PROCESSI DI LEVY IN FINANZALuca Amadio September 30, 2010
IntroduzioneE possibile modellizzare con formule matematiche landamento del prezzo di un titolo nanziario, per poi poterne identicare il prezzo esatto? Che relazioni esistono tra titoli nanziari diversi ma correlati fra loro? Come si pu` quanticare il rischio di un investimento? o Questi furono i fondamentali quesiti che si posero i maggiori economisti nanziari, come ad esempio Merton, Black e Scholes negli ultimi decenni del 900, applicando a questo problema conoscenze in scienze matematiche, siche e statistiche. Le teorie da loro sviluppate hanno fatto evolvere il mondo della nanza in una scienza sociale ma esatta, strutturata intorno ad un sistema rigoroso di ipotesi ed assunti vericabili. Nel 1973 Black e Scholes pubblicarono un articolo che risolveva il problema del prezzo esatto del titolo nanziario derivato chiamato opzione, aprendo una nuova intera area della matematica applicata. Considerate alcune ipotesi di partenza riguardanti i mercati nanziari e stimati i parametri di riferimento, il modello da loro sviluppato forniva, attraverso la risoluzione di unequazione (equazione e formula di Black e Scholes), direttamente il prezzo esatto dellopzione considerata, stabilendo anche cosa si dovesse intendere per esatto. Un modello di prezzaggio cos` denito non sempre pu` essere uti o lizzato nella realt`, ad esempio a causa dellirrazionalit` che gli operatori a a possono avere, oppure per via di errate stime dei parametri. Comunque il modello di Black e Scholes divenne presto uno strumento fodamentale per la totalit` degli operatori nanziari. a Quello che per` molti non considerarono fu il fatto che i mercati nanziari o sono delle entit` in continuo divenire; ogni nuova teoria, informazione o teca nologia che modernizza il modo di operare in nanza, dopo un certo periodo di assestamento, viene assimilata dal mercato e quindi va a modicare le sue dinamiche. Pertanto accadde che le ipotesi su cui si basa il modello non fossero pi` vericate nei mercati reali, e quindi si arriv` a casi reali in cui il u o prezzo fornito dal modello non era utilizzabile, nonostante venisse comunque applicato. Il caso del colossale crack del fondo di investimento LTCM ` un e esempio In seguito alle teorie di Black e Scholes si svilupparono allora ulteriori modelli, i quali si basano sulle teorie precedenti ma ognuno con dierenti ipotesi e caratteristiche. Uno di questi ` il modello jump diusion di Merton, il quale e contraddice alcune ipotesi su cui si basano Black e Scholes e ne limitano lecacia. Il modello di Merton ` parte di una pi` larga famiglia di modelli, e u detti modelli di Lvy. In questa tesi si discuter` di questa famiglia di modelli e a soprattutto attraverso lesempio del modello di Merton. 1
Black e Scholes ebbero il grande merito di dare un nuovo impulso alla matematica ninziaria; in riconoscenza di questo ricevettero nel 1997, insieme a Merton, il premio Nobel per leconomia.
Il primo capitolo di questa tesi riguarda il modello di Black e Scholes: si vedr` come si costruisce tale modello, le ipotesi su cui si basa, come si riota tiene sia il risultato analitico di Black e Scholes sia come si possono introdurre degli utili approcci numerici alla soluzione di questo modello. Nel secondo capitolo si introduce il processo L`vy; si descriveranno le dee bolezze del modello di Black e Scholes, il modello di Merton e le implementazioni con Montecarlo e con lequazione alle derivate parziali del prezzaggio di unopzione. Nel terzo capitolo si presenter la teoria di prezzazione di opzioni tramite la a trasformata di Fourier sia per il modello Black e Scholes che per quello di Merton. Inne due appendici, una di richiamo alle trasformate di Fourier ed una di richiamo alla funzione caratteristica, seguono il capitolo nale delle conclusioni.
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Contents1 Il modello di Black e Scholes 1.1 Processo stocastico e ltrazioni . . . . . . . . . . . . . 1.2 Moti Browniani standard o processo di Wiener . . . . . 1.2.1 Moto browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Moto geometrico Browniano . . . . . . . . . . . 1.3 Modello di mercato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Le opzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Prezzazione di un opzione con il modello B&S analitico 1.6 Il modello di Black e Scholes con il metodo Montecarlo 1.7 Implementazione del modello di Black e Scholes . . . . 2 I modelli di Lvy e 2.1 I limiti del modello di Black&Scholes . 2.2 Denizione di un modello di tipo Lvy e 2.3 I processi di Poisson . . . . . . . . . . 2.4 Formula di L`vy-Khinchine . . . . . . e 2.5 Modello di Merton . . . . . . . . . . . 2.6 Prezzazione di unopzione tramite PDE 2.7 Metodo Montecarlo per Merton . . . . 2.8 Implementazione del Merton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 5 7 9 9 10 12 13 18 18 19 20 23 24 27 30 31
. . . . . . . . . . nel . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . modello di Merton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 La trasformata di Fourier come prezzazione di opzioni 37 3.1 Il modello B&S con la trasformata di Fourier . . . . . . . . . 37 3.2 Il modello JD di Merton con la trasformata di Fourier . . . . . 40 4 Conclusioni A La trasformata di Fourier B La funzione caratteristica Bibliograa 42 43 45 46
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Il modello di Black e Scholes
Questo capitolo riassume la costruzione e la denizione del modello di Black e Scholes, dora in avanti indicato come B&S, per la prezzazione di opzioni su un sottostante azionario. Il capitolo prende in considerazione le ipotesi su cui si basa il modello ed arriva a descrivere alcune tecniche di calcolo per la soluzione analitica e numerica di questo modello: la risoluzione dell equazione dierenziale stocastica e dellequazione alle derivate parziali(PDE) associata e il metodo Montecarlo.
1.1
Processo stocastico e ltrazioni
Il modello del prezzo del sottostante azionario ` un processo stocastico. Si e consideri un orizzonte temporale T ssato. Si denir` ora il modello probaa bilistico che verr` usato per denire tale processo stocastico. Sia linsieme a degli eventi elementari , allora un modello probabilistico ` denito dalla e terna (, F, P), dove F ` una -algebra, cio` una famiglia di sottoinsiemi di e e chiusa, contenente tutti gli insiemi di eventi di che si vuole considerare, mentre P ` una misura di probabilit` denita su F. e a Il modello deve essere compatibile con due gruppi di assiomi, per F e per P. ASSIOMI PER F: 1. F 2. Se A F A F 3. Se A1 . . . An F n Aj F j=1 dove A indica il complementare dellevento A. Quando n ` nito, questo e rende F una algebra, per n = si assume invece che F sia una algebra. ASSIOMI PER LA PROBABILITA P: 1. P (A) 0 2. P (A B) = P (A) + P (B) 3. P () = 1 Per introdurre la denizione di processo stocastico, si denisce ora la ltrazione F come una famiglia non decrescente F = (Ft , 0 t T ) di una sotto--algebra di F, tale che: Fo Ft Fs FT 4 per 0 t s T ; (1) seA B = 0
Ft rappresenta linformazione progressa e attuale conoscibile al tempo t, mentre la ltrazione F rappresenta linformazione lungo levolversi del tempo. A questo punto si pu` aggiuge al modello probabilistico una ltrazione nell o arco temporale tra t = 0 e t = T . In generale, si assume che il modello probabilistico ltrato (,P, F,F) soddis le seguenti condizioni: F ` completo, cio` per ogni evento B A F tale che P (A) = 0, e e allora anche B F Fo contiene le probabilit` nulle dellinsieme , cio` al tempo iniziale a e t = 0 si conoscono gli eventi che possono accadere nellimmediato futuro
Si pu` ora denire un processo stocastico, X = {Xt , 0 t T }, come una o famiglia di variabili casuali denite su un modello di probabilit` completo a e e (,F, P) adattata ad una ltrazione F, cio` per il quale ogni Xt ` misurabile su Ft .
1.2
Moti Browniani standard o processo di Wiener
Seguono ora due esempi di processi stocastici. 1.2.1 Moto browniano
La distribuzione normale N (, 2 ) per una variabile casuale x, con media e varianza 2 , ` una delle pi` importanti distribuzioni statistiche. e u La sua funzione di densit` `: ae fN (x; , 2 ) = 1 2 2 exp( (x )2 ) 2 2 (2)
La funzione caratteristica di una variabile casuale consiste in una trasformata di Fourier della sua distribuzione (la denizione delle trasformate di Fourier si pu` trovare nellAppendice A). La funzione caratteristica della distribuzione o normale ` data da: e 1 N (u; , 2 ) = exp(iu) exp( 2 u2 ) 2 (3)
Un processo stocastico {W = Wt , t 0} ` un processo di Wiener o moto e browniano standard su un modello probabilistico (,F, P) adattato ad una ltrazione F = {Ft , 0 t T } se: 5
Figure 1: Esempio di un cammino di un moto browniano standard con = 0 e = 0, 3 W0 = 0 W ha incrementi indipendenti, il che implica che sia un processo Markoviano, cio` che la miglior rappresentazione di previsione del futuro il e e valore presente W ha incrementi Wt+s Wt stazionari Wt+s Wt ` normalmente distribuito con media 0 e varianza s > 0 : e Wt+s Wt N (0, s)
Una caratteristica rilevante del moto browniano standard ` quella di ese sere uno degli esempi pi` semplici di martigala, cio` un processo per il quale u e vale che:
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per ogni 0 t s, si ha
E[Ws |Ft ] = E[Ws |Wt ] = Wt
(4)
dove E[.|A] indica loperatore di aspettazione condizionata ad A. In Figura (1) si riporta un campione di un processo di Wiener, ottenuto in Matlab. 1.2.2 Moto geometrico Browniano
Il moto geometrico browniano ` il processo che viene utilizzato nel modello e di B&S ed anche nella letteratura nanziaria tradizionale per molti prezzi dei titoli. Si considera levoluzione temporale del prezzo di un titolo S = {St , t o}. E economicamente ragionevole aspettarsi che il rendimento di questo titolo sia diviso in due componenti, una deterministica ed una casuale. Per quanto riguarda la parte deterministica, ci si aspetta che lincremento di prezzo sia proporzionale al periodo di tempo che si considera t e al rendimento medio , detto anche drift, che il titolo ha espresso nel passato, quindi si ha S = St t. Per la parte casuale ` ragionevole assumere che la varianza dei rendimenti e S/S, V ar[S/S], sia proporzionale alla lunghezza dellintervallo di tempo considerato con costante di proporzionalit` che rappresenta lampiezza delle a uttuazioni che il prezzo pu` subire, quindi V ar[S/S] = t. Per la parte o casuale, il ritorno si pone quindi proporzionale allincremento di un processo di Wiener: S = Wt . St Mettendo tutto insieme si ha: St = St (t + Wt ), S0 > 0 (5)
dove S0 ` il valore iniziale del processo St . Partendo da un valore positivo, e tale processo rimane positivo no a T. Facendo il limite per t 0, si arriva allequazione dierenziale stocastica (SDE): dSt = St (dt + dWt ), S0 > 0 (6) Per trovare la soluzione di tale equazione si sfrutta il lemma di Ito. La soluzione `: e 1 St = S0 exp(( 2 )t + Wt ) 2 7 (7)
Figure 2: Esempio di un cammino di un moto geometrico browniano con valore iniziale S0 = 100, media = 0 e varianza = 0, 3 che in logaritmi diventa: ln( 1 St ) = ( 2 )t + Wt S0 2 (8)
St Si noti che dalla (8) si pu` aermare che i log-ritorni ln( S0 ) = ln(St ) o ln(S0 ), cio` le dierenze di log-prezzi lnS, hanno una distribuzione normale e N (( 1 2 )t, 2 t) e perci` St ha una distribuzione log-normale. Questo o 2 perch`, come visto prima, Wt ha una distribuzione normale N (0, 1). e
In Figura (2) si riporta un campione di un moto geometrico browniano.
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1.3
Modello di mercato
Il mercato su cui si vuole applicare il modello di B&S deve possedere alcune caretteristiche: il prezzo dellazione St ` modellato da un moto geometrico browniano, e come nell equazione (7)
1 St = S0 exp(( 2 )t + Wt ) 2 con una SDE analoga allequazione (6).
(9)
il prezzo di un titolo privo di rischio, come un obbligazione Bt , ` modele lato da: Bt = exp(rt) (10)
dove r ` il tasso di rendimento ed ` costante nel tempo t. Lequazione e e dinamica di Bt `, quindi, lequazione deterministica: e dBt = rBdt E possibile sia vendere allo scoperto sia indebitarsi Non vi sono costi di gestione Assenza di arbitaggio: Non esiste la possibilit` di speculazione, ovvero di acquistare e rivendere a titoli nel mercato ricavandone un guadagno privo di rischio. Profondit` e liquidit`: a a ogni titolo pu` essere comprato e venduto in ogni istante e in ogni o quantit`. a
(11)
In questo mercato, oltre al titolo azionario di prezzo St ed al titolo obbligazionario di prezzo Bt , viene trattata unopzione di prezzo ft .
1.4
Le opzioni
In questo paragrafo si introduce il concetto di opzione nanziaria. Unopzione ` un particolare tipo di titolo derivato con il quale una delle due parti ha la e facolt`, ma non lobbligo, di acquistare o vendere un particolare sottostante a St ad una specica data futura T e ad un prezzo prestabilito K, detto strike. Per poter usufruire di questa facolt` si paga un premio f0 al tempo iniziale a t = 0, detto prezzo dellopzione. In questa tesi si prendono in esame le 9
opzioni call (acquisto) e put (vendita). Si suppone quindi che un individuo A venda allindividuo B una CALL su unazione S con strike K ad un prezzo f0 . Tale call ` esercitabile al tempo e T. Con questo contratto quindi lindividuo B acquista la possibilit`, ma non a lobbligo, di comprare in T lazione S, cio` il sottostante, ad un prezzo strike e gi` ssato K, indipendentemente dal valore che avr` lazione, pagando per` a a o per questo diritto un premio iniziale f0 . Naturalmente lindividuo B eserciter` il suo diritto di acquisto del sottostante a solo nel caso in cui il prezzo dellazione St in t = T dopo un anno sia maggiore del prezzo strike K. Al tempo nale, t = T , quello che potr` guadagnare lindividuo B, come si a vede anche dalla Figura (3), ` rappresentato dal claim (o payo) della call: e C(ST ) = max(ST K, 0) (12)
Nel caso in cui, invece, B acquista unopzione put da A, allora allo scadere dellanno B potr` scegliere se vendere o meno lazione sottostante S al prezzo a strike ssato. Quindi per una put il claim sar` linverso: a C(st ) = max(K St , 0) (13)
Loggetto fondamentale della seguente analisi nanziaria ` quello di indivie duare il valore razionale del premio f0 dell opzione scritta su un sottostante che segue o un moto geometrico browniano o processi pi` complicati. u Il prezzo di queste opzioni verr` trovato in ipotesi di assenza di arbritaggio. Si a pu` mostrare che in tali condizioni di mercato, si pu` considerare il teorema o o di Gisanov, il quale dimostra che esiste una nuova misura di probabilit` Q a diversa da P , chiamata misura neutra al rischio, sotto la quale levoluzione del prezzo St scontato col titolo Bt segue ancora un processo browniano geometrico, ma ha in pi` anche la propriet` di martigalit`. Il processo del u a a prezzo nel mondo neutro al rischio, dove la probabilit` del Wiener ` Q, a e ha come drift il tasso r neutro al rischio, ovvero il tasso obbligazionario di mercato, quindi diventa: 1 St = S0 exp((r 2 )t + Wt ) 2 (14)
1.5
Prezzazione di un opzione con il modello B&S analitico
Sotto Q, tutti i prezzi scontati sono martingale, incluso quello dellopzione. Quindi il valore del premio ft da pagare in t di un claim con payo C(ST ) ` e 10
Figure 3: Payo di unopzione Call dato da: ft = exp((T t)r)EQ [C(ST )|Ft ], t [0, T ] (15) sfruttando il fatto che ft /Bt = ft e(T t)r ` una martingala. e Ponendo t = 0 nella precedente si ha: f0 = exp(rT )EQ [C(ST )] 1 = exp(rT )EQ [C(S0 exp((r 2 )T + WT ))] 2 1 = exp(rT ) C(S0 exp((r 2 )T + x)fN (x; , 2 )dx (16) 2 Se la funzione C(ST ) ` sucientemente integrabile, questo prezzo si pu` ane o che ottenere come soluzione ft = f (t, St ) dellequazione alle derivate parziali
11
(PDE) di Black e Scholes: f (t, St ) 2 S 2 2 f (t, S) f (t, S) + rS = 0 + rS 2 t 2 S S (17)
con la condizione a contorno che al tempo nale il valore della call sia uguale al claim: f (T, ST ) = C(ST ) (18) ft ` quindi una funzione deterministica dell argomento St e quindi applie cabile anche alla variabile stocastica St . La soluzione dellequazione (17) e (18) ` data dalla formula di Black e Scholes: e f0 = f (S0 , t = 0)|K,r,T, = S0 N (d1 ) k exp(rT )N (d2 ) dove: ln( S0 ) + (r + K d1 = t ln( S0 ) + (r K d2 = t2 )T 2 2 )T 2
(19)
(20) (21)
= d1 T
Qui N (x) ` la funzione di distribuzione di probabilit` cumulativa per una e a variabile distribuita normalmente(N(0,1)), cio`: e N (x) = 1 fN (x : 0, 1)dx = 2 x x
exp(
x 2 )dx 2
(22)
Per calcolare il valore numerico dell opzione dalla formula (19) si user` Mata lab.
1.6
Il modello di Black e Scholes con il metodo Montecarlo
Il metodo Montecarlo si occupa di fornire una soluzione numerica senza usare la formula analitica di B&S nella valutazione dellaspettazione dellequazione (15). Si ` visto che attraverso il concetto di martingala, il prezzo di unopzione e pu` essere rappresentato come unaspettazione su una misura di probabilit` o a Q neutra al rischio. In genere, una aspettazione pu` essere valutata numerio camente con la media campionaria: E[X] = X 1 NN
xii=1
(23)
12
dove N ` il numero di prove eettuate xi , realizzazioni di X. e Nel caso di unopzione call si calcola laspettazione sul valore del claim scontato, cio`: e f0 = f (S0 , t0 = 0) = E[ert
C(ST )]
ert N
N
cii=1
(24)
dove la ci sono N realizzazioni del claim ottenute simulando unandamento del sottostante S, N volte. Il problema principale di questo metodo ` quello di ottenere N simulazioni di e ST , in modo tale che N sia sucientemente grande da far diventare la media campionaria X un buono stimatore dellaspettazione. In genere, limplementazione di un metodo di Montecarlo ` composta dai e seguenti passi: Si simula un cammino temporale per Wt e quindi per il sottostante S(t, Wt ) nel mondo neutrale al rischio Q Si calcola il valore del claim C(ST ) al tempo nale T Si simula una collezione di N cammini che forniscono N valori nali del claim C(ST ) Si stima, come valore atteso dell opzione EQ [C(ST )], la media aritmetica dei valori ottenuti Si determina il valore attuale (t=0) dellopzione scontando il valore nale T con il fattore erT
Operativamente occorrono non troppi cammini per ottenere una buona stima EQ [C(ST )].
1.7
Implementazione del modello di Black e Scholes
Si riporta ora il codice della funzione Black Scholes scritto in MatLab per implementare il modello per un opzione CALL su un titolo sottostante S sia con il metodo Montecarlo sia con il metodo analitico . ******************************************************* function Black_Scholes(m_intervalli,n_cammini)
13
% m_intervalli = numero di intervalli temporali in cui viene %diviso il tempo di vita del derivato % n_cammini = numero dei cammini usati nella simulazione % parametri assegnati : disp(tempo iniziale = 0.) disp(tempo finale = 1.) t_finale = 1 r = 0 % r = tasso di interesse deterministico val_attuale = 1 % val_attuale = quotazione attuale del titolo strike = 1.25 % strike = valore dello strike sigma = 0.3 % sigma = volatilit dellazione delta_t = t_finale/m_intervalli; % delta_t = lunghezza di ciascun intervallo temporale t = [0:delta_t:t_finale]; % t = vettore dei tempi s(1) = val_attuale; % s(1) = valore dellazione al tempo iniziale % s(i=1,...,m+1) = valore dellazione da t=0 a t=1 % si usa il ciclo "for" per simulare tutti i cammini sommatoria = 0; % inizializzazione a 0 della somma dei valori finali %dellazione per i vari cammini for j = 1:n_cammini for i = 1:m_intervalli % ciclo su tutti i cammini % ciclo sul singolo cammino
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s(i+1) = s(i) + r*s(i)*delta_t + s(i)*sigma*sqrt(delta_t)*randn; % discretizzazione dellequazione per s(t) nel mondo neutro al % rischio end; % fine del ciclo sul singolo cammino
s_finale(j) = s(m_intervalli+1); % s_finale = vettore per memorizzare i valori finali di ogni cammino sommatoria = sommatoria + max(s_finale(j) - strike , 0); % sommatoria = sommatoria su tutti i cammini dei valori finali % dellazione
end;
% fine del ciclo su tutti i cammini
aspettazione = sommatoria/n_cammini; % aspettazione = media dei valori finali di s nei vari cammini prezzo1 = exp(-r*t_finale)*aspettazione % prezzo1 = attualizzazione a t=0 , al tasso r deterministico , % dellaspettazione [call,put] = blsprice(val_attuale , strike , r , t_finale , sigma , 0); prezzo2 = call plot(t,s); ******************************************************* Questa funzione per essere eseguita deve ricevere i due parametri sul numero m di intervalli in cui si vuol dividere lorizzonte temporale e il numeri n di percorsi su cui fare la media. Dopo aver assegnato i rispettivi valori ad ognuno dei parametri, il codice implementa il metodo Montecarlo con luso di due cicli for. Prima viene calcolato il valore del titolo simulato con un moto browniano lungo lintervallo di tempo [0, 1]: (25) si+1 = si + rsi delta t + si delta t Yi ; dove Yi ` una variabile aleatoria, tale che Y N (0, 1). Viene poi salvato e il valore al tempo nale del titolo in sf inale(j) e con il secondo ciclo for si 15
ripete tutto lalgoritmo per il numero n di cammini desderato. A questo punto abbiamo un vettore con gli n valori nali del titolo e quindi n dierenti valori del claim: max(s f inale(j) k, 0). Allora si calcola il valore della media (laspettazione) del claim e si trova il prezzo della CALL attualizzandola al tasso deterministico r al tempo t = 0. E inoltre possibile confrontare il risultato per il prezzo della CALL ottenuto con questa simulazione numerica Montecarlo (prezzo 1), con il risultato analitico dato dalla formula di Black e Scholes (prezzo2) usando la funzione blsprice di MatLab. Si riportano ora nella seguente tabella i risultati dellimplementazione del B&S con il codice precedente. n. simulz. MONTECARLO ANALITICO 1 0,9746 0,9730 2 0,9504 0,9730 3 0,9584 0,9730 4 0,9621 0,9730 0,9446 0,9730 5 6 0,9416 0,9730 0,9473 0,9730 7 8 0,9649 0,9730 0,9587 0,9730 9 10 0,9629 0,9730 Table 1: Risultati di dieci simulazioni del codice Black Scholes con parametri: t nale = 1, n intervalli = 1000, m cammini = 1000, sigma = 0,5, val attuale = 1, media = 0, r = 5, S0 = 1, strike = 4.
Si tenta ora di migliora la precisione del modello, aumentando il numero di cammini simulati su cui calcolare la media.
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n. simulz. MONTECARLO ANALITICO 1 0,9716 0,9730 2 0,9572 0,9730 3 0,9550 0,9730 0,9695 0,9730 4 5 0,9494 0,9730 6 0,9554 0,9730 0,9599 0,9730 7 8 0,9626 0,9730 0,9698 0,9730 9 10 0,9728 0,9730 Table 2: Risultati di dieci simulazioni del codice Black Scholes con parametri: t nale = 1, n intervalli = 1000, m cammini = 5000, sigma = 0,5, val attuale = 1, media = 0, r = 5, S0 = 1, strike = 4.
Nella Tabella (1) si ` stimata una media degli eventi pari a 1 = 0, 95655 e ed una deviazione standard 1 = 0, 00979, mentre nella tabella (2) si ` ote tenuta una media degli eventi pari a 2 = 0, 96232 ed una standard 2 = 0, 0077. Si nota quindi come i valori della tabella (2) si sono maggiomente avvicinati al prezzo ottenuto con il metodo analitico, perci` aumentando il o numero delle simulazioni si migliorata la precisione del metodo Montecarlo. e
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2
I modelli di Lvy e
In questo capitolo si prender` in analisi un semplice processo del tipo Lvy a e e le sue propriet` generali, le sue dierenze col modello di B&S e i dierenti a metodi per usarlo nella stima di un opzione.
2.1
I limiti del modello di Black&Scholes
Un problema che si incontra nellutilizzo del modello di B&S ` dovuto al e fatto che nel mondo reale la distribuzione dei log-ritorni (8) dei vari titoli non ` perfettamente descritta dalla distribuzione normale, come invece prevede e lequazione (8). Si ricorda che data una variabile casuale X, la sua media ` denita come e x = E[X] e la deviazione standard come = var[X] = E[(X x )2 ]. Per poter quanticare lo scostamento dalla distribuzione normale ci si avvale di due misure statistiche: lasimmetria e la curtosi. Lasimmetria ` denita come il terzo momento in aspettazione diviso la terza e potenza della deviazione standard: E[(X x )3 ] var[X] 23
(26)
Se una distribuzione ` perfettamente simmetrica (come accade per la nore male) allora la sua asimmetria deve essere zero, mentre se la coda sinistra della distribuzione ` pi` spessa della destra lasimmetria ha un valore negae u tivo, positivo altrimenti. La curtosi, invece, ` una misura con la quale si pu` quanticare il grado e o di allontanamento che una distribuzione ha rispetto alla normale lungo le proprie code. E denita come il quarto momento in aspettazione diviso la quarta potenza della deviazione standard: E[(X x )4 ] var[X]2 (27)
La distribuzione normale ha un grado di curtosi pari a 3, un grado maggiore indica un inspessimento delle code, mentre un grado minore indica un anamento. Per rendere lidea di come si sono distribuiti i dati storici, si sono consultati i valori delle misure statistiche di un indice su uno dei maggiori mercati mondiali della borsa di New York, cio` lo S&P500. Nell arco di tempo che e va dal 1997 al 1999 si ` riscontrato: e 18
una media = 0, 0009 una deviazione standard = 0, 0119 una asimmetria pari a 0, 4409 una curtosi pari a 6, 94
Lasimmetria non ` 0 e la curtosi non ` 3, quindi tale distribuzione non ` e e e normale. Questo ovviamente ` soltanto un singolo esempio e non pu` essere preso e o come caratteristica generale dei mercati mondiali. Comunque in questo caso si pu osservare come la distribuzione dei dati storici del mercato abbia una o asimmetria negativa, quindi con la coda di sinistra pi` lunga della destra, e u un grado di curtosi maggiore di 3, quindi ha delle code pi` spesse rispetto u a quelle della distribuzione normale. Da queste osservazioni si evince che il modello di B&S tenda ha stimare male i dati reali La seconda imperfezione che si imputa al modello di B&S si riferisce alla sua ipotesi di base secondo cui la volatilit rimane costante lungo larco di a tempo preso in considerazione. Anche questo fatto pu` essere analizzato o tramite losservazione di dati storici da cui si ` notato come a periodi di e tempo con maggiori uttuazioni dei rendimenti corrisponda periodi di maggiore volatilit` e viceversa. a Quindi si pu` pensare di introdurre una dinamica per St diversa da quella del o moto geometrico browniano, nella speranza che la statistica di questa nuova dinamica si avvicini di pi` a quelli del mondo reale. u
2.2
Denizione di un modello di tipo Lvy e
Le novit` con cui un modello di tipo L`vy cerca di superare le imperfezioni a e del moto geometrico browniano stanno nel fatto che i log-rendimenti di un titolo possono eettuare dei salti in un dato istante (cosa che quelli del moto geometrico browniano non possono fare perch` legati al Wiener che ` cone e tinuo) e che magari la volatilit` segua a sua volta un processo stocastico. Di a questa ultima possibilit` non ci si occuper`. a a Denizione 2.1 (Processo di Lvy). Dato un modello di probabilit` le a trato (, F, P, F), allora un processo stocastico {Xt ; 0 t } ,con X0 = 0, ` detto di Lvy se : e e 1. Xt ha gli incrementi Xs Xt indipendenti per ogni 0 t s T . 19
2. Xt ha incrementi stazionari, cio` per ogni s, t 0 la distribuzione e Xt+s Xt non dipende da t. 3. Xt ` stocasticamente continuo, cio` per ogni > 0 , e e limh0 P(|Xt+h Xt | > ) = 0. La condizione (3) non implica pi` che i cammini del processo siano neu cessariamente continui. Il moto browniano, visto in precedenza, pu essere o allora considerato come un modello di Lvy in cui non ci sono i salti. e
2.3
I processi di Poisson
Come il moto browniano ` il processo base per il modello di B&S, i processi e di Poisson sono considerati il punto di partenza per costruire i processi di tipo Lvy. e
Si denisce una variabile casuale esponenziale come una variabile dotata di una distribuzione esponenziale con parametro > 0 con funzione densit`: a fE (t, ) = et 1t0 ,1 con valore atteso E[ ] = .
(28)
Si ricordi poi che la distribuzione di Poisson per una variabile intera M `: e M e fP (M ; ) = (29) M! Per costruire un processo di Poisson in [0, T ] si utilizza una realizzazione di M . Si vuol costruire un modello in cui un salto pu` accadere ad ogni istante, o tra 0 e T accadono M salti e il tempo tra due salti ` k . Le realizzazioni delle e variabili casuali k sono degli intervalli di tempo, tali che il primo evento accade al tempo 1 , il secondo dopo lintervallo di tempo 2 , e cosi via. ed hanno una distribuzione esponenziale. Il processo di Poisson Nt conta il numero di salti che avvengono nellintervallo di tempo da 0 a t:M
Nt =i=1
1 i
(30)
Pertanto il processo di Poisson ` denito come un processo di conteggio. e Come si nota dalla Figura (4) lampiezza del salto ` sempre di una unit` e gli e a incrementi sono sempre positivi, quindi il processo non pu` che salire ad ogni o salto. Queste limitazioni vengono risolte dal processo di Poisson composto. 20
Figure 4: Processo di Poisson con il parametro = 25 Denizione 2.2 (Processo di Poisson composto). Un processo di Poisson composto con parametro di intensit` > 0 e con distribuzione della a dimensione dei salti f ` un processo stocastico Xt denito come: eNt
Xt =i=1
Yi
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dove le dimensioni dei salti Yi sono variabili identiche ed indipendentemente distribuite (i.i.d.) con distribuzione f . Nt ` un processo di Poisson indipene dente da Yi . Dalla Figura (5), realizzazione di un processo di Poisson composto, si nota come ora i salti sono sia positivi sia negativi e di dierente dimensione. La distribuzione dei salti della gura ` una distribuzione normale. e
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Figure 5: Processo di Poisson composto con parametro intensit` = 25, a =0e=1 Si descrive, ora, un algoritmo per simulare un processo di Poisson tra 0 e T. Simulare una variabile casuale M dalla distribuzione di Poisson con parametro di intensit` T per ricavare il numero di salti che si vericano a nellintervallo [0, T ]. Simulare M variabili casuali Ui , i.i.d. e uniformemente distribuite nellintervallo [0, T ], corrispondenti agli istanti temporali in cui avvengono gli M salti. Simulare M variabili casuali Yi , i.i.d. con data distribuzione, per descrivere le dimensioni dei salti
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La traiettoria nale ` data da: eM
X(t) = bt +i=1
1Ui
