Problèmes mathématiques anciens€¦ · Problèmes mathématiques anciens Cinq problèmes posés au Certiﬁcat d’Études Primaires M. Boulonne - Collège Voltaire Wattignies

Problèmes mathématiques anciensCinq problèmes posés au Certificat d’Études Primaires

M. Boulonne - http://cbmaths.fr

Collège Voltaire Wattignies - 1er juillet 2015

M. Boulonne - http://cbmaths.fr Problèmes au CEP 1er juillet 2015 1 / 41

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Sommaire

1 Qu’est ce que le CEP ?

2 Conseils avant de débuter

3 Cinq problèmes posés au CEP

4 Sources bibilographiques


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Certificat d’Études Primaires (CEP)

Le Certificat d’Études Primaires(CEP) a été créé en 1866 sousl’impulsion de Victor Duruy,

alors ministre de l’Instructionpublique sous Napoléon III. Cecertificat « est decerné après unexamen public auquel pourront

se présenter les enfants dès l’âgede onze ans. Ceux qui, à partir de

cet âge, auront obtenu lecertificat d’études primaires,seront dispensés du temps descolarité obligatoire qui leur

restait à passer. » [Article 6 de laloi Jules Ferry, 1882]


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En 1946, alors quel’instruction obligatoire seprolonge jusqu’à 14 ans, lecertificat d’études s’adresse

prioritairement aux élèves quine sont pas entrés au collège

ou dans un courscomplémentaire (CC).

Certains directeurs et maîtresde cours complémentaires

demandent à leurs élèves depasser les épreuves entre la

classe de 6e et celle de 3e.


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Le CEP était un certificat très complet dont les épreuves sedéroulaient en une journée sous le programme suivant :

Français : rédaction (50 min) / orthographe (50 min) / dictée /compréhension générale d’un texte / explication d’uneexpression / grammaire

Calcul (deux exercices ou problème)SciencesHistoire et géographieCalcul mental (cinq questions)LectureChant ou récitationDessin, travaux manuels ou couture


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Français : rédaction (50 min) / orthographe (50 min) / dictée /compréhension générale d’un texte / explication d’uneexpression / grammaireCalcul (deux exercices ou problème)

SciencesHistoire et géographieCalcul mental (cinq questions)LectureChant ou récitationDessin, travaux manuels ou couture


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Français : rédaction (50 min) / orthographe (50 min) / dictée /compréhension générale d’un texte / explication d’uneexpression / grammaireCalcul (deux exercices ou problème)Sciences

Histoire et géographieCalcul mental (cinq questions)LectureChant ou récitationDessin, travaux manuels ou couture


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Français : rédaction (50 min) / orthographe (50 min) / dictée /compréhension générale d’un texte / explication d’uneexpression / grammaireCalcul (deux exercices ou problème)SciencesHistoire et géographie

Calcul mental (cinq questions)LectureChant ou récitationDessin, travaux manuels ou couture


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Français : rédaction (50 min) / orthographe (50 min) / dictée /compréhension générale d’un texte / explication d’uneexpression / grammaireCalcul (deux exercices ou problème)SciencesHistoire et géographieCalcul mental (cinq questions)

LectureChant ou récitationDessin, travaux manuels ou couture


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Français : rédaction (50 min) / orthographe (50 min) / dictée /compréhension générale d’un texte / explication d’uneexpression / grammaireCalcul (deux exercices ou problème)SciencesHistoire et géographieCalcul mental (cinq questions)Lecture

Chant ou récitationDessin, travaux manuels ou couture


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Français : rédaction (50 min) / orthographe (50 min) / dictée /compréhension générale d’un texte / explication d’uneexpression / grammaireCalcul (deux exercices ou problème)SciencesHistoire et géographieCalcul mental (cinq questions)LectureChant ou récitation

Dessin, travaux manuels ou couture


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Français : rédaction (50 min) / orthographe (50 min) / dictée /compréhension générale d’un texte / explication d’uneexpression / grammaireCalcul (deux exercices ou problème)SciencesHistoire et géographieCalcul mental (cinq questions)LectureChant ou récitationDessin, travaux manuels ou couture


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En 1959, l’instructionobligatoire est prolongée

jusqu’à 16 ans précipitantavec elle la disparition des

classes de fin d’étudesprimaires.

En 1972, le certificat d’étudesprimaires ne s’adresse plus

qu’aux adultes. Il futremplacé petit à petit par le

Certificat de formationgénérale (CFG), son obtentiondonne l’équivalence du CEP.

Sa suppression est actée le 28août 1989 (soit 123 ans après

sa création).


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Conseils avant de débuter

Les problèmes de mathématiques posés demandent beaucoupd’étapes intermédiaires pour arriver à la réponse à la question. Ilfaudra donc :

écrire les données de l’énoncé avant de commencer le problème ;

faire des tableaux de proportionnalité quand on tombe sur unesituation de proportionnalité (calcul de quantité, de prix, . . .).décrire au fur et à mesure ce qu’on calcule.


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écrire les données de l’énoncé avant de commencer le problème ;faire des tableaux de proportionnalité quand on tombe sur unesituation de proportionnalité (calcul de quantité, de prix, . . .).

décrire au fur et à mesure ce qu’on calcule.


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écrire les données de l’énoncé avant de commencer le problème ;faire des tableaux de proportionnalité quand on tombe sur unesituation de proportionnalité (calcul de quantité, de prix, . . .).décrire au fur et à mesure ce qu’on calcule.


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3 Cinq problèmes posés au CEPProblème Un — L’enseigne de la droguerieProblème Deux — Récolte de pommes de terreProblème Trois — Transport de boisProblème Quatre — Trajet automobileProblème Cinq — Le jardin à la française


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Problème Un — L’enseigne de la droguerie

Problème Un — L’enseigne de la droguerieUn panneau rectangulaire mesure 9 m de périmètre, la largeurétant le 1/4 de la longueur. Un peintre doit y tracer le motDROGUERIE en lettres capitales. Chaque lettre aura 20 cm delarge et 26 cm de haut, sauf la lettre I qui n’aura que 8 cm de large.

1 L’intervalle séparant 2 lettres étant de 7 cm, à quelle distancedes extrémités du panneau commence et finit le motconvenablement centré ? À quelle distance du haut et du bas dupanneau se trouve-t-il ?

2 Le peintre met 20 h à 3,50 F l’heure pour faire le travail ; ilutilise 500 g de peinture à 6,80 F le kg, sur laquelle il prend25% de bénéfice. À combien s’élève la facture ?


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Problème Un — Explications

Droguerie : commerce vendant principalement des produits liésaux soins corporels (hygiène, cosmétique) et à l’entretiendomestique.

Bénéfice de p% :

revenu +revenu× p

100=

(1 +

p100

)× revenu.

Schéma du panneau


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Droguerie : commerce vendant principalement des produits liésaux soins corporels (hygiène, cosmétique) et à l’entretiendomestique.Bénéfice de p% :

revenu +revenu× p

100=

(1 +

p100

)× revenu.

Schéma du panneau


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Droguerie : commerce vendant principalement des produits liésaux soins corporels (hygiène, cosmétique) et à l’entretiendomestique.Bénéfice de p% :

revenu +revenu× p

100=

(1 +

p100

)× revenu.

Schéma du panneau


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Problème Un — Solution (1/3)

1) Dimension du panneau : On sait que la largeur du rectangleest égale au quart de la longueur. Donc :

P = 2× (L + `) = 2×(

L +14

L)

= 2× 54× L =

104

L.

Or, le périmètre du panneau rectangulaire est de 9 mètres, ilfaut donc résoudre l’équation :

104

L = 9

10L = 36

L =3610

=185

m = 3,6 m .

et : ` = 14L = 18

20 = 910 m = 0,9 m .

Donc : le panneau rectangulaire a pour dimensions 3,6 m delong et 0,9 m de large.


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Longueur du texte :

Longueur occupée par les sept premières lettres :7× (20 + 7) = 7× 27 = 189 cm.Longueur occupée par la lettre I : 8 + 7 = 15 cm.Longueur occupée par la dernière lettre E : 20 cm.Longueur totale du texte : 189 + 15 + 20 = 224 cm = 2 m 24cm.

Espace horizontal : 3,6−2,242 = 0,68 m = 68 cm .

