P P r r o o g g r r a a m m a a c c i i ó ó n n l l i i n n e e a a l l e e n n t t e e r r a a - - m m i i x x t t a a José Manuel Arroyo Sánchez Á Á r r e e a a d d e e I I n n g g e e n n i i e e r r í í a a E E l l é é c c t t r r i i c c a a U U n n i i v v e e r r s s i i d d a a d d d d e e C C a a s s t t i i l l l l a a – – L L a a M M a a n n c c h h a a 1
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• E. CASTILLO, A. J. CONEJO, P. PEDREGAL, R. GARCÍA, N. ALGUACIL.
“BUILDING AND SOLVING MATHEMATICAL PROGRAMMING MODELS IN ENGINEERING AND SCIENCE”. JOHN WILEY & SONS. NEW YORK. 2002.
2
PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA-MIXTA CONTENIDOS
• INTRODUCCIÓN • MÉTODOS DE RESOLUCIÓN • APLICACIONES GENERALES • APLICACIONES EN INGENIERÍA ELÉCTRICA
3
INTRODUCCIÓN ¿QUÉ ES UN PROBLEMA DE PLEM?
• PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN • FUNCIÓN OBJETIVO Y RESTRICCIONES LINEALES • VARIABLES ENTERAS Y CONTINUAS • SI TODAS LAS VARIABLES SON ENTERAS ⇒ PROGRAMACIÓN LINEAL
ENTERA ESTRICTA • SI LAS VARIABLES ENTERAS SON BINARIAS ⇒ PROGRAMACIÓN LINEAL
ENTERA-MIXTA 0/1 ⇒ ¡¡¡INTERÉS PRÁCTICO EN INGENIERÍA ELÉCTRICA!!!
4
INTRODUCCIÓN FORMULACIÓN GENERAL DE UN PLEM
∑=
=n
1jjjxcz MINIMIZAR
SUJETO A:
m1i;bxa i
n
1jjij K==∑
=
n1j;0x j K=≥
n1j ALGÚN PARA;Ix j K=∈
{ }K 2 ,1 ,0I =
5
INTRODUCCIÓN CONJUNTO DE SOLUCIONES FACTIBLES
6
INTRODUCCIÓN EJEMPLO DE UN PLEM
21 x8x5z MAXIMIZAR +=
SUJETO A:
0x1 ≥
0x2 ≥
6xx 21 ≤+
45x9x5 21 ≤+
Ix,x 21 ∈
7
INTRODUCCIÓN EJEMPLO DE UN PLEM. REGIÓN FACTIBLE
8
INTRODUCCIÓN EJEMPLO DE UN PLEM. SOLUCIÓN
PROBLEMA LINEAL RELAJADO
PLEM
ÓPTIMO
REDONDEO
SOLUCIÓN ENTERA MÁS PRÓXIMA
ÓPTIMO
x1
02.25
2
02
00
x2
03.75
4
03
05
z
41.25
INFACTIBLE
34
40
LA SOLUCIÓN FACTIBLE MÁS PRÓXIMA A LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA LINEAL RELAJADO NO ES LA SOLUCIÓN ÓPTIMA DE PLEM NECESIDAD DE TÉCNICAS DE RESOLUCIÓN
9
INTRODUCCIÓN VARIABLES BINARIAS (0/1)
• SÓLO PUEDEN TOMAR LOS VALORES 0 Ó 1 ⇒ ↑↑ COMPLEJIDAD PROBLEMA
LINEAL POR FALTA DE CONTINUIDAD • ÚTILES EN PROBLEMAS EN LOS QUE LAS VARIABLES SÓLO PUEDEN TOMAR
2 VALORES:
LUGAR TIENE NO SITUACIÓN LA
LUGAR TIENE SITUACIÓN LA
0
1x
⇒
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
10
INTRODUCCIÓN VARIABLES BINARIAS (0/1)
• TAMBIÉN ÚTILES PARA MODELAR NO LINEALIDADES:
CONJUNTOS ALTERNATIVOS DE RESTRICCIONES
RESTRICCIONES CONDICIONALES
FUNCIONES DISCONTINUAS
FUNCIONES LINEALES A TRAMOS Y NO CONVEXAS • EJEMPLOS: PROBLEMA DE LA MOCHILA, PROBLEMA DEL VIAJERO,
PROGRAMACIÓN HORARIA (ARRANQUE Y PARADA DE GRUPOS GENERADORES)
11
INTRODUCCIÓN MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
• BRANCH & BOUND (RAMIFICACIÓN Y ACOTACIÓN) • CORTES DE GOMORY • BRANCH & CUT (RAMIFICACIÓN Y CORTES)
12
INTRODUCCIÓN VENTAJAS DE LA PLEM
• CONVERGENCIA AL ÓPTIMO EN UN TIEMPO FINITO • CONOCIMIENTO DE PROXIMIDAD AL ÓPTIMO (DIFERENCIA DE COTAS) • DESARROLLO DE SOFTWARE DE CÁLCULO (CPLEX, XPRESS)
13
PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA-MIXTA CONTENIDOS
• INTRODUCCIÓN • MÉTODOS DE RESOLUCIÓN • APLICACIONES GENERALES • APLICACIONES EN INGENIERÍA ELÉCTRICA
14
BRANCH & BOUND • RESOLUCIÓN DE SECUENCIA ORDENADA DE PROBLEMAS DE
PROGRAMACIÓN LINEAL:
RELAJACIÓN DE RESTRICCIONES DE INTEGRALIDAD
RESTRICCIONES ADICIONALES CUYO NÚMERO CRECE A MEDIDA QUE PROGRESA EL PROCEDIMIENTO ⇒ PROBLEMA CADA VEZ MÁS RESTRINGIDO
CONVERGENCIA FINITA AL ÓPTIMO
15
BRANCH & BOUND • ESTABLECIMIENTO DE:
COTA SUPERIOR (z) ⇒ CUALQUIER SOLUCIÓN FACTIBLE DE PLEM 0/1
COTA INFERIOR (z) ⇒ SOLUCIÓN ÓPTIMA PROBLEMA LINEAL RELAJADO
• DIFERENCIA ENTRE COTAS ⇒ MEDIDA DE CERCANÍA AL ÓPTIMO
16
ELEMENTOS DEL ALGORITMO DE BRANCH & BOUND • ESTABLECIMIENTO DE COTAS
• RAMIFICACIÓN
• RESOLUCIÓN DE PL CADA VEZ MÁS RESTRINGIDOS • ACTUALIZACIÓN DE COTAS
17
ALGORITMO DE BRANCH & BOUND • PASO 1 (INICIACIÓN):
+∞=z
−∞=z
RESOLUCIÓN DE PROBLEMA LINEAL RELAJADO (PLR):
− INFACTIBLE ⇒ PROBLEMA ORIGINAL INFACTIBLE ⇒ FIN
− FACTIBLE:
SI SE CUMPLE INTEGRALIDAD ⇒ SOLUCIÓN ÓPTIMA ⇒ FIN
SI NO SE CUMPLE INTEGRALIDAD ⇒ Rzz = ⇒ IR A PASO 2
18
ALGORITMO DE BRANCH & BOUND • PASO 2 (RAMIFICACIÓN):
SE ELIGE xk QUE NO CUMPLE INTEGRALIDAD EN PLR ( b.axk = )
GENERACIÓN DE 2 PROBLEMAS LINEALES RELAJADOS:
INCLUSIÓN DE LOS NUEVOS PROBLEMAS LINEALES RELAJADOS EN LA LISTA DE PROBLEMAS A RESOLVER ⇒ RESOLUCIÓN SECUENCIAL O PARALELA ⇒ PASO 3
19
ALGORITMO DE BRANCH & BOUND • PASO 3 (RESOLUCIÓN):
SE RESUELVE EL PRÓXIMO PROBLEMA EN LA LISTA ( )⇒ ALGORITMO SIMPLEX DUAL ACONSEJABLE ⇒ IR A PASO 4
*Rz
• PASO 4 (ACTUALIZACIÓN DE COTAS):
FACTIBLE, SE CUMPLE INTEGRALIDAD Y zz*
R ≤ ⇒ *Rzz = ⇒ SOLUCIÓN
CANDIDATA A MINIMIZADOR ⇒ IR A PASO 5
FACTIBLE, NO SE CUMPLE INTEGRALIDAD Y zzz *R ≤≤ ⇒
− *
Rzz =
− RAMIFICACIÓN E INCLUSIÓN DE NUEVOS PROBLEMAS RELAJADOS EN LA LISTA ⇒ IR A PASO 2
FACTIBLE, NO SE CUMPLE INTEGRALIDAD Y zz*
R ≥ ⇒ IR A PASO 5
INFACTIBLE ⇒ IR A PASO 5 20
ALGORITMO DE BRANCH & BOUND • PASO 5 (PODA):
PODA POR INTEGRALIDAD ⇒ IR A PASO 6
PODA POR COTAS ⇒ IR A PASO 6
PODA POR INFACTIBILIDAD ⇒ IR A PASO 6 • PASO 6 (OPTIMALIDAD):
LISTA DE PROBLEMAS NO VACÍA ⇒ IR A PASO 3
LISTA DE PROBLEMAS VACÍA ⇒ FIN
21
ALGORITMO DE BRANCH & BOUND
22
ALGORITMO DE BRANCH & BOUND ESTRATEGIAS DE RAMIFICACIÓN Y PROCESAMIENTO
ELECCIÓN ADECUADA DE LA VARIABLE CANDIDATA PARA LA RAMIFICACIÓN ⇒ DEPENDE DE LA ESTRUCTURA DEL PROBLEMA
• ESTRATEGIAS EN ANCHURA ⇒ RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS SIMILARES ⇒
VENTAJAS COMPUTACIONALES
• ESTRATEGIAS EN PROFUNDIDAD ⇒ PRODUCE RÁPIDAMENTE zzz *R ≤≤ Y
zzz *R ≤≤ Y PODAS POR INFACTIBILIDAD
• ESTRATEGIAS MIXTAS
BÚSQUEDA EN ANCHURA BÚSQUEDA EN PROFUNDIDAD
23
ALGORITMO DE BRANCH & BOUND
• PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA ESTRICTA ⇒ PUEDE SER NECESARIO
RAMIFICAR TODAS LAS VARIABLES DEL PROBLEMA
• PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA-MIXTA 0/1 ⇒ RAMIFICACIÓN DE VARIABLES 0/1 IMPLICA FIJAR LAS VARIABLES BINARIAS A 0 Ó 1
24
EJEMPLO I PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA ESTRICTA
21 xxz MINIMIZAR −−= SUJETO A:
0x1 ≤−
1x2x2 21 ≤−
9x2 2 ≤
Ix,x 21 ∈
25
EJEMPLO I REGIÓN FACTIBLE
26
EJEMPLO II PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA-MIXTA
21 x2x3z MINIMIZAR +=
SUJETO A:
5.2xx2x 321 =+−
5.1xxx2 421 =++
0x,x,x,x 4321 ≥
Ix,x 32 ∈
27
CORTES DE GOMORY • RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA ORIGINAL RELAJADO (PLR) INCLUYENDO
RESTRICCIONES ADICIONALES LLAMADAS CORTES DE GOMORY • PROCESO ITERATIVO ⇒ 1 CORTE DE GOMORY ADICIONAL POR ITERACIÓN
• SE REDUCE PROGRESIVAMENTE LA REGIÓN FACTIBLE SIN EXCLUIR SOLUCIONES ÓPTIMAS
• CONVERGENCIA FINITA AL ÓPTIMO
28
CORTES DE GOMORY
29
GENERACIÓN DE CORTES DE GOMORY REGIÓN FACTIBLE:
bAx = 0x ≥
EMPLEANDO NOTACIÓN ESTÁNDAR DEL MÉTODO SIMPLEX:
bNxBx NB =+
bBNxBx 1N
1B
−− =+
b~Uxx NB =+ PARA UNA VARIABLE BÁSICA IxBi ∈ QUE NO ES ENTERA EN PLR:
iNjj
ijBi b~xux =+∑
DONDE Ib~i ∉
30
GENERACIÓN DE CORTES DE GOMORY SI SE EXPRESAN uij Y COMO SUMA DE UNA PARTE ENTERA Y UNA PARTE DECIMAL:
ib~
ijijij fiu +=
