Produto Interno no Plano Produto Interno e Norma Ortogonaliza¸c˜ ao Produto Interno Prof. M´ arcio Nascimento [email protected]Universidade Estadual Vale do Acara´ u Centro de Ciˆ encias Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matem´ atica Disciplina: ´ Algebra Linear - 2015.1 19 de agosto de 2015 1 / 28
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Produto Interno - MatemáticaUVAmatematicauva.org/.../05/aula_13...produto_interno.pdf · Produto Interno no PlanoProduto Interno e NormaOrtogonaliza˘c~ao Vamos estender a ideia
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Produto Interno no Plano Produto Interno e Norma Ortogonalizacao
Produto Interno no Plano Produto Interno e Norma Ortogonalizacao
Vamos estender a ideia da operacao 〈v ,w〉 do R2 para um espacovetorial qualquer.
Definicao - Produto Interno
Seja E um espaco vetorial. Um produto interno sobre E e umfuncional bilinear simetrico e positivo em E . Em outras palavras: euma funcao f : E × E −→ R que a cada par de vetores u, v ∈ Eassocia o numero real 〈u, v〉 de modo que sejam validas:
Comutativade ou Simetria: 〈u, v〉 = 〈v , u〉Positividade: 〈u, u〉 ≥ 0 e a igualdade ocorre somente
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Produto Interno em um espaco vetorial qualquer
Seja E um espaco vetorial de dimensao n e B = {u1, u2, ..., un}uma base para E . Entao dados u, v ∈ E , temos:
u = α1u1 + α2u2 + ...+ αnun
v = β1u1 + β2u2 + ...+ βnun
Defina〈u, v〉 = α1.β1 + α2.β2 + ...+ αn.βn
Mostre que, de fato, tem-se um produto interno.
Consequentemente, ‖u‖ =√α2
1 + α22 + ...+ α2
n e umanorma.
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Vetores Ortogonais
Seja E um espaco vetorial com produto interno. Dois vetores u, vsao ditos ortogonais (ou perpendiculares) quando 〈u, v〉 = 0.Escreve-se, entao, u ⊥ v .
Exemplo: Considerando a base canonica de R2×2 e o produtointerno definido como citado anteriormente, as matrizes
A =
[3 02 1
]e B =
[−2 42 2
]sao ortogonais pois 〈A,B〉 = 0.
Observacao: O vetor nulo de um espaco vetorial E e sempreortogonal a qualquer vetor v ∈ E .
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Conjunto Ortogonal
Seja E um espaco vetorial com produto interno. Um conjuntoX ⊂ E e dito ortogonal quando dois vetores distintos quaisquer deX sao ortogonais.
Exemplo: A base canonica de Rn (se considerarmos oproduto interno definido a partir desta base) e um conjuntoortogonal: 〈ei , ej〉 = 0 e 〈ei , ei 〉 6= 0
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Conjunto Ortonormal
Seja E um espaco vetorial com produto interno. Um conjuntoX ⊂ E e dito ortonormal quando, alem de ortogonal, todos osvetores de X sao unitarios.
Exemplo: A base canonica de Rn (se considerarmos oproduto interno definido a partir desta base) e um conjuntoortonormal: 〈ei , ej〉 = 0 e 〈ei , ei 〉 = ‖ei‖2 = 1. Tambempodemos chama-la de Base Ortonormal.
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TEOREMA
Seja E um espaco vetorial com produto interno. Se e X umconjunto ortogonal de vetores nao nulos, entao X e um conjuntoLI.
Prova Seja X = {v1, v2, ..., vr} um conjunto ortogonal em E .Tomemos uma combinacao linear
α1v1 + α2v2 + ...+ αrvr =−→0
Fazendo o produto interno em ambos os membros com ovetor v1, teremos: