cargas o de pretensado)
xA y yA : superficies definidas por los lados bx y by de acuerdo a figuras 25.8 y 25.9
x xA b h ; y yA b h
Losas con armadura de punzonamiento
Cuando resulta necesaria armadura de punzonamiento deben realizarse tres comprobaciones en tres zonas:
1. Zona de armadura transversal
2. Zona exterior a la armadura de punzonamiento
3. Zona adyacente al soporte o carga
A continuación se indican los cálculos correspondientes a cada zona.
1) Zona con armadura transversal de punzonamiento
En la zona con armadura de punzonamiento se dimensionará la armadura teniendo en cuenta que la
armadura transversal puede ser con estribos verticales o con barras levantadas un ángulo , de forma que
se satisfaga la siguiente ecuación:
,
1
0.75 1.5sw y d
sd rd
A f sen
s u
Donde es:
sd : tensión tangencial de cálculo
rd : tensión máxima resistente en el perímetro crítico considerando cv ckf f
swA : área total de armadura de punzonamiento en un perímetro concéntrico al soporte o área cargada, en
mm2
s : distancia en dirección radial entre dos perímetros concéntricos de armadura, o entre el perímetro y la cara
del soporte, en mm (ver figura)
,y df : resistencia de cálculo de la armadura A, en N/mm
2 y no mayor de 400 N/mm
2.
2) Zona exterior a la armadura de punzonamiento
En la zona exterior a la armadura de punzonamiento es necesario comprobar que no se requiere
dicha armadura.
0.18
0.1 '1/ 3
sd,ef cv n,efcdl
c
(100 d) uF f
donde:
,n efu : Perímetro definido
l : Cuantía geométrica de armadura longitudinal que atraviesa el perímetro
,n efu
cvf : resistencia efectiva del hormigón a cortante
sd,ef sd FF , con =1
A la distancia en la que se comprueba esta condición se supone que el efecto del momento transferido entre
soporte y losa por tensiones tangenciales ha desaparecido, por tanto, Fsd,ef sólo tendrá en cuenta el efecto
debido a la carga vertical Fsd.
52
3) Zona adyacente al soporte o carga. Resistencia máxima
En cualquier caso debe comprobarse que el esfuerzo máximo de punzonamiento cumple la limitación:
0.5sd,ef1cd
0
F f
du
donde:
1cdf : Resistencia a compresión del hormigón
Con:
1 0.60cd cdf = f para 260 /ckf N mm
1 (0.90 / 200)cd ck cdf = f f para 260 /ckf N mm
0u : Perímetro de comprobación (Fig.)
- En soportes interiores, 0u es el perímetro de la sección transversal del soporte.
- Para soportes de borde, 0 1 2 + 2u c c , donde c1 y c2 son las dimensiones del soporte en la dirección
del borde y perpendicular a la misma respectivamente. - Para soportes de esquina, 0 1 2 + u c c
53
Disposiciones relativas a las armaduras
La armadura de punzonamiento estará constituida por cercos, horquillas verticales o barras dobladas.
Estado Límite de Rasante
Juntas Frágiles (sin armadura de Rasante)
Con:
: resistencia de cálculo a tracción del Hº más débil (el colocado in situ) :
:Tensión de cálculo normal a la junta (positiva si es compresión y existe). Para tracción =0.
:Valores que tienen en cuenta la rugosidad de la junta y sale de tabla
Tipo de Superficie
Rugosidad baja Rugosidad alta
0.2 0.4
0.6 0.9
Procedimiento de cálculo. Se debe verificar que:
Donde:
: Valor medio de la tensión de rasante en la junta en la sección considerada
: Valor de cálculo de cortante en la sección considerada : Superficie de contacto por unidad de longitud de toda la junta (longitud en direc del rasante)
: Brazo mecánico elástico adoptado (aprox. z = 0.9 h)
Juntas Dúctiles (con armadura de Rasante). No se consideran aquí
,u cu ct d cdf
,ct df
cd
;
med u
dmed
V
p z
med
dV
p
z
54
Estado Límite de Torsión
El espesor o ancho eficaz que se halla (he) :
0
2e
hAh y además
cu
donde es:
A: área de la sección transversal inscrita en el perímetro exterior incluyendo las áreas huecas interiores.
u: perímetro exterior de la sección transversal.
h0: espesor real de la pared en caso de secciones huecas.
c: recubrimiento de las armaduras longitudinales.
Comprobaciones a realizar:
Td Tu1
Td Tu2
Td Tu3
Donde es:
Td: Momento torsor de cálculo de la sección
Tu1: Máximo momento torsor que pueden resistir las bielas comprimidas de hormigón.
Tu2: Máximo momento torsor que pueden resistir las armaduras transversales.
Tu3: Máximo momento torsor que pueden resistir las armaduras longitudinales.