i i i f~i~b~ +=
DONDE Y 0fij ≥ 0f~i > POR LO TANTO:
( ) i i j
NjijijBi f~i~xfix +=++∑
∑∑ −=−+j
Njiji i j
NjijBi xff~i~xix
31
GENERACIÓN DE CORTES DE GOMORY POR LO TANTO DEBE SER: ∑−
jNjiji xff~
ENTERO, YA QUE i
jNjijBi i~xix −+∑ ES ENTERO
MENOR QUE , QUE ES UNA FRACCIÓN POSITIVA MENOR QUE 1, YA QUE
i f~
0xfj
Njij ≥∑
CONCLUSIÓN: SE DEFINE EL CORTE DE GOMORY ASOCIADO A LA VARIABLE BÁSICA : Bix
0xff~
jNjiji ≤−∑
O IGUALMENTE,
0f~xf i j
Njij ≥−∑
32
ALGORITMO DE CORTES DE GOMORY • PASO 1 (INICIACIÓN): RESOLUCIÓN DE PROBLEMA LINEAL RELAJADO (PLR)
INFACTIBLE ⇒ PROBLEMA ORIGINAL INFACTIBLE ⇒ FIN
FACTIBLE ⇒ IR A PASO 2 • PASO 2 (CONTROL DE OPTIMALIDAD):
SI SE CUMPLE INTEGRALIDAD ⇒ SOLUCIÓN ÓPTIMA ⇒ FIN
SI NO SE CUMPLE INTEGRALIDAD ⇒ IR A PASO 3
33
ALGORITMO DE CORTES DE GOMORY • PASO 3 (GENERACIÓN DE CORTE): SE EMPLEA UNA VARIABLE BÁSICA QUE
HA DE SER ENTERA Y NO LO ES, Y SE GENERA EL CORTE DE GOMORY • PASO 4 (RESOLUCIÓN):
SE AÑADE EL CORTE Y SE RESUELVE EL NUEVO PLR ⇒ IR A PASO 2
MÉTODO SIMPLEX DUAL ACONSEJABLE
34
EJEMPLO I PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA ESTRICTA
21 xxz MINIMIZAR −−= SUJETO A:
0x1 ≤−
1x2x2 21 ≤−
9x2 2 ≤
Ix,x 21 ∈
35
BRANCH & CUT • COMBINACIÓN DE BRANCH & BOUND Y DE GENERACIÓN DE CORTES • USO DE HEURÍSTICOS QUE REDUCEN LA REGIÓN FACTIBLE • REDUCCIÓN ESPECTACULAR DE TIEMPO DE CÁLCULO ⇒ CPLEX, XPRESS
36
PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA-MIXTA CONTENIDOS
• INTRODUCCIÓN • MÉTODOS DE RESOLUCIÓN • APLICACIONES GENERALES • APLICACIONES EN INGENIERÍA ELÉCTRICA
37
RESTRICCIONES LÓGICAS FACTIBILIDAD DE UNA RESTRICCIÓN
¿CUÁNDO SE CUMPLE LA RESTRICCIÓN ( ) bx,,x,xf n21 ≤K ? MODELO PLEM 0/1: ( ) bByx,,x,xf n21 ≤−K
(1)
CUMPLE SE NO NRESTRICCIÓ LA
CUMPLE SE NRESTRICCIÓ LA
1
0y
⇒
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧= (2)
DONDE B ES UNA CONSTANTE POSITIVA SUFICIENTEMENTE GRANDE TAL QUE CUANDO LA RESTRICCIÓN NO SE CUMPLE, 1y = , (1) NO SE ACTIVA ADECUADA ELECCIÓN DE B ⇒ EVITAR PROBLEMAS NUMÉRICOS
38
RESTRICCIONES LÓGICAS RESTRICCIONES ALTERNATIVAS I
SE DEBE CUMPLIR AL MENOS UNA DE LAS SIGUIENTES RESTRICCIONES: ( ) 1n211 bx,,x,xf ≤K
( ) 2n212 bx,,x,xf ≤K
39
RESTRICCIONES LÓGICAS RESTRICCIONES ALTERNATIVAS I
MODELO PLEM 0/1: ( ) 111n211 byBx,,x,xf ≤−K
(1)
( ) 222n212 byBx,,x,xf ≤−K
(2)
1yy 21 ≤+
(3)
