Professor Ivan Zecchin Caixa Econômica Federal 1 Questões de provas da CESGRANRIO - COMENTADAS Correção: Prof.Ivan Zecchin – [email protected]1- Um aplicador realizou um investimento que deverá ter valor de resgate de R$ 100.000,00 no seu vencimento, que ocorrerá dentro de 2 meses. Sabendo-se que a taxa de juros compostos utilizada pelo banco é de 2% ao mês, o valor do investimento original, em reais, foi de (A) 98.123,45 (B) 96.116,88 (C) 95.875,33 (D) 94.781,29 (E) 93.764,32 Resolução: ( Juros Compostos) M = 100000 t = 2 meses i = 2% am ( efetiva ) C = ? M = C . ( 1 + i ) t 100000 = C . ( 1 + 0,02 ) 2 100000 = C . 1,0404 C = 100000/1,0404 C = 96.116,88 Alternativa......”B” >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 2- (Cesgranrio – Transpetro)A taxa anual equivalente à taxa composta trimestral de 5% é (A) 19,58% (B) 19,65% (C) 19,95% (D) 20,00% (E) 21,55%
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São sistemas de pagamentos parcelados de uma dívida pré-estabelecida.
Amortizar significa abater cotas do principal, periodicamente, até a extinção da dívida principal e dos juros gerados por ela.
Em cada prestação paga no plano de amortização (qualquer que seja ele) estão contidas uma cota de amortização (A) e uma cota de juros (J).
Logo: P = A + J Veremos aqui, os planos tradicionalmente cobrados em concursos públicos,
ou seja, o Sistema Price (ou Frances) e o S.A.C (Sistema de Amortização Constante).
Sistema Price de Amortização (ou Sistema Francês) características: 1 - prestações iguais, mensais e postecipadas; 2 - taxa anual de juros, com capitalização mensal; 3 - juros compostos. As fórmulas são as mesmas das Rendas estudadas anteriormente. Então:
Acrescentaremos aqui a fórmula para o cálculo do montante pago (soma de
todas as prestações na data da quitação). O total pago(s) é projeção do valor financiado F para a data n (pagamento da
última parcela) esquema:
então: Se:
Então:
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Representando o fator que multiplica P por (que se encontra tabelado) teremos: Calcula o valor total paga na data de pagamento da última parcela onde = Obs.: O valor S pode ser calculado, determinando-se primeiramente F e
“levando-o” para a data do último pagamento pela fórmula do montante dos juros compostos.
Construção da planilha do Sistema Price exemplo: construir a planilha do financiamento de R$ 5.000,00 em 4
pagamentos, pelo Sistema Price, a uma taxa de 48% a.a. resolução: i = 48% a.a. i = 4% a.m. n = 4 F = 5.000 cálculo da prestação - P
P = 0,2755.5000 P = 1377,50 PLANILHA
* O valor da cota de amortização contida na última prestação deve coincidir com
o saldo devedor do período anterior (desconsiderando erros gerados por aproximações).
regras para a construção da planilha 1 - coloca-se o saldo devedor na data 0 e os valores das prestações nas
datas seguintes; 2 - calcula-se os juros do mês, multiplicando-se o saldo devedor pela taxa; 3 - calcula-se o valor da cota de amortização subtraindo-se da prestação os
juros calculados anteriormente;
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4 - calcula-se o novo saldo devedor, subtraindo-se do saldo devedor anterior, a cota de amortização;
5 - repete-se o procedimento até a anulação do saldo devedor. Observe: (na planilha) 1 - os juros pagos em cada prestação são decrescentes; 2 - os valores da cota de amortização são crescentes ao longo das prestações. Graficamente
JJ J
AA
A
P1
P2
P3
. . .
Resumo: No Sistema Price, enquanto a prestação permanece constante, a cota
de juros decresce. A cota de amortização cresce, e P = J + A , sempre. Sistema de Amortização Constante - SAC As cotas de amortização são constantes consequentemente, as prestações
serão decrescentes, pois os juros serão decrescentes. Veja: construção da planilha para o exemplo anterior, agora para o S.A.C. F = 5.000 i = 4% a.m. n = 4 Cálculo da Cota de Amortização (A) (constante) Planilha
Regras 1 - coloca-se o saldo devedor e as cotas de amortização; 2 - calcula-se os juros do saldo devedor e adicona-se o valor obtido à cota de
amortização, obtendo-se a prestação;
12504
000.5 AA
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3 - subtrai-se a cota de amortização do saldo devedor, obtendo-se novo saldo;
4 - repete-se o procedimento até a anulação do saldo. Observe: (na planilha) 1 - os juros são decrescentes; 2 - as prestações são decrescentes; 3 - as amortizações são constantes. graficamente:
JJ J
AAA
P1
P2
P3
J
A
. . .
comentários: 1 -os cálculos feitos aqui estão em um contexto não-inflacionário; 2 -o Sistema Francês é normalmente preferido pelo usuário devido ao fato
de possuir prestações constantes e, assim, permitir melhor planejamento das finanças;
3 -do ponto de vista da instituição que concede o financiamento, o Sistem Price tem a característica de oferecer retorno lento do capital principal, uma vez que as cotas de amortização são crescentes.
EXERCÍCIOS
1) Para um financiamento de R$ 4.000,00 à 10% a.m. por 4 meses, pago
em prestações postecipadas, a diferença positiva entre a última prestação pelo Sistema Price e a primeira prestação pelo S.A.C., é, em reais: (despreze centavos na resposta)
a) 120 b) 138 c) 141 d) 150 e) 153 2) Qual o valor da 5ª prestação de um financiamento feito pelo S.A.C.,
se o valor financiado foi R$ 1.600,00, a taxa, 8% a.m. e o número de parcelas foi de 20?
a) R$ 200,00 b) R$ 194,60 c) R$ 182,40 d) R$ 120,00
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e) R$ 100,00 3) Julgue os ítens abaixo: I - no Sistema Price a cota de juros em cada prestação decresce enquanto
que no S.A.C., cresce; II - No S.A.C. as prestações são decrescentes, sempre; III - no Sistema Price a cota de amortização contida na última prestação,
quita o saldo devedor. 4) Os juros contidos na 1ª prestação de um empréstimo feito pelo
Sistema Price a uma taxa de 72% a.a., são iguais a: a) 7,2% do saldo devedor; b) 6% do saldo devedor original; c) 6% do saldo devedor, após o pagamento da 1ª prestação; d) 4% do saldo devedor inicial; e) 72% do saldo devedor original. 5) Para um financiamento de R$ 6.000,00 pago em 6 prestações pelo
Sistema Francês, tem-se a seguinte planilha:
Os valores de x e y são respectivamente: (despreze centavos) a) R$ 1200 e R$ 305 b) R$ 1182 e R$ 255 c) R$ 1182 e R$ 215 d) R$ 1182 e R$ 205 e) R$ 1200 e R$ 805 6) O gráfico que melhor representa a evolução das prestações em
função do tempo, no Sistema de amortização constante, é:
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a) b) c) d)
e)
Gabarito (Exercícios)
1-b 2- c 3- ECC 4- b 5- b 6-e
OUTRAS QUESTÕES
1-(BB) Uma geladeira é vendida à vista por R$ 1.000,00 ou em duas
parcelas, sendo a primeira com uma entrada de R$ 200,00 e a
. . .
. . .
. . .
. . .
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segunda, dois meses após, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa mensal
de juros simples utilizada?
a) 6%
b) 5%
c) 4%
d) 3%
e) 2%
Resolução: ( Juros simples)
Observe que o comprador ficou devendo 800, pelos quais pagará a
quantia de 880, ou seja, pagará 80 reais de juros ( 10% ), em dois
meses.
Como os juros Simples são proporcionais ao tempo e taxa, se houve
ganho de 10% em dois meses, então houve ganho de 5% ao mês.
Alternativa.....”B”
2- (BB) Um investidor dispunha de R$ 300.000,00 para aplicar. Dividiu
esta aplicação em duas partes. Uma parte foi aplicada no banco Alfa,
à taxa de 8% ao mês, ambas em juros compostos. O prazo de ambas
as aplicações foi de 1 mês. Se, após este prazo , os valores
resgatados forem iguais nos dois bancos, os valores de aplicação, em
reais, em cada banco, foram, respectivamente:
a) 148.598,13 e 151.401,87
b) 149.598,13 e 150.401,87
c) 150.598,13 e 149.401,87
d) 151.598,13 e 148.401,87
e) 152.598,13 e 147.401,87
Resolução:
Vamos considerar que no banco Alfa ele investiu “X” reais, logo terá
investido no outro banco, “ 300000 – X”.
A taxa é 8% am e o tempo, 1 mês, para os dois.
Como o valor resgatado em ambos é o mesmo, então seus
MONTANTES são iguais.
Para ambos, M = C . ( 1 + i )t
Para o banco Alfa....M = X . ( 1 + 0,08)1 = 1,08X
Para o outro banco......M = ( 300000 – X ) . ( 1 + 0,06 )1 =
= 1,06 . ( 300000 – X ) = 318000 – 1,06X
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Igualando os Montantes....
1,08X = 318000 – 1,06X
2,14X = 318000
X = 318000 / 2,14
X = 148598,13 (parte aplicada no banco ALFA)
No Outro Banco, será o restante...300000 – 148598,13 = 151401,87
Alternativa “A”.
3- (CEF) Pretendendo guardar uma certa quantia para as festas de fim
de ano, uma pessoa depositou R$ 2 000,00 em 05/06/97 e R$ 3 000,00
em 05/09/97. Se o banco pagou juros compostos à taxa de 10% ao
trimestre, em 05/12/97 essa pessoa tinha um total de:
a) R$ 5 320,00
b) R$ 5 480,00
c) R$ 5 620,00
d) R$ 5 680,00
e) R$ 5 720,00
4-. A taxa efetiva trimestral referente a uma aplicação foi igual
a 12%. A correspondente taxa de juros nominal (i) ao ano,
com capitalização mensal, poderá ser encontrada calculando:
_
(A) i = 4 . [(1,12 )1/3 − 1]
(B) i = 12 . [(1,12)1/4 − 1]
(C)) i = 12 . [(1,12)1/3 − 1]
(D) i = (1,04 )12 − 1
(E) i = 12. [(0,04) ÷ 3]
Resolução: Taxas em juros compostos
A taxa dada ( 12% at) é efetiva e desejamos outra efetiva mensal, daí
faremos uma conversão EQUIVALENTE;
( 1 + im)3 = 1 + 1s
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( 1 + im )3 = 1 + 0,12
( 1 + im )3 = 1,12
1+ im = V3 1,12
Im = V3 1,12 - 1
Im = ( 1,12)1/3 - 1
Como é pedida a taxa Nominal ANUAL, basta multiplicar por 12, pois a
conversão de taxa efetiva para Nominal se faz de forma