1) Obtención de Tu1
1 1 2
cot2
1 cotu cd e e
gT K f A h
g
donde:
1cdf , es la resistencia a compresión del hormigón, obtenida como:
Con:
1 0.60cd cdf f para 260 /ckf N mm
1 (0.90 / 200) 0.50cd ck cd cdf f f f para 260 /ckf N mm
K : es un coeficiente que depende del esfuerzo axil (ya definido en pag 52)
, es un coeficiente que vale:
0.60, si hay estribos únicamente a lo largo del perímetro exterior de la pieza, o
0.75, si se colocan estribos cerrados en ambas caras de la pared de la sección hueca equivalente o de la
sección hueca real.
, ángulo entre las bielas de hormigón y el eje de la pieza (ya se ha dicho que se puede tomar 45º
simplificadamente). Será el mismo valor adoptado para cortante.
Ae, área encerrada por la línea media de la sección hueca eficaz de cálculo.
2) Obtención de Tu2
2 ,
2cote t
u yt d
t
A AT f g
s
55
donde:
At: área de las armaduras utilizadas como cercos o armadura transversal
st: separación longitudinal entre cercos o barras de la armadura transversal
fyt,d :resist de cálculo del acero de la armadura At (para armadura pasiva, 400/1.15 Mpa ó 500/1.15 Mpa).
3) Obtención de Tu3
3 ,
2tge
u l yl d
e
AT Af
u
donde:
Al: área de las armaduras longitudinales
fyl,d: resistencia de cálculo de la armadura longitudinal (idem que fyt,d)
ue: perímetro de la línea media de la sección hueca eficaz de cálculo Ae
Disposiciones relativas a las armaduras mínimas
La separación longitudinal entre cercos, maxs o
ts , no excederá de:
max8
eus
Además:
max 0.75 (1 cot ) 600s a g a mm , si 1
1
5d uT T
max 0.60 (1 cot ) 450s a g a mm , si 1 1
1 2
5 3u d uT T T
max 0.30 (1 cot ) 300s a g a mm , si 1
2
3d uT T
siendo a, la menor dimensión de los lados que conforman el perímetro ue.
Interacción entre torsión y otros esfuerzos (torsión, cortante y flexión)
1 1
1d rd
u u
T V
T V
Donde es:
Tu1 : momento torsor de agotamiento por compresión del hormigón.
Vu1 : esfuerzo cortante de agotamiento por compresión del hormigón.
6. ELS. FISURACIÓN. DEFORMACIÓN. VIBRACIÓN Estado Límite de Fisuración
Ancho de fisura máxima permitida
Clase de Exposición máxW [mm]
Hormigón armado Hormigón pretensado
I 0.4 0.2
IIa, IIb, H 0.3 0.2*
IIIa, IIIb, IV, F, Qa 0.2 Descompresión
IIIc, Qb, Qc 0.1
Fisuración por tensiones normales. Fisuración por tracción
k máxW W
donde:
kW : abertura característica de fisura.
máxW : abertura máxima de fisura, definida en tabla.
56
k m smW S
Donde es:
: coeficiente que relaciona la abertura media de fisura con el valor característico y vale 1.3 para
fisuración producida por acciones indirectas solamente y 1.7 para el resto de los casos (en general, se
adopta 1.7 y se está del lado de la seguridad).
mS : separación media entre fisuras, expresada en mm.
sm : alargamiento medio de las armaduras, teniendo en cuenta la colaboración del hormigón entre fisuras.
Se define:
,
12 0.2 0.4 c eficaz
m
s
AS c s k
A
con:
c : recubrimiento de hormigón de las armaduras traccionadas (r)
s : distancia entre barras longitudinales. Si 15s se toma 15s . En caso de vigas armadas con
n barras se tomará s=b/n, con b ancho de la viga. Se entiende que es la distancia entre ejes de barras (no
la distancia libre entre ellas)
1k : coeficiente que representa la influencia del diagrama de tracciones en la sección, de valor:
1 21
18k
donde 1 y
2 son las deformaciones máxima y mínima calculadas en la sección fisurada, en los límites
de la zona traccionada. El caso de Flexión Compuesta (muy frecuente) se considere incluido en el de
Flexión Simple (k1 = 0.125).
: diámetro de la barra traccionada más gruesa o diámetro equivalente en el caso de grupo de barras.
,c eficazA : área de hormigón de la zona de recubrimiento, definida en la Fig, en donde las barras a tracción
influyen de forma efectiva en la abertura de las fisuras. Es el área donde se puede producir la fisura máxima.
sA : sección total de las armaduras situadas en el área ,c eficazA .
57
2
21 0.4s sr ssm
s s s
kE E
con:
s : tensión de servicio de la armadura pasiva en la hipótesis de sección fisurada.
sE : módulo de deformación longitudinal del acero.
2k : coeficiente de valor 1 para los casos de carga instantánea no repetida (estática) y 0.5 para
los restantes.
sr : tensión de la armadura en la sección fisurada en el instante en que se fisura el hormigón, lo cuál
supone que ocurre cuando la tensión de tracción en la fibra más traccionada del hormigón alcanza el valor
ctf .
