PROBLEMASRESUELTOS:MTODODELOSELEMENTOSFINITOSGuillermoRusCarlborg1,EstherPuertasGarca2Enerode20081Profesor Contratado Doctor. Departamento de Mecnica de Estructuras. Uni-versidaddeGranada.2ProfesorAyudante. DepartamentodeMecnicadeEstructuras. UniversidaddeGranada.c copyright 2007: Guillermo Rus Carlborg, Esther Puertas GarcaEditor: Departamento de Mecnica de Estructuras, Universidad de GranadaG.Rus,E.PuertasProblema1Seconsideralavigaempotradaenunextremoysometidaaaxil p(x)repre-sentada en la gura. Empleando una discretizacin de dos elementos linealesyunadiscretizacindeunelementocuadrticoysuponiendoquelacargaesconstantep(x) = p0yvariablep(x) =p0Lx.Sepide:1. Plantearel problematerico.2. Discretizaryhallarlasfuncionesdeforma.3. Obtenerlamatrizderigidez.4. Obtenerel el vectordefuerzasexternas.5. Obtenerel desplazamientoenel centroyextremodelaviga,compara-ndolosresultadosobtenidosparaL = 10m,E= 0.1MPa,A = 0.01m2,p0= 0.1N/m.1G.Rus,E.PuertasSolucin11. Planteamientotericodel ProblemaPara obtener el problema a resolver basta con aplicar las ecuaciones de equi-librio en una rebanada de la viga:N+ dN+ p(x)dx N= 0dNdx+ p(x) = 0SabemosN=_t/2t/2xxb(z) dz= EA dudxsustituyendo en la expresin anterior:dNdx+ p(x) = EA d2udx2p(x) = 0En consecuencia, laformulacinfuerte del problema se puede escribir:Hallar u(x); x [0, L] tal queEAu,xx(x) +p(x) = 0; x (0, L)u(0) = 0;u,x(0) = 0La formulacindbil del problemaconsisteenaplicar undesplaza-miento virtual v denido en[0, L] con las mismas condiciones de contorno eintegrar en el dominio:_L0EAu,xx(x)v(x)dx =_L0p(x)v(x)dxIntegrando por partes el primer miembro1_L0u,xx(x)v(x)dx =u,x(x)v(x)|L0_L0u,x(x)v,x(x)dx1Paralascondicionesdecontornodelproblemamelproducto u,x(x)v(x)|L0seanula.2G.Rus,E.PuertasSe deduce_L0EAu,x(x)v,x(x)dx =EAu,x(x)v(x)|L0+_L0p(x)v(x)dxEn consecuencia,la formulacindbildelproblema,equivalenteel Prin-cipio de los Trabajos Virtuales2es:Hallar u H10(0, L) tal que_L0EAu,x(x)v(x)dx =EAu,x(x)v(x)|L0+_L0p(x)v(x)dx v(x) H10(0, L)Dada una particin uniforme de [0, L] en n intervalos de igual longitud, elproblema discreto asociado sobre el espacio de elementos nitos construidosobre esta particin a partir de las funciones de formaHise dene:Hallar u(x) H1(x)u1+ H2(x)u2+ + HN(x)uNtal quen
e=1_x(e)jx(e)iEAu(e),x(x)v,x(x)dx =EAu(e),x(x)v(x)x(e)jx(e)i+_x(e)jx(e)ip(x)v(x)dxEste planteamiento es anlogo a resolver el sistema de ecuaciones:Ku =fdonde K(e)ij=_10BiC(e)BjJ(e)A(e)dx; f(e)j= F(e)j+_L(e)0p(x) Hj dx siendoKlamatrizderigidez, uel vectordedesplazamientosdelosnodosyf elvector de fuerzas externas,F(e)j=EAHj,xu(e)HjL0.Para el caso general, el problema discreto consiste enHallar ui(x1, x2, x3) = Hein(x1, x2, x3)unital que
e_VeCijklBeijncBeklmddV unc=
e_VefVdHedmdV+
e_SefSd HedmdS2. DiscretizacinyfuncionesdeformaDoselementoslinealesLadiscretizacinempleadamediantedoselementoslinealesserecogeenlagura 1. Al denirse 3 nodos, existen 3 grados de libertad, de stos los nodos2 y 3 estn denidos en desplazamientos, el nico grado de libertad en fuerzasse dene para el nodo1.2Enestaexpresinelprimertrminorepresentaeltrabajovirtualinternoquerealizanlastensionesrealesenlavigasobrelasdeformacionesvirtuales. Yel segundotrminoeseltrabajovirtualdelasfuerzasexterioressobrelosdesplazamientosvirtuales3G.Rus,E.PuertasFigure1: Discretizacindelaestructura: (a) Nodos globales, (b) NodoslocalesLas funciones deformalineales secaracterizanporquetomanel valorunidadenel nodoyceroenel restodenodos. Paraunelementolineal,denido en coordenadas locales, se tiene:H1(x) = 1 x; H2(x) = xLas derivadas en coordenadas locales de las funciones de forma son:dH1dx= 1;dH2dx= 1El jacobianodelatransformacinentrecoordenadaslocalesyglobalespara cada uno de los elementos es:J(e)=dxdx= L(e)Las derivadas de las funciones de forma en coordenadas globales:B1=dH1dx=dH1dxdxdx= 1L(e)B2=dH2dx=dH2dxdxdx=1L(e)UnelementocuadrticoAl tratarsedeunelementodetresnodos, lasfuncionesdeformaserndetipocuadrtico. H1(x)setomardeformaquetomaelvalor1enelpunto1yseanulaenelresto; H2(x)eslafuncinquetomaelvalorunidadenelnodo2 yH3(x) la que tiene valor unidad en el nodo3.4G.Rus,E.Puertas(a)1 2 3 4 50.20.40.60.81(b)1 2 3 4 50.20.40.60.81Figure 2: Funciones de forma lineales paraL = 10 (a)H(1)1; (b)H(1)2H1(x) =12x(x1)H2(x) = (x+ 1) (1 x)H3(x) =12x(x+ 1)Lasderivadasdelasfuncionesdeformarespectoalascoordenadaslocalesson:dH1dx= x12dH2dx= 2xdH3dx= x+12El jacobiano de la transformacin entre coordenadas locales y globales parael elementos considerado es:J=dxdx= LLas derivadas de las funciones de forma respecto a las coordenadas glob-ales se obtendrn al realizar el producto entre las derivadas en coordenadas5G.Rus,E.Puertas(a)2 4 6 8 100.20.40.60.81(b)2 4 6 8 100.20.40.60.81(c)2 4 6 8 100.20.40.60.81Figure3: FuncionesdeformacuadrticasparaL=10(a)H1; (b)H2; (c)H3.locales por el jacobiano de la transformacin:B1=dH1dx=dH1dxdxdx=_x12_1LB2=dH2dx=dH2dxdxdx= 2x 1LB3=dH3dx=dH3dxdxdx=_x+12_1L3. MatrizdeRigidezDoselementoslinealesPara el clculo de la matriz de rigidez hay que obtener, en primer lugar, lasmatricesderigidezelementalesteniendoencuentaquelosmiembrosdelamatriz se obtienen a partir de la integralK(e)ij=_10BiC(e)BjJ(e)A(e)dx.Alserlos intervalos de iguallongitud,conigualrigidez yrea,las matricesde rigidez elementales son iguales para ambos elementos.K(e)=_ _10B1C(e)B1J(e)A(e)dx_10B1C(e)B2J(e)A(e)dx_10B2C(e)B1J(e)A(e)dx_10B2C(e)B2J(e)A(e)dx_6G.Rus,E.PuertasdondeC(e)= E;A(e)= A;J(e)=L2.K(1)= K(2)=2EAL_1 11 1_Una vez calculadas las matrices de rigidez elementales, se obtiene la ma-triz de rigidez global mediante el proceso de ensamblaje.K=___K(1)11K(1)120K(1)12K(1)22+ K(2)11K(2)120 K(2)12K(2)22___=2EAL__1 1 01 2 10 1 1__UnelementocuadrticoEl procedimientoaseguiresanlogo. Enestecaso, al tenerunnicoele-mento, lamatrizderigidezdedimensin3 3seobtienedirectamente, esdecir, no es necesario el proceso de ensamblaje.K=____10B1C B1|J| Adx_10B1C B2|J| Adx_10B1C B3|J| Adx_10B2C B1|J| Adx_10B2C B2|J| Adx_10B2C B3|J| Adx_10B3C B1|J| Adx_10B3C B2|J| Adx_10B3C B3|J| Adx___K=EAL__7383138316383138373__4. VectordefuerzasDoselementoslinealesEl vector de fuerzas elemental es equivalente para ambos elementos, se calculamediantelas ingrales f(e)j=_10fv(x) HjJ(e)dx. Sedistinguenlos doscasos de carga planteados en el enunciado.f(e)=_ _10fv(x) H1J(e)dx_10fv(x) H2J(e)dx_Cargaconstante(p(x) = p0)f(1)= f(2)=p0L4_11_7G.Rus,E.PuertasMediante el proceso de ensamblaje se obtiene el vector de fuerzas global.f=___f(1)1f(1)2+ f(2)1f(2)2___=p0L4__121__Cargavariable_p(x) =p0Lx_f(1)=p0L24_12_; f(2)=p0L24_45_El vector de fuerzas global esf=___f(1)1f(1)2+ f(2)1f(2)2___=p0L24__165__UnelementocuadrticoEn este caso se obtiene directamente el vector de fuerzas global.f=____10fv(x) H1|J|dx_10fv(x) H2|J|dx_10fv(x) H3|J|dx___Cargaconstante(p(x) = p0)f=p0L6__141__Cargavariable_p(x) =p0Lx_f=p0L6__021__5. DesplazamientodelosnodosEl desplazamiento de los nodos se obtiene directamente de la resolucin delsistemadeecuaciones Ku=f . Enprimerlugarsesimplicaelsistemayaque sabemos que el desplazamiento en el nodo inicial es nulo.8G.Rus,E.PuertasDoselementoslinealesCargaconstanteEl sistema resultante es:2EAL__1 1 01 2 10 1 1____u1u2u3__=p0L4__121__Se sabe que el desplazamiento de nodo del empotramientou1es nulo, por loque se reduce el sistema eliminando la primera la y columna:2EAL_2 11 1_ _u2u3_=p0L4_21_Sustituyendo por los datos dados para las variables:_40 2020 20_ _u2u3_=_0.500.25_Resolviendo el sistema se obtiene:u2= 0.0375; u3= 0.05CargavariablePara la carga variable, el sistema slo cambia en su trmino independiente.2EAL__1 1 01 2 10 1 1____u1u2u3__=p0L24__165__Eliminando la primera la y colmuna se tiene2EAL_2 11 1_ _u2u3_=p0L24_65_Sustituyendo por los valores de las variables_40 2020 20_ _u2u3_=_0.250.208333_Resolviendo:u2= 0.0229167; u3= 0.03333339G.Rus,E.PuertasUnelementocuadrticoParael casoenel queseempleeunelementocuadrtico, laresolucinserealiza de forma anloga.CargaconstanteEAL__7383138316383138373____u1u2u3__=p0L6__141__EAL_163838373_ _u2u3_=p0L6_41__53.3333 26.666726.6667 23.3333_ _u2u3_=_0.6666670.166667_u2= 0.0375; u3= 0.05CargavariableEAL__7383138316383138373____u1u2u3__=p0L6__021__EAL_163838373_ _u2u3_=p0L6_21__53.3333 26.666726.6667 23.3333_ _u2u3_=_0.3333330.166667_u2= 0.0229167; u3= 0.03333336. ConclusionesLa solucin anlitica para el problema dado por su formulacin fuerte puedeobtenerse fcilmente. Las expresiones para los dos casos de carga considera-dos son:CargaconstanteSolucin analtica.u(x) = p0x22EA+Lp0EAx;Solucin MEF mediante dos elementos lineales.u(x) =_u2H(1)2si 0 x L2u2H(2)1+ u3H(2)2siL2 x L10G.Rus,E.Puertas2 4 6 8 100.010.020.030.040.05Figure 4: Solucin para carga constanteSolucin MEF mediante un elemento cuadrtico.u(x) = u2H2 + u3H3Cargavariableu(x) = p0x36EAL+Lp02EAx;Solucin MEF mediante dos elementos lineales.u(x) =_u2H(1)2si 0 x L2u2H(2)1+ u3H(2)2siL2 x LSolucin MEF mediante un elemento cuadrtico.u(x) = u2H2 + u3H3Sustituyendolosvaloresdadosparalasvariablesycomparandoconlosresultadosobtenidosparalosproblemasplanteadosmedianteelmtododelos elementos nitos podemos observar que se obtiene la solucin real para losnodos. Si bien la solucin es la real en el caso de carga constante empleandoelementoscuadrticosperonoesvlidoparael casodecargavariable, yaquelasolucinrealesunpolinomiodetercergrado. Bastaraconemplearun elemento cbico para comprobar que se obtiene la solucin real.11G.Rus,E.Puertas2 4 6 8 100.0050.010.0150.020.0250.03Figure 5: Solucin para carga variable12G.Rus,E.PuertasProblema2Resuelvaporel mtododeloselementosnitosel problemadeunavigaaaxildelongitudL = 3mempotradaporelextremoizquierdoyconunacargaR=100kNenel extremoderecho, sincargasdistribuidasfv, cuyomduloelsticoesE=210GPaysureaesdeA=0.01m2ensumitadizquierda(0
