Projaek Akhir Mtk

Oleh:

Abraham Octavianus Butar-butar

1482002

Zefanya G.Lumban Tobing

1482010

JURUSAN SISTEM INFORMASI

FAKULTAS TEKNOLOGI INFORMASI

UNIVERSITAS ADVENT INDONESIA

BANDUNG

2014 Halaman ke-1

PRAKATA

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa

atas terselesainya Tugas Projek Matematika-I. Pengerjaan

projek ini bertujuan untuk melengkapi bahan pembahasan

mata kuliah Matematika-I selama satu semester yang

merupakan mata kuliah pilihan dan sebagai acuan bagi

mahasiswa yang ingin mendalami pengetahuan tentang

Matematika. Projek ini membahas tentang

bilangan,exponen,logaritma,notasi sigma dan phi,barisan

dan deret,trigonometri,bunga majemuk dan harga

tunai,persamaan dan kesamaan,dan fungsi. Penulisan projek

ini merupakan bagian dari kegiatan perbaikan nilai dan

metode pembelajaran mahasiswa. Projek ini dilengkapi juga

dengan materi-materi perkuliahan yang dijelaskan dan

diterangkan oleh Sir E.J.Solaiman.

Kami menyadari bahwa hasil pekerjaan kami ini masih belum

sempurna. Disamping itu, beliau sangat menyarankan agar

mahasiswa membaca,mempelajari dan mengulangi apa yang

telah diterangkan kepada kami guna melengkapi kekurangan

Halaman ke-2

yang ada. Kami mengucapkan terima kasih kepada Sir yang

telah memberikan kesempatan berharga kepada kami.

Akhir kata,dengan segala kerendahan hati kami mengucapkan

terima kasih dan mohon maaf bila ada kesilapan dalam

pengerjaan tugas ini.

Bandung,November 2014

Penulis

Abraham O Butar-butar

&

Zefanya G.Lumban Tobing

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN

JUDUL....................................................

..................................... 1 Halaman ke-3

PRA

KATA.....................................................

.................................................. 2

DAFTAR

ISI......................................................

............................................... 3

PENDAHULUAN..............................................

............................................... 5

BAB I :

BILANGAN.................................................

........................................ 6

1.1. Pengertian

Bilangan...............................................

................................ 6

1.2. Teori

Bilangan...............................................

........................................ 7

1.3. Konversi

Bilangan...............................................

.................................. 20

BAB II :

EXPONEN..................................................

........................................ 26

1.1 Bilangan Berpangkat dan Sifat-

sifatnya............................................

..... 26

Halaman ke-4

1.2 Pangkat Tak

Sebenarnya..........................................

............................... 27

BAB III :

LOGARITMA................................................

.................................... 28

1.1 Pengertian

Logaritma...........................................

.................................. 28

1.2 Sifat-Sifat

Logaritma...........................................

................................... 29

BAB IV : NOTASI SIGMA &

PHI......................................................

............. 33

1.1 Notasi

Sigma...............................................

........................................... 33

1.2 Sifat-sifat Notasi

Sigma...............................................

.......................... 34

1.3 Notasi

π............................................

....................................... 35BAB V : BARISAN DAN DERET…………………………………………... 36

1.1 Pengertian Barisan dan Deret………………………………………… 36

Halaman ke-5

Halaman

BAB VI :

TRIGONOMETRI.............................................

............................... 38

1.1 Fungsi Trigonometri Sudut Lancip....................................................... 38

1.2 Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku-siku........................... 42

1.3 Perbandingan Trigonometri Pada Sudut Khusus.................................. 44

1.4 Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran....................... 45

1.5 Rumus Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut –Sudut di SemuaKuadran.................................................................................................

46

BAB VII : BUNGA MAJEMUK DAN HARGA TUNAI.............................. 471.1 Bunga Majemuk(bunga

bersusun)....................................................... 47

Halaman ke-6

1.2 Harga Tunai(kontan)............................................................................ 50

BAB VIII : PERSAMAAN DAN KESAMAAN............................................. 511.1 Persamaan...........................................

..................................................51

1.2 Persamaan Kuadrat............................................................................... 52

1.3 Kesamaan..............................................................................................

531.4 Memecahkan

Pecahan........................................................................... 53

BAB IX : FUNGSI............................................................................................ 541.1 Pengertian

Fungsi.................................................................................. 54

1.2 Daerah Definisi dan Daerah Fungsi...................................................... 54

1.3 Macam-macam Fungsi.......................................................................... 54

1.4 Jenis Fungsi........................................................................................... 55

BAB X : LIMIT FUNGSI................................................................................. 64

Halaman ke-7

1.1 Pengertian Limit.................................................................................... 641.2 Sfat-sifat Limit....................................................................................... 651.3 Limit Fungsi Trigonometri.................................................................... 671.4 Fungsi Kontinu...................................................................................... 69

KESIMPULAN DAN SARAN......................................................................... 74BIODATA.........................................................................................................

75DAFTAR PUSTAKA........................................................................................ 77

PENDAHULUAN

Latar Belakang Masalah

Halaman ke-8

Manusia sebagai makhluk ciptaan Tuhan YME dan sebagai

wakil Tuhan di bumi yang menerima amanat-Nya untuk

mengelola kekayaan alam. Sebagai hamba Tuhan yang

mempunyai kewajiban untuk beribadah dan menyembah Tuhan

Sang Pencipta dengan tulus Dalam kehidupan masnusai tidak

terlepas dari hitung – menghitung .Disegala macam

sosialisasinya pastilah manusia menggunakan hal

tersebut.Dalam dunia pendidikan ,hal tersebut dinamakan

ilmu hitung atau yang lebih popular dengan sebutan

matematika yang identik dengan hitung- mengitung ilmu

hitung adalah ilmu pasti yang tidak dapat diterka

jawapanya hanya menggunakan anagan –angan atau

pendapaat .semua harus berdasarkan padadalil dan rumus.

Oleh karna itulah matimatika dinamakan ilmu ekstat

atauilmu pasti. Karna matematika berhubungan dengan hal

pasti saja.hampir semua manusia yang pernah belajar

mengenal ilmu ini karna diseluruh dunia ilmu ini

dipelajari.dalam perkulihan kali ini , kami mahasiswa

mendapat tugas dari si sulaiman untuk membuat makalah

tentang Matimatika 1

Tujuan

Tujuan dalam penulisan makalah ini adalah untuk menambah

pengetahuan matematika dan diharapkan bermanfaat bagi

kita semua.

Halaman ke-9

Metode Penulisan

Penulis mempergunakan metode teknologi informasi.

Cara-cara yang digunakan pada penulisan makalah ini

menggunakan internet.

Studi Pustaka

Dalam metode ini penulis artikel yang berkaitan denga

penulisan makalah ini.

BAB I

BILANGAN

I. PENGERTIAN BILANGAN

System bilangan (number system) adalah suatu

cara untuk mewakili besaran dari suatu item

fisik. Sistem bilanan yang banyak dipergunakan

oleh manusia adalah system biilangan desimal,

yaitu sisitem bilangan yang menggunakan 10 macam

symbol untuk mewakili suatu besaran.Sistem ini

banyak digunakan karena manusia mempunyai sepuluh

jari untuk dapat membantu perhitungan. Lain

Halaman ke-10

halnya dengan komputer, logika di komputer

diwakili oleh bentuk elemen dua keadaan yaitu off

(tidak ada arus) dan on (ada arus). Konsep inilah

yang dipakai dalam sistem bilangan binary yang

mempunyai dua macam nilai untuk mewakili suatu

besaran nilai.

Selain system bilangan biner, komputer juga

menggunakan system bilangan octal dan

hexadesimal.

II. Teori Bilangan

1. Bilangan Desimal

Sistem ini menggunakan 10 macam symbol yaitu

0,1,2,3,4,5,6,7,8,dan 9. system ini menggunakan

basis 10. Bentuk nilai ini dapat berupa integer

desimal atau pecahan. Halaman ke-11

Integer desimal :

adalah nilai desimal yang bulat, misalnya 8598

dapat diartikan :

8 x 103 = 8000

5 x 102 = 500

9 x 101 = 90

8 x 100 = 8

8598

position value/palce

value absolute

value

Absolue value merupakan nilai untuk masing-masing

digit bilangan, sedangkan position value adalah

merupakan penimbang atau bobot dari masing-masing

digit tergantung dari letak posisinya, yaitu

nernilai basis dipangkatkan dengan urutan

posisinya.

Pecahan desimal :

Halaman ke-12

Adalah nilai desimal yang mengandung nilai

pecahan dibelakang koma, misalnya nilai 183,75

adalah pecahan desimal yang dapat diartikan :

1 x 10 2 = 100

8 x 10 1 = 80

3 x 10 0 = 3

7 x 10 –1 = 0,7

5 x 10 –2 = 0,05

183,75

2. Bilangan Biner

Sistem bilangan binary menggunakan 2 macam

symbol bilangan berbasis 2digit angka, yaitu 0

dan 1.

Contoh bilangan 1001 dapat diartikan :

1 0 0 1

1 x 2 0 = 1

0 x 2 1 = 0

0 x 2 2 = 0

1 x 2 3 = 8 Halaman ke-13

10 (10)

Operasi aritmetika pada bilangan Biner :

a.Penjumlahan

Dasar penujmlahan biner adalah :

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 dengan carry of 1, yaitu 1 +

1 = 2, karena digit terbesar ninari 1, maka

harus dikurangi dengan 2 (basis), jadi 2 – 2

= 0 dengan carry of 1

contoh :

1111

10100 +

100011

atau dengan langkah :

1 + 0 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 dengan carry of 1 Halaman ke-14

1 + 1 + 1 = 0

1 + 1 = 0 dengan carry of 1 1 0

0 0 1 1

b.Pengurangan

Bilangan biner dikurangkan dengan cara yang

sama dengan pengurangan bilangan desimal.

Dasar pengurangan untuk masing-masing digit

bilangan biner adalah :

0 - 0 = 0

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0

0 – 1 = 1 dengan borrow of 1, (pijam 1

dari posisi sebelah kirinya).

Contoh :

11101

1011 -

10010

dengan langkah – langkah :

Halaman ke-15

1 – 1 = 0

0 – 1 = 1 dengan borrow of 1

1 – 0 – 1 = 0

1 – 1 = 0

1 – 0 = 1

1 0 0

1 0

c.Perkalian

Dilakukan sama dengan cara perkalian pada

bilangan desimal. Dasar perkalian bilangan

biner adalah :

0 x 0 = 0

1 x 0 = 0

0 x 1 = 0

1 x 1 = 1contoh

Desimal Biner

14 1110

Halaman ke-16

12 x

28

14

+

168

1100 x

0000

0000

1110

1110 +

10101000

d.pembagian

Pembagian biner dilakukan juga dengan cara

yang sama dengan bilangan desimal. Pembagian

biner 0 tidak mempunyai arti, sehingga dasar

pemagian biner adalah :

0 : 1 = 01 : 1 = 1

Desimal Biner5 / 125 \

25

10

-

25

101 / 1111101 \

11001

101 -

101

101

-

Halaman ke-17

25 -

0

0101

101 -

0

3. Bilangan Oktal

Sistem bilangan Oktal menggunakan 8 macam

symbol bilangan berbasis 8 digit angka, yaitu

0 ,1,2,3,4,5,6,7.

Position value system bilangan octal adalah

perpangkatan dari nilai 8.

Contoh :

12(8) = …… (10)

2 x 8 0 = 2

1 x 8 1 =8

10

Jadi 10 (10)

Operasi Aritmetika pada Bilangan Oktal

a.Penjumlahan

Halaman ke-18

Langkah-langkah penjumlahan octal :

- tambahkan masing-masing kolom secara

desimal

- rubah dari hasil desimal ke octal

- tuliskan hasil dari digit paling kanan

dari hasil octal

- kalau hasil penjumlahan tiap-tiap kolom

terdiri dari dua digit, maka digit

paling kiri merupakan carry of untuk

penjumlahan kolom selanjutnya.Contoh :

Desimal Oktal

21

87 +

108

25

127 +

154

5 10 + 7 10

= 12 10 = 14 8

2 10 + 2 10 +

1 10 = 5 10 = 5 8

1 10

= 1 10 = 1 8

Halaman ke-19

b.Pengurangan

Pengurangan Oktal dapat dilaukan secara sama

dengan pengurangan bilangan desimal.Contoh :

Desimal Oktal

108

87 -

21

154

127 -

25

4 8 - 7 8

+ 8 8 (borrow of) = 5 8

5 8 - 2 8 - 1

8 = 2 8

1 8 - 1 8

= 0 8

c.Perkalian

Langkah – langkah : Halaman ke-20

- kalikan masing-masing kolom secara

desimal

- rubah dari hasil desimal ke octal

- tuliskan hasil dari digit paling kanan

dari hasil octal

- kalau hasil perkalian tiap kolol terdiri

dari 2 digit, maka digit paling kiri

merupakan carry of untuk ditambahkan

pada hasil perkalian kolom selanjutnya.Contoh :

Desimal Oktal

14

12 x

28

14 +

168

16

14 x

70 4 10 x 6 10 = 24 10 = 30 8

4 10 x 1 10 + 3 10 = 7 10 = 7 8

16

14 x

70

16

Halaman ke-21

1

10 x 6 10 = 6 10 = 6 8

1

10 x 1 10 = 1 10 = 1 8

16

14 x

70

16 +

250 7 10 + 6 10 = 13 10 = 15 8

1 10 + 1 10 = 2 10 = 2 8

d. Pembagian

Desimal Oktal 12 / 168

\ 14

12 -

48

14 / 250 \ 16

14 - 14 8

x 1 8 = 14 8

110

110 - 14 8 x

Halaman ke-22

48 –

0

6 8 = 4 8 x 6 8 = 30 8

0

1 8 x 6 8 = 6 8 + 110 8

4. Bilangan Hexadesimal

Sistem bilangan Oktal menggunakan 16 macam

symbol bilangan berbasis 8 digit angka, yaitu

0 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,Edan F

Dimana A = 10, B = 11, C= 12, D = 13 , E = 14 dan

F = 15

Position value system bilangan octal adalah

perpangkatan dari nilai 16.

Contoh :

C7(16) = …… (10)

7 x 16 0 = 7 Halaman ke-23

C x 16 1 = 192

199

Jadi 199 (10)

Operasi Aritmetika Pada Bilangan Hexadesimal

a.Penjumlahan

Penjumlahan bilangan hexadesimal dapat

dilakukan secara sama dengan penjumlahan

bilangan octal, dengan langkah-langkah

sebagai berikut :

Langkah-langkah penjumlahan hexadesimal :

- tambahkan masing-masing kolom secara

desimal

- rubah dari hasil desimal ke hexadesimal

- tuliskan hasil dari digit paling kanan

dari hasil hexadecimal

- kalau hasil penjumlahan tiap-tiap kolom

terdiri dari dua digit, maka digit

paling kiri merupakan carry of untuk

penjumlahan kolom selanjutnya.Contoh :

Desimal Hexadecimal

Halaman ke-24

2989

1073 +

4062

BAD

431 +

FDE

D 16 + 1 16 = 13 10 + 110 =

14 10 = E 16

A 16 + 3 16 = 10 10 + 3 10 =

13 10 =D 16

B16 + 4 16 = 1110 + 4 10 =

15 10 = F 16

b.Pengurangan

Pengurangan bilangan hexadesimal dapat

dilakukan secara sama dengan pengurangan

bilangan desimal.

Contoh :

Desimal Hexadecimal

Halaman ke-25

4833

1575 -

3258

12E1

627 -

CBA

16 10 (pinjam) + 1 10 - 710

= 10 10 = A 16

14 10 - 7 10 - - 1 10

(dipinjam) = 11 10 =B 16

1610 (pinjam) + 2 10 - 610

= 12 10 = C 16

1 10 – 1 10 (dipinjam) 0

10 = 0 16

c.Perkalian

Langkah – langkah :

- kalikan masing-masing kolom secara

desimal

- rubah dari hasil desimal ke octal

- tuliskan hasil dari digit paling kanan

dari hasil octal

Halaman ke-26

- kalau hasil perkalian tiap kolol terdiri

dari 2 digit, maka digit paling kiri

merupakan carry of untuk ditambahkan

pada hasil perkalian kolom selanjutnya.Contoh :

Desimal Hexadesimal

172

27

x

1204

344

+

4644

AC

1B x

764

C 16 x

B 16 =12 10 x 1110= 84 16

A16 x B16

+816 = 1010 x 1110+810=7616

AC

1B x

764

AC

C16

x 116 = 1210 x 110 =1210=C16

A16

Halaman ke-27

x 116 = 1010 x110 =1010=A 16

AC

1B x

764

AC +

1224

616 + C16 =

610 + 1210 = 1810 =12 16

716+A16 +116 =

710 x 1010 + 110=1810 = 1216

D. PembagianContoh :

Desimal Hexadecimal27 / 4646

\ 172

27-

194

1B / 1214 \ AC

10E - 1B16xA16 =

2710x1010=27010= 10E16

144

144- 1B 16 x C16 = Halaman ke-28

189 –

54

54 –

0

2710 x 10 10 = 3240 10

0

=14416

III. Konversi Bilangan

Konversi bilangan adalah suatu proses dimana

satu system bilangan dengan basis tertentu akan

dijadikan bilangan dengan basis yang alian.

Konversi dari bilangan Desimal

1.Konversi dari bilangan Desimal ke biner

Yaitu dengan cara membagi bilangan desimal

dengan dua kemudian diambil sisa

pembagiannya.

Halaman ke-29

Contoh :

45 (10) = …..(2)

45 : 2 = 22 + sisa 1

22 : 2 = 11 + sisa 0

11 : 2 = 5 + sisa 1

5 : 2 = 2 + sisa 1

2 : 2 = 1 + sisa 0 101101(2)

ditulis dari bawah ke atas

2.Konversi bilangan Desimal ke Oktal

Yaitu dengan cara membagi bilangan desimal

dengan 8 kemudian diambil sisa pembagiannya

Contoh :

385 ( 10 ) = ….(8)

385 : 8 = 48 + sisa 1

48 : 8 = 6 + sisa 0

601 (8) Halaman ke-30

3.Konversi bilangan Desimal ke Hexadesimal

Yaitu dengan cara membagi bilangan desimal

dengan 16 kemudian diambil sisa pembagiannya

Contoh :

1583 ( 10 ) = ….(16)

1583 : 16 = 98 + sisa 15

96 : 16 = 6 + sisa 2

62F (16)

Konversi dari system bilangan Biner

1.Konversi ke desimal

Yaitu dengan cara mengalikan masing-masing

bit dalam bilangan dengan position valuenya.

Contoh :

1 0 0 1

1 x 2 0 = 1

0 x 2 1 = 0

0 x 2 2 = 0

1 x 2 3 = 8

10 (10)

2. Konversi ke Oktal

Halaman ke-31

Dapat dilakukan dengan mengkonversikan tiap-

tiap tiga buah digit biner yang dimulai dari

bagian belakang.

Contoh :

11010100 (2) = ………(8)

11 010 100

3 2 4

diperjelas :

100 = 0 x 2 0= 0

0 x 2 1 = 0

1 x 2 2 = 4

4

Begitu seterusnya untuk yang lain.

3. Konversi ke Hexademial

Dapat dilakukan dengan mengkonversikan tiap-

tiap empat buah digit biner yang dimulai dari

bagian belakang.

Contoh :

11010100

1101 0100

Halaman ke-32

D 4

Konversi dari system bilangan Oktal

1.Konversi ke Desimal

Yaitu dengan cara mengalikan masing-masing

bit dalam bilangan dengan position valuenya.

Contoh :

12(8) = …… (10)

2 x 8 0 = 2

1 x 8 1 =8

10

Jadi 10 (10)

2.Konversi ke Biner

Dilakukan dengan mengkonversikan masing-

masing digit octal ke tiga digit biner.

Contoh :

Halaman ke-33

6502 (8) ….. = (2)

2 = 010

0 = 000

5 = 101

6 = 110

jadi 110101000010

3.Konversi ke Hexadesimal

Dilakukan dengan cara merubah dari bilangan

octal menjadi bilangan biner kemudian

dikonversikan ke hexadesimal.

Contoh :

2537 (8) = …..(16)

2537 (8) = 010101011111

010101010000(2) = 55F (16)

Konversi dari bilangan Hexadesimal

Halaman ke-34

1.Konversi ke Desimal

Yaitu dengan cara mengalikan masing-masing

bit dalam bilangan dengan position valuenya.

Contoh :

C7(16) = …… (10)

7 x 16 0 = 7

C x 16 1 = 192

199

Jadi 199 (10)

2.Konversi ke Oktal

Dilakukan dengan cara merubah dari bilangan

hexadesimal menjadi biner terlebih dahulu

kemudian dikonversikan ke octal.

Contoh :

55F (16) = …..(8)

55F(16) = 010101011111(2)

010101011111 (2) = 2537 (8)

Halaman ke-35

BAB II

EXPONEN

1. Bilangan berpangkat dan sifat-sifatnya :

Definisi=Pemangkatan bilangan “a” dengan bilangan“n” ialah mengkalikan a sebanyak n kali dimana n bilangan a.n

= axaxa….xa (banyaknya b faktor)a = disebut bilangan pokokb = disebut pangkat1,2,3 = bilangan asli

Sifat-sifat bilangan berpangkat

1. ….Misal =

2. dengan m>nMisal =

Halaman ke-36

3.( = (Misal = ( = (

4.Misal = =

5. =

Misal = =

6. Misal =

7. Misal =

8.

Misal =

9.Misal =

10. Misal =

11.

Halaman ke-37

Misal =

12.Misal =

2. Pangkat tak sebenarnya:Defnisi = Pangkat tak sebenarnya ialah pangkat yang terdiri dari bilangan negative, pecahan ataupecahan negativeContoh:

Bilangan pangkat tak sebenarnya bisa ditulis menjadi bentuk bilangan pangkat biasa & sebaliknya:

Pangkat tak sebenarnya:1.2.3.

Pangkat biasa:1.

2.

3.

Sifat-sifat pangkat tak sebenarnya sama dengan sifat-sifat pangkat biasa.

Halaman ke-38

BAB III

LOGARITMA1. Pengertian Logaritma

Logaritma adalah dari a untuk bilangan pokok g ialah bilangan x sehingga . Pengertian itu dapat ditulis Eksponen= dari adalah log dari a dengan bilangan pokok g yang sama dengan bilangan pokok g yang sama dengan bil x ditulis

Dari bentuk 9log a = x9 = disebut bilangan pokok logaritma dengan sifatg>0 dan ≠ 1a = bilangan yang dicari logaritmanya dengan bilangan pokok g / disebut Numerus dengan sifat Numerus >0x = hasil logaritma a dengan bilangan pokok g

alog y = x a x = y

dengan a adalah bilangan pokok atau basis, a > 1 dan

0 < a < 1y adalah numerous, y > 0x adalah hasil logaritma

Halaman ke-39

Bentuk logaritma dapat dinyatakan dalambentuk pangkat dan sebaliknya, bentuk pangkatdapat dinyatakan dalam bentuk logaritma.

Contoh3log 9 = 2 jika diubah dalam bentuk pangkat menjadi

2. Sifat-sifat Logaritma

Sifat 1

Untuk a > 0, a ≠ 1, berlaku:a log a = 1, alog 1 = 0, log 10 = 1

Bukti:• Setiap bilangan apabila dipangkatkandengan 1 hasilnya adalah bilangan itusendiri. Jadi, a1 = a ⇔ alog a = 1• Setiap bilangan tidak sama dengan nolapabila dipangkatkan nol hasilnya selalusatu. Jadi, a 0 = 1 ⇔ a log 1 = 0Log 10 adalah suatu bentuk logaritma

dengan basis 10 dan numerusnya 10. Jadi, log 10 = 1

Sifat 2

Halaman ke-40

Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a,x, dan y ∈ R berlaku:

a log x + a log y = a log xy

Bukti:

alog x = n ⇔an = x a log y = m ⇔ am = y

alog xy = p ⇔ ap = xy

Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh xy = anam ⇔ xy = an+m

ap = am+n ⇔ p = m+n

Maka: n = a log x, m = a log y dan p = a log xy,

sehingga a log x + a log y = a log xy

Sifat 3

Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 sertaa, x, dan y ∈ R, berlaku:

a log x - a log y = a log

Bukti:

a log x = n ⇔an = x alog y = m ⇔am =y

Halaman ke-41

Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh:

Jadi , a log x - a log y = a log

Sifat 4

Untuk a > 0, a ≠ 1, a, n dan x ∈ R berlaku:

Bukti :

=

= Jadi , Sifat 5

Untuk a, m > 0, serta a, m, n, x ∈ R, berlaku:

Bukti:

Dari bentuk pangkat diatas diperoleh:

Halaman ke-42

n

Jadi,

Sifat 6Untuk a, p > 0, dan a, p , serta ,a,p dan x ∈R, berlaku:

Bukti:

Jika p = x, maka,

Sifat 7

Untuk a > 0, x > 0, y > 0 dan a,x dan y ∈ R,berlaku:

Halaman ke-43

Bukti:

Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh:y = xq ⇔⇔ ⇔

.

Sifat 8

Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R, berlaku:

Sifat 9

Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R, berlaku:

Contoh1. Nilai dari ....

Jawab:

2. Jika , nilai ....

Jawab:

Halaman ke-44

BAB IV

NOTASI SIGMA DAN PHI ¶1. Notasi Sigma

Notasi dan sigma adalah suatu cara untuk menulis jumlah dengan menggunakan tanda (sigma).∑Dengan jumlah :1+3+7+9+11+13

Jumlah dapat ditulis:7+3+5+7+9+11+13=[2(1-1)]+[2(2)-1]+[2 12-1]=2K-1 jika K terturut-turut diganti dengan 1,2,3,4,5 dan 6 dan 7 maka :

1).

Halaman ke-45

2).

3).

4).

2. Sifat-Sifat Notasi Sigma

1).

2).

Halaman ke-46

3).

4).

*Notasi II dipakai untuk menyatakan penulisan perkalian

X1 X2 X3…..Xn= c.c.c….=

3. Notasi π

Halaman ke-47

1)=

Bukti :(X1X2X3….Xn)=

x i= i=1

2)=

X1=(X1 X2 X3….XK) (Xk + 1 xk+2…

Bukti x I = X1 X2X3….Xk.x k+1xk2…x3

= (X1 X2 X3….Xk) (Xk + I X K + 2x)

3)=

X1 Y1 = X1 X1

Bukti = X1 X1Y1= X1Y1 – X2Y3Y3XnYn

=(X1 X2 X3…..Xn) Y1.Y2.Y3.Yn) = X I = Y i

Halaman ke-48

BAB V

Barisan & Deret

1. Pengertian Barisan dan DeretBarisan adalah suatu fungsi yang daerah

definisinya a dan bilangan asli (1,2,3…)

Mis: = un = u (n) = 2n -1 atau atau 4:n -> 2n -1dimana : n c {1,2,3…} maka barisan itu dapat ditulis : U1 U2 U3

dimana U1=suku pertama U2 suku kedua U3 suku ketiga

Un= suku ke nU1=2 x 1 -1=1U2=2 x 2 -1=3U3=2 x 3 -1=5U4=2 x 4 -1=7

Barisan suku yang tak hingga dengan berhingga misal 1,2,3,4….20.Barisan suku yang tak terhingga dengan barisan tak terhingga misal=1,

, , buat suku tak terhingga

Definisi deret ialah jumlah-jumlah suku dari suatu barisanMisal= barisan 1,3,5,7

Halaman ke-49

Deret 1+5+5+7

Rumus suku ke N (4)U1=C = a+(1-1)U2=a+b =a+(2-1)U3=a+2b =a+(3-1) bU4=a+3b =a+(a-)b

Jadi suku ke N = Un=a+(n-1) ba=U1=suku pertaman=banyak suku b=beda (selisih)

contoh:

Carilah suku seratus dari barisan aritmatika a,5,3

a=3b=5-2=3n=100

suku keseratus dari barisaan u100=4+(n-1) b =2+(100-1) x 3 =2+99 x 3 =303

Jumlah suku deret aritmatika : (dn)dn=a…..+ (a+b)+….+a+(n-1)b

dn=a+(n-1)b +a(n-2)b+…+a

2 dn=2a+(n-1)b+a(n-2)b+….+a Halaman ke-50

2 dn={2a+cn-1}b =n{a+a+{n-1}}b

2 dn =n {a+un} dn=1/2 n {a+un} an = jumlah suku yang pertama n= banyaknya suku a=suku pertama un=suku ke 9

*Sisipan

b1=

b1=beda setelah disisipkanb= beda sebelum disisipkank= sukunya bilangan yang disisipkan

BAB VI

Trigonometri

1. Fungsi Trigonometri sudut lancip

Alpa (α) adalah suatu sudut lancip dengan titik

sudut P dan Q adalah titik pada salah satu kaki

sudut tersebut,Kita memproyeksikan PQ pada kaki

yang lain,maka PQ adalah proyeksi PQ pada g,Q,Q

Halaman ke-51

adalah garis yang diproyeksi ketiga garis ini

dinamakan garis-garis Trigonometri sudut α

q|

α |

P q| g

Definisi:

Yang dinamakan sirus suatu sudut ialah

perbandingan garis yang memproyeksikan dan garis

yang diproyeksi

Definisi:

Yang dimaksud dengan cosinus suatu sudut,ialah

perbandingan proyeksi dan garis yang diproyeksi

Definisi:

Yang dimaksud dengan tangen suatu sudut,ialah

perbandingan antara garis yang memproyeksi dan

proyeksi.

Definisi-definisi diatas dapat diperjelas sebagai

berikut:

Halaman ke-52

Sin α = =

Cos α = =

Tg α = =

Potongan suatu sudut,ialah kebalikan tangennya

sudut itu

Dtg α =

Secan suatu sudut ialah kebalikan cosinus sudut

itu

Soc α =

Cosecans suatu sudut ialah kebalikan sinus sudut

itu

Cosec α =

Perbandingan goniometri sudut penyiku:

90-α ℓ Halaman ke-53

Y ϰ α

Sin α =

Cos (90-α) =

Cos (90-α) = sin α

Cos α =

Sin (90-α) = maka, sin (90-α) = cos α

Tg α =

Otg (90-α) = maka, otg (90-α)= tg α

Otg α =

Tg (90-α) = ,maka tg (90-α)=Otg α

Jadi rumus perbandingan goniometri sudut penyiku ialah :

Sin (90-α) = cos αCos(90-α) = sin αTg (90-α) = ctg αCtg (90-α) = tg α

Halaman ke-54

*Kordinat cartesius & koordinat jutub suatu titik.

Kordinat cartesius:

y P(ϰ,y)| | y

| x0

Dalam koordinat cartesius letak suatu titik pada bidang xoy ditentukan oleh absis (x) dan ardinat (y), maka titik p itu dapat ditulis : p (x,y)

Koordinat kutub (polar)

Y P N Y x0Dalam koordinat kutub (polar) letak suatu titik pada bilangan xoy ditentukan oleh jarak OP (r,dansudut ℓ yaitu sudut yang terbentuk oleh OP dan sumbu X yang positf,dan searah jarum jam, maka µ adalah sudut negative jadi titik P itu daoat ditulis (r,µ0)

Halaman ke-55

Hubungan koordinat cartesius & koordinat polar:

y

P(π,µ0)

y

ℓ X ϰ

sin µ = => y= r1 sin µ

(2)cos µ= => x = r cos µ

Dari rumus….(2)

Tg µ = = = tg µ = …..(3)

Ctg µ = = = = ctg µ =

x=r.cos µ => cos2 µ =

sin2 µ + cos2 µ = =

Halaman ke-56

sin2 q + cos2 µ =1…..5

2. Perbandingan trigonometri pada segitigasiku-siku

1.Panjang sisi-sisi suatu segitiga

Panjang sisi dihadapan sudut dinamakan aPanjang sisi dihadapan sudut dinamakanbPanjang sisi dihadapan sudut dinamakan cPanjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-sikumempunyai hubungan c2 = a2 + b2

2.Besar sudut pada segitigaJumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah

3.Perbandingan pada sisi-sisi segitigaa.sin = =

b. cos

c. tan

d. cotg

e. sec Halaman ke-57

a

b

c

B C

A

f. csc

Dari perbandingan diatas diperoleh hubunganrumus :Cotg

Sec

Csc

Contoh : Diketahui segitiga siku-siku ABC, siku-sikudi C, panjang a = 4, b = 3.a.Tentukan panjang sisi cb.Tentukan nilai perbandingan trigonometri

sudut

Jawab :

Halaman ke-58

A C

B

3

c 4

3. Perbandingan trigonometri untuk sudutkhusus

(00, 300, 450, 600, 900)

Berdasarkan gambar diatas dapat ditentukannilai perbandingan trigonometri sudut-sudutkhusus tersebut dalam tabel berikut( lengkapi nilai-nilai yang lainnya)

00 300 450 600 900

Sin 0

Cos 1

Tan 0

Csc t.t 2Sec 1

Cotg t.t

Halaman ke-59

450

450

1

1

600

300

2

1

Contoh : Tentukan nilai dari :1. Sin 00 + Csc 450 = 0 +

2. = 1

4. Nilai perbandingan trigonometri di berbagaikuadran1.Dikuadran I

Titik A(x,Y) dikuadran IAbsis positifOrdinat positif

2.Dikuadran IITitik A(-x,y) dikuadran IIAbsis negatifOrdinat positif

Halaman ke-60

A(x,y)

x

y

r

A(-x,y)

Diskusikan dengan teman anda, untuk tanda-tanda perbandingan trigonometri dikuadranyang lain yang ditulis dalam tabel berikut.

I II III IVSin + + - -Cos + - - +Tan + - + -Csc + + - -Sec + - - +Cotg + - + -

5. Rumus perbandingan trigonometri untuksudut-sudut di semua kuadran

a. Rumus di kuadran I

b. Rumus di kuadran II

Halaman ke-61

-x

y

r

Kuadran ISemua +

Kuadran IISin & Csc +

Kuadran IIITan & Cotg

Kuadran IVCos & Csc +

atau

c. Rumus di kuadran III

atau

d. Rumus di kuadran IV

atau

e Rumus sudut negatif

f.Rumus sudut lebih dari 3600

Contoh :Ubah ke sudut lancip, dan tentukan nilainya :

Sin 1200 = Sin (900 + 300) = Sin 300

= Atau Sin 1200 = Sin (1800 – 600)

Halaman ke-62

= Sin 600

=

BAB VII

Bunga Majemuk dan Harga Tunai1. Bunga Majemuk (Bunga bersusun)

Harga akhir suatu modal ialah besarnya suatu

modal yang diperbungakan dengan bunga majemuk

pada akhir suatu waktu,dengan rumus:

MN=M(1+ )

MN=Harga akhir suatu modalM =Besar modal yang diperbungakan N =Waktu modal yang diperbungakanP =Bunga dalam satu tahun

Bukti:Susunlah satu tahun uang itu menjadi modal + bunga

M+ .M=(1+ ) M. Modal permulaan Tahun ke-2

Sesudah tahun ke-2 uang itu menjadi modal pada akhir tahun pertama ditambah bunganya.

Halaman ke-63

= M (1+ + x M (1 + )

(M + x N) (1 + )

M (1 + ) (1 + )

M (1 + )2 =Modal pada permukaan Tahun ke-3

Pada akhir tahun ke-3 uang itu menjadi modal pada permulaan tahun ke-3 + bunga selama tahun ketiga.

M(1+ )2 + x m x (1+ )2 =M (1+ )2 x (1+ )

= M (1+ )3

Perhitungan seperti diatas dapat teruskan,nyatakan pada akhir tahun ke-4 uang itu menjadi:

M(1+ )4 jadi

Pada akhir tahun ke n uang itu menjadi:

M(1+ )n atau Mn=M(1+ )n

Contoh:

Halaman ke-64

Carilah harga akhir ssebuah modal,yang besarnya Rp.1000 kalau modal itu dipergunakan selama 10 tahun dengan bunga majemuk.Dasar bunga 2% /tahun.

Penyelesaian

Mn= M (1+ )n

N10=M(1+ 0)n

=M(1+0,02)n

=M x 1,02n

=1000 x 1,0210

=1000 x 1,2189942 = Rp1.218.99

1.Perbedaan Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk

Bunga tunggal dihitung berdasarkan modal yang

sama setiap periode sedangkan bunga majemuk

dihitung berdasarkan modal awal yang sudah

ditambahkan dengan bunga.

2.Perhitungan Nilai Akhir Modal

a.Dengan menggunakan rumus Halaman ke-65

Jika modal sebesar M dibungakan atas dasar

bunga majemuk sebesar p % setahun selama n

tahun, maka besarnya modal setelah n tahun

adalah:

Setelah satu tahun

Setelah dua tahun

Setelah n tahun

2. Harga Tunai(kontan)

Halaman ke-66

Harga tunai(kontan) adalah suatu modal ialah harga modal sebelum tanggal pelunasan.

Dari rumus = Mn=M(1+i)n maka diperoleh M= n ,

M=harga modal itu pada permukaan perhitungan =harga tunai (harga kontan, yang biasa disebut HT(HK)

Contoh= carilah harga tunai dari 10.000, yang harus dibayar 5 tahun kemudian,besar bunga 3% pertahun

Penyelesaian:HT= = = 10.000 x 0,86260878=Rp.3.626,09

Perhitungan nilai tunai modal

Rumus nilai tunai

Rumus nilai akhir bunga majemuk adalah

,

rumus tersebut dapat diubah menjadi:

M = modal mula-mula atau nilai tunai (NT)

Halaman ke-67

Mn = modal setelah n jangka waktu,

selanjutnya ditulis M

sehingga,

Jadi,

BAB VIII

Persamaan & Kesamaan

1. PersamaanPersamaan dalam suatu variable tertentu,ialah

bentuk persamaan, yang nilainya (besarnya)

variable itu dapat ditentukan besarnya.

Contoh :{x/2x+1=0,xϵR}

2x+1=0

2x=-1

X= (harga x tertentu yaitu = )

HP{ }

*Macam-macam persamaan

Halaman ke-68

1.Persamaan linier = ialah suatu bentuk persamaanyang variablenya mempunyai pangkat paling tinggi

Bentuk umum= {x/ax+b=0,xϵR dan a,b bilangan-bilangan tetap}

2.Persamaan kuadrat = ialah suatu bentuk persamaan yang variablenya mempunyai pangkat lebih dari satu atau 2

Bentuk umum = {x/ax2+bx+c=0,xϵR,a,b,c bilangan-bilangan tetap}

3.Persamaan pangkat tinggi = ialah suatu bentuk persamaan yang variablenya mempunyai pangkat>2

Bentuk umum = a0xn+a1xn-1+aaxn-2+…an=0

2.Persamaan Kuadrat

Bentuk umum={x/ax2+bx+c=0,xϵR,a,b,c bilangan-bilangan tetap}

Akar-akarnya= x1,2= B2-4ac=Diskriminan = D

1.jika D>0,maka xϵR,x1 ≠x2

2.jika D=0,maka xϵR,x1=x2

3.jika D<0,maka xϵR Halaman ke-69

Sifat-sifat akar persamaan kuadrat

X1= = +

X2= = -

+X1+X2= =

X1.X2 = -( + ) ( + )

= - ( )

= - ( ) = -

= = x1 x2=

Contoh:

X1+X2= - = -4

X1X2= -21

1.X12 + X2

2 = (X1+X2)2 – 2X1 X2 = (-4)2 -2 (-21) = 16+42=58

3. Kesamaan Halaman ke-70

Definisi = Kesamaan (lambang ≡ ) dalam suatu variable tertentu uang berlaku untuk setiap hargavariable itu.

Misalnya={x/2x2+x ≡ x (2x+1),xϵR}

Bentuk = 2x2+x ≡x (2x+1) berlaku untuk setiap harga x

Sifat-sifat

f(x)= aoxn + a1 xn-1+….a0=01 maka berlaku a0=a1=a2=…an=0

4. Memecahkan Pecahan

Penyelesaian

≡ +

≡

A+B=54A+B=11 -3A=-6 A = 2A+B=52+B =2

Halaman ke-71

B =3

Jadi ≡

BAB IX

Fungsi1. Pengertian Fungsi

perubahaan disebut fungsi dari x jika dapat

ditentukan suatu hubungan antara x dan y

sedemikian hingga untuk setiap harga x

2. Daerah definisi dan daerah fungsi

Pada suatu fungsi belum tentu sembarang harga

untuk bebas akan memberikan harga nyata untuk

fungsi tersebut.

Daerah fungsi ialah,kumpulan semua harga-

harga fungsi yang didapat dari daerah definisi.

3. Macam-macam fungsi

Halaman ke-72

1.fungsi dari suatu perubahaan = ialah jika harga

perubah tak bebas x saja yang mungkin.

Simbol: y=f(x)

Contoh:

a.y=x+2

b.y=2x2

2. Fungsi dari dua perubah bebas = ialah jika

harga perubah tak bebas Z tergantung pada setiap

harga dari dua perubahan bebas x dan y yang

mungkin

Simbol: Z=f(x,y)

Contoh:

a.z=x2+y2+1

b.z=x+4-y2

3.Fungsi dari tiga perubah bebas

Jika harga perubah W tergantung pada tiap

harga dari tiga perubah bebas x,y dan z yang

mungkin.

Simbol: w = f(x,y,z)

Contoh: Halaman ke-73

a.w = x+2y-y2+5

b.w = 2 x y +

4. Jenis fungsi1.fungsi aljabar = y disebut fungsi aljabar dari x jika y adalah suatu akar dari suatu persamaan derajat tinggi dalam Y yang koefesien-koefesiennya adalah suku-suku banyak dalam x

Contoh : Y6- 2xy3-x+x2=0

Fungsi aljabar disebut bulat rasional jika perubah X tidak dapat sebagai penyebut dan disebut pecah rasional jika x terdapat sebagai penyebut.

1.Pengertian FungsiDefinisi : Fungsi dari himpunan A ke himpunan B suatu relasi sedemikian hingga setiap anggota himpunan A dipasangkan dengantepat satu anggota himpunan B.

A=Df =

Halaman ke-74

x y=f(x)

f

A=Df=D B=Rf=R

Domain = daerah asal (D)Kodomain = daerah kawan (K)Range = daerah hasil (R)

Notasi FungsiSuatu fungsi atau pemetaanumumnya dinotasikan denganhuruf kecil.Misal, f adalah fungsi dari A ke Bditulis f:A → BA disebut domainB disebut kodomain

Range atau Daerah Hasil Jika f memetakan x ÎA ke y Î B dikatakan y adalah

peta dari x ditulis f: x → y atau y = f(x).

Himpunan y Î B yang merupakan peta dari x ÎAdisebut range atau daerah hasil

Contoh 1Misal f: R → R dengan f(x) = √1 - x2Tentukan domain dari fungsi f.

Jawab Halaman ke-75

Supaya f: R→R dengan f(x)=√1-x2 maka haruslah 1 – x2 ≥ 0.1 – x2 ≥ 0 → x2 – 1 ≤ 0 atau (x - 1)(x + 1) ≤ 0 atau -1 ≤ x ≤ 1.Jadi, domain fungsi tersebut adalah -1 ≤ x ≤1.

Contoh 2

Misal f: R → R dengan f(x – 1) = x2 + 5x Tentukan : a. f(x) b. f(-3)

Jawab Misal y = x – 1 maka x = y + 1

karena f(x – 1) = x2 + 5xmaka f(y) = (y + 1)2 + 5(y + 1) f(y) = y2 + 2y + 1 + 5y + 5 f(y) = y2 + 7y + 6 f(y) = y2 + 7y + 6 a. f(x) = x2 + 7x + 6 b. f(-3) = (-3)2 + 7(-3) + 6 = 9 – 21 + 6 = -6

Contoh 3: Fungsi f : A B tentukan domain, kodomain dan range

A B

Halaman ke-76

abc

1234

Domain = {a,b,c}Kodomain = {1,2,3,4}Range = {1,3,4}

2. Komposisi FungsiPengertianKomposisi fungsi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru.Misalkan: f : A B dan g : B C

f g

A B C

h = g f

Fungsi baru h = (g o f) : A C disebutfungsi komposisi dari f dan g. Ditulis: h(x) = (gof)(x) = g(f(x))

(gof)(x) = g(f(x)) ada hanya jika R f ∩ Dg

≠ Ø

Nilai fungsi komposisi (gof)(x) untukx = a adalah (gof)(a) = g(f(a))

Contoh 1:

Halaman ke-77

x y=f(x)

z=g(y)

Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurutf = {(0,1), (2,4), (3,-1),(4,5)} dan g = {(2,0), (1,2), (5,3), (6,7)}Tentukanlah: a) (f o g) b) (g o f) c) (f o g)(1) d) (g o f)(4)Jawab:a) (f o g) = {(2,1), (1,4), (5,-1)} b) (g o f)= {(0,2), (4,3)}c) (f o g)(1) = 4 d) (g of)(4) = 3

Contoh 2:f : R R ; f(x) = 2x² +1, g : R R ; g(x)= x + 3 Tentukan : a) (f o g)(x) b) (g o f)(x) c) (f o g)(1) d) (g o f)(1)Jawab :(f o g)(x) = f(g(x))

= f(x+3) = 2(x+3)²+1= 2(x² + 6x + 9) + 1 = 2x²+12x+19

(g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x²+1) = 2x² + 1 + 3= 2x² + 4

(f o g)(1)= f(g(1)) = f(4)= 2. (4)² +1 = 2.16 + 1 = 33

(g o f)(1)= g(f(1)) Halaman ke-78

= g(3)= 3 + 3= 6

Contoh 3:Diketahui A = {x l x < -1}, B dan C adalah himpunan bilangan real.f : A → B dengan f(x) = -x + 1; g : B → C dengan g(x) = x2 dan h = g o f : A → C.Bila x di A dipetakan ke 64 di C, tentukan nilai x!h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) = g(-x + 1) = (-x+ 1)2

h(x) = 64 → (-x + 1)2 = 64 ↔ -x + 1 = 8 -x + 1 = 8 ↔ x = -7 atau –x + 1 = -8 ↔ x = 9Karena A = {x l x < -1}, maka nilai x yang memenuhi adalah x = -7. 

3. Sifat-sifat Komposisi Fungsi

Jika f : A B ; g : B C ; h : C D, maka berlaku:i. (fog)(x) ≠ (g o f)(x)     (tidak komutatif)ii. ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x)    (sifatasosiatif)iii. (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x) (elemen identitas)

Halaman ke-79

Contoh 4:Diketahui f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 – x, dan h(x) =

x2 + 2, I(x) = x(f o g)(x) = f(g(x)) = f(3-x) = 2(3-x) + 1 =

6 – 2x + 1 = 7 – 2x(g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = 3 – (2x+1) = 3 –

2x – 1 = 2 – 2x(g o h)(x) = g(h(x)) = g(x2 + 2) = 3 – (x2 + 2) =

1 - x2 Dari hasil di atas tampak bahwa (fog)(x) ≠ (g o

f)(x)    

((fog)oh)(x) = (fog)(h(x))= (fog)( x2 + 2)= 7– 2(x2 + 2) = 3 - 2x2

(fo(goh))(x)=f((goh)(x))= f(1 - x2)= 2(1 - x2)+ 1 = 2 – 2 x2 + 1 = 3 – 2 x2

Dari hasil di atas tampak bahwa ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x)   

(foI)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x + 1(Iof)(x) = I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1Dari hasil di atas tampak bahwa (foI)(x) =

(Iof)(x) = f(x)

4. Fungsi Invers DefinisiJika fungsi f : A B dinyatakan dengan pasanganterurut f:{(a,b)laÎA dan bÎB}, maka inversdari fungsi f adalah f-1: B A ditentukan oleh:f-1:{(b,a)lbÎB dan aÎA}.

Halaman ke-80

Jika f : A B, maka f mempunyai fungsi inversf-1 : B A jika dan hanya jika f adalahfungsi bijektif atau korespondensi 1-1.Jika f : y = f(x) f -1 : x = f(y)

(f o f -1)(x) = (f-1 o f)(x) = I(x) (fungsi identitas)

Rumus Cepat Menentukan Fungsi Invers

i. f(x) = ax + b; a ≠ 0 f -1(x) = ; a≠ 0ii. f(x) = ; x ≠ - f -1(x) = ;

x ≠iii. f(x) = acx ; a > 0 f -1(x) = alog x1/c =

alog x ; c ≠ 0iv. f(x) = a log cx ; a > 0; cx > 0 f -1(x)= ; c ≠ 0v. f(x) = ax²+bx+c; a≠0 f -1(x)=

Catatan:Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapidapat mempunyai invers jika domainnya dibatasi.

Contoh 5: Halaman ke-81

Diketahui f: R R dengan f(x) = 2x - 5. Tentukan f -1 (x)!Cara 1:y = 2x - 5 (yang berarti x = f -1(y))2x = y + 5x =

f -1(x) = Cara 2:

f(x) = ax + b f -1(x) =

f(x) = 2x – 5 f -1(x) =

Contoh 6:Diketahui 4x,Rx,4x

1x2xf Î

Tentukan !

Cara 1:

4x1x2y

y(x - 4) = 2x + 1yx – 4y = 2x + 1yx – 2x = 4y + 1x(y – 2) = 4y + 1x =

f -1(x) = 2-x14x

Cara 2:

f(x) = f -1(x) =

f -1(x) =

Halaman ke-82

Contoh 7:Jika dan . Tentukan nilai k!Cara 1:

4x3x2y

y(3x - 4) = 2x3xy – 4y = 2x3xy – 2x = 4yx(3y – 2) = 4yx =

f -1(x) =

f -1(k) =

1 = 3k – 2 = 4kk = -2Cara 2:

f -1(k) = a k = f(a)

k = f(1) =

Contoh 8:Diketahui f(x) = 52x, tentukan f – 1 (x)!Cara 1:y = 52x (ingat rumus logaritma: a n = b n =

)2x = x =

Halaman ke-83

f – 1 (x) =

Cara 2:

f(x) = acx f -1(x) = alog x

f(x) = 52x f – 1 (x) = Contoh 9:Diketahui f(x) = x2 – 6x + 4, tentukan f–1 (x)!Cara 1:y = x2 – 6x + 4y – 4 = x2 – 6xy – 4 = (x – 3) 2 – 9y + 5 = (x – 3) 2

x – 3 = x = 3 f – 1 (x) = 3

Cara 2:

f(x) = ax²+bx+c f -1(x) = f(x) = x2 – 6x + 4 f -1(x) =

Contoh 10:Diketahui , tentukan f – 1 (x)!Cara 1:

y – 2 = (y – 2)5 = 1 – x3 x3 = 1 - (y – 2)5

x = f – 1 (x) =

Halaman ke-84

Cara 2:

f – 1 (x) =

BAB X

LIMIT FUNGSI

1. PENGERTIAN LIMIT

untuk nilai x yang mendekati 1

x 0 0,9 0,95 0,98 … 1,0001 1,0005 1,05 1,1

f(x) 1 1,9 1,95 1,98 … 2,0001 2,0005 2,05 2,1

Gambar grafiknya:

Dari gambar dan tabel dapat disimpulkan:

Halaman ke-85

→  Jika x mendekati 1 dari kiri, maka nilai f(x)

mendekati 2

→  Jika x mendekati 1 dari kanan, maka nilai f(x)

mendekati 2

→  Jadi, jika x mendekati 1, maka nilai f(x) mendekati 2

Teorema:

Jika limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka nilai

limitnya tidak ada

Hasil limit tidak boleh bentuk tak tentu:

2.Sifat-Sifat Limit

Halaman ke-86

Cara Penyelesaian Limit dengan Perhitungan:

1. Substitusi langsung

Contoh:

2. Pemfaktoran (biasanya untuk bentuk 0/0)

 Contoh:

Ingat:

(a2 – b2) = (a – b)(a + b)

(a3 + b3) = (a + b)(a2 – ab + b2)

(a3 – b3) = (a – b)(a2 + ab + b2)

3. Dikali sekawan (jika ada bentuk akar)

Contoh:

4. Untuk limit tak terhingga: 

→  Jika bentuknya sudah pecahan: dibagi pangkat tertinggi

→  Jika bentuknya belum pecahan: dikali sekawan, baru

dibagi pangkat tertinggi

Sifat operasi dengan ∞:

Halaman ke-87

Contoh:

Cara cepat!

→  Untuk bentuk pecahan:

Jika pangkat pembilang (atas) > penyebut (bawah), hasil

=∞

Jika pangkat pembilang (atas) < penyebut (bawah), hasil

=0

Jika pangkat pembilang (atas) = penyebut (bawah), hasil

=koefisien pangkat tertinggi atas : koefisien pangkat

tertinggi bawah

Halaman ke-88

3. Limit Fungsi Trigonometri

Untuk cosinus:

1 – cos ax = 2 sin2 ½ ax    (dari rumus cos 2x)

cos ax – 1 = –2 sin2 ½ ax (dari rumus cos 2x)

1 – cos2ax = sin2ax            (dari sin2x + cos2x = 1)

Bilangan eBilangan e didapat dari:

e = 2,718281828…

Halaman ke-89

Rumus-rumus pengembangannya:

KontinuitasSuatu fungsi kontinu di x = a jika:

1.  f(a) ada (dapat dihitung/real)

2.  

3.  

Ilustrasi:

Halaman ke-90

4. Fungsi kontinu

PengertianPasangan terurut

Contoh:

A = {1, 2, 3}, B = {4, 5}

Himpunan semua pasangan terurut dari A dan B adalah:

{(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

Relasi

Relasi adalah himpunan dari pasangan terurut ang memenuhi

aturan tertentu

Contoh:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4}

Jika ada relasi R dari  A ke B dengan aturan ”faktor

dari”, maka himpunan pasangan terurut untuk relasi

tersebut adalah:

R = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (4, 4)}

Diagram panahnya:

Halaman ke-91

Fungsi

Fungsi dari A ke B adalah relasi yang memasangkan setiap

anggota himpunan A kehanya satu anggota himpunan B

Notasi fungsi f dari A ke B ditulis f : A → B

A disebut domain (daerah asal)

B disebut kodomain (daerah kawan)

Himpunan bagian dari B yang merupakan hasil dari fungsi

A ke B disebut range (daerah hasil)

Fungsi juga dapat dinyatakan dengan lambang f : x → y =

f(x)

dimana y = f(x) adalah rumus fungsi dengan x sebagai

variabel bebas dan y sebagai variabel terikat (tak bebas)

Contoh:

Untuk fungsi yang digambarkan dalam diagram panah di

atas:

Domain = Df = {1, 2, 3, 4}

Range = Rf = {2, 4}

Menentukan Daerah Asal FungsiAgar suatu fungsi terdefinisi (mempunyai daerah hasil di

himpunan bilangan real), maka ada beberapa syarat yang Halaman ke-92

harus dipenuhi.

1. Fungsi di dalam akar

2. Fungsi pecahan

3. Fungsi dimana penyebutnya adalah fungsi lain dalam

bentuk akar

4. Fungsi logaritma

Contoh:

Daerah asal untuk fungsi

adalah:

x2 + 3x – 4 > 0

(x + 4)(x – 1) > 0

Pembuat nol: x = –4 dan x = 1

Jika x = 0 maka hasilnya 02 + 3.0 – 4 = –4 (negatif)

Halaman ke-93

Jadi Df = {x | x < –4 atau x > 1}

Aljabar FungsiJika f : x → f(x) dan g : x → g(x) maka:

B. (f + g)(x) = f(x) + g(x)

C. (f – g)(x) = f(x) – g(x)

D. (f × g)(x) = f(x) × g(x)

E.

Daerah asalnya:

Df+g, Df–g, Df×g = Df ∩ Dg (irisan dari Df dan Dg)

Df/g = Df ∩ Dg dan g(x) ≠ 0

Komposisi fungsiNotasi:

f komposisi g dapat dinyatakan dengan f o g (dapat juga dibaca ”f bundaran g”)

(f o g)(x) = f(g(x)) (g dimasukkan ke f)

Ilustrasi:

Contoh: f(1) = 2, g(2) = 0, maka (g o f )(1) = g(f(1)) =

g(2) = 0

Halaman ke-94

Sifat-Sifat Komposisi Fungsi

1. Tidak bersifat komutatif

(f o g)(x) ≠ (g o f)(x)

2. Asosiatif

(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)

3. Terdapat fungsi identitas I(x) = x

(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

Contoh 1:

f(x) = 3x + 2

g(x) = 2x + 5

h(x) = x2 – 1

Cari (f o g)(x), (g o f)(x), dan (f o g o h)(x)!

(f o g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 5)

=  3(2x + 5) + 2

= 6x + 15 + 2 = 6x + 17

(g o f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 2)

= 2(3x + 2) + 5

= 6x + 4 + 5 = 6x + 9

(f o g o h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x2 – 1))

= f(2(x2 – 1) + 5)

= f(2x2 – 2 + 5)

= f(2x2 + 3)

= 3(2x2 + 3) + 2

= 6x2 + 9 + 2 = 6x2 + 11

= 6(x2 – 1) + 17

= 6x2 – 6 + 17

= 6x2 + 11

Halaman ke-95

Contoh 2:

f(x) = 3x + 2

(f o g)(x) = 6x + 17

Cari g(x)!

(f (g(x)) = 6x + 17

3.g(x) + 2 = 6x + 17

3.g(x) = 6x + 17 – 2

3.g(x) = 6x + 15

g(x) = 2x + 5

Contoh 3:

g(x) = 2x + 5

(f o g)(x) = 6x + 17

Cari f(x)!

f(2x + 5) = 6x + 17

misalkan: 2x + 5 = a → 2x = a – 5

f(a) = 3(a – 5) + 17

f(a) = 3a – 15 + 17

f(a) = 3a + 2

f(x) = 3x + 2

Contoh 4:

f(x) = x2 + 2x + 5

(f o g)(x) = 4x2 – 8x + 8

Cari g(x)!

f(g(x)) = 4x2 – 8x + 8

(g(x))2 + 2g(x) + 5 = 4x2 – 8x + 8

Halaman ke-96

KESIMPULAN DAN SARAN

Kesimpulan :

Terima kasih kami panjatkan kepada Tuhan YME atas restu

dari kelompok kami serta bimbingan yang telah di berikan

oleh dosen Matematila-I E.J Soelaiman Msc sehingga

project kami dapat terselesaikan dan telah meberikan

semangat kami dalam berkuliah. Dalam penerapannya

integral juga melibatkan ilmu komputer di dalam

perkembangan teknolgi informasi seiring dengan

perkembangan waktu manusia.

Saran :

Hendaklah jangan bosan-bosan mengajar serta menegor kami

jika ada kesalahan dan mendidik kami untuk meningkatkan

kecerdasan demi kemajuan sekarang dalam kehidupan kami.

Halaman ke-97

BIODATA

Nama : Abraham Octavianus Butar-butar

NIM : 1482002

Tempat, Tgl lhir : Medan,22 Oktober 1996

Pendidikan terakhir : SMA Swasta Primbana Medan

Agama : Kristen Protestan

Pesan : A fool thinks himself to be

wise but a wise man knows himself

to be a fool.

Kesan : Thanks Sir udah mengajar dan

membimbing kami hingga akhir

Halaman ke-98

semester ini. Semoga apa yang sir telah

ajarkan dapat menjadi bekal buat kami untuk

mengetahui lebih dalam tentang

pelajaran Matematika1

Nama : Zefanya Gibson Lumban Tobimg

NIM : 1482010

Tempat,tgl lahir : Medan,16 Agustus 1995

Pendidikan terakhir : SMA N 2 Tarutung

Agama : Kristen SDA

Halaman ke-99

Pesan : Semoga Sir semakin sabar mengajar

kami.

Kesan : Saya senang bisa belajar mengenai

matematika dan saya masih perlu

banyak belajar lagi dari pelajaran ini.

Halaman ke-100

DAFTAR PUSTAKA

http://ayularasswati.wordpress.com/2013/09/16/pengertian-bilangan-desimal-oktal-dan-biner/

https://asimtot.files.wordpress.com/2010/06/fungsi-eksponen-dan-logaritma.pdf

http://www.unhas.ac.id/lkpp/Dasar%20I.pdf

http://embekacang.blogspot.com/2013/05/barisan-dan-deret.html

http://id.wikipedia.org/wiki/Trigonometri

http://p4tkmatematika.org/downloads/smk/HitungKeuangan.pdf

http://p4tkmatematika.org/downloads/sma/fungsipersamaanpertidaksamaan.pdf

Halaman ke-101