Program prijemnog ispita iz matematike za upis studijskog programa Građevinsko inženjerstvo Na prijemnom ispitu iz matematike daju se zadaci iz oblasti predviđenih nastavnim planom i programom za srednje obrazovanje. 1. Brojevi (prirodni, celi, racionalni, iracionalni, realni, kompleksni) 2. Stepenovanje i korenovanje 3. Polinomi. Racionalni algebarski izrazi 4. Pojam funkcije. Linearna funkcija. Linearne jednačine i nejednačine. Sistemi linearnih jednačina i nejednačina 5. Kvadratna funkcija. Kvadratne jednačine i nejednačine. Sistemi kvadratnih jednačina 6. Algebarske i iracionalne jednačine i nejednačine 7. Pojam logaritma. Eksponencijalna i logaritamska funkcija. Eksponencijalne i logaritamske jednačine i nejednačine 8. Trigonometrijske funkcije. Identiteti, jednačine i nejednačine. Primena trigonometrije 9. Aritmetički i geometrijski nizovi 10. Binomna formula 11. Analitička geometrija u ravni 12. Planimetrija 13. Stereometrija
68
Embed
Program prijemnog ispita iz matematike za upis studijskog … · 2017. 7. 7. · Program prijemnog ispita iz matematike za upis studijskog programa Građevinsko inženjerstvo Na prijemnom
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Program prijemnog ispita iz matematike
za upis studijskog programa Građevinsko inženjerstvo
Na prijemnom ispitu iz matematike daju se zadaci iz oblasti predviđenih nastavnim planom i
4. Pojam funkcije. Linearna funkcija. Linearne jednačine i nejednačine. Sistemi linearnih
jednačina i nejednačina
5. Kvadratna funkcija. Kvadratne jednačine i nejednačine. Sistemi kvadratnih jednačina
6. Algebarske i iracionalne jednačine i nejednačine
7. Pojam logaritma. Eksponencijalna i logaritamska funkcija. Eksponencijalne i logaritamske
jednačine i nejednačine
8. Trigonometrijske funkcije. Identiteti, jednačine i nejednačine. Primena trigonometrije
9. Aritmetički i geometrijski nizovi
10. Binomna formula
11. Analitička geometrija u ravni
12. Planimetrija
13. Stereometrija
UNIVERZITET U KRAGUJEVCU
MA[INSKI FAKULTET KRALJEVO
ZBIRKA TESTOVA ZA POLAGANJE PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE
dr MILOJE RAJOVI], redovni profesor mr LJUBICA LALOVI], asistent
Građevinsko inženjerstvo
Kraljevo, 2012.
SADR@AJ TESTOVI IZ MATEMATIKE
Test broj 1 ..................................................................................................................... 3 Re{enja zadataka iz testa broj 1 ................................................................................. 6 Test broj 2 ................................................................................................................... 16 Re{enja zadataka iz testa broj 2 ............................................................................... 19 Test broj 3 ................................................................................................................... 32 Re{enja zadataka iz testa broj 3 ............................................................................... 35 Test broj 4 ................................................................................................................... 46 Re{enja zadataka iz testa broj 4 ............................................................................... 49 Test broj 5 ................................................................................................................... 61 Test broj 6 ................................................................................................................... 64
TEST BROJ 1
1. Vrednost izraza
202 3 12
11 495 7 5
je:
A) 1; B) 0,49; C) 10
17; D)
2175
348; E) – 5,51.
2. Ostatak deljenja polinoma 5 3
5P (x) 4x 9x 19x 92 polinomom
1P (x) x 1 je:
A) 80; B) 60; C) 1,25; D) 124; E) 0.
3. Koliko re{enja ima jedna~ina x2 0 ? A) nijedno; B) jedno; C) dva; D) tri; E) beskona~no mnogo.
4. Skup re{enja nejedna~ine (x 5)(4 x) 0 je:
A) , 4 5, ; B) 4, 5 ; C) , 5 ; D) 4, ;
E) , 4 5, .
5. Ako je povr{ina lopte 324 , njena zapremina je:
A) 318 ; B) 3 218 ; C) 972 ; D) 2916 ; E) 108 . 6. Proizvod svih re{enja jedna~ine 2x 2 x 3 0 je:
A) 13; B) – 7; C) 12,5; D) – 9; E) 9.
7. Koliko re{enja u intervalu 0, 2 ima jedna~ina 2sin x cos x 1 0 ?
A) nijedno; B) jedno; C) dva; D) tri; E) beskona~no mnogo.
8. Jedna~ina 2x 14 x 7 x 5 A) ima dva realna pozitivna re{enja; B) ima dva realna re{enja od kojih je samo jedno pozitivno; C) ima samo jedno realno re{enje;
4 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
D) ima ~etiri realna pozitivna re{enja; E) nema realnih re{enja.
9. Ako je 5log 8 a i 5log 9 b tada je 5log 6 jednak:
A)
6
3a 2b; B)
6
2a 3b; C)
2a 3b
6; D)
3a 2b
6; E)
5
2a 3b.
10. Ako je 1z 9 7i , 2z 3 i tada je 312
2
z2z
z jednako:
A) 5 3i ; B) 2 6i ; C) 10; D) 5i; E) 38 49i .
11. U aritmeti~kom nizu, sa razli~itim ~lanovima, prvi, peti i jedanaesti ~lan obrazuju geometrijski niz. Ako je prvi ~lan 24, deseti ~lan aritmeti~kog niza je:
A) 48; B) 50; C) 51; D) 54; E) 72.
12. Ako je 0 0x , y re{enje sistema jedna~ina
x y
2
3 2 16
log x y 4
tada je 0 0x y :
A) – 4; B) – 1; C) 1
2; D) 7; E) 2 .
13. Jedna~ina prave (t1) kojoj pripada tetiva parabole 2y 20x , ~ije je sredi{te
ta~ka S(2,5) je: A) y=x; B) y 2x 1 ; C) y 10x 7 ; D) y 5 ;
E) 1
y x 63
.
14. Ako je
,2
tada je izraz
3 3
2
sin cos cos2tg ctg
sin cos 1 ctg jednak:
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 5
A) 2; B) 3; C) 1; D) -1; E) -2.
15. Kroz ta~ku R u trouglu ABC povu~ene su prave pararelne stranicama trougla. Na taj na~in formirana su tri manja trougla ~ije su povr{ine 1,4 i 9. Povr{ina trougla ABC je:
A) 36; B) 64; C) 48; D) 10; E) 27.
6 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
60 Ostatak je 60.Ostatak mo`emo da odredimo i primenom Bezuove teoreme: Ostatak pri deljenju polinoma 5 3
5P (x) 4x 9x 19x 92 polinomom
1P (x) x 1 je 5 3
5P ( 1) 4 1 9 1 19 1 92 60 .
Dakle, ta~an odgovor je B).
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 7
3. x2 0 za x R , pa jedna~ina nema re{enje ( videti grafik funkcije
xf(x) 2 , sl.1 ) y
x0
1
Sl.1 Ta~an odgovor je A). 4. O znaku proizvoda x 5 4 x zaklju~ujemo na osnovu znaka ~inilaca
( sl. 2 ).
znak 4-x
znak (x-5)(4-x)
znak x-5
-1
-1
0 1
0 1
-1 0 1
2 3
2 3
4 5
4 5
6 x
6 x
2 3 4 5 6 x
Sl. 2
(x 5)(4 x) 0 ako je x 5 0 ili 4 x 0 , tj. x 5 ili x 4 .
Dakle, (x 5)(4 x) 0 za x , 4 5, .
Nejedna~inu (x 5)(4 x) 0 smo mogli da napi{emo i u obliku
2x 9x 20 0 . Na osnovu grafika kvadratne funkcije 2f(x) x 9x 20 ( sl. 3 ),
zaklju~ujemo da je skup re{enja nejedna~ine , 4 5, .
8 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
x
-20
0 4 5
Sl. 3
Ta~an odgovor je E). 5. Ako je r polupre~nik lopte povr{ina lopte je 2
LP 4 r , a zapremina lopte
3L
4V r
3.
Kako je 2 24 r 324 to je 4r 324 , odnosno 2r 81 . Pozitivno re{enje dobijene jedna~ine je r 9 . Dakle, zapremina lopte je:
3L
L
4V 9
3V 972
Ta~an odgovor je C).
