PROCESOS HURST Y MOVIMIENTO BROWNIANO FRACCIONAL EN MERCADOS FRACTALES: VALUACIN Y APLICACIONES A LOS DERIVADOS Y FINANZAS
TRABAJO PRESENTADO PORGuillermo Sierra Jurez Instituto Tecnolgico de Estudios Superiores de Monterrey Campus Ciudad de Mxico
R esu m enEl supuesto de independencia en la denici n del proceso estoc stico conocido como o a movimiento browniano y que es utilizado en la deducciones, modelaciones y resultados de nanzas tales como: la ecuaci n del Modelo Black-Scholes, la valuaci n de derivados, o o la curva de estructura de plazos, es cuestionado en el presente trabajo. La aplicaci n o de la metodolog (R/S) , proveniente de la teor de fractales, para la determinaci n de a a o coeciente Hurst(que mide el grado de independencia de una serie) , revelan para algunas variables y volatilidades representativas del mercado de M xico y Estados Unidos un e comportamiento m s bien de memoria larga. a El movimiento browniano fraccional (MBF) es un proceso m s general, que como un a caso particular contempla variables con caracter sticas de independencia y descritas con movimientos brownianos tradicionales. A partir de este nuevo proceso estoc stico y con a el uso de bases matem ticas m s generales constru a a das desde un espacio de Hilbert se van recuperando ideas, conceptos y t cnicas de las nanzas del mercado Black-Scholes e como son: las probabilidades condicionadas, las martingalas y el lema generalizado de It^ . o Con estas herramientas se deduce una forma m s general de valuaci n de derivados y la a o ecuaci n Black-Scholes, as como la ecuaci n general de bonos y la estructura de plazos o o del modelo de tasas de Vasicek, que tendr n una mayor utilidad en los casos de variables a con comportamientos de persistencia. Esta generalizaci n se extiende al m todo H-J-B para la determinaci n consumo ptimo o e o o en un proceso browniano fraccional, en donde adem s del activo subyacente, tambi n a e se modela la volatilidad con un segundo proceso browniano fraccional independiente del primero. Al nal se deduce una ecuaci n Black-Scholes generalizada para un derivado cuyo o subyacente y su volatilidad son modelados por MBF. En la parte nal se revisa la variaci n en la volatilidad implicita de una variable del mercado o mexicano con respecto a sus caracter sticas de persistencia.
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In d ice
In d icePortada RESUMEN INDICE TABLAS Y GRAFICAS INTRODUCCION PA R T E I CAPITULO 1 11 1 2 5 7
Mercados Fractales contra Mercados Tradicionales 1.1 Fractales
1.1.1 Antecedentes 1.1.2 Fractales 1.2 An lisis de Mercados a 1.2.1 Teor Tradicional del mercado de capitales a 1.2.2 Revisi n de Mercados o 1.2.3 Hip tesis de Mercados Fractales o 1.3 1.4 Comportamiento de Variables Financieras de M xico y Estados Unidos e Estad stica Fractal contra Browniano Fraccional 25
CAPITULO 2 Procesos de Hurst 2.1
Coeciente o Exponente Hurst
2.1.1 Antecedentes del Proceso Hurst 2.1.2 Rango Reescalado (R/S) 2.1.3 Valores del Coeciente Hurst 2.1.4 Ciclos Peri dicos y No Peri dicos o o 2.1.5 El Color del Ruido y la Dimensi n fractal o 2.2 Determinaci n del Coeciente Hurst o 2.2.1 Metodolog a 2.2.2 Prueba de Signicancia del coeciente Hurst 2.2.3 Coeciente Hurst en el Mercado de M xico y Estados Unidos e 2
In d ice CAPITULO 3 37
Antecedentes Matem ticos del Movimiento Browniano Fraccional a 3.1 Movimiento Browniano y Movimiento Browniano Fraccional
3.1.1 Movimiento Browniano y C lculo de It^ a o 3.1.2 Movimiento Browniano Fraccional 3.2 Antecedentes Matem ticos a
3.2.1 Revisi n del Espacio de Hilbert y M trica o e 3.2.2 Principales Lemas y Teoremas 3.2.3 Producto Wick 3.2.4 Movimiento Geom trico Browniano Fraccional e 3.2.5 F rmula Fraccional de It^ o o 3.2.6 Derivadas Fraccionales 3.2.7 Teorema de Girsanov 3.2.8 Teorema de Expansi n de Caos Wiener-Ito en t rmios de Int.It. o e 3.3 Expectativas Cuasicondicionales
3.3.1 Deniciones 3.3.2 Teorema Fraccional Clarck-Ocone 3.3.3 Principales Resultados P A R T E II CAPITULO 4 50
Ecuaci n Black-Scholes Fraccional o 4.1 Mercados de Movimiento Browniano y Browniano Fraccional
4.1.1 Ecuaci n Black-Scholes Tradicional o 4.1.2 Precio de una Opci n Call Europea en un Mercado Browniano Fraccional o 4.1.3 Ecuaci n de Black-Scholes Fraccional o 4.2 Aplicaci n a la Valuaci n de Opciones Call Europeas o o
4.2.1 Resultados del Mercado de M xico y de Estados Unidos e
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In d ice CAPITULO 5 61 Modelo de Tasa con Movimiento Browniano Fraccional 5.1 Modelo de Tasas Vasicek con Movimiento Browniano Fraccional 5.1.1 Modelo de Tasas Vasicek con Movimiento Browniano 5.1.2 Modelo de Tasas Vasicek con Movimiento Browniano Fraccional 5.2 Aplicaci n del Modelo de Tasas Vasicek con MBF al caso de tasas en M xico o e 5.2.1 Determinaci n de los par metros del Modelo de Tasas Vasicek con MBF o a 5.2.2 Resultados del Modelo de Tasas Vasicek con MBF CAPITULO 6 68 M todo Hamilton-Jacobi-Bellman (H-J-B) en Mercado Brownianos Fraccionales e 6.1 M todo H-J-B con MBF e 6.1.1 Planteamiento del Problema del Consumidor Est castico con MBF o 6.1.2 Soluci n al Problema del Consumidor Estoc stico o a 6.2 M todo H-J-B con MBF y Volatilidad Estoc stica e a 6.2.1 Volatilidad Estoc stica en los Mercados a 6.2.2 Planteamiento del Prob. del Consumidor con Volatilidad Estoc stica con MBF a 6.2.3 Soluci n del Prob. del Consumidor con Volatilidad Estoc stica con MBF o a CAPITULO 7 83 Volatilidad Implicita, una aplicaci n al Mercado Mexicano o 7.1 Revisi n del Concepto de Volatilidad o 7.1.1 Modelos de Volatilidad 7.1.2 Modelo de Volatilidad Impl cita 7.2 Indice de Volatilidad de M xico (VIMEX) e 7.2.1 Antecedentes 7.2.2 Metodologia VIMEX 7.2.3 Estimaci n del o ndice VIMEX considerando la persistencia CONCLUSIONES BIBLOGRAFIA APENDICES(A,B,C) 90 92 94
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T a bla s y G r ca s a
T a b la s y G r ca s aT a b la s Tabla Tabla Tabla Tabla Tabla Tabla Tabla 1.1 2.1 2.2 4.1 5.1 6.1 7.1 Resumen estad stico de variables de mercado Resultados de H para IPC,TDC, DJI, TDCUS Resultados de H para periodos distintos Param tros para estimaci n de opciones call e o Param tros para estimaci n de la tasa Vasicek e o Resultados de H para las volatilidades de las variables Param tros para estimaci n de opciones call e o
G r c a s a Gr ca a Gr ca a Gr ca a Gr ca a Gr ca a Gr ca a Gr ca a Gr ca a Gr ca a Gr ca a Gr ca a Gr ca a Gr ca a Gr ca a Gr ca a Gr ca a Gr ca a Gr ca a Gr ca a Gr ca a Gr ca a Gr ca a 1.0 a) Conjuntos de Cantor y Von Koch 1.0 b) Conj untos de Julia y Mandelbroit 1.1 Serie IPC (1990-2006) 1.2 Rendimiento diario del IPC (1990-2006) 1.3 Serie TDC (Peso-D lar) (1992-2006) o 1.4 Rendimiento diario del TDC(1992-2006) 1.5 Serie DJI (1999-2006) 1.6 Rendimiento diario del DJI(1992-2006) 1.7 Serie TDCUS(D lar-Euro) (2001-2006) o 1.8 Rendimiento diario del TDCUS(D lar-Euro) (1992-2006) o 1.9 Relaci n Proceso de Levy, Procesos Autosimilares y Gaussianos o 2.0a) Formaci n de grupos de la metodolog (R/S) o a 2.0b) Metodologia (R/S) en el caso de hidrolog a 2.1 Estad stico ln(R/S) del IPC y DJI vs ln(n) 2.2 Estad stico Vn del IPC y DJI vs ln(n) 2.3 Estad stico ln(R/S) del TDC y TDCUS vs ln(n) 2.4 Estad stico Vn del TDC y TDCUS vs ln(n) 4.1 Precios de opciones call del IPC para diferentes H 4.2 Precios de opciones call del DJI para diferentes H 4.3 Precios de opciones call del TDC para diferentes H 4.4 Precios de opciones call del TDCUS para diferentes H 5.1 Comparativo Estructura de Plazos Vasicek(H = 0.0005) 5
T a bla s y G r ca s a Gr ca a Gr ca a Gr ca a Gr ca a Gr ca a Gr ca a Gr ca a Gr ca a Gr ca a Gr ca a Gr ca a 5.2 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 7.1 7.2 7.3 Comparativo Estructura de Plazos Vasicek(H = 0.005) Volatilidad anual del IPC(2000-2006) Volatilidad anual del DJI(1999-2006) Volatilidad anual del TDC(1999-2006) Volatilidad anual del TDCUS(1999-2006) Estad stico ln(R/S) de Volatilidad del IPC y DJI vs ln(n) Estad stico ln(R/S) de Volatilidad del TDC vs ln(n) Estad stico ln(R/S) de Volatilidad del TDCUS vs ln(n) Volatilidad Impl cita del TDC Volatilidad Impl cita del IPC Indice VIMEX de la Volatilidad Impl cita
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In trod u cci n o
In tro d u cci n o El movimiento browniano y el c lculo de It^ son las bases matematicas sobre las que a o se han constru varios de los conceptos y resultados de las Finanzas y la Administraci n do o de Riesgos actuales. El modelo de Black-Scholes, la valuaci n de derivados, la estimaci n o o de curvas de tasas de inter s y la medici n de los diferentes tipos de riegos han sido e o desarrollados con la ayuda de estos procesos matem ticos y baj o ciertos supuestos sobre a las caracter sticas de las variables nancieras y los mercados. Sin embargo, con el paso de tiempo se ha encontrado y conrmado que algunos de los supuestos nancieros y/o matem ticos no se aj ustan a la realidad, por lo que se requiere a cada vez de teor m s generales que expliquen estas diferencias y que incluyan como as a casos particulares a las ya existentes. Un ej emplo que se puede mencionar, es sobre el supuesto del comportamiento gaussiano de los rendimientos de instrumentos nancieros. Una modelaci n con una distribuci n de tipo normal, debido a sus caracter o o sticas, simplica la valuaci n de derivados. Sin embargo, en un an lisis de rendimientos de las series reales, o a algunas distribuciones de variables presentan sesgos, mayor curtosis en sus valores centrales o bien colas anchas, e incluso pueden tener distribuciones diferentes de la normal. Por lo tanto, cada vez se busca utilizar funciones m s generales como pueden ser las de L vy o bien a e la teor de valores extremos para realizar mej ores valuaciones. De la misma manera, en a forma m s general, se siguen proponiendo la utilizaci n de distintos procesos estoc sticos a o a o teor as, como la de fractales, para buscar una mej or explicaci n al comportamiento de o ciertos fen menos nancieros. o Uno de los primeros temas en el presente trabaj o esta relacionado con los fractales. En la literatura sobre el tema de fractales adem s de los art a culos seminales de Hurst[11] con su estudio de hidrolog y su metodolog Rango Reescalado (R/S) para la determinaci n a a o del coeciente del mismo nombre y de los art culos cl sicos de Mandelbrot[15] y [16] , a considerado padre de la geometr fractal. Los libros de Peters[24] y [25] son para el pesente a trabajo una referencia fundamental sobre las ideas, t cnicas y conceptos de los mercados e fractales. Su obra resume el estado del arte actual de las teor de fractales y caos y su as relaci n con los mercados nancieros. De forma sencilla aplica estos conceptos matem ticos o a al an lisis de los mercados principalmente de Estados Unidos. Tambi n describe el art a e culo el trabaj o de McCulloch [17] y [18] sobre la estad stica fractal y en particular la evaluaci n o de opciones con funciones m s generales como son las de Levy ( tambi n es recomendable a e consultar al autor original) . Por otra parte, se debe mencionar el trabaj o de Palomas Molina [23] dentro de los primeros antecedentes sobre la aplicaci n del m todo (R/S) para o e la determinaci n del coeciente Hurst para el caso de variables nancieras de M xico. o e Sobre el tema del movimiento browniano fracciona (MBF) los primeros intentos de recuperar algunas propiedades basicas, como la de no arbitraj e, cuando se trabaja con el movimiento browniano fraccional fueron hechos por de Dai and Hayde[3] y Lin[14] . Debido a que los esfuerzos en esta direcci n no pudieron eliminar la presencia de arbitraj e, surgui o o 7
In trod u cci n o la construcci n de una nueva integral a partir del producto Wick y fueron analizadas entre o otros por Desagupta [4] [5] y Shryaveev[27] . Una vez resuelta esta propiedad para procesos brownianos fraccionales con el nuevo formalismo, quienes han tal vez publicado la mayor cantidad de material sobre el movimiento browniano fraccional y su aplicaci n en las Fio nanzas son Oksendal[22] y Hu[8] , adem s de Duncan y Pasik-Duncan[6] . Estos trabaj os a se inician desde la denici n de la m trica de un espacio de Hilbert y van recuperando o e varias de las t cnicas matem ticas que el modelo Black-Scholes tradicional utiliza, adem s e a a mediante el uso del producto Wick, las derivadas Malliavin y las integrales Skorohod es posible generalizar entre otros,el teorema de Girsanov, las esperanzas condicionales y lema de It^ para su posterior aplicaci n en las nanzas. Los art o o culos de Necula[20] [21] presentan una perspectiva diferente de los estudios de Oksendal y Hu y en forma practica presentan una deducci n de la ecuaci n Black-Scholes a partir de movimientos browniano o o fraccionales. En otro trabaj o relacionado, Rosek[26] tambi n presenta una de deducci n e o alternativa del lema de It^ para el caso fraccional. Por u ltimo los trabaj os de Giovanni Vaso concelos[29] presentan un resumen importante el paso de los modelos brownianos cl sicos a a los brownianos fraccionales y sus implicaciones en los supuestos y resultados. El principal ob j etivo del presente trabaj o de tesis es la generalizaci n de tres resultados o fundamentales de nanzas: la valuaci n de opciones call europeas, la estructura de plazos o con el modelo Vasicek y el planteamiento y soluci n ptima de consumo y cartera del o o problema del consumidor estoc stico y la aplicaci n de los resultados al problema de a o la volatilidad est castica. Estas generalizaciones se construyen con la propuesta de un o proceso estoc stico conocido como movimiento browniano fraccional que a diferencia del a movimiento browniano tradicional incorpora en los modelos las caracter sticas de independencia o dependencia propias de las series nancieras analizadas y con pr cticamente los a mismos supuestos nancieros de los modelos desarrollados con el movimiento browniano tradicional. Para la aplicaci n del movimiento browniano fraccional en los problemas mencionados o anteriormente es necesaria tambi n la generalizaci n de la herramienta matem tica y la e o a reproducci n de los principales resultados del mundo de Black-Scholes, est revisi n es o a o realizada en el capitulo 3. Por otro lado, de manera simult nea a los resultados obtenidos del movimiento browniano a fraccional se hace necesaria una metodolog para la estimaci n del coeciente Hurst (H ) a o que valuar la independencia o dependencia de una serie y la distinguir como una serie a a fractal. Para el c lculo de este coeciente se aplica la metodolog Rango Reescalado a a (R/S) propuesta por el mismo Hurst. En el capitulo 2 se hace una descripci n amplia del o coeciente Hurst y la metodolog a(R/S) . Un segundo ob j etivo del trabaj o es la aplicaci n de la metodolog de Hurst a los resultados o as obtenidos de las ecuaciones Black-Scholes fraccional y general de los bonos con variables nancieras representativas de M xico y Estados Unidos con el n de comparar valuaciones e de opciones y curvas de inter s obtenidas a partir del movimiento browniano tradicional y e fraccional. 8
In trod u cci n o La hip tesis de investigaci n que el trabaj o propone es que el supuesto de independencia o o de las variables nancieras del mundo Black-Scholes es un supuesto te rico y no es neceo sariamente se cumple en la realidad. La aplicaci n de la metodolog (R/S) para el calculo o a del exponente Hurst a las variables nancieras (y sus volatilidades) de M xico y Estados e Unidos muestran en la mayor de los casos caracter a sticas de persistencia o memoria larga. Debido a que varias series nancieras no cumplen el supuesto de independencia se vuelve necesaria buscar una teor m s general que incorpore esta posibilidad y se reproduzca en a a algunos de los resultados de nanzas. A continuaci n se presenta un breve resumen de los temas analizados en cada uno de los o cap tulos. El cap tulo 1 es una introducci n al tema de fractales y su relaci n con los mercados o o nancieros. Se revisa la teor tradicional de mercados y se contrasta la hip tesis de a o mercados ecientes con la hip tesis de mercados fractales. Este planteamiento inicial sirve o de introducci n al desarrollo del coeciente Hurst del cap o tulo siguiente. En la parte nal se muestra cualitativamente el comportamiento de los rendimientos de variables nancieras del mercado en M xico y Estados Unidos que se analizaran a lo largo del trabaj o, cuyo e obj etivo es mostrar que el comportamiento de las variables nancieras reales en ocasiones no concuerda con los supuestos te ricos. o El cap tulo 2 est dedicado al or a gen y descripci n de la metodolog (R/S) y del c lculo o a a del coeciente Hurst que entre otras funciones nos sirve para determinar las caracter sticas de independencia de una serie y distinguir series de tiempo y series fractales. Se aplica la metodolog (R/S) al caso de variables nancieras reales consideradas como representatia vas de los mercados de M xico y Estados Unidos como son: el Tipo de Cambio peso-d lar e o (TDC) , el Indice de Precios y Cotizaciones de la bolsa mexicana de valores (IPC) ,el Indice Dow Jones Industrial(DJI) y Tipo de Cambio D lar-Euro (TDCUS) con el ob j etivo de o determinar si estas series tienen propiedades de independencia, persistencia o antipersistencia y adem s se hace una prueba de signicancia. El siguiente paso consiste en construir a una ecuaci n Black-Scholes m s general que reej e el comportamiento de independencia o o a no de las series. En el cap tulo posterior se colocan las bases para la construcci n de esta o ecuaci n. o En el cap tulo 3 se establece la base matem tica para la construcci n del movimiento browa o niano fraccional y las caracter sticas del nuevo proceso. A partir de un espacio m s general a como el de Hilbert, se construye el producto Wick, las derivadas Malliavian, las probabilidades cuasicondicionales, as como lemas, teoremas y resultados de mayor importancia. Este cap tulo sirve de antedente t cnico al siguiente. e En el cap tulo 4 se realiza la deducci n de la ecuaci n de Black-Scholes Fraccional y se o o determina el precio de una opci n call europea, considerando un activo subyacente descrito o por un movimiento browniano fraccional(MBF) . Esta nueva valuaci n de opciones se aplica o al caso de las variables IPC,DJI,TDC y TDCUS con sus caracter sticas de persistencia y 9
In trod u cci n o se compara con la valuaci n tradicional Black-Scholes que si considera el supuesto de ino dependencia. La nalidad es comparar la valuaci n de opciones con efectos de persistencia o con las valuaciones tradicionales. El cap tulo 5 es otro caso de generalizaci n que deduce la ecuaci n general de los bonos o o y la estructura de plazos para un modelo Vasicek considerando como t rmino estoc stico e a un movimiento browniano fraccional. Se hace un comparativo entre las tasas resultantes considerando el proceso estoc stico tradicional y el propuesto. a En el cap tulo 6 se busca generalizar el m todo H-J-B del consumidor estoc stico cone a siderando el movimiento browniano fraccional y las esperanzas cuasicondicionales del cap tulo 3. Despu s de resolver el sistema, se determinan el consumo y las inversiones o ptimas y se e recupera la ecuaci n Black-Scholes fraccional. De la misma forma que los subyacentes de o ndices y tipo de cambio se modelan con un MBF, aplicando la metodolog de Hurst del a cap tulo 2 a la volatilidad de las variables nancieras (IPC, DJI, TDC y TDCUS) se puede obtener la j usticaci n de proponer una volatilidad tambi n como un MBF. El problema o e se resuelve aplicando tambi n H-J-B y se llega a plantear un ecuaci n y una propuesta de e o soluci n para Black-Scholes con volatilidad estoc stica. o a Finalmente en el u ltimo cap tulo utilizando resultados de secciones anteriores se busca una aplicaci n muy concreta de la teor con la informaci n real del mercado mexicano a trav s o a o e del concepto de la volatilidad impl cita y del ndice VIMEX. Al nal lo que se expone es un comparativo del comportamineto de la volatilidad implicita considerando los efectos de la persistencia incluidos en el coeciente Hurst. Al nal se presenta las conclusiones que se consideran m s importantes de este trabaj o. a De manera simplicada se puede pensar que el trabaj o esta dividido en dos partes, la primera de ellas esta integrada por los primeros tres cap tulos en donde se proporcionan los elementos y el marco de trabaj o. En estos cap tulos son analizados el comportamiento de los mercados, las metodolog de independencia y las bases y herramientas matem ticas as a necesarios para las aplicaciones de nzanzas. En la segunda parte, en los cuatro u ltimos cap tulos se mencionan las principales aportaciones de la tesis. En el cap tulo 4 la primera aportaci n es el comparativo entre las o valuaciones de opciones europeas resultado de la aplicaci n de la ecuaci n Black-Scholes o o Fraccional con los resultados del coecientes Hurst obtenidos del capitulo 2. En el Cap tulo 5 la deducci n de la ecuaciones general de los bonos, su estructura de plazos, su comparativo o y su conclusi n es una contribuci n del presente trabaj o. Los resultados te ricos y las o o o deducciones de las ecuaciones, incluyendo el caso de volatilidad estoc stica y sus soluciones a tambi n son resultado de este trabaj o. En el u ltimo cap e tulo se busca una aplicaci n de o algunos resultados te ricos y practicos en el caso de la volatilidad est castica y el efecto o o de la persistencia.
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M erca d o s F ra cta les co n tra M erca d o s T ra d icio n a les
C ap lo 1 tu M ercad os F ractales con tra M ercad os T rad icion ales1 .1 F r a c ta le s 1 1 .1 .1 A n te c e d e n te s Desde la poca de los griegos, cultura occidental siempre ha vivido obsesionada en e encontrar y estudiar las formas sim tricas y contornos suaves, de tal manera que desde la e antig edad se desarroll una geometr basada en este tipo de estructuras conocidas como u o a puras. Plat n armaba que el mundo , considerado como real, consist de ese tipo de o a formas que eran creadas por una fuerza o una entidad llamada -el bien- que ocasionalmente pod ser visualizada a trav s de la mente. Tambi n supon que el mundo en que vivimos a e e a es una copia imperfecta del mundo real y fue creada por una entidad(ordenador supremo) diferente llamada Demiurgo. Esta copia inferior resultaba ser aspera, asim trica y suj eta e a decadencia. Aunque la geometr griega fue formalizada posteriormente por Euclides, a Plat n reconoci la incapacidad de la misma para describir el mundo, para su forma de o o pensar, el problema no era la geometr sino nuestro propio mundo. a La geometr fractal es la geometr de Demiurgo. A diferencia de la geometr Euclidiana, a a a est puede utilizar formas asperas y asim tricas. Los ob j etos no son variaciones de unas a e cuantas formas perfectas, sino m s bien son de complej idad innita y entre m s cercanas a a y m s cuidadosas sean las revisiones m s detalles son revelados. a a Si se considera el ej emplo cl sico de un pino de navidad, los dibuj os realizados por ni~ os, a n o bien, los logos comerciales de un arbol navide~ o consisten de un tri ngulo sim trico que n a e simula las hoj as y ramas con una base rectangular angosta que sirve de base de tronco. En la vida real un rbol, y en particular un pino, es una red de ramas, sobre ramas a que sucesivamente son cada vez m s peque~ as y los troncos no son muy sim tricos, ni de a n e contornos suaves, adem s de considerar que cada pino es diferente. La geometr euclidiana a a no puede replicar un pino real, solo se puede crear una aproximaci n, un pino navide~ o o n es un claro ej emplo de que una forma fractal, esta compuesto por una estructura global pero localmente es aleatorio. En general, se sabe como es un pino con cierta precisi n pero o tambi n se sabe que individualmente cada rama es diferente. e Puede pensarse en la geometr euclidiana como una simplicaci n del mundo de Dea o miurgo. En contraste, la geometr fractal est caracterizada por la autosimilaridad y un a a incremento en complej idad baj o una magnicaci n. Una de sus intensiones como geometr o a del espacio y que tambi n se extiende al concepto del tiempo es generar visiones m s e a realistas con el apoyo de las computadoras.1
La secciones 1.1 y 1.2 est n basados principalmente en los libros de Peters[24] y [25] a 11
M erca d o s F ra cta les co n tra M erca d o s T ra d icio n a les 1 .1 .2 F r a c ta le s En la actualidad no existe una denici n precisa de lo que es un fractal, ni siquiera, o Benoit Mandelbrot, el padre de la geometr fractal ha desarrollado una denici n precisa a o y formal , aunque no es demasiado dif de reconocer cuando se encuentra alguno. cil En t rminos pr cticos los fractales tienen ciertas propiedades que son ideales para prop sie a o tos de modelaci n y ciertas caracter o sticas que los hacen medibles. Entre la variedad de deniciones sobre los fractales podemos mencionar son las siguientes: a) Son ob j etos matem ticos que conforman la geometr del Caos a a b) Proviene del lat que signica roto debido a que se asocia con las discontinuidades de n las funciones c) Son ob j etos matem ticos cuya dimensi n es fraccionaria a o d) Son ob j etos matem ticos que posee esencialmente dos caracter a sticas: autosimilaridad y dimensi n fractal o La primera y m s importante propiedad de los fractales es la autosimilaridad , que signica a que todas sus partes est n relacionadas de alguna forma con el todo, es decir que cada a una de las partes del ob j eto tienen las caracter sticas del ob j eto completo o bien que los detalles o partes m s peque~ as tienen una relaci n estad a n o stica con sus propiedades globales, repiti ndose tales detalles de manera innita. Esta propiedad hace a los fractales e invariantes en la escala. Existen dos tipos muy bien denidos de fractales: los lineales y los no lineales. Los primeros se construyen con un cambio en la variaci n de escala, es decir los fractales lineales son o id nticos hasta aumentar la escala en innito. Ej emplos de ellos son el conj unto de Cantor, e el conj unto von Koch (o copo de nieve) (Gr ca 1.0 a) y el tri ngulo de Sierpinski. a a
Gr ca 1.0 a a 12
M erca d o s F ra cta les co n tra M erca d o s T ra d icio n a les Por otro lado, los fractales no lineales se generan a partir de distorsiones complej as o no lineales. Ej emplo de ello es el conj unto de Mandelbrot y el conj unto de Julia.(Gr ca 1.0 a b)
Gr ca 1.0 b a Por otra parte, recordando que la dimensi n topol gica del conjunto vac (-1) , de un o o o punto (0) , de una l nea recta (1) , de un plano (2) y de una gura en el espacio (3) . La dimensi n esta ligada con los grados de libertad, cuando la dimensi n cero solo existe un o o punto inm vil, cuando la dimensi n 1 tenemos una recta y un grado de libertad, un plano o o tendr dos grados de libertad y el espacio tiene tres grados de libertad. a La m s antigua e importante forma de medir la dimensi n fractal es la dimensi n Hausdor, a o o que tiene la ventaj a de poder determinar la dimensi n de cualquier conjunto, aunque no o siempre resulta f cil su implementaci n computacional. a o La dimensi n Hausdor (d im H F ) es el punto critico donde la medida Hausdor (H s ) de un o conj unto F brinca de 1 a 0. Las medidas de Hausdor generalizan las ideas de longitud, a rea y volumen. Se puede vericar que para conj untos de R n la medida n - dimensional Hausdor es salvo una constante de multiplicaci n el volumen n - dimensional usual. o Buscando una denici n m s formal de un ob jeto fractal,podemos decir que es aquel en el o a que su dimensi n fractal de Hausdor-Besicovtch supera a su dimensi n topol gica y en o o o general no es un n mero entero. Por otro lado una denici n de dimensi n m s general y u o o a sencilla puede ser la siguiente:
S =L 13
D
(1:1)
M erca d o s F ra cta les co n tra M erca d o s T ra d icio n a les En donde S es la cantidad de segmentos, L es la escala seleccionada de medici n y D es la o dimensi n. Tambi n se puede despej ar la dimensi n que quedar como: o e o a logS logL
D =
(1:2)
Fundamentalmente la mayor de las deniciones de dimensi n tienen la idea de medida a o a cierta escala. Para cada una de ellas se mide un conj unto, de tal forma,que ignore las irregularidades de tama~ o menor a la escala y observar como se comporta esa medida n cuando la escala se acerca a cero. Una relaci n muy importante es la que tiene la dimensi n fractal con el exponente Hurst o o (H ) (que se estudiara en el siguiente capitulo) esta dada de la siguiente forma:
D =2 H
(1:3)
En resumen, la geometr fractal o geometr de la naturaleza como tambi n se le conoce, a a e es un conj unto de estructuras irregulares y complej as que puede ser descrita a trav s de e algoritmos matem ticos y computacionales; que sustituyen a los puntos, rectas y supercies a de la matem tica tradicional y tienen la propiedad fundamental de a autosimilaridad y de vivir en dimensiones fraccionarias 1 .2 A n lisis C u a lita tiv o d e M e r c a d o s a 1 .2 .1 T e o r T r a d ic io n a l d e M e r c a d o d e C a p ita le s a En el mundo de las nanzas, un grupo de analistas se inclinan a pensar que los mercados nancieros deber tener un comportamiento cercano al determinista, mientras que an por otra parte hay un grupo que piensa que el comportamiento de ellos es completamente aleatorio. Se abre una tercera posibilidad con los mercados fractales, al considerar que ambas posiciones pueden ser correctas. Un tipo de an lisis conocido como Rango Reescalado (R/S) 2 es un m todo utilizado para a e distinguir series fractales de otro tipo de series de tiempo revelando as su estructura de autosimilaridad. Es com n modelar los procesos nancieros con variables independientes de tipo estoc stico u a con una hip tesis de comportamiento de movimiento browniano, en donde cada resultado o es independiente del anterior.2
El cap tulo 2 revisa ampliamente esta metodolog a 14
M erca d o s F ra cta les co n tra M erca d o s T ra d icio n a les El movimiento browniano tiene caracter sticas deseables de tipo matem tico y estad a sticamente supone un comportamiento normal de sus funciones de distribuci n. El desarrollo o de la teor tradicional de mercados de capitales se ha basado durante largo tiempo en las a ideas y conceptos de j uegos j ustos, martingalas y movimientos brownianos. La hip tesis de mercados ecientes (HME) pretende explicar la estructura estad o stica de los mercados. La teor presupone que los mercados son -ecientes-, es decir, que los precios a actuales reej an toda la informaci n que pudiera inuir en los eventos futuros, adem s o a de que los inversionistas reaccionan de forma inmediata a la llegada de nueva informaci n. Tambi n la teor supone que los rendimientos del mercado de cualquier activo se o e a distribuyen normalmente y que todos ellos tienen los mismos horizontes de inversi n. Sin o embargo, existe evidencia emp rica de que los rendimientos en los mercados en general no se comportan de acuerdo a esta distribuci n. En la secci n 1.3 se pueden observar estos o o hechos. La Hip tesis de Mercado Fractal (HMF) proporciona una estructura econ mica y matem tica o o a al an lisis de los mercados fractales. A trav s de la hip tesis de mercados fractales es posia e o ble entender la existencia de la estructura estad stica de autosimilaridad y tambi n la forma e de como el riesgo es distribuido entre los inversionistas. 1 .2 .2 R e v isi n d e M e r c a d o s o La HME pretende explicar el comportamiento de los mercado. Bachelier (1900) fue el primero en proponer que los mercados y sus productos pueden ser modelados a trav s e de una caminata aleatoria y mediante el c lculo de probabilidad est ndar utilizando una a a base emp rica a su trabaj o de investigaci n. o El supuesto m s importante de la HME es que las observaciones necesariamente tienen a que ser independientes, o a lo m s de memoria corta. Esto solamente podr ocurrir si a a los precios se movieran de acuerdo a una caminata aleatoria, un movimiento browniano, o si la mej or estimaci n del precio futuro es el precio presente, es decir se comporta de o acuerdo a una martingala o un j uego j usto. El modelo de caminata aleatoria arma que los cambios en los precios no pueden ser inferidos de cambios de precios pasados, adem s a de que el modelo no considera la informaci n ex gena fundamental o econ mica. Los o o o precios actuales reej an toda la informaci n disponible y todos los inversionistas tienen o igual acceso a ella, por lo tanto los inversionistas en forma agregada no pueden ganarle sistem ticamente al mercado debido a la eciencia del mismo. a Para j usticar la HME con una metodolog cient a ca tradicional a partir de informaci n o emp rica y evidencia estad stica el razonamiento hubiera sido el siguiente: a) Observar un comportamiento o estructura en un sistema o proceso b) Desarrollar una teor o modelo para aj ustar los hechos conocidos a c) Revisar y modicar la teor vigente para explicar nuevos hechos conocidos a 15
M erca d o s F ra cta les co n tra M erca d o s T ra d icio n a les En el caso de HME la teor fue desarrollada para j usticar el uso de una herramienta esa tad stica que requiere de independencia estad stica o memoria de corto plazo. De acuerdo con HME los cambios en los precios deber estar bien representados por una distribuci n an o normal. Pero en la realidad se encuentran distribuciones de colas pesadas que frecuentemente son evidencia de un sistema de memoria larga generada por un sistema estoc stico a no lineal. Si bien la HME se desarrolla en un ambiente matem tico mas f cil, es necesario, a a trabajar una hip tesis de mercado que ajuste los hechos observados y tome en cuenta o porque los mercados no se comportan de esa forma. Otra variable de gran importancia que deber de ser considerada es la liquidez (que es a diferente del t rmino de vol men comerciado) . Las mayores crisis nancieras, de acuerdo e u con Peters (1992) han ocurrido cuando ha existido una baj a liquidez con un alto volumen comerciado. Con esta idea se podr pensar en la liquidez como: vol men comerciado no a u balanceado. En el sistema de oferta y demanda de capitales se requiere de liquidez del mercado para asegurar: a) El precio obtenido por el inversionista sea lo m s cercano a lo que el mercado considera a j usto b) Inversionistas con diferentes horizontes de inversi n puedan comerciar ecientemente o con otro c) No haya p nico o estampidas cuando la oferta y la demanda no est n balanceadas a e En los mercados reales, los inversionistas requieren de un mercado l quido y la HME pr cticamente no hace referencia al concepto de liquidez, se considera que los precios a siempre son j ustos, independientemente de la liquidez o pensando que siempre habr la a posibilidad de tener liquidez. Por otra parte existe una diferencia entre un mercado estable y un mercado eciente. Un mercado estable es un mercado liquido y si un mercado es liquido entonces puede considerarse que los precios est n cercanos a su valor j usto. Cuando hay ausencia de a liquidez, los inversionistas participantes estar n deseosos de tomar cualquier precio sea a j usto o no. Si toda la informaci n tiene el mismo impacto sobre todos los inversionistas, no deber o a haber falta de liquidez. Sin embargo, los inversionistas no son homog neos, algunos deben e comerciar para generar utilidades todos los d otros deben comerciar para utilizar pasivos as, que est n altamente apalancados. Todos los inversionistas que comercian en el mercado a simult neamente tienen diferentes horizontes de tiempo. Entonces la fuente de liquidez es a generada debido a que los inversionistas poseen diferentes horizontes de inversi n, diferente o conj unto de informaci n y consecuentemente diferente concepto de precio j usto. o En forma de resumen, de los hechos emp ricos observados de los mercados, una nueva hip tesis tendr al menos que tratar de explicar porqu las distribuciones de colas pesadas o a e 16
M erca d o s F ra cta les co n tra M erca d o s T ra d icio n a les existen cuando hay diferentes horizontes de inversi n y porqu en la estructura de plazos o e de las volatilidad la desviaci n est ndar de los rendimientos se incrementa mas r pido que o a a la ra cuadrada del tiempo. z Cuando los mercados son considerados estables, HME trabaj a relativamente bien. Sin embargo, durante momentos de p nico o estampidas, los modelos dej an de funcionar ya a que HME son modelos de equilibrio. 1 .2 .3 H ip o te sis d e M e r c a d o s F r a c ta le s La Hip tesis de Mercados Fractales (HMF) enfatiza la importancia de la liquidez y o de los diferentes horizontes de inversi n en el comportamiento de los inversionistas. Para o que la hip tesis sea tan general como sea posible no se le exigir ning n requerimiento de o a u tipo estad stico sobre los procesos. La informaci n por s misma no tiene un impacto uniforme sobre los precios, esta ser o a asimilada en forma diferente por los diferentes horizontes de inversi n. o En resumen la HMF propone los siguientes puntos 3 : a) El mercado es estable cuando est constituido de un gran n mero de horizontes de a u inversiones, lo cual asegura la liquidez del mercado b) El conj unto de informaci n est m s relacionado a la sensibilidad del mercado y a o a a factores t cnicos del corto que del largo plazo. Conforme el horizonte de inversi n se e o incrementa, la informaci n de los fundamentales de largo plazo domina. Entonces los o cambios en los precios pueden reej ar informaci n importante s lo para ese horizonte de o o inversi n. o c) Si un evento ocurre que hace cuestionable la v lidez de la informaci n fundamental, los a o inversionistas de largo plazo dej ar n de participar en el mercado o comenzar n a comerciar a a basados en el conjunto de informaci n de corto plazo. Cuando todos los horizontes de o inversi n del mercado se reducen a un mismo nivel, el mercado se vuelve inestable. o d) Los precios reej an una combinaci n de comercio t cnico de corto plazo y valuaci n o e o fundamental de largo plazo. Los cambios en los precios de corto plazo son probablemente m s vol tiles o ruidosos que los de largo. Las tendencias corto plazo son probablemente a a resultados del comportamiento colectivo. No hay raz n para creer que la longitud de las o tendencias de corto plazo est relacionada con las tendencias econ micas de largo plazo. a o e) Si un t tulo no tiene un v nculo al ciclo econ mico, entonces no habr tendencia de o a largo plazo. Por tanto, comercio, liquidez e informaci n dominaran en el corto plazo. o3
Esta propuesta fu hecha por Peters, para mayor informaci n consultar [24] y [25] e o 17
M erca d o s F ra cta les co n tra M erca d o s T ra d icio n a les 1 .3 C o m p o r ta m ie n to d e V a r ia b le s F in a n c ie r a s d e M x ic o y E sta d o s U n id o s e
Esta secci n muestra de forma gr ca y mediante la estimaci n de ciertos estad o a o sticos b sicos y la prueba de Jarque-Bera que la Hip tesis de Normalidad sobre algunas variables a o del mercado, en general no se satisface. La prueba Jarque-Bera es un test de distribuci n o de normalidad, dicha prueba mide la diferencia del sesgo y la curtosis con otra prueba que se presupone normal. La prueba se distribuye como Ji-cuadrada con dos grados de libertad y su hip tesis nula es suponer una distribuci n normal. Una probabilidad peque~ a o o n conduce al rechazo de la hip tesis o
Para el caso de M xico se analizan dos de sus variables nancieras de mercado m s ime a portantes y representativas: el Indice de Precios y Cotizaciones (IPC) y el tipo de cambio peso-d lar interbancario 48 horas al cierre de compra (TDC) . Para el caso de el mercado o de Estados Unidos tambi n se estudian dos variables importantes, el e ndice Dow Jones Industrial (DJI) y el tipo de cambio d lar-euro (TDCUS) . Se debe mencionar que para las o cuatro variables se toma el caso de los rendimientos diarios.
En la siguiente Tabla 1.1 se resumen los estad sticos de los rendimientos para cada una de las cuatro variables, as como el resultado de la prueba Jarque- Bera.
Tabla 1.1
Serie IPC TDC DJI TDCUS
M ed : 9X 10 4 3X 10 4 1X 10 4 4X 10 5
D :E : 0.016 0.009 0.011 0.006
S esg o -0.006 1.350 -0.048 -0.026
C u r to s is 5.44 116.26 3.639 0.74
J B era 5,119 1:9X 10 6 863.00 286
P r o b: 0.00 0.00 0.00 0.00
La gr ca 1.1 muestra la historia diaria y el rendimiento del IPC de abril de 1990 a enero a de 2007. Si bien el ndice ha crecido de manera importante, sus rendimientos diarios se mueven de manera alternada entre valores positivos y negativos. En este caso de acuerdo con el resultado de la prueba Jarque Bera sobre los rendimientos diarios de la Tabla 1.1 se rechaza la hip tesis nula. Por lo tanto, no podemos aceptar la distribuci n como una o o normal.
18
M erca d o s F ra cta les co n tra M erca d o s T ra d icio n a les A continuaci n se presenta la Gr ca 1.1 o a
Gr ca 1.1 a En la gr ca 1.2 se aprecia el histograma de los rendimientos diarios del IPC, aunque tiene a forma de campana, la parte central presenta una alta probabilidad de ocurrencia y por otra parte se asigna una probabilidad de ocurrencia a rendimientos extremos positivos y negativos. De la Tabla 1.1, los rendimientos del IPC en m s de 16 a~ os presentan un a n peque~ o sesgo negativo y una distribuci n leptoc rtica (es decir muy picuda en el centro n o u y con colas anchas) como se puede observar a simple vista.
Gr ca 1.2 a 19
M erca d o s F ra cta les co n tra M erca d o s T ra d icio n a les En el segundo caso del TDC en las gr ca 1.3 aparecen la evoluci n diaria del TDC y su a o rendimiento de enero de 1992 a enero de 2007. Se aprecia que el TDC de 1992 a nes de 1994 se manej aba con una pol tica de tipo de cambio j o. En los a~ os siguientes se ha n mostrado un crecimiento, sus rendimientos diarios tambi n se mueven de manera alternada e entre rendimientos positivos y negativos.
Graca 1.3 En la gr ca siguiente 1.4 aparece el histograma de los rendimientos diarios del TDC, a en este caso a simple vista no se observa una forma de campana, la parte central esta muy picuda y aunque cae r pidamente se les asigna una probabilidad de ocurrencia a a rendimientos extremos positivos y negativos.
Gr ca 1.4 a 20
M erca d o s F ra cta les co n tra M erca d o s T ra d icio n a les De la Tabla 1.1 se observa que el rendimiento promedio del TDC en 14 a~ os es pr ctin a camente cero, con un peque~ o sesgo positivo y una distribuci n leptoc rtica. De manera n o u similar al caso anterior, con la prueba Jarque-Bera se rechaza la hip tesis nula de que el o TDC se comporte como una distribuci n normal. o Para el caso del mercado de Estados Unidos en la gr ca 1.5 aparece el a Indice Dow Jones (DJI) y su rendimiento diario de enero de 1999 a enero del 2007.
Gr ca 1.5 a De la Tabla 1.1 y de la gr ca siguiente 1.6 del histograma de los rendimientos diarios a de DJI, tambi n se rechaza la hip tesis de Normalidad a partir de la prueba de Jarque e o Bera. La media de los rendimientos tambi n es cero, con un peque~ o sesgo negativo y una e n distribuci n de caracter o sticas leptoc rticas. u
21
M erca d o s F ra cta les co n tra M erca d o s T ra d icio n a les Finalmente la gr ca 1.7 y 1.8 muestran el comportamiento del tipo de cambio d lar-euro a o (TDCUS) de enero de 1999 a enero 2007. Si bien en este caso tambi n los rendimientos e tienen media cero, se presenta un sesgo positivo y su curtosis se acerca m s al de una a normal.
Gr ca 1.7 a La prueba Jarque-Bera de la Tabla 1.1 de y de la gr ca siguiente 1.8, se rechaza la a posibilidad de que esta variable se comporte como una distribuci n normal. o
Gr ca 1.8 a
22
M erca d o s F ra cta les co n tra M erca d o s T ra d icio n a les De la revis n y gr cas anteriores y de los estad o a sticos de la Tabla 1.1 se puede observar que el comportamiento de las variables seleccionadas del mercado mexicano IPC y TDC y DJI y TDCUS para el mercado de Estados Unidos no poseen las caracter sticas de una distribuci n normal, por lo que no deber ser un paso directo aceptar utilizar la Hip tesis o a o de los mercados ecientes de las variables nancieras reales y nos hace reexionar sobre la utilizacion de la Hip tesis de Mercados Fractales(HMF) . o
1 .4 E sta d stic a F r a c ta l c o n tr a B r o w n ia n o F r a c c io n a l
Si bien el modelo Black-Scholes tiene una estructura poderosa y elegante y considera a los mercados como Gaussianos 4 , completos, ecientes y libres de arbitraj e. Algunas de los principales aspectos que alejan las variables de los mercados reales con respecto a las del mercado Black-Scholes son los siguientes:
i) En general los rendimientos de los activos no se distribuyen como una normal te rica o sino que con frecuencia las distribuciones de variables reales presentan colas pesadas y curtosis.
ii) Las series nancieras de los subyacentes presentan efectos de memoria larga y por lo tanto los eventos tampoco son completamente independientes.
Del mismo modo la autosimilaridad puede tener diferentes or genes, si proviene de una alta variabilidad en donde los incrementos son independientes y de colas pesadas su descripci n o puede realizarse con procesos de L vy. En cambio si las series tiene la propiedad de una e alta dependencia, entonces su modelaci n deber de ser con movimientos brownianos o a fraccionales.
En el primer caso es posible plantear una soluci n a trav s de la construcci n de funciones o e o de L vy con caracter e sticas estables y con la ayuda de sus funciones caracter sticas es posible modelar distribuciones m s generales. En el art a culo de McCulloch [17] y [18] se muestran algunas caracteristicas de la funciones de L vy y el resultado de la estimaci n e o del valor de una opci n call. o
Las distribuciones normales presentan dos ventaj as: pueden considerarse directamente en la teor de l a mite central y la suma de normales se distribuye como una normal 23
4
M erca d o s F ra cta les co n tra M erca d o s T ra d icio n a les El segundo caso corresponde a series donde sus eventos muestran cierta persistencia, este tipo de problemas pueden planearse a tr ves de una generalizaci n del movimiento browa o niano conocida como movimiento browniano fraccional con la utilizaci n del coeciente o Hurst. El desarrollo de las siguientes secciones estar enfocado al planteamiento y soluci n a o de este problema.
Gr ca 1.9 a Dentro de los principales resultados de esta secci n se ha mostrado que existe evidencia o para rechazar la hip tesis de normalidad de las variables representativas del mercado de o M xico y Estados Unidos IPC, TDC, DJI y TDCUS. En la siguiente secci n se analizar e o a con el m todo Rango Reescalado (R/S) estas variables nancieras y se buscar determinar e a las caracter sticas de independencia de cada una de ellas . Hay que recordar que en caso de no cumplir el supuesto de independencia no podr satisfacer la Hip tesis de Mercados a o Ecientes. Adem s para que estas variables se encuentran descritas en los mercados fraca tales ser necesario comprobar la existencia de diferentes horizontes de inversi n, es decir a o la estabilidad de los mercados.
24
P roceso s H u rst
C ap lo 2 tu P ro cesos d e H u rst2 .1 C o e c ie n te o E x p o n e n te H u r st 2 .1 .1 A n te d e n te s d e l P r o c e so H u r st El primero en estudiar las series fractales fu el cient e co brit nico Harold Edwin Hurst a (1880-1978) . Posteriormente, sus ideas fueron retomadas por Mandelbrot quien coloc su o trabajo en un contexto m s general baj o el nombre de An lisis de Rango Reescalado a a (R/S) . El R/S es un m todo estad e stico utilizado para evaluar la ocurrencia de eventos poco comunes y es una herramienta ideal para procesos f sicos y nancieros, aunque no se limita solamente a este tipo de eventos. El par metro que resulta de un an lisis (R/S) , el a a coeciente o exponente Hurst, es una medida de independencia de las series de tiempo y una manera de distinguir series fractales. Hurst era constructor de presas en los inicios del Siglo XX y por un tiempo trabaj o en el proyecto de la presa del r Nilo. En el momento del dise~ o de la presa se le present o n o un problema interesante de hidrolog concerniente en determinar la capacidad de almacea namiento dependiente del uj o que entra al r proveniente de diferentes elementos como o lluvias y riachuelos y un uj o controlado de salida del r utilizado primordialmente en o el riego. Con anterioridad, muchos hidr logos hab supuesto este comportamiento del o an inuj o como un proceso aleatorio, una suposici n razonable cuando se trabaj a en un ecoo sistema complej o. Sin embargo, a l no le pareci que se explicara de forma tan f cil e o a este comportamiento. El estudi los registros hist ricos (de 622 D.C. a 1469 D.C.) que o o manten los egipcios y observ que en el proceso, uj os m s grandes del promedio eran an o a seguidos por sobre uj os todav m s grandes. Inesperadamente el proceso cambiaba a a a uj os menores que el promedio y eran seguidos por uj os todav menores que los anteria ores. Parec ciclos pero cuya longitud no era peri dica. Un an lisis est ndar revelaba la an o a a no existencia de correlaci n estad o sticamente signicativa entre las observaciones, por lo que Hurst desarrollo su propia metodolog a. Por otra parte Hurst estaba enterado del trabaj o de Einstein sobre el movimiento browniano. Este u ltimo hab encontrado que la distancia que una part a cula err tica suspendida a en un uido cubre se incrementa con la ra cuadrada del tiempo, si escribimos esto en z forma de ecuaci n tenemos que: o
R =T Donde R = distancia y T = tiempo. 25
0 :5 0
(2:1)
P roceso s H u rst La ecuaci n anterior es conocida como regla de un medio y es utilizada principalmente o en estad stica. En nanzas se utiliza para asumir que la dispersi n de los rendimientos se o incrementa con la ra cuadrada del tiempo. z Para aplicar este concepto a series de tiempo que no sean movimientos brownianos, como el de la part cula err tica de Einstein, se deber considerar una ecuaci n que tome en a a o consideraci n que los componentes de las series de tiempo no son independientes. Hurst o al resolver su problema relacionado con la capacidad de la presa encontr la siguiente o ecuaci n que generaliza la idea anterior que s lo era aplicable a movimientos brownianos o o ( Mandelbrot y Wallis lo probaron en 1969) :
(R = S ) n = cn H : donde (R = S ) se conoce como el estad stico -Rango Reescaladoc = constante n = indicador del valor de la serie de tiempo H = exponente o coeciente Hurst 2 .1 .2 R a n g o R e e sc a la d o (R / S )
(2:2)
R/S tiene media cero y se expresa en t rminos de la desviaci n est ndar. En general, e o a los valores de R/S se incrementan con n, por el valor de la ley de potencias igual al exponente Hurst, esta es la primera conexi n del fen meno Hurst y la geometr Fractal. o o a Hay que mencionar adem s que el m todo R/S es un an lisis no param trico que no a e a e requiere de una distribuci n espec o ca. Para que una serie pueda ser considerada como fractal, el requisito clave que debe de cumplir es una escala de ley de potencia. El exponente de Hurt se determina por medio de una regresi n lineal de los puntos de o ln(R = S ) n contra ln(n ) , como se muestra en la siguiente ecuaci n o
ln(R = S ) n = log(c) + H log(n ) ;
(2:3)
Si el sistema tuviera la caracter stica de independencia entonces H = 0:50. Sin embargo, como resultado de su investigaci n de la presa del r Nilo encontr un coeciente de o o o H = 0:91. Si comparamos el ejemplo de la part cula err tica de Einstein con un H = a 0:91 entonces esta u ltima part cula cubrir una distancia mayor que otra con un proceso a aleatorio en el mismo periodo. Mandelbrot demostr emp o ricamente que en series de tiempo cuyas observaciones son independientes el estad stico (R/S) son asint ticamente o proporcional a la ra cuadrada, es decir si H = 0:5 resulta un evento aleatorio puro. z Hurst supone como hip tesis nula que el comportamiento de fen meno sea de una o o 26
P roceso s H u rst caminata aleatoria o un movimiento browniano, si este fuera el caso la ecuaci n del rango o reescalado estar dado por: a
log(R = S ) n = 0:5(logn + log ) : 2
(2:4)
2 .1 .3 V a lo r e s d e l C o e c ie n te H u r st Si H = 0:5 implica un proceso independiente. Es importante notar que un an lisis (R/S) no a requiere que el proceso subyacente se distribuya normalmente, s lo independiente. Como o el an lisis R/S es no param trico por lo que pueden considerarse distribuciones otro tipo a e de distribuciones como la t de student, gamma etc. Si 0:5 < H 1:0 implica series de tiempo persistentes, es decir caracterizadas por efectos de memoria de largo plazo. Te ricamente lo que suceda hoy impactar en el futuro por o a siempre como por ej emplo cambios semanales de ahora est n correlacionados con los cama bios semanales futuros. Adem s se ha encontrado que las series persistentes son las m s a a comunes encontradas en la naturaleza y en los mercados de capitales y econom a. Si 0:0 H < 0:5 signica antipersistencia en la serie de tiempo. Un sistema antipersistente cubre menos distancia que uno aleatorio, en el caso de una part cula err tica. Para que a ocurra debe dar marcha atr s a as mismo con mayor frecuencia que en un proceso aleatorio. a Algunos te ricos igualan este comportamiento con un proceso de reversi n a la media, que o o sin embargo asume que el sistema baj o estudio tiene media estable. Suposici n no tan o f cilmente aceptada en este caso. a 2 .1 .4 C ic lo s P e r i d ic o s y N o P e r i d ic o s o o La ciencia occidental siempre ha tratado de encontrar ciclos peri dicos o regulares o debido a la importancia que ten an en la naturaleza los ciclos agr colas y los eventos celestes. Esta creencia, proveniente tambi n desde los antiguos griegos, creo un modelo de e universo basado en el movimiento de los cuerpos en c rculos perfectos. Sin embargo, en la econom y los mercados no hay razones para pensar que los ciclos a tienen que ser peri dicos. En la teor de Caos, los ciclos pueden no ser peri dicos y o a o aunque tienen una duraci n promedio, la duracion exacta de ciclos promedio no se conoce. o Hurst(1951) fue el primero en notar que un comportamiento peri dico de un subyacente o puede ser detectado con un an lisis R/S. a 27
P roceso s H u rst De acuerdo con Peters para valores muy grandes de observaciones se esperar que el a exponente H tienda a 0.5 y que el efecto de memoria de largo plazo se disipe. Este comportamiento asint tico de largo plazo nos dice que existen ciclos para los cuales el o efectos de tendencia est n presentes y a partir de un cierto valor las observaciones son a independientes. Estos ciclos no son regulares y se llaman ciclos no peri dicos. o En una graca log= log de un an lisis R/S el n de cada ciclo de frecuencias y el inicio a del siguiente puede detectarse visualmente de los breaks y attening en las gr cas.Pero a hay una forma m s f cil de ver cuando los breaks en las gr cas log= log ocurren con el a a a obj eto de hacer una mej or estimaci n del ciclo. El siguiente estad o stico fue propuesto por Hurst (1951) para probar la estabilidad. Se ha probado emp ricamente que este estad stico proporciona una medida m s precisa de la longitud del ciclo y trabaj a particularmente a bien en presencia de ruido. Tal estad stico se dene como:1
V n = (R = S ) n n 2 :
(2:5)
Un gr co del estad a stico V n contra el logaritmo del n mero de observaciones log(n) ser u a plano u horizontal si el proceso fuera independiente y aleatorio. Por otra parte, si el proceso fuera persistente y R/S fuera escalado a una tasa mayor que el cuadrado de la ra z del tiempo (H > 0:5) entonces la distribuci n de puntos en la gr ca tendr pendiente o a a creciente y si estuvi ramos hablando de un proceso antipersistente (H < 0:5) la gr ca e a tendr una pendiente negativa. Gracando V n en el ej e y y log(n ) en el eje x, los " breaks" a ocurrir cuando el estad an stico V se aplane, en esos puntos los procesos de memoria larga se han disipado. Un an lisis R/S es capaz de determinar ciclos peri dicos, incluso cuando ellos son supera o puesto. La potencia real del an lisis R/S es encontrar los ciclos no peri dicos.Un ciclo a o no peri dico no tiene frecuencia absoluta, en lugar de ello tiene una frecuencia promedio. o Aunque nos hemos llegado a acostumbrar sobre las implicaciones de la palabra peri dico o cada vez que se utiliza la palabra ciclo. 2 .1 .5 E l C o lo r d e l R u id o y la D im e n si n fr a c ta l o Si 0 H < 0:5 se considera que se tiene ruido rosa y esta relacionado con la antipersistencia. El ruido rosa abunda en la naturaleza y est relacionado a procesos de relaj aci n a o (equilibrio din mico) y turbulencia. a Si 0:5 < H 1:0 se tiene un ruido negro. Este ruido aparece en procesos c clicos de largo plazo, como nivel de r os, numero de manchas solares y cambios de precios en las bolsas de valores. Y tres efectos est n relacionados a este ruido: Efectos Joseph(efectos a causados por tendencias y ciclos) , Noah (discontinuidades hacia arriba y hacia debaj o de las observaciones) y Mirror( de relaci n entre diferente tipos de ruido) o 28
P roceso s H u rst A partir del exponente H puede determinarse la dimensi n fractal como D = 2 H , un o movimiento browniano tiene una dimensi n fractal de 1.5. Si H > 0:5 la dimensi n fractal o o disminuir y tender a acercarse a una recta, en el caso contrario si H < 0:5 la dimensi n a a o fractal aumentar y se acercara a una supercie. a 2 .2 D e te r m in a c i n d e l C o e c ie n te H u r st o 2 .2 .1 M e to d o lo g a Como se menciono anteriormente, Hurst desarroll una metodolog para el calculo del coo a eciente H . Inicialmente su estudio se aplic al caso del uj o del r Nilo, pero en t rminos o o e generales puede aplicarse a cualquier serie que se sospeche se comporte como fractal en cualquier otra area de estudio. A continuaci n se describe en detalle la metodolog 5 o a: 1. Se inicia con una serie de tiempo de tama~ o M, pero como nos interesa los rendimientos n logaritmicos entonces la serie original se reduce a una nueva serie de tiempo de tama~ o n N = M 1 donde cada rendimento esta deinido por: Ni
= log
M M
i+ 1 i
; i = 1;2;3;:::;N :
(2:6)
2. Se divide este periodo de tiempo N en A subperiodos contiguos de longitud n, tal que A n = N . Se nombra cada uno de los subperiodos o subgrupos I a , con a = 1;2;3;:::;A . Y cada elemento en I a es etiquetado N k ;a , tal que k = 1;2;3;:::;n : Y para cada subperiodo I a de longitud n, el valor promedio est denido por la siguiente expresi n: a on 1 X ea = N n k= 1 k ;a :
(2:7)
3.Las diferencias de cada elemento N k ;a con respecto a la media e a para cada subperiodo I a se van sumando para obtener una la serie de tiempo acumulada (X k ;a ) , denida como:k X
X
k ;a
=
(N
i;a
i= 1
e a ) ; k = 1;2;3;:::;n :
(2:8)
4. El rango R I a se dene como la diferencia entre el valor m ximo y el valor m a nimo de X k ;a para cada subperiodo I a : Para mayor informaci n sobre el coeciente Hurst o la metodolog (R/S) consultar o a Peters[25] 295
P roceso s H u rst
R
Ia
= Max(X
k ;a )
Min(X
k ;a ) ;
(2:9)
donde 1 k n . 5. Por otro lado, se calcula la desviaci n est ndar muestral S I a de la forma tradicional o a para cada periodo I a : !1 2
S Ia =
n 1 X (N n k= 1
k ;a
ea )2
:
(2:10)
6. Para cada periodo I a , su rango R I a se normaliza dividiendo por su desviaci n est ndar o a muestral S I a correspondiente. Por lo tanto el rango reescalado para cada subperiodo I a es igual a R I a = S I a . Como tenemos A periodos continuos de longitud n, entonces tomamos el valor promedio R/S para periodos de longitud y que esta denido como:A X
(R = S ) n = (1=A )
(R
Ia
= S Ia ) :
(2:11)
a= 1
7. La longitud n o el tama~ o del subperiodo se incrementada al siguiente valor posible de n M 1 tal forma que n sea un valor entero. Iniciamos con el valor m s peque~ o de acuerdo a n a la condici n anterior y se repiten los pasos del 1 al 6 se repiten hasta n = (M 1) = 2 o utilizando siempre la serie completa (ver graca 2.0 a) . Posteriormente aplicamos una regresi n de m o nimos cuadrados de log(R = S ) n contra log(n ) . La ordenada al origen es el log(c) y la pendiente de la ecuaci n es la estimaci n del exponente Hurst H . o o
Gr ca 2.0a) a 30
P roceso s H u rst La graca 2.0 b) muestra la representaci n de las variables del Rango-Reescalado o (Max(X k ;a ) ;Min(X k ;a ) ;R I a ) para el caso de un subperiodo de tiempo a en el problema orginal de Hurst de la determinaci n de los cambios de uj os en la construcci n de la o o presa. El ujo proveniente de riachuelos y lluvia es depositado en una presa. Los valores m ximo y m a nimo de las acumulaci n de las diferencias respecto de la media establecen el o rango entre el que podr variar el nivel del agua en la presa. a
Gr ca 2.0b) a 2 .2 .2 P r u e b a d e S ig n i c a n c ia d e l C o e c ie n te H u r st En la secci n anterior se ha mencionado los pasos para la determinaci n del coeciente o o Hurst (H ) y el comportamiento de los procesos de acuerdo al valor de dicho exponente. Sin embargo, en la practica es necesario distinguir si un coeciente de 0.50001 con un cierto numero de datos es un considerado un proceso independiente o con tendencia. Para evaluar esto se debe plantear una prueba de signicancia sobre los resultados de un an lisis a (R/S,) similar a las pruebas " t" de las regresiones lineales. Inicialmente Hurst estableci su Hip tesis Nula sobre una distribuci n binomial resultado o o o del lanzamiento de volados m s tarde Feller lleg a un resultado similar por otro camino. a o Se supone en la hip tesis nula que H = 0:5 tiene un comportamiento de caminata aleatoria o o de browniano tradicional y por tanto de independencia contra las hip tesis alternativas o (H < > 0:5) que corresponde a comportamiento persistente o antipersistente de los procesos. Los valores propuestos para el valor esperado y la varianza del coeciente (H ) son:6 6
Consultar Peters[25] para mayores detalles 31
P roceso s H u rst
E (R 0(n ) = (n = 2) 0 :5 V a r (E (R 0(n ) ) = ( 2 = 6 = 2) n
(2:12a ) (2:12b)
La ecuaci n anterior fue corregida por Alanis and Lloyd (1976) para la determinaci n del o o valor esperado del rango reescalado y despu s de una correcci n emp e o rica (ver Peters) se llega a una ecuaci n para el valor esperado de H : o E (R = S n ) = n 0:5 n n 1 n X ( ) 2 r= 1
r
n r r
(2:13a )
Debido a que los valores de R/S son normalmente distribuidos, entonces podemos tomar los valores de H como tambi n normalmente distribuidos, en esta caso la varianza esperada e del exponente Hurst emp ricamente se demuestra es:
V a r (H ) =
1 T
(2:13b)
Donde T es el n mero de observaciones de la muestra. u A partir de las ecuaciones (2.13 a) y (2.13 b) podemos determinar el nivel de signicancia con un estad stico que nos dice cuantas desviaciones est ndar se encuentra alej ado del valor a medio E(H ) y el valor obtenido de H en el proceso de Rango-Reescalado. 2 .2 .3 C o e c ie n te H u r st e n e l M e r c a d o d e M x ic o y E sta d o s U n id o s e En la presente secci n se aplicar la metodolog (R/S) descrita anteriormente para o a a la estimaci n del coeciente Hurst al caso del mercado nanciero de M xico en dos de o e sus variables m s importantes y representativas: el a Indice de precios y Cotizaciones (IPC) y el tipo de cambio peso-d lar (TDC) . Y para el caso del mercado de Estados Unidos o (EU) las variables analizadas, tambi n seleccionadas por su importancia, son: el e Indice Dow Jones Industrial (DJI) y el tipo de cambio d lar-euro. Con el n de averig ar, de o u acuerdo a sus caracter sticas de independencia, si en estos dos mercados las series pueden ser consideradas como fractales. En el caso del IPC tomamos la serie SF 43716 de cierre del Indice de Precios y Cotizaciones de 2000 datos que van de Enero de 1999 a enero de 2007. En el caso de TDC se toma la serie SF 43788 del Tipo de Cambio pesos por d lar o EUA interbancario 48 horas al cierre de compra de 2000 datos que van de enero de 1999 a diciembre del 2006. Para el caso de EU la serie de DJI y tipo de cambio D lar Euro van o de enero de 1999 a enero del 2007. Para poder aplicar la metodolog del inciso anterior se desarrollo un programa en Visual a Basic for applications( ver ap ndice A) y hay que considerar que el tama~ o de los diferentes e n conj untos de n para el IPC, TDC, DJI y TDCUS son: 10,16,20,25,40,50,80,100,125,200,250,400,500,1000 32
P roceso s H u rst La graca 2.1 muestra las curvas asociadas a las variables ln (R = S ) contra log(n ) para el caso de los ndices IPC y DJI comparadas con el caso browniano de incrementos independientes(H = 1= 2) . Se puede apreciar que la funci n tiene una pendiente posio tiva, que llega hasta el valor de seis, donde registra una peque~ a ca y luego contin a n da u su ascenso.
Gr ca 2.1 a En la siguiente gr ca 2.2 aparece un comparativo del estad a stico V n del IPC y DJI.
En la gr ca 2.3 se muestran las variables log(R = S ) contra log(n ) para los casos del TDC y a TDCUS comparadas con el caso(H = 1= 2) . En el caso TDC la funci n tiene una pendiente o 33
P roceso s H u rst positiva y constante casi hasta el valor de seis y su comportamiento es parecido al del IPC. El TDCUS, tiene un comportamiento m s irregular. a
Gr ca 2.3 a El estad stico de periodo V n para los tipos de cambio TDC TDCUS se muestra en la siguiente gr ca 2.4 a
Gr ca 2.4 a Aplicando la metodolog de secci n 2.2.1, despu s de seguir los pasos del algoritmo se a o e hace una regresi n de log(R = S ) contra log(n ) . Los resultados para H ;E (H ) ;D E (H ) para o cada una de las cuatro series aparecen en la siguiente tabla 2.1: 34
P roceso s H u rst Tabla 2.1 Serie IPC TDC DJI TDCUS E(H ) 0.5726 0.5726 0.5726 0.5726 DE(H ) 0.0223 0.0223 0.0223 0.0223 (H E (H ) ) = D E (H ) -0.9596 -2.8251 -2.5785 -1.0179 Acepta Ho S S S S
H 0.5512 0.5096 0.5151 0.5499
En la Tabla anterior se puede observar la estimaci n del coeciente Hurst para las series o de IPC , TDC, DJI y TDCUS del mercado mexicano y estadounidense. En general, u nicamente con el valor del exponente H se podr armar que no se comportan como una a caminata aleatoria o un movimiento browniano sino m s bien como una serie persistente, a salvo el caso del Dow Jones que es la serie m s cercana a un comportamiento browniano a tradicional. En el art culo de Palomas(2002) para rendimientos diarios del IPC obtiene un coeciente de H = 0:5838 y si hace una permutaci n de los datos obtiene una H = 0:5088, o la diferencia se puede explicar por el tama~ o de la muestra. n Sin embargo, si tomamos en cuenta el valor esperado y la desviaci n est ndar (DE) los o a resultados no son signicativos y se mantiene la hipotesis nula de un comportamiento independiente. Por lo tanto, aunque teoric mente los valores de H son mayores que 0:5, a estadisticamente no pueden ser considerados de caracteristicas persistentes. De acuerdo con la secci n 2.1.4, si uno observa las gr cas 2.1 y 2.3 para el IPC y TDC y de o a 2.2 a 2.3 para el DJI y TDCUS y conforme a los criterios mencionados y al estad stico V n , podemos pensar que el mercado mexicano y estadounidense de ndices tienen un ciclo de alrededor de log = 5:29 lo que signica un periodo de alrededor de 198 d h biles, es decir as a un ciclo de apr ximadamente a~ o de d naturales. En las variables del tipo de cambio o n as (TDC y TDCUS) los periodos son de de (log = 5:99, log = 5:52) que corresponderian a 399 y 249 dias respectivamente,que corrsponderia a un ano en dias naturales y h biles. a Un ej ercicio adicional para conrmar la variaci n de los valores de H consiste en dividir o cada unas de las series IPC, DJI, TDC y TDCUS, en cinco muestras del mismo tama~ o y n consecutivas en el tiempo. Considerando que cada una de las series tiene distinto n mero u de elementos cuando se aplica la metodolog de Hurst a cada grupo tenemos los siguientes a resultados que se muestran en la Tabla 2.2. Tabla 2.2 Serie IPC TDC DJI TDCUS
P1 0.6644 0.57006 0.5582 0.5423
P2 0.5904 0.5919 0.6293 0.5699 35
P3 0.5923 0.6032 0.6030 0.5971
P4 0.5497 0.5992 0.5451 0.5470
P5 0.5768 0.5010 0.5011 0.5702
P roceso s H u rst De la tabla anterior se pueden obtener al menos dos conclusiones importantes; la primera de ellas es inmediata y se reere a que el exponente Hurst depende del tama~ o de la muestra n y del momento en el tiempo de la medici n, en cierta forma su valuaci n es parecida a al o o estadist de la volatilidad. Por lo tanto, es importante precisar en cualquier c lculo del co a valor de H , tama~ o o el n mero de datos y el momento en que se tom la muestra y realizar n u o las pruebas de signicancia. La segunda conclusi n propia de las series es que el valor del o exponente Hurst los u ltimos periodo (a excepci n del TDCUS) resultan ser menores. Lo o que implicar que en tiempos recientes las series muestran tendencia a alej arse de las a caracter sticas de persistencia e irse moviendo hacia los mercados brownianos tomando en consideraci n que todas las muestras son del mismo tama~ o. o n Dentro de los principales resultados de este cap tulo se aplica la metodolog de Rango a Reescalado (R/S) para la estimaci n del coeciente Hurst de la series IPC, TDC, DJI y o TDCUS y poder determinar sus caracter sticas de independencia. En el pr ximo cap o tulo se hace una presentaci n de manera m s formal matem ticamente hablando del movimiento o a a browniano fraccional, as como las bases, herramientas y resultados m s importantes que a involucran y dependen del coeciente Hurst , estudiado en el presente cap tulo.
36
A n teced en tes M a tem a tico s d el M B F
C ap lo 3 tu A n teced en tes M atem a ticos d el M ov im ien to B row n ian o F raccion al3 .1 M o v im ie n to B r o w n ia n o T r a d ic io n a l y M o v im ie n to B r o w n ia n o F r a c c io n a l El ob j etivo de la presente secci n es proporcionar la j usticaci n y la base t cnica matem tica o o e a para la utilizaci n del movimiento Browniano Fraccional y la extensi n de los algunos de o o los conceptos y teoremas conocidos del movimiento browniano tradicional. 3 .1 .1 M o v im ie n to B r o w n ia n o y C lc u lo d e It^ a o Un movimiento browniano (W (t) ) t> 0 en un espacio de probabilidad j o, con una ltraci n o esta denido por las siguientes propiedades: i) W (0) = 0 ii) S i 0 < t1 < t2 < < tn , entonces W (t2 ) W (t1 ) ;W (t3 ) W (t2 ) W (tn ) W (tn 1 ) son variables aleatorias independientes iii) S i s < t ) entonces W (t) W (s ) se distribuye como N (0;t s ) En este caso el movimiento browniano coincide con el proceso Wiener. Pero en general el movimiento browniano es independiente del concepto de ltraci n y para el proceso Wiener o no se requiere independencia en los incrementos. Adicionalmente el movimiento browniano tiene dos propiedades importantes: la autosimilaridad y relaci n que posee con el ruido o Blanco. Recordemos que la autosimilaridad est denida por la siguiente propiedad: a W (at) = a 2 W (t) ; 8 t:1
(3:1)1
Esta igualdad es en el sentido de distribuci n de probabilidad, es decir que W (at) y a 2 W (t) o tienen exactamente las mismas distribuciones, en otras palabras, cualquier parte nita de una trayectoria de movimiento browniano cuando es reescalada apropiadamente es indistinguible de la trayectoria del todo. En el lenguaj e fractal decimos que la trayectoria del movimiento es una curva fractal de dimensi n D = 2. Con respecto a la segunda o propiedad, la derivada de un movimiento browniano (W (t) ) t> 0 es llamada un proceso de ruido blanco dW ; dt adem s el ruido blanco satisface las siguientes condiciones: a = E[ (t) ] = 0 E[ (t) (t0) ] = (t t0) : 37 (3:2)
(3:3a ) (3:3b)
A n teced en tes M a tem a tico s d el M B F Por otro lado, se dene la integral sobre un proceso Wiener de la manera siguiente: Z1 I (t) = g (t0) dW (t0) (3:4)0 n Esta integral es del tipo Riemann- Stieltj es, y si se toma un partici n [ti ] i= 0 del intervalo o [0;T ] , consideramos las siguientes sumas: n X n X
In =
i= 1
g (ti 1 ) W (ti )
i= 1
g (ti 1 ) [W (ti ) W (ti 1 ) ] :
(3:5)
Donde g (t) debe ser independiente del siguiente incremento W (ti ) del movimiento browniano y baj o condiciones apropiadas sobre g (t) es posible mostrar que las sumas I n convergen en el sentido media cuadrada. Utilizando la independencia de g (t) que el valor esperado de los incrementos brownianos es cero, se sigue: E[I (t) ] = E[ Zt0
g (t0) dW (t0) ] = 0;
(3:6)
tambi n la integral estoc stica obedece la propiedad de isometr e a a E[I (t) ] = E[(2
Zt0
g (t ) dW (t ) ) ] =
0
0
2
Zt0
E(g 2 (t0) ) dt0:
(3:7)
Un proceso de gran utilidad para el modelado de activos subyacentes dentro de las nanzas es el conocido como geom trico browniano que es una transformaci n exponencial del e o movimiento browniano est ndar a dS = S dt + S dW (3:8)
donde y son constantes y con la condici n inicial S (t0 ) = S 0 . Este proceso se utiliza o principalmente para rendimientos de activos. 3 .1 .2 M o v im ie n to B r o w n ia n o F r a c c io n a l El movimiento browniano fraccional (MBF) fu originalmente denido por Kolmogorov e en un espacio de Hilbert. Inicialmente fu llamado proceso Wienerhelix y posteriormente e Mandelbrot le di el nombre de movimiento browniano fraccional. o Un MBF (B H ) con par metro Hurst (H ) ( denido en el cap a tulo anterior) , 0 H 1, es un proceso Gaussiano que se dene por las siguientes propiedades: i) B H (0) = 0 ii) E[B H (t) ] = 0 8 tR Rt Rt iii) C H (t;s ) = E[B H (s ) B H (t) ] = H (2H 1) 0 0 jt s j2 H 1 = 2 [js j2 H + jtj2 H js tj2 H ] ; 8 s y t R 38
2
ds dt
A n teced en tes M a tem a tico s d el M B F en particular cuando s = t y H = 1= 2 entonces Var H (t) = CH
(t;t) = t
El coeciente Hurst (H ) determina el signo de la covarianza entre los eventos pasados y futuros, y dependiendo de su valor se tiene una cierta interpretaci n: o Si H =1 2
yC
H
(t;s ) = 0 entonces B
H
(t) coincide con el movimiento brownianoH
1 Si H > 2 y C H (t;s ) > 0 entonces B dependecia de largo plazo
(t) es persistente en el sentido que tiene una
Si H 0(de la misma forma que la ecuaci n 3.1 o del caso browniano tradicional)
B
H
( t) = H B
H
(t) ; 8 t
(3:9)
Otra manera de interpretar la persistencia de H tiene que ver con la convergencia del siguiente estad stico n que puede tener los siguientes casos con n denido como: n := E[BH
(1) :(B
H
(n + 1) B
H
(n ) ) ]
P1 a) Si n > 0 8 n = 1;2;::: y entonces n= 1 n = 1 1 H > 2 y B H (t) es persistente o de largo plazo P b) Si n < 0 8 n = 1;2;::: y en este caso 1 = 1 j n j < 1 entonces n H < 1 entonces B H (t) es antipersistente 2 En los casos H 6 1 , el MBF no puede ser considerado como un proceso Markoviano, = 2 ni como martingala y por tanto no puede ser analizado mediante el c lculo estoc stico a a tradicional. En el art culo [8] hace referencia a los trabaj os de Dasgupta[5] [6] y Shiryaev [27] 7 en donde entre otras cosas sostienen que la integral de trayectoria denida como una suma de Riemann: ZT0 7
(t;w ) dB
H
(t) = lim
tk ! 0
N 1 X k= 0
(tk ) :(B (tk + 1 ) B (tk ) )
(3:10)
Para una an lisis m s detallado consultar los art a a culos originales 39
A n teced en tes M a tem a tico s d el M B F Si 0 = t1 < t2 < < tn = T , es una partici n de [0;T ] y tk = tk + o limite existe, en general tiene un valor esperado diferente de cero " # ZT 1
tk , y adem s si el a
E
(t;w ) dB
H
0
(t) 6 0 =
(3:11)
En consecuencia, con la integral de trayectoria los procesos no son libres de arbitraj e, recordemos que a las posibilidades de hacer utilidades libres de riesgo sin dinero inicial es llamado oportunidad de arbitraj e o simplemente arbitraj e. En un mercado libre de arbitraj e cualquier portafolio sin riesgo debe tener rendimientos iguales a la tasa libre de riesgo. En un nuevo intento por sustituir el problema de arbitraj e de las integrales de trayectorias, ahora se considera la integral conocida como Skorohod (Wick-It^ ) desarrollada por o Duncan, Hu and Pasik-Duncan y que se denota por: ZT0
(t;w ) H (t)
(3:12)
Y que tambi n puede denirse en t rminos de suma de Riemann como sigue: e e ZT0
(t;w ) d B
H
(t) = lim
tk ! 0
N 1 X k= 0
(tk ) (B (tk + 1 ) B (tk ) )
(3:13)
donde denota el producto Wick,entonces si se llega a un valor esperado de cero: " # ZT
E
(t;w ) B
H
(t) = 0:
(3:14)
0
Por lo tanto, para poder trabaj ar con esta integral es necesario desarrollar un c lculo a equivalente para poder que considere coecientes Hurst diferentes de 0.5. Adem s de a demostrar si los procesos son martingalas t mbien es interesante conocer las reglas de a operaciones del producto Wick que hacen la diferencia en estas nuevas integrales con las integrales de trayectoria ordinarias. 3 .2 A n te c e d e n te s M a te m tic o s a 3 .2 .1 R e v isi n d e l E sp a c io d e H ilb e r t y M tr ic a o e Supongamos un coeciente Hurst (H ) constante, tal que funcion de la siguiente manera: H (t;s ) = H (2H 1) jt s j2 H 40 2 1 2
H
1 y denimos una (3:15)
con t;s 2 R :
A n teced en tes M a tem a tico s d el M B F Sea f : R ! R es medible, entonces decimos que f 2 L 2 (R ) (Conjunto de las funciones cuadrado integrables) si Z Z 2 jf j := f (s ) f (t) (t;s ) ds dt < 1 : (3:16)R R
Deniendo el producto interior Z Z 2 hf ;g i := f (s ) g (t) H (t;s ) (t;s ) ds dt f ;g 2 L (R )R R
(3:17)2
Tenemos que (L 2 (R ) ;h;i) es un espacio de Hilbert. Por otra parte si f 2 L Z Z f (t) dB H (t) := lim m ! 1 f m (t) dB H (t)R R
se dene (3:18)
en donde f m (t) = Z X X a m 1 [t i;t i+ 1 ](t) i a m (B i (3:19a )
i
f m (t) dB
H
(t) =
H
R
i
(ti+ 1 ) B
H
(ti ) ) :
(3:19b)
3 .2 .2 P r in c ip a le s L e m a s y T e o r e m a s A continuaci n se enuncian los lemas y teoremas m s sobresalientes que son necesarios para o a tener una aplicaci n en las siguientes secciones. Para los interesados en las demostraciones o de los Lemas 1,2 y 3 consultar Hu and Oksendal (2000) : L e m a 1 (Iso m e tr d e It^ ) a o Si f 2 L 2 (R ) entonces E
Z
f (t) dB
H
(t)
2
R
= jf j2
(3:20)
2 y por otra parte si f 2 L (R ) entonces se dene Z (f ) := exp f dB R
H
1 2 jf j 2
(3:21)
L em a 2 El span lineal de (f ) ;f 2 L 2 (R ) es denso en L 2 ( ) donde ( ) es la Ley de probabilidad de B H . 41
A n teced en tes M a tem a tico s d el M B F Consideremos para el lema siguiente los polinomios de Hermite, recordando que est n a denidos por h n (x ) = ( 1) n e x Se sigue que si B entoncesH2
=2
dn (e dx n
x 2=2
):
(3:22)
(t) es un movimiento browniano fraccional y tenemos que si f 2 L 2 (R ) hw ;f i = Z f (t) d B (t;w ) (3:23)
H
R
Sea I = (N 0N ) el conj unto nito de todos los mult ndices = ( 1 ;:::; m ) , de enteros no negativos, (N es el conj unto de numeros N 0 = N U f 0g , entonces si = ( 1 ;:::; m ) 2 I , tenemos lo siguiente: H
(w ) := h 1 (hw ;e 1 i) h 2 (hw ;e 2 i) h n (hw ;e n i) : (1 ) (w
(3:24) ) := h 1 (hw ;e 1 i) =
En particular si (1 ) := (1;0;0;0) denota el i- simo vector unitario H e R (hw ;e 1 i) = R e 1 (t) dB H (t) .
L e m a 3 (T e o r e m a d e E x p a n si n d e C a o s F r a c c io n a l W ie n e r -It^ ) o o Sea X 2 L 2 ( ) entonces existe una constante c 2 R X (w ) = adem s a jjX jj2 2 ( ) = L donde ! := 1 ! 2 !;:::; n !: Denimos (S ) como el conj unto de todas las expansiones formales : H G (w ) = tales que: jjG jj2 H; q
y 2 I tal que (3:25)
X
c H
(w ) e n L 2 ( ) ;
2I
X
2 !c
(3:26)
2I
X
c H
(w )
(3:27)
=
2I
X
!c 2 (2N )
q
< 1
para alguna q 2 N :
(3:28)
42
A n teced en tes M a tem a tico s d el M B F 3 .2 .3 P r o d u c to W ic k8
P Sean F (w ) = 2 I a H (w ) 2 (S ) H producto Wick de F y G por
y
G (w ) = X
P
2I
b H
(w ) 2 (S ) denimos el H (3:29)
(F G ) (w ) = Adem s si F ;G 2 (S ) ) F G 2 (S ) a H H
a b H
+
(w )
; 2 I
Por otra parte si f y g 2 L 2 (R ) entonces Z Z Z f dB H g dB H = f dBR R R
H
Z
g dB
H
R
hf ;g i
(3:30)
Si X 2 (S ) entonces se dene su potencia Wick X H Xn
n
por (3:31)
= X X X ;; X (n factores) :1 X
Y la exponencial Wick se dene de la siguiente forma exp (X ) = Qu de forma m s general se puede tener: e a (f ) = exp (hw ;f i) = exp(hw ;f i Si f ;g 2 L 2 (R ) tenemos que: (f ) (g ) = (f + g ) = (f ) (g ) e El ruido blanco fraccional W W WH H H (hf ;g i)
n= 0
1 X n!
n
:
(3:32)
1 2 jf j ) 8 f 2 L 2 (R ) : 2
(3:33)
:
(3:34)
(t) en el tiempo t se dene como Z 1 X i= 1
(t) =
e i (v ) (t;v ) dv
R
Z
e i (t) dB
H
(t)
(3:35)
R
(t) 2 (S ) 8 t, adem s si t ! B a H d B dtH
H
(t) es diferenciable en (S ) se puede llegar a HH (t) e n (S ) H
(t) = W
(3:36)
Las demostraciones y otras resultados del producto Wick se pueden revisar m s ama pliamente en Oksendal(2004) y Hu and Oksendal(2000) 43
8
A n teced en tes M a tem a tico s d el M B F Qu j ustica el nombre de ruido blanco fraccional e Si Y : R ! (S ) H es una funci n tal que Y (t) W H (t) es integrable en (S ) H entonces o denimos la integral de tipo It^ fraccional por o Z Z Y (t) dB H (t) := Y (t) W H (t) dt (3:37) R R
3 .2 .4 M o v im ie n to G e o m tr ic o B r o w n ia n o F r a c c io n a l e Consideremos la extensi n del movimiento geom trico browniano al caso fraccional con la o e siguiente ecuaci n diferencial estoc stica fraccional o a d X (t) = X (t) dt + X (t) dBH
(t) ;X (0) = x > 0
(3:38)
Donde x ; y son constantes. Reescribiremos la ecuaci n de la siguiente forma: o dX (t) = X (t) + X (t) dW H (t) = ( + W (t) ) X (t) : dt Utilizando el c lculo Wick vemos que la soluci n de la ecuaci n est dada por: a o o a Rt ( t+ W H (s )d s ) 0 X (t) = x exp = x exp ( t+ B H (t)) Y al nal tenemos que X (t) = x exp( BH
(3:39)
(3:40)
(t) + t
1 2 2H t ): 2
(3:41)(H )
Sea L 1 ;2 (R ) que denota el complemento del conj unto de todos los procesos adaptados F t , f (t) = f (t;w ) de tal forma que Z ZR
jf j2 1 ;2 (R ) := E L
R
" Z f (s ) f (t) (s ;t) ds dt + E DR
S
f (s ) ds
2 #
< 1
(3:42)
donde D s es la derivada de si D S F es la derivada Malleavin( denada en una secci n o R m s adelante) D s F = R (s ;t) D t F dt. Se tiene la siguiente isometr 9 a a Z 2 E[( f (t;w ) dB H (t) ) 2 ] = jf jL 1 ;2 (3:43)
E[(
Z
R
f (t;w ) dB
H
R
(t) ) ] = 0 8 f
2 L
1 ;2 (R
):
(3:44)
9
Para m yor detalle consultar Hu and Oksendal (2000) y Necula (2002) a 44
A n teced en tes M a tem a tico s d el M B F 3 .2 .5 F o r m u la F r a c c io n a l d e It^ o Supongamos que X (t) sigue el siguiente proceso browniano fraccional d X (t) = (t;w ) d t + (t;w ) d B Si f 2 C 2 (R H
(t) ; 2 L Zt0
1 ;2
(3:45)
R ) entonces tenemos
10
f (t;X (t) ) = f (0;X (0) ) +
Zt0
@f (s ;X (s ) ) ds + @s Zt0
@f (s ;X (s ) ) (S ) ds + @x
+
Zt0
@f (s ;X (s ) ) (s ) dB @x
H
(s ) +
@ 2f (s ;X (s ) ) (s ) D @x2
s
X (s ) ds
(3:46)
3 .2 .6 D e r iv a d a s F r a c c io n a le s A partir del conocimiento del espacio = S 0(R ) se puede denir la diferenciaci n con o respecto a w. Sea F : S 0(R ) ! R es una funci n dada y sea 2 S 0(R ) , decimos que F tiene una derivada o direccional en la direcci n si o D F (w ) := lim! 0
F (w + ) F (w ) :
(3:47)
Existe en (S ) H , en este caso decimos que D F es la derivada direccional de F en la direcci n o . Decimos que F : S 0(R ) ! R es diferenciable si existe un mapeo : R ! (S ) tal que H
(t) (t) = (t;w ) es integrable y D F (w ) = En este caso D t F (w ) := dF (t;w ) := (t;w ) dw Z (t;w ) (t) dt 8 2 L 2 (R ) :
(3:48)
(3:49)
R
(3:50)
Y a D t F (w ) se le llama gradiente estoc stico o derivada Hida/Malliavian de F en t. La a propuesta y resultados de esta derivada pueden consultarse en Hu and Oksendal(2002) y Duncan, Hu and Pasik-Duncan(2002)
10
Para m yor detalle consultar Hu and Oksendal (2000) y Necula(2002) a 45
A n teced en tes M a tem a tico s d el M B F 3 .2 .7 T e o r e m a d e G ir sa n o v Si se considera un movimiento browniano con tendencia W~ (t) = t + W (t) con 0 t T y una constante diferente de cero. W~ (t) no es martingala y su valor esperado es diferente de cero. Sin embargo, puede existir otra medida de probabilidad con respecto a la cual el proceso W (t) si puede llegar a ser ~ un proceso browniano est ndar. Este resultado se conoce como Teorema de Girsanov. a El proceso W~ (t) dado por la ecuaci n anterior es un movimiento browniano est ndar o a respecto a la medida de probabilidad denida por: ~ d ~ =M d donde Mt t
(3:51)
(3:52)
es el proceso Mt
1 2 1 t) = exp( W~ t + 2 t) : (3:53) 2 2 Para la versi n del Teorema de Girsanov con el Movimiento Browniano Fraccional, cono sideremos T > 0 y una funci n continua con s u p p [0;T ] y K una funcion con o s u p p K [0;T ] tal que = exp( Wt
hK ; i = h ;f iL 2 8 f s u p p f [0;T ] Deniendo la medida de probabilidad sobre la algebra F TH = B (B ~ d ~ = e x p ( hw ;K i) dH
(3:54) (s ) ;s T ) por (3:55)
Rt Entonces B~ (t) = B H (t) + 0 s ds es un movimiento browniano fraccional baj o , este ~ teorema puede revisarse en Oksendal(2004) para mayor detalle. 3 .2 .8 T e o r e m a d e E x p a n si n d e C a o s W ie n e r -Ito e n t r m in o s o e d e In te g r a le s Ite r a d a s11
Denotemos L 2 (R n ) el espacio de funciones que son sim tricas con respecto a sus n variables e 2 y jjf jjL 2 (R n )< 1 Denimos la integral iterada como: Z n H
I n (f ) :=11
f dBn
:= n !
R
Z
f (s 1 ;:::;s n ) dB
H
(s 1 ) ;:::;dB
H
(s n )
(3:56)
s 1 < :::< s n
Este teorema fu propuesto y demostrado por Hu and Oksendal (2000) e 46
A n teced en tes M a tem a tico s d el M B F 2 Sea X 2 L 2 ( ) entonces existe un f n 2 L (R n ) tal que
X (w ) =
n= 0
1 X
2 I n (f n ) 2 L 2 ( ) ; f n 2 L (R n ) 1 X
(3:57)
jjX
2 jjG
k
:=
n= 0
2 n !jjf n jjL 2 (R
n
)
(3:58)
Decimos que la expansi n formal est dada por: o a G = Pertenece al espacio G q 1 X Z
g n dBn
n= 0
R
n H
2 (t) ; g n 2 L (R n )
(3:59)
=G jj2 G
q (
) si1 X 2 n !jjg n jjL 2 (R
jjG donde se dene G
q
:=
n
)e
2qn
n= 0
< 1 ;
(3:60)
= G ( ) = t q 2 N G
q (
)
3 .3 E x p e c ta tiv a s C u a sic o n d ic io n a le s 3 .3 .1 D e n ic io n e s P1 R n Sea G = G denimos las expectativas condicionales (o tambi n e n = 0 R n g n dB H H llamadas cuasicondicionales) de G con respecto a F t por: ~ ~ E t [G ] := E[G jFH t
] :=
n= 0
1 X Z
g n (s ) 1 0 0 si X t es F t medible 8 t > 0, X t genera o un uj o de informaci n que esta contenida en la trayectoria de X (t) en el tiempo t. o
47
A n teced en tes M a tem a tico s d el M B F Un proceso estoc stico M at
es llamado Martingala respecto a la ltraci n F t con t 0 si o0
i) M t es adaptado a la ltraci n F t t o ii) E[jM t j] < 1 8 t 0 iii) E[M t jF t0 ] = M t0 8 t t0
(3:63) El movimiento browniano es una martingala, otra forma de referirse usualmente a las martingales es como j uego j usto. Diremos que un proceso estocastico adaptado F tH M(tw) ~ es cuasi martingale si M (t) G ; 8 t y E s [M (t) ] = M (s ) ;8 t > s y se siguen los resultados para los brownianos fraccionales, tambi n del trabaj o de Necula(2002) e a) B H (t) es cuasi martingale Rt b) Sea f 2 L 2 (R ) y (t) := exp( 0 f (s ) dB H (s ) 1 jf 1