Las tensiones en las armaduras descritas pueden evaluarse a partir de:
ks
s
M
k d A
, con 0.80 0.90k
0.8
fissr
s
M
d A
donde:
58
kM : momento característico (sin mayorar) para el que se realiza la comprobación del Estado Límite de
Fisuración. El valor de cálculo en la sección que interesa verificar.
fisM : momento para el que la fibra más traccionada de hormigón alcanza el valor ctf . Puede hallarse
como:
fis ct bM f W
con bW , módulo de la sección bruta antes de la fisuración.
Para una sección rectangular tipo, de h x b, se hace: 2
230.306
fis ck
b hM f
50ckf Mpa
2230.58
6fis ck
b hM f
50ckf Mpa
Limitación de fisuración por esfuerzo cortante
Según la EHE, puede suponerse que la fisuración debida a esfuerzo cortante se controla si:
23 / /rd cuV V A d sen N mm Separación entre estribos (mm)
< 50 300
75 200
100 150
150 100
200 50
Donde:
Para HA, sección constante y estribos a 90º, quedaría:
23 / /rd cuV V A d sen N mm = 23 / /d cuV V A d N mm
Limitación de fisuración por esfuerzo de torsión
Puede suponerse que la fisuración debida a esfuerzo torsor se controla si:
2t
as y
3t
bs
200ts mm
Donde es:
a: menor dimensión transversal de la pieza.
b: mayor dimensión transversal de la pieza.
Limitación de fisuración en EC 2
El valor de la tensión del acero puede hallarse al igual que antes, de forma simplificada, como:
0.8k
s
s
M
d A
Las tablas indicadas para verificar maxW 0.30:
59
Las tablas indicadas para verificar maxW 0.40:
Estado Límite de Deformación
Cantos mínimos de verificación (vigas y losas)
SISTEMA ESTRUCTURAL
L/d
K
Elementos fuertemente
armados:
= 0.015
Elementos débilmente
armados:
= 0.005
Viga simplemente apoyada. Losa uni
o bidireccional simplemente apoyada
1.00
14
20
Viga continua1 en un extremo. Losa
unidireccional continua1,2
en un solo
lado
1.30
18
26
Viga continua1 en ambos extremos.
Losa uni o bidireccional continua1,2
1.50 20 30
Recuadros exteriores y de esquina en
losas sin vigas sobre apoyos
aislados3
1.15
16
23
Recuadros interiores en losas sin
vigas sobre apoyos aislados3
1.20 17 24
Voladizo 0.40 6 8
1 Un extremo se considera continuo si el momento correspondiente es igual o superior al 85 % del momento de empotramiento perfecto.
2 En losas unidireccionales, las esbelteces dadas se refieren a la luz menor.
3 En losas sobre apoyos aislados (pilares), las esbelteces dadas se refieren a la luz mayor.
Cantos mínimos de verificación para forjados
Para forjados de viguetas con luces menores que 7 m y de forjados de losas alveolares pretensadas con
luces menores que 12 m, y sobrecargas no mayores que 4 kN/m², no es preciso comprobar si la flecha
si el canto total h es mayor que el mínimo hmín dado por:
hmín = δ1 δ2 L / C
siendo:
1 : factor que depende de la carga total y que tiene el valor de que tiene el valor de (q / 7)1/2
, siendo q la
carga total, en kN/m²
2 : factor que tiene el valor de (L/6)0,25
L : luz de cálculo del forjado, en m;
C : coeficiente cuyo valor se toma de la tabla
Coeficientes C
Tipo de forjado
Tipo de carga
Tipo de tramo
Aislado Extremo Interior
Viguetas armadas Con tabiques o muros
Cubiertas
17
20
21
24
24
27
Viguetas pretensadas Con tabiques o muros
Cubiertas
19
22
23
26
26
29
40
32
25
20
16
12
10
8
Wk=0.4
300
300
250
200
150
100
Wk=0.4
60
Losas alveolares
pretensadas (*)
Con tabiques o muros
Cubiertas
36
45
- -
(*) Piezas pretensadas proyectadas de forma que, para la combinación poco frecuente no llegue a superarse el
momento de fisuración
Cálculo de la flecha instantánea
El módulo secante es: 38500cm cmE f , con los valores en N/mm2
El módulo tangente es: tg c E cmE E E
Con:
1.30 1.175400
ckE
f , con fck en N/mm
2
,28 8cm ckf f [N/mm2]
del módulo a una edad distinta de los 28 días, el valor obtenido debería ser afectado por un coeficiente
( ), que es:
Edad del hormigón [días] 3 7 28 90 365
Hormigón de endurecimiento normal 0.63 0.80 1.00 1.09 1.16
Hormigón de endurecimiento rápido 0.74 0.87 1.00 1.07 1.09
Momento de inercia equivalente (eI ) es:
3 3
1f fe b f b
a a
M MI I I I
M M
donde:
eI : inercia equivalente
aM : momento flector máximo aplicado a la sección hasta el instante en que se evalúa la flecha.
fM : momento nominal de fisuración de la sección, que se calcula mediante la expresión,
,f ct fl bM f W
,ct flf : resistencia a flexotracción del hormigón
23, 0.30ct fl ckf f , que es válido para 50ckf Mpa y h < 600 mm
bW : módulo resistente de la sección bruta respecto a la fibra extrema de la sección.
bI : momento de inercia de la sección bruta.
fI : momento de inercia de la sección fisurada en flexión simple, que se obtiene despreciando la zona de
hormigón en tracción y homogeneizando las áreas de las armaduras activas adherentes y pasivas
multiplicándolas por el coeficiente de equivalencia.
Para secciones rectangulares (b x h), puede usarse:
232
0.30
6
ck
f
fM b h
; 2
fM K b h , con b y h en [m] y fM en [kN m].
Donde el valor de K es función del tipo de hormigón y vale:
Hormigón K
HA 25 427.49
HA 30 482.74
HA 35 534.99
HA 40 584.80
HA 45 632.57
HA 50 678.60
Posición de la línea neutra (x).
61
2
121 2
12
1
1
2 1
1 1 1
1
r
dx n d
n
además, para el caso en que se considere:
2 1
1
20 1 1x n d
n
donde es:
s
c
En
E ; 1
1
A
b d
, cuantía geométrica en tracción ; 2
2
A
b d
, cuantía geométrica en compresión
(armadura de cálculo o montaje) ; 1 2 'r d d d
La inercia de la sección fisurada se halla como:
1 23 3
f
x xI n A d x d n A x r r
Además se puede hallar fI de forma similar para secciones en T
Cuando se tengan distintos valores de eI a lo largo de la pieza, se debe hallar un valor común para utilizar
en la formula de flecha.
a) En elementos simplemente apoyados, en la sección central (ecI )
b) En voladizos, en la sección de empotramiento
c) En vanos internos de elementos continuos como:
1 20.50 0.25 0.25e ec ee eeI I I I
Donde eeiI es la inercia equivalente de la sección en el apoyo i
d) En vanos extremos, con continuidad solo en uno de los apoyos:
0.75 0.25e ec eeI I I
Cálculo de la flecha diferida
Será:
d if f
Donde es:
df : fecha diferida
if : flecha instantánea
Con:
21 50
Según EHE:
2 : cuantía geométrica de la armadura de compresión (2A ) ya definida.
: coeficiente que depende de la duración de la carga (t) y que toma los valores:
5 ó más años 2.0
1 año 1.4
6 meses 1.2
3 mes 1.0
1 mes 0.7
2 semanas 0.5
Flecha total o flecha máxima es:
max total i df f f f
62
Estado Límite de Vibraciones
Para las pasarelas peatonales se recomienda evitar frecuencias comprendidas entre 1.6 y 2.4 Hz y entre
3.5 y 4.5 Hz. También se dan unos valores de frecuencias críticas (o rangos de frecuencias) que deben
ser evitadas para distintas situaciones, por ejemplo:
Estructura Frecuencia [Hz]
Gimnasios o palacios de deportes > 8.0
Salas de fiestas o conciertos sin asientos fijos > 7.0
Salas de fiestas o conciertos con asientos fijos > 3.4
7. VIGAS EN T Definición geométrica de sección en T
Unas fórmulas muy utilizadas son:
a) Para alas comprimidas:
1
5e wb b l b
donde, l es la distancia entre puntos de momento nulo
En el caso particular de vigas de borde, con ala en un solo sentido:
1
10e wb b l b
b) Para alas traccionadas:
8e w fb b h b
Cuando sean vigas de borde:
4e w fb b h b
h
hf
bw
b
be
b1 b1
Ala
Nervio
Donde es:
b: anchura de la cabeza
be: anchura eficaz de la
cabeza
b1: vuelo eficaz del ala
bw: anchura del nervio
h: altura total
hf:: altura de la cabeza
63
64
' 2w w ob b b , si 0ob h
' 2w w ob b h , si 0ob h
65
Ecuaciones de equilibrio y compatibilidad para secciones T
Suponiendo un valor de cc genérico y poniendo en la fórmula
cc fuera de fcd ,
La armadura se encontrará como:
1. Para 0dM M ,
2
d
cd
M
b d f
cdT b d f
2. Para 0 d nM M M ,
Se puede hacer:
00 2( )
d
w f cd
M M
b d h f
0
fcc
w f
hb
b d h
Donde de forma simplificada se puede hacer:
(1 ) fcc
w f
hb
b d h
Finalmente:
( )w f cdT b d h f
También se puede usar:
0
0.90
dcc cd f
f
M MT f b h
d h
3. Para d nM M , es necesaria la colocación de armadura comprimida y, de forma aproximada:
2
2
d nM M
d d
1 20.36 ( )cc cd w w ff b d b b h
Comprobación de la sección en T (para 0.85cc )
Para realizar una comprobación ( d uM M ), se parte de considerar que no existe armadura de
compresión y, desde la primera ecuación de equilibrio, se halla el valor de la profundidad del bloque
comprimido (y):
10 0.85 cd w w f ydf b y b b h A f
y=0.36 d M0
Mn
hf
y=hf
x=y/0.80=1.25 hf
y=0.36 d
x=y/0.80=0.45 d
0 0.5cc cd f fM f b h d h 20.295 0.5n cc cd w w f fM f b d b b h d h
66
1
0.85
yd w f
cd w w
A f b b hy
f b b
, si sale negativo significa que cae en la placa y se hallará como:
1
0.85
yd
cd
A fy
f b
Hallado el valor de y, pueden presentarse 3 casos:
1. Para fy h , la fibra límite de tensión de compresión cae dentro de la cabeza. El momento último
resistente se halla como en una sección rectangular que tenga ancho b:
0.85 0.5u cdM f b y d y
2. Para 0.36fh y d , la fibra cae en el nervio y el momento se deduce como:
0.85 0.5 0.5u cd w w f fM f b y d y b b h d h
3. Para 0.36y d . Este es el caso no habitual. Aquí, el valor de y hallado puede no ser correcto.
Esta sección está conceptualmente mal diseñada.
Método aproximado para d nM M
Un método aproximado y sencillo de utilizar es el que se da en las siguientes tablas. El método tiene más
precisión para valores de 0dM M . Aquí se saca directamente el valor de . En las tablas se entra con
los valores de hf/d, b/bw y .
Donde es:
2
d
cd
M
b d f
El uso de los valores obtenidos de estas tablas garantizan estar en el D3 y se dan los valores límites de
y en cada combinación posible. Lógicamente será necesario interpolar (doble interpolación) con
bastante frecuencia.
hf/d=0.10 b/bw
1 2 4 5 6 8 10
0.037 0.038 0.038 0.038 0.038 0.038 0.038 0.038
0.040 0.042 0.042 0.042 0.042 0.042 0.042 0.042
0.050 0.052 0.052 0.052 0.052 0.052 0.052 0.052
0.060 0.063 0.063 0.063 0.063 0.063 0.063 0.063
0.070 0.074 0.074 0.074 0.074 0.074 0.074 0.074
0.080 0.085 0.085 0.085 0.084 0.084 0.084 0.084
0.090 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096
0.100 0.107 0.107 0.108 0.108 0.109 0.110 0.111
0.110 0.119 0.119 0.121 0.122 0.124 0.128
0.120 0.131 0.132 0.136 0.138 0.142
0.130 0.143 0.144 0.152 0.158
0.140 0.155 0.158 0.171
0.150 0.167 0.172
0.160 0.179 0.187
0.170 0.192 0.203
0.180 0.206 0.220
0.190 0.219 0.238
lim 0.327 0.204 0.142 0.130 0.122 0.112 0.105
lim 0.448 0.267 0.176 0.158 0.146 0.130 0.121
67
hf/d=0.15 b/bw
1 2 4 5 6 8 10
0.075 0.079 0.079 0.079 0.079 0.079 0.079 0.079
0.080 0.085 0.085 0.085 0.085 0.085 0.085 0.085
0.090 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096
0.100 0.107 0.107 0.107 0.107 0.107 0.107 0.107
0.110 0.119 0.119 0.119 0.119 0.119 0.119 0.119
0.120 0.131 0.131 0.131 0.131 0.131 0.131 0.131
0.130 0.143 0.143 0.143 0.143 0.143 0.143 0.143
0.140 0.155 0.155 0.156 0.157 0.157 0.159
0.150 0.167 0.168 0.171 0.173 0.175
0.160 0.179 0.182 0.188 0.192
0.170 0.192 0.196 0.207
0.180 0.206 0.211
0.190 0.219 0.227
0.200 0.233 0.244
0.210 0.247 0.263
0.220 0.261 0.283
lim 0.327 0.222 0.170 0.160 0.153 0.144 0.139
lim 0.448 0.288 0.207 0.192 0.181 0.168 0.160
hf/d=0.20 b/bw
1 2 4 5 6 8 10
0.115 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125
0.120 0.131 0.131 0.131 0.131 0.131 0.131 0.131
0.130 0.137 0.137 0.137 0.137 0.137 0.137 0.137
0.140 0.155 0.155 0.155 0.155 0.155 0.155 0.155
0.150 0.167 0.167 0.167 0.167 0.167 0.167 0.167
0.160 0.179 0.179 0.179 0.179 0.179 0.180 0.180
0.170 0.192 0.193 0.193 0.194 0.194 0.195
0.180 0.206 0.206 0.209 0.210 0.212
0.190 0.219 0.221 0.226
0.200 0.233 0.236
0.210 0.247 0.252
0.220 0.261 0.270
0.230 0.276 0.289
0.240 0.291 0.310
lim 0.327 0.240 0.196 0.188 0.182 0.175 0.170
lim 0.448 0.310 0.240 0.226 0.216 0.205 0.198
Cálculo a cortante en secciones T o doble T
El cálculo a cortante de la sección en T o doble T se realiza con el mismo procedimiento que para las
secciones rectangulares.
