Prof.: Estela Muñoz Alumno: Andrés Tapia Los Nueve Acertijos Hace Mucho tiempo, en una pequeña aldea muy apartada de la sociedad, en la que todos parecían ser muy amables y todos se conocían entre sí, se ubicaba una pequeña casa de madera, en la que vivía la familia Rodríguez. La familia era muy pobre, y con suerte les alcanzaba el dinero para alimentar a los 9 hermanos y pagar los impuestos que el alcalde del pueblo les solicitaba. Estos hermanos tenían entre 13 y 26 años de edad, y no tenían padres, por lo que debían mantenerse solos. Un día, el hermano de al medio, Matías, dijo a los demás que no podían seguir en esa situación de tan malas condiciones. Todos los hermanos eran muy inteligentes, y después de haberlo conversado, tomaron la decisión de irse del pueblo en busca de una vida mejor. Salieron de noche, para no tener que despedirse de sus amigos y no arrepentirse de la decisión que tomaron. Se dirigieron a una gran planicie, en donde se podían ver algunos campos cultivados, y más allá los Rodríguez encontraron un gran castillo, hecho en su mayoría de oro, y que tenía una inscripción en la entrada que decía: “Sólo los sabios que respondan los acertijos correctamente, tendrán acceso a las riquezas del castillo”. Los nueve se miraron entre ellos y sin pensarlo dos veces entraron a la gran estructura. Una vez adentro, apareció un hombre con apariencia de rey, vestido muy elegantemente, con cara muy pálida, como la de un muerto. Rafael, el mayor, le preguntó quién era él, y el hombre dijo: Soy el rey Antonio IV, y este es mi castillo. No tienen nada que temer. Me mataron hace 500 años, y soy prisionero de una maldición. Deben ayudarme a responder los 9 acertijos para romper mi maldición y poder salir de aquí.
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Prof.: Estela Muñoz Alumno: Andrés Tapia Los Nueve Acertijos · Luego se abre otro paréntesis, donde se coloca: el primer número (del otro paréntesis) al cuadrado; restándole
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Prof.: Estela Muñoz
Alumno: Andrés Tapia
Los Nueve Acertijos
Hace Mucho tiempo, en una pequeña aldea muy apartada de la sociedad,
en la que todos parecían ser muy amables y todos se conocían entre sí, se
ubicaba una pequeña casa de madera, en la que vivía la familia Rodríguez. La
familia era muy pobre, y con suerte les alcanzaba el dinero para alimentar a los 9
hermanos y pagar los impuestos que el alcalde del pueblo les solicitaba. Estos
hermanos tenían entre 13 y 26 años de edad, y no tenían padres, por lo que
debían mantenerse solos.
Un día, el hermano de al medio, Matías, dijo a los demás que no podían
seguir en esa situación de tan malas condiciones. Todos los hermanos eran muy
inteligentes, y después de haberlo conversado, tomaron la decisión de irse del
pueblo en busca de una vida mejor.
Salieron de noche, para no tener que despedirse de sus amigos y no
arrepentirse de la decisión que tomaron. Se dirigieron a una gran planicie, en
donde se podían ver algunos campos cultivados, y más allá los Rodríguez
encontraron un gran castillo, hecho en su mayoría de oro, y que tenía una
inscripción en la entrada que decía: “Sólo los sabios que respondan los acertijos
correctamente, tendrán acceso a las riquezas del castillo”. Los nueve se miraron
entre ellos y sin pensarlo dos veces entraron a la gran estructura.
Una vez adentro, apareció un hombre con apariencia de rey, vestido muy
elegantemente, con cara muy pálida, como la de un muerto. Rafael, el mayor, le
preguntó quién era él, y el hombre dijo: Soy el rey Antonio IV, y este es mi
castillo. No tienen nada que temer. Me mataron hace 500 años, y soy prisionero
de una maldición. Deben ayudarme a responder los 9 acertijos para romper mi
maldición y poder salir de aquí.
Los hermanos aceptaron el desafío, ya que eran muy listos. El rey sonrió, y
les preguntó en qué área tenían más facilidad para responder. Ellos se pusieron
de acuerdo y le dijeron que lo más fácil para ellos era la matemática. El hombre
sonrió nuevamente, y dijo: Entonces los 9 acertijos serán sobre factorización,
deberán factorizar los problemas.- Los hermanos parecían preocupados, puesto
que ni siquiera sabían factorizar, pero aun así pensaron que no sería muy difícil
inferirlo.
Entonces, el rey dijo: El primer acertijo se llama sacar el mayor factor
común. Deben factorizar en el siguiente caso:“Un hombre tenía 6x2y5monedas en
el banco y decide guardar otras 15xy7 monedas”
José, el hermano menor, no tuvo que pensarlo mucho para saber qué
hacer. Lo que hizo él para factorizar fue lo siguiente:
1.- Descomponer en factores cada término.
2.- Tachar los factores comunes.
3.- Lo que son los factores tachados corresponden al MCD, y los que
sobraron (los que no se tacharon) se encierran entre paréntesis y se escriben tal
y como quedaron.
6x2y5 + 15xy7= ?
2 x 3 x XxXxY x Y x Y x Y x Y + 3 x 5 x XxY x Y x Y x Y x Y x Y x Y
No tachados
(no comunes)
Tachados
(comunes)
El rey, al oír la asombrosa respuesta del joven de tan sólo 13 años de
edad, quedó asombrado por su gran capacidad matemática. Luego dijo:
¡Correcto! Nunca se me hubiera ocurrido a mí tal desarrollo para el problema.
Pero aun quedan 8 acertijos más. Este se llama sacar factor común polinomio,
factorizando en el siguiente caso: “Un panadero tenía 5(x + y) Kg de harina,
hasta que utilizó m(x + y) Kg para hacer más pan.”
El octavo hermano, llamado Sebastián, lo pensó muy bien y luego de un
rato dijo su respuesta al acertijo, explicando su desarrollo:
1.- El polinomio común (x + y) se escribe adelante y luego se abre
paréntesis y se anota lo que sobra (5 - m).
Entonces, la correcta factorización termina siendo:
El rey, tras escuchar la respuesta se quedó muy sorprendido, ya que por
mucho tiempo trató de descubrir la respuesta, y nunca se imaginó que hubiera
sido tan fácil y corto algo que parecía complicadísimo. Entonces dijo: No está
nada mal para un joven como tú, pero estoy seguro que el siguiente acertijo les
resultará más difícil. Este se llama factorizar por agrupación, y el problema dice
así: “Un granjero plantó ax + ay zanahorias, y luego plantó otras bx + by”
5 (x + y) – m (x + y)= ?
Polinomio común Lo que sobró
5 (x + y) – m (x + y) = (x + y) (5 - m)
Los hermanos se quedaron pensando unos minutos, hasta que Isaías, el
séptimo hermano, descubrió la respuesta. Él explicaba los pasos que hizo para
llegar a su conclusión:
1.- Cuando tenemos una expresión algebraica con varios términos, pero
no existe uno de ellos común a todos, primero se debe agrupar con los que sí
tienen.
2.- Luego se factoriza, agrupando y sacando los factores comunes (lo que
se hizo en el primer acertijo).
3.- Y se vuelve a factorizar, utilizando la misma estrategia que el problema
anterior.
ax + ay + bx + by = ?
El hombre quedó sin palabras. No podía creer la gran capacidad que tenía
el joven Isaías. Por unos segundos hubo un silencio total, y todos lo miraban.
Entonces el rey se empezó a reír bruscamente, y dijo: ¡Sorprendente! Por casi
500 años estuve intentando resolver este problema, pero tú sólo necesitaste
unos pocos minutos para resolverlo de manera perfecta. Permítanme decirles
que estoy muy asombrado por sus capacidades matemáticas. Bueno, pero
todavía quedan más acertijos, que no son nada fáciles. El siguiente se llama
factorizar diferencias de cuadrados, y el problema es el siguiente: “Un hombre
tenía 25 cerdos en su campo y murieron a2 cerdos el siguiente año.”
El hermano mayor a Isaías, Manuel, no le resultó difícil responder el
cuarto acertijo. Él explicaba de manera muy simple y breve su razonamiento:
1.- Cuando hay una diferencia entre dos cuadrados, simplemente se debe
poner entre paréntesis una suma entre las raíces cuadradas de estos cuadrados,
y luego otro paréntesis en donde estará la diferencia entre estos mismos
números.
Entonces los hermanos Rodríguez se dieron cuenta que a medida que iban
respondiendo y acertando los acertijos sin dificultad alguna, el rey comenzaba a
ponerse levemente más iluminado, como un fantasma, y su cara se ponía cada
vez menos pálida. El rey no tuvo palabra alguna, lo único que dijo fue: El quinto
acertijo trata de factorizar diferencia de cubos. Esta es la situación: “Un pastor
cuidaba a3 ovejas de un rebaño, pero un día 27 se las llevaron los lobos.”
25 – a2 = ?
5 x 5 a x a Suma de
raíces
Diferencia
de raíces
Este problema no resultó tan sencillo como el anterior, y después de
varios minutos, el quinto hermano, Matías, expuso su conclusión:
1.- Primero se encierra entre paréntesis las raíces cúbicas de ambos
números, poniéndolos como una resta.
2.- Después se abre otro paréntesis, donde se coloca: el primer número
(del otro paréntesis) al cuadrado; sumándole el primer número multiplicado por
el segundo; y después se le suma el segundo número al cuadrado.
*El 32 se puede escribir como 9, pero para entenderlo mejor está escrito como 32.
De pronto, tras esta explicación, el rey parecía tener un aspecto extraño.
La voz se le puso un poco más aguda, lo que parecía bastante aterrador, pero
como se veía cada vez más agitado, dijo rápidamente: No están lejos para
completar este gran desafío, pero todavía les quedan unos pocos acertijos nada
fáciles de resolver. Veamos si sus habilidades matemáticas pueden resolver este
problema sobre factorizar suma de cubos, diciendo así: “Un mes, un manzano
dio 27 manzanas, y el mes siguiente dio otras 8y3.”
a3– 27 = ?
(a - 3)… Raíces:
a3 = a
27 = 3
Primer
número
Segundo
número
1er
número
al cuadrado
2º número
al cuadrado
1er
y 2º número
multiplicados
No tardaron mucho en descubrir la respuesta, ya que este
acertijo era bastante parecido al anterior, sólo que este se trataba de una suma.
El primero que habló fue el cuarto hermano, Joaquín, quien dijo de manera muy
simple el proceso que hizo:
1.- Al igual que el ejercicio anterior, se debe encerrar entre paréntesis
las raíces cúbicas de ambos números, pero esta vez sumándolos.
2.- Luego se abre otro paréntesis, donde se coloca: el primer
número (del otro paréntesis) al cuadrado; restándole el primer número
multiplicado por el segundo (del otro paréntesis); y después se le suma el
segundo número al cuadrado.
*El 32 se puede escribir como 9, pero para entenderlo mejor está escrito como 32.
El rey de pronto, al escuchar esto, quedó con la boca abierta del intelecto
que tenían todos estos hermanos, y repentinamente puso una expresión como
de estar ocultando algo.
27 + 8y3= ?
(3 + 2y)… Raíces:
27 = 3
8y3 = 2y
Primer
número Segundo
número
1er
número
al cuadrado
1er
y 2º número
multiplicados 2
º número
al cuadrado
Entonces dijo: Están llegando a su destino. Pronto conocerán mis secretos
y las enormes riquezas gracias a su gran capacidad. Sólo quedan 3 acertijos más.
El siguiente se llama factorizar trinomios cuadrados perfectos, y el acertijo dice:
“Un caballero para la cruzada tenía 9 soldados, luego en el camino se le sumaron
12, y al otro día otros 4.”
Este problema fue más difícil de descubrir su factorización, pero aun así
Melchor, el tercer hermano, como era muy listo al igual que los otros, logró
descifrar el acertijo. Él lo explicaba así:
1.- Identificar los términos como el cuadrado de binomio, aplicando la
fórmula (a + b)2 = (a2 + 2ab + b2), quedando así:
2.- Ocupar el caso inverso del producto notable, transformando la suma
en el cuadrado de un binomio.
Melchor agregó como conclusión que en caso de que fuera 9 - 12 + 4, la
respuesta sería (3 - 2)2, es decir, que si en el trinomio el primer signo fuera una
resta, el resultado sería una diferencia del cuadrado del binomio.
9 + 12 + 4 = ?
9 + 12 + 4 = (3)2 + 2(3 x 2) + (2)2
9 + 12 + 4 = (3)2 + 2(3 x 2) + (2)2= (3 + 2)2
Estos signos siempre
son iguales
El rey, sorprendido como siempre, brillaba cada vez más, pero los
hermanos Rodríguez fingieron que no pasaba nada. Entonces dijo: ¡Correcto
nuevamente! Ya sólo les faltan los dos últimos acertijos de factorización, pero no
se confíen demasiado, porque estos dos últimos me parece que son de los más
difíciles. El siguiente es de factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c, y este es
el problema: “En el mercado llegó un comerciante, luego se fueron 7, y después
llegaron otros 12.”
El hermano mayor a Melchor, Andrés, fue el primero que resolvió el
acertijo. Decía que no era nada fácil, pero que lo explicaría de la mejor manera
posible:
1.- Para factorizar un trinomio x2 + bx + c, se debe buscar una pareja de
números que multiplicados den “c” (12) y la suma de estos dos den “b” (-7),
buscando todos los factores de “c”.
2.- En este caso, la pareja de números que multiplicados dan 12 y sumados
dan -7, es -3 y -4. Ahora lo que se debe hacer es encerrar entre paréntesis “x” (1)
más uno de los números de la pareja, y después en otro paréntesis “x” más el
otro número de la pareja.
*En caso de que “x” no fuera uno (ej: 9) la respuesta sería la raíz cuadrada más la pareja de
números. (ej: (3 - 3)(3 - 4))
x2 + bx + c = 1 - 7 + 12
Factores de 12:
1 x 12 -1 x -12
2 x 6 -2 x -6
3 x 4 -3 x -4
x2 + bx + c = 1 – 7 + 12 = (1 - 3)(1 - 4)
-3 x -4 = 12
-3 + -4 = -7
Los hermanos, tras oír esta asombrosa respuesta, notaron que de
pronto el rey comenzó a elevarse del suelo levemente, y se le puso la voz muy
aguda, y su cuerpo brillaba más que nunca. Ellos estaban muy asustados, pero
permanecían quietos, listos para el último acertijo, que parecía ser el más difícil
de todos. El rey, con su aterradora voz, lo único que dijo fue: El último acertijo se
llama factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c, y es el siguiente: “Un
artesano fabricó 2x2 vasijas una semana, 5x a la semana siguiente, y luego otras
3 en la siguiente.”
Los hermanos pensaron, y pensaron, pero nada se les ocurrió. Hasta
que varios minutos después, Rafael, el hermano mayor, expuso su resultado,
explicando cuidadosamente el complejo proceso de la factorización:
1.- Al igual que en el problema anterior, primero se debe buscar una
pareja de números que multiplicados den “a” x “c” y que sumados den “b”. Para
esto, se debe multiplicar a y c (2 x 3), que en este caso nos dará 6.
2.- Ahora hay que buscar una pareja de números que multiplicados en
este caso den 6 y sumados den 5.
ax2 + bx + c = 2x2 + 5x + 3
En este caso la pareja de números
que estábamos buscando era 2 y 3.
3.- Cuando tengamos la pareja de números, lo siguiente que hay que
hacer es descomponer “bx”, que en este caso es “5x”. Para hacer esto,
multiplicamos ambos números de la pareja de números por “x”, pero por
separado, como se muestra en el dibujo:
4.- Lo siguiente es aplicar lo que se vio en el primer acertijo, que es
sacar factor común (2x2 + 2x = 2x (x + 1) y 3x + 3 = 3 (x + 1)), y después aplicar lo
del segundo acertijo, que es sacar factor común polinomio (2x (x + 1) + 3 (x + 1) =
(x + 1) (2x + 3)) este número y factorizarlo:
2x2 + 2x + 3x + 3 =
2x (x + 1) + 3 (x + 1) =
(x + 1) (2x + 3)
Aquí se aplica el primer acertijo,
que es sacar el factor común.
En resumen…
Y finalmente se aplica el
segundo acertijo, que es sacar
factor común polinomio.
Luego de la larga y buena explicación de Rafael, pasó algo muy extraño. De
pronto, el fantasma (que ahora parece más fantasma que rey, porque estaba
volando y brillando) comenzó a desaparecer, poco a poco, hasta que no se vio
nada, sólo se escuchó una voz en la cabeza de los hermanos, que decía: Sólo los
sabios que respondan los acertijos correctamente, tendrán acceso a las riquezas
del castillo. Los 9 hermanos, Rafael, Andrés, Melchor, Joaquín, Matías, Manuel,
Isaías, Sebastián y José Rodríguez son aquellos que me sacaron de mi maldición y
me ayudaron a responder los acertijos. Ahora, ustedes recibirán todas mis
riquezas y legados.
Los hermanos, que estaban más que asustados en el momento en que el
fantasma del rey Antonio IV les hablaba con una voz muy extraña, se pusieron
muy contentos de haber logrado el desafío y tener el acceso a las enormes
riquezas del castillo. Descubrieron que, factorizar es muy importante para
simplificar problemas complicados, y que para un problema se puede aplicar
más de un caso, transformando varios términos en uno solo, que por lo general
es una multiplicación.
Sin duda, los Rodríguez obtuvieron lo que estaban buscando: una vida
mejor. Años después, ellos se transformaron en poderosos hombres, pero
siempre fueron personas muy humildes y buenas con los demás. Vivieron todos
en el dorado castillo del antiguo rey, para recordar lo sabios que son y de sus
grandes capacidades, y todo gracias a la matemática.