6. Kako je
x, x 0x
x, x 0 , data jedna~ina se transformi{e u dve jedna~ine:
1) Za x 0 jedna~ina glasi
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 9
2
1, 2
x 2x 3 0 , odakle je
2 4 12x
2
1
2
x 3
x 1 ( ovo re{enje se ne prihvata, zbog uslova x 0 )
2) Za x 0 jedna~ina glasi
2
1, 2
1
2
x 2x 3 0 , odakle je
2 4 12x
2x 1 ( ovo re{enje se ne prihvata, zbog uslova x 0 )
x 3
Dakle, data jedna~ina ima re{enja 1x 3 i 2x 3 . Proizvod re{enja je:
1 2x x 9
Ta~an odgovor je D).
7. Kako je 2 2sin x 1 cos x , data jedna~ina mo`e da se napi{e u obliku:
2cos x cos x 2 0 Posle uvo|enja smene cos x t , dobijamo:
2t t 2 0 odakle je
1t 1 , 2t 2 .
Ako je t 1 , onda je: cos x 1 odakle je x 2k , k Z
Ako je t 2 , onda je: cos x 2 ( ova jedna~ina nema re{enje, jer je 1 cos x 1 )
Ako je k 0 , re{enje jedna~ine je x 0, 2 .
Ta~an odgovor je B).
10 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
8. Jedna~ina je definisana ako je: 2x 14 0 ; x 7 0 ; x 5 0
odnosno x 7 ; x 7 ; x 5 . Dakle, data iracionalna jedna~ina je definisana za x 7 .
Datu jedna~inu napi{imo u obliku 2x 14 x 7 x 5 . Posle kvadriranja dobijamo:
2x 14 x 7 2 x 7 x 5 x 5 , odakle je
2 x 7 x 5 16 , tj. x 7 x 5 8
odakle posle kvadriranja dobijamo jedna~inu 2x 2x 99 0 . Re{enja ove kvadratne jedna~ine su: 1x 11
2x 9 ( ovo re{enje ne pripada oblasti definisanosti jedna~ine,
pa ne mo`e biti re{enje jedna~ine ). Dakle, data jedna~ina ima samo jedno realno re{enje ( x 11 ). Ta~an odgovor je C).
9. Jednakost 5log 8 a mo`emo napisati u obliku
35 5log 2 a , odakle je 3log 2 a , pa je 5
alog 2
3.
Jednakost 5log 9 b mo`emo napisati u obliku
25 5log 3 b , odakle je 2log 3 b , pa je 5
blog 3
2 .
Dakle,
5 5 5 5
a b 2a 3blog 6 log 2 3 log 2 log 3
3 2 6 .
Ta~an odgovor je C). 10. Kako je 1z 9 7i , onda je 1z 9 7i , pa je:
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 11
3312
2
3 2 2 3
2
z 9 7i 9 7i 3 i2z 2 3 i
z 3 i 3 i 3 i
2 3 3 3 i 3 3i i
9 7i 3 i2 27 27i 9 i
9 i
27 9i 21i 7 20 30i36 52i 36 52i
10 102 3i 36 52i 38 49i
Ta~an odgovor je E).
11. Prvi, peti i jedanaesti ~lan aritmeti~kog niza su:
1
5
11
a 24
a 24 4d
a 24 10d
Kako 1 5 11a , a , a obrazuju geometrijski niz, to je:
5 1 11a a a
odnosno
24 4d 24 24 10d
odakle, posle kvadriranja jedna~ine dobijamo
2
24 4d 24 24 10d ,
odnosno
216d 48d 0, tj.
16d d 3 0 , odakle je d 0 ili d 3
Re{enje d 0 se odbacuje jer je niz sa razli~itim ~lanovima. Zna~i:
10 1
10
a a 9d, tj.
a 51
Ta~an odgovor je C).
12 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
12. Iz druge jedna~ine sistema x y3 2 16
2log x y 4
dobijamo da je:
4
x y 2
odnosno x y 4 Dati sistem se transformi{e u sistem x y3 2 16 x y 4 . Iz druge jedna~ine je y 4 x , pa je posle zamene u prvoj jedna~ini:
x 4 x
x x
xx
x
3 2 16 , odnosno
3 2 1 , odakle je
3 31 , tj. 1
22
Re{enje dobijene jedna~ine je x 0 . Kako je y x 4 to je y 4 . Re{enje sistema je: x 0 , y 4 , pa je 0 ( 4) 4 . Ta~an odgovor je A).
13. Jedna~ina prave ( t1 ) koja sadr`i tra`enu tetivu ( sl. 4 ) glasi:
y 5 k(x 2)
x
M2(x2,y2)(t1)
0
S(2,5)
M1(x1,y1)
Sl. 4
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 13
Prava ( t1 ) prolazi kroz ta~ke M1 ( x1, y1 ) i M2 ( x2, y2 ), pa je koeficijent pravca k prave (t1):
2 1
2 1
y yk
x x
Kako M1 ( x1, y1 ) pripada paraboli, to je: 2
1 1y 20x (1)
Kako M2 ( x2, y2 ) pripada paraboli, to je: 2
2 2y 20x (2)
Kada od jedna~ine (2) oduzmemo jedna~inu (1) dobijamo: 2 2
2 1 2 1y y 20 x x , odakle je
2 1 2 1 2 1y y y y 20 x x (3)
Ta~ka S ( 2, 5 ) je sredi{te du`i M1M2, pa je:
1 21 2
1 21 2
x x2 , tj. x x 4
2y y
5 , tj. y y 102
Jedna~ina (3) ( koriste}i jednakost 1 2 y y 10 ) glasi:
2 1 2 1y y 10 20 x x
odakle je
2 1
2 1
y y2
x x.
Jedna~ina prave ( t1 ) glasi:
y 5 2(x 2) , odnosno
y 2x 1
Ta~an odgovor je B).
14. Ako je
,2
dati izraz je jednak:
3 3
2
2 2
sin cos cos2tg ctg
sin cos 1 ctg
(sin cos )(sin sin cos cos )
sin cos
14 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
2
2
2
cos 12tg 1 sin cos
tgcos1
sincos cos
2 1 sin cos 211
sinsin1 sin cos sin cos 1
Ta~an odgovor je D). 15. Kroz ta~ku R u trouglu ABC povu~ene su prave paralelne stranicama trougla.
Neka su povr{ine trouglova EDR, RHK, GRF i ABC redom 1, 4, 9, S. Ako osnovice ovih trouglova obele`imo sa : x = DR, y = HK, z =RF, a = BC ( sl. 5 ), tada je: 4 x y z a
E
B H
D
KR
F
C
GA
Sl. 5
Trouglovi EDR, RHK, GRF i ABC su sli~ni, pa je:
2 2
2 2
2 2
S : 1 a : x
S : 4 a : y
S : 9 a : z
odakle je
a 2a 3a
5 x ; y ; z S S S
Iz jedna~ina (4) i (5) se dobija:
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 15
a 2a 3a 6aa , odakle je a , pa je S 6 ,
S S S Sodnosno S 36
.
Ta~an odgovor je A).
TEST BROJ 2
1. Ako je x 0 i y 0 vrednost izraza 3 23 1 6
2 3
3x 9x x y:
155y 5y
je:
A) 2x y 5 ; B) xy ; C) xy ; D) xy 4 ; E) 2xy .
2. Dat je polinom 3 2f(z) z 3z z 2 . Ako je z 3 2i , tada je f(z) jednako:
A) 1 i ; B) 29 8i ; C) 5 7i ; D) 10 14i ; E) 20 27i .
3. Jednakostrani~ni trougao ABC stranice a = 2 rotira oko prave koja sadr`i teme A i normalna je na stranicu AB tog trougla. Zapremina nastalog obrtnog tela je jednaka:
A) ; B) 2 3 ; C) 2 2 ; D) 3 2 ; E) 3 3 .
4. Jedno re{enje jedna~ine 3 22x 5x 13x 30 0 je 1x 2 . Zbir ostala dva
re{enja te jedna~ine je jednak:
A) 2
3; B)
1
6; C)
3
4; D)
1
2; E)
13
12.
5. Izraz
3 2 3arcsin arccos arctg
2 2 3 ima vrednost:
A)
3; B)
2; C)
12; D)
13
6; E)
4.
6. Du`ina osnovica trapeza su 10 cm i 5 cm, a du`ina krakova 7 cm i 8 cm.
Povr{ina trapeza je:
A) 25 3 cm2; B) 18 5 cm2; C) 20 3 cm2; D) 40 cm2; E) 30 3 cm2.
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 17
7. Ako je cos 2 0 i sin 0 R , tada je izraz
2
2
cos sin ctg 1
sin cos sin cos ctg 1 jednak:
A) 1; B) –1; C) 0; D) 2 ; E) 3 .
8. Uglovi trougla su 45 , 30 , a njegov obim 6 3 2 3 .
Povr{ina trougla je jednaka:
A) 6 1 2 ; B) 18 1 3 ; C) 18; D) 18 1 2 ;
E) 4 2 3 .
9. Ta~ka simetri~na ta~ki A(3,2) u odnosu na pravu 2x y 1 0 je:
A) (2,3); B) (1,6); C) (1,4); D) (-1,4); E) (-1,5).
10. Ako je 3 3log 7 a , log 2 b tada je izraz 2 7log 7 log 2 jednak:
A) 2 2a b
ab; B)
2 2
a b
a b; C)
ab
a b; D)
2 2a b
a b; E)
2 22a 3b
ab.
11. Celih brojeva koji zadovoljavaju nejedna~inu
2
2
x 1
3x x ima:
A) jedan; B) dva; C) tri; D) ~etiri; E) pet.
12. Zbir re{enja jedna~ine sin x sin 2x sin 3x 1 cos x cos 2x u intervalu
0, 2 , iznosi:
A) 2 ; B) 4 ; C) ; D) 5 ; E) 12 .
13. Broj re{enja jedna~ine x x
2 3 2 3 4 u skupu realnih
brojeva je: A) jedno; B) ~etiri; C) tri; D) nijedno; E) dva.
18 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
14. Skup svih realnih re{enja nejedna~ine 21 x 1 3x je: A) 2, 1 ; B) 3, 6 ; C) 0, 1 ; D) 1, 2 ; E) 2, 3 .
15. Re{enja jedna~ine
3 log x log x1
5 log x 1 log x predstavljaju prva dva ~lana
rastu}eg geometrijskog niza. Koliko ~lanova niza treba sabrati da se dobije 111110?
A) osam; B) sedam; C) pet; D) tri; E) {est.
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 19
RE[ENJA ZADATAKA IZ TESTA BROJ 2
1. Ako je x 0 i y 0 vrednost datog izraza je:
3 23 2 3 3 2 13 1 6 6
2 3 3 23 2 2 3
3 9 2 2 6 3 9 2 6 6 3 9 2 6 6
3 6 2 6 3 6 2 2 3 6 2 2
3
3 x 9 x3x 9x x y x y: :
15 155y 5y 5 y 5 y
3 x 9 x x y 3 x 5 y x y 3 x 5 y x y:
15 155 y 5 y 5 y 9 x 5 y 9 x 15
x y
7 3 7
2 3 2 3 4 6 2 0 03 2 3 6 2 2
x y xy xyxy
1 13 5 5 3 3 5 y x 3 53 5 5 y 3 x 15
Ta~an odgovor je C). 2. Kako je 3 2f(z) z 3z z 2 , z 3 2i a z 3 2i , to je:
3 2
f(z) 3 2i 3 3 2i 3 2i 2
odakle je
3 2 2 3 2
2 3
f(z ) 3 3 3 2i 3 3 (2i) (2i) 3 9 12i 4i
3 2i 2 27 54i 36i 8i 27 36i 12 3 2i
2 9 46i 20 38i 29 8i
Ta~an odgovor je B). 3. Zapremina V nastalog obrtnog tela ( sl.1 ) je:
VK MKV V 2V
gde je VKV - zapremina velike kupe;
MKV - zapremina male kupe.
20 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
a BA
C
Sl. 1
Kako je
VK
4 2 3 8 3V
3 3 i
MK
3V
3
to je
8 3 3 6 3
V 2 2 33 3 3
Zapreminu obrtnog tela mo`emo da odredimo i primenom Guldinove teoreme: Zapremina obrtnog tela jednaka je proizvodu povr{ine figure koja rotira i obima kru`nice koju opisuje te`i{te te figure. Kako je te`i{te jednakostrani~nog trougla udaljeno za jedan od ose
obrtanja, to je V 3 2 1 2 3 . Ta~an odgovor je B). 4. Kako je 1x 2 re{enje date jedna~ine, to je polinom 3 22x 5x 13x 30
deljiv sa x 2 : 3 2 22x 5x 13x 30 : x 2 2x x 15 3 22x 4x
2
2
x 13x 30
x 2x
15x 30
15x 30
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 21
Dakle,
3 2 22x 5x 13x 30 x 2 2x x 15
Re{enja jedna~ine 22x x 15 0 su x 3 i 5
x2.
Njihov zbir je: 5 1
32 2
.
Ta~an odgovor je D). 5. Vrednost datog izraza je:
3 2 3arcsin arccos arctg
2 2 3 3 4 6
4 3 2
12 12
Ta~an odgovor je C). 6. Kroz teme C trapeza povucimo du` CE paralelnu kraku AD (sl.2). Dobijamo
trougao EBC, ~ije su stranice: EB 5cm , BC 8cm i CE 7cm , a poluobim s 10cm . Primenom Heronovog obrasca dobijamo:
2EBCP 10 5 2 3 10 3 cm
d
D
h
A
c
b C
a E
h
B Sl. 2
Povr{inu trougla EBC mo`emo izra~unati i na slede}i na~in:
EBC
5 hP
2
22 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
pa je
5 h
10 32
odakle je h 4 3 cm .
Povr{ina datog trapeza je:
a b
P h2
odnosno
210 5P 4 3 30 3 cm
2
Ta~an odgovor je E). 7. Ako je cos 2 0 i sin 0 dati izraz je jednak:
2
2
2
2
2 2 2
2
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
cos sin ctg 1
sin cos sin cos ctg 1
cos1cos sin cos sin sin cos sin
sin cos cos1
sin
cos sincos sin 1sin
sin cos cos sin sin cos
sin1 1
cos sin sin
2 2 2
10
cos sin cos
Ta~an odgovor je C). 8. Primenom sinusne teoreme dobijamo (sl.3):
a b c
sin 45 sin 30 sin 105
Kako je
sin 105 sin(60 45 ) sin 60 cos 45 cos 60 sin 45
2( 3 1)
4
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 23
dobijamo
a b c12 2
3 122 4
odakle je
a 2 a
b , c 1 32 2
a kako je
a b c 6 3 2 3
to je
a 2 a
a (1 3) 6 3 2 32 2
odakle dobijamo da je
a 12 , onda je b 6 2 , c 6 1 3 .
C
A
b
Bc
a
Sl. 3
Povr{ina trougla ABC je:
ABC
1 1P b c sin 6 2 6 1 3 sin 45 18 1 3
2 2
Ta~an odgovor je B). 9. Ta~ka A’(x’, y’) simetri~na ta~ki A(3,2) u odnosu na pravu (p) nalazi se na
pravoj (p’), koja prolazi kroz ta~ku A, a normalna je na pravu (p). Rastojanje ta~ke A’ od prave (p) jednako je rastojanju ta~ke A od prave (p) ( sl. 4 ).
24 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
x
y
A'(x',y')
3
2
321012
1
P
(p')
(p)
A(3,2)
4
4 5 6 7
Sl. 4
Jedna~ina prave (p) u eksplicitnom obliku je y 2x 1 . Jedna~ina prave (p’) glasi:
1
y 2 x 32
odnosno
1 7
y x2 2
Odredimo prese~nu ta~ku P pravih (p) i (p’). Njene koordinate x 1 , y 3 su re{enja sistema jedna~ina:
y 2x 1
1 7
y x2 2
Dakle, P(1,3) je sredi{te du`i AA’, pa je
3 x '
12
, odakle je x ' 1 i
2 y '3
2, odakle je y ' 4 .
Tra`ena ta~ka je A’(-1,4). Dakle, ta~an odgovor je D).
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 25
10. Iz jednakosti 23
2
log 7log 7
log 3 dobijamo 2 2log 7 a log 3 .
Iz jednakosti 23
1log 3
log 2 dobijamo 2
1log 3
b .
Dakle, 2
1 alog 7 a
b b .
Kako je 72
1log 2
log 7, to je 7
blog 2
a .
Izraz 2 7log 7 log 2 je jednak:
2 2
2 7
a b a blog 7 log 2
b a ab .
Ta~an odgovor je A). 11. Data nejedna~ina je ekvivalentna nejedna~ini:
2
x 1
3x x , koju mo`mo re{iti ako je 2x x 0 , odnosno x 0 i
x 1. 1) Ako je x 0 , jedna~ina glasi:
x 1
x x 1 3 ,
odakle je
1 10
x 1 3 .
Posle sre|ivanja nejedna~ine dobijamo:
3 x 10
3 x 1
odnosno
4 x0
3 x 1 .
26 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
Kako je 3 0 , znak koli~nika
4 x
x 1 odre|ujemo na osnovu znaka
brojioca i imenioca ( sl. 5 ):
-1
-1
0 1
0 1
-1 0 1
znak x-1
znak 4-xx-12 3
2 3
4 5
4 5
6 x
6 x
znak 4-x2 3 4 5 6 x
Sl. 5
Re{enje nejedna~ine je x 1, 4 .
2) Ako je x 0 re{avamo nejedna~inu:
x 1
x x 1 3
odakle je
1 1
1 x 3 .
Posle sre|ivanja nejedna~ine dobijamo:
1 10
1 x 3
3 1 x0
3 1 x
odnosno
2 x0
3 1 x .
Re{enje ove nejedna~ine je x 2, 1 ( sl. 6 ). Kako je x 0 to je
re{enje x 2, 0 .
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 27
znak 1-x
znak 2+x1-x
znak 2+x-1 0 1
x
x
2 3 4 x-2-3
-2-3 -1 0 1 2 3 4
-2-3 -1 0 1 2 3 4 Sl. 6
Skup re{enja date nejedna~ine je 2, 0 1, 4 .
Celi brojevi u ovom intervalu su: -1, 2, 3. Ta~an odgovor je C). 12. Jedna~inu sin x sin 2x sin 3x 1 cos x cos 2x koriste}i trigonometrijske formule sin x sin 3x 2 sin 2x cos x i 21 cos 2x 2 cos x mo`emo transformisati u oblik 22 sin 2x cos x sin 2x 2 cos x cos x odnosno 2 cos x 1 sin 2x cos x 0
odakle je (1) 2 cos x 1 0 (2) sin 2x cos x 0 Re{enja jedna~ine (1) su:
k
2x 2k , k Z
3
m
4x 2m , m Z
3
Jedna~ina (2) se mo`e napisati u obliku cos x 2 sin x 1 0
odakle je cos x 0 2 sin x 1 0 .
Re{enja jedna~ine cos x 0 su:
ix i , i Z2
.
28 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
Re{enja jedna~ine 1
sin x2 su:
jx 2j , j Z6
l
5x 2l , l Z
6
Dakle, re{enja date jedna~ine su:
k
2x 2k , k Z
3 ;
m
4x 2m , m Z
3 ;
ix i , i Z2
;
jx 2j , j Z6
;
l
5x 2l , l Z
6 .
Re{enja koja pripadaju intervalu (0, 2 ) su:
1 2 3
4 5 6
2 4x , x , x ,
3 3 23 5
x , x , x . 2 6 6
Zbir re{enja je:
2 4 3 5
53 3 2 2 6 6
Ta~an odgovor je D). 13. Kako je:
2 3 12 3
2 3 2 3
to je data jedna~ina ekvivalentna jedna~ini
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 29
xx 1
2 3 42 3
.
Posle uvo|enja smene x
2 3 t , dobijamo
1
t 4t
.
Posle mno`enja jedna~ine sa t (t 0) , dobijamo:
2t 4t 1 0 . Koriste}i formule za re{avanje kvadratne jedna~ine nalazimo:
1
2
t 2 3
t 2 3
1) Ako je t 2 3 onda je:
x
2 3 2 3 ,
odakle je
x
22 3 2 3 .
onda je
x
12
, odnosno, x 2 .
2) Ako je t 2 3 , napi{imo t u obliku:
12 3 1t 2 3 2 3
2 3 2 3
Sada je:
x 1
2 3 2 3 , odnosno,
x1
22 3 2 3
odakle je x 2 . Ta~an odgovor je E).
30 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
14. Data nejedna~ina je definisana ako je 21 x 0 odakle je 2x 1 . Skup re{enja ove nejedna~ine je 1, 1 .
1) Ako je 1 3x 0 , tj. 1
x3 , mo`emo da kvadriramo datu
nejedna~inu, pa }emo dobiti:
221 x 1 3x , odnosno, 25x 3x 0 .
Re{enja poslednje nejedna~ine su svi brojevi x za koje je 3
0 x5.
Re{enja date nejedna~ine su svi brojevi x za koje je: 1 x 1 , 1
x3
i 3
0 x5.
2) Ako je 1 3x 0 , tj. , 1
x3 , re{enje date nejedna~ine su svi
brojevi x koji pripadaju oblasti definisanosti nejedna~ine, tj.
1 x 1 i zadovoljavaju postavljeni uslov ( 1
x3 ).
Dobijene rezultate predstavimo na slici 7. Zaklju~ujemo da je skup realnih re{enja date nejedna~ine 0, 1 .
x-1 0 135
13
Sl. 7 Ta~an odgovor je C).
15. Jedna~ina
3 log x log x1
5 log x 1 log x je definisana ako je
x 0, 5 log x 0, 1 log x 0 .
Dakle, jedna~ina je definisana za 5 51 1x (0, ) ( , 10 ) (10 , )
10 10.
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 31
Transformi{imo datu jedna~inu u oblik: 3 log x 1 log x log x 5 log x 5 log x 1 log x
odakle, posle sre|ivanja dobijamo 2log x 3 log x 2 0 . Posle uvo|enja smene log x t , dobijamo jedna~inu
2t 3t 2 0 ~ija su re{enja 1t 1 i 2t 2 .
Vratimo se na uvedenu smenu. Ako je t 1 onda je log x 1 . Re{enje ove jedna~ine je x 10 . Ako je t 2 onda je log x 2 . Re{enje ove jedna~ine je x 100 .
Dakle, ~lanovi geometrijskog niza su 10, 100 a koli~nik je q 10 . Koriste}i formulu za izra~unavanje zbira n ~lanova geometrijskog niza
n
n 1
1 qS b
1 q dobijamo:
n1 10111110 10
1 10
odnosno
n1 1011111
9
odakle je n1 10 99999 tj. n10 100000 . Re{enje ove jedna~ine je n 5 . Dakle, pet ~lanova niza treba sabrati da se dobije 111110. Ta~an odgovor je C).
TEST BROJ 3 1. Ako je a 1 i a 1 vrednost izraza
2 4 2
2 3
3 a a 1 a a a a3 :
a 1 3a 1 a 1 je:
A)
2
a 1 ; B)
1
a 1 ; C)
12
a 1 ; D)
2
2
a 1 ; E)
3 a
a 1.
2. Broj re{enja jedna~ine
3 4
x7
1 110 10
2 21055 10
u skupu realnih brojeva je:
A) dva ; B) jedno ; C) nijedno ; D) ~etiri ; E) tri.
3. Skup realnih vrednosti x za koje je ta~na nejedna~ina
2
x 140
x 3 je:
A) 14, ; B) 14, ; C) 1, 14 ; D) , 14 ;
E) 3, 4
4. Ako je
1 1
a 2 3 , b 2 3 vrednost izraza
1 1
a 1 b 1 je:
A) 3 ; B) –1 ; C) 1 ; D) 2 ; E) 10.
5. Skup re{enja nejedna~ine x 2 4 je: A) 2, 18 B) 1, 3 ; C) 2, 10 ; D) , 18 ; E) 18, 18 .
6. Zapremina pravilnog tetraedra je 27 3 cm3. Visina tetraedra je: A) 5 cm ; B) 4,5 cm ; C) 5,5 cm ; D) 6 cm ; E) 7 cm.
7. Vrednost izraza
7 51 log 2 log 449 5 je:
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 33
A) 27
2 ; B)
14
5 ; C)
25
2 ; D)
20
7 ; E)
11
4.
8. Ako je sin x cos x p, p 2 vrednost izraza 4 4sin x cos x je:
A) 2p 2p
4 ; B)
2p 2p
2 ; C)
2p 3p
3 ; D)
4 2p p 1
2 ; E)
4 21 p 2p
2
9. Re{enje jedna~ine z z 3 i je komleksan broj z. Realan deo broja z je:
A) 2
3 ; B)
4
3 ; C)
1
2 ; D)
2
7; E)
1
5.
10. Zbir svih binomnih koeficijenata u razvoju stepena binoma
n
3
1x x
x,
n N, x 0
za neko n jednak je 256. Srednji ~lan u tom razvoju jednak je:
A) 3 256 x ; B) 345x x ; C) 2 384x x ; D) 356x x ; E) 34 270x x .
11. Skup re{enja nejedna~ine 1 x3
5log x log 3
2 u skupu realnih brojeva je:
A) ( 0,1) ; B) 3, 9 ; C) (1,9) ; D) 0, 1 3, 9 ; E) 3, .
12. Skup realnih re~enja jedna~ine sin 2x tgx 2 0 je:
A)
x x k , k Z4
; B)
x x k , k Z4
;
C)
x x k , k Z6
; D)
x x k , k Z3
;
E)
x x 2k , k Z4
.
34 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
13. Zbir svih realnih re{enja jedna~ine
2 x 15x 3 x
x 2 x 2 je:
A) -12 ; B) 2 ; C) -2 ; D) 5 ; E) 1. 14. U krugu sa centrom u ta~ki O tetiva AB jednaka je tetivi AC. Tetiva AD se~e
BC u ta~ki E. Ako je AC = 12 i AE = 8, tada je AD jednako : A) 27 ; B) 24 ; C) 21 ; D) 20 ; E) 18.
15. Od svih ta~aka elipse (E) 2 2x y
19 16
ta~ka najudaljenija od prave (p)
x y 6 0 je:
A) 1, 3 ; B) 2, 3 ; C)
9 16,
5 5 ; D)
9 16,
5 5 ;
E)
9, 2
4.
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 35
RE[ENJA ZADATAKA IZ TESTA BROJ 3
1. Ako je a 1 i a 1 vrednost datog izraza je:
2 4 2
2 3
2 3 2
2 4
3 a a 1 a a a a3 :
a 1 3a 1 a 1
3 a a 13 a 1 a a
a 1 3a 1 a a
2 2
3
2 2
2
3 a a 1 a 1 a a 1 a 1 a3
a 1 3a 1 a 1 a a 1
3 a a 1 a 1 a3 a a 1
a 1 a 1 3a a 1 a a 1
2
2
2
2
3 a a 1 a 1 a3
a 1 3a a 1
3a a 1 3a 3a 3 a 1 a
3a a 1
2 2
a 1 a 3a a 13 1
3 a 1a a 1 3a a 1.
Dakle ta~an odgovor je B).
2. Datu jedna~inu mo`emo napisati u obliku:
3 4x
7
1 12 10 2 1010
155
10
odakle je:
4
x
7
10 12 1010
5510
.
36 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
Posle sre|ivanja dobijamo:
7x
4
11 1010
55 2 10, odakle je
7x
4
11 1010
110 10 pa je x 210 10 . Re{enje
ove jedna~ine je x = 2. Ta~an odgovor je B). 3. Kako je 2x 0 za x R , to je 2x 3 0 za x R .
Ako posmatramo grafik funkcije 2f x x 3 (sl. 1) tako|e
zaklju~ujemo da je 2x 3 0 za x R .
y
03 x
Sl. 1
Dakle, znak koli~nika
2
x 14
x 3 odre|ujemo na osnovu znaka brojioca.
2
x 140
x 3 ako je x 14 0 , odnosno x 14 . Skup realnih vrednosti
x za koje je ta~na data nejedna~ina je 14, .
Ta~an odgovor je B).
4. Izra~unajmo a b :
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 37
1 1
22
1 1 1a b 2 3 2 3
2 3 2 3 2 3
11
4 3
Dakle, dobili smo da je a b 1, pa je 1
ba.
Vrednost izraza
1 1 1 1 1 1a 1 b 1
1a 1 b 1 a 1 1a
1 1 1 a 1 a1
1 aa 1 a 1 1 a 1 aa
Ta~an odgovor je C). 5. Nejedna~ina je definisana za x 2 0 tj. x 2 . Mo`emo izvr{iti
kvadriranje, pa }emo dobiti: x 2 16 , tj. x 18 .
Dakle, re{enje nejedna~ine je 2 x 18 .
Ta~an odgovor je A).
6.
a a
HR H
R
a
a
Sl. 2
38 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
Neka je a stranica, a H visina pravilnog tetraedra (sl. 2). Zapremina
tetraedra je 1
V B H3
.
Dakle, 21 a 3
V H3 4
.
Iz pravouglog trougla (sl. 2) po Pitagorinoj teoremi dobijamo: 2 2 2H a R
gde je R – polupre~nik opisane kru`nice jednakostrani~nog trougla,
dakle a 3
R3
pa je 2
2 2 aH a
3 odakle je
22aH
3 tj
a 2H
3.
Dakle, 2 31 a 3 a 2 a 2
V3 4 123
. Iz jedna~ine 3a 2
27 312
dobijamo
3 2 3 3 33 327 3 12 3 2 3 3
a 3 2 3 3 2 32 2
odakle je:
a 3 2 3 cm Visina tetraedra je:
a 2 3 2 3 2
H 63 3
cm.
Ta~an odgovor je D).
7. Vrednost datog izraza je:
7 5
7 5 7
1 log 2 log 4log 2 log 4 log 22
49 1 49 149 5
449 5 7
2
7 772 log 2 log 4log 2
49 1 49 1 49 1 49 1 50 25
4 4 4 4 4 4 27 77.
U radu zadatka smo koristili jednkost alog xx a a 0, a 1, x 0
koja sledi iz definicije logaritma.
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 39
Ta~an odgovor je C). 8. Vrednost izraza 4 4sin x cos x je:
24 4 2 2 2 2 2 2sin x cos x sin x cos x 2 sin x cos x 1 2 sin x cos x
2 21 1
1 2 sin x cos x 1 sin 2x2 2
.
Kako je 2 2 2sin x cos x sin x 2 sin x cos x cos x , odnosno
2p 1 sin 2x ,dobijamo
2 2sin 2x p 1, p 1 1, odakle je p 2 .
Dakle,
4 224 4 21 1 p 2p
sin x cos x 1 p 12 2
.
Ta~an odgovor je E).
9. Neka je tra`eni kompleksni broj z x yi .
Onda je 2 2z x y pa je
2 2x y x yi 3 i , odakle dobijamo
2 2x y x 3
y 1 . Re{imo dobijeni sistem jedna~ina. Kako je y = 1 , to je
2x 1 x 3 , odnosno
2x 1 3 x . Da bi jedna~ina imala re{enja mora 3 x 0 , tj. x 3.
Posle kvadriranja jedna~ine dobijamo: 2 2x 1 9 6x x , odakle je 6x 8 ,
tj. 4
x3
(prihvata se jer je 4
33
).
Re{enje sistema jedna~ina je 4
x3
, y 1 .
40 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
Dakle, tra`eni kompleksni broj je 4
z i3
.
Ta~an odgovor je B). 10. Po binomnoj formuli je:
n k n k kn nn kn k 2 3
3 3k 0 k 0
9n 11kn6
k 0
n n1 1x x x x x x x
k kx x
nx
k
Kada se n
1 1 razvije po binomnoj formuli dobijamo:
n n n n n n1 1 ........ ........
0 1 2 k n odnosno
n
n
k 0
n2
k
Zbir binomnih koeficijenata je n2 . Kako je n2 256 , odnosno n 82 2 , dobijamo n = 8. U razvoju osmog stepena binoma imamo devet ~lanova. Srednji ~lan u razvoju binoma je:
143 3 314 4 2 4 23
8 8 7 6 5 8 7 6 5x x x x 70x x
4! 4 3 2 14.
Ta~an odgovor je E).
11. Kako je x argument logaritma na levoj starni i osnova logaritma na desnoj
strani nejedna~ine, to je nejedna~ina definisana za x > 0 i x 1. Ako uvedemo smenu 3log x t , onda je
x
1log 3
t, a 1
3
log x t .
Data nejedna~ina se transformi{e u nejedna~inu:
1 5
tt 2
, odnosno
22t 5t 2
02t
. Re{enja ove nejedna~ine su
1
t 0 t 22
(sl. 3)
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 41
0 12
znak t
znak t
t
znak 2t-5t+22 t
0
0 2
2
2t 2t-5t+22
12
Sl. 3
Kada se vratimo na uvedenu smenu dobijamo:
3 3
1log x 0 log x 2
2 odakle je x 1 3 x 9
Dakle, skup re{enja date nejedna~ine je 0, 1 3, 9
Ta~an odgovor je D).
12. Kako je 2 2
2 sin x cos xsin 2x
cos x sin x, posle deljenja razlomka sa 2cos x
cos x 0, tj. x k , k Z2
dobijamo
2
2tgxsin 2x
1 tg x
Datu jedna~inu mo`emo napisati u obliku:
2
2tgxtgx 2 0
1 tg x odakle posle mno`enja sa 21 tg x
21 tg x 0 za x R dobijamo
3 2tg x 2tg x 3tgx 2 0 Uvedimo smenu tgx t , dobijamo jedna~inu:
3 2t 2t 3t 2 0 Rastavimo na ~inioce levu stranu jedna~ine. Jedna~inu napi{emo u obliku 3 2 2t t t t 2t 2 0 odakle posle izvla~enja zajedni~kog ~inioca
dobijamo:
2t t 1 t t 1 2 t 1 0 i dalje 2t 1 t t 2 0
odakle je
42 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
2t 1 t t 2 0 .
Jedna~ina 2t t 2 0 nema realnih re{enja jer je njena diskriminanta D = -7 < 0. Posle vra}anja na uvedenu smenu dobijamo:
tgx 1 odakle je x k , k Z4
.
Ta~an odgovor je A).
13. Jedna~ina je definisana ako je x + 2 > 0, odnosno x > -2.
Postoje dve mogu}nosti: 1) Ako je x + 2 = 1 , odnosno x = -1 jedna~ina glasi
2x 3 x x 151 1 , ~ije je re{enje x R .
Dakle re{enje jedna~ine je x = -1. 2) Ako je x + 2 1 , odnosno x -1, tada mora da bude
2x 3x x 15 odnosno 2x 2x 15 0
Re{enja ove jedna~ine su x = 3 i x = -5. Poslednje re{enje ne dolazi u obzir zbog uslova x > -2. Data jedna~ina ima dva re{enja x1 = -1 i x2 = 3.
Zbir re{enja je: -1 + 3 = 2 Ta~an odgovor je B).
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 43
14.
A
B
D
C
E
O
Sl. 4
Kako je AB = AC, to je trougao BAC jednakokraki ( sl. 4) pa je: ACB ABC ADB jer je periferijski ugao nad lukom AB (nad kojim je i
periferijski ugao ACB). Trouglovi ADB i AEB su sli~ni ( DAB EAB , ABE ADB ) Pa va`i: AD : AB = AB : AE odakle je:
2AB
ADAE
odnosno
212
AD 188
Ta~an odgovor je E).
44 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
15.
-4
-6
P2
-3
P1
03
4
(E)
y(t2)
(t1)
6(p) x
Sl. 5
Odredimo tangentu (t) elipse koja je paralelna pravoj (p) y x 6 (sl. 5). Kako je prava (t) (p) jedna~ina prave (t) glasi y x n . Uslov da
prava (t) y x n dodiruje elipsu (E) 2 2x y
19 16
je
2 29 1 16 n , tj. 225 n , odakle je 1n 5 i 2n 5 .
Dakle, prave (t1) y x 5 i (t2) y x 5 su tangente elipse (E)
2 2x y
19 16
.
Re{avanjem sistema jedna~ina: y x 5
2 2x y
19 16
Dobijamo dodirnu ta~ku
1
9 16P ,
5 5 prave (t1) i elipse (E).
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 45
Re{avanjem sistema jedna~ina: y x 5
2 2x y
19 16
Dobijamo dodirnu ta~ku
2
9 16P ,
5 5 prave (t2) i elipse (E).
Rastojanje d1 ta~ke P1 od prave (p) je:
1
9 166
25 5d
22
Rastojanje d2 ta~ke P2 od prave (p) je:
2
9 166
11 25 5d
22
Kako je d2 > d1 ta~ka
2
9 16P ,
5 5 je ta~ka na elipsi (E) koja je
najudaljenija od prave (p), {to se i na slici 5 mo`e videti. Ta~an odgovor je D).
TEST BROJ 4 1. Ako je x y i x y vrednost izraza
3 32 2
2 2
x y 2y xy: x y
x y x y x y je:
A) -2 ; B) 3 ; C) 1 ; D) -1 ; E) 5.
2. Vrednost izraza:
3 103 36 34 4 5
3
565 : 5 7 64x
7 je:
A) 2 25 2x ; B) 20 5x ; C) 50 4 2x ; D) 20 2x ;
E) 2 25 2 x .
3. Neka je S1 skup re{enja nejedna~ine
x2 8
3 27, a S2 skup re{enja
nejedna~ine 1
4
log x 2 . Skup 1 2S S S je:
A) ( 2 , 16 ) ; B) ; C) 1 , 4 ) ; D) ( 16 , +) ; E)
1, 3
16.
4. Skup realnih vrednosti x za koje je ta~na nejedna~ina
24x 4x 10
x 2 je:
A)
1, 2
2 ; B) 2, 3 ; C)
12,
2 ; D)
1,2
;
E)
1 1, , 22 2
.
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 47
5. Rastojanje 1 2d S , S izme|u centra S1 kru`nice
2 21K x y 2x 2y 1 0 i centra S2 kru`nice
2 22K x y 4x 4y 1 0 je:
A) 1 ; B) 4 ; C) 2 ; D) 2 2 ; E) 3 .
6. Imaginarni deo broja
96
92 90
1 iz
2 1 i 1 i je:
A) 8
i17
; B) 2
i3
; C) 5 ; D) 6i ; E) 8
17 .
7. Jedna~ina log x sin x ima:
A) ta~no dva re{enja; B) ta~no tri re{enja; C) ta~no jedno re{enje; D) ta~no sedam re{enja; E) ta~no pet re{enja.
8. Du`ine starnica pravouglog trougla ~ine aritmeti~ki niz sa razlikom 2. Du`ina
polupre~nika upisane kru`nice trougla je: A) 2 ; B) 3/2 ; C) 1 ; D) 3 ; E) 4.
9. Prava x – y – 2 = 0 dodiruje hiperbolu 2 2
2 2
x yH 1
a b u ta~ki A( 4 , 2).
Jedna~ina hiperbole (H) je:
A) 2 2x y
18 2
; B) 2 2x y 1 ; C) 2 2x y
18 4
; D) 2 2x y
12 4
;
E) 2 2x y
13 2
;
10. U skupu realnih brojeva jedna~ina x x 14 16log 4 1 log 4 4 3 ima:
A) ta~no jedno re{enje; B) beskona~no mnogo re{enja; C) ta~no dva re{enja; D) ~etiri re{enja; E) ta~no tri re{enja.
11. Realno re{enje jedna~ine 3 3 3x 1 3x 1 x 1 pripada intervalu: A) (1,2) ; B) (-3,0) ; C) (-4,-3) ; D) (-1,0) ; E) (3,7).
48 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
12. Zbir kubova re{enja jedna~ine 2 26x 6 a 1 x 5a 2a 0 je najve}i
ako realni parametar a ima vrednost:
A) 5 ; B) 1
2 ; C) 3 ; D) 2 ; E) -1.
13. Skup re{enja nejedna~ine
2
3 sin x 21
4 sin x 1 je:
A) 5 7 11
2m , 2m 2k , 2k m Z, k Z.6 6 6 6
B)
52m , 2m m Z.
6 6
C)
7 112k , 2k k Z.
6 6
D)
52k , 2k 2m , 2m k Z, m Z
3 6 3 3
14. Vrednost izraza 4 5
cos cos cos7 7 7
je:
A) 1
8 ; B)
2
9 ; C)
1
6 ; D)
1
8 ; E) 1 .
15. Romb ABCD stranice a, rotira prvo oko stranice AB, a zatim oko dijagonale
AC. Neka su V i V1 zapremine tako nastalih tela. Ako je V : V1 = 9 : 3 o{tar ugao romba je:
A)
4 ; B)
6 ; C)
3 ; D)
12 ; E)
5.
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 49
RE[ENJA ZADATAKA IZ TESTA BROJ 4
1. Ako je x y i x y vrednost datog izraza je:
2 23 32 2
2 2
x y x xy yx y 2y xy: x y :
x y x y x yx y
2y xy: x y x y
x y x y x y
2 2
2 2 2 2 2
2y x y xy1x xy y
x y x y x y x y
x xy y xy 2y x y
x y x y x y x y x y x y
x y x y1 .
x y x y
Ta~an odgovor je C).
2. Vrednost datog izraza
3 103 36 34 4 5
3
565 : 5 7 64x
7je:
253 3 224 24 5 33
565 : 5 7 64x 8 1 7 4x
7
2 1 49 4x 50 4x 2 25 2x
Ta~an odgovor je A).
3. Nejedna~inu
x2 8
3 27 mo`emo napisati u obliku
x 32 2
3 3 odakle se
dobija x < 3 ( funkcija
x2
f x3
je monotono opadaju}a:
x 32 2
x 33 3
).
50 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
Dakle, S1 = ( - , 3 ). Nejedna~inu 1
4
log x 2 mo`emo napisati u obliku 1 1
4 4
log x log 16
odakle se dobija x > 16 ( funkcija 14
f x log x je monotono opadaju}a:
1 1
4 4
log x log 16 x 16 ).
Dakle, S2 = ( 16 , + ).
1 2S S S , 3 16, .
Ta~an odgovor je B).
4. Datu nejedna~inu mo`emo napisati u obliku
22x 1
0x 2
. Izraz
2 1
2x 1 0 za x2.
O znaku koli~nika
22x 1
x 2 zaklju~ujemo na osnovu znaka imenioca
x 2 . Izraz
22x 1
0x 2
ako je x 2 0 , tj. x 2 .
Dakle, skup realnih re{enja nejedna~ine
24x 4x 10
x 2je
1 1, , 22 2
.
Ta~an odgovor je E).
5. Jedna~inu kru`nice 2 2
1K x y 2x 2y 1 0 napi{imo u obliku:
2 2
x 1 y 1 1 .
Dakle, 1S 1, 1 je centar kru`nice 1K , a polupre~nik 1r 1 .
Jedna~inu kru`nice 2 22K x y 4x 4y 1 0 napi{imo u obliku:
2 2
x 2 y 2 9 .
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 51
2S 2, 2 je centar kru`nice 2K , a polupre~nik 2r 3 .
Rastojanje 2 2
1 2d S , S 2 1 2 1 ,
odakle dobijamo 1 2d S , S 2 .
Ta~an odgovor je C).
6. Iz jednakosti 2 21 i 1 2i i dobijamo
21 i 2i .
Iz jednakosti 2 21 i 1 2i i dobijamo
21 i 2i .
48296
92 90 46 452 2
48
46 45
2
2 2
1 i1 iz
2 1 i 1 i 2 1 i 1 i
2i 8i 8i
4i 1 1 4i2 2i 2i
8i 1 4i 8i 32i 32 8i 32 8i
1 4i 1 4i 171 16i1 4i
32 8i
17 17
m
8I z
17.
Ta~an odgovor je E).
52 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
7.
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
SIN(X)
LOG(X)
2.0 4.0 6.0 8.0 10.0
Sl. 1
Na sl. 1 su grafi~ki predstavljene funkcije 1f x log x i 2f x sin x .
Grafici fukncija se seku u tri ta~ke. Apscise prese~nih ta~aka su re{enja date jedna~ine. Dakle, jedna~ina ima tri re{enja. Ta~an odgovor je B).
8. U pravouglom trouglu ABC sl. 2 du`ine stranica su:
AB x , BC x 2 , CA x 4 .
CB
A
Sl. 2
Primenom Pitagorine teoreme dobijamo:
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 53
2 22x 4 x x 2 odakle je:
2x 4x 12 0 Re{enja ove kvadratne jedna~ine su 1x 6 i 2x 2 . Kako je x > 0, to
se re{enje 2x 2 ne prihvata. Du`ine stranica trougla su: 6, 8, 10.
Povr{ina trougla ABC je
6 8
P 242
.
Povr{inu trougla ABC mo`emo izra~unati i na slede}i na~in: P r s Gde je r – du`ina polipre~nika upisane kru`nice trougla, a s – poluobim trougla.
Kako je
6 8 10
s 122
to je P 24
r 2s 12
Dakle, ta~an odgovor je A).
9. Jedna~ina prave x – y – 2 = 0 u eksplicitnom obliku je y = x - 2.
Uslov da prava y = x – 2 dodiruje hiperbolu 2 2
2 2
x y1
a b je
2 2 2a 1 b 4 . Kako je ta~ka A(4,2) na hiperboli 2 2
2 2
x y1
a b
to je 2 2
16 41
a b.
Re{imo sistem jedna~ina: 2 2a b 4 , 2 2
16 41
a b.
Uvedimo smenu: 2 2a A, b B
Dobijamo sistem jedna~ina: 16 4
A B 4, 1A B
.
Iz prve jedna~ine sistema je B A 4 . Posle zamene u drugoj jedna~ini dobijamo:
16 41
A A 4 odnosno
12A 641
A A 4, odakle je:
212A 64 A 4A , posle sre|ivanja dobijamo:
54 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
2A 16A 64 0 , odnosno 2
A 8 0 , odakle je A = 8 (dvostruko
re{enje). Kako je A = 8, B = A – 4 tj. B = 4. Vratimo se na uvedenu smenu:
2a 8 2b 4
Jedna~ina hiperbole (H) je:
2 2x y
18 4
Ta~an odgovor je C).
10. Jedna~ina je definisana ako je x4 1 0 i x 14 4 0 . Re{enje ovog
sistema jedna~ina je x > 0. Dakle, oblast definisanosti jedna~ine je 0, .
Datu jedna~inu napi{imo u obliku:
2
x x4 4
log 4 1 log 44 4 3
odnosno
x x4 4
1log 4 1 log 4 4 1 3
2
odakle dobijamo:
x x4 4 4log 4 1 log 4 log 4 1 6
posle sre|ivanja dobijamo:
2 x x4 4log 4 1 log 4 1 6 0
posle uvo|enja smene x4log 4 1 t dobijamo jedna~inu
2t t 6 0 , ~ija su re{enja t1 = 2 i t2 = -3. Ako je t = 2 posle vra}anja na uvedenu smenu dobijamo:
x4log 4 1 2 odakle je x 24 1 4 ,pa je x4 17 tj. 4x log 17 .
Ako je t = -3 onda je:
x4log 4 1 3 pa je x 34 1 4 tj. x 65
464
, 4
65x log
64.
Oba re{enja se prihvataju jer pripadaju oblasti definisanosti jedna~ine.
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 55
Ta~an odgovor je C). 11. Oblast definisanosti jedna~ine je skup realnih brojeva. Posle stepenovanja sa tri
dobijamo ekvivalentnu jedna~inu:
2 2
3 3x 1 3 x 1 3x 1 3 x 1 3x 1 3x 1 x 1 .
Odakle, posle sre|ivanja dobijamo:
3 3 3 33 x 1 3x 1 x 1 3x 1 3x 3 .
Kako je izraz 3 3x 1 3x 1 , leva strana jedna~ine koju re{avamo, zameni}emo ga desnom stranom jedna~ine. Tako dobijamo:
3 3 3x 1 3x 1 x 1 x 1, odakle stepenovanjem sa tri dobijamo:
3
x 1 3x 1 x 1 x 1 ,
odnosno,
2x 1 3x 1 x 1 x 1 0 , posle sre|ivanja jedna~ine
dobijamo 2x 1 4x 0 , odakle je x 1 0 ili 2x 0 .
Dakle, re{enja poslednje jedna~ine su x 1 i x 0 . Re{enje x 0 nije re{enje date jedna~ine (pojavilo se kao rezultat zamene leve strane date jedna~ine desnom stranom koja joj nije identi~ki jednaka). Prema tome, data jedna~ina ima jedno re{enje x 1 . Ta~an odgovor je B).
12. Neka su 1x i 2x re{enja date kvadratne jedna~ine. Zbir kubova re{enja je:
3 33 3 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2x x x x 3x x 3x x x x 3x x x x .
Odakle, primenom Vietovih formula 1 2x x 1 a ,
2
1 2
2a 5ax x
6,
dobijamo:
56 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
233 3
1 2
22
2 2
2 2
2 2
2a 5ax x 1 a 3 1 a
6
2a 5a1 a 1 a
2
2 1 2a a 2a 5a1 a
2a 2 1 1
1 a a a 2 a a 22 2 2
1 1 9 9 1 1a a
2 2 4 8 2 2
Dakle, dobili smo da je:
23 31 2
9 1 1x x a
8 2 2.
Zbir kubova re{enja date kvadratne jedna~ine je najve}i ako je
21 1
a 02 2
, a to je ako je
21
a 02
, odnosno 1
a 02
,
odakle je 1
a2.
Ta~an odgovor je B).
13. Datu nejedna~inu napi{imo u obliku:
2
3 sin x 21 0
4 sin x 1 odakle je:
2
2
4 sin x 3 sin x 10
4 sin x 1
Posle uvo|enja smene sin x t , dobijamo:
2
2
4t 3t 10
4t 1
Nejedna~ina je definisana za 1
t2 i
1t
2
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 57
24t 3t 1 0 za t R (Diskriminanta jedna~ine 24t 3t 1 0 je D 7 0 a koeficijent uz 2t je 4 0 )
Dakle, o znaku
2
2
4t 3t 1
4t 1 zaklju~ujemo na osnovu znaka 24t 1 ,
videti sl. 3.
znak 4t-120 1
2t1
2
Sl. 3
2
2
4t 3t 10
4t 1 za
1 1t , ,
2 2.
Vratimo se na uvedenu smenu i odredimo re{enja nejedna~ine
2
2
4 sin x 3 sin x 10
4 sin x 1
1 1sin x , ,
2 2
Kako su vrednosti trigonometrijske funkcije sin x : 1 sin x 1 Onda }e:
1 1sin x 1, , 1
2 2
ili napisano u obliku:
1 1
1 sin x sin x 12 2
Prva dvostruka nejednakost va`i za:
7 11x 2k , 2k , k Z
6 6
Druga dvostruka nejednakost va`i za:
5x 2m , 2m , m Z
6 6
58 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
Skup re{enja date nejedna~ine je:
5 7 112m , 2m 2k , 2k , m Z, k Z
6 6 6 6
Ta~an odgovor je A).
14. Vrednost izraza 4 5
cos cos cos7 7 7
je jednaka:
2 sin4 5 4 5 7cos cos cos cos cos cos7 7 7 7 7 7 2 sin
74 5 2 4 5
cos cos sin cos cos7 7 7 7 72 sin cos
7 7 2 sin 2 sin7 7
1 3 42 5 4 sin sin cossin cos cos 2 7 77 7 7
2 sin 2 sin7 7
3 4 1sin cos sin sin sin7 7 2 7 1 17
8 84 sin 4 sin sin7 7 7
U radu zadatka su kori{}ene trigonometrijske formule
sin 2 2 sin cos ; 1
sin cos sin sin2
i vrednost trigonometrijske funkcije f x sin x , za x i x ,
sin 0 i sin 0 .
Ta~an odgovor je D).
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 59
15. Neka je o{tar ugao romba ABCD i neka je DE = h visina romba (sl. 4). Iz pravouglog trougla AED imamo da je:
h
sina , odnosno h a sin
C
h
A
aE B
Dh
A
E F
B
D C
Sl. 4 Sl. 5
Zapremina V tela koje nastaje rotacijom romba ABCD stranice a oko stranice AB (sl. 5) je jednaka zapremini osen~enog valjka:
2 3 2V h a a sin Zapremina V1 tela koje nastaje rotacijom romba ABCD stranice a oko dijagonale AC (sl. 6) je jednaka dvostrukoj zapremini osen~ene kupe.
Kako je
BD AC
a sin , a cos2 2 2 2
onda je:
2
32
1
BD AC
2 2 2aV 2 cos sin
3 3 2 2.
A
D
B
C
Sl. 6
60 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
Dakle:
3
3 2 21
2aV : V a sin : cos sin
3 2 2
Odnosno:
3
3 2 2 21
aV : V 4a sin cos : 2 cos sin
2 2 3 2 2
tj.
1V : V 6 cos2
, a kako je po uslovu zadatka
1V : V 9 : 3 dobijamo:
3cos
2 2 3, odakle je:
3cos
2 2, pa je
3.
Ta~an odgovor je C).
TEST BROJ 5
1. Ako su a i b realni brojevi i 22 ba , onda je izraz
44
2
22 ba
bab
ba
a
jednak:
A) ba
1
; B) ba
a
; C) ba
1
; D) ba
b
; E) baba
.
2. Koji pravilan mnogougao ima 44 dijagonale?
A) desetougao; B) jedanaestougao; C) dvanaestougao; D) trinaestougao; E) ~etrnaestougao.
3. Skup svih realnih re{enja nejedna~ine 15x je:
A) 5,1 ; B) 6,1 ; C) 4,1 ; D) 6,4 ; E) 5,2 .
4. Ako je 3tgx , tada x2cos pripada intervalu:
A) 9
1,10
; B) 2,1 ; C)
207
,209
; D)
107
,108
;
E)
1,
53
.
5. Realni deo kompleksnog broja 10i3z je: A) 512; B) 212; C) -326; D) 502; E) -104.
6. Izraz 5724057240 je jednak:
A) 10; B) -10; C) 15; D) -11; E) 12.
7. Ako je x9log3xlogxf 39 i ( x > 0 ) onda je
x9
fxf jednako:
A) xlog5 3 ; B) xlog3 9 ; C) 1xlog7 3 ; D) 3xlog9 ;
E) 5xlog2 3 .
62 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
8. U ta~ki T kru`nice polupre~nika 3 povu~ena je tangenta koja u ta~kama A i B se~e dve me|usobno paralelne tangente iste kru`nice. Proizvod odse~aka AT i TB je:
A) 10; B) 16; C) 25; D) 18; E) 9.
9. Re{enja kvadratne jedna~ine 0px6x2 )Rp( su pozitivni brojevi ako i samo ako je:
A) 1p ; B) 9p0 ; C) 8p4 ; D) 6p ; E) 16p5 .
10. Od prave trostrane prizme visine 10 cm, ~ije su osnove jednakostrani~ni truoglovi stranice 5 cm, odse~en je jedan deo sa ravni koja prolazi kroz jedno teme donje osnove, tako da od jedne od preostalih dveju bo~nih ivica odseca 1 cm, a od druge 2 cm ( mereno od donje osnove). Zapremina onog dela te prizme koji sadr`i gornju osnovu je:
A) 3cm 3200 ; B) 3cm 35
241; C) 3cm 3
3352
; D) 3cm 2210 ;
E) 3cm 34
225.
11. Zbir realnih re{enja jedna~ine 2
x2
x2
x2
je:
A) 1934
; B) 934
; C) 512
; D) 5 ; E) 12 .
12. Izraz x2sin2
xsinxcos 33
je identi~ki jednak:
A)
4xcos
2
1; B) xsinxcos ; C)
4xcos
22
; D)
xsin2
1; E) 1.
13. Od svih ta~aka na hiperboli (H) 72y4x3 22 ta~ka najbli`a pravoj (p)
01y2x3 je:
A) 3,6 ; B) 2,1 ; C) 2,3 ; D) 3,6 ; E) 23,0 .
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 63
14. Zbir binomnih koeficijenata tre}eg od po~etka i tre}eg od kraja ~lana razvoja
stepena binoma n34 43 ( n je prirodan broj ) jednak je 2450. Broj racionalnih ~lanova u tom razvoju jednak je:
2. Jednakostrani~ni trougao stranice a rotira oko prave koja sadr`i jedno njegovo teme i paralelna je naspramnoj stranici. Povr{ina dobijenog obrtnog tela je:
A) 3a2 2 ; B) 3a4 2 ; C) 2a2 ; D) 3a3 2 ; E) 2a2 2 .
3. Ako je 52
tg
onda je cossin jednako:
A) 135
; B) 127
; C) 137
; D) 1524
; E) 137
.
4. Neka je 3x52x1x3
f
, 2x . Tada je 2f jednako:
A) 10; B) -5; C) 415
; D) -4; E) 0.
5. Zbir 9932 i...iii je jednak:
A) 1; B) -1; C) 2i; D) -i; E) 0.
6. Zbir kvadrata re{enja jedna~ine 01mmxx2 je najmanji ako realni
parametar m ima vrednost: A) 2; B) 3; C) 4; D) 1; E) -1.
7. Prava (p) koja prolazi kroz ta~ku M(2,3) i sa koordinatnim osama gradi
trougao povr{ine 12 ima jedna~inu:
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 65
A) 05y4x3 ; B) 012y2x3 ; C) 03yx ; D) 05yx2 ; E) 01yx8 .
8. U jednakokraki trapez je upisana kru`nica. Ta~ka dodira deli krak trapeza na du`i ~ije su du`ine p i q. Povr{ina trapeza je:
A) qp ; B) pq2 ; C) pqqp2 ; D) qpp3 ;
E) qqp2 .
9. Broj realnih re{enja jedna~ine: 1xlog4
7xlog
10x
je: A) jedno; B) dva; C) tri; D) ~etiri; E) nijedno.
10. U aritmeti~kom nizu je zbir drugog i petog ~lana 32,5 a zbir prvih petnaest ~lanova je 412,5. Deseti ~lan aritmeti~kog niza je:
A) 32,5; B) 40; C) 32; D) 42; E) 53.
11. Ako je ablog a 3 a 0, b 0, ab 1 , onda je 3
aba
logb
jednak:
A) 32 ; B) 13 ; C) 2; D) 32 ; E) 3
1.
12. Skup relnih re{enja nejedna~ine 0315515925 x2x2xx je: A) 2,1 ; B) 2,1 ; C) 4,3 ; D) 0, ; E) 3,0 .
13. Koliko ima {estocifrenih brojeva koji imaju tri parne i tri neparne cifre? A) 28125; B) 281250; C) 312225; D) 15400; E) 291250.
14. Zbir realnih re{enja jedna~ine 11xx 33 je: A) 2; B) 1; C) 3; D) 4; E) 5.
15. Koliko re{enja u intervalu 2,0 ima jedna~ina
1x2sin3xsin3xcos 22 ? A) jedno; B) dva; C) ~etiri; D) pet; E) tri.
66 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike