PROGRAMARE MATEMATICA IN SPATII NORMATE INFINIT DIMENSIONALE

8/9/2019 PROGRAMARE MATEMATICA IN SPATII NORMATE INFINIT DIMENSIONALE

1/249

PROGRAMARE MATEMATIC A

IN

SPATII NORMATE INFINIT DIMENSIONALE


2/249


3/249

COLECTIA: ANALIZ A MODERN A SI APLICATII

CONSTANTIN Z ALINESCU

PROGRAMARE MATEMATIC A

IN SPATII NORMATE

INFINIT DIMENSIONALE

E D I T U R A A C A D E M I E I R O M A N EBucuresti, 1998


4/249

Mathematical Programming in

Innite Dimensional Normed Linear Spaces

ISBN 973-27-0578-7

EDITURA ACADEMIEI ROM ANER. 79717, Bucuresti, Sector 5, Str. 13 Septembrie, nr. 13


5/249

Prefat a

Punctul de plecare pentru scrierea acestei c art i l constituie cursul pe care

autorul l tine la Facultatea de Informatic a de la Universitatea Al. I. Cuzadin Iasi, sub denumirea de Cercet ari operat ionale.

Prin acest curs caut am sa punem la ndem ana studentilor si a cercetatorilorcare lucreaza n teoria optimizarii si n domenii conexe, ntr-o prezentare rigu-roas a, un set de rezultate interesante n sine, dar si utile pentru nt elegereaaltor cursuri.

Din dorint a de a-l face intrinsec (self-contained), n Capitolul 1 prezent amnotiunile si rezultatele de baz a de topologie si analiza funct ional a, n succe-siunea lor reasc a; dac a toate aceste rezultate ar demonstrate, cititorul,cu put ine except ii, pentru nt elegerea unui rezultat ar avea nevoie numai denot iunile si rezultatele anterioare din text. Ins a multe din rezultatele detopologie sunt date far a demonstratii. Acele rezultate care se folosesc maifrecvent sau care nu se gasesc n prea multe tratate, totusi, le demonstr am:teoremele lui Cantor, Baire, Weierstrass, principiul variat ional al lui Ekeland,teoremele referitoare la funct ii semicontinue.

Av and n vedere ca cele mai multe rezultate referitoare la programareamatematica sunt prezentate n spat ii normate, dar mai ales faptul c a n prob-leme de programare convexa utilizarea topologiilor slabe este deosebit de util a,n continuarea Capitolului 1 studiem spat iile local convexe si spatiile normate;toate rezultatele importante, cu except ia teoremei lui James, sunt date cudemonstratii. Apoi d am trei rezultate importante din teoria spat iilor Hilbert,care conduc, n nal, la stabilirea faptului c a spat iile Hilbert sunt reexive.De asemenea punem n evident a rezultatele referitoare la funct ii G ateaux siFrechet diferent iabile de care avem nevoie n sect iunile urmatoare; un astfelde rezultat este si Teorema 1.10.10 care va utilizat a n Capitolul 3 pentruobtinerea Teoremelor lui Aubin-Frankowska si a lui Graves.

In Capitolul 2 facem un studiu detaliat al funct iilor convexe si al pro-gram arii convexe. Stabilim astfel mai multe rezultate de dualitate, formulepentru functii conjugate si -subdiferentiale, precum si condit ii de optimali-

v


6/249


7/249

Cuprins

1 Rezultate preliminare de analiza funct ionala 11.1 Spatii topologice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Spatii metrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Teorema Hahn-Banach si teoreme de separare algebric a . . . . 151.4 Spatii local convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5 Teoreme de separare topologic a si teorema bipolarei . . . . . . 321.6 Topologii slabe si teorema Alaoglu-Bourbaki . . . . . . . . . . . 361.7 Subspat ii, spat ii cat si spatii produs . . . . . . . . . . . . . . . 401.8 Spatii normate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.9 Spatii Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.10 Diferentiabilitate n spat ii normate . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2 Programare convex a 732.1 Funct ii convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.2 Semicontinuitatea funct iilor convexe . . . . . . . . . . . . . . . 882.3 Funct ii conjugate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.4 Subdiferent iala unei functii convexe . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.5 Problema generala a program arii convexe . . . . . . . . . . . . 1172.6 Probleme perturbate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212.7 Formule de calcul pentru conjugate, subdiferentiale, formule

de dualitate si condit ii de optimalitate . . . . . . . . . . . . . . 1312.8 Optimizare convexa cu restrict ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1402.9 Cateva rezultate fundamentale n

analiza convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1472.10 Aplicat ii la problema celei mai bune aproxim ari . . . . . . . . . 153

3 Programare neconvexa 1573.1 Conuri tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1573.2 Formule de calcul pentru conuri tangente . . . . . . . . . . . . 167

vii


8/249

viii Cuprins

3.3 Condit ii necesare si condit ii suciente de optim . . . . . . . . . 1783.4 Conditii asimptotice de optim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Exercit ii 189

Note bibliograce 223

Bibliograe 227

Index 231

Notat ii 235

Contents 239


9/249


10/249

2 Cap. 1 Rezultate preliminare de analiz a functional a

V1) V V (x) : xV ,V2) V V (x), W X : V W W V (x),V3) V 1, V 2 V (x) : V 1 V 2 V (x),V4) V V (x), W V (x), yW : V V (y).

Este interesant de observat c a se poate proceda si invers, ceea ce se facede altfel frecvent. Mai exact are loc

Teorema 1.1.3 Fie X = . Presupunem c a pentru ecare x X avem o familie nevid a

V (x)

P (X ) astfel ca mult imea

{V (x)

|x

X

}satisface

condit iile V1)V4) din Teorema 1.1.2. Atunci exist a o unica topologie pe X astfel ncat V (x) = V (x) pentru orice xX .

Demonstrat ie. Consideram

:= {}{DX | D V (x) xD}.Se verica cu usurint a ca este topologie pe X .

Fie V V (x); atunci exista D cu x D V . Din denit ia lui, D V (x) si deci V V (x). Prin urmare V (x) V (x).

Invers, e V V (x). Consider am D := {yV | V V (y)}. Este evidentca xDV . Sa ar at am ca D . Pentru aceasta e yD; deci V V (y).Din proprietatea V4) a vecin at at ilor, exista W V (y) astfel ca pentru oricezW sa avem V V (z). Prin urmare W D . Deoarece W V (y), avemca D V (y). Rezulta ca D . Unicitatea rezult a din Teorema 1.1.1.

De multe ori este sucient sa se lucreze numai cu o subfamilie de vecinat at iale lui x. Astfel, familia U (x) P (X ) se numeste sistem fundamental devecin at at i ale lui x(X, ) daca sunt ndeplinite condit iile U1) U (x) V (x)si U2) V V (x), U U (x) : U V . Se observa ca daca U (x) estesistem fundamental de vecin at at i ale lui x atunci (exercitiu !)

V (x) = {V X | U U (x) : U V }. (1.1)Un exemplu de sistem fundamental de vecin at at i ale lui x(X, ) este familia

U (x) = {D | xD}.Referitor la sisteme fundamentale de vecin at at i are loc un rezultat asem a-

nator celui din teorema precedent a.

Teorema 1.1.4 Fie X = . Presupunem c a pentru ecare x X avem o familie nevid a U (x) P (X ). Atunci pentru ecare x X , U (x) este un


11/249

1.1 Spatii topologice 3

sistem fundamental de vecin at at i ale lui x pentru o topologie pe X , dac a si numai dac a sunt ndeplinite urm a-toarele condit ii:

VF1) U U (x) : xU ,VF2) U 1, U 2 U (x), U 3 U (x) : U 3U 1 U 2,VF3) U U (x), V U (x), yV, W U (y) : W U .

In plus, topologia denita de familia {U (x) | xX }satisf acand condit iileVF1)VF3) este unic a.

Demonstrat ie. Presupunem pentru nceput c a U (x) este sistem fundamen-tal de vecin a-t at i ale lui x relativ la topologia , oricare ar x. Este evidentatunci c a VF1) si VF2) sunt satisf acute. Fie U U (x) V (x). Din V4)avem c a exist a V V (x) astfel ca U V (y) pentru orice yV . DeoareceV V (x), exist a V U (x), V V . Fie yV V ; cum U V (y), exist aW U (y), W U . Deci VF3) are loc.Invers, presupunem c a {U (x) | x X }satisface condit iile VF1)VF3).Pentru ecare xX consider am familia de mult imi V (x) denit a de relat ia(1.1). Este evident ca {V (x) | x X }satisface V1), V2) si V3) din Teo-rema 1.1.2. Pentru V4) proced am n modul urm ator. Fie V V (x); dinrelat ia (1.1), exista U U (x), U V . Din VF3),

W U (x), yW, W U (y) : W U.Cum W U (y), U V (y) si deci V V (y). Aplic and Teorema 1.1.3, exist a ounic a topologie pe X astfel c a V (x) = V (x) pentru orice xX . DeoareceV (x) este determinata n mod unic de U (x) prin intermediul relat iei (1.1),concluzia teoremei are loc.

Se spune c a (X, ) satisface prima axiom a a num arabilit at ii dac a ecareelement xX are un sistem fundamental de vecin at at i cel mult numarabil.Spunem c a spat iul topologic ( X, ) este separat Hausdorff sau, simplu,separat dac a pentru orice doua elemente distincte x si y din X exist a U V (x)si V V (y) astfel ca U V = . Aceast a condit ie de separatie este foarteimportant a si asigur a, printre altele, unicitatea limitelor.O alt a notiune topologica important a este aceea de mult ime nchisa: mul-timea A(X, ) se numeste nchis a dac a X \ A este deschis a. Sa not am prinF familia mult imilor nchise relativ la .Teorema 1.1.5 Familia F a mult imilor nchise din spat iul topologic (X, )are propriet a-t ile: F1) , X F , F2) iI F i F (F i )iI F si F3) F 1F 2 F F 1, F 2 F .


12/249


Introducem acum alte dou a not iuni topologice importante. Fie mult imeaA(X, ). Se numeste interiorul mult imii A, si se noteaz a int A, mult imea

{xX | A V (x)}; un element al multimii int A se numeste punct interior mult imii A. Se numeste aderent a sau nchiderea mult imii A, si se noteaz a cl Asau A, mult imea {x X | V A = V V (x)}; un element al multimiicl A se numeste punct aderent mult imii A.Teorema 1.1.6 Fie (X, ) un spat iu topologic si A, B X . Au loc urm a-toarele propriet at i: (i) int A = {D | A D} ; (ii) int A A;(iii) A int A = A; (iv) int (int A) = int A; (v) int X = X ;(vi) A

B

int A

int B ; (vii) int A

int B

int( A

B );(viii) int A int B = int ( A B ).

Are loc un rezultat dual pentru aderent a.

Teorema 1.1.7 Fie (X, ) un spat iu topologic si A, BX . Au loc urm a-toa-rele: (i) A = {F F | AF } F ; (ii) AA; (iii) A F A = A;(iv) cl A = A; (v) = ; (vi) AB AB ; (vii) A B = AB ;(viii) A BA B ; (ix) A int BA B .

Relat iile dintre interior si aderent a sunt date n urm atoarea teorem a.

Teorema 1.1.8 Fie (X, ) un spat iu topologic si AX . Atunci

X \ A = X \ int A, int( X \ A) = X \ A.Mult imea A(X, ) se numeste dens a dac a A = X . Spunem c a spat iul

topologic ( X, ) este separabil dac a exist a AX dens a si cel mult numarabil a.O alta notiune topologic a important a este aceea de frontiera. Se numeste frontiera mult imii A(X, ) mult imea Fr A := A X \ A = A \ int A.

Fie acum ( X, ) un spat iu topologic si = X 0 X . Putem considera X 0 := {D X 0 | D }. Rezult a imediat (exercitiu !) c a X 0 este topologiepe X 0, numit a urma topologiei pe X 0 sau topologia indus a de pe X 0. Seobserv a usor (exercitiu !) c a pentru xX 0

V 0 V X 0 (x) V V (x) : V 0 = V X 0.Analog (exercit iu !), avem c a

F 0 F X 0 F F : F 0 = F X 0.Mai observ am ca daca (X, ) este separat atunci ( X 0, X 0 ) este de asemeneaseparat.


13/249


Daca (X 1, 1) si ( X 2, 2) sunt spatii topologice atunci pentru ecare ( x1, x2)din X 1 X 2 putem consideraV (x1, x2) := {V X 1 X 2 | V 1 V 1 (x1), V 2 V 2 (x2) : V 1 V 2V }.

Se obtine cu usurint a (exercit iu !) ca {V (x1, x2) | (x1, x2)X 1 X 2}satis-face condit iile din Teorema 1.1.2. Prin urmare exist a o unic a topologie peX 1 X 2, notata 1 2, astfel ncat V (x1, x2) = V (x1, x2) pentru orice(x1, x2) X 1 X 2. Topologia se numeste topologia produs pe X 1 X 2a topologiilor 1 si 2. Remarc am ca topologia 1 2 este separata dac a sinumai dac a topologiile 1 si 2 sunt separate (exercit iu !).

Mai general, daca avem o familie de spat ii topologice ( X i , i ), iI = ,putem considera spat iul

X :=iI

X i = {(x i )iI | x iX i iI }= x : I iI X i x(i) = x iX i iI .

Pentru x = ( x i )X consider am

V (x) := {V X | J I, J nit a, iI, V i V i (x i ) :iI V iV, V i = X i iI \ J }.

Se constata din nou c a

{V (x)

|x

X

}satisface condit iile din Teorema 1.1.2 si

deci exist a o unica topologie pe X , notata iI i , astfel ncat V (x) = V (x)pentru orice xX . In plus, avem c a (X, ) este separat dac a si numai daca(X i , i ) este separat pentru orice iI .Are loc urm atorul rezultat.Teorema 1.1.9 Fie (X, ) un spat iu topologic. Urm atoarele armat ii sunt echivalente:

(i) (D i)iI , X = iI D i , J I, J nit a : X = iJ D i ,

(ii) (F i )iI F , iI F i = , J I, J nit a : iJ F i = ,(iii) (F i )iI F : [ iJ F i = J I, J nit a ] iI F i = .

O familie de mult imi ( D i )iI astfel ncat A iI D i se numesteacoperire deschis a pentru A. Proprietatea (i) din Teorema 1.1.9 se enunt ade obicei sub forma : din orice acoperire deschis a a lui X se poate extrage osubacoperire nita.

Spat iul topologic ( X, ) se numeste compact dac a este separat si din oriceacoperire deschisa a lui X se poate extrage o subacoperire nit a.

Un rezultat deosebit de important este dat de urm atoarea teorem a.


14/249


Teorema 1.1.10 (Tihonov). Fie (X i , i ), i I = , o familie de spat ii topologice, X = iI X i si = iI i . Atunci (X, ) este compact dac a si numai dac a (X i , i ) este compact pentru orice iI .

Notiunea de compacitate se poate extinde si la submult imi ale unui spatiutopologic. Astfel mult imea A (X, ) se numeste compact a dac a (A, A)este spat iu compact. Se verica cu usurint a (exercit iu !) ca dac a (X, ) esteseparat, AX este compacta dac a si numai daca din orice acoperire deschisaa mult imii A se poate extrage o subacoperire nit a. In plus are loc urmatorulrezultat.

Teorema 1.1.11 Fie (X, ) un spat iu topologic separat si A, BX .(i) Dac a (X, ) este compact si A este nchis a atunci A este compact a.

(ii) Dac a A este compact a atunci A este nchis a.

(iii) Dac a A este compact a si B este nchis a, iar B A, atunci B estecompact a.

Fie acum ( X, ), (Y, ) spat ii topologice si f : X Y o functie. Spunemca f este continu a n aX dac a

V V (f (a)) , U V (a), xU : f (x)V. (1.2)Desigur, n condit ia (1.2) V (f (a)) si V (a) pot nlocuite cu sisteme funda-mentale de vecinat at i U (f (a)) si U (a) ale lui f (a) respectiv a.

Spunem c a f : (X, ) (Y, ) este continu a (pe X ) dac a f este continuan orice punct din X . Dac a f este bijectiva si bicontinu a (adic a f si f 1 suntcontinue) spunem c a f este un homeomorsm , iar spat iile (X, ) si ( Y, ) senumesc homeomorfe .

Desigur, daca f : (X, ) (Y, ) este continua (n punctul a X ) sig : (Y, ) (Z, ) este continua (n b = f (a)Y ) atunci g f este continua(n a).

Are loc urm atorul rezultat.

Teorema 1.1.12 Fie f : (X, ) (Y, ). Urm atoarele armat ii sunt echiva-lente: (i) f este continu a, (ii) f 1(D) D , (iii) f 1(F ) F F F , (iv) f (A)f (A) AX .

Un rezultat util este urmatorul.

Teorema 1.1.13 Fie (X, ), (Y, ) spat ii topologice separate si f : X Y o funct ie continu a. Dac a AX este compact a atunci f (A) este compact a.


15/249


Not am prin IR mult imea numerelor reale, iar mult imea {IR | 0},a numerelor reale pozitive, prin IR + . Pe IR consider am acea topologie cuproprietatea c a

V () = {V IR | > 0 : ] , + [V }pentru orice IR . Topologia introdusa mai nainte se numeste topologia uzual a a lui IR , si se noteaz a prin 0.

Foarte mult utilizat a n continuare va si mult imea IR := IR{, + },unde elementele distincte si := + nu se gasesc n IR . Convenimca

< 0 : ]x , x + [V }pentrux IR , V () = {V IR | IR : ], ]V }, iar V () se denesten mod similar. Observ am ca urma topologiei uzuale a lui IR pe IR este chiartopologia uzuala a lui IR .

Sa observ am ca funct ia f : (X, ) IR este continua n a dac a si numaidac aIR , < f (a), U V (a), xU : < f (x) (1.3)

si

IR , > f (a),

U

V (a),

x

U : > f (x). (1.4)

Aceste condit ii sugereaz a introducerea funct iilor semicontinue. Astfel,funct ia f : (X, ) IR este inferior semicontinu a n a X , pe scurt i.s.c.n a, dac a este ndeplinit a condit ia (1.3), iar f este superior semicontinu a n a, pe scurt s.s.c. n a, daca este ndeplinit a condit ia (1.4). Se observa ca f este s.s.c. n a dac a si numai daca f este i.s.c. n a. Din denit ia de mai susrezult a ca dac a f (a) = , f este i.s.c. n a, iar dac a f (a) = atunci f estes.s.c. n a.

Spunem c a f : (X, ) IR este inferior (superior) semicontinu a , pe scurti.s.c. (s.s.c.), daca f este inferior (superior) semicontinu a n ecare punct dinmult imea X .

Uneori, pentru a pune n evident a faptul c a f este i.s.c. (s.s.c.) n raportcu topologia vom scrie -i.s.c. ( -s.s.c.).

Pentru f : X IR si IR not amdom f := {xX | f (x) < },

epi f := {(x, t )X IR | f (x) t},niv f := {xX | f (x) }.


16/249


Mult imile dom f si epi f se numesc domeniul si respectiv epigraful functieif , iar niv f se numeste mult imea de nivel al funct iei f . Funct ia f esteproprie dac a dom f = si f (x) > pentru orice xX . Este evident cadom f = Pr X (epi f ), unde Pr X : X IR X, Pr X (x, t ) := x, este proiect ia lui X IR pe X ; astfel de proiect ii vor mai folosite n continuare.Referitor la functii inferior semicontinue are loc urm atorul rezultat.Teorema 1.1.14 Fie f : (X, ) IR . Urmatoarele armat ii sunt echivalente:

(i) f este inferior semicontinu a,

(ii) niv f este mult ime nchis a pentru orice IR ,

(iii) epi f este mult ime nchis a n X IR ,(iv) {xX | f (x) > } pentru orice IR .

Demonstrat ie. (i) (ii) Fie IR si x /niv f ; atunci f (x) > . Cum f este i.s.c. n x, exist a U V (x) astfel ncat f (y) > pentru orice yU . Prinurmare U niv f = , ceea ce arata ca x /niv f . Deci niv f este nchisa.(ii) (iii) Fie ( x, t )(X IR ) \ epi f ; deci f (x) > t . Exist a IR astfelca f (x) > > t . Atunci x /niv f , si deci exist a U V (x) cu U niv f = .Prin urmare U ] , ] epi f = . Cum U ] , ] V (x, t ), avem c a(x, t ) /epi f . Deci epi f este mult ime nchisa.(iii) (i) Fie xX si tIR astfel ca f (x) > t . Atunci ( x, t ) /epi f si

deci exist a U V (x) si > 0 astfel ncat ( U ]t , t + [)epi f = . Rezult aca pentru orice yU, (y, t ) /epi f , adic a f (y) > t . Prin urmare f este i.s.c.n x. Cum x este arbitrar, f este i.s.c.(ii) (iv) deoarece {xX | f (x) > }= X \ niv f pentru IR .In urm atoarea teorem a colectam cateva rezultate importante referitoare la

operat ii cu funct ii i.s.c.

Teorema 1.1.15 Fie f, f 1, f 2, f i : (X, ) IR (i I = ) funct ii inferior semicontinue si ]0, [. Atunci: (i) f este i.s.c., (ii) f 1 + f 2 este i.s.c.dac a f 1(x) + f 2(x) are sens pentru orice xX si (iii) sup iI f i este i.s.c.

Demonstrat ie. (i) si (iii) rezulta imediat din denitie. Presupunem c a

f 1(x) + f 2(x) are sens pentru orice x X . Fie a X si IR astfel ca

< f 1(a) + f 2(a). Exista 1, 2 IR astfel ca = 1 + 2 si 1 < f 1(a),2 < f 2(a). Intr-adevar, dac a f 2(a) = consider am 1 ] , f 1(a)[ si2 := 1. Dac a f 2(a) < atunci f 2(a) < f 1(a); n acest caz consider am1 ] f 2(a), f 1(a)[ si 2 := 1. Cum f 1, f 2 sunt i.s.c. n a, exist aV 1, V 2 V (a) astfel ca

i {1, 2}, xV i : i < f i (x).


17/249


Consider and V := V 1 V 2, avem ca < f 1(x) + f 2(x) pentru orice x V .Deci f 1 + f 2 este i.s.c. n a. Cum aX este arbitrar, f 1 + f 2 este i.s.c.Un exemplu de functie frecvent utilizat a n teoria optimiz arii este funct ia

indicatoare a unei mult imi. Astfel funct ia indicatoare a mult imii AX este

I A : X IR , I A(x) :=0 daca xA,

dac a xX \ A.Observ am ca dom I A = A si epi I A = A [0, [. In plus I A este i.s.c. daca sinumai dac a A este nchisa.

Observatia c a pentru o functie f : X

IR , f (x) = inf

{t

|(x, t )

epi f

}pentru orice x X (cu convent ia c a inf = + ), sugereaz a urm atoareaconstructie. Fie AX IR o mult ime de tip epigraf , adic a (x, t 2)A dac a(x, t 1)A si t1 t2 < . Pentru o astfel de mult ime A consider am funct ia

A : X IR , A(x) := inf {t | (x, t )A}.Este clar c a dom A = Pr X (A). Observ am ca dac a (X, ) este spat iu topologicsi AX IR este de tip epigraf atunci

A epi A A. (1.5)

Prin urmare, dac a A este nchisa, A este i.s.c. Se numeste nf asur atoarea

i.s.c. sau nchiderea i.s.c. a funct iei f : (X, ) IR

funct iaf := epi f .

Fie f : A(X, ) IR o functie; limita inferioar a si limita superioar a afunct iei f n aA sunt, respectiv, numerele:

liminf xa

f (x) := supU V (a )

inf xU A

f (x), lim supxa

f (x) := inf U V (a )

supxU A

f (x);

este evident ca

lim inf xa

f (x) limsupxa f (x) si lim supxa f (x) = lim inf xa (f )(x).In plus, dac a aA atunci lim inf xa f (x) f (a) lim sup xa f (x).

Are loc urm atorul rezultat.

Teorema 1.1.16 Fie f, g : (X, ) IR si xX . Atunci:(i) epi f = epi f , si deci f f ;

(ii) f = sup {g : X IR | g f, g i.s.c. };(iii) f (x) = liminf yx f (y);

(iv) f (x) = f (x) f este i.s.c. x .


18/249


Demonstrat ie. (i) Din relat ia (1.5) avem ca

epi f epi f cl epi f = epi f .

Prin urmare epi f = epi f si f f .(ii) Fie f := sup {g : X IR | g f, g i.s.c.}. Din Teorema 1.1.14avem c a f este i.s.c., iar din (i) avem c a f f . Prin urmare f f . DinTeorema 1.1.15 (iii) avem ca f este i.s.c., iar din construct ie f f . Rezult aca f f , si deci f = f .(iii) Fie x X xat si := liminf yx f (y); sa ar at am c a f (x) = .Fie t

IR astfel ca ( x, t )

epi f si V

V (x). Atunci pentru > 0,

V ], t + [ V (x, t ), si deci exista (x , t )epi f V ], t + [. Deciinf yV f (y) f (x ) t < t + . Cum > 0 este arbitrar, inf yV f (y) t , sideci t . Prin urmare f (x). Dac a nu exist a tIR astfel ca ( x, t )epi f ,atunci f (x) = , si deci inegalitatea de mai sus are loc. Dac a f (x) = ,din cele de mai sus avem c a = f (x). Presupunem deci c a f (x) > si etIR , t < f (x). Atunci ( x, t ) /epi f = epi f . Prin urmare exist a V 0 V (x)si 0 > 0 astfel ca epi f V 0]t 0, t + 0[ = . Deci f (y) t + 0 pentruorice yV 0, de unde inf yV 0 f (y) t + 0 > t . Prin urmare f (x) .Am obt inut astfel ca = f (x).

(iv) Fie xX . Stim deja ca f (x) f (x). Presupunem ca f este i.s.c. n xsi e

IR , < f (x). Atunci exista V

V (x) astfel ca < f (y) pentru orice

yV . Din (iii) avem c a f (x) inf yV f (y) . Prin urmare f (x) f (x), sideci f (x) = f (x). Presupunem acum ca f (x) = f (x) si e IR , < f (x).Din (iii) avem c a exist a V V (x) astfel ca < inf yV f (y), adic a f (y) > pentru orice yV . Prin urmare f este i.s.c. n x.

In cele ce urmeaz a IN noteaz a mult imea numerelor naturale, iar IN mult i-mea IN \ {0}a numerelor naturale strict pozitive.

Fie (X, ) spat iu topologic; spunem ca sirul ( xn )nIN X este convergent dac a

xX, V V (x), nV IN , nIN , n nV : xn V. (1.6)Desigur, n condit ia (1.6) se poate nlocui V (x) cu un sistem fundamental devecin at at i U (x) ale lui x.Elementul x din condit ia (1.6) se numeste limit a a sirului ( xn ) si se noteaz a(xn ) x, sau, mai simplu, xn x. Sa observ am ca dac a (X, ) este separat,iar sirul ( xn )X este convergent, atunci limita sa este unic a; n acest caz mainot am si x = lim xn . Rezult a imediat c a dac a (xn )A(X, ) si xn xatunci xA (exercit iu !).


19/249

1.2 Spatii metrice 11

Sa observ am ca liminf n f (xn ) f (x), dac a f este i.s.c. n x si xn x,unde pentru ( n )IR , lim inf n n := sup nIN inf m n m .Existenta solut iilor problemelor de optimizare este obt inuta, n mod obis-nuit, utilizand urmatorul rezultat.

Teorema 1.1.17 (Weierstrass). Fie (X, ) un spat iu topologic compact si f : X IR o funct ie inferior semicontinu a. Atunci exist a xX astfel ncat f (x) f (x) pentru orice xX . In plus, dac a f este proprie, f este m arginit a inferior si si atinge minimul.

Demonstrat ie. Daca f nu-i proprie concluzia este evident a. Fie deci f proprie si := inf

{f (x)

|x

X

}. Daca exist a x

X astfel ca f (x) = atunci

IR si concluzia are loc. Presupunem deci c a f (x) > pentruorice x X . Atunci X = > D , unde D := {x X | f (x) > }.Deoarece f este i.s.c., D este deschis a pentru orice ], [. Cum X estecompact, exista 1, . . . , n ], [ astfel ca X = ni=1 D i . Putem presupuneca 1 = min { i | 1 i n}. Atunci X = D 1 si deci f (x) > 1 > pentruorice x, contrazic and alegerea lui .

1.2 Spat ii metrice

Un exemplu important de spat iu topologic este acela de spat iu metric. Inaceast a sectiune, pe l ang a denit iile spat iului metric si cateva not iuni uzuale,punem n evident a cateva rezultate deosebit de importante.

Fie X = ; aplicat ia d : X X IR + se numeste metric a sau distant a dac aM1) x, yX : d(x, y) = 0 x = y, M2) x, yX : d(x, y ) = d(y, x ),M3) x, y, z X : d(x, z ) d(x, y) + d(y, z ). Perechea ( X, d ) se numestespat iu metric . Denim B (x, ) := {yX | d(x, y ) < }, numit a sfer a deschis a de centru x X si raz a > 0, si U (x) := {B (x, ) | > 0}. Se verica cuusurinta ca {U (x) | xX }satisface condit iile din Teorema 1.1.4 (exercit iu !).Prin urmare exista o topologie unic a d pe X astfel ncat U (x) este sistemfundamental de vecin at at i pentru x, oricare ar xX . De ecare dat a candavem un spatiu metric ( X, d ), consider am pe X topologia d obtinuta maisus. Sa observ am ca orice spat iu metric este separat (exercit iu !). Pentru unelement x (X, d ) exist a mai multe sisteme fundamentale de vecin at at i; pelang a cel indicat mai sus iata nc a dou a exemple :

U 1(x) = B (x, 1n ) | nIN , U 2(x) = {D (x, ) | > 0},unde D (x, ) := {y X | d(y, x ) }. Prin urmare orice spat iu metricsatisface prima axioma a num arabilitat ii. Remarcam ca B (x, ) este mult imedeschis a, iar D (x, ) este mult ime nchisa, pentru orice x(X, d ) si > 0.


20/249


Un exemplu deosebit de important de spat iu metric este IR cu metricad(x, y ) = |x y|, numit a metrica uzual a ; topologia determinat a de metricauzual a pe IR este tocmai topologia uzual a descris a n sectiunea precedent a. Inmod asem an ator, pe IR k , kIN

, consider am metrica

d : IR k IR k IR , d(x, y ) := (x1 y1)2 + + ( xk yk)2;topologia determinat a de aceast a metric a o not am tot prin 0. In spat ii metricemai avem si urmatoarea notiune. Sirul ( xn )(X, d ) se numeste fundamental sau Cauchy dac a

> 0, n IN , n, m n : d(xn , xm ) < .Observ am c a dac a sirul ( xn ) (X, d ) este convergent atunci ( xn ) este sirfundamental. Reciproca nu este n general adev arat a. Reamintim ca un sir deforma ( xn k )kIN , cu (nk )IN sir strict crescator, se numeste subsir al sirului(xn ). Are loc urm atorul rezultat.

Teorema 1.2.1 Fie (xn )(X, d ) sir fundamental. Dac a (xn ) are un subsir convergent la xX atunci xn x.

Spat iul metric ( X, d ) se numeste complet dac a orice sir fundamental este

convergent. Uneori este util a urm atoarea caracterizare a spat iilor metricecomplete.

Teorema 1.2.2 Fie (X, d ) spat iu metric. Urm atoarele dou a armat ii sunt echivalente:

(i) (X, d ) este spat iu metric complet,

(ii) (xn )X astfel ca n 0d(xn , xn +1 ) < : (xn ) este convergent.Demonstrat ie. (i) (ii) Fie ( xn ) X un sir cu proprietatea ca seria

n 0d(xn , xn +1 ) este convergenta. Deoarece pentru n, m IN , n < m , areloc inegalitatea

d(xn , xm ) d(xn , xn +1 ) + + d(xm 1, xm ),utiliz and Teorema lui Cauchy de caracterizare a convergent ei unei serii, obt i-nem imediat ca sirul ( xn ) este sir Cauchy, si deci este convergent.

(ii) (i) Fie ( xn )X sir Cauchy. Atunci

kIN , mkIN , n, m IN , n, m mk : d(xn , xm ) < 2 k .


21/249

1.2 Spatii metrice 13

Consider am n0 := m0, n1 := max {n0 + 1 , m 1}, . . . , n k+1 := max {nk + 1 ,mk+1 }, . . . ; este clar c a sirul ( nk )IN este strict crescator si nk mk pentruorice kIN . Prin urmare d(xn k , xn k +1 ) < 2 k , ceea ce implica faptul c a seriak 0d(xn k , xn k +1 ) este convergenta. Din ipotez a rezult a ca sirul ( xn k )kIN este

convergent, iar din teorema precedent a rezult a ca sirul ( xn ) este convergent.

Pentru a stabili o alt a caracterizare util a a spat iilor metrice complete avemnevoie de urm atoarea notiune. Fie A(X, d ); se numeste diametrul mult imiiA elementul diam A := sup {d(x, y ) | x, yA} IR ; avem ca diam A = diam A(exercit iu !). Spunem ca A este m arginit a dac a diam A < . Observ am ca Aeste m arginita dac a si numai daca A este cont inuta ntr-o sfera.Teorema 1.2.3 (Cantor). Spat iul metric (X, d ) este complet dac a si numai dac a orice sir descresc ator de mult imi nchise si nevide din X , cu diametrul tinzand la 0, are intersect ia nevid a.

Demonstrat ie. Presupunem pentru nceput c a (X, d ) este spat iu metriccomplet si e ( F n ) P (X ) astfel ca pentru orice nIN , = F n +1 F n = F nsi diam F n 0. Pentru ecare n IN consider am xn F n . Atunci pentrun, m p, xn , xm F p, si deci d(xn , xm ) diam F p. Prin urmare ( xn ) estesir fundamental. Deoarece ( X, d ) este complet, exista xX astfel ca xn x.Cum xn F p pentru n p si xn x, rezult a ca x F p = F p pentru orice p

IN , si deci x

p

IN F p =

.Demonstram implicat ia invers a. Fie deci ( xn )X un sir Cauchy; conside-

ram F n := An , unde An := {xm | m n}. Este evident ca pentru orice nIN , = F n +1 F n = F n . Deoarece ( xn ) este sir Cauchy, diam F n = diam An 0.Deci exista x nIN F n . Cum xF n , avem ca d(xn , x) diam F n 0, ceeace arat a ca xn x.

Un rezultat interesant este urm atorul.

Teorema 1.2.4 (Baire). Fie (X, d ) spat iu metric complet si (Dn ) un sir demult imi deschise si dense din X . Atunci nIN D n este dens a n X .

Demonstrat ie. A ar ata c a A :=n

IN Dn este dens a revine la a ar ataca D A = pentru orice D \ {}. Fie deci D mult ime deschis a sinevid a. Cum D 1 = X , exist a x1D D 1, si deci exist a r 1]0, 1] astfel caD (x1, r 1) D D 1. Cum D2 = X , avem ca exist a x2 B (x1, r 1) D 2, sideci exist a r 2 ]0, 1/ 2] astfel nc at D (x2, r 2) B (x1, r 1) D 2. Continuandn acest mod, gasim sirurile ( xn ) X si ( r n ) ]0, [, rn 0, astfel ncatD (xn +1 , r n +1 )B (xn , r n )D n +1 pentru orice n 1. Luand F n := D (xn , r n ),avem ca sirul ( F n ) este un sir descrescator de mult imi nchise, nevide, cu


22/249


diam F n 0. Din teorema lui Cantor rezulta existent a unui x nIN F n .Cum F n Dn pentru orice nIN , x nIN Dn = A si xF 1D , ceea cearata ca D A = .O consecint a a acestui rezultat, cu profunde implicat ii n cele ce urmeaza,

este urm atoarea teorem a.

Teorema 1.2.5 (Baire). Fie (X, d ) spat iu metric complet si (F n ) un sir demult imi nchise din X . Dac a X = nIN F n atunci exist a n0 IN astfel ca int F n 0 = .

Demonstrat ie. Presupunem, prin reducere la absurd, c a int F n =

pentruorice n. Atunci Dn := X \ F n este deschis a si D n = X \ int F n = X . Aplicandteorema precedent a, obtinem ca nIN D n = X \ ( nIN F n ) = este dens a nX , absurd.

Un alt rezultat, stabilit relativ recent, cu importante aplicat ii, este prin-cipiul variat ional al lui Ekeland.

Teorema 1.2.6 (Ekeland). Fie (X, d ) spat iu metric complet si f : X IRo funct ie proprie, inferior semicontinu a si m arginit a inferior. Atunci pentru orice x0dom f si > 0 exist a xX astfel ca

f (x)

f (x0)

d(x0, x ),

si f (x) < f (x) + d(x , x) xX \ {x}.

Demonstrat ie. Fie x0 dom f si > 0 dati. Pentru ecare x X consider am mult imea F (x) := {y X | f (y) + d(x, y) f (x)}. Avem c axF (x)dom f pentru orice xdom f si F (x) = X pentru xX \ dom f .Mai observ am ca pentru yF (x), F (y)F (x). Relat ia este evident a pentrux /dom f . Fie deci xdom f, y F (x) si zF (y). Atunci

f (z) + d(y, z ) f (y), f (y) + d(x, y ) f (x), d(x, z ) d(x, y ) + d(y, z ).Inmult ind ultima relat ie cu si apoi sum and cele trei relat ii, rezult a caf (z) + d(x, z ) f (x), adic a zF (x). Pentru ecare xX consider am

g(x) := inf {f (y) | yF (x)} IR(f ind marginit a inferior). Obtinem c a pentru xdom f si yF (x), avem

d(x, y ) f (x) f (y) f (x) g(x). (1.7)


23/249


24/249


Sa observ am ca dac a (Ai) iI P (X ) este o familie de mult imi ane (con-vexe, echilibrate, conuri) atunci iI Ai este an a (convex a, echilibrata, con)(exercit iu !); folosim convent ia iAi = X . Avand n vedere cele de maisus putem introduce not iunile de nfasuratoare ana, convex a, echilibrata siconica a unei mult imi. Astfel nf asur atoarea an a a mult imii AX este

aff A := {V | AV X, V ana},nf asur atoarea convex a este

conv A :=

{C

|A

C

X, C convex a

},

nf asur atoarea conic a este

con A := {C | AC X, C con},iar nf asur atoarea echilibrat a este

ech A := {E | AE X, E echilibrata}.Desigur, nf asur atoarea liniar a a mult imii A este

lin A := {Y | AY X, Y subspat iu liniar }.Se poate dovedi cu usurint a (exercit iu !) c a

aff A =n

i=1 i x i nIN

, ( i )IR , (x i )A,n

i=1 i = 1 ,

conv A =n

i=1 i x i nIN

, ( i )[0, [, (x i)A,n

i=1 i = 1 ,

con A = {x | 0, xA}= [0, [A,ech A = {x | [1, 1], xA}= [1, 1] A.

Un rezultat deosebit de interesant este formulat n teorema urm atoare.

Teorema 1.3.1 (Caratheodory). Fie X spat iu liniar de dimensiune nIN

si AX o mult ime nevid a. Atunci

conv A =n +1

i=1 i x i ( i)1 i n +1 [0, [, (x i )1 i n+1 A,

n +1

i=1 i = 1 .


25/249


26/249


Teorema 1.3.2 Fie AX o mult ime convex a si absorbant a. Atunci pA estesubliniar a si

aint A = {xX | pA(x) < 1} A {xX | pA(x) 1}.In plus, dac a A este simetric a, pA este seminorm a.

Demonstrat ie. Fie (x) := { 0 | x A}pentru ecare x X .Deoarece A este absorbant a, (x) = pentru orice xX si (0) = [0 , [, iarpentru ca A este convex a, (x) este un interval nemarginit la dreapta. Intr-adev ar, pentru x = 0 , (x) si > avem ca > 0,

1 xA,

]0, 1[ si

deci 1 x = 1 x +(1 )0A, adic a (x). Este clar c a pA(x) = inf ( x).Cum ( tx ) = t(x) pentru t > 0 si xX , avem ca pA(tx ) = tpA(x) pentrut > 0, egalitatea ind evident a pentru t = 0.Fie acum x, y X astfel ca 0 pA(x) < , 0 pA(y) < . Avem c a

(x), (y), si deci x + y A + A = ( + )A. Prin urmare pA(x + y) + . Luand = pA(x) + 1 /n si = pA(y) + 1 /n , apoi, trec andla limit a, obtinem ca pA(x + y) pA(x) + pA(y), si deci pA este subliniara.Este evident ca

{xX | pA(x) < 1} A {xX | pA(x) 1}.

Fie pA(a) < 1; ar at am c a a aint A. Fie x X ; pentru :=1 pA (a )1+ pA (x) > 0avem

pA(a + x ) pA(a) + pA(x) = pA(a) + (1 pA(a))pA(x)

1 + pA(x)< 1.

Deci a + x A, de unde rezulta ca aaint A.Fie aaint A; pentru x = a exist a > 0 astfel ca a + a = (1 + )aA,si deci pA(a) (1 + ) 1 < 1. Prin urmare aint A = {xX | pA(x) < 1}.Daca A este simetrica este evident ca (x) = ( x) pentru orice x; rezult a

ca pA este seminorma.

In condit iile Teoremei 1.3.2 avem ca [0, x[

aint A pentru orice x

A.Cum a aint A A a este absorbant a, dac a A este convex a atunciaint A este convex a si [a, x [aint A pentru orice aaint A si xA. Acelasirezultat este valabil si pentru interiorul algebric relativ, adic a, dac a A esteconvex a atunci raint A este convex a si [a, x [raint A pentru orice araint Asi xA.

Interiorul algebric mai are si urm atoarele propriet at i. Fie A, B X mul-timi nevide, x X si IR \ {0}; atunci: 1) raint ( x + A) = x + raint A;


27/249

1.3 Teorema Hahn-Banach si teoreme de separare algebric a 19

2) raint ( A) = raint A; 3) A + aint Baint ( A + B ); 4) dac a aint B = B ,A + aint B = aint ( A + B ); 5) raint A + raint Braint ( A + B ); 6) dac a A, Bsunt convexe, raint A = si raint B = , raint( A + B ) = raint A + raint B ;7) raint A = dac a dim X < si A este convex a.

Un rezultat fundamental al analizei funct ionale este teorema Hahn-Banach.

Teorema 1.3.3 (Hahn-Banach). Fie X spat iu liniar real, X 0 un subspat iu liniar al lui X, p : X IR o funct ional a subliniara si 0 : X 0 IR o funct ional a liniar a. Dac a 0(x) p(x) pentru orice x X 0 atunci exist a : X IR o funct ional a liniar a astfel ca |X 0 = 0 si (x) p(x) pentru orice x

X .

Demonstrat ie. Facem demonstrat ia n doua etape: a) 0 se prelungeste laX 0 + IR x, unde xX \ X 0, prin p astrarea major arii cu p si b) aplicand lemalui Zorn, 0 se prelungeste la ntreg spat iul X prin p astrarea major arii cu p.

a) Fie x /X 0 si X 1 := X 0 + IR x. Fiecare yX 1 se scrie n mod unic subforma y = u + x cu uX 0, IR .

Fie u, vX 0, , > 0. Avem c a

0(v) + 0(u) = 0(v + u) p(v + u) p(v x ) + p(u + x )

p(v

x) + p(u + x ).

Deci

[0(v) p(v x)]/ [ p(u + x ) 0(u)]/ , > 0, u, vX 0,ceea ce arat a ca exist a IR astfel ca

[0(v) p(v x)]/ [ p(u + x ) 0(u)]/ , > 0, u, vX 0.Consider am

1 : X 1 IR , 1(y) := 0(u) + ,unde y = u + x, u X

0, IR . Este evident ca 1 este liniar a si 1|X 0 = 0.In plus, dac a > 0 atunci

1(u + x ) = 0(u) + 0(u) + [ p(u + x ) 0(u)]/ = p(u + x ),iar dac a < 0 atunci (luand = > 0 si v = u)1(u + x ) = 0(u) + 0(u) + [0(v) p(v x)]/ = p(u + x ).


28/249


Deci 1(y) p(y) pentru orice yX 1.b) Fie

F := {(, Y ) | X 0Y X, Y = lin Y, : Y IR liniar a,|X 0 = 0, (y) p(y) yY }.

Pentru ( , Y ), (, Z ) F spunem c a (, Y ) (, Z ) dac a Y Z si |Y = .Este evident ca (F , ) este o mult ime ordonata. Fie L = {(i , Y i ) | iI } F un lant ( I = ). Consider am Y := iI Y i si : Y IR , (y) := i (y) pentruyY i . Rezult a usor c a Y este spat iu liniar (deoarece L este lant ) si este binedenit a si liniar a. In plus

|Y i = i si (y)

p(y) pentru orice y

Y . Prinurmare ( , Y ) F si (i , Y i) (, Y ) pentru orice iI . Am obt inut astfel caL este majorat n F . Din lemma lui Zorn rezult a ca F are elemente maximale.Fie (, Y ) un element maximal al lui F . Presupunem ca Y = X ; atunci existax X \ Y . Din etapa a), aplicat a pentru , Y si x, obtinem o funct ional aliniar a : Z := Y + IR x IR astfel ca |Y = si (z) p(z) pentruorice z Z . Deoarece (, Y ) F , |X 0 = 0, si deci (, Z ) F . In plus(, Y ) (, Z ); (, Y ) ind element maximal n F , avem ca (, Y ) = ( , Z ).Prin urmare obt inem contradict ia x Z = Y . Rezult a ca X = Y , ceea cearata ca este funct ionala c autata.

O consecint a important a a teoremei Hahn-Banach este urm atoarea teo-

rema de separare.Teorema 1.3.4 (separare algebrica). Fie A X o mult ime convex a cu raint A = si x0X \raint A. Atunci exist a o funct ional a liniar a : X IR ,neconstant a pe A{x0}, astfel ncat

(x) (x0) xA. (1.8)Demonstrat ie. Far a a restr ange generalitatea putem presupune c a 0 este

n raint A (n caz contrar se face o translat ie).Pentru nceput consider am cazul n care aff A = X (= lin A). In aceast a

situat ie A este convex a si absorbant a. Din Teorema 1.3.2 rezulta c a funct ionalaMinkowski pA este subliniara; n plus, cum x0 /aint A = raint A, pA(x0) 1.Consider am 0 : IR x0 IR , 0(x 0) := pA(x0). Este evident ca 0 esteliniar a pe X 0 := IR x0 si 0(x) pA(x) pentru orice x X 0. Aplicandteorema Hahn-Banach obt inem o funct ional a liniar a : X IR astfel ncat(x0) = pA(x0) si (x) pA(x) pentru orice x X . In particular, pentruxA avem

(x) pA(x) 1 pA(x0) = (x0).


29/249

1.3 Teorema Hahn-Banach si teoreme de separare algebric a 21

Este evident ca nu-i constanta pe A{x0}((0) = 0 , (x0) 1).Fie acum aff A = X . Desprindem doua subcazuri: a) x0aff A =: X 0 sib) x0 /X 0. In cazul a) obt inem, ca mai sus, nlocuind X cu X 0, o functional aliniar a 0 : X 0 IR , neconstanta pe A {x0}, astfel ncat 0(x) 0(x0)pentru orice x A. Luand o prelungire liniara a lui 0 la ntreg spat iulse obtine funct ionala dorita. In cazul b) consideram X 1 := X 0 + IR x0 si1 : X 1 IR , 1(x + x 0) := pentru x X 0, IR . Atunci 1(x) = 0pentru x A si 1(x0) = 1. Lu and o prelungire liniara a lui 1 la ntregspat iul se obt ine funct ionala c autata.

Condit ia (1.8) de separare poate exprimat a si ntr-un alt mod. Fie

X \ {0}si IR . Consider am mult imileH , := {xX | (x) = }, H , (= H


30/249


31/249


32/249


1.4 Spat ii local convexe

In acest paragraf X este un spat iu liniar real iar P este o familie nevid a deseminorme pe X .Pentru xX, p1, . . . , p n P (nIN ) si > 0 denim

V (x; p1, . . . , p n ; ) := {yX | pi(y x) < i, 1 i n}.Este evident ca

V (x; p1, . . . , p n ; ) = x + V (0; p1, . . . , p n ; ). (1.10)

Pentru ecare element xX consideram familia de mult imi

U (x) := {V (x; p1, . . . , p n ; ) | nIN , p1, . . . , p n P , > 0}.Are loc urm atorul rezultat.

Teorema 1.4.1 Exist a o topologie unic a = P pe X astfel ca U (x) s a e sis-tem fundamental de vecin at at i pentru x, oricare ar xX . In plus aplicat iile(x, y ) x + y si (, x ) x sunt continue de la (X X, ), respectiv (IR X, 0 ), n (X, ).

Demonstrat ie. Familia {U (x) | xX }satisface condit iile VF1)VF3) aleTeoremei 1.1.4. Acest fapt rezulta, respectiv, din urm atoarele relatii:x V (x; p1, . . . , p n ; ),

V (x; p1, . . . , p n + m ;min{1, 2}) V (x; p1, . . . , p n ; 1) V (x; pn +1 , . . . , p n + m ; 2),

V (y; p1, . . . , p n ; ) V (x; p1, . . . , p n ; ),

unde yV (x; p1, . . . , p n ; ) si := max{ pi (y x) | 1 i n}; desigur, nrelat iile de mai sus n, m IN

, , 1, 2]0, [ si p1, . . . , p n + m P .Utiliz and teorema mai sus ment ionata, exist a o unic a topologie = P pe

X cu proprietatea c a U (x) este sistem fundamental de vecin at at i ale lui xpentru ecare xX . Continuitatea aplicat iei(X X, ) (x, y ) x + y(X, )

este o consecint a imediata a relat iei

V (x; p1, . . . , p n ; / 2) + V (y; p1, . . . , p n ; / 2) = V (x + y; p1, . . . , p n ; ),


33/249

1.4 Spatii local convexe 25

iar continuitatea aplicat iei ( IR X, 0 ) (, x ) x (X, ) rezult a usordin relat ia] , + [V (x; p1, . . . , p n ; )V (x ; p1, . . . , p n ; ),

unde := min {1, / (1 + ||+ max { pi (x) | 1 i n})}; desigur, > 0.Sa observ am ca putem nlocui familia P de seminorme cu

P := {max{ p1, . . . , p n} |nIN , p1, . . . , p n P},far a ca familia U (x) (x X ) sa se schimbe. In plus P are proprietatea c apentru orice p1, p2

P exist a p3

P astfel ca p1

p3, p2

p3, adic a

P este dirijat a . Astfel V V (x) dac a si numai daca exist a p P si > 0 astfelca V (x; p ; )V . Av and n vedere aceasta discut ie, n cele ce urmeaza vompresupune (n general) c a familia de seminorme P este dirijata (n caz contrarpoate nlocuita cu o familie dirijat a care s a induc a aceeasi topologie).

Consecint a 1.4.1 Consider am aX , IR \ {0}si aplicat iileT a , O : (X, P ) (X, P ), T a (x) = a + x, O (x) = x.

Atunci T a si O sunt homeomorsme.

O topologie pe spat iul liniar X se numeste liniar a dac a aplicat iile

(x, y ) x + y si ( , x ) x denite n teorema precedent a sunt continue.O topologie liniar a pe X fat a de care originea (si deci ecare punct din X )are un sistem fundamental de vecin at ati convexe se numeste local convex a , iarspat iul X se numeste local convex . Teorema 1.4.1 ne arata c a dac a P este ofamilie de seminorme pe X atunci X este un spat iu local convex, notat ( X, P ).De ecare data cand avem un spatiu local convex ( X, P ), consider am pe X topologia P dat a de Teorema 1.4.1.

Relat ia (1.10) arata ca topologia P este perfect determinat a de familia

U := U (0). Aceasta clasa de mult imi are proprietat ile :LC1) U U : U este convex a, absorbant a si echilibrata,LC2) U

1, U 2 U , U 3 U : U 3U 1 U 2,LC3) U U , V U : V + V U .Proprietatile LC2) si LC3) le are si familia V := V (0), dar nu si proprietatea

LC1), nsa orice mult ime din V este absorbant a.Se poate dovedi c a dac a o familie nevid a U de part i ale unui spatiu liniarreal are proprietat ile LC1)LC3) de mai sus atunci exist a o familie de semi-

norme P pe X astfel ca U sa e sistem fundamental de vecin at at i ale lui 0


34/249


fat a de topologia P . De fapt P = { pU | U U}, unde pU este funct ionalaMinkowski asociata mult imii U [din LC2) avem c a aceast a familie de semi-norme este dirijat a !].

In spat ii local convexe are loc o formul a simpl a pentru aderent a uneimult imi.

Teorema 1.4.2 Fie A(X, P ) si U 0 un sistem fundamental de vecin at at i ale lui 0. Atunci

A =U U 0

(A + U ). (1.11)

Demonstrat ie. Este clar c a formula (1.11) are loc pentru A = . Fiedeci A = . Demonstr am mai ntai formula pentru U 0 = V , sistemul tuturorvecin at at ilor lui 0. Fie xA si V V . Atunci V V , si deci x V V (x).Prin urmare A (x V ) = (xA + V ). Deci x V V (A + V ).

Invers, dac a x apart ine acestei mult imi si U V (x), atunci V := xU V .Rezult a ca xA + V ( (x V ) A = ), adic a U A = . Prin urmarexA.In cazul general, deoarece U 0 V , V V (A + V ) V U 0 (A + V ). Ins apentru orice V V exist a U U 0 astfel ca U V , ceea ce arat a ca are loc si

incluziunea inversa.

Mult imile convexe dintr-un spat iu local convex au proprietat i deosebite sidin punct de vedere topologic.

Teorema 1.4.3 Fie C (X, P ) ( P dirijat a) o mult ime convex a si nevid a.(i) C este mult ime convex a;

(ii) dac a aint C si xC atunci [a, x [int C ;

(iii) int C este mult ime convex a;

(iv) dac a int C = atunci int C = C si int C = int C ;

(v) dac a int C = atunci aint C = int C .

Demonstrat ie. (i) Lu am U 0 = U n formula (1.11). Cum suma a dou amult imi convexe este convexa, obt inem c a C este convex a.(ii) Fie aint C, xC si ]0, 1[; arat am ca a := (1 )a + x int C .

Exist a > 0 si p P astfel ca V (a; p; )C . Luam := 1 > 0. DeoarecexC , exist a x C V (x; p; ). Avem c a V := V (a ; p; (1 ))C , undea := (1 )a + x . Intr-adevar, dac a yV atunci

y = a + (1 )u = (1 )(a + u) + x ,


35/249


cu p(u) < ; deci a + uV C . Deoarece C este convex a avem c a yC .Insa p(a a ) = p(x x ) < = (1 ),

si deci

V (a ; p; (1 ) p(a a ))V (a ; p; (1 )) = V C.Deci int C .(iii) Fie a, bint C . Cum bC , din (ii) rezulta ca [a, b[int C , si deci[a, b]int C . Prin urmare int C este mult ime convex a.

(iv) Fie a0

int C xat. Din propriet atile aderentei si interiorului avem c aint C C si int C int C . Fie xC . Din (ii) avem c a

1n a0 + (1 1n )xint C pentru orice n IN . Trec and la limita obtinem c a x int C ; deci avem siC int C . Fie xint C . Datorita continuitat ii aplicat iei

: IR X, () := (1 )a0 + x,n 1, cum (1) int C , exist a 0 > 1 astfel (0) =: x0 C . Prin urmare,din (ii) avem c a x = (1 1 0 )a0 + 1 0 x0int C . Avem astfel c a int C int C ,ceea ce completeaz a demonstratia.

(v) Cum orice vecinatate a originii ntr-un spat iu local convex este ab-sorbanta, avem ntotdeauna c a int A aint A. Fie deci a0 int C (= !).

Far a a restrange generalitatea putem presupune c a a0 = 0 (nlocuim eventualC cu C a0). Fie x aint C ; din Teorema 1.3.2 avem ca pC (x) < 1. Prinurmare exista 0 > 1 astfel ca pC (0x) < 1, adic a x0 := 0xC . Atunci, din(ii), x = 1 0 x0[0, x0[int C . Demonstratia este completa.

Urm atorul rezultat se refer a la continuitatea funct ionalelor subliniare.

Teorema 1.4.4 Fie (X, P ) spat iu local convex, cu P dirijat a, si f : X IRo funct ional a subliniar a. Urm atoarele armat ii sunt echivalente:

(i) f este continu a;

(ii) f este continu a n origine;

(iii) > 0 : {xX | f (x) }este vecin atate a originii;(iv) M > 0, p P , xX : f (x) M p(x);(v) M > 0, p P , x, yX : |f (x) f (y)| M p(x y).

Demonstrat ie. Este evident ca (i) (ii) (iii) si (v) (i).(iii)(iv) Fie > 0 cu {x | f (x) } V (0). Atunci exist a > 0, p P astfel ca V (0; p; ) {x | f (x) }. Fie x X astfel ca p(x) > 0. Atunci


36/249


p 2 p(x) x = / 2 < , si deci f

2 p(x) x =

2 p(x) f (x) . Luand M := 2 / ,obt inem c a f (x) M p(x). Daca p(x) = 0, atunci p(tx ) = 0 pentru oricet > 0, de unde rezulta ca f (x) 0 = M p(x).(iv) (v) Avem ca f (x) = f (x y + y) f (x y) + f (y), si decif (x) f (y) f (x y) M p(x y). Schimb and x cu y, obtinem c a|f (x) f (y)| M p(x y) pentru orice x, yX .

Printre altele, acest rezultat ne arat a ca o functional a subliniar a este con-tinu a dac a si numai daca este lipschitzian a (condit ia (v) ), si toate seminormeledin P sunt continue n raport cu topologia P .

Consecint a 1.4.2 Fie U (X, P ) o vecin atate convex a a originii. Atunci funct ionala Minkowski pU asociat a vecin at at ii U este continu a si int U = {xX | pU (x) < 1}, U = {xX | pU (x) 1}. (1.12)

Demonstrat ie. Sa observ am mai nt ai ca 0int U aint U , si deci, dinTeorema 1.3.2 si Teorema 1.4.3, avem ca int U = {x X | pU (x) < 1}. Totdin Teorema 1.3.2 obtinem c a U {x X | pU (x) 1}. Chiar aceastarelat ie, mpreun a cu teorema precedent a, ne asigur a ca pU este continua, sideci U {x X | pU (x) 1}. Pentru a dovedi incluziunea invers a exX, pU (x) 1. Atunci pU nn +1 x < 1 si deci nn +1 xint U U pentruorice n

IN . Trec and la limita, obt inem c a x

U .

Pe un spat iu liniar X putem s a avem mai multe topologii local convexe.Se pune problema, de multe ori, de a compara acele topologii. O consecint a ateoremei precedente este si urm atorul rezultat.

Teorema 1.4.5 Fie P si Qdou a familii nevide si dirijate de seminorme peX . Atunci Q P q Q, M > 0, p P : q M p,

adic a orice seminorm a din Qeste P continu a.

Demonstrat ie. Conform Teoremei 1.1.1, t in and seama si de faptul c a ntr-otopologie liniar a V (x) = {x + V | V V (0)}, avem ca Q P V Q (x) V P (x) xX V Q (0) V P (0) .

Concluzia rezulta imediat utiliz and teorema precedent a.

Are loc urm atoarea teorem a de caracterizare a continuit at ii unui operatorliniar.


37/249


Teorema 1.4.6 Fie (X, P ), (Y, Q), cu P si Qdirijate, dou a spat ii local con-vexe si T L(X, Y ). Urm atoarele armat ii sunt echivalente:

(i) T este continuu;

(ii) T este continuu n origine;

(iii) q Q: q T este continuu;(iv) q Q, p P , M > 0 : q T M p;(v) q Q, p P , M > 0, x, yX :

|q(T (x))

q(T (y))

| M

p(x

y).

Demonstrat ie. Este evident ca (i) (ii), iar (ii) (iii) deoarece q este Q continu a si T este continuu n origine.

Echivalenta condit iilor (iii), (iv) si (v) rezult a din Teorema 1.4.4.(v) (i) Fie x X xat si V V (T x). Atunci exista q Q, > 0

astfel ca V (T x; q; ) V . Prin ipoteza, exist a M > 0, p P astfel ca|q(T (y)) q(T (x)) | M p(y x) pentru orice y X . Obt inem astfel caT (V (x; p; /M ))V (T x; q; )V , si deci T este continuu n x.

Spat iul liniar al operatorilor liniari si continui de la ( X, P ) la (Y, Q) lnot am prin L(X, Y ). Dac a T : (X, P ) (Y, Q) este operator liniar, bijectiv,continuu si

T 1 este continuu, spunem c a

T este un

izomorsm (de spat ii local convexe) , iar spat iile (X, P ) si ( Y, Q) sunt izomorfe .Desigur, ( IR k , 0), kIN

, este un spat iu local convex, topologia 0 indgenerata de norma : IR k IR , x := x21 + + x2k . Un spat iu localconvex (X, P ) pentru care familia P contine o singur a norm a se numeste spat iunormat. Aceast a clasa de spat ii este studiat a n Sect iunea 1.8.

Este usor de demonstrat (exercit iu !) ca daca T : IR k (X, P ) esteoperator liniar atunci T este continuu. Teorema 1.4.9 ne va da informat ii maiprecise ntr-un caz particular.

Dualul (topologic) al spat iului local convex ( X, P ), notat ( X, P ) sau X ,este spat iul L(X, IR ).

Daca X si Y sunt spatii local convexe, iar T L(X, Y ), pentru ecareY avem ca T X . In acest mod obtinem operatorulT : Y X , T := T.

Se constata cu usurint a ca T este operator liniar, numit adjunctul lui T .In teorema urmatoare punem n evident a mai multe caracterizari pentru

continuitatea unei funct ionale liniare.


38/249


Teorema 1.4.7 Fie (X, P ) un spat iu local convex si X \{0}. Urm a-toa-rele armat ii sunt echivalente:

(i) este continu a;

(ii) este continu a n origine;

(iii) M > 0, p1, . . . , p n P , xX :(x) M max{ p1(x), . . . , p n (x)};

(iv) H , are interior nevid pentru un (orice) IR ;

(v) ker este mult ime nchis a.

Demonstrat ie. Sa observ am ca (i)(ii)(iii)(iv) din Teorema 1.4.4.(i) (v) deoarece ker =

1({0}).(v) (iv) Presupunem deci ca ker este mult ime nchisa. Sa ar at am ca

H ,0 are interior nevid. Fie deci xX, (x) < 0; desigur, x /ker . Cumker este mult ime nchisa, exist a o vecinatate echilibrat a U a lui 0 astfel ca(x + U ) ker = . Sa presupunem ca exist a uU astfel ca (x + u) 0.Atunci exista ]0, 1] astfel ncat (x + u) = 0. Deoarece U este echilibrata,rezult a ca x + u(x + U ) ker , absurd. Deci x + U H 0, adic a P este sucient a;(iii) {V | V V (0)}= {0}, adic a {0}este mult ime nchis a.

Demonstrat ie. (i) (iii) Este evident ca 0 {V | V V (0)}. Fiex X \ {0}; din denit ia separarii Hausdorff, exista U V (x) si V V (0)astfel ca U V = . Prin urmare x /V , ceea ce arat a ca x /{V | V V (0)}.Deci {V | V V (0)}= {0}.

(iii) (ii) Fie x X \ {0}, adic a x / {0}= {0}; prin urmare exist aV V (0) astfel ca x /V . Cum V este vecin atate pentru 0, exist a p P si > 0 astfel ca V (0; p; )V . Deci p(x) > 0, si armatia este dovedita.


39/249


(ii) (i) Fie x, y X, x = y. Cum x y = 0, exista p P astfel ca p(x y) := > 0. Atunci V (x; p; / 2) V (y; p; / 2) = , si armatia estedovedit a.Desigur, n condit ia (iii) din teorema precedent a V (0) poate nlocuit cuorice alt sistem fundamental de vecin at at i ale originii.

Teorema 1.4.9 Fie (X, P ) un spat iu local convex separat de dimensiunekIN

si o baz a {e1, . . . , e k}n X . Atunci aplicat ia T : IR k (X, P ), T (x1, . . . , x k ) := x1e1 + + xkek ,

este un izomorsm de spat ii local convexe.

Demonstrat ie. Este evident ca T este o biject ie liniar a. Dintr-o observat ieanterioara avem c a T este operator continuu. Fie

S := xIRk x21 + + x2k = 1 , B := xIR k x21 + + x2k < 1 .

Este stiut c a S este mult ime compacta, si deci, conform Teoremei 1.1.13,T (S ) este compacta. Utiliz and Teorema 1.1.11, avem c a T (S ) este mult imenchisa. Cum 0 /T (S ), X \ T (S ) este vecin atate a lui 0 n X . Prin urmareexist a o vecinatate echilibrat a V a originii astfel ca V X \ T (S ), adic aV T (S ) = . Avem c a V T (B ). Intr-adevar, e yV ; exist a xIR k astfelca y = T x. Consider am r :=

x2

1+

+ x2

k; daca r

1 atunci r 1x

S , sideci r 1y = T (r 1x) T (S ) X \ V , absurd, deoarece V este echilibrata,r 1]0, 1] si yV antreneaza r

1yV . Rezult a ca T 1 este continuu n 0,

si deci T 1 este operator continuu. Prin urmare T este izomorsm de spatiilocal convexe.

O consecint a imediata a teoremei precedente este urm atorul rezultat im-portant.

Consecint a 1.4.3 Toate topologiile de spat iu local convex separat Hausdorff pe un spat iu liniar nit dimensional sunt egale.

Demonstrat ie. Fie X spat iu liniar real de dimensiune k

IN si

P ,

Qdoua familii suciente de seminorme pe X . Aplicand teorema precedent apentru ( X, P ) si ( X, Q), obt inem c a IdX : (X, P ) (X, Q) este izomorsm,unde Id E : E E, IdE (x) := x este funct ia identic a a mult imii nevide E .Deci P = Q .

Cum pe orice spatiu liniar nit dimensional exist a cel put in o norm a, rezul-tatul de mai sus arat a ca orice topologie separat a de spat iu local convex peun spat iu nit dimensional este chiar o topologie de spat iu normat.


40/249


Consecint a 1.4.4 Fie (X, P ) un spat iu local convex separat si X 0 X un subspat iu liniar nit dimensional. Atunci X 0 este mult ime nchis a.

Demonstrat ie. Presupunem ca exist a x X 0 \ X 0. Consider am spat iulliniar X 1 := X 0 + IR x si {e1, . . . , e k}o baza n X 0. Rezult a ca {e1, . . . , e k , x}este baz a n X 1. Din Teorema 1.4.9 avem ca aplicat iaT : IR k+1 X 1, T (1, . . . , k , ) := 1e1 + kek + x,

este un izomorsm de spatii local convexe. Prin urmare obt inem c a

(0, . . . , 0, 1) = T 1(x)T 1(X 0) = {(1, . . . , k , 0) | 1, . . . , kIR}

= {(1, . . . , k , 0) | 1, . . . , kIR},o contradictie. Deci X 0 este mult ime nchisa.

1.5 Teoreme de separare topologica siteorema bipolarei

Deosebit de utile n analiza convex a sunt variantele topologice (n care X estenlocuit cu X ) ale teoremelor de separare.

Teorema 1.5.1 (Eidelheit). Fie A, B (X, P ) dou a mult imi convexe si nevide. Daca int A =

si B

int A =

atunci exist a

X

\ {0

}si

IRastfel ca

(x) (y) xA, yB ( sup (A) inf (B ) ) . (1.13)Demonstrat ie. Cum aint A = int A, suntem n condit iile de aplicare a

Teoremei de separare algebric a (Teorema 1.3.4) pentru A si B ; exista deciX si IR satisf acand condit ia (1.13). Prin urmare AH

, . Deoarece

int A = , din Teorema 1.4.7 avem ca X .

In cele ce urmeaz a vom considera numai funct ionale suport (de sprijin)continue si puncte suport (de sprijin), respectiv hiperplane suport (de sprijin),ce corespund la astfel de functionale suport.

Consecint a 1.5.1 Fie A (X, P ) o mult ime convex a cu interior nevid si xA \ int A. Atunci x este punct de sprijin al lui A.Teorema 1.5.2 Fie (X, P ) spat iu local convex separat si A, BX dou a mul-t imi convexe si nevide. Dac a A este nchis a, B este compact a si A B = atunci exist a X

\ {0}si 1, 2IR astfel ca (x) 1 < 2 (y) xA, yB ( sup (A) < inf (B ) ) . (1.14)


41/249


42/249


Pentru sucient a, e := sup (A) inf (B ) = sup (AB ) < 0. LuandU := {x | (x) > }, este clar c a U este vecin atate pentru 0 si U (AB ) = .Prin urmare 0 /A B .Utiliz and Teorema 1.5.2 se obt ine o caracterizare interesant a si util a a

mult imilor convexe si nchise.

Teorema 1.5.5 Fie A(X, P ). Atunci A este convex a si nchis a dac a si numai dac a A este intersect ia unei familii de semispat ii nchise.

Demonstrat ie. Sucient a este evidenta deoarece orice semispatiu nchiseste o mult ime convex a si nchis a.

Fie A o mult ime convex a si nchisa. Dac a A = atunci A = H ,0 H ,1,iar dac a A = X atunci A = iH i . Presupunem deci ca A este o mult ime

convex a, nchisa, nevid a si diferita de X . Consider am

H:= H , X \ {0}, IR , AH , .Este evident ca A {H | H H}. Fie x /A; aplicand Teorema 1.5.2, exist aX

\{0}si IR astfel ca (x) < < (x) pentru orice xA. Este clarca AH

, =: H si x /H . Prin urmare avem si A {H | H H}.

Util a n cele ce urmeaza este si urmatoarea teorem a.

Teorema 1.5.6 Fie X spat iu local convex separat si x X \ {0}. Atunci exist a X astfel ca (x) = 0 .Demonstrat ie. Deoarece x = 0, exista o vecinatate convexa U a lui 0 astfel

ca x /U . Aplicand Teorema 1.5.1 pentru U si {x}, exist a X \{0}astfelca sup (U ) (x). Cum U este vecin atate pentru 0 si = 0, sup (U ) > 0.Deci concluzia are loc.

Punem n evident a n continuare trei not iuni importante n cadrul spat iilorlocal convexe. Fie A (X, P ) o mult ime nevid a. Se numeste polara lui Amult imea

A :=

{

X

|(x)

1

x

A

},

conul dual lui A mult imea

A+ := {X | (x) 0 xA},si spat iul ortogonal lui A mult imea

A := {X | (x) = 0 xA}.


43/249


44/249


1.6 Topologii slabe si teorema Alaoglu-Bourbaki

Fie X 1, X 2 si Z trei spat ii liniare reale si F : X 1 X 2 Z ; F se numesteaplicat ie biliniar a dac a F (, x2) si F (x1, ) sunt liniare pentru orice x2X 2,x1X 1.Consider am n continuare dou a spat ii liniare reale X si Y , si o aplicat iebiliniar a F : X Y IR ; vom nota n mod frecvent F (x, y) prin x, y . Pentruecare yY putem considera aplicat ia py : X IR , py(x) := |F (x, y)|. Esteevident c a py este o seminorm a. Consider and P := { py | y Y }, obtinemspat iul local convex ( X, P ) a carui topologie o notam prin (X, Y ). Aceast atopologie este separata, conform Teoremei 1.4.8, dac a si numai daca pentruorice xX \ {0}exist a py P astfel ca py(x) > 0, adica

xX \ {0}, yY : F (x, y) = 0 . (1.15)In mod analog avem toplogia (Y, X ) pe Y ; (Y, X ) este separata dac a sinumai dac a

yY \ {0}, xX : F (x, y) = 0 . (1.16)Sa observ am ca pentru yY aplicat ia y : X IR , y(x) := F (x, y ), este

liniar a si (X, Y )continu a [deoarece |y(x)| = py(x) pentru orice x], si decieste n ( X, (X, Y ) ). Fie acum (X, (X, Y ) )

. Cum este continua,din Teorema 1.4.7, exist a M > 0 si y1, . . . , yn Y astfel ca

|(x)| M max{|y1 (x)|, . . . , |yn (x)|} xX.Din relat ia de mai sus rezulta ca ni=1 ker yi ker . Aplicand teoremanucleelor (Teorema 1.3.6), obt inem 1, . . . , n IR astfel ncat pentru oricexX ,

(x) =n

i=1 iyi (x) =

n

i=1 i F (x, y i) = F (x, y ),

unde y := ni=1 i yiY . Prin urmare = y . Am obt inut astfel ca aplicat iaY y y(X, (X, Y ) ) este surjectiva. Pentru a injectiv a trebuie cay1 = y2 de ndat a ce F (x, y1) = F (x, y2) (

F (x, y1 y2) = 0) pentru oricexX , adic a,

y

Y : [F (x, y ) = 0

x

X ]

y = 0 .

Este clar c a aceast a armat ie este echivalenta cu condit ia (1.16).Am obt inut astfel urm atorul rezultat.

Teorema 1.6.1 Presupunem c a aplicat ia biliniar a F : X Y IR satisfacecondit iile (1.15) si (1.16). Atunci (X, (X, Y ) ) , (Y, (Y, X ) ) sunt spat ii local convexe separate si (X, (X, Y ) )= Y, (Y, (Y, X ) )= X , identic and yY cu y : X IR , y(x) = F (x, y) si xX cu x : Y IR , x (y) = F (x, y ).


45/249

1.6 Topologii slabe si teorema Alaoglu-Bourbaki 37

Daca X, Y si F sunt ca n teorema de mai sus, spunem c a X si Y suntn dualitate (n raport cu F ) sau c a {X, Y }formeaz a un sistem dual , notat(X,Y, F ). Observ am, tot din teorema precedent a, ca dac a {X, Y }formeaz aun sistem dual, spat iile X si Y au rol simetric.

Fie acum ( X, P ) un spat iu local convex separat (deci P este sucienta) siX dualul s au topologic. Aplicatia (natural a), : X X IR , x, := (x),

este biliniara. In plus , satisface condit ia (1.15) deoarece P este sucienta(a se vedea Teorema 1.4.8) si condit ia (1.16). Prin urmare spat iile X si X suntn dualitate n raport cu

,

. Topologia (X, X ) o vom nota n continuare

prin w si o vom numi topologia slab a a lui X , denumire justicat a de faptulca w P (a se vedea Teoremele 1.4.5 si 1.4.7), iar topologia (X , X ) ovom nota prin wsi o vom numi topologia slab-stelat a a lui X . Aceste dou atopologii sunt topologii local convexe separate si

(X, w )= ( X, P )= X , (X , w)= X.In tot ceea ce urmeaza, dac a X este un spat iu local convex separat, cand

vorbim despre topologia slab a pe X si (sau) despre topologia slab-stelat a peX avem n vedere topologiile w si wconstruite mai sus.

Un rezultat interesant, si deosebit de util, este urm atorul.

Teorema 1.6.2 Fie (X, P ) un spat iu local convex separat si AX o mult imeconvex a. Atunci A este nchis a (relativ la P ) dac a si numai daca A este w nchis a.

Demonstrat ie. Daca A este wnchisa atunci A este P nchisa deoarecew P .

Invers, dac a A este convex a si nchisa, din Teorema 1.5.5, A este intersectiaunei familii de semispatii nchise. Cum orice funct ional a continua este si slab-continua, orice semispat iu nchis este slab-nchis. Prin urmare A este wnchisa.

Folosind teorema precedent a se obtine rapid (exercit iu !) c a dac a AX este convex a atunci wcl A = P cl A. Desigur, acest rezultat nu este adevaratpentru multimi arbitrare (cu except ia cazului n care w = P ).

O alt a observat ie este aceea c a pentru A(X, P ) o mult ime nevid a, Aeste o mult ime convex a si w-nchisa, deoarece {X | x, }estewnchisa pentru orice xX, IR ; n mod aseman ator avem c a A

+ estecon convex wnchis, iar A este subspatiu liniar wnchis.

Un rezultat deosebit de important n teoria spat iilor local convexe, si foarteutil n ceea ce urmeaz a, este urmatorul.


46/249


Teorema 1.6.3 (Alaoglu-Bourbaki). Fie (X, P ) un spat iu local convex sepa-rat si U X o vecin atate a originii. Atunci U

este mult ime wcompact a.

Demonstrat ie. Presupunem pentru nceput c a U este o vecin atate convexa,nchisa si simetrica a originii. Atunci functionala Minkowski pU : X IR esteo seminorm a continua. In plus

U = {xX | pU (x) 1}.Sa consider am spat iul IR X nzestrat cu topologia produs, notata ; cum (IR , 0)este separat, este separata. Reamintim ca W este vecin atate pentru f 0 n

IRX

dac a exista x1, . . . , x n X si > 0 astfel ca

V (f 0; x1, . . . , x n ; ) := f IRX |f (x i ) f 0(x i)| < i, 1 i n W.

Sa observ am ca w este urma topologiei pe X IRX . Deoarece U este

simetric a,U

X si |(x)| pU (x) xX. (1.17)

Cum implicatia este evidenta, e U si xX . Daca pU (x) > 0 atunci

x pU (x) U , si deci x pU (x) = 1 pU (x) |(x)| 1, adica |(x)| pU (x).Daca pU (x) = 0 atunci pU (x ) = 0 1, si deci x U , pentru orice

IR ; rezult a ca (x ) 1 pentru orice IR , de unde avem c a|(x)| = 0 pU (x). Echivalenta de mai sus este dovedit a. Prin urmareU xX [ pU (x), pU (x)]. Cum [ pU (x), pU (x)] este mult ime compacta (nraport cu topologia uzual a a lui IR ), utiliz and teorema lui Tihonov, avem c a

xX [ pU (x), pU (x)] este spat iu compact n raport cu topologia produs, sideci este submultime compacta a lui IR X . Avand n vedere Teorema 1.1.11,pentru a dovedi ca U este wcompacta, este sucient sa ar at am ca U estenchisa n ( IR X , ).

Observ am pentru nceput c a cl U X . Intr-adevar, dac a f IRX \X ,exist a x, yX, , IR astfel ca := |f (x + y) f (x) f (y)| > 0.

Luand := / (1 + | |+ | |), avem c a V (f ; x,y,x + y ; ) X = , ceea cearata, de fapt, c a X este nchisa.Fie acum X \ U . Din relat ia (1.17) avem ca exist a xX astfel ca|(x)| > p U (x); e := |(x)| pU (x) > 0. Daca V (; x; ) U atunci|(x)| pU (x) si

> |(x) (x)| |(x)| |(x)| = + pU (x) |(x)| ,absurd. Deci V (; x; ) U = , ceea ce arat a ca U este nchisa.


47/249

1.6 Topologii slabe si teorema Alaoglu-Bourbaki 39

Fie acum U o vecinatate arbitrar a a lui 0. Atunci exista V o vecinatateconvex a, nchisa si simetrica a lui 0 astfel ca V U . Prin urmare U

V

.Cum, din prima parte, V este wcompact a, iar U este wnchisa, topologiawind separat a, avem c a U este wcompacta.

Fie (X, P ), (Y, Q) spat ii local convexe separate, T L(X, Y ) si T adjunctul s au. Sa observ am c a T este continuu de la ( Y , w) la (X , w).Intr-adevar, cu notatiile de la nceputul acestei sect iuni, pentru orice xX ,avem

( px T )() = |(T x)| = pT x () py() Y ,unde y = T x

Y . Desigur, am aplicat Teorema 1.4.6. Este evident, t in andcont de Teorema 1.6.1, c a adjunctul operatorului

T : (Y , (Y , Y ) ) (X , (X , X ) )este chiar T , si deci T este continuu de la ( X, (X, X ) ) la (Y, (Y, Y ) ).

In continuare vom nota n mod frecvent elementele din X prin x, u, iarcele din Y prin y, v, etc.

Teorema 1.6.4 Fie (X, P ) si (Y, Q) dou a spat ii local convexe separate,A, B X , C Y mult imi convexe, nchise, cont in and originea spat iului respectiv si T

L(X, Y ). Atunci

(i) (A B ) = conv ( A B ), aderent a ind n raport cu topologia w;(ii) T 1(C ) = w cl (T (C )) ;

(iii) (ker T ) = wcl (Im T ), (Im T ) = ker T , (ker T ) = cl(Im T ) si (Im T ) = ker T .

Demonstrat ie. (i) Incluziunea A B(A B ) este evidenta, si deciconv( A B ) (A B ) , deoarece ( A B ) este mult ime convex a si w

nchisa. Fie acum x /conv( AB

). Conform Teoremei 1.5.2, tin and seamasi de Teorema 1.6.1, exist a xX si IR astfel ca

x, x < < x, x xconv( A B ).Luand x = 0 obt inem c a < 0. Putem astfel presupune c a = 1. Prinurmare

x, x < 1 < x, x xA B . (1.18)Luand la nceput xA

n (1.18) obtinem c a x (A ) = A, conform

teoremei bipolarei, apoi luand xB , obtinem si x B . Prin urmare


48/249


x A B . Utilizand din nou (1.18), avem c a x /(A B ) . Deci avem si(A B ) conv( A B ).(ii) Incluziunea T (C )(T 1(C )) este evidenta. Incluziunea inversa seobt ine ca mai sus, utilizand Teorema 1.5.2.

(iii) Deoarece pentru 0 X , {0} = X , din (ii) obt inem(ker T ) = (ker T ) = T 1({0})

= wcl(Im T );

tin and seama de propriet at ile polarei mentionate naintea Teoremei bipolareisi de faptul ca X = {0} X , avem

(Im T )

= (Im T )

= ( T (X ))

= T 1

(X ) = ker T

.Celelalte doua formule se obt in din acestea prin nlocuirea lui T cu T , tin andseama de faptul, observat mai sus, c a (T )= T .

1.7 Subspat ii, spat ii cat si spat ii produs

Fie X spat iu liniar, X 0 un subspatiu liniar al lui X si p : X IR o seminorm a.Este evident ca p|X 0 este o seminorm a pe X 0. Consider and P o familie (dirijat a) de seminorme pe X si P 0 := { p|X 0 | p P}, spunem c a (X 0, P 0) estesubspat iu al spat iului local convex ( X, P ). Are loc urm atorul rezultat.Teorema 1.7.1 Fie (X, P ), P familie dirijat a, un spat iu local convex si X 0un subspat iu liniar al lui X . Atunci

(i) P 0 este urma topologiei P pe X 0;

(ii) P 0 este sucient a, si deci P 0 este separat a, dac a P este sucient a;(iii) X 0= {|X 0 | X };(iv) (X 0, X 0) este urma topologiei (X, X ) pe X 0.

Demonstrat ie. (i) si (ii) sunt evidente.(iii) Este evident ca dac a X

atunci |X 0 (X 0, P 0) =: X 0 . Fie X

0 . Atunci : X 0 IR este liniar a si exist a p P , M > 0 astfelca (x) Mp(x) pentru orice x X 0. Aplicand Teorema lui Hahn-Banachgasim : X IR aplicat ie liniar a astfel ca |X 0 = si (x) Mp(x) pentruorice xX . Prin urmare X , ceea ce arat a ca relat ia de dovedit are loc.(iv) Topologia (X, X ) este generata de familia de seminorme Q= { p |X

}, unde p(x) := |(x)|. Avem c aQ0 = {( p)|X 0 | p Q}= { p|X 0 | X }= { p | X 0}.


49/249


50/249


{x X | p(x x0) < } Pr 1( D ), ceea ce arata ca Pr 1( D ) P . Celear atate mai nainte dovedesc si faptul ca Pr este funct ie continua.(iii) Fie F X/X 0. Daca F este P

-nchisa, din continuitatea operatoruluiPr, obt inem c a Pr 1( F ) este mult ime P -nchis a. Presupunem deci ca Pr

1( F )este P -nchis a. Rezult a ca X \ Pr 1( F ) P , si deci, din (i),Pr X \ Pr 1( F ) = ( X/X 0) \ Pr Pr 1( F ) = ( X/X 0) \ F P

,

adic a F este

P -nchisa. Incluziunea din prima egalitate de mai susrezult a din relat ia f (A) \ f (B ) f (A \ B ), adev arata pentru orice functief : E

F si A, B

E , n timp ce incluziunea invers a rezult a imediat uti-lizand relat ia Pr Pr 1( F ) = F . Fie acum A X si A := Pr( A). Esteevident c a Pr 1(A) = A + X 0. Utilizand cele dovedite mai nainte, obt inemimediat armatia f acut a.

(iv) Utiliz and Teorema 1.4.8 si (iii) pentru A = {0}, avem ca

P este sucienta {0}= Pr( {0}) este P -nchis a X 0 este P -nchis a,

ceea ce dovedeste armat ia f acut a.(v) Este evident ca aplicat ia F este bine denit a si liniar a. Dac a

(X/X 0) si F ( ) = 0 atunci pentru orice x X/X 0 (x X ) avemca (x) = F ( )(x) = 0, si deci = 0; prin urmare F este operator injec-

tiv. Fie acum X 0 . Denim : X/X 0 IR , (x) := (x); deoarece X 0 , este bine denita. Este evident ca este aplicat ie liniar a.

Deoarece este continua, exista p P si M > 0 astfel ca (x) Mp(x)pentru orice xX . Deci (x) = (x) = (x + u) Mp(x + u) xX, uX 0.

Trec and la inmum pentru uX 0, obtinem c a (x) M p(x) pentru oricex X/X 0. Deci (X/X 0). Relatia F ( ) = este evidenta. Prinurmare F este operator bijectiv si F 1() = .Topologia ((X/X 0),X/X 0) este generata de familia de seminorme { px |x

X

}, unde px : (X/X 0)

IR , px ( ) :=

| (x)

|, iar topologia lui X

0este generata de familia de seminorme { px |X 0 | xX }, unde px : X IR , px () := |(x)|. Fie xX si (X/X 0)elemente xate. Avem c a

px |X 0 F ( ) = px |X 0 ( Pr) = | (x)| = px ( ).Prin urmare avem c a px|X 0 F = px si px F 1 = px |X 0 . Utilizand Teo-rema 1.4.6, obt inem c a F si F 1 sunt operatori continui.


51/249


52/249


este din X si F ( ) = . Prin urmare F este un operator liniar bijectiv.Conform denit iei spat iului produs si a topologiei slab-stelate, topologia

spat iului ni=1 X ieste data de familia de seminorme

{tx1 ,...,x n | x = ( x1, . . . , x n )X },unde

tx1 ,...,x n (1, . . . , n ) := max {|i (x i )| |1 i n},iar topologia lui X este denita de familia de seminorme

{x

|x

X

}, x ( ) :=

| (x)

|.

Continuitatea lui F rezult a din relat ia

(tx1 ,...,x n F )( ) = max {|i (x i )| |1 i n}= max {|x i ( )| |1 i n},iar continuitatea lui F 1 din relat ia

(x F 1)(1, . . . , n ) =n

i=1i (x i ) n max{|i (x i )| |1 i n}

n tx1 ,...,x n (1, . . . , n ),tin and cont de Teorema 1.4.7.

In cele ce urmeaza vom identica ( ni=1 (X, P i ) ) cu ni=1 (X, P i ) prinintermediul izomorsmului F din teorema de mai sus.

Un caz particular important este spat iul X IR , unde ( X, P ) este unspat iu local convex. In aceasta situat ie (X IR ) = X IR , iar pentru(, )X

IR , (x, )X IR avem ca (, ), (x, ) = (x) + .

1.8 Spat ii normate

Fie X spat iu liniar real, netrivial (adic a X = {0}) si : X IR o norma.Consider and P = { }, spat iul ( X, ) := ( X, P ) se numeste spat iu normat .Este evident ca n acest caz topologia este denit a de metrica

d : X X IR , d(x, y ) := x y .Spunem c a (X, ) este spat iu Banach dac a X nzestrat cu metrica de maisus este spat iu metric complet. S a observ am ca n acest caz ( X spat iu Ba-nach), daca seria n =1 xn este absolut convergent a , adic a seria

n =1 xn este

convergenta, atunci seria n =1 xn este convergenta sin =1 xn n =1 xn .


53/249


54/249


Utiliz and Consecinta 1.4.3 avem c a toate normele pe un spat iu nit dimen-sional X sunt echivalente (adica induc aceeasi topologie), topologia normeicoincide cu topologia slaba, iar pe X topologia normei, topologia slab a sitopologia slab stelat a coincid.

Un prim rezultat este urm atorul.

Teorema 1.8.1 Fie (X, ) spat iu normat si AX o mult ime m arginit a,nevid a si wnchis a. Atunci A este wcompact a.

Demonstrat ie. Sa observ am mai ntai ca

U =

{

X

|(x)

1

x

U

}=

{

X

| |(x)

| 1

x

U

}= U .Cum U este vecin atate a originii, aplic and Teorema Alaoglu-Bourbaki (Teo-rema 1.6.3), U este wcompacta. Deoarece A este m arginita, exist a > 0astfel ca AU

. Multimea A ind submultime wnchisa a unei mult imiwcompacte, este la randul ei wcompact a.

Un alt rezultat, util n aplicat ii, este

Teorema 1.8.2 Fie (X, ) spat iu norma si xX . Atunci x = max

{|(x)

| |

U

}= max

{(x)

|

U

}= max

{|(x)

| |

S

}.

Demonstrat ie. Pentru x = 0 concluzia este evident a. Fie deci x = 0. Esteclar ca

x sup{|(x)| |U }= sup {(x) | U }.Consider and X 0 := IR x, 0 : X 0 IR , 0(x ) := x , si luand p = ,avem c a 0 X 0 si 0(u) p(u) pentru orice u X 0. Aplicand TeoremaHahn-Banach (Teorema 1.3.3), exist a 1X astfel ca 1(x) = 0(x) = xsi 1(u) u pentru orice u X , adic a 1 X si 1 1 (de fapt1 = 1). Obtinem astfel ca

x = 1(x)

sup

{(x)

|

S

} sup

{(x)

|

U

} x .

Prin urmare concluzia are loc.

Teorema 1.8.3 Fie (X, ) si (Y, ) dou a spat ii normate.(i) Dac a Y este spat iu Banach atunci L(X, Y ) este spat iu Banach. In

particular X este spat iu Banach.

(ii) Dac a T L(X, Y ) atunci T L(Y , X ) si T = T .


55/249

1.8 Spatii normate 47

Fie acum x(X, ); este evident ca aplicat iaX (x) = x, IR

este liniar a si continua (| x, | x ) si deci este un element din(X , ) =: X ; not am cu J X (x) acest element. Deci J X : X X .Este usor de dovedit (exercit iu !) c a J X este operator liniar. In plus avem c apentru orice xX

J X (x) = supU |J X (x)()| = supU | x, |= x .

Prin urmare J X este injectiv. Spunem c a spat iul normat ( X, ) este reexiv dac a operatorul J X denit mai sus este surjectiv. Tin and seama de relatiaJ X (x) = x si de faptul ca dualul unui spatiu normat este spat iu Banach

(Teorema 1.8.3), rezult a rapid (exercitiu !) ca dac a X este reexiv atunci X este spat iu Banach.

Urm atorul rezultat este unul dintre cele mai profunde rezultate din teoriaspat iilor normate.

Teorema 1.8.4 (James). Fie (X, ) spat iu Banach. Urm atoarele armat ii sunt echivalente:

(i) X este reexiv;

(ii) {xX | x 1}este mult ime wcompact a;(iii) X

, xX, x 1 : = (x).Daca X este spat iu Banach reexiv, spat iul X se identic a (prin inter-

mediul operatorului J X de mai sus) cu X . O consecint a important a a teoremeiprecedente este aceea ca orice mult ime convex a, nchisa si m arginita dintr-unspat iu Banach reexiv este wcompact a.

In analiza functional a, ca si n algebra de altfel, de multe ori este con-venabil a utilizarea unor subspat ii sau spat ii cat. Am vazut deja n sect iuneaprecedenta denit iile si doua rezultate generale referitoare la spat ii local con-vexe. Dam n continuare varianta corespunz atoare spatiilor normate pentruspatii cat.

Teorema 1.8.5 Fie (X, ) spat iu liniar normat si X 0 X un subspat iu liniar nchis. Consider am aplicat ia

N : X/X 0 IR , N (x) = inf { x + u |uX 0}.Atunci


56/249


(i) N este norm a pe X/X 0, notat a n continuare prin . In plus, dac a (X, ) este spat iu Banach atunci si (X/X 0, ) este spat iu Banach.(ii) Aplicat ia F : (X/X 0)X 0 , F ( ) := Pr ( ) este izometrie (liniara)

si homeomorsm de la (X/X 0)nzestrat cu topologia slab-stelat a la X 0 n-zestrat cu urma topologiei (X , X ). In plus

x = max {x, |X 0 , 1}.(iii) X 0= {|X 0 | X }, iar aplicat ia : X /X 0 X 0, denit a prin

(

) := |X 0 (X ), este izometrie.Demonstrat ie. (i) Fie x, yX . Atunci

N (x + y) = N (x + y) = inf { x + u + y + v |u, vX 0} inf { x + u + y + v |u, vX 0}= inf { x + u |uX 0}+ inf { y + v |vX 0}= N (x) + N (y).

Daca = 0, atunci

N (x) = N ( x ) = inf { x + u |uX 0}= || inf { x + u |uX 0}= ||N (x).Relat ia este evident a pentru = 0. Dac a N (x) = 0 = inf { x + u |uX 0},atunci exista ( un ) X 0, x + un 0, adica X 0 un x. Prin urmarexX 0 = X 0, ceea ce arat a ca x = 0 = 0. Am obt inut ca N este norm a (si ovom nota n continuare prin ).Presupunem acum c a (X, ) este spat iu Banach si e ( xn )X astfel ca(xn ) sa e sir Cauchy n X/X 0. Atunci exista un sir strict cresc ator ( nk )IN astfel ca

kIN , n, m nk : xn xm < 2 k .Cum xn k xn k +1 < 2 k , exista ukX 0 astfel ca xn k xn k +1 uk < 2 k .Luam y0 := 0 si yk := xn k + u0 + + uk 1 pentru k 1; obtinem c ayk

yk+1 < 2 k . Deci seria

k 1(yk

yk+1 ) este absolut convergent a. Cum

X este spat iu Banach, seria este convergent a, ceea ce antreneaza ca sirul ( yk )este convergent la un element xX . Deoarece xn k x = ykx ykx ,avem ca xn k x X/X 0. Cum ( xn ) este sir Cauchy, xn x. Deci X/X 0este spat iu Banach.

(ii) Am v azut n Teorema 1.7.2 ca F este un izomorsm de spatii localconvexe, ( X/X 0)ind nzestrat cu topologia ((X/X 0),X/X 0), iar X 0 indnzestrat cu urma topologiei (X , X ) pe X 0 .


57/249


58/249


In mod corespunzator, obtinem c a

1 = 2 , > 0, xX : x 1 x 2 x 1.Daca (X, ) si ( Y, ) sunt spatii normate, pe X Y consider am norma

(x, y) := max { x , y }, conform a cu denit ia produsului a dou a spat iilocal convexe (a se vedea sect iunea precedent a). Se mai pot introduce si altenorme pe X Y : (x, y ) 1 := x + y , (x, y ) 2 := x 2 + y 2, etc. Severica cu usurinta (exercit iu !) ca acestea sunt norme si sunt echivalente.Mai exact

(x, y) (x, y ) 2 (x, y ) 1 2 (x, y ) (x, y)X Y.Se poate ar ata (exercitiu !) c a normele duale ale normelor , 2 si 1sunt respectiv 1, 2 si pe X Y .Dorim s a prezentam n continuare c ateva rezultate importante ale analizeifunct ionale, precum o generalizare semnicativ a a principiului aplicatiilor des-chise datorata lui C. Ursescu si S. Robinson, principiul aplicat iilor deschise,teorema gracului nchis, teorema imaginei nchise. Un rezultat ajut ator,aplicat ie a Teoremei lui Baire (Teorema 1.2.5), este dat n teorema urm atoare.

Teorema 1.8.6 Fie (X, ) spat iu Banach si V X o mult ime convex a,nchis a si absorbant a. Atunci V este vecin atate a originii.

Demonstrat ie. Fie W := V V ; multimea W este convex a, nchisa,simetric a si absorbant a. Din faptul ca W este absorbant a, rezult a imediat c aX = nIN nW . Cum W este nchisa, nW este nchisa pentru orice nIN

,si deci, aplicand Teorema lui Baire amintit a mai sus, exist a n0IN

astfel caint( n0W ) = n0 int W = . Prin urmare int W = . Fie xint W ; deoareceW este simetrica, xint W , iar din convexitatea mult imii int W (a se vedeaTeorema 1.4.3) obtinem ca 0 = 12 x +

12 (x) int W . Prin urmare W estevecin atate a originii, si cum W V , V este vecin atate a originii.

In spat ii nit dimensionale condit iile teoremei precedente pot sl abite.

Teorema 1.8.7 Fie (X, ) un spat iu normat nit dimensional si V X omult ime convex a si absorbant a. Atunci V este vecin a-tate a originii.Pentru a formula Teorema lui Robinson-Ursescu avem nevoie de cateva

notiuni.Fie X, Y doua mult imi nevide si R X Y ; R se numeste relat ie .Mult imea dom R:= {x X | yY : (x, y) R}se numeste domeniul

relat iei R; imaginea lui Reste Im R:= {yY | x X : (x, y ) R};

8/9/2019 PROGRAMARE MATEMATICA IN SPATII NORMATE INFINIT DI

PROGRAMARE MATEMATICA IN SPATII NORMATE INFINIT DIMENSIONALE

Documents