Problemas Teoria de sistemas

1 Modelado de sistemas continuos

1.1 (2.1, 3.1,5.1, 6.1)

Un registrador es un aparato que representa sobre un papel las variaciones de una cierta magnitud de

entrada, por ejemplo una tensión, a lo largo del tiempo. Esto se consigue haciendo que un cursor dotado de

una plumilla en su extremo se desplace verticalmente siguiendo las variaciones de la entrada mientras un

rollo de papel va avanzando a velocidad constante, como se ilustra en la Figura 1.

RegistradorVR

Figura 1

VR K+

-

V

r

θx l

-VCC

+VCC

l

C

Figura 2 Una posible realización (simplificada) del registrador se muestra en la Figura 2, donde un motor de corriente

continua controlado por inducido tiene como entrada una tensión proporcional (según sea K, la ganancia,

que se supone positiva) a la diferencia entre la tensión de entrada, VR, y la tensión en el cursor, VC, la cual

es proporcional al desplazamiento vertical de éste, x, gracias al potenciómetro lineal: VC = VCC⋅x/l. El

desplazamiento angular del eje del motor se transforma en desplazamiento lineal del cursor mediante una

polea de radio r. El motor tiene constante eléctrica Ke, constante mecánica KΓ, resistencia de inducido Ri, y

autoinducción de inducido Li. El eje del motor junto con la carga (poleas, cursor, etc.) representa un

momento de inercia J y una fricción viscosa de coeficiente f. La tensión de entrada VR está siempre

comprendida entre +VCC y -VCC.

Modelar el sistema registrador y obtener su función de transferencia, X/VR.

1.2 (2.2)

La figura representa el esquema de un accionamiento

electromecánico. Este sistema consta de un amplificador

de potencia de ganancia A, un motor de corriente continua

controlado por inducido (resistencia interna Ri, cte.

eléctrica Ke, cte. par Kp, inercia Jm, fricción viscosa f), un

tren de engranajes de relación de reducción n, y la inercia

J1, que es la carga que se ha de mover, sobre la que a

A

n

f

J1EV

JmVω

θVθ

Kθ

Kω

ω

veces se aplica un par de frenado Γf (perturbación). Para permitir el control de dicho sistema se dispone de

dos sensores: un potenciómetro de constante Kθ y una dinamo tacométrica de constante Kω, que captan la

posición angular del eje de la inercia, θ, y la velocidad angular del eje del motor, ωm, respectivamente.

1. Modelar mediante diagrama de bloques, mostrando todas las entradas y salidas relevantes.

2. Obtener, por simplificación del diagrama, las funciones de transferencia Vω/VE, Vθ/VE, y Vω/Γf.

Los valores numéricos de los parámetros del sistema son:

A = 2.7 Ganancia del amplificador de potencia R = 2.67 Ω Resistencia de inducido del motor Kp = 0.0731 N·m/A Constante de par del motor Ke = 0.0741 V/rad·s-1 Constante eléctrica del motor n = 119.75 Relación de reducción f = 2.18·10-4 N·m/rad·s-1 Fricción viscosa sobre el eje del motor J = 1.12·10-4 Kg·m2 Inercia total referida al eje del motor (Jm+J1/n2) Kθ = 2.08 V/rad Constante del potenciómetro acoplado al eje controlado Kω = 2.73·10-2 V/rad·s-1 Constante de la dinamo tacométrica acoplada al eje del motor

1.3 (2.3, 3.2, 5.2)

La figura representa el esquema de una

central hidroeléctrica. El subsistema de

accionamiento de la compuerta consta

de un amplificador de potencia de

ganancia A, un motor de corriente

continua controlado por inducido

(resistencia de inducido RMI, constantes

de par y eléctrica KMP y KME), y un

reductor de relación n. El caudal a

través de la compuerta se supone

proporcional al ángulo de apertura en la zona de trabajo: Q = KC·θC. Reducidas al eje del motor, la inercia y

la fricción viscosa que presenta el grupo motor-reductor-compuerta son JM y fM. Además puede producirse

un par de frenado, por fricción seca sobre este eje, Γf. El caudal de agua que se dirige a la turbina es

medido por un caudalímetro que supondremos también proporcional: VQ = KQ·Q. El modelo linealizado de la

turbina relaciona el par que proporciona con el caudal y la velocidad angular según: ΓT = KTQ·Q - KTω·ωT. El

eje de la turbina mueve un generador (resistencia interna RGI, constantes de par y eléctrica KGP y KGE), que

produce en la línea una tensión VL. La inercia y fricción viscosa del grupo turbina-generador son JT y fT. La

carga de la línea eléctrica conlleva una cierta intensidad I (por ejemplo, para carga resistiva RL: I=VL/RL).

1. Modelar mediante diagrama de bloques, mostrando todas las entradas y salidas relevantes.

2. Obtener, por simplificación del diagrama, las funciones de transferencia Q/VE, VL/Q, y VL/I.

3. Para ciertos valores de los parámetros, el modelo es el

mostrado. ¿Qué sucede si se mantiene VE igual a

cero?

A

n

G

M

Q

RL

VL

Vl

ΘCVE

TVQ

1.4 (2.3)

A2

VQ

Kq

f

J2

2

nVω

Kω

EVA1

J1

f1

V

AK a

Kv

VG

VI

R L

VLc

Motor CompuertaDinamo Turbina Generador Carga La maqueta de una central hidroeléctrica se compone de: un subsistema de accionamiento de la compuerta

que deja entrar caudal a la turbina (simulado mediante la tensión de salida de un potenciómetro), del grupo

turbina-generador (simulado por dos motores de corriente continua acoplados, uno funcionando como motor

y otro como generador), y de la carga de la línea eléctrica (simulada por resistencias y bombillas). El

objetivo es mantener la tensión de línea en el valor especificado por la consigna, independientemente de la

carga.

El subsistema de accionamiento de la compuerta consta de un amplificador de potencia, un motor de

corriente continua controlado por inducido, y un reductor. La compuerta se simula mediante un

potenciómetro acoplado al eje lento del reductor, que proporciona una tensión Vq proporcional al caudal de

agua. El diagrama de bloques es:

2Vwc

1Vq

1Ve

1J1.s+f1

Kq

KwKe1

1/s1/nKp11/R1+-

A1

La turbina se simula mediante un motor de corriente continua accionado por la tensión Vq, amplificada por

un amplificador de potencia. La generación de tensión de la central se simula mediante un generador de

corriente continua (que es un motor trabajando como generador). El diagrama de bloques es:

1. Obtener las funciones de transferencia Vq/Ve, VL/Vq, y VL/I

Los valores numéricos de los parámetros del subsistema de la compuerta son:

A1 = 1 Ganancia del amplificador R1 = 14.2 Ω Resistencia de inducido del motor Kp1= 0.0260 N·m/A Constante de par del motor Ke1= 0.0265 V/rad·s-1 Constante eléctrica del motor n = 125 Relación de reducción f1 = 4.91·10-6 N·m/rad·s-1 Fricción viscosa en el eje del motor J1 = 1.07·10-6 Kg·m2 Inercia total en el eje del motor Kω = 2.34·10-2 V/rad·s-1 Constante de la dinamo tacométrica Kq = 1.733 V/rad Constante del potenciómetro que simula la compuerta Los valores numéricos de los parámetros del subsistema turbina-generador son:

A2 = 3.3 Ganancia del amplificador R2 = 3.67 Ω Resistencia de inducido del motor Kp2= 0.0731 N·m/A Constante de par del motor Ke2= 0.0741 V/rad·s-1 Constante eléctrica del motor f2 = 4.9·10-5 N·m/rad·s-1 Fricción viscosa en el eje turbina J2 = 1.67·10-4 Kg·m2 Inercia total en el eje turbina Kg = 0.0731 V/rad·s-1 Constante eléctrica del generador Kpg= 0.0741 N·m/A Constante de par del generador Rg = 3.67 Ω Resistencia interna del generador

Para regular la tensión generada se compara su medida (utilizando un voltímetro de constante Kv=0.5) con

la tensión de referencia y en función del error se actúa sobre el motor de la compuerta. Con el control más

sencillo (actuación proporcional al error) el diagrama de bloques simplificado, con datos numéricos, resulta:

CompuertaVq

Vref

s10.48

0.02s+1k

Regulador

+-

3.20.11s+1

Turbina-Generador

-+

I 0.06s+10.11s+1

7.2

Vg0.5

VL

…

Vref

IG2

-+ G1

Vg

2. Funciones de transferencia G1 y G2 al transformar el diagrama de bloques tal como se indica.

1.5

Modelar el siguiente sistema, cuyas entradas son las fuerzas sobre los bloques

(f1, f2) y cuyas salidas son los desplazamientos del punto de equilibrio (y1, y2).

m1

m2

k1

k2

c

f1

f2y1

y2

1.6

Un sismógrafo (ver figura) es un aparato que registra las (pequeñas)

aceleraciones del terreno (ü) que se producen durante un terremoto.

Modelar el sismógrafo (Análisis: justificar su función y razonar sobre la

elección de sus parámetros).

1.7

Modelar el siguiente sistema, cuya entrada es Ve y cuya salida es Vs:

1.8

Dibujar y comparar los diagramas de bloques de los siguientes circuitos:

C

R

C'

R'

C

R

C'

R'-+

1.9

Modelar los siguientes circuitos. Justificar su denominación de regulador proporcional y derivado, y

regulador proporcional e integral, respectivamente:

-+

R

R R

CVV

V

1

2

ES

S

α

β

-+

R

R C

VV

V

1

2

ES

S

α R

β

m

kc

u

y

R L

C

R

CVe Vs

L

1.10

Un motor de corriente continua controlado por inducido es un subsistema muy frecuente en sistemas de

control como servomecanismos, accionamiento de servoválvulas, tracción de pequeños vehículos, etc.,

cuya función es transformar energía eléctrica en mecánica. Sus parámetros característicos son la

resistencia y autoinducción de inducido (R y L), las constantes eléctrica y de par (Ke y Kp), y la inercia y

fricción viscosa del eje (J y b). Las ecuaciones de comportamiento del motor ideal se indican en la figura.

R L

U I Ebω

Γm

JE=Keω

Γm p=K I

U

I

ω

Modelar este sistema. Considerado como sistema en sí, típicamente, sus entradas son la tensión en bornas

(U) y el par de carga (Γc), y sus salidas son la velocidad angular (ω) y la intensidad en el inducido (I).

1.11

Si forzamos el movimiento del eje de un motor de corriente continua controlado por inducido, se provocará

una corriente en el devanado del rotor, es decir, tendremos un generador. Si se hace girar el eje a una

velocidad ω, se obtiene en bornas una tensión U. Si el generador está conectado a una carga, circula por el

devanado una intensidad I, que depende de la carga y de la tensión generada, pero que podemos tomar

como una entrada de nuestro sistema. Dependiendo de cuál sea la velocidad a que se hace girar el

generador, y cuánta sea la carga, deberemos aplicar mayor o menor par en el rotor (Γ) para hacerlo girar.

Los parámetros característicos del motor son la resistencia y autoinducción de inducido (R y L), las

constantes eléctrica y de par (Ke y Kp), y la inercia y fricción viscosa del eje (J y b). Las ecuaciones de

comportamiento del motor ideal se indican en la figura.

R L

U I Eb ω

Γm

JE=Keω

Γm p=K I

U

I

ω

Modelar este sistema. Utilizado como generador, las entradas son la velocidad angular (ω) y la intensidad

en el inducido (I), y las salidas son la tensión en bornas (U) y el par requerido en el eje (Γ).

1.12

La figura muestra un sistema de suspensión magnética de una bola de hierro.

El devanado del electroimán presenta resistencia R y autoinducción L. La

fuerza magnética que atrae a la bola, de masa M, es i2/y.

Modelar el sistema y/e, linealizando en torno a la posición de equilibrio y = y0. y

e

M

R, L

1.13

La figura representa dos depósitos de agua de igual sección A, conectados mediante una resistencia

hidráulica de valor R. El caudal de entrada se controla mediante una servoválvula (Qe = Kv u). La salida es

turbulenta ( 2ss HKQ = ) y el caudal de salida se mide con un sensor proporcional de constante Kq.

Qs

Q1

Qe

R

Qp

H1 H2

servo- válvula

sensor

u

A = 1 m2 R = 5 m/m3 s-1 Q0 = 0.1 m3/s Ks = 0.1 m3 s-1/m0.5 Kv = 0.1 m3 s-1/V Kq = 10 V/m3 s-1

1. Obtener la función de transferencia qs/qe para pequeñas variaciones de caudal en torno al punto de

equilibrio dado por Qe=Q1=Qs=Q0. ¿Qué influencia tiene sobre la salida qs en régimen permanente

una variación del punto de trabajo?

2. Dibujar la evolución de Qs para una variación instantánea del caudal de entrada del 5% de Q0.

Comprobar si el nivel de agua del segundo depósito supera en algún momento su altura máxima, que

es de 1.2 m

1.14 (5.4)

R

U

i

E

X

m

J

m

O

θ

La figura representa un sistema barra-bola. Se trata de una bola de masa m que puede desplazarse,

presentando fricción viscosa f, a lo largo de una barra que oscila alrededor del punto de apoyo O. El

movimiento de la barra lo produce un motor cc (R, Ke, Km). La inercia del conjunto motor-barra, mucho

mayor que la de la bola, es J, y su fricción viscosa es b.

Obtener la función de transferencia X/U. Dibujar cualitativamente la forma de X(t) para una entrada U(t)

escalón unitario.

1.15

La figura muestra una balanza automática. El peso a medir, P [N], que se aplica a una distancia lp [m] del

punto de apoyo, se equilibra con el contrapeso, Pc [N], cuya posición, x [m], se ajusta automáticamente.

Para posicionar el contrapeso se emplea un motor de corriente continua controlado por inducido, que se

alimenta con una tensión proporcional a la diferencia entre las medidas del desplazamiento vertical del

extremo de la balanza (Ky·y [V]) y del desplazamiento del contrapeso (Kx·x [V]). Al girar, el motor desplaza

el contrapeso mediante un tornillo sin fin de paso Kt [m/rad].

La inercia de la balanza respecto al punto de apoyo puede considerarse constante y de valor J [kg·m2], y al

girar presenta fricción viscosa con constante b [N·m/s-1]. La resistencia de inducido del motor es R [Ω] y su

constante (eléctrica y mecánica) es Km [N·m/A]. La inercia (reducida al eje del motor) del conjunto rotor /

tornillo sin fin / contrapeso es Jm [kg·m2]. El contrapeso, al desplazarse, presenta fricción viscosa de

constante bc [N/m·s-1].

Se supone que la inclinación de la balanza es siempre pequeña.

y

θ

P

+- KKx·x

Ky·yV

xli lp

ωPc

Tomando como entrada el peso a medir, P, y como salida el desplazamiento del contrapeso, x, dibujar el

diagrama de bloques de este sistema. Simplificarlo para obtener x/P. A la vista de dicha función de

transferencia, justificar que se emplee este dispositivo como balanza, siendo x la medida del peso, e indicar

la constante de medida [m/N].

1.16 (5.5)

En la figura se muestra el esquema de una

dirección asistida eléctrica. En el eje del volante

hay un resorte de torsión (Kθ=0.2 N·m/rad) y un

sensor (KR=5 V/rad) que mide la diferencia de

ángulo girado entre los extremos del resorte. Esta

tensión se emplea como referencia para

alimentar un motor cc (Ke=Kp=0.2 N·m/A, R=1Ω,

Jm=0.01 kg·m2, Bm=0.1 N·m/rad·s-1), que

proporciona un par de asistencia que se suma al

del volante en el doble tren de engranajes (nm=nv

=5). La rotación del eje del tren de engranajes se

transforma en desplazamiento lineal mediante

una cremallera (KT=0.05 m/rad), en cuyo desplazamiento se produce fricción viscosa (Bc=10 N/m·s-1). A

través de una biela (l=10 cm) la cremallera hace girar la rueda respecto del eje vertical (z). La rueda

presenta inercia ante este giro (Jr=0.6 Kg·m2). Además, a la velocidad de interés, se produce un par sobre

la rueda tendente a enderezarla, que se puede considerar proporcional al giro: Mr=K·Ψ (K=10 N·m/rad)

Obtener la función de transferencia del sistema (Ψ/θ1) simplificando el diagrama de bloques, suponiendo

que Reg es una cte de valor unidad. Dibujar aproximadamente la respuesta (giro de las ruedas) ante un

giro brusco del volante de 45º.

1.17 (2.7)

La figura representa un freno accionado por

un motor cc (R, Kp, Ke, Jm, fm). El eje del

motor lleva un husillo (paso: p= x / θm) que

hace desplazarse una pieza móvil con una

zapata. La zapata presiona con una fuerza

Fz sobre un disco de radio r1, solidario con

una polea de radio r2, frenando la bajada de

la masa m. La inercia de la polea y el disco es J y la fricción viscosa con su eje es f. La elasticidad de la

zapata puede modelarse como un muelle de constante K, tal como muestra la figura. El coeficiente de

fricción entre la zapata y el disco es µ.

Modelar este sistema considerando como entrada la tensión aplicada al motor U y como salidas la velocidad

de la masa m (v), la fuerza de apriete del freno (Fz), y la velocidad angular del motor (ωm).

Reg

x

Ψl

K T

n v n m

U

KR

K θ

Volante

Motor de asistencia

Bc

Bm

Jm

Jr

θ 1

θ 2

Eje z

R

U

i

Ef

X

Vm

ω

µ

r1

r2

θm

m

Jm

J

K

f

Fz

1.18 (2.8)

J

++

- - R

K

Xo XFd

Kv

Ks G J

Vsω

m o t o r

d i n a m o

F

L

La figura representa un esquema de control de fuerza para un manipulador de un solo eje. Este consta de

un brazo rígido de longitud L, movido por un motor cc (R, Ke, Kp), siendo J la inercia del rotor junto con el

brazo . La velocidad de giro del eje viene medida por una dinamo tacométrica de constante Kd, cuya tensión

de salida se amplifica mediante una ganancia Kv. El extremo del manipulador está en contacto con un

obstáculo externo deformable, cuya elasticidad puede modelarse como un muelle de constante de rigidez K

(deformación proporcional a la fuerza ejercida).

Para controlar la fuerza ejercida por el manipulador sobre el obstáculo (F), se dispone de un sensor de

fuerza situado en el extremo del manipulador, que proporciona una tensión proporcional: Vs = Ks F, y de un

regulador proporcional de valor G.

Obtener la función de transferencia F/Fd considerando constante la posición Xo del obstáculo.

1.19 (2.9, 5.6, 6.2)

R

U

i

Ef

O

X

K K

J

Fa

Fd

Fa

Fd

m m

La figura representa una garra accionada por un motor cc (R, Ke, Km). El motor está acoplado

directamente a un husillo de paso p = X/θ que permite abrir y cerrar los dedos de la garra simétricamente.

La inercia del conjunto motor-husillo es J y la fricción viscosa del eje es f. Los dedos de la garra, de masa

m, y la pieza a agarrar tienen una cierta elasticidad, que puede modelarse como dos muelles de constante

K. Se parte de una posición inicial con los dedos en contacto con la pieza, sin ejercer presión (X=0, Fa=0).

Obtener la función de transferencia Fa/U

1.20 (2.10, 5.7)

En la figura se muestra el esquema de una

estiradora/enrolladora de papel. El

estiramiento se consigue entre el par que

produce el motor cc (R, Kp, Ke, Jm) sobre el

rodillo de enrollamiento, de radio R2, y la

oposición al giro, debida a la fricción viscosa

B, que ejercen los rodillos de estrusión, de

radio R1. Se supone que el papel no desliza

respecto a los rodillos y que su tensión a la

izquierda del esquema es nula.

Obtener la función de transferencia del sistema, considerando como salida la tensión que soporta el papel

(T) y como entrada el potencial aplicado a los bornes del motor (U). Justificar que se utilice la salida del

sensor de posición del resorte, de constante Ks, como medida de T.

1.21 (5.8)

La figura representa esquemáticamente el ala de un avión con uno de sus alerones que sirven para el

control de vuelo. Para mover el alerón (ángulo φ), un motor cc (Kp, Ke, Ri, Jm), a través de una cremallera

(paso p m/rad), mueve la válvula de control de un cilindro hidráulico de área A. La relación entre el caudal

de aceite en el cilindro y el desplazamiento de la válvula de control es no lineal, Q=f(x,∆P), donde ∆P es la

diferencia de presiones en el cilindro de potencia, pero puede linealizarse, en torno de x=0, Q=0, ∆P = 0. El

brazo entre el punto de anclaje del vástago del cilindro y el eje del alerón es L. El alerón, que está

equilibrado, presenta inercia Ja y fricción viscosa fa al girar en torno a su eje. El par del aire sobre el alerón

(PR) está relacionado con el ángulo según PR = PR0 + mφ. Modelar el sistema φ/U suponiendo condiciones

de control en vuelo (es decir, pequeños desplazamientos angulares del alerón).

KB

T

x

Sensor de posición

R1

R2

Jm

RU

Cremallera(p)

Bomba aceite

VálvulaV

Anclaje sobre el ala del avión

Alerón

φ

Lx

y

PR

Eje Alerón

Cilindro

Ala

Alerón

Eje AlerónAccionamiento

1.22

La figura representa esquemáticamente un

amortiguador hidráulico. La masa M (un cuarto de

vehículo) está unida mediante un resorte de constante

K al amortiguador hidráulico, cuya masa es m. La

rigidez de éste se controla mediante un motor cc (Ri,

Ke, Kp, Jm, fm) que acciona una válvula para regular

el paso de aceite de un compartimento a otro: a mayor

ángulo girado, mayor es la resistencia a la circulación

de fluido (R = K3⋅θ).

Modelar este sistema, cuyas entradas son la consigna

de resistencia, Rd, y el desplazamiento vertical de la

rueda, z (debido a irregularidades del terreno), y cuya

salida es el desplazamiento, x, de la masa.

1.23

La figura representa el sistema de inmersión

de un submarino, compuesto de una cámara

llena de agua cuyo volumen puede

modificarse mediante el desplazamiento de

un émbolo. Al aumentar el volumen de la

cámara aumenta el peso total del submarino

(la densidad del agua del mar es ρ),

provocando la inmersión.

El émbolo, de área A, está accionado por un motor cc (Kp, Ke, R, Jm), a través de una cremallera (p m/rad).

En su desplazamiento, el émbolo experimenta fricción viscosa (fe). La variable x representa la posición del

émbolo a partir del punto de equilibrio en el que el peso total del submarino está equilibrado con el empuje.

Cuando x=0, la masa total del submarino es M. El movimiento vertical del submarino, que es frenado por el

rozamiento viscoso del agua (de constante fa) puede suponerse cuasiestático.

1. Obtener la función de transferencia h/u.

2. Indicar las modificaciones necesarias si el movimiento no puediese considerarse cuasiestático.

x

U

Ri

θG

-+

M

m

y

z

k

P2

P1q = k1 ⋅ (P1-P2) + K2 ⋅ R

RUEDA

K3

KR

KR Rd

h

x u

f e Jep

1.24

La figura representa un transbordador espacial, dotado de un brazo manipulador para la recuperación de

satélites artificiales. La gran longitud (L) del brazo hace que resulte algo flexible, pudiéndose doblar como

muestra la figura. Esta flexibilidad puede modelarse como si la carga, de masa M, estuviera arrastrada por

un muelle de constante K y una fricción viscosa de valor f, siendo su desplazamiento d.

El brazo está accionado por un motor cc (Kp, Ke, R, J), con un reductor de relación n. θ es el ángulo teórico

girado por el brazo, y θR es el ángulo real (efectivo) del extremo del brazo.

Modelar θR/U, teniendo en cuenta que el manipulador opera en el espacio.

1.25

Los aerogeneradores de eje horizontal necesitan un

sistema de orientación según la dirección del viento con la

correspondiente precisión y sin que velocidades elevadas

de orientación produzcan esfuerzos de origen giroscópico

que podrían destruir las palas. En el accionamiento de la

figura se emplea un motor cc controlado por inducido cuya

respuesta (velocidad angular) ante un escalón unitario es:

1

2

3

El eje del motor está unido mediante un acoplamiento elástico de rigidez K a un reductor de relación n. El

eje lento del reductor hace girar el cuerpo del aerogenerador, cuya inercia es Jc. Existe una fricción viscosa

entre la torre soporte y el cuerpo del aerogenerador, de coeficiente f. El par resistente al giro de origen

aerodinámico se ha evaluado experimentalmente respecto a la velocidad de orientación (w), en unas

determinadas condiciones de funcionamiento, obteniendose Γr = C w2 siendo C constante.

Obtener la función de transferencia que relaciona la orientación del aerogenerador, θ, y la tensión de

entrada al amplificador Ve, para pequeñas velocidades de orientación.

θθR

L θ

θR

L

M

fKd

J

Rn

U

Ve

Kf

viento

θ

n

w

A

1.26

La figura muestra el sistema de posicionamiento de una compuerta, de masa M.

El giro del motor cc (Kp, Ke, R, J) es convertido en un

desplazamiento lineal mediante un tornillo sin fin (p

m/rad). Este desplazamiento se transmite a través de

un subsistema muelle-amortiguador (Kt, ft) para proteger

al sistema mecánico de posibles tirones bruscos. Sobre

la barra de transmisión actúa una fricción viscosa fe

originada en los casquillos de sujección. La posición de

la compuerta, Y, es medida por un sensor de

desplazamiento de constante Ks V/m, resultando Ym.

Obtener Ym/U.

1.27

La figura representa el esquema del almacenamiento de

agua potable de una urbanización. Consta de dos

depósitos de volúmenes V1 = 50 m3 y V2 = 10 m3.

Al primero de ellos llega un caudal Q = 5 m3/h de agua

con una concentración de cloro ce = 5 g/m3. Otro tanto

caudal Q es extraído y bombeado al depósito menor, del

que sale un caudal Q hacia la red de distribución. Se

supone que la concentración de cloro en los depósitos es siempre uniforme (normalmente c1=c2=5 g/m3).

Por un grave fallo en el sistema potabilizador, el agua entrante en el primer depósito pasa bruscamente a

tener una concentración de cloro de 1 Kg/m3. El fallo dura 3 minutos, después de los cuales se restablece la

concentración primitiva de 5 g/m3.

1. Obtener la función de transferencia c2/ce

Ayuda: El balance de masa de cloro en un depósito de volúmen V que contiene agua con una

concentración c(t) de cloro, al que entra un caudal Q con concentración ce(t) y del que sale el mismo

caudal Q con concentración c(t) - naturalmente, la concentración presente en el depósito - tiene la

forma: ( ) ( )( ) ( )dt

tdcVtctcQ e =−

2. Determinar la máxima concentración de cloro que se envía a la red y el tiempo que trada en

producirse a partir del fallo.

Ayuda: La fuerte cantidad de cloro entrante en el depósito mayor durante el fallo puede aproximarse

por un impulso ideal (¿de qué tamaño?).

3. Dibujar aproximadamente las curvas de las concentraciones ce, c1 y c2 en función del tiempo.

U

R

p Y

Y

M

m

Kt

ft fe

Ks

ce

c1

c2

Q

Q

QV1 V2

2 Análisis temporal de sistemas continuos

2.1 (1.1, 3.1, 5.1, 6.1)

Para el registrador de 1.1:

1 ¿Es estable el sistema? ¿Y si Li es inapreciable? ¿Qué sucede si, por error, se conecta el

amplificador diferencial al revés?

2 ¿En qué escala queda representada la entrada sobre el papel? ¿Qué sucede si se produce fricción

seca sobre el eje del motor?

3 Siendo VCC=10V, l=10cm, r=1cm, Ri=5Ω, Li inapreciable (suponemos 0H), Ke=0.1V/rad⋅s-1,

KΓ=0.1Nm/A, J=0.605e-6Kg⋅m2, f=0.2e-3N/rad⋅s-1, describir el comportamiento (permanente y

transitorio) del registrador para los distintos valores de la ganancia del amplificador, K (0 < K < ∞).

¿Qué importancia tiene el tiempo de respuesta en el funcionamiento de este sistema? ¿Y la

sobreoscilación?

4 Escoger K para maximizar la respuesta del registrador. Dibujar (aproximadamente) la respuesta ante

un escalón (entre 0 y +VCC) en ese caso.

2.2 (1.2)

Se pretende controlar la posición de la inercia del servomecanismo de 1.2 mediante un potenciómetro de

control idéntico al del sensor de posición angular (Kθ = 2.08 V/rad, recorrido: una vuelta). Para ello se

introduce como entrada al accionamiento (VE) la salida de un amplificador diferencial de ganancia K que

compara la tensión de salida de los potenciómetros, tal como muestra el siguiente diagrama:

V_ref

V th

ThTh_ref2.08

Potenciometrocontrol

2.08

Ve 0.2750.05s +s2

Servomecanismo

+- K

Regulador

1. Escoger K de forma que el seguimiento de las consignas de posición se realice sin sobreoscilación.

¿Cuánto es el tiempo de respuesta en ese caso?

2. Escoger K para minimizar el tiempo de respuesta. ¿Cuánto es el tiempo de respuesta en ese caso?

3. Si las especificaciones del accionamiento electromecánico indican que la tensión de entrada (VE) no

deberá superar en ningún caso los 10 V, calcular el máximo valor de K admisible. Para dicho valor de

K, obtener el tiempo de respuesta.

2.3 (1.4)

Para la maqueta de la central de 1.4, regulada como se indica en el Apartado 2:

1. Condiciones de estabilidad sobre k.

2. Escoger un valor apropiado de k para obtener una respuesta rápida y sin oscilaciones ante un

escalón en la referencia. Despreciar para ello el polo rápido, de la compuerta.

3. Plantear la elección de k teniendo en cuenta también el polo rápido, utilizando el lugar de las raíces.

Dibujar el aspecto general de dicho lugar de las raíces (fuentes, sumideros, asíntotas) e indicar cómo

se escogería k utilizándolo.

4. ¿Qué efecto tiene I sobre Vg?

a. En régimen permanente.

b. (Cualitativamente sólo:) Transitorio de Vg frente a un escalón de I.

2.4

El sistema de la figura representa un voltímetro. El

mecanismo motriz de la aguja consiste en un motor cc

(Ke, Kp, R) actuando sobre un resorte torsional de

constante Kr. El eje del motor (incluida la aguja) tiene una

inercia J y sufre una fricción viscosa de valor f. ¿Cuánto

ha de valer K para que la escala de la figura sea válida?

2.5

La figura (a) muestra el esquema de un péndulo

(masa M, longitud L, fricción viscosa b), cuyo

único grado de libertad es el ángulo θ.

Para conseguir que el péndulo oscile

indefinidamente (oscilador mecánico) se le añade

al sistema un motor cc controlado por inducido

(R, Ke, Kp), con su eje unido al del péndulo,

conectado en realimentación positiva utilizando

la medida de la velocidad angular, ω, tal como muestra la figura (b). La constante del sensor de velocidad

angular es K y la del comparador/amplificador es K1=1

1. Obtener la función de transferencia θ/Γ del péndulo aislado, suponiendo desplazamientos angulares

(θ) pequeños . Analizar cualitativamente el comportamiento del sistema (régimen permanente,

transitorio ante impulso y escalón, respuesta en frecuencia,…)

2. Obtener la función de transferencia θ / Vr del péndulo con motor y realimentación. Calcular el valor

de K para que el sistema oscile indefinidamente. ¿Qué entrada Vr sería necesaria para conseguir la

oscilación?.

Γ

L

Mg

b

(a

++ K

(b

V

V

K·ω

θ

θ

KU

θJ f

Kr

0V

10V

5V

θ

2.6

En diversas aplicaciones nos encontramos con (variaciones de) el problema de mantener en equilibrio un

péndulo invertido. Se trata de un sistema no lineal que, de forma aproximada, se puede modelar mediante

la siguiente función de transferencia, para valores pequeños del ángulo de inclinación θ:

M

m

θl

F

θF

=1

−Mls2 + M + m( )g

donde M [Kg] es la masa del soporte, m [Kg] la masa del péndulo, y l [m] la longitud del péndulo. Para

mantener el péndulo, obviamente inestable, en posición vertical se utiliza el siguiente esquema:

KS

PDθ +

-

P+

+Péndulo

θKA

VE VS Fref

donde KS = 1 [V/rad] es la constante del sensor lineal que mide el ángulo de inclinación del péndulo, KA = 1

[N/V] es la constante del actuador/motor, supuesto lineal, que convierte la tensión en una fuerza, y PD es un

circuito proporcional y derivado, descrito por VS/VE = -Kp (1 + Kds). La referencia es siempre cero, puesto

que deseamos mantener el péndulo en posición vertical. La entrada P [rad] modela las desviaciones de la

posición de equilibrio debidas a causas externas, y se supone también pequeña.

1. Obtener la función de transferencia ante las perturbaciones, θ/P, y determinar las condiciones que

deben cumplir las constantes Kp y Kd para que las perturbaciones no puedan destruir el equilibrio.

2. Suponiendo M⋅l = 1 [Kg m] y (M+m) g = 4 [N], elegir Kp y Kd para que el sistema se comporte ante las

perturbaciones como un sistema de primer orden completo con ganancia estática de valor absoluto

0.01 (es decir, de forma que el efecto de una perturbación constante se reduzca al uno por ciento).

3. Tomando Kp=404 y Kd=0.5, dibujar aproximadamente la evolución transitoria del ángulo ante una

perturbación unitaria escalón de 1° y ante un impulso, justificando la respuesta.

2.7 (1.17)

En el servofreno de 1.17:

1. Explicar el efecto que tiene en régimen permanente la aplicación de un escalón a la entrada.

2. Indicar las condiciones que deben cumplirse para que el comportamiento del sistema sea el de un

sistema de primer orden dominante.

2.8 (1.18)

En el manipulador de 1.18:

1. Indicar de forma cualitativa cuál sería la influencia sobre la salida (en el transitorio y en el

permanente) de un aumento de la rigidez del obstáculo. Calcular la influencia en el régimen

permanente de una pequeña variación en la posición del obstáculo.

2. Calcular los valores de Kv y G que permiten obtener el menor error de posición, haciendo t el tiempo

de respuesta y sin sobreoscilación.

2.9 (1.19, 5.6, 6.2)

Dibujar cualitativamente la respuesta Fa a un escalón en U de la garra de 1.19. Razonar sobre la influencia

de la rigidez (K) en la respuesta.

2.10 (1.20, 5.7)

Para unos valores de los parámetros de la estiradora de 1.20 resulta:

( )( ) K·5.0K·01.0s41sK

UT

+++=

Elegir un valor de la constante del resorte K, entre 0.1 y 100, de tal forma que la tensión de estiramiento del

papel alcance su valor de régimen permanente lo más rápidamente posible y sin oscilaciones, indicando el

tiempo de respuesta obtenido. Verificar que la tensión de estiramiento no sobrepasa la de ruptura del papel

(110 N) siendo 50V el potencial máximo aplicable al motor.

2.11

Un termómetro de mercurio es un sistema que tiene como entrada una temperatura y como salida la

longitud de la columna de mercurio, la cual, una vez que se alcanza el equilibrio, es proporcional a la

temperatura. Para calibrar un termómetro se ha sumergido en una mezcla de agua con hielo y se ha

marcado el punto en que se equilibraba. A continuación se ha pasado rápidamente de la mezcla de agua

con hielo a un recipiente con agua en ebullición y se ha anotado la longitud de la columna de mercurio,

medida desde la marca hecha a 0 °C, en varios instantes de tiempo: al cabo de 20 segundos medía 6.3 cm,

a los 40 segundos, 8.6 cm, al minuto, 9.5 cm, y, finalmente, 2 minutos después de haber introducido el

termómetro en el agua hirviendo, medía 10 cm y parecía haberse alcanzado el equilibrio.

Si se introduce el termómetro en agua a 20 °C y, una vez en equilibrio, se empieza a calentar el agua a un

ritmo de 10 °C por minuto, ¿qué medirá la columna de mercurio 3 minutos más tarde?

2.12 (6.3)

Para cierto proceso industrial se requiere regular la temperatura T de un reactor ligeramente por encima de

100°C. El reactor es un recipiente con capacidad térmica C, cuyas paredes presentan resistencia térmica

R. Se encuentra inmerso en un baño de agua en ebullición, a 100°C (Ta). Para elevar su temperatura, se

dispone de un radiador eléctrico, que aporta un flujo de calor Qc. La figura de la izquierda muestra

esquemáticamente el reactor, junto con su ecuación de comportamiento.

En reposo, naturalmente, el reactor se encuentra a temperatura Ta. Se ha observado que, partiendo del

reposo, la temperatura del reactor T se incrementa al aportar un calor Qc = 0.1 kW (a partir de t=10) tal

como muestra la figura de la derecha (T en °C, t en minutos).

Modelar este sistema térmico mediante diagrama de bloques, tomando como entradas Qc y Ta, y como

salida T.

En ausencia de Qc, y partiendo del reposo con Ta = 100°C, ¿cómo evolucionaría T ante un descenso

brusco de 2°C de Ta?

2.13

Estando vacío el depósito de la

figura (a), se abre

repentinamente la entrada del

agua hasta un Qe = 2 m3/s, y al

cabo de 10 s el caudal de salida

resulta ser de 1.5 m3/s.

Si en los sistemas de depósitos de las figuras (b) y (c), partiendo de depósitos vacíos, se abre

repentinamente la entrada del agua hasta un valor de Qe = 5 m3/s, ¿cómo evoluciona Q2 en cada caso?

( )dtdTCTaT

R1Qc =−−

R

C

T

Ta

Qc

0 10 20 30 40 50 6099

99.5

100

100.5

101

101.5

102

102.5

103Evolucion de T ante escalon de Qc (0.1 kW)

t (min)

T (ºC

)

Q e

Q1

R R

Q2A A

Q e

Q1

RA

Q e

Q1RA

Q2

RA

(a) (b) (c)

2.14

Para accionar una válvula se dispone de un motor de corriente continua controlado por inducido acoplado a

un reductor (con factor de reducción N conocido). La función de transferencia del motor (entrada: tensión

de alimentación del motor, salida: ángulo girado por el eje lento del reductor) se necesita para diseñar del

sistema de control, pero no se dispone de la hoja de características del motor. Si se puede medir

fiablemente tanto el ángulo del eje lento (con un potenciómetro de ganancia Kth conocida) como la

velocidad del eje rápido (con una dinamo tacométrica de ganancia Kw conocida), explicar brevemente, pero

en detalle, cómo se puede obtener experimentalmente la función de transferencia deseada.

2.15

Para analizar el movimiento vertical de un avión nos concentramos en las siguientes variables:

u

w

α

d

q

q velocidad angular (rad/s)

w velocidad vertical (m/s)

u velocidad de avance (m/s)

α ángulo de ataque (rad)

d deflección del elevador (rad)

En general, las fuerzas aerodinámicas sobre el avión son funciones no lineales que dependen de su diseño,

la altura de vuelo y la velocidad. Para cierto avión concreto en vuelo horizontal a una altura determinada, y

a velocidad de avance aproximadamente constante u(t) = u0 = 720 km/h, las ecuaciones linealizadas que

modelan el comportamiento del avión son:

d·5qw·03.0dt/dqd·10q·uwdt/dw 0

+−−=

++−=

Nos interesa la evolución de la velocidad angular, w, y del ángulo de ataque, α. Dibujar la evolución de

estas variables ante una entrada escalón de 1° en el ángulo de deflección del elevador, d, indicando los

valores de régimen permanente, tiempo de respuesta y sobreoscilación.

El avión dispone de dos sensores que permiten

medir el ángulo de ataque α y la velocidad

angular q. Para reducir las oscilaciones en el

movimiento del avión se realimentan ambas

medidas como muestra el diagrama.

La variable e representa la acción del piloto sobre el mando del elevador. Calcular unos valores de Ka y Kq

para que ante un escalón de entrada en e, el ángulo de ataque α no sobreoscile y alcance el permanente en

menos de 2 s. Dibujar la evolución de α y q ante una entrada escalón de 1° en e, indicando los valores de

régimen permanente, tiempo de respuesta y sobreoscilación.

Aviónd(t) α

q(t)e(t) + +

- -

Ka

Kq

(t)

2.16

En el sistema cuyo diagrama de bloques se muestra

en la figura, la señal de entrada es x y la de salida y,

mientras que p representa una perturbación aditiva.

Para conseguir un determinado comportamiento,

podemos escoger los valores de K1 y K2.

1. Obtener la condición que deben cumplir K1 y K2 para que sea estable.

2. Calcular K1 y K2 de forma que la ganancia estática (de y/x) sea aproximadamente la unidad, con un

error máximo del 5%, y el efecto en la salida y de una perturbación constante p sea como máximo un

5% del valor de p.

3 Dibujar aproximadamente la respuesta a un escalón unitario, indicando sus parámetros

característicos (SO, tr, Kest) para los valores de K1 y K2 obtenidos.

2.17



mientras que p y q representan sendas

perturbaciones aditivas. Obtener, explicando

claramente el método seguido, valores de los

parámetros K, Kr y τ de forma que la ganacia estática (respecto de la entrada principal) sea 10, el efecto en

régimen permanente de las perturbaciones, supuestas constantes, sea inferior al 3% de su valor, la

sobreoscilación sea inferior al 10%, y el tiempo de respuesta sea menor de 300ms.

2.18



mientras que p representa una perturbación aditiva.

Se pretende que y “siga a” (tenga el mismo valor en

régimen permanente que) x. Para conseguir un

determinado comportamiento, podemos escoger los

valores de los parámetros K, Kp y Kv.

1. Obtener las condiciones que deben cumplir los parámetros para que el sistema sea estable

2. Calcular unos valores de los parámetros para que el tiempo de respuesta ante una entrada escalón

sea inferior a 4 s y su sobreoscilación menor del 5%. Dibujar aproximadamente la respuesta a un

escalón en x de amplitud 2, y ante un escalón unitario en p.

3. ¿Es posible conseguir un tiempo de respuesta inferior a 0.5 s con sobreoscilación menor del 5%?

s+2s

s1

(s+1)1

2

K2

K1X Y

P+

--

++

+

s + 11

Kr

KX Y

Q+

-

++

+

P+

s1 + s

ττ

s+11

(s+1)(s+2)1

K sV

KX Y

P+

--

++

+

KP

2.19

Dado el sistema de la figura (control por

realimentación taquimétrica), escoger λ que

permita tr mínimo sin oscilaciones. Para realizar el

ajuste de dicho parámetro utilizar el lugar de las

raíces adjunto. Dibujar aproximadamente la

respuesta al escalón unitario.

2.20

Se quiere ajustar la ganancia K del regulador del sistema cuyo diagrama de bloques se representa en la

figura, y cuyo lugar de las raíces se muestra a continuación (ampliando la zona de interés).

1. Deduce a partir del lugar de las raíces la función de transferencia, Y/X, del sistema, en función de K.

2. Describe, dibujando la ubicación de los polos, los distintos comportamientos del sistema para

valores de K positivos (entre cero e infinito).

3. Dibuja aproximadamente la respuesta al escalón para K=348, indicando sus características.

4. Razona qué ocurre con la sobreoscilación y el tiempo de respuesta para valores de K inferiores a

348 ¿Crees que puede conseguirse sobreoscilación menor del 5%?

5

λ s

s+12 (s+15)(s +8s+32)2+

-+

-

XXd

-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2-5

0

5

2.21

El lugar de las raíces de la figura corresponde a

un sistema con realimentación unitaria cuya

función de transferencia de la cadena directa es:

145s166s74s14s

5.1sK234 ++++

+

1. Escoger K para minimizar la

sobreoscilación, y dibujar

aproximadamente la respuesta al escalón

unitario en tal caso.

2. Determinar las condiciones sobre K para

que el sistema sea estable.

2.22

La figura muestra el diagrama de bloques y el lugar de

las raíces de un sistema.

1. Determinar las condiciones sobre K para que el

sistema sea estable.

2. Determinar el valor de K para el que el sistema

presenta el menor tiempo de respuesta posible (se

admite una pequeña sobreoscilación). ¿Cuál es el

tiempo de respuesta y sobreoscilación en ese caso?

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1-2

-1

0

1

21

s + s - 22

K s + 3

-

++-

2.23

La figura muestra el diagrama de

bloques y el lugar de las raíces de un

sistema.

1. A la vista de este lugar de las raíces, ¿se puede

garantizar que el sistema es estable…

• Para todo valor de k?

• Para todo valor de k positivo?

• Para k positivo pero menor de un límite?

(¿cuál?)

2. Determinar el valor de k para el que los polos dominantes del sistema son reales e idénticos (sistema

de segundo orden críticamente amortiguado dominante).

3. Para el valor de k calculado en el apartado anterior, dibujar aproximadamente la respuesta ante una

entrada c(t) escalón de amplitud 2, indicando claramente sus características principales, tanto en el

permanente como en el transitorio.

2.24

La figura muestra el diagrama de bloques y el lugar de las raíces de un sistema, junto con la respuesta al

escalón para cierto valor de k

1. Determinar (aproximadamente) el valor de k empleado. que es el que hace que los dos polos rápidos

del sistema tengan coeficiente de amortiguamiento 0.7.

2. Para el valor de k obtenido, analizar aproximadamente la respuesta aplicando reducción de orden de

dos formas diferentes, y comparar los resultados con la respuesta real obtenida.

-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6c y+

-0.4s+1

0.05s +0.6s +s3 2P(s)

k

-450 -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 50-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250s+25

s +400s 3 2

P(s)

+-

cy10000*k

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

y

2.25 (3.4)

Para regular el nivel (y) de un depósito de agua se emplea una servoválvula, que es un servomecanismo de

posición en el que, a partir de una referencia de caudal Qr, se aplica tensión a un motor de corriente

continua para que abra o cierre una válvula, dejando entrar un caudal Qe al depósito. Se desea mantener el

nivel constante, por lo que la entrada de referencia es constante, y por conveniencia se toma como cero, es

decir, y es la desviación del nivel con respecto a la referencia. Las desviaciones del nivel se deberán al

caudal consumido, Qc, que se modela como otra entrada, de perturbación: si se consume agua (Qc>0), baja

el nivel (y<0). Para regular el nivel, el sistema de control (regulador y servoválvula) se encargará de dejar

entrar en cada momento el caudal necesario, Qe, para compensar las pérdidas debidas al consumo, Qc.

Lógicamente, lo ideal es que y se mantuviera igual a cero, así que cuando haya consumo se desea que la

desviación sea "mínima": que se reduzca, o mejor que desaparezca, en régimen permanente, y que lo haga

rápidamente, y sin muchas oscilaciones.

El diagrama de bloques de este sistema de regulación de nivel es el siguiente:

0Ref. Nivel

numD(s)denD(s)

Deposito

-+

numSV(s)denSV(s)

Servovalvula

2s+12s

+- K

QeQry

Nivel

QcConsumo

Regulador PI

La servoválvula se comporta como un sistema de segundo orden básico subamortiguado con ganancia

estática unidad, sobreoscilación del 5%, y tiempo de pico un segundo.

La ecuación del depósito es: Qe - Qc = A· &y , donde A=15 m2 es el área del depósito.

El regulador es PI (proporcional e integral), siendo su función de transferencia s2

1s2 +K . El valor de K

(ajustable) influye en el comportamiento del sistema.

1. Función de transferencia de la servoválvula (Qe/Qr). 2. Funciones de transferencia y/Qc y Qe/Qc. 3. Estabilidad según el valor de K. 4. Si se mantiene constante el consumo Qc, en régimen permanente: ¿se elimina la desviación del nivel

(se llega a y=0)? ¿por qué? ¿cuánto vale Qe?

3 Análisis frecuencial de sistemas continuos

3.1 (1.1, 2.1, 5.1, 6.1)


1 Haciendo K = 100, el comportamiento frecuencial del registrador (sistema en bucle cerrado, VC/VR)

viene descrito por el siguiente diagrama de Bode. ¿Qué puede decirse sobre las señales que podrán

registrarse mediante este aparato? Representar aproximadamente, justificando la respuesta, la

salida que se obtendrá ante una onda cuadrada, entre 0 y 1 V, de frecuencia: 10, 300, 2000 Hz

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

10 2 10 3 10 4

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

10 2 10 3 10 4

2 Se ha obtenido experimentalmente el comportamiento frecuencial del sistema en bucle abierto, VC/V.

Para ello se ha desconectado el amplificador y se ha aplicado una entrada, V, senoidal, de amplitud

fija, directamente al motor, y se ha ido midiendo la amplitud y desfase de la salida, VC, para

diferentes frecuencias de la entrada. El resultado de este experimento se representa en el siguiente

diagrama de Bode. (Cuestión: ¿es Li=0H?.) Escoger el ajuste de K de forma que no haya

sobreoscilación y el sistema sea lo más rápido posible. Calcular el tiempo de respuesta que se

obtiene en ese caso.

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

10 1 10 2 10 3 10 4

-280

-260

-240

-220

-200

-180

-160

-140

-120

-100

-80

10 1 10 2 10 3 10 4

3.2 (2.3, 5.2)

Dibujar el diagrama de Bode de VL/VE usando el modelo de la central de 2.3.

3.3

La figura esquematiza el sistema de suspensión de un cuarto de vehículo, cuya

masa es m = 250 kg. Escoger los parámetros del amortiguador necesario para

que la frecuencia natural sea de 1 Hz y el comportamiento del vehículo sea lo

más seguro posible. Dibujar el diagrama de Bode resultante y la trayectoria (y)

del vehículo al descender un pequeño escalón y al circular a 50 km/h por la

avenida César Augusto (suponer que los adoquines miden 15 cm y que hay

baches aproximadamente senoidales con una longitud de 3m). ¿A qué

velocidad resulta más molesto circular?

3.4 (2.25)

El diagrama de Bode de la figura corresponde al conjunto Servoválvula·Depósito de 2.25. A partir de él,

incorporando el efecto del bloque (2s+1)/2s, escoger un valor de K, para conseguir una buena respuesta

transitoria de Qe/Qc, justificando brevemente la selección hecha y el método seguido. Aproximadamente,

¿qué sobreoscilación y tiempo de respuesta cabe esperar con el valor de K escogido?

ym

kc

r

1 0 -1 1 0 0 1 0 1 1 0 2-1 0 0

-5 0

0

5 0

Gan

anci

a (d

B)

3.5

La figura representa el diagrama de Bode de un sistema cuya función de transferencia es G1(s):

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

10-1 100 101 102

-85

-80

-75

-70

-65

-60

-55

-50

-45

-40

-35

10-1 100 101 102

1. Obtener la función de transferencia G1(s)

2. Obtener el diagrama de Bode de: G3(s) = G1(s) G2(s), siendo ( )s2.01

10sG2 +=

3. ¿Qué términos habría que añadir a la función de transferencia del sistema G1(s) para obtener a la

frecuencia de 10 rad/s. una atenuación de al menos 30 dB, sin modificar el comportamiento a bajas

frecuencias?

3.6

La figura representa el diagrama de Bode de un sistema cuya función de transferencia es G1(s). Dibujar

sobre dicho diagrama el diagrama de Bode de G1(s) G2(s), siendo ( ) ( )s02.01s5sG2 +

=

-80

-60

-40

-20

0

20

40

100 101 102 103

w rad/seg

dB

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

100 101 102 103

w rad/seg

grad

os

3.7

Dibujar aproximadamente, señalando las características más relevantes, la respuesta del sistema cuyo

diagrama de Bode se muestra en la figura ante una entrada escalón de amplitud 4.

-25

-20

-15

-10

-5

0

10 -1 10 0 10 1 10 2

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

10 -1 10 0 10 1 10 2

3.8

La función de transferencia de cierto sistema es: ( )1s5.2s5.5s

6.0s2 +⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++

+

1. Dibujar aproximadamente la respuesta al escalón y el diagrama de Bode de dicho sistema.

2. Reducir el orden del sistema al máximo. Dibujar sobre los anteriores la respuesta al escalón y el

diagrama de Bode del sistema reducido. Discutir en qué condiciones la aproximación del sistema

original por el reducido es válida.

3.9

Andrés Calón y Onofre Cuencia son dos ingenieros que trabajan en la empresa SYST+. En cierta ocasión

recibieron un nuevo componente que podían emplear para sus diseños y que, por tanto, necesitaban

caracterizar. Llamemos G(s) a la función de transferencia del componente.

Andrés introdujo un escalón unitario en G(s)

para ver su respuesta, pero no quedó

satisfecho. Realimentó la salida como

muestra la figura y de nuevo introdujo un

escalón, obteniendo la respuesta que se

muestra, a partir de la cual dedujo que la

función de transferencia era Ga(s).

Por su parte, Onofre introdujo entradas

senoidales de amplitud unidad y frecuencia

variable entre 0.1 rad/s y 10 rad/s para medir la

respuesta frecuencial del sistema, obteniendo el

diagrama de Bode, a partir del cual dedujo que la

función de transferencia Go(s).

Se pide:

1. G(s) que obtuvo Andrés (Ga) y G(s) que

obtuvo Onofre (Go)

2. ¿Por qué Andrés no quedó satisfecho con

el resultado de su primer experimento?

3. Justificar las diferencias entre las

funciones de transferencias obtenidas por

Andrés y Onofre. Dar posibles razones

para preferir cada uno de los métodos de

identificación seguidos.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 2 4 6 8 10 12 14

G(s)+ -

-80

-60

-40

-20

0

20

10-1 100 101

-300

-250

-200

-150

-100

-50

10-1 100 101

3.10

Se considera el filtro activo de la figura. En el laboratorio se han introducido señales senoidales de distinta

frecuencia y se ha medido la ganancia, obteniéndose los siguientes datos:

Frecuencia (Hz) Ganancia (unidades)

1 1.4

10 1.2

100 0.22

Calcular el valor de la resistencia de los dos potenciómetros durante el

experimento.

Describir, y dibujar, de forma aproximada pero bien

justificada, la salida ante una entrada diente de sierra (onda

triangular en la que el tiempo de subida es despreciable

frente al de bajada), para valores del periodo, T, de 10s, 1s,

0.1s y 0.01s.

3.11

Dado el sistema G(s) con respuesta frecuencial caracterizada por el diagrama de Bode de la figura,

1. Calcular la atenuación que sufre una entrada senoidal a dicho sistema de frecuencia 1 Hz.

2. Con señales de frecuencia una década superior ¿Cuál es la atenuación?

3. ¿Cuál es la relación de este comportamiento con el orden del sistema?

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

10-1 100 101 102

mod

ulo

dB

w rad/seg

Ve Vs

100 Ω R'

R

1 µF

-

+

T 2T 3T0

A

3.12

Obtener la función de transferencia del sistema cuyo diagrama de Bode se a continuación. Describir el

comportamiento de este sistema.

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

10-1 100 101 102 103

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

10-1 100 101 102 103

3.13

Identificar el sistema cuyo diagrama de Bode se muestra en la figura:

100 101 102 103-60

-40

-20

0

20

40

Des

fase

(o)

Frecuencia (rad/s)

100 101 102 103-10

-5

0

5

10

Am

plitu

d (d

B)

Justificar, a la vista del diagrama de Bode, la respuesta (linea continua) ante la entrada (linea discontinua)

siguiente:

-0 .4

-0 .2

0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1.. E n tra d a - S a li d a

Dibujar el diagrama de Bode del mismo sistema al que se ha añadido en serie un retraso puro de 1 ms.

3.14 (5.9)

Dibujar el diagrama de Bode de ( ) ( )( )s21s1s2sG

++= . ¿Es estable en bucle cerrado?

3.15 (6.4)

La figura muestra el

diagrama de Bode de

R(s)=U(s)/E(s), un

regulador PRF

("proporcional y retraso

de fase").

Dibujar la salida en

régimen estacionario

senoidal de este

sistema ante entradas

senoidales de amplitud

unidad y frecuencia:

• 1 mHz

• Hz

• 10 Hz.

3.16 (3.4)


diagrama de Bode de

R(s)=U(s)/E(s), un

regulador PAF

("proporcional y avance

de fase").

Dibujar la salida en

régimen estacionario

senoidal de este sistema

ante entradas senoidales

de amplitud unidad y

frecuencia:

• 1 mHz

• Hz

• 10 Hz.

10-2 10-1 100 101-60

-40

-20

0

Des

fase

(o)

Frecuencia (rad/s)

10-2 10-1 100 101-15

-10

-5

0

5

10

Gan

anci

a (d

B)

U(s)E(s)

U(s)E(s)R(s)

U(s)E(s)

U(s)E(s)R(s)

3.17

Identificar el

sistema cuyo

diagrama de

Bode se

muestra en la

figura.

Justificar,

cualitativa y

cuantitativamen

te, a la vista del

diagrama de

Bode, la

respuesta

(línea continua)

ante la entrada

(línea

discontinua)

siguiente:

100

101

102

103

104

-180

0

180

Frequency (rad/sec)

deg

100

101

102

103

104-50

0

50

Frequency (rad/sec)

dB

- 0 . 0 5 0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5- 6

- 4

- 2

0

2

4

6

s e g u n d o s

y ( t )

e ( t )

3.18


diagrama de Bode de

R(s)=U(s)/E(s).

1. Identificar R(s)

2. Para modificar la respuesta en frecuencia de R(s) se le añade en serie otro sistema de función de

transferencia ( )as1

1sF+

= . Determinar el valor de a para que el conjunto F(s)R(s) responda a la

entrada senoidal mostrada con trazo discontinuo con la salida mostrada con trazo continuo:

10 1 10 2 10 3

-90

0

90

0

20

40

0- 4

- 2

0

2

4

6

0 . 1 5 s e g u n d o s

3.19

A continuación se muestran las respuestas al escalón unitario (en t=0), diagramas de Bode, y diagramas

polares de seis sistemas lineales e invariantes.

Se pide:

1. Asociar cada respuesta temporal con su diagrama de Bode y su diagrama polar. 2. Identificar las seis funciones de transferencia, por el método que se considere más conveniente en

cada caso.

3. Analizar en cada caso, por el criterio de Nyquist, la estabilidad del sistema "en bucle cerrado", cuya

función de transferencia, para Gx(s), es: Gx(s) / (1+Gx(s)).

3.20

Aplicando el criterio de Nyquist, analizar las condiciones para que los siguientes sistemas sean estables en

bucle cerrado, con realimentación unitaria. Dibujar aproximadamente en cada caso el diagrama polar

correspondiente.

1. ( )( )sT1sT1K

21 ++

2. ( )( )sT1sT1sK

21 ++

3. ( )sT1sK

1+

En este último, ¿qué efecto produce la adición de un cero ( )sT1 2+ sobre la estabilidad en bucle cerrado?

3.21

Analizar, mediante el

criterio de Nyquist, la

estabilidad en bucle

cerrado, con

realimentación unitaria,

del sistema cuyo

diagrama de Bode en

bucle abierto se muestra.

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3

-170

-160

-150

-140

-130

-120

-110

-100

-90

10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3

3.22

Dado el sistema cuyo diagrama de Bode en bucle abierto se muestra,

1. Identificarlo

2. ¿Es estable en bucle cerrado, con realimentación unitaria?

3. ¿Cuánto habría que modificar la ganancia para que en bucle cerrado la sobreoscilación sea menor

del 30% y el tiempo de respuesta menor de 0.1 s?

-80

-60

-40

-20

0

20

40

10 0 10 1 10 2 10 3

-200

-180

-160

-140

-120

-100

-80

10 0 10 1 10 2 10 3

5 Diseño de sistemas de control realimentados

5.1 (1.1, 2.1, 3.1, 6.1)


Diseñar (la función de transferencia de) un regulador analógico de forma que el sistema tenga error de

velocidad nulo, sobreoscile poco (≈ 5 %), y alcance el régimen permanente en unos 20ms. ¿Qué sucede

ahora si hay fricción seca en el eje del motor?

5.2 (1.3, 3.2)

Calcular un regulador (esquema de compensación serie) que permita controlar la tensión de línea con error

de posición nulo, sin que le afecte en régimen permanente la perturbación que supone la carga (intensidad),

con tiempo de respuesta menor de 0.2s, y con poca sobreoscilación, utilizando técnicas frecuenciales (a

partir del diagrama de Bode obtenido en 3.2).

5.3

El diagrama de bloques de cierto sistema es el siguiente:

VL

0.01

VW VQ

PLPV

VEW LQ-

+Sum1

2

-+

Sum

0.02

210s+1

0.01s

0.50.1s+1

(VE podría ser la tensión que alimenta a un motor, que gira a velocidad W. A través de un reductor, el

motor mueve una compuerta, dejando pasar un caudal Q. Este caudal alimenta un grupo turbina-generador

que produce una tensión de línea L. Las magnitudes W, Q, y L se miden mediante los correspondientes

sensores.)

El sistema está afectado por perturbaciones, PV y PL, que pueden suponerse constantes.

(Estas perturbaciones, que han sido convenientemente trasladadas en el diagrama de bloques, tienen su

origen en un par de rozamiento en el motor que mueve la compuerta y en la carga conectada a la línea,

respectivamente, cuyas variaciones se suponen mucho más lentas que la dinámica del sistema.)

Además, se advierte de la posible presencia de ruido de medida de alta frecuencia sobre las señales

procedentes de los sensores, VW, VQ, y VL.

Diseñar un sistema de control en cascada, cuya entrada será la referencia para VL, de forma que:

• El error de posición sea nulo

• El efecto de ambas perturbaciones, PV y PL, sea nulo en régimen permanente

• Ante un escalón de la referencia se alcance el régimen permanente sin oscilaciones en (menos de) 5 s.

justificando razonadamente tanto la selección de la variable intermedia que se utilizará en el bucle interno

(W ó Q) como la selección de los reguladores primario y secundario (P, PI, PD, ó PID). Es importante,

además del cumplimiento de las especificaciones, la sencillez de los reguladores propuestos.

Dibujar aproximadamente la evolución de la variable Q ante un escalón unitario de PL, supuesto que las

otras entradas se mantienen constantes. (Puede interpretarse en términos de evolución del caudal que

alimenta la turbina ante un cambio en la carga.)

5.4 (1.14)

Plantear un esquema de control en cascada para el sistema barra-bola de 1.14 de forma que el error de

posición sea nulo, y ante un escalón de la referencia se alcance el régimen permanente en t sin

oscilaciones.

5.5 (1.16)

50.91

s + 6.4s + 9.12Reg

1

10

+

+

+

-

θ1

θ 2

Ψ

Suponiendo que éste es el diagrama de bloques de la servodirección de 1.16:

1. Calcular de manera razonada el regulador más sencillo que permita obtener tiempo de respuesta

menor de 0.1s y sobreoscilación nula ante entrada escalón.

2. Calcular el regulador más sencillo de manera que, además, en régimen permanente el error sea

menor de 6º ante una entrada rampa de pendiente 1rad/s.

5.6 (1.19, 2.9, 6.2)

Para el control de la garra de 1.19 se

emplea un sensor piezoeléctrico, que

permite obtener una tensión

proporcional a la fuerza de agarre. La

constante del sensor es Kf = 0.2 V/N. La

estructura de control es la representada

en la figura, donde G(s) es la función de transferencia del regulador. Los valores del diagrama de bloques

están expresados en el sistema internacional.

1. Calcular el regulador más sencillo que permita obtener para una entrada Fc constante un error en

régimen permanente en la salida no superior al 1% de Fc, y que la fuerza de agarre no supere en

ningún instante el 105% del valor consignado. ¿Cuál es el tiempo de respuesta en ese caso?

2. Calcular el regulador más sencillo para que el error de posición sea nulo y el tiempo de respuesta

ante una referencia escalón sea de 0.5s sin sobreoscilar.

5.7 (1.20, 2.10)

Para la enrolladora de 1.20, con el valor de K=2, diseñar un sistema de control de la tensión del papel,

utilizando la salida del sensor de posición del resorte para medir la tensión. El corrector será el más sencillo

que permita obtener error de posición nulo y respuesta ante escalón sin oscilaciones y con tiempo de

respuesta menor de 1 s.

5.8 (1.21)

El modelo del accionamiento del alerón de 1.21, con valores

numéricos (sistema internacional), donde se ha incluido un

transductor lineal de desplazamiento angular con constante ks

(10º → 1V), resulta el de la figura.

1. Diseñar un esquema de control para que el sistema sea capaz de seguir un cambio de la consigna de

10º en un tiempo inferior a 1 s y sin sobrepasar en ningún momento el valor consignado en más de

1º.

2. Dibujar de forma aproximada la acción del regulador sobre el sistema, U.

3. Calcular un regulador que, además de cumplir las especificaciones de 1, no produzca acciones

iniciales mayores de 20 V ante cambios de consigna de hasta 10º.

FaFcU 100

s +8s+122N(s)D(s)G(s)

+-

Kf

Kf

s +5s20.5

0.05

-+ s+10

100

ks

U phi

5.9 (3.14)

1. Diseñar un corrector serie para G(s) de 3.14 de forma que el error de posición sea nulo, el tiempo de

respuesta menor de 2 s, la sobreoscilación menor del 15%, y el margen de ganancia mayor de 10 dB.

2. Diseñar un corrector serie para G(s) de 3.14 que permita seguir una consigna de variación lineal

constante con error nulo, siendo el tiempo de respuesta inferior a 5 segundos.

3. Dibujar aproximadamente los diagramas polares correspondientes a los sistemas original y con cada

corrector, indicando sobre ellos las frecuencias de cruce de ganancia y de fase, así como los

márgenes de ganancia y de fase

5.10

6

s (s + 30)

1s+5

++

p1

Ve θ

La figura representa el diagrama de bloques de un servomecanismo para la posición de un eje (θ),

accionado con la señal Ve. Disponemos de un sensor de constante 2 V/rad que mide la posición del eje.

Existe además una perturbación p1 constante de valor 0.1.

1. Diseñar un esquema de control serie para controlar la posición θ. Diseñar el regulador serie más

sencillo posible para que el sistema responda ante una referencia en escalón de 0.5 rad. sin

sobreoscilación y en menos de 3.3 s. Además el error de posición debe ser inferior a 0.005 rad.

¿Cuánto valdrá en este caso el error de velocidad?

2. Suponiendo el sistema controlado con regulador PD, de ganancia estática 100, dibujar

cualitativamente la evolución de la señal de acción, y calcular el regulador realizable que asegure que

ante un escalón de posición de 0.25 rad no sobrepasamos la acción máxima (300 V). Dibujar la

evolución de la salida del sistema controlado con una referencia escalón unitario, cuando de repente

la perturbación pasa a un valor doble del que tenía (p1= 0.2).

3. Suponiendo el sistema controlado con regulador proporcional, razonar de forma cualitativa sobre la

evolución del tr y la SO al modificar la K del regulador.

5.11 (6.5)

Dado el sistema de control en

cascada que se muestra en la

figura, escoger K del regulador

(proporcional) secundario y un

regulador primario R(s) realizable

de foma que el error de posición

sea nulo, la perturbación se atenúe 40 dB, y el tiempo de respuesta sea menor de 1 s.

5.12

Calcular la función de transferencia del corrector serie

R(s) que permita que el sistema de la figura tenga error

de velocidad menor de 0.01, rechace la perturbación P, y

su comportamiento transitorio sea similar al obtenido

realimentando sin más (i.e., R(s) = 1).

El diagrama de Bode de G(s) es:

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

10-2 10-1 100 101 102

Frecuencia (rad/seg)

Am

plitu

d (d

B)

-220

-200

-180

-160

-140

-120

-100

-80

10-2 10-1 100 101 102

Fase

(°)

G(s)-

+

+

+

P(s)

R(s)

5.13

Calcular un corrector serie para el proceso cuyo diagrama de Bode se muestra, para obtener error de

posición nulo, SO menor del 5% y tiempo de respuesta menor de 1.5s.

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

10-2 10-1 100 101 102 103

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

10-2 10-1 100 101 102 103

5.14

Diseñar un regulador, conectado en compensación serie con el proceso cuyo diagrama de Bode se

muestra, para cumplir las siguientes especificaciones:

• Error de aceleración < 1%

• Tiempo de respuesta < 0.8 s

• Sobreoscilación < 30%.

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

10-1 100 101 102

mod

ulo

dB

w rad/seg

-140

-130

-120

-110

-100

-90

10-1 100 101 102

fase

gra

dos

w rad/seg

5.15 (6.6)

Diseñar un regulador, conectado en compensación serie con el proceso cuyo diagrama de Bode se

muestra, para cumplir las siguientes especificaciones:

• Error de posición nulo

• Sobreoscilación < 10 %

• Tiempo de respuesta < 0.4 s

100 101 102-40

-20

0

20

Gan

anci

a dB

-400

-300

-200

-100

0

Fase

gra

dos

5.16

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3

MO

DU

LO (d

B)

-200

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3

FASE

w

Dado el diagrama de Bode que se muestra, correspondiente a un determinado proceso continuo:

1. Determinar el mínimo error de posición que se puede obtener en bucle cerrado utilizando un

regulador proporcional.

2. Calcular el regulador serie que permita que el sistema en bucle cerrado responda en menos de 4 s,

con una sobreoscilación inferior al 10% y sea capaz de seguir consignas tipo rampa con un error

inferior al 20%.

5.17

Se requiere controlar una planta

utilizando compensación serie con

realimentación unitaria, tal como

indica el diagrama de bloques.

El diagrama de Bode de la planta es el siguiente:

Diseñar por técnicas frecuenciales un compensador que consiga un tiempo de respuesta en torno a dos

segundos para el sistema controlado, con un error de posición nulo y una sobreoscilación de

aproximadamente el 15%.

REFERENCIA

numRdenR

REGULADOR SALIDA

numG(s)denG(s)PLANTA

+-

5.18 (6.7)

Se requiere controlar una planta

utilizando compensación serie con

realimentación unitaria, tal como

indica el diagrama de bloques:

El sistema controlado deberá responder sin error de posición, y su tiempo de respuesta (ante un escalón)

deberá ser de aproximadamente un segundo.

La información de que se dispone sobre la planta es la siguiente:

Diagrama de Bode:

Función de transferencia aproximada (sólo la dinámica dominante): 1ss

102 ++

Función de transferencia discretizada para T=0.5 segundos: 0041.0z6161.0z4206.1z

1547.0z3168.1z4423.023

2

−+−

++

(ayuda no estrictamente necesaria: los polos son 0.707 ± 0.327j, 0.0068)

1. Utilizando la función de transferencia aproximada, seleccionar justificadamente uno de los siguientes

reguladores, calculando el valor apropiado de K. Para cada uno de los reguladores de la lista, decir si

es válido, y explicar brevemente por qué, y qué parte de la especificación es capaz de satisfacer.

REFERENCIA

numRdenR

REGULADOR SALIDA

numG(s)denG(s)PLANTA

+-

Clase de Regulador Parámetros fijados

1 P

2 PI Ti=1

3 PI Ti=5

4 PD Td=1

5 PID serie Ti=5, Td=1

6 PID standard Ti=1, Td=1

2. ¿Qué error de velocidad tendrá el sistema controlado? Dibujar aproximadamente la respuesta del

sistema ante una rampa de pendiente 10.

3. ¿Qué efecto tendría en régimen permanente una perturbación aditiva constante que se sumase a la

salida de la planta (antes de la realimentación)?

4. Diseñar un regulador por métodos frecuenciales.

5.19 (6.8)

Se parte de un accionamiento de un eje formado por un amplificador que alimenta a un motor. El motor

hace girar a través de un reductor el eje cuya posición se quiere controlar. Se dispone de un sensor de

posición situado en el eje lento del reductor cuya constante de medida es 10 v/rad.

Se pretende controlar la posición del eje. El sistema controlado deberá responder en permanente ante un

escalón sin error, y ante una rampa unitaria con un error inferior a 0.05. Respecto al transitorio (ante un

escalón), interesa tener poca sobreoscilación y un tiempo de respuesta de un segundo aproximadamente.

La información disponible sobre la función de transferencia del accionamiento (entrada: tensión de entrada

al amplificador, salida: tensión de salida del sensor de posición) es la siguiente:

Función de transferencia aproximada: )s1.01)(s5.01(s

2++

Función de transferencia discretizada para T=0.3 segundos: )0498.0z)(5488.0z)(1z()0951.0z)(8124.1z(0835.0

−−−++

Diagrama de Bode: (ver pág. sgte.)

numR(s)denR(s)

Regulador

10s+2

1 2s+1

+ -

+ -

E(s)

K

S(s)

1. Cumpliendo las especificaciones de permanente, valorar el tiempo de respuesta y la oscilación que se

puede conseguir utilizando compensación serie con regulador P, PD, ó PI, y seleccionar uno de ellos:

2. Para el regulador seleccionado, dibujar aproximadamente (indicando los valores característicos) la

señal de salida del sensor de posición ante un escalón de consigna de 0.01 radianes.

3. Diseñar, utilizando el diagrama de Bode, un regulador serie por métodos frecuenciales para cumplir la

especificación.

4. Un ingeniero ha afirmado que con un PID serie y el siguiente ajuste (K=1, Ti=5, Td=0.5) se consiguen

cumplir razonablemente las especificaciones. Razonar y justificar la validez de esta afirmación.

5.20

Para el sistema de control cuyo

diagrama de bloques se muestra

en la figura, ajustar la ganancia K y

calcular el regulador R(s) más

sencillo de forma que el sistema

controlado responda sin error en

régimen permanente ante una

entrada escalón, con un error ante una rampa unitaria menor de 0.2, con un tiempo de respuesta de

aproximadamente 0.5 segundos y con una sobreoscilación en torno al 10%.

5.21

La figura muestra el diagrama

de bloques de un sistema de

control serie + realimentación

taquimétrica, para el que se

desea un tiempo de respuesta

de alrededor de un segundo.

1. Calcular el valor de K de forma que el bucle interno tenga una dinámica críticamente amortiguada.

2. Para el valor anterior de K, escoger y calcular un regulador R(s), lo más sencillo posible, que permita

cumplir la especificación. Para ello, se puede razonar en términos del lugar de las raíces o en

términos frecuenciales (o en ambos de forma complementaria).

3. Supuesto que no hubiera realimentación taquimétrica (K=0), ¿qué regulador R(s) sería necesario?

Comparar ambas opciones (serie + realimentación frente a compensación serie simple).

4. Calcular el error de velocidad del sistema con el control calculado en el Apartado 2.

5. Dibujar aproximadamente la respuesta a la entrada siguiente (puede dibujarse sobre la misma

entrada).

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

1

2

3

4

5

6

5.22

Un proceso a controlar se acciona con la señal Ve.

Se pretende controlar la señal y. Para ello se

dispone de dos sensores que devuelven las

señales vi, ym (ver diagrama de bloques).

Se pretende que el sistema controlado responda

con un tr de 1 sg aproximadamente, se admite un

poco de sobreoscilación.

n u m R(s)

d e n R (s)

1 0

0 .0 8 s + 1 .0 8 s+ 12 s

1

K

ym

vi

y

2

Sensor2

1

Sensor1

300

s +16s+152

Gi(s)

2

s+2Ge(s)

Ve

El diagrama de Bode de ym/Ve es:

Frequency (rad/sec)

-80

-60

-40

-20

0

20

40Ym /Ve

10-1 100 101 102

-250

-200

-150

-100

-50

0

1. Diseñar un regulador serie por métodos frecuenciales para cumplir la especificación.

2. Con el regulador obtenido, calcular el error de posición y el efecto en permanente de una perturbación

constante aditiva en Ve.

3. Rehacer el diseño para que el error permanente debido a la perturbación sea la mitad que con el

primer diseño.

Suponiendo que se dispone únicamente de dos comparadores (restadores) y de dos amplificadores de

ganancia ajustable para realizar el control, se pide:

4. Diseñar un esquema de control en cascada y ajustarlo para intentar cumplir la especificación.

5. Con el regulador obtenido, calcular el error de posición y el efecto en permanente de una perturbación

constante aditiva en Ve.

6. Explicar cómo modificar el ajuste para mejorar el comportamiento en régimen permanente.

6 Diseño y realización de controladores digitales

6.1 (1.1, 2.1, 3.1, 5.1)


1 Si se dispone de un microcontrolador con periodo de muestreo 1ms con una entrada y una salida

(incorpora bloqueador), escribir el fragmento de programa que deberá ejecutarse en cada ciclo de

operación para cumplir las mismas especificaciones de 5.1.

Ayuda (no estrictamente necesaria): ( )[ ]6485.0z1504.2z5019.2z

1997.0z8854.0z2481.010sGBZ23

23

0)001.0Y(−+−

++= −

=

2 Si se dispone de un microcontrolador con periodo de muestreo 10ms, diseñar un corrector por

método analítico para conseguir error de posición nulo y respuesta “en tiempo finito” (deadbeat).

6.2 (1.19, 2.9, 5.6)

Proponer un controlador digital para sustituir al calculado en 5.6 (2).

6.3 (2.12)

En adelante se supone que Ta alrededor del reactor de 2.12 se mantiene constante e igual a 100°C. Para

regular la temperatura se realiza el siguiente sistema de control digital, que ajusta Qc en función de la

diferencia entre la temperatura deseada, Td, y la medida en el reactor, T, actualizando cada minuto el valor

del flujo de calor Qc; por ejemplo, si se mide una temperatura un grado inferior a la deseada, se aportan 0.5

kW de calor durante un minuto, se vuelve a medir, etc.

R

C

T

Ta

Qc

Rad

iado

r

repetir cada minuto Qc = 0.5*(Td-T)

µControlador

Ta

TQcTd

Dibujar la evolución de T ante un escalón unitario de Td.

Suponiendo que la referencia Td se ha mantenido constante e igual a 105°C durante una hora, dibujar la

evolución de T cuando Td se aumenta repentinamente a 107°C.

Ayuda, probablemente innecesaria: se recomienda trabajar con incrementos de temperatura con respecto

de 100°C, en lugar de con las temperaturas absolutas.

6.4 (3.15, 3.16)

Completar el programa siguiente de forma que su comportamiento externo (relación entre entradas y

salidas) sea aproximadamente el mismo que el de R(s) de 3.15 (idem. con 3.16)

PRINCIPIO … REPETIR CADA 50 ms

LEER(E); … U=… ESCRIBIR(U); …

FIN_REPETIR FIN

6.5 (5.11)

Para realizar R(s) de 5.11 se empleará un regulador digital. Escoger el periodo de muestreo necesario, y

escribir el fragmento de programa que deberá ejecutar el regulador en cada ciclo.

6.6 (5.15)

Escribir el fragmento de programa que deberá ejecutar un regulador digital, conectado en compensación

serie con el proceso cuyo diagrama de Bode se muestra en 5.15, diseñado para cumplir las siguientes

especificaciones:

• Error de posición < 5 %

• Sobreoscilación < 10 %

• Tiempo de respuesta < 1 s

El periodo de muestreo se escogerá razonadamente, no pudiendo ser menor de 10 ms.

6.7 (5.18)

Diseñar un algoritmo (o la función de transferencia en z) para controlar el sistema de 5.17 por computador,

con periodo de muestreo T=0.5 segundos.

6.8 (5.19)

1. También dice el ingeniero que lo mejor sería realizar el control PID de 5.20 por computador, pero no

sabe como hacerlo. Elegir el periodo de muestreo y escribir el algoritmo correspondiente.

2. Tras probar el control, nos dice el dichoso ingeniero que ante escalones de consigna elevados no

sabe qué le ocurre al sistema, pues tarda mucho más tiempo en alcanzar el valor consignado, con

grandes oscilaciones. Explicar qué puede estar pasando, cómo se podría solucionar, y cómo sería el

transitorio una vez corregido dicho problema.

6.9

Un conocido robot móvil es capaz, entre otras cosas,

de obedecer consignas de desplazamiento en una

dirección. Al más bajo nivel, la única información de

que dispone para conseguir este objetivo son las

velocidades angulares de los ejes de los motores que

le impulsan. Su sistema motor,

de cada una de las dos ruedas,

se esquematiza en la figura. El

microcontrolador recibe una

consigna de velocidad, vc, y la

medida de la velocidad angular

del eje del motor, ω.

Con los datos leídos elabora en cada ciclo (periodo 1 s) la acción sobre el motor, de acuerdo con el

siguiente algoritmo:

leer(v_c); leer(w); v_m := 0.01*w; e := v_c - v_m; i := i + e; generar(30*e + 4*i);

La acción generada es convertida en una tensión, a razón de 1 V/unidad, y mantenida durante cada ciclo a

través de la tarjeta de salida del microcontrolador. El motor está caracterizado por sus constantes eléctrica

y de par, Ke y Kp, la resistencia y autoinducción del devanado, Ri y Li, y la inercia del conjunto eje-encoder-

reductor, Jm, siendo la fricción viscosa de este conjunto inapreciable. El movimiento del eje del motor se

transmite a la rueda a través de un reductor de factor N. La rueda, de radio r, junto con su eje presenta una

inercia J y fricción viscosa de constante b. La masa del robot es M. Por ensuciamiento, es posible que se

produzca un par de rozamiento Γr sobre el eje de la rueda. También es posible que la rueda deslice, lo cual

puede modelarse como una perturbación aditiva, δ, sobre el desplazamiento lineal del robot, x.

1. Dibujar el diagrama de bloques del sistema descrito, incluidas las dos perturbaciones posibles.

2. Discutir el efecto de cada una de las perturbaciones sobre la salida. Indicar de forma razonada cómo

podría reducirse o anularse este efecto en cada caso.

v

ω

TµC

vc

ω,Γ

ω r

U

El diagrama de bloques, parcialmente simplificado, del sistema motor es el que se muestra a la derecha:

U

µC0.01

ω v0.050.0201s+0.0025

vc1

1 2 3 4 3. Obtener la función de transferencia del sistema completo (v/vc).

4. Obtener las características aproximadas de la respuesta al escalón de dicho sistema, suponiendo que

su función de transferencia fuera: 2.0z1.1z

7.0z8.0vv

2c +−

−= (se recomienda tener en cuenta el cero).

5. Obtener los primeros valores (en instantes de muestreo) de la salida ante la entrada representada a

la izquierda del diagrama de bloques.

6.10

El siguiente esquema representa un

sistema controlado por computador,

con periodo de muestreo 1 segundo.

1. Obtener la función de

transferencia en z del sistema

completo.

2. Calcular la respuesta transitoria del sistema (en los instantes de muestreo) ante una entrada escalón

de amplitud 2. Dibujarla, indicando también el aspecto de la respuesta entre instantes de muestreo.

3. Analizar las características de la respuesta al escalón utilizando el método del continuo equivalente

aproximado, y compararlas con la respuesta obtenida en el apartado anterior.

6.11

Para realizar el control por computador de un sistema cuya función de transferencia discretizada para T=0.1

segundos es 4.0z3.0z

3779.0z522.02 −+

+ se ha implementado el siguiente algoritmo de control:

u2 := u1:= e2 := e1 := 0; repetir_cada(T) leer(e); u := 0.58*u1+0.4199*u2+1.1111*e+0.3333*e1-0.4444*e2; generar(u); u2 := u1; u1 := u; e2 := e1; e1 := e; fin_repetir;

1. Razonar cualitativamente sobre la forma de la acción de control generada.

2. ¿Cuál es el tiempo de respuesta del sistema controlado?

3. ¿Cuál sería la influencia de una perturbación aditiva que actuase sobre el sistema?

y(t)r(t)

+-

1s+2

0.08(z-0.1353)z +0.17z+0.007

C(z) Bo2

6.12

Obtener la función de transferencia de un algoritmo de integración

por trapecios. La integral por trapecios de e(t) hasta kT, ik, es la

suma de las áreas de los trapecios a la izquierda de ek.

6.13

Para regular un cierto proceso G1(s)G2(s) se ha diseñado el esquema de control en cascada por

computador cuyo diagrama de bloques se muestra en la figura. Escribir el código (tipo Pascal o C) que

debe ejecutar el controlador en cada ciclo, rellenando el esqueleto que se adjunta. Se supone que el

controlador lee las entradas, genera las salidas y espera para comenzar un nuevo ciclo automáticamente.

CDA

CAD

G1(s) G2(s)0.5

z - 0.8

z - 13

z - 0.7

z - 0.4

+

-

+

-ref

s1

s2

u

ENTRADAS ref, s1, s2 SALIDAS u VARIABLES % indicar aquí qué variables intermedias se requieren % (se inicializan a 0) REPETIR_CADA_T % escribir aquí TODAS las instrucciones a ejecutar en % cada ciclo, excepto lecturas, escrituras y esperas FIN_REPETIR

ek

e (t)

tkT

ek -1

6.14

La figura representa el diagrama de bloques de un sistema de control en cascada de una central

hidroeléctrica, donde x(t) es la consigna de tensión e y(t) la tensión en las líneas:

1.836s + 1s

0.3s2 + 1.4s

66.7s + 0.545

1015 ⋅(0.714s + 1)

10−4

0.01

+

-

+

-

x y

Se necesita un programa (en pseudo-código procedural, tipo Pascal o C) que escriba la salida ante una

entrada cualquiera, desconocida a priori y que viene definida por una función externa que toma como

argumento el tiempo, t, y devuelve el valor de la entrada, x(t), en dicho instante:

real x(real t); externa La salida consistirá en una secuencia de pares <t, y(t)>. Para escribir los sucesivos valores se dispone de

un procedimiento que toma como argumentos el tiempo, t, y el valor de la salida en dicho instante:

escribir(real t, y); externa

Aclaraciones:

• No se dispone de librería matemática alguna (es decir, NO se dispone de funciones como seno,

exponencial, ni otras más sofisticadas).

• Las consignas habituales que se esperan como entrada están formadas por tramos "largos" (de al

menos un minuto de duración cada uno) de rampas y escalones. Fijar el paso de iteración de forma que

resulte conveniente para entradas de tal tipo.

• Se recomienda empezar obteniendo la función de transferencia Y(s)/X(s) del sistema simplificando al

máximo su diagrama de bloques.

6.15

La función de transferencia de cierto sistema muestreado (periodo de muestreo T=1s) es:

75.0z25.2z3

5.0z22 +−

−

Calcular aproximadamente, mediante continuo equivalente, las características de la respuesta de este

sistema ante una entrada escalón, y comparar con las obtenidas calculando iterativamente la respuesta en

los instantes de muestreo correspondientes al transitorio.

6.16

La figura describe esquemáticamente un

sistema de control digital del nivel de un

depósito, que se llena bombeando un

caudal Q de agua desde un canal y se

vacía al ser consumida el agua que

contiene (Qc representa el caudal de

consumo de agua). El depósito es

cilíndrico, y su base, de área A, se

encuentra a una altura H con respecto del

canal.

El controlador lee en cada ciclo el nivel de agua presente en el depósito, h (medido a través de un

potenciómetro cuyo cursor es solidario con una boya) y el nivel deseado, hd y calcula, según el siguiente

algoritmo, la tensión u que debe alimentar al motor que mueve la bomba:

e := ( hd - h + 2*e + eant ) / 4 ; i := i + T * ( e + eant ) / 2 ; d := ( e - eant ) / T ; u := Kp * e + Ki * i + Kd * d; eant := aux; aux := e;

donde Kp, Ki, y Kd son constantes que se fijan para conseguir el comportamiento deseado y T es el tiempo

de ciclo, o período de muestreo, también constante. La tensión calculada es proporcionada por un

amplificador, y mantenida durante todo el ciclo.

El motor tiene constante Km, resistencia de inducido R, e inercia del rotor, incluido el de la bomba, J. Las

ecuaciones que describen el comportamiento de la bomba son las siguientes:

ω=ωΓη=∆

·DQ··Q·P

v

donde ∆P es el salto de presión que produce la bomba, siendo ( )hH·g·P +ρ=∆ , Q es el caudal impulsado, Γ

es el par ejercido sobre el eje del rotor, y ω su velocidad angular. Los factores constantes η y Dv son el

rendimiento de la bomba y su desplazamiento volumétrico, respectivamente.

Dibujar el diagrama de bloques de este sistema.

T

Q

Qc

hd

h

u

Motor cc

Bomba

Controlador

6.17

A continuación se esquematiza un posible sistema de control numérico del movimiento de un eje:

Computador B (s)0RVrefθ

ω, θu

ω

El eje se mueve mediante un motor de corriente continua controlado por inducido. La velocidad angular del

eje, ω [rad s-1] es proporcional (constante Kest [rad s-1 V-1]) a la tensión de alimentación del motor, VR [V]

en el régimen permanente, y responde con una dinámica de primer orden, con constante de tiempo τ [s].

La velocidad angular del eje se mide mediante un dispositivo basado en un disco ranurado, un par lámpara-

célula fotoeléctrica y un contador. Cada T segundos el computador lee el contenido del contador, que es

proporcional a la velocidad angular, y lo inicializa a cero, así que supondremos que el computador es capaz

de leer directamente ω.

El computador ejecuta en cada ciclo, de duración T, las siguientes instrucciones:

leer(ω); leer(θref); u := K*(θref - i); escribir(u); i := i + T*ω; esperar_siguiente_ciclo;

donde K es una constante, de la que dependerá el comportamiento del sistema.

La salida del computador, u, es convertida en una tensión continua, a razón de 1 V/unidad, mediante un

bloqueador de orden cero.

1. Describir el sistema mediante funciones de transferencia. Identificar las señales continuas y

discretas. ¿Qué significado físico tiene la señal interna i (variable del programa)?

2. Obtener la función de transferencia global, θ/θref .

3. Determinar y comentar las condiciones que debe cumplir K para que el sistema sea estable, y

demostrar que el ángulo girado por el eje, θ, sigue sin error a un escalón de la consigna θref.

Supongamos que Kest = 1 [rad s-1 V-1], τ = 0.1 [s], T = 0.1 [s], y K = 1.

4. Estudiar la respuesta transitoria (tiempo de respuesta y sobreoscilación) del sistema ante una entrada

escalón.

5. Proponer un regulador discreto tal que el ángulo girado por el eje, θ, siga sin error en régimen

permanente una entrada rampa, y el transitorio ante una entrada escalón presente un tiempo de

respuesta inferior a 1 s y poca sobreoscilación. Reescribir el fragmento de programa que debe

realizar el computador en cada ciclo de operación para que aplique el algoritmo de control obtenido.

6.18

código1

1 + sm3s−1 / kW1 V/un.

Bo(s)

1 un./V 2V / m3s−1

0.5 kW/V

Controlador (T = 1 s)

CDA

CAD

referencia

sensor

acción Amplificador Bomba

Caudalímetro

Caudal

La figura muestra el esquema de un sistema de control de caudal, siendo el código ejecutado por el

controlador cada T=1 s el siguiente:

leer(referencia); leer(sensor); error := referencia*acomodación - sensor; aux := aux + error*T acción := K1*error + K2*aux; generar(acción)

1. Dibujar el diagrama de bloques detallado, y dar un valor razonable a la constante "acomodación".

2. Obtener la función de transferencia en z del sistema completo.

3. Dibujar la región de estabilidad en el plano K1-K2.

4. ¿Cuál es el mínimo error de velocidad que se puede obtener?

5. Calcular los valores de K1 y K2 para que el sistema alcance el régimen permanente ante una entrada

en escalón antes de 5 s sin sobreoscilar.

6.19

Dibujar en el plano a-b la región de estabilidad de un sistema cuya función de transferencia es:

1bzazz2

az23 +++

+

6.20

Se desea controlar por computador (tiempo de ciclo 1 ms) cierto sistema, con un esquema de

realimentación unitaria. La función de transferencia discretizada de la planta (incluido el bloqueador) es:

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−⋅−

++

65.0z5.1z1z

75.0z25.3z2

2

Calcular un regulador para conseguir error de posición nulo y respuesta en aproximadamente 10 ms, y

comprobar el cumplimento de la especificación.

6.21

Para una planta que es un primer orden (τ=1, g=1) más integrador:

1. Diseñar un sistema de control por computador (T=0.1) con el corrector más sencillo que permita

mantener el sistema estable con ev<0.1.

2. Si el periodo de muestreo se multiplica por diez, ¿qué habría que hacer para mantener las

especificaciones del apartado anterior?

6.22

Para controlar la posición angular de un eje se dispone de un motor cc (primer orden: τm s, km rpm/V), un

medidor digital de velocidad angular (ks V/rpm), un generador de consigna (kc V/rad) y un microcontrolador

con dos entradas y una salida (todas ellas tensiones).

1. Con los elementos anteriores, dibujar el esquema del sistema de regulación de la posición angular del

eje del motor (entrada el ángulo de consigna, salida el ángulo del eje).

2. Escribir un programa adecuado para el microcontrolador (basta con el cuerpo del bucle) de forma que

el ángulo del eje siga a la consigna sin error de posición.

3. Escoger un valor para el periodo de muestreo adecuado a la dinámica del sistema. ¿Qué condiciones

deben cumplir las constantes del sistema en ese caso para que el sistema sea estable? ¿Cómo

afecta la elección del periodo de muestreo a la estabilidad del sistema?

6.23

Se considera un accionamiento de rotación que utiliza un motor eléctrico. Con una señal continua de

tensión se acciona el amplificador que alimenta el motor. La velocidad del eje de salida se mide con una

dinamo de constante 8 V/rad·s-1. La posición del eje se mide con un potenciómetro de constante 5 V/rad.

El accionamiento se ha identificado experimentalmente, observando una dinámica de primer orden:

partiendo del reposo, ante un escalón de 25 V en el amplificador, medimos 3.78 V en la dinamo al cabo de 1

s, y 6 V a los 20 s.

Para controlar la posición del eje se dispone de un controlador digital con sus correspondientes

conversores, cuyo algoritmo de control (sólo el cuerpo del bucle, que se repite cada T=0.2) es:

leer referencia; leer medida; error = referencia * k4 - medida; accion = k1* accion + k3 * error_1 + k2 * error; escribir accion; error_1 = error;

1. Obtener las funciones de transferencia del controlador y del sistema y dibujar el diagrama de bloques

del sistema de control de posición completo, indicando la parte continua y la discreta.

2. Suponiendo que la función de transferencia discreta de la parte continua, incluido el potenciómetro,

es igual, para el tiempo de muestreo utilizado, a ( )( )8187.0z1z939.0z0028.0

−−+ , ajustar los parametros (ki)

del controlador para conseguir error de velocidad menor de 0.5 y tiempo de respuesta menor de 2 s.

6.24

Se tiene un motor de corriente continua controlado por inducido, cuyas constantes (SI) son Ke=Kp=0.03,

R=20, J=2·10-5, b=5·10-6. Se desea controlar por computador (T = 0.1) la velocidad de giro del eje del motor

ω, utilizando un sensor de constante Ks = 0.1, siguiendo el esquema que muestra la figura:

u(t)

Motor

ω(t)

COMPUTADOR

G(s)

Bloqueador

u(k)BoK

e(k)+

-

v(t)T

Muestreador

v(k)Ks

Sensor

r(k)

1. Obtener la función de transferencia del sistema completo ω/r.

2. Calcular para qué valores de K es estable.

3. Calcular la ganancia estática, el tiempo de respuesta y la sobreoscilación para K=0.5 y K=10.

4. Calcular el valor de ω en los 5 primeros instantes de muestreo, cuando se aplica en r un escalón de

valor 10, para K=0.5 y K=10.

6.25

u(t)

Motor

ω(t)

COMPUTADOR

G(s)

Bloqueador

u(k)BoK

e(k)+

-

ω (k)d

v(t)T

Muestreador

v(k)F(z)

Filtro digital

Ks

Sensor

K1

v (k)f

La figura representa un sistema de control por computador de la velocidad de giro del eje de un motor cc,

utilizando un sensor de constante Ks = 0.1 V/rad s-1. La señal del sensor es muestreada por el computador,

y filtrada mediante un filtro digital F(z).

Partiendo del motor parado, se le aplica una tensión constante de 10 V. Al cabo de 1.5 s la velocidad

alcanzada es de 237.5 rad/s. Si se mantiene indefinidamente dicha tensión, se alcanza una velocidad de

250 rad/s. Calcular la función de transferencia del motor ω/U. El filtro digital F(z) se programa para que

realice la media de los dos últimos valores muestreados de v(t).

1. Obtener la función de transferencia ω/ωd para T = 0.1 s.

2. Para K=1, calcular el valor de K1 para que en régimen permanente se consiga ω = ωd.

3. Calcular aproximadamente el tiempo de respuesta y sobreoscilación del sistema. Dibujar

aproximadamente la respuesta cuando ωd pasa bruscamente de 0 a 5.

6.26

A continuación se esquematiza un sistema de control numérico de temperatura:

B0 Amplificador Depósito Captador CADCDAReguladorx u y

El CDA acepta como entrada un número, que convierte en una tensión a razón de 10V/unidad.

El amplificador acepta una entrada de tensión y entrega una corriente, con potencia 0.4kW/V, la cual

alimenta a una resistencia que calienta un fluido dentro de un depósito. Cuando la potencia de entrada

aumenta 1kW, la temperatura del fluido se incrementa 50°C (en el permanente). La dinámica de este

proceso de calentamiento se corresponde con un primer orden, con constante de tiempo τ.

El captador tiene como entrada una temperatura y como salida una tensión, a razón de 0.1V/°C.

El CAD acepta como entrada una tensión y la convierte en un número, a razón de 0.1unidades/V.

El regulador digital lee la consigna (x) y la salida del CAD (y) y produce acciones (u) a través del CDA.

Ejecuta en cada ciclo el siguiente algoritmo:

leer(x); leer(y); e := x - y; i := i + e; u := A*i + B*e; escribir(u); esperar_fin_T;

1. Describir el sistema mediante funciones de transferencia. Identificar las señales continuas y

discretas. Obtener la función de transferencia global, Y/X.

2. Supuesto que para el sistema descrito, con un periodo de muestreo de 1s, se obtiene:

K z - K z - 11 2 0.02

z - 0.99

x e u y+

-

determinar las condiciones sobre K1 y K2 para que el sistema sea estable. Calcular el tiempo de

respuesta del proceso sin controlar, Y/U. Calcular K1 y K2 de forma que el tiempo de respuesta se

reduzca a la décima parte. ¿Es el periodo de muestreo adecuado para esta velocidad de respuesta?

3. Suponiendo K1=14 y K2=13, obtener la evolución de las señales u e y ante una entrada escalón

unitario. ¿Serían admisibles valores de u negativos? ¿Por qué?

4. ¿Qué amplitud deberá tener un escalón de entrada para conseguir un aumento de la temperatura del

fluido de 10°C en el permanente? ¿Qué potencia deberá poder suministrar el amplificador en ese

caso?

6.27

La figura muestra el diagrama de bloques de un regulador para una planta con variable manipulada u y

salida controlada y, que se desea que siga una referencia ref.

y

refe v

uidi

s

1

20

3

10

-10 : 10

1. ¿De qué clase de regulador se trata? ¿Para qué situaciones sería indicado?

2. Este regulador se va a realizar digitalmente. Suponiendo que el comportamiento deseado del

proceso controlado sea de segundo orden sobreamortiguado dominante, con tiempo de respuesta de

alrededor de cinco segundos, escoger un valor razonable para el periodo de muestreo (T).

3. Completar el siguiente cuerpo del bucle del programa de control. Escribir dos versiones distintas,

discretizando:

a Por la regla de los trapecios (Tustin)

b Por equivalente con bloqueador de orden cero

REPETIR CADA T LEER(ref); LEER(y); e := ref – y; ... v:= ... SI v>10 ... generar (u) ... FIN_REPETIR

4. Dibujar el diagrama de bloques en z de cada uno de los algoritmos anteriores.

6.28

Un proceso s1

2)s(G+

= se ha de controlar por computador con un corrector serie proporcional, R(z)=K. Se

dispone de un sensor de la salida de constante unidad. El periodo de muestreo es 0.2 s

1. Determinar los valores de K que hacen que el sistema en bucle cerrado responda sin oscilaciones.

¿Dependen estos valores del periodo de muestreo?

2. Determinar el valor de K que hace que el sistema en bucle cerrado tenga un tr de 2.4 s.

3. Calcular el error de posición y dibujar aproximadamente la respuesta al escalón.

7 Diseño y realización de automatismos lógicos

7.1

Julia y Augusto son una pareja de la Alta Sociedad, de cuya vida sólo nos interesa que van al teatro cada

semana. Cada uno decide independientemente si irá al Teatro Real o al Teatro de la Opera – y una vez

tomada su decisión jamás la cambian, faltaría más – pero, de acuerdo con las normas de Sociedad, deben

ir juntos. Modelar mediante una red de Petri el comportamiento de Julia y Augusto. Obtener el

correspondiente grafo de alcanzabilidad. ¿Puede producirse un bloqueo? ¿Has representado la

eventualidad de que no vayan al teatro?

7.2

Dos excursionistas se disponen a cruzar un río de montaña, de unos cinco metros de anchura, cada uno

desde una orilla. Sólo asoman a la superficie dos pequeñas rocas, con capacidad escasa para un

equilibrista, separadas metro y medio entre sí y de la orilla. La corriente, profundidad, temperatura, y

humedad de las aguas desaconsejan terminantemente cualquier contacto con las mismas, por lo que

ambos se proponen saltar desde su orilla a la roca más cercana, de ésta a la siguiente, y finalmente de ésta

a la otra orilla.

Modelar esta situación con una red de Petri. Mostrar que si ambos excursionistas siguen literalmente sus

planes (es decir, sólo se desplazan hacia adelante) puede llegarse a una situación de bloqueo (¿en qué

caso?). Modelar la situación en que uno de los excursionistas está dispuesto a saltar hacia atrás si no

puede proseguir hacia adelante. ¿Puede producirse ahora un bloqueo?

7.3

Los dos excursionistas se encuentran con Julia y Augusto, y juntos van los cuatro a comer arroz a un chino,

bastante cutre: en la mesa, redonda, hay cuatro cuencos de arroz y sólo cuatro palillos, uno entre cada dos

cuencos.

Cada cual se sienta frente a un cuenco, y se ponen a hablar acaloradamente, gesticulando todo el tiempo

para explicar sus aventuras en la montaña o los últimos estrenos del teatro. Cuando uno quiere comer,

coge primero el palillo derecho, luego el izquierdo, come un rato, y suelta ambos para seguir gesticulando

hasta tener de nuevo hambre.

Modelar esta situación con una red de Petri. Mostrar que si todos siguen literalmente sus planes (es decir,

nunca sueltan un palillo antes de comer) puede llegarse a una situación de bloqueo (¿en qué caso?).

Modelar la situación en que el excursionista amable es zurdo, y coge siempre primero el palillo de la

izquierda. ¿Puede producirse ahora un bloqueo?

7.4

El sistema de carga y descarga que se

muestra en la figura consta de dos carros

que transportan material desde el punto de

carga (a la izquierda) hasta la zona de

descarga (a la derecha, sombreada). Al

pulsar M cuando los carros se encuentran

en el extremo izquierdo (son detectados

por C1 / C2), ambos carros se han de

desplazar a la derecha (señales d1 / d2 a 1), hasta que lleguen al extremo (detectados por D1 / D2).

Regresan (señales i1 / i2 a 1) al pulsar N estando ambos carros en el extremo derecho. Mientras los carros

circulan por la zona de descarga (delimitada por los detectores Z1 / Z2), en la que hay operarios trabajando,

han de avanzar a velocidad lenta (señales l1 / l2 a 1) y ha de iluminarse la luz de alarma (señal al a 1).

1. Modelar el sistema de control del movimiento de los carros mediante diagrama de estados y diagrama

de marcados (red de Petri). Modificar el modelo para el caso en el que los carros disponen de un

dispositivo de seguridad denominado "bumper": cuando el "bumper" de un carro detecta un obstáculo

(señales B1 / B2 a 1), el carro debe detenerse hasta que deje de detectarse el obstáculo.

2. Modelar el sistema de control en el supuesto de que los carros se esperen mutuamente en el punto

de descarga y vuelvan cuando se haya pulsado N desde el inicio del ciclo.

3. Modelar el sistema de control en el supuesto de que sólo un carro pueda estar presente en la zona de

descarga, y vuelva cuando se pulsa N. (En caso de conflicto, el carro 1 es prioritario.)

7.5

Cierto robot móvil se desplaza por un

cuadrilátero, tal como se esquematiza en la

figura de la izquierda: repetidamente debe

ir desde la esquina SO a la esquina NE y

volver. Para controlar el movimiento, el

robot dispone de cuatro sensores (n, s, e, y

o) que advierten de la presencia de un

obstáculo, por ejemplo una pared del cuadrilátero, en la correspondiente dirección, y obedece consignas de

desplazamiento, posiblemente simultáneas, hacia los cuatro puntos cardinales (N, S, E, y O).

1. Modelar mediante una red de Petri el control de este robot (n, s, e, y o son las entradas, mientras que

N, S, E, y O son las salidas). Tomar como estado inicial el robot en la esquina SO.

2. Se introducen en el cuadrilátero vallas, tal como se indica en la figura de la derecha, paralelas a las

paredes y siempre separadas suficientemente para permitir el paso del robot entre ellas, o entre ellas

y las paredes. Modificar la red de Petri anterior para modelar el control del robot en este caso.

C1 Z1

D2Z2C2

D1

B1

B2

i1 d1( l1 )

i2 d2( l2 )

M N

N

E

S

O

7.6

Una célula de fabricación robotizada, esquematizada en la

figura, consta de tres máquinas (M1, M2, y M3) y un robot (R).

El funcionamiento del sistema es el siguiente:

• En M1 y M2 se lleva a cabo el mecanizado de los bloques

de metal que llegan a la célula para producir piezas de

tipo A y B, respectivamente.

• A la entrada de M1 se dispone de un cargador automático

con capacidad para 3 piezas. Cuando M1 está libre y hay

pieza en el cargador, se carga M1. Cuando hay hueco en

el cargador, R lo carga con una pieza de la entrada.

• Cuando M2 está libre, R la carga con una pieza de la

entrada.

• En M3 se ensamblan una pieza de tipo A y otra de tipo B para producir el producto final. Cuando M1

(o M2) ha terminado el mecanizado de una pieza y M3 la está esperando para ensamblar, R la toma

de M1 (o M2) y la carga en M3.

• Cuando hay varias tareas que requieren a R simultáneamente, se selecciona de forma indeterminista

cuál se realizará primero.

Modelar el comportamiento de este sistema mediante una red de Petri autónoma, representando el estado

que se muestra en la figura: R está cargando el cargador de M1, que ya contenía una pieza, M1 está

mecanizando otra pieza, M2 está libre y M3 está esperando una pieza de tipo A. (Se supone saturación de

la célula de fabricación, es decir, que siempre hay bloques de metal disponibles a la entrada y siempre hay

hueco a la salida para los productos finales.)

7.7

Un cierto producto se compone de dos piezas, A y B. Para fabricarlo se dispone de dos máquinas, un robot,

y un depósito intermedio con capacidad para tres piezas A. La máquina 1 fabrica en cada ciclo dos piezas

A. Cuando termina, el robot las traslada de una en una al almacén, tras lo cual la máquina 1 queda libre e

inicia un nuevo ciclo. Por su parte, la máquina 2 en cada ciclo fabrica una pieza B, que es ensamblada por

el robot con una pieza A sobre la propia máquina 2, tras lo cual la máquina 2 queda libre e inicia un nuevo

ciclo.

Modelar mediante una red de Petri el sistema de fabricación descrito, explicando brevemente el significado

de cada lugar y transición del modelo. (Inicialmente no hay piezas en el almacén, el robot está libre, y las

máquinas se encuentran al principio de sus respectivos ciclos de producción, es decir, están fabricando

piezas.)

R

M3 M2M1

7.8

Se desea controlar una célula de alimentación e

identificación de piezas de un sistema de manufactura.

Las piezas, que pueden ser de tres tipos (PN, PB, y M),

se cargan en un alimentador por gravedad que deja caer

una pieza al recibir un flanco de subida de la señal S.

Mediante dos sensores, uno óptico (O) y otro capacitivo

(C), se identifica el tipo de pieza de que se trata:

Tipo pieza O C PN (Plástica negra) 0 1

PB (Plástica blanca) 1 1

M (Metálica) 1 0

Ninguna 0 0

Los empujadores de las piezas son cuatro cilindros neumáticos (ver figura: Ci con i=1,…,4), que obedecen

órdenes de extenderse (cuando ECi=1) y contraerse (cuando CCi=1). Para poder detener el desplazamiento

en el punto adecuado se dispone de varias células fotoeléctricas (ver figura: C10, C11, C12, C13, CJ0, CJ1;

en todas ellas 1 indica objeto detectado).

El funcionamiento deseado del sistema es el siguiente:

• El funcionamiento comienza al pulsarse el botón P, después de haber cargado convenientemente el

alimentador. El sistema procesará piezas una tras otra hasta detectar que no queda ninguna. En ese

momento hará sonar un zumbador (señal AL) durante 1 s y hará lucir el piloto L para indicar que hay

que recargar el alimentador, quedando a la espera de una nueva pulsación de P que indique un nuevo

comienzo de funcionamiento.

• El procesamiento de una pieza comienza dejándola caer (flanco de subida de S). En función del tipo de

pieza identificada, se ordena a C1 que la empuje hasta la posición apropiada, tras lo cual el cilindro

correspondiente Cj la empujará hasta su cinta. Si al cabo de 1 s los sensores de identificación no

detectan nada, es que no quedaba ninguna pieza.

• Para minimizar el tiempo de ciclo, el retorno de C1, la liberación de una nueva pieza, y su identificación,

deberán producirse simultáneamente al empuje y retorno de Cj.

Dibujar la red de Petri (o el Grafcet) que deberá ejecutar el controlador de la célula. Inicialmente los

cilindros están en posición de reposo (contraidos).

Se dispone de un temporizador, del tipo "retardo

en la conexión", con entrada IN y salida Q: se

inicia la temporización (de 1 s) cuando IN pasa

de 0 a 1; cuando ha terminado, y mientras IN

siga siendo 1, se tiene la salida Q (ver

cronograma).

O CCJ0

CJ1

C10

C11 C12 C13

SCC1EC1

CC2EC2

CC3EC3

CC4EC4

P L AL⊗

PN PB M

IN

TMi,P...

Q

t

t

t

TMi,V

IN

t transc.

0

Q

1 s

7.9

En la figura se muestra

esquemáticamente (parte de) una célula

de clasificación de piezas por longitud.

El ciclo de operación, que se repite

indefinidamente es:

• Cargar en la célula una nueva pieza, poniendo la señal CARGAR a 1 hasta que se detecte la señal

CARGADA=1. (El cargador no se muestra en la figura.)

• Mover el desplazador hacia la izquierda (poniendo la señal IZDA a 1) para medirla. Si la pieza es larga,

llega a poner simultáneamente los detectores DET1 y DET2 a 1, mientras que si es corta sólo llega a

poner uno (primero DET1 y después DET2).

• Si la pieza es corta, se sigue llevando hacia la izquierda (IZDA a 1) hasta que se llega a su posición de

descarga (CORTA_LISTA=1), mientras que si es larga, se lleva hacia la derecha (DCHA a 1) hasta que

se llega a su posición de descarga (LARGA_LISTA=1). En cualquier caso, una vez que la pieza haya

sido retirada, el desplazador vuelve hacia su posición de carga (poniendo, respectivamente, DCHA o

IZDA a 1 hasta que se detecta DESPLAZADOR_LISTO=1).

• Para la retirada de las piezas, en ambos casos, hay que ordenar el descenso y ascenso de la

correspondiente grúa: BAJAR_LARGA, o BAJAR_CORTA, a 1 hasta detectar ABAJO_LARGA=1, o

ABAJO_CORTA=1, esperar 5 segundos a que se complete la sujeción de la pieza, SUBIR_LARGA, o

SUBIR_CORTA, a 1 hasta detectar ARRIBA_LARGA=1, o ARRIBA _CORTA=1, y esperar 5 segundos a

que se complete la retirada de la pieza. (Las grúas no se muestran en la figura.)

Diseñar una red de Petri, o un GRAFCET, para controlar esta célula.

En el estado inicial, al que se deberá volver al final de cada ciclo, el desplazador está listo para recibir una

pieza y las grúas están arriba y sin pieza (listas para iniciar la retirada de una nueva pieza). Se supone que

siempre hay piezas preparadas para cargar la célula y siempre hay sitio para retirar las piezas ya

clasificadas. Para acortar el tiempo de ciclo, las operaciones de las grúas (bajadas, subidas, y esperas)

deben hacerse simultáneamente con los movimientos del desplazador, en la medida de lo posible. (El

diseño mecánico de las grúas y el desplazador es tal que no colisionan.)

¿Qué sucede si el cargador falla y se inicia un ciclo sin pieza? Indicar cómo podría solucionarse.

Zona Descarga

Cortas

Zona Descarga

LargasZona Carga

DET2

IZDA DCHA

CORTA_LISTA LARGA_LISTADESPLAZADOR_LISTO

DET1

7.10

En la figura se muestra

esquemáticamente (parte de) una célula

de clasificación de piezas por longitud.

El ciclo de operación, que se repite

indefinidamente es:

• Las piezas son bajadas desde un almacén de piezas a la zona de carga con una grúa (ni la grúa, ni el

almacén se ven en la figura).

• Una vez que se tiene una pieza entre los dedos del desplazador, se mueve hacia la izquierda (poniendo

la señal IZDA a 1) para medirla. Si la pieza es muy larga, llega a poner simultáneamente los detectores

DET1 y DET2 a 1, mientras que si es corta sólo llega a poner uno (primero DET1 y después DET2).

• Si la pieza es corta, se sigue llevando hacia la izquierda (IZDA a 1) hasta que se llega a su posición de

descarga (CORTA_LISTA=1), mientras que si es larga, se lleva hacia la derecha (DCHA a 1) hasta que

se llega a su posición de descarga (LARGA_LISTA=1). Las piezas son retiradas automáticamente por

gravedad al llegar a las zonas de descarga, pero conviene detener durante un segundo el desplazador

para asegurar que son retiradas.

• En cualquier caso, el desplazador vuelve hacia su posición de carga (poniendo, respectivamente, DCHA

o IZDA a 1 hasta que se detecta DESPLAZADOR_LISTO=1).

La grúa de carga tiene una ventosa para agarrar las piezas, que se acciona con un aspirador que está en

marcha mientras está a 1 la señal ASPIRADOR (para que la ventosa sujete una pieza, el aspirador debe

mantenerse en marcha), y un sensor que indica si hay pieza enganchada (COGIDA =1) o no. Además

realiza el ciclo siguiente:

• Bajar (BAJAR a1) con una pieza cogida hasta la zona de carga (ABAJO=1)

• Soltar la pieza entre los dedos del desplazador.

• Subir (SUBIR a 1) hasta que llega al almacen de piezas (ARRIBA=1).

• Coger una pieza con la ventosa (siempre hay piezas preparadas en el almacén).

1. Diseñar una red de Petri, o un GRAFCET, para controlar esta célula. Para acortar el tiempo de ciclo,

las operaciones de la grúa deben hacerse simultáneamente con los movimientos del desplazador,

en la medida de lo posible. (El diseño mecánico de la grúa y el desplazador es tal que no colisionan.)

2. Numerar los lugares o etapas y escribir el tratamiento POST que condiciona el accionamiento del

aspirador. Se recomienda utilizar lenguaje de contactos.

Zona Descarga

Cortas

Zona Descarga

LargasZona Carga

DET2

IZDA DCHA

CORTA_LISTA LARGA_LISTADESPLAZADOR_LISTO

DET1

7.11

La figura muestra el esquema de una instalación de carga y descarga con un cruce de trayectos. Mediante

el pulsador M1 se ordena un ciclo para el carro C1 (A1-B1-A1) con espera (descarga) en B1 hasta pulsar

N1. Análogamente, el pulsador M2 lanza un ciclo de C2 (A2-B2-A2) con espera en B2 de 10 unidades de

tiempo. El acceso al cruce se asigna en los puntos de aproximación Pi, Qi. Caso de tener que esperar para

acceder, la espera se realiza en los puntos Ri, Si (hasta los que se avanza a velocidad reducida). En caso

de conflicto, los trayectos de carga son prioritarios en primera instancia; en segunda instancia, C1 es

prioritario sobre C2.

C

C

A

A

B

BM NP QR S

Tr

T

P

Q

R

S

2

1 1 1 1 1 11 1

1

2

2

2

2

2

2

M V

IV I1 1

2

2

L

L1

2

Modelar el control del sistema con una red de Petri. Las entradas son las señales producidas por los

sensores (1 si hay sobre ellas un carro, 0 en otro caso), los pulsadores (1 si pulsado, 0 en otro caso) y el

temporizador (T = 0 mientras avanza la temporización, 1 en otro caso). Las salidas son los comandos para

los carros (Ii = 1 si el carro i ha de avanzar en sentido de ida, Vi = 1 si ha de avanzar en sentido de vuelta, Ii

= Vi = 0 si ha de estar parado, Li = 1 si ha de avanzar lentamente), y el comando de inicio de la

temporización (flanco de subida de Tr).

7.12

La figura muestra el esquema simplificado de la instalación de una planta productora de zumos a partir de

los correspondientes jarabes y una solución glucosada.

La producción de un lote de zumo se realiza mediante las siguientes operaciones:

• Se ordena el suministro de glucosa, (G),

el concentrado correspondiente (N o L) y

la solución acuosa con SO2 (AS) hasta

que se llena la cuba del agitador (llenA).

• El agitador se pone en marcha durante 5

minutos, al tiempo que se inyecta vapor

hasta alcanzarse 55ºC (sensor de

temperatura: θ).

• Se evacua el zumo a través de un

cambiador de calor, refrigerado por agua

(válvula F) hasta que se detecta ausencia

de caudal durante 5 segundos

• Además, si se va a producir zumo de un

tipo diferente al del ciclo anterior, han de

limpiarse los conductos y depósito con

agua (entradas AS, AL2 y AL4; salidas

AL1, AL3, y ALN o ALL) durante medio

minuto. La apertura de una válvula de

salida de agua de limpieza ha de hacerse

cerrando la válvula de corte situada

inmediatamente después (por ejemplo: T,

en caso de abrir AL1).

• Un ciclo se desencadena mediante un

pulsador Z (ZN- zumo de naranja; ZL-

zumo de limón), siempre y cuando el nivel

del tanque almacén correspondiente (Ni)

no esté superado (Ni = 0), en cuyo caso

se generará una alarma sonoro-luminosa, Alarma.

Modelar con una red de Petri el control de este sistema.

Glucosa Naranja Limón

Naranja Limón

J A R A B E S

G N L AS

AL1T

AL2

V

AL3 C

F

AL4

N1

N2 ALN

L1

L2 ALL

NN NL

Z U M O S

Agua + SO2

Agua de limpieza

Agitador

Agua fría

ZN ZL Alarma

Salida

7.13

Las figuras muestran dos momentos durante la evolución

de un sistema manipulador que traslada contenedores

entre cintas transportadoras a diferentes niveles.

El funcionamiento, que se repite cíclicamente cuando el

sistema está en marcha (C1 activo), es el siguiente:

Cuando la carretilla se encuentra a la derecha y el

montacargas arriba, se ponen en marcha sus respectivas

cintas hasta que deja de detectarse carga sobre el

montacargas. (La figura superior muestra un momento

durante esta operación.)

Una vez transferido el contenedor, la carretilla se mueve

hacia la izquierda para depositarlo en la cinta de salida, lo

que se consigue activando su cinta hasta que deja de

detectarse carga. Mientras tanto, el montacargas baja a

recoger un nuevo contenedor, lo que se consigue

poniendo en marcha la cinta de entrada y la del

montacargas hasta que se detecta carga sobre éste. Si se supera un tiempo prefijado, T, se hace sonar

una alarma, pues se supone que no había contenedor que cargar. Cuando se ha solucionado el problema

se oprime un pulsador y continúa la operación.

La carretilla descargada vuelve a por un nuevo contenedor desplazándose hacia la derecha, mientras que el

elevador sube con su carga.

Las entradas y salidas del sistema se resumen en la siguiente tabla:

Entradas (Condiciones) Salidas (Acciones) C1 Sistema en funcionamiento A1 Mover carretilla hacia la izquierda C2 Carretilla a la izquierda A2 Mover carretilla hacia la derecha C3 Carretilla a la derecha A3 Cinta de la carretilla en marcha C4 Carretilla cargada A4 Bajar montacargas C5 Montacargas arriba A5 Subir montacargas C6 Montacargas abajo A6 Cinta del montacargas en marcha C7 Montacargas cargado A7 Cinta de entrada en marcha C8 Problema solucionado (pulsador) A8 Hacer sonar alarma

1. Modelar el control de este sistema mediante una red de Petri (o Grafcet). Para la temporización,

puede suponerse que se puede evaluar la condición (Xi.t > T), donde Xi.t significa “tiempo que lleva

marcado el lugar i (tiempo que lleva activa la etapa i)”.

2. En el modelo diseñado, ¿en qué estado queda el sistema cuando se desactiva C1? (Como no se

había especificado un comportamiento determinado, es una cuestión de diseño.) Modificar el modelo

para que el sistema quede en una posición de reposo cuando no está C1 activo: montacargas abajo

sin carga, y carretilla sin carga.

7.14

Se pretende diseñar el control de una puerta de garaje. Inicialmente la puerta está cerrada. Si se acciona la

llave (LLAVE=1) estando la puerta cerrada o bajando, la puerta se debe abrir, accionando el

correspondiente motor (SUBIR=1) hasta un tope fin de carrera (ARRIBA=1). Una vez la puerta está arriba,

se mantiene siete segundos abierta. Después se ordena automáticamente su cierre accionando el

correspondiente motor (BAJAR=1), hasta que llegue abajo (ABAJO=1).

Se dispone además de una célula fotoeléctrica que indica presencia de vehículo bajo la puerta (CELULA=1).

Si se activa mientras la puerta está bajando, se debe ordenar la apertura de la puerta.

Además, siempre que la puerta esté abierta o moviéndose debe encenderse una luz roja (LUZ_ROJA=1).

1. Diseñar una red de Petri (o Grafcet) para el control de la puerta.

2. Numerar los lugares y escribir en lenguaje de contactos la lógica de salida (tratamiento POST), para

las acciones (motores y luz).

3. Revisión del diseño: ¿Qué ocurre si se activa la célula o la llave justo cuando se acaba de bajar la

puerta? ¿Y si se activa justo cuando acaba de terminar la temporización?

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