Probleme cu arii

5/13/2018 Probleme cu arii - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/probleme-cu-arii 1/13

16225 – G.M. 12/1976

Se consider ptratul ABCD de latur a . Pe diagonala ( ) BD se consider punctul O astfel

ca

1

, 11

OB

k DB k = >+ . Dac { }P AD OC = ∩ , s se arate c ( )1 ABP ADBS k S= − ⋅ .

Petru Asaftei, Cotnari, Ia i

Soluie.

Cu ajutorul proporiilor derivate, avem1 1

1 1

OB OB

OD DB OB k k = = =

− + −

Deoarece BC DP& , avem asemnarea1 BC OB

BOC DOP

DP OD k

∆ ∆ = = . Dar

( )1

11

BC DP AD AP BC AP AP k BC

AP k = + = + = = −

−

Evalum aria triunghiului ABP : ( ) ( )1 1 1

1 12 2 2

ABPS AB AP AB k BC k AB AD= ⋅ = ⋅ − = − ⋅ ⋅ =

( )1 ABD

k S= − , q.e.d.



22626 – G.M. 4/1992

În triunghiul dreptunghic l( )( )90 ABC m A = considerm punctul mobil Int M ABC ∈ i

, MN BC MP AC ⊥ ⊥ unde ( ) ( ), N BC P AC ∈ ∈ . Dac h este lungimea înlimii din A iar

AB c= , s se arate c 1 MN MP

h c+ < .

Doru P. Firu, profesor, Or ova

Soluie.

Aria triunghiului ABC se scrie în dou moduri ca2 2

ABC

ah bcS = = .

Deoarece Int M ABC ∈ ∆ , are loc inegalitatea MAC MBC ABC

S S S+ <

2 2

MP AC MN BC S

⋅ ⋅ + <

Se împarte aceast

inegalitate cu ABC

S S= , înlocuind apoi S cu2

bcîn prima frac

ie

i cu

2

ah

în cea de-a doua :

1 1

2 22 2

MP b MN a MP MN

bc ah c h

⋅ ⋅+ < ⇔ + <

⋅ ⋅

, q.e.d.



E:2933 – G.M.B. 4/1968

În paralelogramul l( )( )90 ABCD m C > se dau 12, 15 AB AC = = , înlimea

( )( )9CE E AD= ∈ . Se prelungete CE pân ce intersecteaz [ BA în N . S se afle AEN S .D. Mîrzan, Rm. Vâlcea

Soluie.

Cu teorema lui Pitagora în triunghiurile dreptunghice CED∆ i AEC ∆ calculm:2 2

3 7 DE CD CE = − =

2 212 AE AC CE = − =

Întrucât AN CD& , rezult AEN DEC ∆ ∆ (teorema fundamental a asemnrii), deci :

12 9 36 7

73 7

AE EN AE CE EN

DE EC DE

⋅ ⋅= = = =

Se calculeaz acum1 1 36 7 216 7

122 2 7 7

AEN S AE EN = ⋅ = ⋅ ⋅ =



22628 – G.M. 4/1992

Dac ABCD este un patrulater convex i ( ) ( ), M AB N CD∈ ∈ astfel încât 1 MB NC

AB CD+ = ,

s se arate c MCD NAB ABCDS S S+ = .

Virgil Nicula, profesor, Bucure ti

Soluie.

Fie ( )0,1 1 MB NC

k k AB CD

= ∈ = −

Se calculeaz rapid 1 1 MA MB

k AB AB

= − = − i ( )1 1 1 ND NC

k k CD CD

= − = − − =

Avem ( ) ( )1 1 1 AMD

AMD ABD

ABD

S MAk S k S

S AB= = − = − ⋅

Analog, se deduc relaiile :

( )2 BMC

BMC ABC

ABC

S MBk S k S

S AB= = = ⋅

( )3 AND

AND ACD

ACD

S NDk S k S

S CD= = = ⋅

( ) ( )1 1 4 BNC

BNC BCD

BCD

S NC k S k S

S CD= = − = − ⋅

Se adun membru cu membru relaiile ( )1 i ( )4 , apoi ( )2 i ( )3 :

( ) ( ) ( ) ( )1 1 5 AMD BNC ABD BCD ABCD

S S k S S k S+ = − ⋅ + = − ⋅

( ) ( )6 BMC AND ABC ACD ABCDS S k S S k S+ = ⋅ + = ⋅

Se adun acum relaiile ( )5 i ( )6 :

( )1 AMD BNC BMC AND ABCD

S S S S S k k + + + = ⋅ − +

Dar AMD BMC ABCD CMD

S S S S+ = − i BNC AND ABCD ANB

S S S S+ = − .

Obinem ( )2 ABCD CMD ANB ABCD ABCD CMD ANB

S S S S S S S− + = = + , q.e.d.

Pentru1

2k = , regsim problema E:5163 din G.M. 8/1975.



19954* - G.M. 12/1983

Pe laturile unui triunghi oarecare ABC se consider punctele ( ) ( ),P AB Q BC ∈ ∈ ,

( ) R CA∈ astfel încît

AP BQ CR

PB QC RA= = . S se arate c [ ] [ ]4 PQR ABC σ σ ⋅ ≥ .

(Generalizarea unei probleme date la admitere în Facultatea de Matematic, 1982).

Marian Dinc , profesor, Române úti, Dîmbovi a

Soluie.

Fie 0 AP BQ CR

PB QC RAλ = = = > . Cu ajutorul propor iilor derivate, ob inem

1 1

AP AP c

AB

λ λ

λ λ = =

+ +; analog, 1

1

AC b AR

ARλ

λ = + =

+.

Se calculeaz [ ]( )

2

1 1sin sin

2 2 1 APR AP AR A bc A

λ σ

λ = ⋅ ⋅ = ⋅

+

. Pe de alt parte,

[ ]1

sin2

S ABC bc Aσ = = ⋅ , deci[ ]

( )[ ]

( )2 2

1 1

APR APR S

S

σ λ λ σ

λ λ = = ⋅

+ +

. În mod

analog, se ob ine c [ ] [ ] [ ]( )

2

1 BQP CRQ APR S

λ σ σ σ

λ = = = ⋅

+

.

Prin scdere, ob inem: [ ] [ ] [ ] [ ]( )PQR S APR BQP CRQσ σ σ σ = − + + , deci

[ ]( )

2

31

1PQR S

λ σ

λ

§ ·= −¨ ¸

¨ ¸+© ¹

. Îns ( )2

4 1λ λ ≤ + (inegalitate echivalent cu ( )2

1 0λ − ≥ ), sau

( )2

4 11

λ

λ ≤

+

. Prin înmul ire cu 34

§ ·−¨ ¸© ¹

, ob inem( )

23 3

41

λ

λ

− ≥ −

+

, deci

( ) ( )[ ] [ ] [ ] [ ]

2 2

3 1 3 1 11 1 4

4 4 41 1S S PQR ABC PQR ABC

λ λ σ σ σ σ

λ λ

§ ·− ≥ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ⋅ ≥¨ ¸

¨ ¸+ +© ¹, q.e.d. Egalitatea are loc dac úi numai dac 1λ = , ceea ce se întîmpl atunci cînd , ,P Q R

sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC .



16049 – G.M. 9/1976 Fie triunghiul ABC i punctele ( ) ( )1 2 1

, , A A BC B CA∈ ∈ , cu ( )1 2 A BA∈ . Notm

{ } { }1 1 2 1, N AA BB P AA BB= ∩ = ∩ i { } 1

M AA CP= ∩ . Dac , AM p MN = ⋅

BN m NP= ⋅ i CP n MP= ⋅ , s se exprime aria triunghiului MNP în funcie de aria S atriunghiului ABC i de parametrii , ,m n p .

Nusfet aganai, Constan a

Soluie.

Se folosete proprietatea: raportul ariilor a dou triunghiuri cu un vârf comun i laturile opuseacestuia pe aceeai dreapt este egal cu raportul lungimilor laturilor opuse vârfului comun(înlimea dus din vârful comun fiind aceeai).

În baza acestei proprieti, scriem( )

1

1 1

MNP

ANP

S MN MN MN

S AN AM MN MN p p= = = =

+ + +

( )11

ANP MNP

SS p

=

+

Dar( )

( )1

21 1 1

ANP APB

ANP

APB

S NP NP NP SS

S PB BN NP NP m m m= = = = =

+ + + +

Din relaiile ( )1 i ( )2 obinem( ) ( )

( ) ( ) ( )1 1 31 1

APB

MNP APB MNP

SS S m p S

m p= = + +

+ +

Observm c ( )1 APM ANP MNP MNP MNP MNPS S S p S S p S= − = + − = ⋅

Aplicm înc o dat proprietatea pentru triunghiurile APM i : APC

( )

1

4 APM

APC APM MNP

APC

S MP MP

S n S np SS CP n MP n= = = = ⋅ = ⋅⋅

Triunghiurile MNP i BPC au unghiurile din P suplementare; fie n( ) BPC α µ = , deci

n( ) NPM µ π α = − .

Avem1

sin2

BPC S BP CP α = ⋅ ⋅ , ( )1 1

sin sin2 2

MNPS MP NP MP NPπ α α = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅

Rezult prin împrire c :



( ) ( ) ( )1 1 1 5 BPC BPC MNP

MNP

S BP CP BP CP BN NP BN n n n m S n m S

S MP NP NP MP NP NP

⋅ + § ·= = ⋅ = ⋅ = + = + = +¨ ¸

⋅ © ¹

Relaiile ( ) ( )3 5− exprim ariile triunghiurilor , APB APC i BPC în funcie de aria triunghiului

MNP . Prin adunarea celor trei relaii, obinem expresia ariei triunghiului : ABC

( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1 1 ABC APB APC BPC MNP MNPS S S S S m p np n m S m p mp np n mn= + + = ⋅ + + + + + = ⋅ + + + + + +

Observm c ( )( )( )1 1 1 1m p mp np n mn m n p mnp+ + + + + + = + + + − . Rezult c :

( ) ( )( )1 1 1 MNP

SS

m n p mnp=

+ + + −



21215*, G.M. 9/1987Dac O este un punct în interiorul triunghiului ABC úi , , A B C ′ ′ ′ celelalte intersec ii ale

dreptelor , ,OA OB OC cu laturile triunghiului, s se arate c este adevrat rela ia:

1OB C OA C OA B

AB C BA C CA B

S S S

S S S

′ ′ ′ ′ ′ ′

′ ′ ′ ′ ′ ′

+ + =

Al. O et, profesor, Bra úov

Soluie. Vom utiliza urmtoarea proprietate: Dac în triunghiul ABC lum punctul BC D ∈ ,

avem:

ADB

ADC

S BD

S DC = (se demonstreaz uúor, inînd seama c triunghiurile ADB úi ADC au

înl imea din A comun).S revenim acum la problema noastr. Notm pentru început rapoartele:

1 2 3, ,

BA CB AC k k k

CA AB BC

′ ′ ′= = =

′ ′ ′

Conform teoremei lui Ceva, avem rela ia ( )1 2 31 1k k k = ; din aceast egalitate, rezult

3

21

2

31

1

32

111

k k k

k k k

k k k =⇔=⇔= .

Fie ABC

S S= . Conform propriet ii amintite, avem:

( )3 3

3

3 3

2

1 1

ACC ACC

ACC

BCC ABC

S k S Sk AC k S

BC S k S k

′ ′

′

′

′= = = =

′ + +

Utilizând aceeaúi proprietate, rezult úi:

2 2

1 1

1

AB C AB C AB C

CB C CB C AB C ACC

S S S AB

k CB S k S S S

′ ′ ′ ′ ′ ′

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

′= = = =

′ + +

( )( )( )3

2 2 3

31 1 1

ACC

AB C

S Sk S

k k k

′

′ ′ = =+ + +

Scoatem de aici úi( ) ( )

( )2 3

2

2 3

41 1

CB C AB C

Sk k S k S

k k ′ ′ ′ ′= ⋅ =

+ +

Aici intervine rela ia lui Van Aubel:



( )1 2

2

1 1

1 15

CO CB CA k k k

OC AB BA k k

′ ′ += + = + =

′ ′ ′

Pe de alt parte,

( )6 BOC

OB C

SCO

OC S

′

′ ′

=′

Din rela iile ( )5 úi ( )6 , rezult:

1 2 1 2 1

1 1

1 1 B OC B OC OB C

OB C OB C

S S Sk k k k k

S k S k

′ ′ ′ ′

′ ′ ′ ′

++ + += =

( )1 2 1 1

1 1 2 1

17

1

CB C

OB C CB C

OB C

S k k k k S S

S k k k k

′ ′

′ ′ ′ ′

′ ′

+ += = ⋅

+ +

Din rela iile ( )4 úi ( )7 rezult c:

( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )1 2 3

2 3 1 2 1 2 3 1 2 1

81 1 1 1 1 1

OB C Sk k k SSk k k k k k k k k k

′ ′ = =+ + + + + + + +

(s-a utilizat aici rela ia ( )1 ).

Se împart membru cu membru rela iile ( )8 úi ( )3 úi rezult:

( ) ( ) ( )

( )( )

( )2 3

2 3 1 2 1 3 3 1 2 1

1 1 1

1 1 1 1

OB C

AB C

k k S S

S k k k k k Sk k k k k

′ ′

′ ′

+ += ⋅ =

+ + + + + +

( )1 2 3 1 3 3 1 3 3

1 19

1

OB C

AB C

S

S k k k k k k k k k

′ ′

′ ′

= =+ + + +

Similar, se obtin relatiile:

( )3

1 3 3

101

OA C

BA C

S k

S k k k

′ ′

′ ′

=+ +

( )1 3

1 3 3

111

OA B

CA B

S k k

S k k k

′ ′

′ ′

=+ +

Adunînd membru cu membru rela iile ( ) ( )9 , 1 0 úi ( )11 , gsim exact:

3 1 3

3 1 3

11

1

OB C OA C OA B

AB C BA C CA B

S S S k k k

S S S k k k

′ ′ ′ ′ ′ ′

′ ′ ′ ′ ′ ′

+ ++ + = =

+ +, q.e.d.



22611 – G.M. 2-3/1992

Într-un triunghi oarecare ABC notm cu D piciorul bisectoarei din A . Pe semidreptele ( AB i

( AC

lum respectiv punctele M

i N

astfel încât

n l MDA B≡

i

n l NDA C ≡

. Notm cuP

aldoilea punct în care bisectoarea din A taie cercul circumscris triunghiului ABC . S se arate c

AMPN ABC S S= .

Nicolae Oprea, lector univ., Baia Mare

Soluie.

Deoarecen n

n n

ADM ABD

DAM BAD

- ≡°®

≡°̄, rezult c

2 AM AD AD

ADM ABD AM AD AB AB

∆ ∆ = = .

Dar ( )2 2

2 21 AMP

AMP ABP

ABP

S AM AD ADS S

S AB AB AB= = = ⋅

Îns ( )2

2 ABD

ABP

S AD AD

S AP AD AP= =

⋅

Se calculeaz produsul ( ) 2 AD AP AD AD DP AD AD DP⋅ = ⋅ + = + ⋅ . Puterea lui D fa de

cerc se scrie în dou moduri 2 AD DP BD CD AD AP AD BD CD⋅ = ⋅ ⋅ = + ⋅

Relaia lui Stewart pentru bisectoarea [ ] AD se scrie :

2 2 2 AB CD AC BD AD BC BC BD CD⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅

Înlocuind ,ac ab BD CDb c b c

= =+ +

în membrul stâng al acestei relaii, se obine :

( )( )2 2 2 2

bc b cab acc b a AD BD CD AD BD CD bc

b c b c b c

+⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = =

+ + +

Relaia ( )2 devine2

2

ABD

ABP ABD

ABP

S AD AB AC S S

S AB AC AD

⋅= = ⋅

⋅; din relaia ( )1 se obine

2

2 2 AMP ABD ABD

AD AB AC AC S S S

AB AD AB

⋅= ⋅ ⋅ = ⋅



Îns ABD

ABD

ABC

S BD c cS S

S BC b c b c= = =

+ +, deci

AMP

b c bS S S

c b c b c= ⋅ =

+ +.

În mod analog, obinem ANP AMNP AMP ANP ABC

c b c

S S S S S S S Sb c b c

+

= = + = = =+ + , q.e.d.



E:5819* - G.M. 3/1977

Cât de mare este segmentul 1OO din figura de mai jos, tiind c ariile haurate sunt egale i c

1r = ?

Revista Alfa nr. 4/1976, R.D. German

Soluie.

Aria dreptunghiului 1OABO se compune din : aria sferturilor de disc q 1 ADC (în cercul ( )O ) i

q BDC (în cercul ( )1O ) din care scdem aria 1S a triunghiului curbiliniu 1CDC (care face parte

din ambele sferturi de disc), i la care adunm aria 2S a triunghiului curbiliniu ABD .

Fie 1 2 x OO= < distana dintre centrele cercurilor. Aria dreptunghiului 1OABO este

1 1OABOS OO OA x= ⋅ = u.a. Un sfert de disc dintr-un cerc de raz 1 are aria de 4

π

u.a. Rezult

aadar egalitatea :

1 224

x S Sπ

= ⋅ − +

Cheia în rezolvarea facil a problemei este egalitatea 1 2S S= ; relaia de mai sus devine în

consecin 12

x OOπ

= = , care satisface condiia 2 x < .

Observaie. Calculul efectiv al ariilor (fie i egale) 1S i 2S nu este chiar trivial. Dac ducem

1 DM CC ⊥ , aceasta este ax de simetrie a suprafeei curbilinii de arie 1S . Jumtatea 1S ′ ariei

1S se compune din :

- aria triunghiului dreptunghic 1 DMC ;

- aria segmentului circular corespunztor arcului q 1 DC .



Avem 1

2 2

OO xOM = = , iar în triunghiul dreptunghic OMD , calculm 2 2

MD OD OM = − =

24

2

x−

= . Se calculeaz 1 1

2

2

x

MC OC OM

−

= − = , deci 1 1

1

2 DMC S DM MC = ⋅ =

( ) 22 4

8

x x− −=

Segmentul circular q 1 DC are aria egal cu a sectorului circular corespunztor din care se scade

1ODC S . Evalum mai întâi

1

2

1

1 4

2 4ODC

xS OC DM

−= ⋅ =

Unghiul la centru al sectorului/segmentului q 1 DC se calculeaz din triunghiul OMD :

2 24 4

sin arcsin2 2

DM x x

ODα α

− −

= = = . Aria sectorului q

1 DC este deci

q 1

2 2

sector

1 4arcsin

2 2 2 DC

r xS

α π

π

⋅ −= = . Aadar, aria segmentului q

1 DC este :

q q 11 1

2 2

seg sector

1 4 4arcsin

2 2 4ODC DC DC

x xS S S

− −= − = −

În concluzie, q

( )1 1

2 2 2

1 seg

2 4 1 4 4arcsin

8 2 2 4 DMC DC

x x x xS S S

− − − −′ = + = + − =

2 21 4 4arcsin

2 2 8

x x x− −= − , deci

2 2

1 1

4 42 arcsin

2 4

x x xS S

− −′= = −

În cazul2

xπ

= , obinem2 2

1

16 16arcsin 0,181303

4 16S

π π π − −= − ≅ u.a.

Probleme cu arii

Documents