{ }1,0y,y 21 ∈ (4) DONDE B1 Y B2 SON CONSTANTES POSITIVAS SUFICIENTEMENTE GRANDES
40
RESTRICCIONES LÓGICAS RESTRICCIONES ALTERNATIVAS II
SE DEBE CUMPLIR SÓLO UNA DE LAS SIGUIENTES RESTRICCIONES: ( ) 1n211 bx,,x,xf ≤K
( ) 2n212 bx,,x,xf ≤K
MODELO PLEM 0/1 (I): ( ) 111n211 byBx,,x,xf ≤−K
(1)
( ) 222n212 byBx,,x,xf ≤−K
(2)
1yy 21 =+
(3)
{ }1,0y,y 21 ∈ (4) DONDE B1 Y B2 SON CONSTANTES POSITIVAS SUFICIENTEMENTE GRANDES
41
RESTRICCIONES LÓGICAS RESTRICCIONES ALTERNATIVAS II
MODELO PLEM 0/1 (II): ( ) 111n211 byBx,,x,xf ≤−K
(1)
( ) ( ) 212n212 by1Bx,,x,xf ≤−−K
(2)
{ }1,0y1∈ (3) DONDE B1 Y B2 SON CONSTANTES POSITIVAS SUFICIENTEMENTE GRANDES AHORRO DE 1 VARIABLE BINARIA ⇒ ↓↓↓ COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL (ÁRBOL DE BÚSQUEDA DEL BRANCH & BOUND REDUCIDO)
42
RESTRICCIONES LÓGICAS RESTRICCIONES ALTERNATIVAS III
SE DEBEN CUMPLIR AL MENOS k DE LAS SIGUIENTES RESTRICCIONES: ( ) jn21j bx,,x,xf ≤K , p1j K=
DONDE Bj SON CONSTANTES POSITIVAS SUFICIENTEMENTE GRANDES
43
RESTRICCIONES LÓGICAS ALTERNATIVAS COMPUESTAS
REGIÓN FACTIBLE DEFINIDA POR CONJUNTOS ALTERNATIVOS DE RESTRICCIONES (NO NECESARIAMENTE DISJUNTOS):
44
RESTRICCIONES LÓGICAS ALTERNATIVAS COMPUESTAS
MODELO PLEM 0/1: ( ) 111211 byBx,xf ≤− (1)
( ) 212212 byBx,xf ≤− (2)
( ) 323213 byBx,xf ≤− (3)
( ) 424214 byBx,xf ≤− (4)
( ) 535215 byBx,xf ≤− (5)
( ) 636216 byBx,xf ≤− (6)
( ) 737217 byBx,xf ≤− (7)
2yyy 321 ≤++ (8)
0x,x 21 ≥ (9)
{ }1,0y,y,y 321 ∈ (10)
DONDE B1 - B7 SON CONSTANTES POSITIVAS SUFICIENTEMENTE GRANDES
45
RESTRICCIONES LÓGICAS RESTRICCIONES CONDICIONALES
( ) 1n211 bx,,x,xf >K IMPLICA QUE ( ) 2n212 bx,,x,xf ≤K (CONDICIÓN IF ... THEN)
EQUIVALENTE A RESTRICCIONES ALTERNATIVAS (AL MENOS UNA SE DEBE CUMPLIR): ( ) 1n211 bx,,x,xf ≤K Y/O ( ) 2n212 bx,,x,xf ≤K
46
MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES DISCONTINUIDAD
( )Bx0 SI
0x SI
cxK
0xf
≤<
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
EJEMPLO PRÁCTICO: COSTES FIJO (K) Y VARIABLE (c) DE UNA CENTRAL ELÉCTRICA
47
MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES DISCONTINUIDAD
MODELO PLEM 0/1: ( ) cxKyxf +=
(1)
Byx ≤
(2)
0x ≥
(3)
{ }1,0y∈ (4) DONDE: B ≡ VALOR MÁXIMO DE x (POTENCIA MÁXIMA NOMINAL) y ≡ VARIABLE 0/1 IGUAL A 0 SI x = 0 (NO SE INCURRE EN EL COSTE FIJO), E IGUAL A 1 EN OTRO CASO (SÍ SE INCURRE EN EL COSTE FIJO) ¡¡¡OJO, SÓLO FUNCIONA SI SE MINIMIZA f(x) Y K > 0!!!
48
MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES FUNCIONES NO CONVEXAS A TROZOS
( ) ( )
( ) ( )⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≤<
≤<
≤≤
−γ+−β+α
−β+α
α
=
cxb
bxa
ax0
bxaba
axa
x
xf
DONDE:
γ<α<β<0
cba0 <<<
49
MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES FUNCIONES NO CONVEXAS A TROZOS
MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES FUNCIONES NO CONVEXAS A TROZOS
xj ≡ TROZO j DE x
CASO OTRO EN
ax SI
0
1y
1
1
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
CASO OTRO EN
bx SI
0
1y
2
2
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
PARA EL CASO GENERAL LA RESTRICCIÓN PARA EL TROZO j ES:
1jjjjj yLxyL −≤≤ DONDE Lj REPRESENTA LA LONGITUD DEL TRAMO j SI LA FUNCIÓN ES CONVEXA Y EL PROBLEMA ES DE MINIMIZACIÓN LAS VARIABLES 0/1 NO SON NECESARIAS
51
MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES FUNCIONES NO CONVEXAS A TROZOS CON
DISCONTINUIDAD INICIAL
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
≤<
≤<
≤<
≤≤
−γ+−β+−α+
−β+−α+
−α+=
dxc
cxb
bxa
ax0
cxbcabf
bxabf
axf
0
xf
0
0
0
DONDE:
γ<α<β<0
cba0 <<<
52
MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES FUNCIONES NO CONVEXAS A TROZOS CON
DISCONTINUIDAD INICIAL
53
MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES FUNCIONES NO CONVEXAS A TROZOS CON
{ }1,0xi ∈ (4) (3) SÓLO SE ACTIVA CUANDO TODOS LOS xi SON IGUALES A 1
56
MODELADO DEL PRODUCTO DE UNA VARIABLE BINARIA Y UNA VARIABLE CONTINUA
xpz = , { }1,0x∈ , [ ]maxmin p,pp∈
MODELO PLEM 0/1:
rpz −=
(1)
maxmin xpzxp ≤≤
(2)
( ) ( ) maxmin px1rpx1 −≤≤−
(3)
{ }1,0x∈ (4)
[ ]maxmin p,pr ∈ (5) DONDE r ES UNA VARIABLE CONTINUA AUXILIAR
57
MODELADO DEL PRODUCTO DE LAS CONDICIONES DE COMPLEMENTARIEDAD
0f =π , 0≥π , 0f ≥
MODELO PLEM 0/1 (EXPRESIÓN DE FORTUNY-AMAT):
My≤π
(1)
0≥π (2)
( )y1Mf −≤
(3)
0f ≥
(4)
{ }1,0y∈
(5)
DONDE M ES UNA CONSTANTE POSITIVA SUFICIENTEMENTE GRANDE
58
PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA-MIXTA CONTENIDOS
• INTRODUCCIÓN • MÉTODOS DE RESOLUCIÓN • APLICACIONES GENERALES • APLICACIONES EN INGENIERÍA ELÉCTRICA
59
OPERACIÓN DE UNA CENTRAL TÉRMICA
• LÍMITES MÁXIMO Y MÍNIMO DE PRODUCCIÓN • TIEMPOS MÍNIMOS DE FUNCIONAMIENTO Y DE PARADA • RAMPAS: SUBIDA, BAJADA, ARRANQUE Y PARADA • RESERVA RODANTE • COSTES: DE PRODUCCIÓN (FIJOS Y VARIABLES), DE ARRANQUE Y DE
PARADA
60
OPERACIÓN DE UNA CENTRAL TÉRMICA MODELO BASADO EN LA DEFINICIÓN DE 3 VARIABLES BINARIAS: • v(k): VARIABLE DE ACOPLAMIENTO/DESACOPLAMIENTO EN EL PERIODO k • y(k): VARIABLE DE ARRANQUE AL COMIENZO DEL PERIODO k • z(k): VARIABLE DE PARADA AL COMIENZO DEL PERIODO k
TIEMPO MÍNIMO DE FUNCIONAMIENTO NÚMERO MÍNIMO DE HORAS QUE UNA CENTRAL DEBE MANTENERSE ACOPLADA UNA VEZ PUESTA EN FUNCIONAMIENTO MODELO NO LINEAL: ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0kv1kv UT1kx ≥−−−−
UT: TIEMPO MÍNIMO DE FUNCIONAMIENTO (h) x(k): NÚMERO DE HORAS QUE LA CENTRAL LLEVA
ACOPLADA/DESACOPLADA (+/-) AL FINAL DEL PERÍODO k
65
TIEMPO MÍNIMO DE FUNCIONAMIENTO MODELO PLEM 0/1:
( )[ ] 0kv1L
1k
=−∑=
(1)
( ) ( )kyUTiv 1UTk
ki
≥∑−+
=
1UTT1Lk +−+= K (2)
( ) ( )[ ] 0kyivT
ki
≥−∑=
T2UTTk K+−= (3)
( ) ( )[ ]0V UUT,TMinL 0−=
T: NÚMERO DE HORAS DEL HORIZONTE TEMPORAL
0U : TIEMPO QUE LA CENTRAL LLEVA INICIALMENTE ACOPLADA (h)
( )0V : ESTADO INICIAL DE ACOPLAMIENTO
66
TIEMPO MÍNIMO DE PARADA NÚMERO MÍNIMO DE HORAS QUE UNA CENTRAL DEBE ESTAR PARADA UNA VEZ QUE SE DESACOPLA MODELO NO LINEAL: ( )[ ] ( ) ( )[ ] 01kvkv DT1kx ≤−−+−
( ) ( ) ( )kpkpkRR −= (4) MODELO EQUIVALENTE SI SE MINIMIZA EL COSTE O SI SE MAXIMIZA EL INGRESO POR RESERVA RODANTE
75
COSTES DE PRODUCCIÓN
FUNCIÓN NO LINEAL, NO CONVEXA Y NO DIFERENCIABLE DE LA POTENCIA DE SALIDA
jP
d(k)
P p(k)
1 2 3
76
COSTES DE PRODUCCIÓN SIMPLIFICACIÓN TRADICIONALMENTE USADA: APROXIMACIÓN CUADRÁTICA
jP
d(k)
jP p(k)
a
( ) ( ) ( )( )[ ] ( )kvkpckbpakd 2++=
77
COSTES DE PRODUCCIÓN APROXIMACIÓN LINEAL POR TRAMOS
F3
F2
F1
T2 T1 jP
d(k)
jP
δ1(k) δ2(k)
δ3(k) A
p(k)
A: TÉRMINO QUE INCLUYE EL COSTE FIJO Y EL COSTE A MÍNIMO TÉCNICO
lF : PENDIENTE DEL BLOQUE DE POTENCIA l
δl(k): POTENCIA PRODUCIDA EN LA HORA k Y EN EL BLOQUE l
78
COSTES DE PRODUCCIÓN APROXIMACIÓN LINEAL POR TRAMOS
( ) ( ) ( )∑
=
δ+=NL
1
k FkAvkdl
ll
(1)
( ) ( ) ( )kvPkkpNL
1
+δ= ∑=l
l
(2)
( ) ( ) ( )kkt PT 111 δ≤−
(3)
( ) ( ) ( )kv PTk 11 −≤δ
(4)
( ) ( ) ( )kkt TT 1 llll δ≤− − 1NL2 −= Kl
(5)
( ) ( ) ( )kt TTk 11 −−−≤δ llll 1NL2 −= Kl
(6)
( ) 0kNL ≥δ
(7)
( ) ( ) ( )kt TPk 1NL1NLNL −−−≤δ
(8)
( ) { }1,0kt ∈l 1NL1 −= Kl
(9)
79
COSTE DE ARRANQUE
FUNCIÓN EXPONENCIAL DEL TIEMPO QUE LA CENTRAL LLEVA DESACOPLADA
CF
s(k-1)
b(k)
CF + CC
( )( )
( )kyCFe1 CCkb1-ks -
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
α
80
COSTE DE ARRANQUE APROXIMACIÓN LINEAL POR TRAMOS
DISCRETIZACIÓN HORARIA ⇒ COSTE DE ARRANQUE DISCRETO APROXIMACIÓN ASINTÓTICAMENTE CONVERGENTE
3 1 2
Cos
te d
e ar
ranq
ue Exponencial
Lineal a tramos
3K
Tiempo parada (h)
2K1K
81
COSTE DE ARRANQUE APROXIMACIÓN LINEAL POR TRAMOS
SE NECESITA MODELAR UN CONTADOR DEL TIEMPO QUE LA CENTRAL LLEVA DESACOPLADA RESTRICCIÓN CONDICIONAL: • SI ( ) 0kv = ⇒ ( ) ( ) 11ksks +−=
• SI ( ) 1kv = ⇒ ( ) 0ks =
82
COSTE DE ARRANQUE APROXIMACIÓN LINEAL POR TRAMOS
MODELO PLEM 0/1: ( ) ( ) 11ksks +−≤
(1)
( ) ( ) ( ) ( ) 11kskv 1Sks +−≥++
(2)
( ) ( )[ ] 0kv1Sks ≤−−
(3)
( ) 0ks ≥
(4)
DONDE S ES UNA CONSTANTE POSITIVA SUFICIENTEMENTE GRANDE (E.G. EL NÚMERO MÁXIMO DE HORAS QUE LA CENTRAL PUEDE ESTAR DESACOPLADA)
83
COSTE DE ARRANQUE APROXIMACIÓN LINEAL POR TRAMOS
MODELO PLEM 0/1:
( ) ( )kw Kkb~ iND
1i
i∑=
=
(1)
( ) ( )kykwND
1i
i =∑=
(2)
( ) ( ) ( )1kskmkw i 1ND
1i
i −=+∑−
=
(3)
( ) ( ) ( )[ ] 1kykwSkm ND +−≤
(4)
( ) ( )kw NDkm ND≥ (5)
( ) { }1,0kwi ∈ (6)
ND: NÚMERO DE TRAMOS DE LA DISCRETIZACIÓN
84
COSTE DE PARADA
TÍPICAMENTE CONSTANTE:
( ) ( )kCzkc =
85
¿DÓNDE NECESITAMOS ESTOS MODELOS?
• PROGRAMACIÓN HORARIA (UNIT COMMITMENT) ⇒ MARCO CENTRALIZADO
• DESPACHO ECONÓMICO DINÁMICO
• PROCEDIMIENTOS DE CIERRE DE MERCADO (CON O SIN RED) ⇒ MARCO
COMPETITIVO
• AUTO-PLANIFICACIÓN DE PRODUCTORES (MERCADO DIARIO Y/O DE
SERVICIOS COMPLEMENTARIOS, CON O SIN PODER DE MERCADO) ⇒ ESTRATEGIAS DE OFERTA
86
APLICACIÓN MODELOS PLEM 0/1 PROGRAMACIÓN HORARIA
DETERMINACIÓN, PARA CADA HORA DE UN DÍA O UNA SEMANA, DEL PLAN DE ACOPLAMIENTO Y DE LAS PRODUCCIONES DE LOS GRUPOS TÉRMICOS, DE FORMA QUE: • EL COSTE DE EXPLOTACIÓN SEA MÍNIMO • SE CUMPLAN LAS RESTRICCIONES TÉCNICAS DE LOS GRUPOS TÉRMICOS
(LÍMITES DE PRODUCCIÓN, RAMPAS, TIEMPOS MÍNIMOS) • SE SUMINISTRE LA DEMANDA DE ENERGÍA • HAYA POTENCIA DE RESERVA SUFICIENTE