LEERWERKBOEK Transformaties van het vlak en gelijkvormigheden 3 Mark De Feyter Filip Geeurickx Jan Thoelen Roger Van Nieuwenhuyze Eric Willockx BEWERKT VOOR HET GO! onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door Wendy Luyckx Els Sas CARTOONS Dave Vanroye Proefexemplaar
34
Embed
Proefexemplaar - die Keure...9 Deel 1 evenwijdige projectie en de stelling van Thales projectieas projectierichting parallelprojectie 1.1.2eeld B van een punt Voorbeeld: Y X M Z b
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Leerwerkboek
Transformaties van het vlak
en gelijkvormigheden
3
Mark De Feyter
Filip Geeurickx
Jan Thoelen
Roger Van Nieuwenhuyze
Eric Willockx
bEWERkT VooR hET Go!
onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door
Wendy Luyckx
Els Sas
CaRTooNS
Dave Vanroye
Proe
fexe
mpla
ar
voorwoord
2Elk hoofdstuk eindigt met een samenvatting waarin duidelijk wordt gemaakt wat je moet kennen en kunnen, zodat je de oefeningen en de volgende hoofdstukken probleemloos kunt aanpakken.
3Bij het lampje vind je de herkomst van wiskundige woorden of symbolen.
No part of this book may be reproduced in any form
by print, photoprint, microfilm or any other means
without written permission from the publisher.
Dit boek bestaat uit 3 grote delen. Elk deel is onderverdeeld in kleinere paragrafen. De volgende handige picto-grammen gebruiken we in het leerboek:
1Dit is leerstof die je én goed in je hoofd moet prenten én moet onthouden. Alle definities vind je op een rode achtergrond, eigenschappen en stellingen op een groene.
BEtEKENISWaar komen al die wiskundige begrippen vandaan?
SAmENvAttINg De belangrijkste eigenschappen, begrippen en regels van een leerstofonderdeel.
tE oNthoUDENDeze leerstof moet je goed kennen en begrijpen vooraleer je verder kunt.
No part of this book may be reproduced in any form
by print, photoprint, microfilm or any other means
without written permission from the publisher.
Dit boek bestaat uit 3 grote delen. Elk deel is onderverdeeld in kleinere paragrafen. De volgende handige picto-grammen gebruiken we in het leerwerkboek:
Proe
fexe
mpla
ar
4De wiskunde die we vandaag kennen is het resultaat van een eeuwenlang groeipro-ces. onder de wereldbol vind je meer informatie over be-langrijke historische figuren en staan ook leuke anekdo-tes vermeld.
5het grafische rekentoestel is een onmisbaar hulpmiddel geworden. telkens dit toestel hulp kan bieden, vind je dit icoontje in de kantlijn. veel meer over het gebruik van het grafische reken- toestel vind je in het speciale ‘ICt practicumboek 5 tI-83(Plus)’.
3
6geen wiskunde zonder computer. Als computer-programma’s kunnen helpen,
zie je dit pictogram. veel meer over het gebruik van ICt vind je in het ‘ICt practicumboek 5 Computer’ .
Achteraan in het boek staat een trefwoordenlijst. om het gemakkelijker te maken zijn deze woorden cursief in de kantlijn gedrukt, telkens zij voor het eerst gebruikt worden.
Na ieder leerstofonderdeel vind je een reeks oefenin-gen. De moeilijkste zijn in het blauw gedrukt.
om iets gemakkelijk terug te vinden kun je terecht in het trefwoordenregister achteraan in het boek. Deze woorden staan ook voor de kantlijn afgedrukt, op de plaats waar ze het eerst gebruikt worden.
De schrijvers van dit boek wensen je veel plezier met het vak wiskunde op je nieuwe school.
REKENmAChINEHier wordt uitgelegd hoe je rekenmachine je kan helpen.
gESChIEDENISEen wiskundige terugblik in de tijd. Leuke wetenswaardigheden over hoe het vroeger was.
Na ieder leerstofonderdeel vind je een reeks oefeningen.
om iets gemakkelijk terug te vinden, kun je terecht in het trefwoordenregister achteraan in het boek. Deze woorden staan ook in de marge afgedrukt, op de plaats waar ze het eerst gebruikt worden.
De schrijvers van dit boek wensen je veel plezier met het vak wiskunde.
3
Proe
fexe
mpla
ar
Welkom (opnieuw) in de wakkere wetenschappelijke wereld van de wiskunde.De boekenreeks ‘Van basis tot Limiet’ heeft als doel de wiskunde niet voor te stellen als een saaie en droge materie, maar wel als een levende en boeiende wetenschap waarmee je overal rondom je te
4maken hebt. Wiskunde in de realiteit dus.
Zoals je kunt zien bij de tandwielen op deze foto is elk onderdeeltje noodzakelijk om tot een degelijk resultaat te komen.
3.1 Gelijkvormigheden, evenredigheden en schaal > 60 3.2 Gelijkvormige driehoeken > 61 3.3 Gelijkvormigheidskenmerken voor driehoeken > 62
inhoud
5
Proe
fexe
mpla
ar
6
Proe
fexe
mpla
ar
1.1 Evenwijdigeprojecie > 9
1.1.1 Inleiding > 9 1.1.2 beeld van een punt > 10 1.1.3 beeld van een lijnstuk > 10 1.1.4 beeld van een rechte > 10 1.1.5 beeld van een vlakke figuur > 10 1.1.6 behoud eigenschappen > 10 1.1.7 De loodrechte projectie > 10 1.1.8 Verband tussen de lengte van een lijnstuk en de lengte van de loodrchte projectie van het lijnstuk > 11
1.2 StellingvanThales > 12
1.2.1 Instap > 12 1.2.2 omgekeerde stelling van Thales > 13 1.3.3 Toepassingen op de stelling van Thales > 15 1.2.3.1 Een gegeven lijnstuk in een gelijk aantal delen verdelen > 15 1.2.3.2 Een lijnstuk verdelen in 2 lijnstukken die evenredig zijn met 2 gegeven lijnstukken > 16 1.2.3.3 De vierde evenredige construeren > 15 1.2.3.4 De stelling van Thales en het behoud van de ijk > 15 1.2.3.5 bijzonder geval van de stelling van Thales en het behoud van de ijk > 15 1.2.3.6 Thales in de ruimte > 15
1.3 Samenvatting > 17
1.4 Oefeningen > 18
Evenwijdige projectie en de stelling
van Thales
7
1
Proe
fexe
mpla
ar
transformaties
beeld
8
Evenwijdigeprojectieen1 destellingvanThales
1.1) Evenwijdigeprojectie
1.1.1Inleiding
Je maakte reeds kennis met een aantal transformaties van het vlak. bij een spiegeling, verschui-
ving, draaiing en puntspiegeling heeft elk element juist één beeld. het zijn transformaties van het
vlak die bovendien de grootte van een hoek, de lengte, de oppervlakte en de vorm van een figuur
behouden.
Deze drie
voorbeelden
illustreren
hoe je van
een voorwerp
een beeld
kunt maken.
De voorwerpen worden geprojecteerd. Telkens heb je een aantal elementen nodig:
een voorwerp dat geprojecteerd wordt,
de richting volgens welke je projecteert en
het vlak waarop je projecteert.
ook in de vlakke meetkunde kunnen we punten, rechten en vlakke figuren projecteren.Proe
fexe
mpla
ar
9
Deel 1 evenwijdige projectie en de stelling van Thales
projectieas
projectierichting
parallelprojectie
1.1.2Beeldvaneenpunt
Voorbeeld:
Y
X
M
Z
b
a
beschouwen we in het vlak twee rechten
a en b (a //\ b) en de punten X, Y en Z.
We kunnen het beeld van een punt zoeken door dit punt te prjecteren, evenwijdig met b en op a.
Daarvoor tekenen we door dit punt X een evenwijdige met b tot deze rechte a snijdt in X'.
het punt X' is het beeld van X door de projectie p. We noteren dit als volgt: pba (X) = X'
b
Y
Y’
X
X’M
M’
Z’
Z
a
hierbij noemen we a de projectieas of
drager en b de projectierichting.
Merk op dat elk punt van p juist één beeld
heeft, want:
- door een punt kan je maar één
evenwijdige tekenen met een
gegeven rechte b;
- deze rechte heeft juist één snijpunt
met a, want b //\ a.
Een evenwijdige projectie (parallelprojec-
tie) is dus een transformatie van het vlak.
Merk op:
Punten van de rechte a waarop we projecteren hebben zichzelf als projectie.
b
b
X XX : X X
: X’ X’ XX’a pa p met a en b a b6
6
' (g
!
!
=
=a
a
_ __i ii
Proe
fexe
mpla
ar
10
1.1.3Beeldvaneenlijnstuk
We onderzoeken het beeld van een lijnstuk [ab] door een evenwijdige projectie pba.
Er zijn twee mogelijkheden:
ab //\ b ab // b
b
a
A
B
A’ B’
b
a
B
A
A’ = B’
pba ([ab]) = [a'b'] pb
a ([ab]) = a' = b'
In dit geval is het beeld van een lijnstuk
opnieuw een lijnstuk
In dit geval is het beeld van een lijnstuk een
punt.
als je |ab| vergelijkt met |a'b'| dan merk je dat de evenwijdige projectie een transformatie is van
p die niet altijd de afstand bewaart. Dit in tegenstelling met andere transformaties zoals verschui-
vingen, spiegelingen, draaiingen en puntspiegelingen.
b
a
A
BC E
F
A’ B’ C’ D’
E
E’ F’
We stellen vast dat
• |a'b'| Œ |ab|
• |C'D'| = |CD|
• |E'F'| Õ |EF|
Eigenschap:
Elke parallelprojectie bewaart de lengte van een lijnstuk als het lijnstuk evenwijdig is met de
rechte waarop men projecteert.Proe
fexe
mpla
ar
11
Deel 1 evenwijdige projectie en de stelling van Thales
1.1.4Beeldvaneenrechte
We onderzoeken het beeld van een rechte x door een evenwijdige projectie pba.
ook hier zijn er twee mogelijkheden:
x //\ b x // b
b b
a a
x
x
A’
CD
E
AB = B’ C’ D’ E’
X
Y
Z
X’
U
b b
a a
x
x
A’
CD
E
AB = B’ C’ D’ E’
X
Y
Z
X’
U
pba (x) = a pb
a (x) = X' met X' C a en X' C x
In dit geval is het beeld van een rechte de
projectieas.
In dit geval is het beeld het snijpunt van
x en a.
Algemeen: de projectie van een rechte die niet evenwijdig is met de projectierichting is opnieuw
een rechte.
1.1.5Beeldvaneenvlakkefiguur
om een vlakke figuur te projecteren op een rechte, projecteer je eigenlijk elk punt van die figuur
op die rechte.
Voorbeelden:
a
Ab
C
B
A’ C’
P Q
S R
S’ Q’ U’T’
c
T
UO
Besluit: het beeld van elke bovenstaande figuur is een lijnstuk gelegen op de projectieas a.
Proe
fexe
mpla
ar
12
1.1.6Behoudeigenschappen
Stelling:
De evenwijdige projectie behoudt de gelijke grootte van evenwijdige lijnstukken.
Gegeven: ab // CD, |ab| = |CD|
pba [ab] = [a'b']
pba [CD] = [C'D']
Te bewijzen: |a'b'| = |C'D'|
b
A
B
C
D
A’ B’
B’’
C’ D’
D’’
a
Bewijs: Construeer de lijnstukken [a'b''] // [ab] en [C'D''] // [CD] zodat de
parallellogrammen abb''a' en CDD"C' ontstaan.
In D a'b''b' en D C'D''D' geldt:
| A’Y | = | B’Y| (overeenkomstige hoeken bij a'b'' // C'D'' en snijlijn a)
4 |a'b''| = |C'D''| (|a'b''| = |ab| = |CD| = |C'D''|) ⇒ D a'b''b' ≅ D C'D''D'
| B’Y| = |D’Y| (overeenkomstige hoeken bij bb' // DD' en snijlijn a) L
overeenkomstige
zijden in congruente
driehoeken |a'b''| = |C'D''|
gevolg:
als evenwijdige rechten aan een snijlijn lijstukken met dezelfde lengte afsnijden, dan snijden
ze ook lijnstukken met dezelfde lengte af van elke andere snijlijn.
Figuur:
|ab| = |CD|
L�A
BC
D
A’ B’ C’ D’
A”
B”
C”
D”
|a'b'| = |C'D'|
L
|a''b''| = |C''D''|
Proe
fexe
mpla
ar
13
Deel 1 evenwijdige projectie en de stelling van Thales
1.1.7Deloodrechteprojectie
De loodrechte projectie is de projectie waarbijde projectierichting loodrecht staat op de projectieas.
a
A
B
C
S
P
Q
R
F G
G’F’Q’S’B’A’
b
We zeggen: de loodrechte van een punt X op de rechte a is het voetpunt X' van de loodlijn uit C op
a.
De orthogonale projectie is een bijzonder geval van de parallelprojectie.
bijgevolg bewaart elke orthogonale projectie de lengte van een lijnstuk als dit lijnstuk evenwijdig
15 teken een lijnstuk [AB] van 12 cm. Bepaal P op [AB] zodat PBAP
= 35.
Proe
fexe
mpla
ar
28
16 het lijnstuk [AB] is gegeven met |AB| = 9 cm.
A
B
Bepaal het punt X op de rechte AB zodat
XBXA
25=
Bereken |XA| en |XB|. Zijn er meerdere oplossingen?
17 het lijnstuk [AB] is gegeven. Bepaal op AB de punten m, N en P zodat
a BMAB
= 43 b AN
AB = 4
3 c APBP
= 43
A
B
Proe
fexe
mpla
ar
29
Deel 1 evenwijdige projectie en de stelling van Thales
18 Als het snijpunt van 2 geijkte rechten a en b abscis 0 heeft voor beide rechten, dan zal elke rechte die twee punten met een zelfde abscis verbindt, evenwijdig zijn met de rechte door de punten met abscis 1.
maak een duidelijke tekening die deze uitspraak staaft.
19 a
Q
2,3
A
P
C
B
7,4 6,8
x
QP
A
C
B
x5
8
x+2
b
Proe
fexe
mpla
ar
30
20 a verdeel een lijnstuk [AB] van 8 cm in drie even lange delen.
b verdeel een lijnstuk [AB] van 13 cm in zeven even lange delen.
21 a teken een reële getallenas. Plaats daarop een ijk.
b Plaats op deze getallenas de punten met abscis , , , , .31
41
67
513
38– – 0
Proe
fexe
mpla
ar
31
Deel 1 evenwijdige projectie en de stelling van Thales
22 gegeven zijn drie lijnstukken:
|AB| = a cm
|CD| = b cm
A BC DE F
|EF| = c cm
a Construeer een lijnstuk [XY] met
|XY| = x cm en waarbij x de vierde
evenredige is tot a, b en c.
b Construeer een lijnstuk [ZU] met
|ZU| = z cm waarbij z de derde
evenredige is tot a en c.
A B
C
D’
P
A’ B’
C’
Dx
Q
T
4 cm
8 cm
6 cm
23 De hiernaast afgebeelde figuur is een afgeknotte piramide. Bereken de onbekende hoogte x = |PQ|.