INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE POZA RICA INGENIERÍA INDUSTRIAL -INTEGRANTES DEL EQUIPO CÓRDOBA CORTÉS AMAYRANI DE LA ROSA MONTIEL YESSENIA HERNÁNDEZ VÁZQUEZ CHRISTIAN EMILIO LÓPEZ OLIVARES BETZAIDA BERENICE QUIRÓZ CASTILLO JOSÉ MIGUEL SANTES FONSECA ELIZABETH -MATERIA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I -PROFESORA ING. ILSE ARIADNA BERNAL MAR IV SEMESTRE “A” FECHA DE ENTREGA: 5 DE JUNIO DE 2014
PROGRAMACION ENTERA, MÉTODOS DE SOLUCION, CASOS DE APLICACION.
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE POZA RICAINGENIERÍA INDUSTRIAL
-INTEGRANTES DEL EQUIPO
CÓRDOBA CORTÉS AMAYRANIDE LA ROSA MONTIEL YESSENIAHERNÁNDEZ VÁZQUEZ CHRISTIAN EMILIOLÓPEZ OLIVARES BETZAIDA BERENICEQUIRÓZ CASTILLO JOSÉ MIGUELSANTES FONSECA ELIZABETH
-MATERIA
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
-PROFESORA
ING. ILSE ARIADNA BERNAL MAR
IV SEMESTRE “A”
FECHA DE ENTREGA: 5 DE JUNIO DE 2014
4°Semestre“A”
PROGRAMACIÓN ENTERA 1
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE POZA RICAINVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE POZA RICAINVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
Origen• Wagner• Manner• Gomory
Tipos demodelos
• Puro• Binario• Mixto
Herramientascomputacio-
nales
• Lingo/Lindo• Excel• Mpl/Cplex• TORA
Métodosde solución
• Método gráfico.• Método de plano de
corte.• Métodos de Lang-
Doing.• Enumeración implícita.
4°Semestre“A”
PROGRAMACIÓN ENTERA 5
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE POZA RICAINVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
4.1.2. CASOS DE APLICACIÓN.A continuación se presenta la variedad de problemas que caen dentro de la programación
entera y binaria:
a) Todos los problemas de programación lineal, donde las actividades, por su
estructura deben ser no-divisibles, son programas enteros. Por ejemplo problemas
de producción de automóviles, prendas de vestir, etc. ¿Qué significado tendría la
producción de 577.83 automóviles?
b) Todos los problemas de transporte, asignación y redes de optimización. Este tipo
de problemas son enteros y dada la estructura tan especial de estos problemas,
tienen métodos de solución propios.
c) Problemas de secuenciación. Este tipo de problemas aunque son fáciles de
formular, resultan bastantes difíciles de resolver. Se supone por ejemplo en el caso
de un taller que puede efectuar un solo tipo de trabajo a la vez (orden i ), el que se
tiene contratado a entregar en días, a partir de una cierta fecha base, y que
además tiene una gran duración de trabajo de ( > 0) días y al cuales asocian
una multa de pesos por día de retrasos después de los días estipulados. Se
supone que el taller recibe n órdenes de trabajo en la fecha base. ¿Cuál debe ser
el orden de secuenciación de trabajos que minimice el costo penal total?
d) El problema del agente viajero. Este problema concierne en un agente viajero que
saliendo de una terminal de ciudad debe visitar una sola vez n-1 ciudades
diferentes, y regresar al punto de partida. Si el costo de dirigirse a la ciudad j desde
la ciudad i es ( ≠ ), se debe terminar la secuencia de visita de ciudades,
tal que el costo total asociado sea el mínimo. Este problema se presentó por
4°Semestre“A”
PROGRAMACIÓN ENTERA 6
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE POZA RICAINVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
primera vez en 1960, en un artículo de Miller, Tucker, Zemling, pero hay una
variedad de métodos que resuelven el problema dependiendo del tamaño de n, el
número de ciudades.
e) Problema tipo mochila. Este tipo de problemas de optimización de carácter entero
puede darse en dos versiones. En la primera se proporciona un cierto espacio con
determinado volumen o capacidad, y este debe ser llenado con objetos de valor y
volumen o capacidades especificados. El problema consiste en llenar ese espacio
con el conjunto de objetos más valioso, sin exceder los límites físicos de dicho
espacio. La segunda versión consiste en dividir a un objeto en varias porciones de
diferente valor, el problema consiste en encontrar la división de mayor valor.
f) Problemas de inversión. Se supone por ejemplo que el organismo Nacional
Financiera S.A., tiene que escoger una alternativa en cada uno de tres proyectos
de inversión. El primer proyecto está relacionado con la construcción de partes de
generadores eléctricos. El segundo proyecto con el ensamblado de esas partes
de generadores eléctricos y el tercer proyecto con la distribución y venta de los
generadores eléctricos incluyendo a su posible exportación. Cada proyecto tiene
una serie de alternativas. Asociadas a cada alternativa se tiene calculado el valor
presente del retorno total de la inversión (en millones de pesos), el número de
empleos que se generan y el flujo de inversión (en millones de pesos) que se
necesitan para los próximos 5 años. Las restricciones del sistema son que no hay
capacidad económica para generar más de 10 mil empleos y que los flujos
máximos de capital son 700 millones en el año 1, 300 millones en el año 2, 150
millones respectivamente en los años 3,4 y 5. ¿Qué alternativas conviene
seleccionar de los proyectos I, II y III a fin de maximizar el ingreso total neto anual?
4°Semestre“A”
PROGRAMACIÓN ENTERA 7
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE POZA RICAINVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
g) Problemas con costos fijos. Todos los problemas que en su función de costo
influyen un costo fijo del siguiente tipo
Costo total para la variable = f ( )=
pertenece al grupo de problemas enteros. Este tipo de costos aparecen
frecuentemente en problemas de transportes, inventarios, localización de plantas,
distribución geográfica de electores, etc.
h) Problemas de cubrimiento y partición de un conjunto. Este tipo de modelos de
carácter entero se ha utilizado en problemas de acceso de información,
programación de entrega de paquetería por transporte terrestre, distribución
política electoral, problemas matemáticos de coloración y programación de
horarios de tripulación aéreos, ferrocarrileros, terrestres y marítimos.
i) Dicotomías y problemas de aproximación. Una dicotomía ocurre en un programa
matemático cuando se tienen condiciones de tipo esta restricción o la otra
restricción, pero no ambas. Este tipo de condiciones se pueden representar por
medio de una estructura entera.
j) Balance de líneas de producción. Este tipo de problemas consisten en decidir qué
actividades deben se desempeñadas por cada trabajador, a medida que un
producto se desplaza por una línea de producción. El objetivo consiste en
0 , si = 0,
0 ≤ ≤ , j=1,2,…n+ , si > 0
4°Semestre“A”
PROGRAMACIÓN ENTERA 8
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE POZA RICAINVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
minimizar el número de trabajadores (o estaciones de trabajo o actividades) en
función de una tasa de producción.
k) Asignación cuadrática. Este tipo de problemas apareció en los problemas de
localización, existe un conjunto de n posibles lugares en donde se piensa construir
n plantas industrialesm<n. sea el costo unitario de transporte de lugar i al lugar
j y sea el volumen que se debe transferir de la planta industrial k a la planta
industrial p.
4°Semestre“A”
PROGRAMACIÓN ENTERA 9
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE POZA RICAINVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
4.2. DEFINICIÓN Y MODELOS DE PROGRAMACIÓN ENTERA YBINARIA
4.2.1. DEFINICIÓNEl modelo de programación entera es sencillamente la programación lineal solo que con
la característica de que la programación entera tiene una restricción de que todas las
variables sean valores enteros a este tipo de modelos se les llama programación entera
pura.
Esto nos quiere decir que la metodología para resolver los problemas de programación
entera es prácticamente el mismo que para hacer la programación lineal.
La programación entera mixta (PEM) se ocupa solo cuando algunas de las variables
deben ser enteros y la suposición de divisibilidad se cumple para el resto.
Esto se da cuando algunos datos deben ser enteros como la cantidad de personal dentro
de una empresa ya que no se pueden asignar 2.5 empleados se deben redondear a 3
pero dentro del mismo modelo se asigna el salario ya que puede ser $2000.50 a estos
modelos se les reconoce por (PEM).
Las programaciones enteras binarias son aquellas donde incluyen decisiones de si o no
que están interrelacionadas. En las decisiones de este tipo solo hay 2 posibles respuestas
a este tipo de decisiones se les puede representar mediante variables de decisión
restringidas a 2 valores, por ejemplo 0 y 1, así la j-ésima decisión si o no se puede
representar por , tal que:
˂1 si la decisión j es si o 0 si la decisión j es no.
A este tipo de problemas de programación entera binaria también se les conoce como
problemas 0-1 de programación entera.
4°Semestre“A”
PROGRAMACIÓN ENTERA 10
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE POZA RICAINVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
4.2.2. DESCRIPCIÓN DEL MÉTODOLo primero que se debe saber, es que al ser las decisiones de Si o No, todas las variables
de decisión tienen la forma binaria. La representación de lo anterior queda así:
Cuando al escoger una opción, no se nos permite escoger otra, se dice que ambas son
mutuamente excluyentes, esta restricción se representa como la sumatoria de ambas ≤
1, ya que eso indica que entre ambas puede haber solo 1 (solo una de las 2) o 0 (ninguna
de ellas). + ≤ 1En el caso en que una opción solo se pueda escoger habiendo elegido otra con
anterioridad, se dice que son contingentes o condicionales, esta restricción se representa
poniendo que la variable dependiente es ≤ a la variable independiente, de la siguiente
manera: ≤==Pero para colocar lo anterior como restricción válida para modelación, se debe igualar a
0. − ≤ 0Como paso final para modelar se ponen las restricciones ≤ 1 y ≥ 0 para indicar que solo
entre esos valores pueda estar la optimización.≤ 1≥ 0
4°Semestre“A”
PROGRAMACIÓN ENTERA 11
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE POZA RICAINVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
Donde:
j= Número de variables de decisión.
Ejemplo:
A continuación se presenta un problema del cual se hará el modelaje y se darán los pasos
para desarrollarlo en programación entera binaria.
La CALIFORNIA MANUFACTURING COMPANY analiza la posibilidad de llevar a cabo
una expansión mediante la construcción de una nueva fábrica ya sea en Los Ángeles o
en San Francisco, o tal vez en ambas ciudades. También piensa en construir, a lo sumo,
un nuevo almacén, pero la decisión sobre el lugar en donde lo instalará está restringida
a la ciudad donde se construya la nueva fábrica. En la cuarta columna de la tabla 1 se
muestra el valor presente neto —rendimiento total que toma en cuenta el valor del dinero
en el tiempo— de cada alternativa. En la última columna se proporciona el capital que
se requiere —incluido el valor presente neto— para las respectivas inversiones, donde
el capital total disponible es de 10 millones de dólares. El objetivo es encontrar la
combinación factible de alternativas que maximice el valor presente neto total.
4.2.3. EL MODELO PEB
Aún cuando este problema se puede resolver con un simple razonamiento - construir
fábricas en ambas ciudades, pero ningún almacén—, se formulará como ejemplo.
Sea:
Z= valor neto de estas decisiones.
Si se hace la inversión para construir una instalación dada —de manera que la variable
de decisión correspondiente tenga valor de 1—, el valor neto estimado de estas
inversiones aparece en la cuarta columna de la tabla. Si la inversión no se hace —y, por
tanto, la variable de decisión es igual a 0—, el valor presente neto es 0.
4°Semestre“A”
PROGRAMACIÓN ENTERA 12
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE POZA RICAINVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
TABLA 1 Datos del ejemplo de la California Manufacturing Co.
Entonces, con unidades de millones de dólares, la F.O queda:
Z=9x1 +5x2 +6x3 +4x4.
La última columna de la tabla indica el capital que se gastará en las cuatro instalaciones,
y dice que no puede exceder a 10 millones de dólares. Entonces, la primera restricción
sería:
6x1 +3x2 +5x3 +2x4 10.
Como las últimas dos decisiones representan alternativas mutuamente excluyentes —
la compañía quiere construir cuando mucho un almacén nuevo—, se necesita la
restricción + ≤ 1
Número dedecisión
Pregunta Si o NoVariable de
decisiónValor
presenteneto
Capitalrequerido
1 ¿Construir la fábrica
en Los Ángeles?
$9 millones $6 millones
2 ¿Construir la fábrica
en San Francisco?
$5 millones $3 millones
3 ¿Construir el
almacén en Los
Ángeles?
$6 millones $5 millones
4 ¿Construir el
almacén en San
Francisco?
$4 millones $2 millones
4°Semestre“A”
PROGRAMACIÓN ENTERA 13
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE POZA RICAINVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
Aún más, las decisiones 3 y 4 son contingentes —o condicionales— porque dependen
de las decisiones 1 y 2, respectivamente (la compañía consideraría la construcción de
un almacén en determinada ciudad sólo si la nueva fábrica va a estar ahí). Por tanto, en
caso de tomar la decisión 3, se requiere que x3 = 0 si x1 = 0. Esta restricción sobre x3
(cuando x1 = 0) se impone al agregar la restricción≤De manera similar, el requerimiento de que x4 = 0 si x2 = 0 se impone con la restricción:≤Por tanto, después de escribir de nuevo estas dos restricciones para que todas las
variables queden en el lado izquierdo, el modelo completo de PEB es
Maximizar Z= 9 + 5 +6 + 4
s.a
6 + 3 +5 + 2 ≤ 10
+ ≤ 1
- + + ≤ 0
- + ≤ 0
≤ 1
≤ 0
Y
es entera , para j = 1, 2 ,3 ,4.
4°Semestre“A”
PROGRAMACIÓN ENTERA 14
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE POZA RICAINVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
De manera equivalente las 3 últimas líneas de este modelo se puede sustituir por una
sola restricción.
es binaria para j= 1, 2 ,3 ,4
Excepto por su tamaño pequeño, este ejemplo representa muchas aplicaciones reales
de programación entera en las que las decisiones básicas que se toman son del tipo sí
o no.
Al igual que el segundo par de decisiones de este ejemplo, muchos grupos de decisiones
sí o no son mutuamente excluyentes, tales que sólo una decisión de ese grupo puede
ser sí. Cada grupo requiere una restricción que obligue a la suma de las variables
binarias correspondientes a ser igual a 1 si exactamente una decisión de ese grupo
debe ser sí, o menor o igual a 1 (si cuando mucho una decisión de ese grupo puede ser
sí).
En ocasiones, las decisiones del tipo sí o no son decisiones contingentes, es decir,
dependen de decisiones anteriores. Se dice que una decisión es contingente respecto
a otra si se permite que sea si sólo si la otra es sí. Esta situación ocurre cuando una
decisión contingente implica una acción que sigue a otra y que se vuelve irrelevante, o
imposible, si la otra decisión es no. La forma de la restricción que se obtiene se ilustra
en la cuarta y quinta restricciones del ejemplo.
Punto óptimo
= 1
= 0
= 0
= 0
4°Semestre“A”
PROGRAMACIÓN ENTERA 15
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE POZA RICAINVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 S4 S5 BFS
Z(max) 0 4 3 5 0 0 0 0 9 9
S1 0 -3 -1 -4 1 0 0 0 -6 4
S2 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1
S3 0 1 2 1 0 0 1 0 1 1
S4 0 -1 0 1 0 0 0 1 0 0
X1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1
Función objetivo en el punto óptimo 9.
Igual que en el ejemplo de la California Manufacturing Co., con frecuencia los
administradores enfrentan decisiones de sí o no. Por tanto, la programación entera
binaria (PEB) se usa de manera considerable como ayuda para tomar estas decisiones.
4°Semestre“A”
PROGRAMACIÓN ENTERA 16
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE POZA RICAINVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
4.3. MÉTODO DE GOMORYPublicado en 1958 por Ralph Gomory, el método de Gomory mejor conocido como
Algoritmo de Plano de Corte, es un método que permite encontrar soluciones óptimas
enteras en aquellos problemas de programación lineal que tienen soluciones
fraccionarias o con decimales. Se basa con los “planos cortantes” (o corte) que es una
nueva restricción funcional que reduce la región factible del relajamiento de PL sin
eliminar soluciones factibles del problema de PE original. Podemos decir que este método
es una base de nuevas técnicas que permiten de igual manera encontrar una solución
óptima entera de un problema de PL, un ejemplo, el “método de ramificación y
acotamiento” que lo veremos más adelante.
El método de Gomory se inicia en la solución óptima continua. Se agregan restricciones
especiales (los cortes) al espacio de soluciones para que produzcan un punto extremo
óptimo entero. La desventaja de este método, es que resulta muy ineficiente para resolver
problemas enteros de tamaño medio. Estos métodos generan en cada iteración una
restricción y una variable extra. Sin embargo, su ventaja es que ilustran lo que se
pretende hacer con la región de factibilidad de problemas entero, para lograr la solución
del mismo. Comenzaremos con un ejemplo práctico para su mejor entendimiento.
Ejemplo:
Maximizar Z = 7 + 10Sujeto a− + 3 ≤ 67 + ≤ 35
, ≥ 0 y enteros.
Lo resolveremos directamente por el método SIMPLEX. Por lo tanto:
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE POZA RICAINVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
Tablas SIMPLEX
10 Solución
-1 3 1 0 6
7 1 0 1 35
0 0 0 0
- 7 10 0 0
Pivoteamos el renglón , hacemos el cambio de 10 por y nos queda:
10 Solución10 − 1 3 1 1 3 0 222 3 0 − 1 3 1 33
− 10 3 10 10 3 0
- 31 3 0 − 10 3 0
4°Semestre“A”
PROGRAMACIÓN ENTERA 18
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE POZA RICAINVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
Pivoteamos el renglón , hacemos el cambio de 7 por y nos queda:
10 Solución
0 1 7 22 1 22 7 2 =
1 0 − 1 22 3 22 9 2 =
7 10 63 22 31 22- 0 0 − 63 22 − 31 22 133 2 =
La solución óptima es Z= , = , = , = 0, = 0.
Gráfica:
Observamos que nuestras soluciones óptimas no son números enteros, para esto, si bien
es donde proseguimos con el método de Gomory. En base a la información que nos arroja
nuestra tabla óptima, podemos reescribirla de la siguiente manera.
Z + 63 22 + 31 22 = 66 12 (ecuación Z)
+ 7 22 + 1 22 = 3 12 (ecuación )
- 1 22 + 3 22 = 4 12 (ecuación )
4°Semestre“A”
PROGRAMACIÓN ENTERA 19
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE POZA RICAINVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
Una vez que tenemos la información de la tabla ordenada en las ecuaciones anteriores,
debemos escoger una de estas ecuaciones, con la condición de que siempre el ladoderecho sea fraccionario. En caso del ejemplo, las 3 ecuaciones cumplen con la
condición.
La ecuación de restricción que elijamos, será nuestra fila origen (o renglón de fuente),con la cual generaremos un corte.
Paso 1: Factorizamos todos los coeficientes no enteros de la ecuación en un valor entero
y un componente fraccionario, siempre y cuando el componente fraccionario sea
estrictamente positivo.
De la ecuación Z, nos queda como resultado
Z + (2 + ) + (1 + 922) = (66 + 12)Paso 2: Los componentes enteros los moveremos al lado izquierdo y los componentes
fraccionarios al lado derecho. Obtenemos:
Z + 2 + 1 – 66 = − 1922 − 922 + 12 (1)
Como y son no negativas y todas las fracciones son positivas por construcción, el
lado derecho debe satisfacer la siguiente desigualdad:
− 1922 − 922 + 12 ≤ (2)
Paso 3: Ahora, como el lado izquierdo de la ecuación (1), es un valor entero por
construcción, el lado derecho también debe de ser entero. Por lo tanto deducimos que
(2) puede ser reemplazada con una desigualdad:
− 1922 − 922 + ≤ 0
4°Semestre“A”
PROGRAMACIÓN ENTERA 20
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE POZA RICAINVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
Este resultado de justifica porque un valor entero menor que una fracción positiva
necesariamente debe ser ≤ 0.
La última desigualdad es el corte deseado, y representa una condición necesaria
(más no suficiente) para obtener una solución entera. Esta desigualdad se conoce como
corte fraccionario porque todos sus coeficientes son fracciones.
Antes de demostrar cómo se implementa el corte fraccionario en la tabla óptima,
se demostrará como también podremos construir los cortes a partir de las otras 2
ecuaciones de restricción.
Ecuación : − 1 22 + 3 22 = 4 12Factorizando la ecuación se obtiene: