Problemas sistemas lti

SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS

Curso Académico 2009−2010

1

Problemas Tema 2: Sistemas

PROBLEMA 1. Dados los siguientes sistemas en tiempo continuo y las señales de entrada

indicadas, determine las señales de salida correspondientes:

a) Sistema T1: ( ) ( )txty = y señal de entrada: ( ) ( ){ } ( )1111 −−= −− tuetx t .

b) Sistema T1: ( ) ( )txty = y señal de entrada: ( ) ( ){ } ( ){ })3(1)3(12 −−−++−+= tututututx .

c) Sistema T2: ( ) ( )dt

tdxty = y señal de entrada: ( ) t

etx−=3 .

d) Sistema T2: ( ) ( )dt

tdxty = y señal de entrada: ( ) ( ) ( )214 −Λ+−Λ= tttx .

PROBLEMA 2. Dados los siguientes sistemas en tiempo discreto y las señales de entrada

indicadas, determine las señales de salida correspondientes:

a) Sistema T1: [ ] [ ]∑−∞=

=n

k

kxny y señal de entrada:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]21231221 −+−−++−+= nnnnnnx δδδδδ .

b) Sistema T2: [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

>++≤

=0,2

0,0

nxnxnx

nxny y señal de entrada:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ].4221232 −+−−+++−= nununununx .

PROBLEMA 3. Considere la siguiente interconexión de sistemas:

en la que T1: y(t) = 2x(t-2); T2: y(t) = dx(t)/dt y T3: y(t) = x(-t+1)

a) Determine la relación entre la entrada x(t) y la salida y(t).

b) Calcule la salida cuando la entrada es x(t) = u(t).

PROBLEMA 4. Considere la siguiente interconexión de sistemas:

en la que T1: y[n] = x[n-1]; T2: y[n] = x[n+5] y T3: y[n] =x[n]-3

a) Determine la relación entre la entrada x[n] y la salida y[n].

T1

T3

y(t) x(t) +

T2

y[n] x[n] + T1

T3 T2



2

PROBLEMA 5. Considere un sistema discreto con entrada [ ]nx y salida [ ]ny . La relación

entrada−salida para este sistema es [Prob. 1.16 del Oppenheim]:

[ ] [ ] [ ]2−⋅= nxnxny

a) ¿El sistema es sin memoria?

b) Determine la salida del sistema cuando la entrada es [ ]nA δ⋅ , donde “A” es un número

real o complejo.

c) ¿El sistema es invertible?

PROBLEMA 6. Considere un sistema continuo con entrada ( )tx y salida ( )ty , estando

relacionadas mediante [Prob. 1.17 del Oppenheim]:

( ))sen()( txty =

a) ¿El sistema es causal?

b) ¿El sistema es lineal?

PROBLEMA 7. Determine (argumentando la respuesta) qué propiedades (sin memoria,

invariante en el tiempo, lineal, causal, estable) cumplen los siguientes sistemas continuos

[Prob. 1.27 del Oppenheim]:

a) )2()2()( txtxty −+−= b) [ ] )()3cos()( txtty ⋅=

c) ∫∞−

⋅=t

dxty

2

)()( ττ d)

≥−+<

=0:)2()(

0:0)(

ttxtx

tty

e)

≥−+<

=0)(:)2()(

0)(:0)(

txtxtx

txty f)

=3

)(t

xty

g) dt

tdxty

)()( =

PROBLEMA 8. Determine (argumentando la respuesta) qué propiedades (sin memoria,

invariante en el tiempo, lineal, causal, estable) cumplen los siguientes sistemas discretos


a) [ ] [ ]nxny −= b) [ ] [ ] [ ]822 −⋅−−= nxnxny

c) [ ] [ ]nxnny ⋅= d) [ ] [ ]{ }1−= nxParny

e) [ ][ ]

[ ]

−≤+=≥

=1:1

0:0

1:

nnx

n

nnx

ny f) [ ][ ]

[ ]

−≤=≥

=1:

0:0

1:

nnx

n

nnx

ny

g) [ ] [ ]14 += nxny



3

PROBLEMA 9. Determine si cada uno de los siguientes sistemas es invertible. En caso

afirmativo, construya el sistema inverso. Si no, encuentre dos señales de entrada al sistema

que den la misma salida [Prob. 1.30 del Oppenheim].

a) )4()( −= txty b) [ ])(cos)( txty =

c) [ ] [ ]nxnny ⋅= d) ∫∞−

⋅=t

dxty ττ )()(

e) [ ][ ]

[ ]

−≤=≥−

=1:

0:0

1:1

nnx

n

nnx

ny f) [ ] [ ] [ ]1−⋅= nxnxny

g) [ ] [ ]nxny −= 1 h) ∫∞−

−− ⋅⋅=t

t dxety τττ )()( )(

i) [ ] [ ]∑−∞=

−

⋅

=n

k

kn

kxny2

1 j)

dt

tdxty

)()( =

k) [ ] [ ][ ]

−≤≥+

=1:

0:1

nnx

nnxny l) )2()( txty =

m) [ ] [ ]nxny 2= n) [ ]

=

impar :0

par :2

n

nn

xny

PROBLEMA 10. Considere un sistema LTI cuya respuesta a la señal )(1 tx en la Figura 1(a)

sea la señal )(1 ty ilustrada en la Figura 1(b) [Prob. 1.31 del Oppenheim].

01 2

1

x1(t)

t t

t t-1 0 1 2 3 4

0 1 2

1

2

y1(t)

-1 0 1 2 3 4

-1

1

x2(t) x3(t)

1

2

(a) (b)

(d)(c)

Figura 1



4

a) Determine y dibuje cuidadosamente la respuesta del sistema a la entrada )(2 tx dibujada

en la Figura 1(c).

b) Determine y dibuje la respuesta del sistema considerado para la entrada )(3 tx mostrada

en la Figura 1(d).

PROBLEMA 11. Considere una entrada [ ]nx y una respuesta al impulso unitario [ ]nh dadas

por [Prob. 2.3 del Oppenheim]:

[ ] [ ]22

12

−⋅

=−

nunx

n

[ ] [ ]2+= nunh

Determine y dibuje la salida [ ] [ ] [ ]nhnxny *= .

PROBLEMA 12. Suponga que [Prob. 2.10 del Oppenheim]:

≤≤

=resto

ttx

:0

10:1)(

y que ( )αtxth =)( donde 10 ≤< α .

a) Determine y dibuje )(*)()( thtxty = .

b) Si dttdy )( contiene sólo tres discontinuidades, ¿cuál es el valor de α?

PROBLEMA 13. Calcule la convolución [ ] [ ] [ ]nhnxny *= de los siguientes pares de señales


a) [ ] [ ][ ] [ ] βα

βα

≠

⋅=

⋅=

nunh

nunx

n

n

b) [ ] [ ] [ ]nunhnx n ⋅== α

c)[ ] [ ]

[ ] [ ]nunh

nunx

n

n

−⋅=

−⋅

−=

24

42

1

d) [ ]nx y [ ]nh son como se muestran en la Figura 2.

-1 0 1 2 3 4 5 6

x[n]

-1 0 1 2 3 4 5 6

h[n]

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1

1

Figura 2



5

PROBLEMA 14. Para cada uno de los siguientes pares de formas de ondas, use la integral de

convolución para encontrar la respuesta )(ty a la entrada )(tx del sistema LTI cuya

respuesta al impulso es )(th [Prob. 2.22 del Oppenheim].

a) βαβαβ

α

=≠

⋅=

⋅=−

−

paray , para )()(

)()(

tueth

tuetx

t

t

b) )1()(

)5()2(2)()(

2 tueth

tutututx

t −⋅=

−+−⋅−=

c) )(tx y )(th son como se muestra en la Figura 3(a).

d) )(tx y )(th son como se muestra en la Figura 3(b).

e) )(tx y )(th son como se muestra en la Figura 3(c).

01 2

1

x(t)

t t

t t0 1

2

0 1 2

1

h(t)

x(t) h(t)

(a)

(b)

(c)

Un periodo de sen(πt)

3

bPendiente = a

4/3

-1/3

01 2

1

x(t)

t t0 1

1

h(t)

-1

-1

3

Figura 3

PROBLEMA 15. Dadas las señales x(t) y h(t) siguientes [Prob. 2.23 del Oppenheim]:

( ) ( ) ( )∑∞

−∞=

<<+−<<−+

=−=k tt

ttthkTttx

10,1

01,1δ

Determine y dibuje )(*)()( thtxty = para los siguientes valores de T:

a) T = 4; b) T = 2; c) T = 3/2; d) T = 1



6

PROBLEMA 16. Examine la interconexión en cascada de los tres sistema LTI causales

ilustrados en la Figura 4(a). La respuesta al impulso [ ]nh2 es [Prob. 2.24 del Oppenheim]:

[ ] [ ] [ ]22 −−= nununh

y la respuesta total al impulso es como se muestra en la Figura 4(b).

a) Encuentre la respuesta al impulso [ ]nh1 .

b) Encuentre la respuesta del sistema total a la entrada

[ ] [ ] [ ]1−−= nnnx δδ

h1[n]x[n] y[n]h2[n] h2[n]

-1 0 1 2 3 4 5 6

h[n]

7 n

(a)

(b)

1

5

1011

8

4

1

Figura 4

PROBLEMA 17. Considere las respuestas al impulso de los siguientes sistemas LTI.

Determine si cada sistema es causal y/o estable [Prob. 2.28 y 2.29 del Oppenheim].

a) [ ] [ ]nunh

n

⋅

=5

1 b) [ ] ( ) [ ]28'0 +⋅= nunh

n

c) [ ] [ ]nunh

n

−⋅

=2

1 d) [ ] ( ) [ ]nunh

n −⋅= 35

e) [ ] [ ] [ ]1)01'1(2

1 −⋅+⋅

−= nununh n

n

f) [ ] [ ] [ ]nununh n

n

−⋅+⋅

−= 1)01'1(2

1

g) [ ] [ ]13

1 −⋅

= nunh

n

h) ( ) ( )24 −= − tueth t

i) ( ) ( )tueth t −= − 36 j) ( ) ( )502 −= − tueth t

k) ( ) ( )tueth t −−= 12 l) ( ) teth

6−=

m) ( ) ( )tuteth t−= n) ( ) ( ){ } ( )tueeth tt 100/1002 −− −=



7

PROBLEMA 18. Considere la siguiente interconexión de sistemas LTI. [Septiembre 2001].

[ ]h n1¿ ?

Σ[ ]h n2

[ ]h n3 [ ]h n4

donde se sabe que [ ] [ ]nhnh −= 43 y las respuestas al impulso h2[n] y h4[n] están

representadas en las figuras siguientes:

Determine el valor de h1[n] para que la interconexión anterior pueda sustituirse por un único

sistema h[n] de respuesta al impulso:

[ ]h n... ...

1

0 1 2-1-2 3-3

[ ]h n

n

PROBLEMA 19. Considere la siguiente interconexión de sistemas lineales e invariantes en el

tiempo. [Febrero 2003].

Las respuestas al impulso de los bloques son:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10tu2tuth;4tu2tu2tuth;tueth 42t

1 −−=−+−−== −

y h3(t) y h5(t) corresponden a sendos derivadores.

Calcule la respuesta al impulso del sistema equivalente h(t).

... ...1

0 1 2-1 3 n

2

3

4 5

[ ]h n4

... ...2

0 1 2-1 3 n

7

13

4

7

2

-2-3-4

[ ]h n2



8

Soluciones

PROBLEMA 1.

PROBLEMA 2.

PROBLEMA 3. a) { } ( )1)2(2)( +−+−= txdttxdty ; b) ( ) ( )122)( +−+−= tutty δ .

PROBLEMA 4. a) [ ] [ ] [ ] 314 −−=+− nxnyny .

PROBLEMA 5. a) No; b) y[n] = 0; c) No.

PROBLEMA 6. a) No; b) Sí.

PROBLEMA 7. a) Lineal, estable; b) Sin memoria, lineal, causal, estable; c) Lineal; d) Lineal,

causal, estable; e) Invariante, causal, estable; f) Lineal, estable; g) Invariante, lineal.

PROBLEMA 8. a) Lineal, estable; b) Invariante, lineal, causal, estable; c) Sin memoria, lineal,

causal; d) Lineal, estable; e) Lineal, estable; f) Sin memoria, lineal, causal, estable; g)

Lineal, estable.

PROBLEMA 9. a) Invertible, )4()( += txty ; b) No invertible, )()(1 txtx = , π2)()(2 += txtx ;

c) No invertible, [ ] [ ]nnx δ=1 , [ ] [ ]nnx δ⋅= 22 ; d) Invertible, dttdxty )()( = ; e) Invertible,

[ ] [ ][ ]

<≥+

=0:

0:1

nnx

nnxny ; f) No invertible, [ ] [ ]nxnx =1 , [ ] [ ]nxnx −=2 ; g) Invertible,

[ ] [ ]nxny −= 1 ; h) Invertible, dttdxtxty )()()( += ; i) Invertible, [ ] [ ] [ ]15'0 −⋅−= nxnxny ;

j) No invertible, )()(1 txtx = , .)()(2 ctetxtx += ; k) No invertible, [ ] [ ]nnx δ=1 ,

[ ] [ ]nnx δ⋅= 22 ; l) Invertible, )2/()( txty = ; m) No invertible, [ ] [ ] [ ]11 −+= nnnx δδ ,

[ ] [ ]nnx δ=2 ; n) Invertible, [ ] [ ]nxny 2= .

a) b) c) d)

a) b)



9

PROBLEMA 10.

a)

t0 1 2

1

2

y2(t)

3 4

-2

-1

b)

t-1 0 1 2

y3(t)

2

PROBLEMA 11. [ ] [ ]nuny

n

⋅

−⋅=+1

2

112

PROBLEMA 12.

a)

+≤≤−+≤≤≤≤

=

resto

tt

t

tt

ty

:0

)1(1:1

1:

0:

)(αα

ααα

; b) 1=α .

PROBLEMA 13. a) [ ] [ ]nunynn

⋅−−=

++

αβαβ 11

; b) [ ] [ ]nunny n ⋅+⋅= )1(α ;

c) [ ]

>⋅

−⋅

≤=

6:642

1

9

8

6:608.4

4

n

n

ny n

n

; d) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]4321 −+−+−+−+= nhnhnhnhnhny .

PROBLEMA 14. a) ( )( )

≠⋅−⋅−

=⋅⋅= ⋅−

−

−

βααβ

βααβ

α

α

:)(1

:)(

)(tue

e

tute

ty tt

t

;

b)

( )( )( )

>

≤≤−⋅

≤≤+⋅−⋅

≤+⋅−⋅

=−⋅

−⋅−⋅

−⋅−⋅

6:0

63:2

1

31:22

1

1:22

1

)(

2)5(2

)5(2)2(22

)5(2)2(22

t

tee

teee

teee

ty

t

tt

ttt

; c) ( )[ ]

( )[ ]

>

≤≤−−⋅⋅

≤≤−⋅−⋅≤

=

5:0

53:1)3(cos1

31:)1(cos11

1:0

)(

t

tt

tt

t

tyπ

π

ππ

d) )()( txty = ; e)

<<+−

<<−++−=

2

3

2

1:

4

73

2

1

2

1:

4

1

)(2

2

ttt

tttty , periodo “2”.

PROBLEMA 15. ( ) ( )∑∞

−∞=−=

k

kTthty

PROBLEMA 16. a) [ ] 101 =h , [ ] 311 =h , [ ] 321 =h , [ ] 231 =h , [ ] 141 =h ; b) [ ] [ ] [ ]1−−= nhnhny .



10

PROBLEMA 17. a) Causal, estable; b) No causal, estable; c) No causal, no estable; d) No

causal, estable; e) Causal, no estable; f) No causal, estable; g) Causal, estable; h) Causal,

estable; i) No causal, no estable; j) No causal, estable; k) No causal, estable; l) No causal y

estable; m) Causal y no estable; n) Causal y no estable.

PROBLEMA 18. h1[n] = δ [n+2] + δ [n+1] + 2 δ [n] + 3 δ [n-1] +5 u[n-2].

PROBLEMA 19. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )102422 42 −−+−+−−= −−−−− tttuetuetueth ttt δδ .

INGENIERIA DE TELECOMUNICACION – Sistemas y Circuitos Problemas – 14/10/2008

Propiedades de los sistemas

1. Considere el sistema con relacion entrada-salida

y(t) = x(t2)

(a) ¿El sistema es invariante con el tiempo?

(b) ¿El sistema es causal?

(c) ¿El sistema es estable?

Sol. NO, NO, SI


y(t) = t2 x2(t)

(a) ¿El sistema es sin memoria?

(b) ¿El sistema es invariante con el tiempo?

(c) ¿El sistema es invertible?

(d) ¿El sistema es estable?

(e) ¿El sistema es causal?

(f) ¿El sistema es lineal?

Sol. SI, NO, NO, NO, SI, NO


y[n] = x[n] +1

2x[n − 1] +

1

2x[n + 1]




(d) ¿El sistema es causal?

(e) ¿El sistema es lineal?

Sol. NO, SI, SI, NO, SI


y[n] = ex[n] + x[n]






Sol. SI, SI, SI, SI, NO

1


y(t) =

∫t

t−1x(τ) dτ






Sol. NO, SI, SI, SI, SI


y(t) =

∫t−1

t−2x3(τ) dτ






Sol. NO, SI, SI, SI, NO


y[n] =n+3∑

k=−∞

4x[k]






Sol. NO, SI, NO, NO, SI


y[n] =n−3∑

k=n−10

4x2[k] + x[k]






Sol. NO, SI, SI, SI, NO

2


Propiedades de los sistemas LIT


y[n] = x[n] +1

2x[n − 1]

(a) Halle la respuesta al impulso



Sol. h[n] = δ[n] + 12 δ[n − 1], SI, SI

2. Considere el sistema con respuesta al impulso

h[n] = δ[n] −π

2δ[n − 1] −

π

2δ[n + 1]


(b) ¿El sistema es estable?

(c) ¿El sistema es causal?

Sol. NO, SI, NO


h[n] = u[n]




(d) Halle la respuesta s[n] al escalon unitario.

Sol. NO, NO, SI, s[n] = (n + 1)u[n].


h[n] = e−5nu[n]




(d) Halle la respuesta s[n] al escalon unitario.

Sol. NO, SI, SI, s[n] =1 − e−5(n+1)

1 − e−5.

1


y[n] =n−1∑

k=−∞

2x[k]

(a) Halle la respuesta al impulso.

(b) ¿El sistema es sin memoria?



Sol. h[n] = 2u[n − 1], NO, NO, SI


y(t) = x(t) + x(t − 0.5) + x(t − 1) + x(t − 1.5)





Sol. h(t) = δ(t) + δ(t − 0.5) + δ(t − 1) + δ(t − 1.5), NO, SI, SI


h(t) = 5Π(t)




(d) Halle la respuesta al escalon unitario

Sol. NO, SI, NO, s(t) =

{5(t + 1/2) −1/2 < t < 1/25 t ≥ 1/2

8. Considere el sistema con respuesta al escalon unitario

s(t) =(1 − e−t/10

)u(t)





Sol. h(t) = 110 e−t/10 u(t), NO, SI, SI


y(t) =

∫t−1

t−2π x(τ) dτ


2




Sol. h(t) = π Π(t − 3/2), NO, SI, SI

10. La respuesta de un sistema al ingreso x(t)=4 u(t+1) es

y(t) = 8 t2 u(t)

(a) Halle la respuesta al escalon unitario

(b) Halle la respuesta al impulso



Sol. s(t) = 2 (t − 1)2 u(t − 1), h(t) = 4(t − 1), NO, SI

3


Sistemas – Propiedades y convolucion

1. Considere el sistema cuya relacion entrada-salida es

y(t) = x3(t)

y considere la senal periodica x(t)

�t

�x(t)

−1

1

2

−1 1 2 3 4

(a) Encuentre y dibuje la salida del sistema a la senal x(t).

(b) Encuentre y dibuje la salida del sistema a la senal x1(t) = 2x(t − 1).


(d) ¿El sistema es sin memoria?

(e) ¿El sistema es estable?

(f) ¿El sistema es invariante con el tiempo?

(g) ¿El sistema es LIT?

(h) ¿El sistema es invertible? Si lo es, encuentre el sistema inverso.

Sol. (sin dibujo) y(t) = x(t);

�t

�y1(t)

−8

8

16

−1 1 2 3 4

SI; SI; SI; SI; NO; SI sistema inverso y(t) = 3√

x(t).

2. Considere la senal w[n] = 10−2n. La senal x[n] = −w[n] δ[n + 1] se aplica al sistema LITcon respuesta al impulso h[n] = 5 e−n u[n].

(a) Encuentre y dibuje la salida del sistema.



1

Sol. (sin dibujo) y[n] =

{0 n < −1−500 e−n−1 n ≥ −1

; SI; SI.

3. Considere el sistema LIT con la respuesta al escalon unitario s(t) representada

�t

�s(t)

3

1

2

−1 1 2 3 4 5

(a) Encuentre y dibuje la respuesta al impulso.



Sol. �t

�h(t)

3

1

2

−1 1 2 3 4 5; SI; NO.


h(t) = δ(t) − 12

δ(t − 1/2) +14

δ(t − 1)




(d) Encuentre y dibuje la respuesta s(t) al escalon unitario.

Sol. NO; SI; SI; s(t) = u(t) − 12 u(t − 1/2) + 1

4 u(t − 1)

�t

�s(t)

13/4

1/4

1/2

−1/2 1/2 1 3/2 2 5/2

5. Encuentre y dibuje la convolucion z(t) = x(t) ∗ y(t), con

(a) x(t) =

{t 0 < t < 10 otros

y(t) =

{−t −1 < t < 00 otros

(b) x(t) = −10 sin(4πt) y(t) = eπ Π(t + 5)

2

Sol. (sin dibujo) z(t) =

⎧⎪⎨⎪⎩

(t+1)2(2−t)6 −1 < t < 0

t3

6 − t2 + 1

3 0 < t < 10 otros

; z(t) = 0.

6. Encuentre y dibuje la convolucion z[n] = x[n] ∗ y[n] con

(a) x[n] =

⎧⎪⎨⎪⎩

2 −2 < n < 1−1 n = 10 otros

y[n] =

{−n −3 < n < 20 otros

(b) x[n] = ejπ 8π3 cos[4π

3 n] y(t) = u[n + 1] − u[n − 1]

Sol. (sin dibujo) z[n] =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

4 n = −36 n = −20 n = −1−3 n = 0−2 n = 11 n = 20 otros

; z[n] = 12 ejπ 8π

3 .

7. Considere la conexion en serie de un sistema T1{·} con relacion entrada-salida y1(t) =2x2

1(t) y un sistema T2{·} con relacion entrada-salida y2(t) = x32(t).

(a) ¿Se puede representar la conexion en serie de T1{·} y T2{·} como un unico sistemaequivalente T{·}? Si es posible, ¿cual es relacion entrada-salida del sistema equiva-lente T{·}?

(b) ¿El sistema T{·} es causal?

(c) ¿El sistema T{·} es sin memoria?

(d) ¿El sistema T{·} equivalente a la serie de T2{·} y T1{·} (cambiando el orden)?

Sol. SI, la relacion entrada-salida T{·} es y(t) = 8x6(t); SI; SI; NO, la relacion entrada-salida de la serie de T2{·} y T1{·} es y(t) = 2x6(t).

8. Considere la conexion en serie de dos sistemas LIT T1{·} y T2{·}, con respuestas al impulso

h1[n] =

{−2 −2 ≤ n ≤ 10 otros

y h2[n] =

{5 n = 60 otros

, respectivamente.

(a) ¿Se puede representar la conexion en serie de T1{·} y T2{·} como un unico sistemaLIT equivalente T{·}? Si es posible, ¿cual es la respuesta al impulso del sistemaequivalente T{·}?

(b) ¿El sistema T{·} es causal?

(c) ¿El sistema T{·} es sin memoria?

(d) ¿El sistema T{·} es equivalente a la serie de T2{·} y T1{·} (cambiando el orden)?

Sol. SI, la respuesta al impulso de T{·} es h[n] = h1[n] ∗ h2[n] =

{−10 4 ≤ n ≤ 70 otros

; SI;

NO; SI, siendo h1[n] ∗ h2[n] = h2[n] ∗ h1[n].

3

Sistemas y Circuitos Curso Académico 2008−2009 Segunda Entrega de Problemas Tema 2: Sistemas. Apellidos y Nombre 1: _____________________________________________________________ Apellidos y Nombre 2: _____________________________________________________________

Ejemplo:

3 4-3-4 n 1 2-1

-2. . . . . .

[ ]x n

12

-15

3-3 n 1 2-1

-2. . . . . .1

[ ]s n

-1

[ ]nx

[ ]ns

3

4-3-4 n 1 2

-1-2. . . . . .1

2

-2

5

1

-1 -16 7

[ ]y n

[ ] [ ] [ ]nsnxny ∗=

Pág. 2

CUESTIÓN 5:

3-3

-4 n 1 2-1-2

. . . . . .

[ ]x n

12

-1

3

-1

3 n 1 2-1-2

. . . . . .1

[ ]h n2 2

1

[ ]nx

[ ]nh

[ ] [ ] [ ]nhnxny ∗=

Pág. 3

Ejemplo:

[ ] [ ][ ] [ ]nunh

nunx n

=⋅α= [ ] [ ] [ ] [ ]nu

11nhnxny

1n

⋅α−

α−=∗=

+

CUESTIÓN 6:

[ ] [ ]

[ ] [ ]2nunh

2nu21nx

2n

+=

−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

Pág. 4

Ejemplo:

x(t)

t

1

-3 -1

h(t)

t

1

1 2

y(t)

t

1

-2 -1 1

)t(h

)t(h)t(x)t(y ∗= )t(x

CUESTIÓN 7:

x(t)

t

1

-1-2 2-3

-1

h(t)

t1-1

-22

-1

2

)t(x

)t(h

)t(h)t(x)t(y ∗=

Pág. 5

x(t)

t1

-1

2

1

h(t)

t

-1

1

-2

)t(h


x(t)

t21

. . . . . .(periódica)

1

-1 34 5

h(t)

t

1

-2 2

)t(h


Pág. 6

Ejemplo:

⎩⎨⎧ ≤≤−

=

−⋅= −−

resto:02t1:1

)t(h

)2t(ue)t(x )2t(

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−≤≤−

<=∗=

−−

−

4t:ee4t1:e1

1t:0)t(h)t(x)t(y

t1t4

t1

CUESTIÓN 8:

[ ]

⎩⎨⎧ ≤≤

=

−−⋅⋅π=

resto:03t1:2

)t(h

)2t(u)t(u)t(sen)t(x

Pág. 7

Problemas sistemas lti

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