Prof. Dr. Sabine Attinger Prof. Dr. Anke HildebrandtMaterial/Transport/Transp... · 1D-Transportgleichung Wenn ein gelöster Stoff sich sowohl advektiv, als auch diffusiv in einer

Transportmodellierung

19.04.2011 Transportmodellierung

Prof. Dr. Sabine AttingerProf. Dr. Anke Hildebrandt

Bilanzgleichung in 1D

Der Fluss der transportierten Masse über die Gesamtfläche eines Kontrollvolumens ist gleich der Nettoänderung der Masse pro Zeit in diesem Kontrollvolumen


( ) ( ) 0=⋅∂∂+

∂∂

xjxt

nc

1D-Transportgleichung

Wenn ein gelöster Stoff sich sowohl advektiv, als auch diffusiv in einer Flüssigkeit bewegt, dann gilt folgende Gleichung


( ) ( ) 0=

∂∂⋅

∂∂−⋅

∂∂+

∂∂

cx

nDx

cvxt

ncx

1-D (konservativer) Transport

• Konzentration nimmt im Zentrum der Verteilung ab

• Kein Verlust an der Gesamtmasse


t2 t3t1

1.0

0.5

0.0

C/C0

Time

Ideale Tracer

• Ideale Tracer unterliegen keiner Retardation oder einer reaktiven Veränderung.

• Ideale Tracer unterliegen nur der Advektion undder hydrodynamischen Dispersion.


der hydrodynamischen Dispersion.• Aus idealen Tracern lassen sich die Parameter

des advektiv-dispersiven Transports bestimmen.

Wie lassen sich die Parameter bestimmen?

Massenbilanz: in 1D

( )xj xtotal, ( )xxj ∆+xtotal,

Speicherung von gelöster Masse

Zeitintervall [t, t+Dt]


( )xtotal,

x

∆∆∆∆x

•Verluste aus Abbau nachReaktion 1. Ordnung

x+∆∆∆∆x

V=A∆x

Verlust durch Abbau

• Reaktionen erster Ordnung sind von der Form A→Produkte. Hierbei zerfällt A mit einer Reaktionsgeschwindigkeit, die proportional zu seiner Konzentration c=[A] ist

cc λ−=∂


mit der Zerfallskonstanten in den Einheiten 1/s, und der Lebensdauer bzw. Halbwertszeit

• Beispiele: Radioaktiver Zerfall

cct

λ−=∂

λλτ /1=

λτ /)2ln(2/1 =

Massenbilanz: in 1D



•Verluste aus Abbau nach



x

∆∆∆∆x

•Verluste aus Abbau nachReaktion 1. Ordnung

Erhaltungsgleichung für gelöste Masse

x+∆∆∆∆x

V=A∆x

( ) ( )( ) ( ) ( ) tcntmttmtAxxjxj ∆⋅∆Ω−−∆+=∆⋅∆+− λxtotal,xtotal,

Transportgleichung 1D

( ) ( )( ) ( ) ( ) tcdntmttmtAxxjxj ∆⋅Ω−−∆+=∆⋅∆+− λxtotal,xtotal,


( )( ) ( ) cnxjx

tnct

λ−=

∂∂+

∂∂

xtotal,Im Limes:

Massenbilanz: in 1D





( )xtotal,

x

∆∆∆∆xSorption

x+∆∆∆∆x

V=A∆x

Sorption

• Oberbegriff für die Anreicherung eines Stoffes in einem Phasengrenzgebiet. Die sorbierende Festphase bzw. Grenzfläche ist das Sorbens, der Sorbent oder dasSorptionsmittel. Der aufzunehmende, noch nicht sorbierte Stoff wird als Sorptiv bezeichnet, der an- oder eingelagerte (sorbierte) Stoff als Sorbat.


eingelagerte (sorbierte) Stoff als Sorbat.

• Die Ursachen für Sorption sind unterschiedlichste chemische, physikalische oderelektrostatische Wechselwirkungen zwischen Sorbent auf der einen Seite und Sorbat bzw. Sorptiv auf der anderen.

Sortion

• Adsorption ist die Anlagerung des Sorptivs an die Oberfläche des Sorbens. Es ist ein reversibler Gleichgewichtsprozess, der durch Konzentrationsänderungen, Temperatur Verdrängungsreaktionen beeinflusst und verschoben


Verdrängungsreaktionen beeinflusst und verschoben werden kann.

• Absorption bezeichnet man die irreversible Bindung, Aufnahme oder Einlagerung des Sorptivs an/durch/in das Sorbens.

• Desorption ist der gegenläufige Prozess, d. h. die Ablösung adsorbierter Stoffe vom Sorbenten.

Sorption

• Sorption, insbesondere Adsorption und Desorption, spielt beim Verhalten von Schadstoffen in der Umwelt eine wichtige Rolle. Schadstoffe können durch Sorption an die Bodenmatrix längerfristig gebunden werden.

