Clase # 15 PROGRAMACIÓN ENTERA FORMULACIÓN
Clase # 15
PROGRAMACIN ENTERA
FORMULACIN
1. PROGRAMACIN ENTERA: P.E.
Programacin Lineal con la restriccin adicional
de que los valores de las variables de decisin son
enteros. (vs suposicin de divisibilidad)
P.E Pura: Todas las variables de decisin tienen valores enteros.
P.E Mixta (PEM): Algunas de las variables de decisin tienen valores enteros. Las dems
toman valores reales o continuos (cumplen con la
suposicin de divisibilidad).
2. PROGRAMACIN BINARIA: P.B.
(Programacin Dual o Programacin 0-1)
Utiliza variables binarias:
Las Xj son variables de decisin restringidas a
tomar valores 0,1.
Xj =
1 si la decisin j es si.
0 si la decisin j es no.
Slo tiene 2 alternativas posibles
PEM: Panacea de la optimizacin
3. Ejemplo 1: Programacin Binaria
La CALIFORNIA MANUFACTURING CO.
est analizando la posibilidad de expansin.
Fbrica: Construccin de una fbrica en Los
Angeles o en San Francisco, o tal vez en ambas
ciudades
Almacn: Construccin de un almacn a lo
sumo, pero la decisin est restringida a que si
hay almacn es porque hay fbrica en ese sitio.
Veamos
Pregunta s o no Capital
Requerido
($ milln)
# de
decisin
Variable
de
decisin
VNP
Beneficio
($ milln)
Capital disponible: $10 millones
1 Construir fbrica
en Los Angeles? X1 9 6
2 Construir fbrica
en San Francisco? X2 5 3
3 Construir almacn
en Los Angeles? X3 6 5
4 Construir almacn
en San Francisco? X4 4 2
14-6
Variables de decisin.
Formulacin del modelo:
j = 1, 2, 3, 4.
Xj =
1 se construye.
0 no se construye.
La variable de decisin Xj es tal que:
Funcin objetivo.
Max Z = 9 X1 + 5 X2 + 6 X3 + 4 X4
Como las variables de decisin son
adimensionales, Z tiene unidades de
[$ millones]
Restricciones
X3 + X4 1
X3 X1 Se construye el almacn solo si se construye la fbrica
X4 X2
Xj [0,1] para j= 1, 2, 3, 4.
6X1 + 3X2 + 5X3 + 2X4 10 Capital
disponible
Alternativas condicionales o contingentes
Alternativas mutuamente excluyentes: max 1 almacen
El modelo completo ser:
Max Z = 9 X1 + 5 X2 + 6 X3 + 4 X4
X3 + X4 1
-X1 + X3 0
-X2 + X4 0
Xj [0,1] para j= 1, 2, 3, 4.
6X1 + 3X2 + 5X3 + 2X4 10
4. VARIABLES AUXILIARES BINARIAS
4.1 Seleccionar una de dos restricciones.
Slo una (cualquiera) de las 2 restricciones
debe cumplirse. La otra puede o no cumplirse,
pero no se requiere que lo haga.
Aplicacin prctica:
Casos en que se tienen 2 tipos de recursos
alternativos para un cierto propsito.
Ejemplo: o bien 3 X1 + 2X2 18
o X1 + 4X2 16 Veamos
0 2 4 6 8 10 12 14 16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X1
X2
3 X1 + 2X2 = 18
X1 + 4X2 = 16
Formulacin: Para lograr lo enunciado
anteriormente el modelo puede formularse as:
3 X1 + 2X2 18 + M
X1 + 4X2 16
3 X1 + 2X2 18
X1 + 4X2 16 + M
Una de las dos O una de las dos
Esto se lleva a la forma equivalente
3 X1 + 2X2 18 + My
X1 + 4X2 16 + M (1-y) y [0,1]
4.2 Deben cumplirse K de N restricciones.
Seleccionar K de N restricciones
Considere la situacin en la que el modelo
completo incluye un conjunto de N
restricciones posibles entre las que slo K de
ellas se deben cumplir. (suponga que K < N).
Las N-K restricciones que no se eligen quedan
eliminadas del problema, aun cuando por
coincidencia las soluciones factibles puedan
satisfacer algunas de ellas.
Veamos
14-14
f1 ( x1 , x2 , ........., xn ) d1
f2( x1 , x2 , ........., xn ) d2
fN( x1 , x2 , ........., xn ) dN
Se tienen N restricciones del tipo
14-15
f1 ( x1 , x2 , ........., xn ) d1+ My1
f2( x1 , x2 , ........., xn ) d2 + My2
fN( x1 , x2 , ........., xn ) dN + MyN
La formulacin equivalente del requerimiento de
que K de estas restricciones se deban cumplir ser:
yi [0,1] para i = 1, 2, ..., N.
yi = N-K i=1
N Yi = 0 indica que la restriccin se cumple
14-16
4.3 Funciones con N valores posibles.
Considere la situacin en la que una funcin
dada tome cualquiera de N valores dados.
Denotemos este requisito as:
sigue
f ( x1 , x2 , ..., xn ) = d1 , o d2 , ..., o dN
El caso especial en que f(x) sea lineal, se tiene:
f (x1, x2, ..., xn ) = ajXj = d1 o d2 ... j=1 n
14-17
La formulacin equivalente de este
requerimiento ser:
f ( x1 , x2 , ........., xn ) = dj yj
j=1
N
yi = 1 i=1
N
yi [0,1] para i= 1,2,....., N.
14-18
4.4 El Problema de costo fijo.
Es bastante comn incurrir en un costo fijo cuando se
emprende una actividad.
Por ejemplo: Cuando se inicia una corrida de un lote
de produccin y deben prepararse las instalaciones.
(existen algunos costos fijos y otros variables).
sigue
fj (Xj) = kj + cjXj si Xj > 0
0 si Xj = 0
El costo total de la actividad j puede representarse
por una funcin de la forma:
14-19
Min Z = (cjXj + kjYj) j=1
n
Yj =
1 si Xj > 0
0 si Xj = 0 .
s. a.
Restricciones originales
Xj MYj Yj binaria
La F. O.: Minimizar Z = f1(x1)+ f2(x2) + ... + fn(xn)
Puede expresarse como:
Usando variables auxiliares binarias
20
Para que cierta variable X1 pueda tomar un valor positivo,
es necesario que otra variable X2 exceda cierto valor
umbral a
X1 MY
X2 aY
Donde M es un nmero positivo grande
Y es una variable binaria.
Si Y =1 X2 ,cumple el umbral
4.5. Condicionales de umbral
21
4.6. Intervalos de Encendido-Apagado(On-Off)
X tome el valor de 0 est en el intervalo fijo
entre a y b.
ay X by
y es una variable binaria.
Si y =1, X est en el rango, de lo contrario es 0
14-22
5. Ejemplo 2: P.E.M
La divisin de investigacin y desarrollo de una
compaa manufacturera ha desarrollado 3 nuevos
productos y dispone de 2 plantas para fabricarlos.
Se quiere evitar la diversificacin excesiva de la lnea
de productos y por ello solo se fabricarn mximo 2
de los 3 productos desarrollados, y slo se utilizar
una de las plantas.
sigue
14-23
Horas por unidad
de Producto
Planta 1
Horas disponibles
por semana
2
1 2 3
Ganancia
unitaria
Ventas
potenciales
3 4 2 30
4 6 2 40
5 7 3
7 5 9
Miles de US$
Unidades por semana
Pasemos ahora a formular el modelo
14-24
Xj: Tasa de produccin del producto j
J = 1, 2, 3
Funcin objetivo.
Max Z = 5X1 + 7X2 + 3X3
Variables de decisin.
14-25
Restricciones
3X1+ 4X2 + 2X3 30 Planta 1
Xj 0 para j = 1, 2, 3.
4X1+ 6X2 + 2X3 40 Planta 2
X1 7 producto 1
X2 5 producto 2
X3 9 producto 3
14-26
Not UD algo raro
en la formulacin del modelo?
Pueden usarse variables binarias para formular
adecuadamente algunas restricciones.
Veamos
Faltan restricciones !!!
CULES?
14-27
Recuerde que slo se pueden fabricar hasta 2 de
los 3 productos.
Se introducen 3 variables auxiliares binarias:
y1, y2, y3 tales que:
Yj =
1 si Xj > 0 se puede cumplir (se puede producir j)
0 si Xj = 0 se debe cumplir (no se puede producir j)
para j = 1, 2, 3. sigue
14-28
Con la ayuda de la M grande puede obtenerse:
X1 My1
X2 My2
X3 My3
y1+ y2 + y3 2
yi es binaria para i = 1, 2, 3
14-29
Recuerde que slo se puede utilizar una de
las 2 plantas.
Se introduce la variable binaria y4 tal que:
Y4=
1 si 4X1+ 6X2 + 2X3 40 Debe cumplirse (se elige la planta 2)
0 si 3X1+ 4X2 + 2X3 30 Debe cumplirse (se elige la planta 1)
sigue
14-30
Con la ayuda de la M grande puede obtenerse:
4X1+ 6X2 + 2X3 40 + M (1- y4)
3X1+ 4X2 + 2X3 30 + My4
La formulacin del modelo completo ser:
y4 es binaria
14-31
Max Z = 5X1 + 7X2 + 3X3 s.a
X1 7
X2 5
X3 9
X1 - My1 0
X2 - My2 0
X3 - My3 0
y1+ y2 + y3 2
4X1+ 6X2 + 2X3 - M(1- y4) 40
3X1+ 4X2 + 2X3 - My4 30
yi es binaria para j = 1, 2, 3, 4 Xj 0 para todo j