8/18/2019 Programa EIQ-342-05
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Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
Escuela de Ingeniería Química
Termodinámica General
EIQ 342
1er Semestre 2015
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Nos interesa conocer el valor de la variable dependiente en función
del tiempo. El término de estado no estacionario se refiere a los
procesos en los que las cantidades o las condiciones de operacióndentro del sistema cambian con el tiempo. Usaremos
indistintamente los términos de proceso dinámico o proceso
transitorio.
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– En general, los problemas que implican procesos en estado no
estacionario son más difíciles de formular y resolver que
aquellos en los que intervienen procesos en estado estacionario.Son muchos los problemas industriales que pertenecen a esta
categoría:
• Puesta en marcha de un equipo
• Calentamiento en reacciones batch (por lotes)
•
Modificación de las condiciones de operación• Perturbaciones producto de fluctuaciones en las condiciones de un proceso
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Los balances se plantean en función del tiempo, ya sea para
representar el comportamiento de un equipo batch o bien para
analizar los cambios que ocurren durante la transición de unestado estacionario a otro.
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– El modelo matemático está constituido por un sistema de
ecuaciones diferenciales ordinarias cuya variable diferencial es el
tiempo (modelo macroscópico o basado en parámetrosenglobados) o un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas
parciales, que abarca tanto las coordenadas espaciales (p.e. x, y, z )
como la variable tiempo (modelo microscópico o basado en
parámetros distribuidos).
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Balance macroscópico.
• I gnora todos los detal les de un sistema y por tanto equivale a un balance
alrededor de todo el sistema.• La var iable independiente es el tiempo .
• Las vari ables dependientes , como la concentración y la temperatura, no sonfunciones de la posición, sino que representan promedios globales queabarcan todo el volumen del sistema.
• Se supone que el sistema está bien mezclado por lo que las composiciones y
temperaturas de salida son equivalentes a las composiciones y temperaturasdentro del sistema .
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Balance macroscópico.
– Esta ecuación puede aplicarse a la masa de una sola especie o a la
masa total de materia del sistema.
acumulación(aumento odisminución)dentr o delsistema
=
transportehacia elsistema a
través de sufrontera
-
transportehacia afueradel sistema através de sufrontera
+
generacióndentr o delsistema
-
consumodentr o delsistema
Ec. 1
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Balance macroscópico.
Frontera
Transporte
de salida
Transporte
de entrada
Generación
(fuente)
Consumo
(sumidero)
1 2
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Balance macroscópico.
• Consideremos un incremento de tiempo Dt . Asimismo, consideremos una
acumulación positiva (aumento) durante este intervalo de tiempo, es decir, de t a t + Dt .
• El balance de masa para el componente A será:
•
Donde = masa de A por unidad de volumen, p.e. kg A/m 3
, y V =volumen del sistema. El símbolo |t o |t + Dt significa que r AV se evalúa en eltiempo t o en el tiempo t + Dt , según corresponda.
t At t A V V || r r Dacumulación
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Balance macroscópico.
• Dividiremos el transporte de masa a través de la frontera del sistema en dos
partes: – El transporte a través de la frontera del sistema por medio de las
superficies definidas S 1 y S 2, cuyas áreas se conocen y
– El transporte a través de la frontera del sistema por medio de otras
superficies (no definidas).
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Balance macroscópico.
• Transporte a través de las superficies definidas:
• Donde u = velocidad lineal en un ducto de sección transversal S y S = áreade la sección transversal perpendicular al flujo de materia.
21|| S AS A t uS t uS DD r r
flujo neto a través de
la frontera por S 1 y S 2
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Balance macroscópico.
• Transporte a través de las superficies no definidas:
• Donde velocidad de flujo másico de A, p.e. kg /s , (a través de lafrontera del sistema) que no pasa por las superficies definidas.
t w AD flujo residual neto a través de
la frontera por otras superficies
Aw
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Balance macroscópico.
• Por último, supondremos que el término de (generación – consumo) neto,
dentro del sistema, se debe a una reacción química:
• Donde velocidad neta de generación – consumo de A, p.e. kg A/s, debida a la reacción química.
t r AD flujo neto generación – consumo
Ar
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Balance macroscópico.
• Introduciendo todos estos términos en laEc. 1, obtenemos la Ec. 2, el balance
de materia de la especie A:
t r t wt uS t uS V V A AS AS At At t A DDDDD 21 |||| r r r r
acumulación
flujo neto a través de
la frontera por S 1 y S 2
flujo residual neto a través de
la frontera por otras superficies
flujo neto
generación – consumo
Ec. 2
Balance de materia
de la especie A
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Balance macroscópico.
• El balance total de mater ia produce la Ec. 3:
t wt uS t uS V V S S t t t DDDD 21 |||| r r r r
flujo neto a través de
la frontera por S 1 y S 2
flujo residual neto a través de
la frontera por otras superficies
Ec. 3
Balance total de materiaacumulación
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Balance macroscópico.
• Dividiendo la Ec. 2 (balance de materia de la especie A) por Dt obtenemos:
• Y dividiendo también la Ec. 3 (balance total de materia) por Dt obtenemos:
A AS AS At At t A r wuS uS
t
V V
DD
21||
|| r r
r r Ec. 4
wuS uS
t
V V S S
t t t
D
D21
||||
r r r r
Ec. 5
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Balance macroscópico.
• Tomando límites con Dt tendiendo a 0, obtenemos las siguientes ecuaciones
diferenciales :
A A A
A r wuS dt
V d D r
r
wuS
dt
V d D r
r Ec. 7. Balance total de mater ia
Ec. 6. Balance de mater ia para A
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Balance macroscópico.
• Puede ser bastante difícil resolver analíticamente una de estas ecuaciones
generales, o cualquier combinación de ellas.• En este curso restringiremos nuestro análisis a casos sencillos.
• En la resolución de problemas en estado no estacionario, podemos plantear la
ecuación como en las ecuaciones 2 o 3, o utilizar directamente las ecuaciones
diferenciales 6 o7.
• Para completar la formulación del problema será necesario incluir unvalor
conocido de la variable dependiente (o de su derivada) en un instanteespecificado, por lo regular la condición in icial .
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°16. Balance de materia en estado no estacionario sin
generación – consumo neto.
– Un tanque contiene 100 galones de una disolución de 4.0 lb de salen agua. Entra agua en el tanque a razón de 5 gal/min y la
disolución de sal se desborda con la misma velocidad. Si el
mezclado en el tanque es suficiente para mantener la concentración
de sal en el tanque uniforme en todo momento, ¿cuánta sal habrá
en el tanque al término de 50 min?. Suponga que la densidad de ladisolución de sal es prácticamente la misma que la del agua
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°16. Balance de materia en estado no estacionario sin
generación – consumo neto.
– Solución.
– 1. Hacer un dibujo y anotar los datos conocidos.
100 gal de
disolución
(4.0 lb sal)
5 gal /min
Agua pura
0 lb sal /gal
5 gal /min
Disolución
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°16. Balance de materia en estado no estacionario sin
generación – consumo neto.
– 2. Escoger las variables independientes y dependientes.• Variables independientes: el tiempo, t .
• Variables dependientes: la concentración de sal en el estanque, c.
– 3. Escribir la condición inicial.
• En t = 0, c = 4.0 lb/100 gal = 0.040 lb/gal .
– 4. Plantear las ecuaciones.
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°16. Balance de materia en estado no estacionario sin
generación – consumo neto.
– Balance total de materia:
wuS
dt
V d D r
r
Si suponemos que no hay flujo residual neto (a través de la frontera) por otras superficies,
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EntradaSalida EntradaSalida uS uS
dt
V d
w
||||
0
r r r r r
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°16. Balance de materia en estado no estacionario sin
generación – consumo neto.
– Puesto que la densidad de la disolución de sal es prácticamente la
misma que la del agua (otra suposición), podemos decir que,
min gal uS
uS uS dt
V d
EntradaSalida
EntradaSalida EntradaSalida
5
||||
r r r r r
r r r Agua Disolución
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°16. Balance de materia en estado no estacionario sin
generación – consumo neto.
– Por lo que,
– Esta ecuación nos dice que la masa total de disolución en el
sistema permanece constante, en otras palabras, que el flujo
(másico) de agua que entra es igual al flujo (másico) de la
disolución que sale del tanque.
055|||| r r r r r r
r
EntradaSalida EntradaSalida uS uS dt
V d
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°16. Balance de materia en estado no estacionario sin
generación – consumo neto.
– Balance para la sal (A):
– Nota: Ahora, se refiere a la concentración y no a la
densidad.
– Puesto que el término de generación – consumo neto es cero,
A A A
A r wuS dt
V d D r
r
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0 Ar
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°16. Balance de materia en estado no estacionario sin
generación – consumo neto.
– Si suponemos que no hay flujo residual neto de A (a través de lafrontera) por otras superficies
– también es cero
Entrada ASalida A A
A
A
uS uS uS dt
V d
y
w
||
0
r r r
r
D
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°16. Balance de materia en estado no estacionario sin
generación – consumo neto.
– El término r AuS |Entrada = 0, puesto que la concentración de sal en laentrada es 0 lb/gal ( r A|Entrada = 0), es decir, fluye agua pura.
– Por tanto, la ecuación diferencial se reduce a:
Salida ASalida A
A uS
dt
V d || r r
r
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°16. Balance de materia en estado no estacionario sin
generación – consumo neto.
– Como
A A
A A
A A
dt
d
o
dt
d
dt
d
r r
r r
r r
05,0
05,05100
gal V ymin gal uS EntradaSalida 1005
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°16. Balance de materia en estado no estacionario sin
generación – consumo neto.
– 5. Resolver la ecuación (o el sistema de ecuaciones).
– Separando variables, la ecuación anterior queda:
–
Integrando,
dt d
A
A 05,0 r
r
5,205005,004,0
ln05.0min50
004,0
A
t
A
A dt d A r
r
r r
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• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°16. Balance de materia en estado no estacionario sin
generación – consumo neto.
– Habrán 0,328 lb de sal al cabo de 50 min .
lb gal
gal
lbV m
gal lb
e
A A
A
A
328,0100
1
00328,0
00328,0
082085,004,0
5,2
r
r
r
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• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°17. Balance de materia en una destilación por lotes.
• Un destilador pequeño está separando propano y butano a 135°C ; en un
principio contiene 10 kgmol de una mezcla cuya composición es x = 0.30,donde x es la fracción molar de butano. Se alimenta mezcla adicional ( x F =
0.30) a razón de 5 kgmol/h. Si el volumen total del líquido en el destilador es
constante y la concentración del vapor del destilador ( x D) está relacionada con
xS como sigue:
a. ¿Cuánto tardará el valor de xS en cambiar de 0.3 a 0.4?
b. ¿Cuál será el valor de estado estacionario (equilibrio) de xS en el destilador
(esto es cuando xS se hace constante)?
S
S D x
x x
1
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• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°17. Balance de materia en una destilación por lotes.
• Solución
•Puesto que el propano y el butano forman disoluciones ideales, no tenemosque preocuparnos por cambios de volumen durante la mezcla o la separación.
Podemos también suponer que la densidad de la mezcla es constante.
• Balance total de materia:
EntradaSalida uS uS
dt
V d
w
wuS
dt
V d
||
0
r r r
r r
D
Suponiendo que no hay flujo
residual neto (a través de la
frontera) por otras superficies,
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• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°17. Balance de materia en una destilación por lotes.
• Solución
hkgmol N
N N N dt N d
uS uS dt
V d
N L
L
N N V
N L L L N N uS
D
D F D
EntradaSalida
5
05
||
1
13
3
2
3
r r r
r
r
De enunciado del problema tenemos
que el volumen total del líquido en el
destilador es constante.
Por otra parte, supusimos que la
densidad de la mezcla es constante.
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• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°17. Balance de materia en una destilación por lotes.
• Solución
• Balance para el butano:
0
D
S
S S S S
r
r wuS dt
V d
r r
Puesto que el término de generación – consumo neto es 0,
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°17. Balance de materia en una destilación por lotes.
• Solución
Si suponemos que no hay flujo residual neto de A (a través de la frontera) por otras superficies
EntradaS SalidaS S
S
S
uS uS uS
dt
V d
y
w
||
0
r r r r
D
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• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°17. Balance de materia en una destilación por lotes.
• Solución
•Balance para el butano:
DS
DS
DS
F F D DS
xdt
dx
xdt dx
xdt
xd
N x N xdt
N xd
5,015,0
55,110
530.0510
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• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°17. Balance de materia en una destilación por lotes.
• Solución
•
Utilizando la relación de equilibrio:
S
S S
S
S D
DS
x x
dt dx
x
x x
xdt
dx
15,015,0
1
5,015,0
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• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°17. Balance de materia en una destilación por lotes.
• Solución
•
Separando variables e integrando:
0
40,0
30,0 15,015,0
40,030,00
15,015,0
dt x x
dx
xt xt
dt
x
x
dx
S S
S
S S
S
S
S
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• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°17. Balance de materia en una destilación por lotes.
• Solución
• El valor de xS en estado estacionario se establece cuando la acumulación de
butano es cero. En ese instante,
428,015,01
5,0
015,015,0
S
S
S
S
S S
x x
x
x
x
dt
dx
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h x x
x
dx xS
S
S
S S 85,535,015,0ln35,0
1
35,035,015,0
1 40,0
30,02
40,0
30,0
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• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°19. Tanque de retención de un residuo nocivo
inestable.
•
Una planta descarga un efluente acuoso con una rapidez de flujo volumétricoPeriódicamente, el efluente se contamina con un residuo nocivo inestable, el
que sabe que se descompone a una tasa proporcional a su concentración. El
efluente debe ser desviado entonces a un tanque de retención, de volumenV ,
antes de su descarga final, como se muestra en la figura. Escriba las
ecuaciones de balance de materia para el total materia y para el residuo.
11, Ac F
00 , Ac F
1, AcV
F
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• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°19. Tanque de retención de un residuo nocivo
inestable.
– Solución.• Este problema involucra el balance de masa total y el balance de masa por
componente combinado con una ecuación de cinética para la tasa de
descomposición del residuo.
• Despreciando los efectos de las densidades, y suponiendo que no hay flujo
residual neto por otras superficies, el balance de masa total queda:
EntradaSalida uS uS
dt
V d
wwuS dt
V d
||
0
r r r
r r
D
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• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°19. Tanque de retención de un residuo nocivo
inestable.
– Solución.• O, utilizando la nomenclatura de la figura,
1001 F F F F dt dV
F dt
V d
F uS
D
Balance de masa total
10 F F dt
dV
3 L
Dimensiones
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°19. Tanque de retención de un residuo nocivo
inestable.
– Solución.• La velocidad de descomposición del residuo está dada por la ecuación
cinética siguiente:
A A kc Velocidad de reacción por unidad de volumen ( es
positiva cuando A se genera, y es negativa cuando A se
consume).
3 L M
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Dimensiones
A
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°19. Tanque de retención de un residuo nocivo
inestable.
– Solución.• El término de generación – consumo neto, permite incorporar ,en la ecuación
de balance del componente , la producción o consumo de este en una reacciónquímica.
• Por lo general, las velocidades de reacción se expresan sobre una base molar,
las que se pueden convertir fácilmente a una base en masa.
f luj o másico degeneración delcomponente A
=
velocidad dereacción porunidad devolumen
Xvolumen delsistema
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°19. Tanque de retención de un residuo nocivo
inestable.
– Solución.• Por tanto, como en este caso A se consume, el término de generación –
consumo neto, estará dado por:
V kcV kcV r A A A A
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°19. Tanque de retención de un residuo nocivo
inestable.
– Solución.• Si suponemos que no hay flujo residual de A por otras superficies,
• y el balance de masa para el componente A
• se reduce a:
0 Aw
A A A
A r wuS
dt
V d D r
r
A Entrada ASalida A A A
A r uS uS r uS dt
V d D || r r r
r
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°19. Tanque de retención de un residuo nocivo
inestable.
– Solución.• O, utilizando la nomenclatura de la figura,
V kc F c F cr F c F cdt
V cd
V kc F c F cr F cdt
V cd
F cuS F uS V cV
A A A A A A A
A Entrada ASalida A A A A
A A A A
1110000111
11
1
||
D
r r
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Balances de Materia
• Balances de Materia en Estado no Estacionario.
– Actividad N°19. Tanque de retención de un residuo nocivo
inestable.
– Solución.• O, utilizando la nomenclatura de la figura,
• Esta ecuación se puede resolver en forma analítica.
• ¡Desafío! : Estudie cómo se puede resolver esta ecuación en forma analíticay uti l izando un método numérico!
V kc F c F c
dt
V cd A A A
A11100
1
Balance de masapara el componente(compuesto nocivo)
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