• Schwerwasserlösliche und/oder schwerflüchtige


• Schwerwasserlösliche und/oder schwerflüchtige Schadstoffe können durch Sorption an Kolloide oder suspendierte Teilchen im Wasser (auch Bodensicker-und Grundwasser) über weite Strecken transportiert werden (Co-Sorption, Co-Transport).

Sorption

• Bei schneller Adsorption kann von einem Gleichgewichtzwischen adsorbierter und gelöster Stoffkonzentrationausgegangen werden.

c_ad = f (c_aq)


c_ad = f (c_aq)

• c_ad = adsorbierte Konzentration am Feststoff• f = Isotherme• c_aq = Konzentration in der Wasserphase

Sorption

Obwohl die Isotherme i.a. eine nichtlineare Funktion ist (Freundlich- und Langmuir-Isotherme), kann sie imeinfachsten Fall durch eine lineare Funktion approximiertwerden:

c_ad = K_D · c_aq


• c_ad = adsorbierte Konzentration am Feststoff• K_D = Adsorptionskoeffizient• c_aq = Konzentration in der Wasserphase

Der Adsorptionskoeffizient ist abhängig vom gelösten Stoff und dem Aquifermaterial ---> Vielzahl von K_D-Werten!

Sorption

Retardationseffekt der Adsorption:

Es lässt sich theoretisch zeigen, dass eine Adsorption, diedurch eine lineare Isotherme beschrieben wird, eineeffektive Verlangsamung der Stoffpartikel-Geschwindigkeit


effektive Verlangsamung der Stoffpartikel-Geschwindigkeitin der mobilen Wasserphase und damit eineRetardation des Eintreffens der Stofffront an einemBeobachtungspunkt bewirkt. Die effektive Abstands-geschwindigkeit des Wasserinhaltsstoffes v_eff wird gegenüber der des Wassers verkleinert.

Lineare reversible Sorption

• Zeitliche Verzögerung, Retardierung

1.0


t2 t3t1

1.0

0.5

0.0

C/C 0

Time

t2 t3t10.5

0.0

C/C0

Time


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) tcdntmttmRtAxxjxj ∆⋅Ω−−∆+=∆⋅∆+− λxtotal,xtotal,


( )( ) ( ) cnxjx

tnct

R λ−=

∂∂+

∂∂

xtotal,Im Limes:

Transportverhalten


Zeitskalen/dimensionslose Größen

• Typische Zeitskalen– Advektion TA = Ln/v– Diffusion TD = L2/D– Chemie (Reaktion 1. Ordnung) T = 1/λ


– Chemie (Reaktion 1. Ordnung) TC = 1/λ• Dimensionslose Verhältnisse

– Peclet Zahl Pe = TD/TA = vL/D– Damköhlerzahl Da = TC/TD = D/(λL2)

3D Transport


Massenbilanz: in 3D

( )zyxj ,,xtotal,

Speicherung von gelöster MasseZeitintervall [t, t+Dt]

( )zyxj ,,ytotal,

( )zyxj ,,ztotal,


( )zyxxj ,,xtotal, ∆+

( ) ( )( ) ( ) ( )tmttmtAxxjxj −∆+=∆⋅∆+− xtotal,xtotal,

x

∆∆∆∆x

Erhaltungsgleichung für gelöste Masse

x+∆∆∆∆x

xAd ∆=Ω( )zyyxj ,,ytotal, ∆+

( )zzyxj ∆+,,ztotal,


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ttmtzyxjzyxjzyxj

tmttmt

tmtA

zzyxjzyxjzyyxjzyxjzyxxjzyxj

∆ ∂+=∆⋅∆Ω

∂+∂+∂−

−+∆

∂∂+=∆⋅

∆+−+∆+−+∆+−

,,,,,,

...

,,,,,,,,,,,, ztotal,ztotal,ytotal,ytotal,xtotal,xtotal,


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ttnct

tzyxjz

zyxjy

zyxjx

ttmt

tzyxjz

zyxjy

zyxjx

∆Ω∆

∂∂+=∆⋅∆Ω

∂∂+

∂∂+

∂∂−

∆

∂+=∆⋅∆Ω

∂

+∂

+∂

−

,,,,,,

,,,,,,

ztotal,ytotal,xtotal,

ztotal,ytotal,xtotal,

( )( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,, ztotal,ytotal,xtotal, =

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

zyxjz

zyxjy

xjx

tnct


• Der Fluss der transportierten Masse beschreibt die pro Zeiteinheit durch eine Fläche hindurch tretende Masse,

FlächeZeit

MasseFluß==j


• Integration über die Gesamtfläche eines Kontrollvolumens ergibt dann die Änderung der Gesamtmasse pro Zeit

( )Zeit

MassedFlächeAusflüsseEinflüsse =Γ=⋅− ∫∫ nj

•Im Allgemeinen wird der Transport eines gelösten Stoffes mithilfe seiner Konzentration oder Dichte beschrieben,


ZeitVolumen

Masse

Zeit

Dichte

Zeit

ionKonzentrat ==


•Integration über das Kontrollvolumen ergibt dann die Veränderung der Masse pro Zeit

Zeit

Masse

Zeit

Dichte

Zeit

ionKonzentratrmSpeicherte =Ω=Ω= ∫∫ dd


Der Fluss der transportierten Masse über die Gesamtfläche eines Kontrollvolumens ist gleich der Nettoänderung der Masse pro Zeit in diesem Kontrollvolumen


Ω==Γ− ∫∫∫ dZeit

cion Konzentrat

Zeit

Massednj


( )( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,, ztotal,ytotal,xtotal, =

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

zyxjz

zyxjy

xjx

tnct


•Einführen der Divergenz in die Transportgleichung

•Einführen des advektiven Flusses in Vektorscheibweise

•Einführen des Gradienten in das Fick‘sche Gesetz

Alle Stoffflüsse in der Übersicht

m mJ D c= − ∇uv

cuJ A

vv=Advektion

Molekulare Diffusion

∇−= εv


Turbulente Diffusion

Dispersion

Gesamtfluss Total mA T DJ J J J J= + + +uv uuv uv uuv uuv

cJT ∇−= εv

cDJ D ∇−= mechv

Wirkungsweise der Taylor-Dispersion

DifferentielleAdvektionwird durch laterale


wird durch lateraleturbulente Diffusionasymptotischzu Dispersion, diedem Fickschen Gesetz folgt.

Taylor Dispersion


Kurt Roth

Wirkungsweise der Korngerüstbedingten Dispersion


Korngerüstbedingte Dispersion

Korngerüstbedingte Dispersion ist das Auseinanderziehen einer Schadstofffahne aufgrund

• der Unterschiede in der Porengrösse• Ausbildung eines ungleichförmigen

Geschwindigkeitsprofils innerhalb der Pore (Taylor-


Geschwindigkeitsprofils innerhalb der Pore (Taylor-Mechanismus)

• Umlenkung der Strömung durch das feste Korngerüst

Korngerüstbedingte Dispersion ist auf der Meter-Skala, wie z.B. in Laborsäulen, wesentlich.

HeterogenitätsbedingteDispersion


Makrodispersion

Verursacht durch Inhomogenitäten in der Durchlässigkeit, wie z.B. durch Tonlinsen oder Schichtung


Allgemeiner Dispersionstensor

cDD

DD

yyyx

xyxx ∇⋅−=

= DjD D,

In 2D lautet die allgemeine Form des Dispersionstensors


mit den Einträgen

( )

v

v

v

vD

v

vvD

v

v

v

vD

yL

xTyy

yxTLxy

yT

xLxx

22

22

αα

αα

αα

+=

−=

+=

Dispersionstensor

• In Diagonalform:

=

T

L

D

DD

0

0


• in einem Koordinatensystem, in dem die Strömungsgeschwindigkeit ausschließlich in x-Richtung gelegt ist

=

v

v

T

L

αα0

0D

Dispersion

• Dispersion ist auch im isotropen Medium richtungsabhängig.

• longitudinale Dispersion wesentlich stärker als die senkrecht dazu wirksame transversale Dispersion.


0

0

,

,

=∂∂−=

=∂∂−=

cy

nDj

cx

nDj

yyTD

xxLD

Longitudinale Dispersion


Turbulente

3D Transportgleichung

Advektion Molekulare Speicherung Quellen/

( )( ) σ+∂∂=∇+++∇−

t

cncnc DεDv m


Turbulente Diffusion undDispersion

Advektion Molekulare Diffusion

Speicherung Quellen/Senken

StrömungsmodellKonti.-gleichungImpulsgleichungEnergiegleichungZustandsgleichungen

Diffusions/Dispersionsmodellz.B. Ficksches Gesetzmit anisotropem Dispersionstensor

Quellen/SenkenmodellZ. B.Chem AbbauBio. UmwandlungSedimentationAdsorption

Transportverhalten


Kluftgesteine


KluftgesteineTransportmodellierung im Kluft-Matrix-System unter den folgenden

geometrischen und hydraulischen Rahmenbedingungen:• Kluft/Klüfte: konstante Kluftöffnungsweite, Kluftöffnungsweite sehr viel

kleiner als Kluftlänge, komplette Durchmischung entlang des Kluftquerschnittes bei Diffusions- und Dispersionsvorgängen.

• Matrix: Gesteinspermeabilität ist unbedeutend.• Kluftströmung: konstanter Durchfluss, eindimensionaler Fluss.


• Kluftströmung: konstanter Durchfluss, eindimensionaler Fluss.

Die folgenden Transportmechanismen gelten:• Kluft: Advektion, longitudinale hydrodynamische Dispersion,

molekulare Diffusion, radioaktiver Zerfall.• Kluft-Matrix: molekulare Diffusion von der Kluft in die Gesteinsmatrix,

Adsorption an der Kluftoberfläche.• Matrix: Adsorption, molekulare Diffusion, radioaktiver Zerfall.

Prof. Dr. Sabine Attinger Prof. Dr. Anke HildebrandtMaterial/Transport/Transp... · 1D-Transportgleichung Wenn ein gelöster Stoff sich sowohl advektiv, als auch diffusiv in einer

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