Formulaci´ on y Ejemplos Resoluci´ on gr´ afica Resoluci´ on del problema: algoritmo del Simplex Programaci´ on Lineal Continua Elisenda Molina Universidad Carlos III de Madrid [email protected]8 de octubre de 2008 Investigaci´ on Operativa Programaci´ on Lineal Continua
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Programación Lineal Continua - Departamento de Estadí · PDF fileResolucion del problema: algoritmo del Simplex Programacion Matem´atica: alternativas 1 Programaci´on.....
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Problemas en los que se trata de asignar o localizar un numerode recursos, siempre limitados, entre diversas actividades.
Se plantea un conflicto entre la funcion objetivo, que cuantificael beneficio derivado de cada asignacion, y las restricciones, queestablecen los lımites a las asignaciones posibles.
Aplicacion clasica de la Programacion Lineal y un ejemplo tıpico deesta familia de problemas. Se trata de alimentar a un colectivo de laforma menos costosa, satisfaciendo las necesidades nutricionales.
Un veterinario aconseja a un granjero dedicado a la crıa depollos una dieta mınima para la alimentacion de las avesconsistente en 3 unidades de hierro y 4 unidades de vitaminas.
Dieta: mezcla de maız, harina de pescado y pienso sintetico.
Una refinerıa de petroleo puede destilar 2 tipos de crudo: uncrudo medio de Arabia Saudı y uno pesado de Venezuela, paraproducir gasolina, fuel de avion y lubricantes.
Dependiendo de las caracterısticas del crudo el proceso derefino da lugar a distintos derivados en diferentes proporciones.Datos:
Medio Pesado RequerimientosGasolina 0.3 0.4 2000Fuel avion 0.4 0.2 1500Lubricantes 0.2 0.3 500Disponible/dıa 9000 6000Coste 20 15
¿Como satisfacer la demanda comprometida a coste mınimo?
Planificacion optima de la mezcla de productos a fabricar:determinar la cantidad de materia prima a comprar/producir,ası como la proporcion de cada materia prima en cada productofinal. Todo ello, teniendo en cuenta las caracterısticas tecnicasdel producto final, las materias primas disponibles y suscomponentes tecnicos.
Las limitaciones que suelen aparecer vienen dadas por: garantıamınima relativa, costos fijos de produccion, numero maximo deingredientes, ingredientes sustitutivos, procesos sustitutivos,proporciones de mercado, proporciones en caracterısticastecnicas, tarifas de precios,
Aplicaciones: industrias de la alimentacion, ganadera,farmaceutica, quımica, siderurgica o petrolıfera.
Es habitual que en muchos problemas aparezca el valor absoluto deuna expresion.Por ejemplo, si aparece |x |, para eliminarlo de la formulacion se haceel cambio:
x = x+ − x−,
donde x+ y x− estan definidas como en el apartado anterior.El valor absoluto es, entonces:
Un ordenador con 2 procesadores funciona durante al menos 10horas diarias en aplicaciones administrativas y academicas.
Cada tarea administrativa requiere 2 segundos de CPU si seejecuta en el procesador 1 y 6 segundos de CPU si se ejecutaen el procesador 2.
Cada tarea academica requiere 5 segundos de CPU si se ejecutaen el procesador 1 y 3 segundos de CPU si se ejecuta en elprocesador 2.
Se requiere programar la cantidad de tareas diarias a asignar acada procesador de manera que se minimice el tiempo que elordenador esta ocupado en estos trabajos.
Vertices: Puntos Extremos y Soluciones Basicas Factibles
Sea el sistema de ecuaciones lineales Ax = b, donde
A ∈Mm×n (m ≤ n), es la matriz del sistema:
A = (a1, . . . , an)
aj = (a1j , . . . , aij , . . . , amj)t ∈ IRm, j–esima columna de A
rg(A) = m < n
b ∈ IRm y x ∈ IRn.
Soluciones Basicas del sistema
X Seleccionar m variables con columnas asociadas linealmenteindependientes ⇒ B=matriz basicaEl resto de columnas de A se denotan por N.Despues de un posible reordenamiento de las columnas de A:
George Dantzig es el padre de la PL. Desarrollo el algoritmo delSimplex en 1947.
El primer problema de PL fue el problema de la dieta (9restricciones y 77 variables). Se necesitaron 9 trabajadoresdurante aproximadamente 15 dıas para realizar los calculoselectronicos que resolvieron el problema.
La primera implementacion del Simplex en ordenador es de1952. Se resolvio un PL con 48 restricciones y 71 variables en18 horas.
Actualmente se pueden resolver PL’s con millones de variablesy restricciones en horas o minutos.
Procedimiento que permite moverse de un punto extremo a otro,mejorando cada vez (o, por lo menos, no empeorando) el objetivo.Detecta si la region factible es vacıa o si la solucion optima es noacotada.A pesar de que han aparecido otros algoritmos, sigue siendo el masutilizado:
Hay implementaciones muy eficientes del algoritmo.Proporciona mucha informacion sobre la estructura de la regionfactible.Si el numero de variables (n) es muy superior al de restricciones(m), el numero de iteraciones oscila entre 3