Processamento digital de sinais - chasqueweb.ufrgs.brvalner.brusamarello/dsp/aula3.pdf · Amostragem A maioria dos sinais de tempo discreto vem de amostragens de sinais contínuos

Processamento digital de sinaisELEMENTOS BÁSICOS DE DSP

AmostragemA maioria dos sinais de tempo discreto vem de amostragens de sinais contínuos no tempo.A/D – conversor analógico-digital – origina uma sequênciade sinais digitais, cuja amplitude é quantizada de acordo com a amplitude do sinal de entrada.

A quantização depende do número de bits e do intervalo de quantização.

D/A – conversor digital – analógico – reconstrói o sinal analógico a partir do sinal digital

AmostragemOs sinais discretos são formados pela amostragem periódica:O intervalo de amostragem Ts é o período de amostragem e fs= (1/ Ts) é a frequência de amostragem.Uma maneira de representar o processo de amostragem émultiplicar o sinal contínuo por um trem de impulsos

Os valores das amostras são indexados pela variável inteira n:

Amostragem

Os valores das amostras são indexados pela variável inteira n:

Efeito no domínio da frequênciaA transformada de δ[t-nTs] é e-jnΩT. Assim a TF do sinal amostrado Xs(t):

Ou considerando a sequência de impulsos e sua TF: ver próxima Transparência.

Veja que (Ω=2π/Ts) é a freq de amostragem.

Finalmente, a TFTD de x[n] é:

Comparando as equações, pode-se verificar que X(ejω) é uma versão de Xs(jΩ) escalada em frequência com a mudança de escala:

Transformada de Fourier de sinais periódicosPodemos construir a TF de um sinal periódico a partir de sua representação em SF. Considere um sinal x(t) com TF X(ω) com um impulso de área 2π em ω= ωo:Aplicando a TIF:

Mais genericamente se X(ω) tem a forma de uma combinação linear de impulsos, igualmente espaçados na frequência:Então aplicando:

Isso corresponde a representação da SF de um sinal periódico. Assim, a TF de um sinal periódico com coeficientes de SF ak pode ser interpretada como um trem de impulsos ocorrendo nas frequênciasharmônicas relacionadas para as quais a área do impulso na késimaharmônica de frequência kωo é 2π vezes o késimo coeficiente da SF.Ex.:

( ) ( )02X ω = πδ ω−ω

( ) ( )01 2

2j tx t e d

+∞ ω

−∞= πδ ω−ω ω

π ∫

( ) ( )02 kk

X a k+∞

=−∞

ω = π δ ω− ω∑

( ) ( ) ( ) 00

1 1 22 2

jk tj t j tk k

k kx t X e d a k e d a e

+∞ +∞+∞ +∞ ωω ω

−∞ −∞=−∞ =−∞

= ω ω = π δ ω− ω ω =π π ∑ ∑∫ ∫

( ) ( ) ( ) 02

2

1 1T jk tk T

kx t t kT coef. da SF a t e dt

T T

+∞ + − ω

−=−∞

= δ − ⇒ ⇒ = δ =∑ ∫( ) 2 2

k

kXT T

+∞

=−∞

π π⎛ ⎞⇒ ω = δ ω−⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

AMOSTRAGEM DE SINAIS ANALÓGICOS

∫

∫

∞

∞

Ω

∞

∞

Ω−

ΩΩ=

=Ω

Ω

-

-

)(21)(

)( )(

)( analógico sinal do (TFTC) contínuo tempodeFourier de daTransforma : )(

analógico Sinal : )(

dejXtx

dtetxjX

txjX

tx

tjaa

tjaa

a

a

a

π

EFEITO DA AMOSTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

a s

a

s a sn

j t j ts s a s- -

n

j ts a s

x n x t nT : Sinal discreto obtido por amostragem

do sinal analógico x t

x t x t t nT

X j x t e dt x t t nT e dt

X j x t t nT e

+∞

=−∞

+∞∞ ∞− Ω − Ω

∞ ∞=−∞

− Ω

≡ =

= δ −

⎡ ⎤Ω = = δ −⎢ ⎥

⎣ ⎦

Ω = δ −

∑

∑∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) !!!

s

s

-n

j t nTs a s s-

n

j t nT j n js a s s

n n

dt

X j x t nT e t nT dt

X j x t nT e x n e X e T

+∞ ∞

∞=−∞

+∞ ∞− Ω =

∞=−∞

+∞ +∞− Ω = − ω ω

=−∞ =−∞

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤Ω = = δ −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤Ω = = = ≡ ω = Ω⎣ ⎦⎣ ⎦

∑ ∫

∑ ∫

∑ ∑

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ))( de (TFTD)

discreto tempodeFourier de daTransforma :

1 , 22

onde , 22

22

nxeX

TFlFFXFXeX

TlTT

XT

XeX

lTT

XnTtFtxFX

nTttxFtxTFTCX

js

sl

ssassj

sl ss

as

sj

l ssa

nsas

nsass

ω

ω

ω

πωπ

ωπωπ

πδπδ

δ

=−=Ω=

Ω=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Ω=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Ω∗Ω=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−∗=Ω

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−==Ω

∑

∑

∑∑

∑

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

∞+

−∞=

+∞

−∞=

EFEITO DA AMOSTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA

AmostragemConsiderando xa(t) limitado em frequência, de modo que Xa(jΩ)=0 para |Ω|> Ω0: Se xa(t) for amostrado com uma

frequência de amostragem Ωs> 2Ω0, a TF do sinal xa(t) será replicada periodicamente:

Entretanto, se Ωs< 2Ω0, os espectros deslocados Xa(jΩ-jkΩs sobrepõe-se:

Essa sobreposição é chamada aliasing. E Ω0 é a freq. De Nyquista. Para evitar aliasing Ωs> 2Ω0

AMOSTRAGEM

x(n)

n

xa(t)

t

0 1 2 4

amostragem

TFTC

TFTD

amostragem

Xa(jΩ)A

Ω0-Ω0 Ω

X(e jω)2πA/Ts ω0 = Ω0Ts

ω

-Ω0Ts

Ts

π 2π-2π -π 0

0

O escalamento torna X(ejω) periódica com um período 2π

AliasingO Aliasing é uma ambiguidade que só existe com sinais discretos e não existe em sinais de tempo contínuo.

Nesse exemplo, a sequência pode representar duas senóidesde frequências diferentes.

AliasingConsidere um sinal senoidal de tempo contínuo

Amostrando x(t) a uma taxa de fs nos módulos 0ts, 1ts, 2ts, ...

Considerando a periodicidade do sinal:

Se m é um inteiro múltiplo de n, podemos fazer :

Considere um sinal senoidal de tempo contínuo

Ou seja, a sequência x[n] representando os valores amostrados de um seno de frequência f0, também representa senos de outras frequênciasf0+ kfs

Aliasing

É comum utilizar filtros passa-baixasdenominados “anti-alising” antes da entrada do sinal contínuo no AD.

AliasingOs efeitos qualitativos do aliasing podem ser percebidos nesta apresentaçào de áudio. Seis ondas dente-de-serra são tocadas. As primeiras duas dentes-de-serra tem a freqüência fundamental de 440 Hz (A4), as segundas duas ondas tem freqüência de 880 Hz (A5), e as últimas duas em 1760 Hz (A6). As ondas dente-se serra alternam entre (banlimited – non-aliased) e aliased. A taxa de amostragem é de 22.05 kHz. As ondas dente de serra de banda limitada são sintetizadas com séries de Fouries, de modo que não existem freqüências harmônicas acima da freqüência de Nyquist.

A distorção devido ao aliasing nas baixas freqüências fica óbvio com frequências fundamentais mais altas, e enquanto a onda dente-de-serra de banda limitada continua limpa em 1760 Hz, a onda dente de serra é degradada com buzzing audíveis em freqüências abaixo da fundamental.

Teorema da amostragem

Se xa(t) for limitado em faixa Xa(jΩ)=0 para |Ω|> Ω0, então xa(t) pode ser recuperado de forma única a partir de suas amostras xa(nTs) se

Ω0 é denomina frequência de Nyquist Ωs=taxa de Nyquist.

02 2s

sTπ

Ω = = Ω

Quantização e CodificaçãoUm quantizador é um sistema não linear e não invertível que transforma uma sequência de entrada x[n], com um intervalo contínuo de amplitudes em uma sequência na qual cada valor de x[n] assume um número finito de valores possíveis.

Um quantizador possui l+1 níveis de decisão e quando os intervalos de quantização são igualmente espaçados:

Onde ∆ é a resolução. Geralmente o número de níveis de um quantizador tem a forma: B+1 é o tamanho da palavra em bits. Erro de quantização:

QuantizaçãoO erro de quantização é geralmente considerado um ruído aditivo

Conversão Digital - AnalógicaSe o teorema da amostragem for obedecido, então o sinal contínuo pode ser reconstruído de forma única a partir das amostras. O processo envolve dois passos: conversão para impulsos e filtragem:

Conversão Digital - AnalógicaA saída do filtro é:

No domínio frequência: ou

O filtro apresentado é um Passa baixas ideal, o qual é impossível de ser implementado. Uma opção é a utilização de um ROZ (Retentor de ordem zero):

Conversão Digital - Analógica

Redução da taxa de amostragem por um fator inteiro

Fazemos e . Esse processo é chamado de down-sampling.A TFTD de x[n] e de x[nM]:

Redução da taxa de amostragem por um fator inteiro

Para se evitar o aliasing, a entrada x[n] deve ser filtrada antes da redução da de amostragem com um filtro passa-baixas de ωc=π/M

Aumento da taxa de amostragem por um fator inteiro

Se x[n]=xa[nTs], então para up-sampling:O up-sampler expande a escala de tempo por um fator L, acrescentando L-1 zeros a cada amostra de x[n]

No domínio frequência:

Ou seja, X(ejω) ésimplesmente escalada em frequência.

Aumento da taxa de amostragem por um fator inteiro

Um filtro passa baixas de frequência de corte ωc=π/L e ganho L faz a interpolação das amostras correspondentes aos múltiplos inteiros de L

Aumento da taxa de amostragem por um fator inteiro

No domínio da frequência:Sinal no tempo contínuoTFTD do sinal amostrado x[n]=Xa[nTs]TFTD da saída do up-samplerFiltro passa-baixasidealTFTD do sinal interpolado.

AMOSTRAGEM NO MATLAB

∑∑ ∆Ω−∆Ω− ∆=∆≈Ω

<<∆∆≡

m

tmjG

m

tmjGa

saG

G

emxttemxjX

Tttmxmx

mx

)()()(

)()(

)(

onde

analógico sinal um simula que discreto Sinal :