h=hw+hf
bw
h=hw+2 hf
bw
68
8.CIMENTACIONES Tipos de suelos
TERRENOS
SIN COHESIÓN
COMPOSICIÓN
CARACTERISTICAS
CLASIFICACIÓN
Formaciones Geologicas
Notable resistencia a compresión
Isotropas sin visible estratificación 30 a 60 kp/cm2
Estratificadas con visible estratificación 10 a 20 kp/cm2
ROCAS
COMPOSICIÓN
Gravas y gravillas con d>2mm
Arenas gruesas y medias 2>d>0,2 mm
Arenas finas 0,2>d>0,06 mm
Limos inorgánicos d<0,06 mm
CARACTERISTICAS Predomina resistencia al corte
CLASIFICACIÓN
Graveras
Arenosos
gruesos
Arenosos
finosPredominan arenas finas 1,6 a 3,2 kp/cm2
Predominan gravas y gravillas 4 a 8 kp/cm2
Predominan arenas gruesas y medias 2,5 a 5 kp/cm2
TERRENOS
COHERENTES
COMPOSICIÓN
CARACTERISTICAS
CLASIFICACIÓN
Predomina la resistencia a la cohesión
Fangos, terrenos organicos, rellenos
Arcillosos duros Se rompen dificilmente a mano 4 kp/cm2
Arcillosos semiduros Se amasan dificilmente a mano 2 a 4 kp/cm2
Arcillosos blandos Se amasan facilmente 1a 2 kp/cm2
Arcillosos fluidos Fluyen < 1 kp/cm2
TERRENOS
DEFICIENTES
COMPOSICIÓN
CARACTERISTICAS
CLASIFICACIÓN
Arcillas
No aptos para cimentación
Fangos inorganicos
Terrenos organicos
Terrenos de relleno
69
70
71
72
VALORES DE K30 PROPUESTOS POR DIVERSOS AUTORES
Clases de suelo K30 (kp/cm3)
Arena fina de playa 1,0 - 1,5
Arena floja, seca o húmeda 1,0 - 3,0
Arena media, seca o húmeda 3,0 - 9,0
Arena compacta, seca o húmeda 9,0 - 20,0
Gravilla arenosa floja 4,0 - 8,0
Gravilla arenosa compacta 12,0 - 25,0
Grava arenosa floja 7,0 - 12,0
Grava arenosa compacta 12,0 - 30,0
Margas arcillosas 20,0 - 40,0
Rocas blandas o algo alteradas 30,0 - 500
Rocas sanas 800 - 30.000
73
Bases de cálculo - ELS (Condiciones de Equilibrio) (vuelco, deslizamiento y tensiones en el suelo)
- ELU (Cálculo de Cim como HA) (flexión, cortante, punzonamiento)
- ELD (Durabilidad) (fisuración)
Predimensionados:
A) Peso propio:
P = 0.10 N (para zapatas con esfuerzos normales bajos) P = 0.05 N (para zapatas con esfuerzos normales altos) O también con una fórmula que es:
P = N β
β = (14 – 0.02 σadm
)/100; con σadm
en kN/m2
)
B) Canto:
/t N a b tension uniforme con N mayorado ( en kN/m2 )
1.10.25
370
t
t
d v
( ) / 2ov a a vuelo
74
ELS. Cálculo de Vuelco, deslizamiento y tensiones
1) Vuelco:
Me ≥ M
v
(N + P) (a/2) ≥ (M+V h) 1
2) Deslizamiento:
(N + P) tg φd ≥
2V → Arenas (o granulares)
A Cd ≥
2 V → Arcillas (o cohesivos)
Donde: φd = 2/3 φ; φ=ang roz int;
1 =2 = 1.5 (coefic. seg.)
A = Superficie de la zapata; Cd = 0.5 C; C=cohesión
3) Tensiones
Se halla
Hay 3 casos posibles
a) e = M/N = 0 (diagrama uniforme)
b) e = M/N a/6
Se hacen 2 verificaciones:
max min
2med adm
max 1.25 adm
c) e = M/N > a/6 (no deseable si es posible)
Se hace 1 verificación,
De forma APROX: max 1.25 adm ; Otra fórmula: max
4
3 ( 2 )
N
a e b
max
tP M
a b W
min
tP M
a b W
( )M V h M Me
N P N P N
En etapa de Predim usamos M/N, luego es
suficiente verificar con M/Pt
t
adm
P
a b
75
Clasificación de las cimentaciones de hormigón estructural
Los encepados y zapatas de cimentación pueden clasificarse en rígidos y flexibles.
Para zapata rígida
El método general de análisis más adecuado es el de bielas y tirantes. No obstante puede utilizarse el modelo
general de flexión simple ya visto. Para zapatas rectangulares sometidas a flexocompresión recta, siempre
que se pueda despreciar el efecto del peso de la zapata y de las tierras situadas sobre ésta.
La armadura principal se obtendrá para resistir la tracción Td indicada en el modelo, que resulta:
0( )6.8
d
d
NT a a
d
(Nd centrada)
1
1dd 1 s yd
R = = TT x A f
0,85 d (Nd excéntrica)
Con: fyd 400 N/mm
2 ;Nd = normal de cálculo sin el peso propio de la zapata; R1d : Fuerza resultante del trapecio
hasta a/4 en el ancho de la zapata; x1, la distancia del centro de gravedad del trapecio a la línea de carga de N1d. Se puede obtener considerando un rectángulo más un triángulo como:
1rect rect trian trian
rect trian
A x A xx
A A
Para Encepados sobre dos pilotes (ver más adelante)
La armadura se proyectará para resistir la tracción de cálculo Td de la figura, que puede tomarse como:
1
dd s yd
( v + 0,25 a )N = = TT A f
0,85 d con fyd 400 N/mm
2 y donde Nd corresponde al axil de cálculo del pilote
más cargado.
Cimentaciones rígidas
.- Los encepados cuyo vuelo v en la
dirección principal de mayor vuelo es
menor que 2h.
.- Las zapatas cuyo vuelo v en la
dirección principal de mayor vuelo es
menor que 2h.
.- Los pozos de cimentación.
.- Los elementos masivos de
cimentación: contrapesos, muros
masivos de gravedad, etc.
Según EHE: hmin = 25 cm para zapatas;
y hmin = 40 cm para encepados
1 1
2;
2
d d
d d
N MR N
a
76
Cimentaciones flexibles
.- Los encepados cuyo vuelo v en la dirección principal de mayor vuelo es mayor que 2h. .
.- Las zapatas cuyo vuelo v en la dirección principal de mayor vuelo es mayor que 2h.
.- Las losas de cimentación.
Cálculo a flexión. Sección de referencia S1
La sección de referencia que se considerará para el cálculo a flexión, se define como a continuación se indica:
es plana, perpendicular a la base de la zapata o encepado y tiene en cuenta la sección total de la zapata o
encepado. Es paralela a la cara del soporte o del muro y está situada detrás de dicha cara a una distancia
igual a 0,15a, siendo a la dimensión del soporte o del muro medida ortogonalmente a la sección que se
considera. El canto útil de esta sección de referencia se tomará igual al canto útil de la sección paralela a la
sección S1 situada en la cara del soporte o del muro. En todo lo anterior se supone que el soporte o el muro
son elementos de hormigón. Si no fuera así, la magnitud 0,15a se sustituirá por:
- 0,25a, cuando se trate de muros de ladrillo o mampostería. - La mitad de la distancia entre la cara del soporte y el borde de la placa de acero, cuando se trate de soportes metálicos sobre placas de reparto de acero.
77
Cálculo a Flexión por Método General de Flexión (para los 2 casos):
1) Tensión uniforme
Vuelos:
v = MAX (v
a;v
b)
2
0( 0.15 )2
d a
bM v a
Calculo a flexión Simple con Tabla
2) Tensión no uniforme
2
12
rect
mM b
21
3triangM b m
Luego: 1 dM M Calculo a flexión Simple con Tabla
Cálculo a Cortante:
max
78
Vd ≤ V
u
Donde: Vd: cortante actuante y V
u: cortante resistido
Vd = σ
1 b (v-d)
(Aplicar rectángulo + triángulo si la distribución de tensiones es trapecial hasta S2. También es
aceptable utilizar un valor medio)
Vu = V
cu= 0.12 ξ (100 ρ
1 fck
)1/3
* b d
ξ = 1 + (200 /d)1/2
(engranaje de los áridos; d en mm)
ρ1=CG = A
s / (b d) ≤ 0.02 (20 por mil)
Cálculo a Punzonamiento
1) Comprobación en perímetro crítico:
sd rd
= tensión nominal de cálculo en el perímetro crítico
Con:
β = coeficiente de excentricidad de la carga (β = 1.15)
Fsd,ef
= esfuerzo de punzonamiento (resultante de acciones que actúan en la sección crítica)
µ1 = perímetro crítico
µ1 = 2a
1+2b
1+4 d
d = canto útil de la zapata
1/3
10.12 100rd ck
f
2) Comprobación en el perímetro del pilar:
Se hace una comprobación en el perímetro del pilar (µ0)
µ0 = 2a
1+2b
1
0
0.30d
cd
Nf
d
,
1
sd ef
sd rd
F
d
,sd ef sd dF F N
79
Colocación de la armadura
- La armadura va en Emparrillado - En rectangular el emparrillado en una dirección no puede ser < 20% del total de la otra
dirección - En el caso de zapatas cuadradas la disposición de armaduras será idéntica en ambas
direcciones. En el caso de zapatas rectangulares la armadura principal (paralela al lado a) se distribuye uniformemente. La armadura paralela al lado menor se reparte de forma que la armadura transversal necesaria As se distribuya en una proporción
En un ancho b alrededor del soporte, y el resto en las bandas. - La EHE establece CG mínimas (igual que losas), y se deben respetar siempre (se
calculan separadamente para cada dirección de armado, son 2 y 1.8 por mil para B400S y B500S respec)
Zapata con 2 Momentos
Usando el gráfico, donde x es el eje de absisas y
y el de ordenadas:
Luego, en zonas A, B y C:
Se verifican:
2[%]
b
a b
xx
Me
N
y
y
Me
N
xx
e
a y
y
e
b
;x x y
MAX
1
1
4
3
t
adm
P
a b
4 4 1
2 1 1 4( )cos
sen
sen
3 1 1 4
cos( )
cossen
1
1
4
3
t
adm
P
a b
t
med adm
P
a b
80
En zona D (en un punto 5 interior):
Para vuelco y deslizamiento
Se hace en las dos direcciones individualmente
Para el cálculo de la zapata como HA:
Ver si es rígida o flexible
En cada dirección, valor de Md, en S1
Cálculo de armaduras con Método general de Flexión
En cada dirección, valor de Vd en S2
Verificación con fórmula de cortante
Verificación a punzonamiento
5
5
t
adm
P
a b
81
Cimentaciones Profundas- Pilotes
Tope estructural de un pilote (simplificación de CTE-SE-C)
82
Procedimiento simplificado de NTE
83
84
85
Cálculo Estructural de Pilote (como elemento de HA, ELU)
Nu = Ft = F
c + F
s + F
e
F
t = Fuerza resistente total (Tope estructural)[kN] (cargas mayoradas)
Fc= Fuerza debido al Hº
Fs= Fuerza debido al acero
Fe= Fuerza debido a efecto de estribos helicoidales (efecto Poisson) (se desprecia en los
cálculos)
Para pilotes sin camisa (lo más común), se considera el 95 % del área del mismo. Se considera cansancio del Hº con
Además, se usa un (pilote in situ) (Según EC2)
Armaduras de Pilotes:
Los pilotes trabajan a compresión (por lo que pueden tener pandeo)
En el caso de que puedan estar sometidos a esfuerzos horizontales o recibir cargas excéntricas necesitan armadura a flexión.
En el caso de pilotes hincados, la armadura debe garantizar la integridad del pilote durante la hinca.
Armaduras mínimas a disponer según EHE:
- Armadura mínima a colocar (C Mec min)
- Armadura máxima a colocar (C Mec max) (60% de la Fuerza del Hº)
- Diámetro barras igual o superior a 12 mm (se usa más 16 mm)
- Mínimo 6 barras (5 excepcionalmente en pilotes pequeños) - Cercos de diámetro superior a ¼ del diámetro de las barras longitudinales - St (o paso)
- Recubrimiento mínimo de 70 mm
2
0.952
c cd
DF f
s s ydF A f
,e se yd eF A f
0.85cc
0.1s dT N
1.65c
0.6s c cdT A f
15 L
ck
cd cc
c
ff
86
También se verifica esta cuantía mínima (minCG de EC2)
Para pilotes con Ac 0,5m
2
(D 80 cm) CG 0,5% (ó 5 ‰)
Para pilotes con 0,5 Ac 1m
2 (80<D 115 cm) A
s=2500 mm
2
Para pilotes con Ac 1m
2
(D>115 cm) CG 0,25% (ó 2.5 ‰)
Cálculos de pilotes con N y M
Se verifica (con a2: distancia entre ejes de pilotes):
Caso general de n pilotes y 2 momentos
Encepados:
2 Pilotes
El val
Longitudinal superior mínima: 10% de Td
Cercos horizontales: CG=4‰ de b’xh Cercos verticales: CG=4‰ de b’xL
b’=min(h/2,ancho)
( 0.25 )
0.85
pd
d
N v aT
d
Npd es el esfuerzo axial mayorado que tenga el pilote más cargado (en caso de que sean distintos). Cuidado que no es el N del pilar. En el caso de cargas iguales sería:
Npd=N/2
Armadura Secundaria:
Armadura Principal:
(inferior)
1,2
22
d d
pd
N MN
a 1
22
d dpd
N MN
a 2
22
d d
pd
N MN
a
1pd uN N 2 0pdN
2 2( ) ( )
y id x iid
i i
M xN M yN
n x y
Si solo existe un momento:
2( )
y id
id
i
M xNN
n x
Se intenta poner:
1. Pilotes simétricos respecto a ejes centrales
2. Las distancias entre ejes de pilotes (l
1 y l
2) con valor
menor a 4D (diámetro pilote)
87
3 Pilotes
(principal entre pilotes)
Ts = 25 % Ts (secundaria inferior entre bandas de pilotes)
4 Pilotes
(principal entre pilotes dirección 1)
(principal entre pilotes dirección 2)
Secundaria en cara inferior entre bandas dirección 1: 25% de T
s1
Secundaria en cara inferior entre bandas dirección 2: 25% de Ts2
9. PLACAS/LOSAS
Cantos mínimos de placas, Losas y forjador bidireccionales (reticulares)