L’espace horizontal à allouer au texte doit être de 68 cm pourqu’il soit correctement centré.Espace vertical : 0,9−0,26

2 = 0,32 m = 32 cm .L’espace vertical à allouer au texte doit être de 32 cm pour qu’ilsoit correctement centré.


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Longueur du texte :Longueur occupée par les sept premières lettres :7× (20 + 7) = 7× 27 = 189 cm.

Longueur occupée par la lettre I : 8 + 7 = 15 cm.Longueur occupée par la dernière lettre E : 20 cm.Longueur totale du texte : 189 + 15 + 20 = 224 cm = 2 m 24cm.





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Longueur du texte :Longueur occupée par les sept premières lettres :7× (20 + 7) = 7× 27 = 189 cm.Longueur occupée par la lettre I : 8 + 7 = 15 cm.

Longueur occupée par la dernière lettre E : 20 cm.Longueur totale du texte : 189 + 15 + 20 = 224 cm = 2 m 24cm.





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Longueur du texte :Longueur occupée par les sept premières lettres :7× (20 + 7) = 7× 27 = 189 cm.Longueur occupée par la lettre I : 8 + 7 = 15 cm.Longueur occupée par la dernière lettre E : 20 cm.

Longueur totale du texte : 189 + 15 + 20 = 224 cm = 2 m 24cm.





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Longueur du texte :Longueur occupée par les sept premières lettres :7× (20 + 7) = 7× 27 = 189 cm.Longueur occupée par la lettre I : 8 + 7 = 15 cm.Longueur occupée par la dernière lettre E : 20 cm.Longueur totale du texte : 189 + 15 + 20 = 224 cm = 2 m 24cm.





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L’espace horizontal à allouer au texte doit être de 68 cm pourqu’il soit correctement centré.

Espace vertical : 0,9−0,262 = 0,32 m = 32 cm .

L’espace vertical à allouer au texte doit être de 32 cm pour qu’ilsoit correctement centré.


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2) Coût total pour peindre le panneau :

Coût de la main d’œuvre : 20× 3,5 = 70 FCoût de la matière peinture + bénéfice : 6,80

2 × 1,25 = 4,25 FCoût total pour peindre le panneau : 70 + 4,25 = 74,25 F .La facture s’élève à 74,25 F.


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2) Coût total pour peindre le panneau :Coût de la main d’œuvre : 20× 3,5 = 70 F

Coût de la matière peinture + bénéfice : 6,802 × 1,25 = 4,25 F

Coût total pour peindre le panneau : 70 + 4,25 = 74,25 F .La facture s’élève à 74,25 F.


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2) Coût total pour peindre le panneau :Coût de la main d’œuvre : 20× 3,5 = 70 FCoût de la matière peinture + bénéfice : 6,80

2 × 1,25 = 4,25 F

Coût total pour peindre le panneau : 70 + 4,25 = 74,25 F .La facture s’élève à 74,25 F.


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2 × 1,25 = 4,25 FCoût total pour peindre le panneau : 70 + 4,25 = 74,25 F .

La facture s’élève à 74,25 F.


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2 × 1,25 = 4,25 FCoût total pour peindre le panneau : 70 + 4,25 = 74,25 F .La facture s’élève à 74,25 F.


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Problème Deux — Récolte de pommes de terre

Problème Deux : Récolte de pommes de terreUn cultivateur a planté en pommes de terre un champ de 2 ha etdemi. Le rendement moyen est de 180 kg l’are.

1 Evaluer en quintaux le poids de la récolte.2 Cette récolte est vendue en trois fois : un tiers à l’arrachage à

12,50 F le quintal ; la moitié du reste au début de l’hiver à 150F la tonne. Le reste des pommes de terre n’est vendu qu’aumois de mars à 17,40 F le quintal, mais le cultivateur constateun déchet de 10%. Quelle somme retiera-t-il de sa récolte.

3 Quel est le revenu réel à l’hectare si les frais se sont élevés à874 F ?


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1 Evaluer en quintaux le poids de la récolte.

2 Cette récolte est vendue en trois fois : un tiers à l’arrachage à12,50 F le quintal ; la moitié du reste au début de l’hiver à 150F la tonne. Le reste des pommes de terre n’est vendu qu’aumois de mars à 17,40 F le quintal, mais le cultivateur constateun déchet de 10%. Quelle somme retiera-t-il de sa récolte.



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Problème Deux — Explications

1 are (1 a) = 100 m2

1 hectare (1 ha) = 10000 m2

1 quintal (1 q) = 100 kgArrachage : le fait d’arracher les pommes de terre à la terre.Ceci constitue la récolte totale des pommes de terre.Récolte après déchet : Récolte initiale - 1

10 récolte initiale.


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1 are (1 a) = 100 m2

1 hectare (1 ha) = 10000 m2




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1 are (1 a) = 100 m2

1 hectare (1 ha) = 10000 m2

1 quintal (1 q) = 100 kg

Arrachage : le fait d’arracher les pommes de terre à la terre.Ceci constitue la récolte totale des pommes de terre.Récolte après déchet : Récolte initiale - 1



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1 are (1 a) = 100 m2

1 hectare (1 ha) = 10000 m2

1 quintal (1 q) = 100 kgArrachage : le fait d’arracher les pommes de terre à la terre.Ceci constitue la récolte totale des pommes de terre.

Récolte après déchet : Récolte initiale - 110 récolte initiale.


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1 are (1 a) = 100 m2

1 hectare (1 ha) = 10000 m2




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Problème Deux — Solution (1/3)

1) Poids de la récolte en quintal

Conversion du rendement moyen en quintal : 180÷ 100 = 1,8 q.Conversion de l’aire du champ en are : 2,5× 100 = 250 a.Poids de la recolte : 250× 1,8 = 450 q. La récolte a pour poids450 quintaux.


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1) Poids de la récolte en quintalConversion du rendement moyen en quintal : 180÷ 100 = 1,8 q.

Conversion de l’aire du champ en are : 2,5× 100 = 250 a.Poids de la recolte : 250× 1,8 = 450 q. La récolte a pour poids450 quintaux.


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1) Poids de la récolte en quintalConversion du rendement moyen en quintal : 180÷ 100 = 1,8 q.Conversion de l’aire du champ en are : 2,5× 100 = 250 a.

Poids de la recolte : 250× 1,8 = 450 q. La récolte a pour poids450 quintaux.


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1) Poids de la récolte en quintalConversion du rendement moyen en quintal : 180÷ 100 = 1,8 q.Conversion de l’aire du champ en are : 2,5× 100 = 250 a.Poids de la recolte : 250× 1,8 = 450 q. La récolte a pour poids450 quintaux.


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2) Revenu rapporté à la récolte

Revenu à l’arrachage :

12,5× 13× 450 = 12,5× 150 = 1875 F

Revenu hivernal :

23× 1

2× 45× 150 =

13× 45× 150 = 15× 150 = 2250 F.

Récolte de mars après perte : 150− 150× 110 = 135

Revenu de mars : 135× 17,40 = 2349 F.Revenu total :

2349 + 2250 + 1875 = 6474 F .

Le cultivateur a gagné 6474 francs après récolte.


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2) Revenu rapporté à la récolteRevenu à l’arrachage :

12,5× 13× 450 = 12,5× 150 = 1875 F

Revenu hivernal :

23× 1

2× 45× 150 =

13× 45× 150 = 15× 150 = 2250 F.



2349 + 2250 + 1875 = 6474 F .



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12,5× 13× 450 = 12,5× 150 = 1875 F

Revenu hivernal :

23× 1

2× 45× 150 =

13× 45× 150 = 15× 150 = 2250 F.



2349 + 2250 + 1875 = 6474 F .



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12,5× 13× 450 = 12,5× 150 = 1875 F

Revenu hivernal :

23× 1

2× 45× 150 =

13× 45× 150 = 15× 150 = 2250 F.



2349 + 2250 + 1875 = 6474 F .



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12,5× 13× 450 = 12,5× 150 = 1875 F

Revenu hivernal :

23× 1

2× 45× 150 =

13× 45× 150 = 15× 150 = 2250 F.


Revenu de mars : 135× 17,40 = 2349 F.

Revenu total :

2349 + 2250 + 1875 = 6474 F .



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12,5× 13× 450 = 12,5× 150 = 1875 F

Revenu hivernal :

23× 1

2× 45× 150 =

13× 45× 150 = 15× 150 = 2250 F.



2349 + 2250 + 1875 = 6474 F .



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3) Revenu rapporté après paiement des frais

6474− 874 = 5600F.

Revenu rapporté par hectare cultivé :

5600÷ 2,5 = 2240F .

Le revenu réel à l’hectare s’élève à 2240 F.


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Problème Trois — Transport de bois

Problème Trois — Transport de boisSur la coupe, le bois vaut 15 F le m3. On le transporte dans unchariot dont chaque voyage est payé 5 F. Jacques a dépensé 150 F,transport compris, pour faire rentrer du bois qui, à raison de 0,4dst par jour, lui a permis 225 jours de chauffage.Combien de stères de bois le chariot transporte-il à chaque voyage ?


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Problème Trois — Explications

Coupe : prix payé au bucheron qui a coupé le bois.

1 stère de bois (1 st) = 1 m3.1 décistère de bois (1 dst) = 0,1 m3.


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Coupe : prix payé au bucheron qui a coupé le bois.1 stère de bois (1 st) = 1 m3.

1 décistère de bois (1 dst) = 0,1 m3.


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Coupe : prix payé au bucheron qui a coupé le bois.1 stère de bois (1 st) = 1 m3.1 décistère de bois (1 dst) = 0,1 m3.


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Problème Trois — Solution (1/1)

Quantité de bois :

0,4× 225 = 90 dst = 9 st.

Prix de la coupe :15× 9 = 135.

Nombre de voyage :

150− 1355

=155

= 3.

Nobmre de stères transporté pour un voyage :

9÷ 3 = 3 st .

À chaque voyage, le chariot transporte 3 stères de bois.


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Quantité de bois :

0,4× 225 = 90 dst = 9 st.


Nombre de voyage :

150− 1355

=155

= 3.


9÷ 3 = 3 st .



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Quantité de bois :

0,4× 225 = 90 dst = 9 st.


Nombre de voyage :

150− 1355

=155

= 3.


9÷ 3 = 3 st .



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Quantité de bois :

0,4× 225 = 90 dst = 9 st.


Nombre de voyage :

150− 1355

=155

= 3.


9÷ 3 = 3 st .



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Problème Quatre — Trajet automobile

Problème Quatre — Trajet automobileUn automobiliste part de son domicile à 14 h 32. Son compteurmarque 8614 km. Il revient à 17 h 12. Son compteur marque 8762km.

1 Quelle distance a-t-il parcourue ?2 Pendant combien de temps a-t-il roulé ?3 À l’aller et au retour, il est passé dans un village qu’il n’a pu

traverser qu’en 6 minutes, à la vitesse de 15 km/h. Quelle a étésa vitesse moyenne sur route ?

4 Quelle a été sa vitesse moyenne sur la totalité du voyage ?


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1 Quelle distance a-t-il parcourue ?

2 Pendant combien de temps a-t-il roulé ?3 À l’aller et au retour, il est passé dans un village qu’il n’a pu




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1 Quelle distance a-t-il parcourue ?2 Pendant combien de temps a-t-il roulé ?

3 À l’aller et au retour, il est passé dans un village qu’il n’a putraverser qu’en 6 minutes, à la vitesse de 15 km/h. Quelle a étésa vitesse moyenne sur route ?



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Problème Quatre — Explications

Calcul de temps : 60 minutes = 1 heure.

On pourra utiliser ce schéma pour calculer le temps de trajet :

14 h 32 15 h 17 h 17 h 12

Si d est la distance parcourue et t le temps mis pour effectuercette distance, alors la vitesse moyenne peut se calculer par laformule : v = d

t .Attention à la question 3, il faudra enlever 6× 2 = 12 minutes(temps aller ET retour) au temps total de trajet et calculer ladistance parcourue pendant ces 12 minutes (grâce à la vitessemoyenne) pour avoir la distance parcourue sur route.


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Calcul de temps : 60 minutes = 1 heure.On pourra utiliser ce schéma pour calculer le temps de trajet :

14 h 32 15 h 17 h 17 h 12




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14 h 32 15 h 17 h 17 h 12


t .

Attention à la question 3, il faudra enlever 6× 2 = 12 minutes(temps aller ET retour) au temps total de trajet et calculer ladistance parcourue pendant ces 12 minutes (grâce à la vitessemoyenne) pour avoir la distance parcourue sur route.


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14 h 32 15 h 17 h 17 h 12




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Problème Quatre — Solution (1/2)

1) Distance parcourue lors du trajet : 8762− 8614 = 148 km.La distance parcourue lors du trajet de l’automobiliste est de148 kilomètres.

2) Temps du trajet :

14 h 32 15 h 17 h 17 h 1228 min 2 h 12 min

28 min + 2 h + 12 min = 2 h + (28 + 12) min = 2 h 40 min .

2 h 40 min ≈ 2,667 h

Le temps mis pour effectuer le trajet est de 2 heures et 40minutes.


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1) Distance parcourue lors du trajet : 8762− 8614 = 148 km.La distance parcourue lors du trajet de l’automobiliste est de148 kilomètres.2) Temps du trajet :

14 h 32 15 h 17 h 17 h 1228 min 2 h 12 min

28 min + 2 h + 12 min = 2 h + (28 + 12) min = 2 h 40 min .

2 h 40 min ≈ 2,667 h

Le temps mis pour effectuer le trajet est de 2 heures et 40minutes.


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3) Vitesse moyenne sur route :

Durée du parcours sur ville : 6× 2 = 12 min.Conversion de la durée de parcours sur ville en heures :1260 = 1

5 = 0,2 h.Distance parcourue en ville : 15× 0,2 = 3 km.Distance parcourue sur route : 148− 3 = 145 km.Durée du parcours sur route :2 h 40 min− 12 min = 2 h28 min ≈ 2,467 h.Vitesse moyenne sur route : 145

2,467 ≈ 58,78 km .La vitesse moyenne sur route est approximativement de 58,78km/h (arrondi au centième près).

Vitesse moyenne sur trajet total :

VT =148

2,666≈ 55,5 km/h .

La vitesse moyenne sur la totalité du voyage est d’environ 55,5km/h (arrond au dixième près).


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3) Vitesse moyenne sur route :Durée du parcours sur ville : 6× 2 = 12 min.

Conversion de la durée de parcours sur ville en heures :1260 = 1




VT =148

2,666≈ 55,5 km/h .



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3) Vitesse moyenne sur route :Durée du parcours sur ville : 6× 2 = 12 min.Conversion de la durée de parcours sur ville en heures :1260 = 1

5 = 0,2 h.

Distance parcourue en ville : 15× 0,2 = 3 km.Distance parcourue sur route : 148− 3 = 145 km.Durée du parcours sur route :2 h 40 min− 12 min = 2 h28 min ≈ 2,467 h.Vitesse moyenne sur route : 145



VT =148

2,666≈ 55,5 km/h .



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5 = 0,2 h.Distance parcourue en ville : 15× 0,2 = 3 km.

Distance parcourue sur route : 148− 3 = 145 km.Durée du parcours sur route :2 h 40 min− 12 min = 2 h28 min ≈ 2,467 h.Vitesse moyenne sur route : 145



VT =148

2,666≈ 55,5 km/h .



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5 = 0,2 h.Distance parcourue en ville : 15× 0,2 = 3 km.Distance parcourue sur route : 148− 3 = 145 km.

Durée du parcours sur route :2 h 40 min− 12 min = 2 h28 min ≈ 2,467 h.Vitesse moyenne sur route : 145



VT =148

2,666≈ 55,5 km/h .



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5 = 0,2 h.Distance parcourue en ville : 15× 0,2 = 3 km.Distance parcourue sur route : 148− 3 = 145 km.Durée du parcours sur route :2 h 40 min− 12 min = 2 h28 min ≈ 2,467 h.

Vitesse moyenne sur route : 1452,467 ≈ 58,78 km .

La vitesse moyenne sur route est approximativement de 58,78km/h (arrondi au centième près).


VT =148

2,666≈ 55,5 km/h .



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VT =148

2,666≈ 55,5 km/h .



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VT =148

2,666≈ 55,5 km/h .



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Sommaire



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Problème Cinq — Le jardin à la française

Problème Cinq — Le jardin à la françaiseLa figure ci-contre représente un jar-din à la française. Les allées (en ha-chures) ont une largeur uniforme de 2m. On sait que AB = 54 m et BC = 36m. Les côtés du rectangle EFGH sontpartout à 8 m des côtés du rectangleABCD.

1 Quelle est la surface desmassifs ?

2 On répand du sable valant 15 Fle m3 sur les allées et il faut 1 m3

de sable pour 20m2. Quelle serala dépense ?


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Problème Cinq — Explications (1/2)

Un massif dans un jardin est une plate-bande à forme plus oumoins géométrique recevant un groupe de fleurs ou d’arbusteset donnant un aspect de composition homogène.

La question 1 est très difficile. Il faut réussir à décomposer lafigure en figures simples pour calculer la surface des massifs.Les quatre massifs qui bordent le massif central sont de mêmesurface. Pour calculer l’aire des quatre massifs, il faudracalculer l’aire d’un de ces massifs et multiplier le résultat par 4.


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Un massif dans un jardin est une plate-bande à forme plus oumoins géométrique recevant un groupe de fleurs ou d’arbusteset donnant un aspect de composition homogène.La question 1 est très difficile. Il faut réussir à décomposer lafigure en figures simples pour calculer la surface des massifs.

Les quatre massifs qui bordent le massif central sont de mêmesurface. Pour calculer l’aire des quatre massifs, il faudracalculer l’aire d’un de ces massifs et multiplier le résultat par 4.


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Un massif dans un jardin est une plate-bande à forme plus oumoins géométrique recevant un groupe de fleurs ou d’arbusteset donnant un aspect de composition homogène.La question 1 est très difficile. Il faut réussir à décomposer lafigure en figures simples pour calculer la surface des massifs.Les quatre massifs qui bordent le massif central sont de mêmesurface. Pour calculer l’aire des quatre massifs, il faudracalculer l’aire d’un de ces massifs et multiplier le résultat par 4.


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Voici les mesures données par l’énoncé :

Voici les points utilisés pour la solution du problème :


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Voici les mesures données par l’énoncé :

Voici les points utilisés pour la solution du problème :


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Problème Cinq — Solution (1/3)

1) Aire des massifs : AM = AIJKL + 4×AAQREST.

Calcul de l’aire du rectangle IJKL. On sait que AB = 54 m,BC = 36 m, ainsi EF = 54− 16 = 38 m, BC = 36− 16 = 20 m.

AIJKL = (38− 4)× (20− 4) = 34× 16 = 544 m2.

Calcul de l’aire de l’hexagone AQREST :AAQREST = AAQVT −ARESV . On calcule AQ = 54−2

2 = 522 = 26 m et

AT = 36−22 = 17 m. Donc : AAQVT = 17× 26 = 442 m2.


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1) Aire des massifs : AM = AIJKL + 4×AAQREST.Calcul de l’aire du rectangle IJKL. On sait que AB = 54 m,BC = 36 m, ainsi EF = 54− 16 = 38 m, BC = 36− 16 = 20 m.

AIJKL = (38− 4)× (20− 4) = 34× 16 = 544 m2.


2 = 522 = 26 m et

AT = 36−22 = 17 m. Donc : AAQVT = 17× 26 = 442 m2.


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1) Aire des massifs : AM = AIJKL + 4×AAQREST.Calcul de l’aire du rectangle IJKL. On sait que AB = 54 m,BC = 36 m, ainsi EF = 54− 16 = 38 m, BC = 36− 16 = 20 m.

AIJKL = (38− 4)× (20− 4) = 34× 16 = 544 m2.


2 = 522 = 26 m et

AT = 36−22 = 17 m. Donc : AAQVT = 17× 26 = 442 m2.


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Aire des massifs : AM = AIJKL + 4×AAQREST.

Calcul de l’aire du rectangle IJKL.Calcul de l’aire de l’hexagone AQREST :AAQREST = AAQVT −ARESV . On sait AAQVT = 17× 26 = 442 m2.On calcule RE = 26− 8 = 18 m et ES = 17− 8 = 9 m. Donc :ARESV = 18× 9 = 162 m2.On calcule l’aire de l’hexagone :

AAQREST = 442− 162 = 280 m2.

On peut ainsi calculer la surface des massifs :

AM = 544 + 4× 280 = 1664 m2 .

La surface des massifs est de 1664 m2.


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Aire des massifs : AM = AIJKL + 4×AAQREST.Calcul de l’aire du rectangle IJKL.

Calcul de l’aire de l’hexagone AQREST :AAQREST = AAQVT −ARESV . On sait AAQVT = 17× 26 = 442 m2.On calcule RE = 26− 8 = 18 m et ES = 17− 8 = 9 m. Donc :ARESV = 18× 9 = 162 m2.On calcule l’aire de l’hexagone :

AAQREST = 442− 162 = 280 m2.


AM = 544 + 4× 280 = 1664 m2 .



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Aire des massifs : AM = AIJKL + 4×AAQREST.Calcul de l’aire du rectangle IJKL.Calcul de l’aire de l’hexagone AQREST :AAQREST = AAQVT −ARESV . On sait AAQVT = 17× 26 = 442 m2.On calcule RE = 26− 8 = 18 m et ES = 17− 8 = 9 m. Donc :ARESV = 18× 9 = 162 m2.On calcule l’aire de l’hexagone :

AAQREST = 442− 162 = 280 m2.


AM = 544 + 4× 280 = 1664 m2 .



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Aire des massifs : AM = AIJKL + 4×AAQREST.Calcul de l’aire du rectangle IJKL.Calcul de l’aire de l’hexagone AQREST :AAQREST = AAQVT −ARESV . On sait AAQVT = 17× 26 = 442 m2.On calcule RE = 26− 8 = 18 m et ES = 17− 8 = 9 m. Donc :ARESV = 18× 9 = 162 m2.On calcule l’aire de l’hexagone :

AAQREST = 442− 162 = 280 m2.


AM = 544 + 4× 280 = 1664 m2 .



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Problème Cinq — Solution (2,5/3)

Méthode plus simple pour calculer l’aire des massifsAire des massifs = (Aire ABCD - Aire EFGH - Aire des allées aucentre) + Aire du massif central


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2) Coût du sable pour recouvrir les allées

Calcul de la surface des allées :

AA = AT −AM = (54 + 4)× (36 + 4)− 1664= 58× 40− 1664 = 2320− 1664 = 656 m2.

Les allées ont pour surface 656 m2.Quantité de sable : q = 656

20 = 32,8 m3.Coût du sable : c = 15× 32,8 = 492 F .Le sable pour recouvrir les allées coûtera 492 F.


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2) Coût du sable pour recouvrir les alléesCalcul de la surface des allées :

AA = AT −AM = (54 + 4)× (36 + 4)− 1664= 58× 40− 1664 = 2320− 1664 = 656 m2.

Les allées ont pour surface 656 m2.

Quantité de sable : q = 65620 = 32,8 m3.

Coût du sable : c = 15× 32,8 = 492 F .Le sable pour recouvrir les allées coûtera 492 F.


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AA = AT −AM = (54 + 4)× (36 + 4)− 1664= 58× 40− 1664 = 2320− 1664 = 656 m2.


20 = 32,8 m3.

Coût du sable : c = 15× 32,8 = 492 F .Le sable pour recouvrir les allées coûtera 492 F.


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AA = AT −AM = (54 + 4)× (36 + 4)− 1664= 58× 40− 1664 = 2320− 1664 = 656 m2.


20 = 32,8 m3.Coût du sable : c = 15× 32,8 = 492 F .Le sable pour recouvrir les allées coûtera 492 F.


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P. JOREZ & G. KOËLL, 1300 problèmes, certificat d’étudesprimaires, Classiques Hachette, Édition en France 1963.

C. GIRAC-MARINIER, Auriez-vous eu votre Certificat d’Étudesen 1923 ?, Larousse, 2013.

Annales du C.E.P., livre du maître, Vuibert, 1982.

Certificat d’études primaires, Wikipédia, l’encyclopédie libre.


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Problèmes mathématiques anciens€¦ · Problèmes mathématiques anciens Cinq problèmes posés au Certiﬁcat d’Études Primaires M. Boulonne - Collège Voltaire Wattignies

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