Problemas Resueltos de Limites Calculo II Ccesa007

8/9/2019 Problemas Resueltos de Limites Calculo II Ccesa007

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Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental yEcoturismo

Asignatura: Calculo II Catedrático Demetrio Ccesa Rayme

CCESA

PROBLEMAS RESUELTOS DE LÍMITES

Parte I

1. Calcular: lim→−++− − ; ≠ 2 SOLUCION:1º Se “sustituye” la x por -2

lim→−44 6= 24 24 2226=00

2º Como el límite es indeterminado de la forma y tanto el numerador como eldenominador son polinomios, entonces deberán ser factorizados para que así puedaser simplificado el binomio 2= 2 VEAMOS:

lim→−446

= lim→− 222 3

=lim→−23= 22 223=05=0 2. Calcular: lim→+ −− ; ≠ , >0 1º lim→+ −−=+−−=0 2º Factorizando el numerador y el denominador para simplificar el binomio

0

ENTONCES:

lim→ 2=lim→ 2 =lim→ 2= 2=32=32 3. Calcular:

lim→−+−

SOLUCION


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1º

lim→−−+−−=− +

−=

2º El binomio

1= 1, debe ser simplificado, para poder levantar la

indeterminación

VEAMOS lim→−11= lim→− 1 111 lim→− 11= 1111 1=32=32 4. Calcular:

lim→− ++− ; >0

SOLUCION

1ºlim→− ++− =− ++− = 2º El binomio deberá ser simplificado, para poder levantar la indeterminación

VEAMOS

lim→ 1=lim→ 1 =lim→ 1= 13 5. Calcular:

lim→−−+ +++− −

SOLUCION:

1º lim→−−+ +++− −= 2º El binomio 1 deberá ser simplificado, para levantarse la indeterminación VEAMOS

Factorizar el denominador y el numerador por Ruffini:

EL NUMERADOR EL DENOMINADOR


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1 1 -2 -2 2 1 1 1 2 2 -2 -31 -1 -3 -1 1 3 5 3

1 -1 -3 -1 0 1 3 5 3 0

LUEGO:

lim→−−+ +++− −= lim→−−− −−++ + =lim→ 3 135 3= 412=13

6. Calcular: lim→5− −−− + SOLUCION:1º lim→5

− −−− += − −− − += 2º El binomio

5 deberá simplificarse para levantarse la indeterminación

Factorizando el numerador Factorizando el denominador por Ruffini4 5=51 5 1 -3 -13 155 10 -151 2 -3 0

LUEGO:

lim− 4 5313 15=lim→5 5 152 3

=lim→5 12 3=5 125 10 3=632=316 7. Calcular: lim→2−+−+ − SOLUCION:

1º

lim→2−+−+ −= − +− + −=


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2º El binomio 2 deberá simplificarse factorizando tanto el numerador como eldenominadorEL NUMERADOR EL DENOMINADOR

2 1 -3 0 4 2 1 -7 16 -122 -2 -4 -2 -10 12

-1 -2 0 1 - 5 6 0

LUEGO

lim→234710 12=lim→22 225 6

=lim→2 25 6=4 2 24 10 6=00 Como vemos, sigue siendo indeterminado, por lo tanto, debemos factorizarnuevamente el numerador y el denominador.

ENTONCES:

lim→22

5 6=lim→222

=lim→213=2 12 3=31= 3 8. Calcular: lim→1− +− + SOLUCION:1º

lim→− +− +=− +− +=

2º Factorizando el numerador y el denominador

EL NUMERADOR EL DENOMINADOR

1 1 0 -3 2 1 1 0 0 -4 31 1 -2 1 1 1 -3

1 1 1 -2 0 1 1 1 1 -3 01 2 1 2 3

1 2 0 1 2 3 0

LUEGO


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lim→13 24 3=lim→1

11 2112 3

=lim→122 3=1 21 2 3=36=12 9. Calcular: lim→1−− , ∈ + SOLUCION

1º

lim→1−−=−−=

2º Factorizando el numerador

LUEGO lim→111=lim→11− −⋯ 11 =lim→1

− −⋯ 1 =1 1…………

10. Calcular: lim→1++ SOLUCION:1º

lim→1++=− +− +=

2º Factorizando el numerador y el denominador para simplificar el binomio1= 1 lim→111=lim→1 1 11 1 =lim→1

11=1 1 1 11 1 1 1=57

n veces


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11. Calcular :

lim→1− ++− + , ∈

+ , ∈

+ SOLUCION:

1º lim→1− ++−− +=−++− − +=− − +−= 2º Factorizando el numerador y el denominador, para simplificar el binomio 1 lim→1

+ 11+1=lim→1+ 1

1 1

= lim→1 1111 = lim→1 1 1− −⋯ 111 =lim→11− −⋯ 111 =lim→11− −⋯ 111

=lim→1− −⋯ 11 Factorizemos el numerador por Ruffini y el denominador es un binomio es facilfactorizacion

EL NUMERADOR

1 n -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1n n-1 n-2 4 3 2 1

n (n-1) (n-2) (n-3) 3 2 1 0

POR LO TANTO:

lim→1− − −⋯.. 11 = lim→11− 1−⋯ 21− −⋯ 1

=lim→1− 1− 2−⋯ 3− −⋯ 1


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= 1 2⋯ 3 2 11 1 ⋯ 1= 12= 12

12. Si = , ∈ +. Calcularlim→0 ℎℎ , ≠0 SOLUCION:1º

= → ℎ= ℎ

2º LUEGO lim→0+−= lim→0+−=− 3º Por lo tanto, factoricemos el numerador para levantar la indeterminación lim→0 ℎℎ=lim→0ℎ ℎ

−ℎ

−⋯

−ℎ

=lim→0ℎ ℎ− ℎ− ℎ− ⋯−ℎ =lim→0 ℎ− ℎ− ℎ− ⋯− = − − −⋯−= − 13. Si

=

Calcular: lim→0+− SOLUCION:1º { : =→ ℎ= ℎℎ 2º Luego:

lim→+−=lim→

[ ++ ++]−[+ +]

n veces


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=lim→2 ℎ ℎℎ

=lim→20 ℎ ℎℎℎ=lim→ℎ2 ℎℎ =lim→2 ℎ=2 0 14. Si: = Calcular: lim→+−

SOLUCION:

1º

{ : =→ ℎ= ℎ ℎℎ

2º LUEGO

lim→ ℎℎ= ℎ ℎℎℎ =lim→3ℎ 3 ℎℎ2 ℎ ℎℎℎ =lim→3ℎ 3 ℎℎ2 ℎℎℎ

=lim→ℎ3 3 ℎ ℎ2 ℎℎ =lim→3 3 ℎ ℎ2=3 0 0 2 =3 2 15. Calcular:

lim→√ + +−

≠0

SOLUCION:

1º lim→√ + +−=−= 2º Racionalizando el numerador:

lim→√ 1 1=lim→(√ 1 1)(√ 1 1)(√ 1 1)


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=4

3 1(√ 9 6 3√ 9 6 6)=13

18. Calcular: lim→√ + −√ −+ SOLUCION:1º Al Sustituir " " por "0", obtenemos 2º Racionalizar el numerador y factorizar el denominador.

Para racionalizar el numerador, en primer lugar, debemos convertir a común índice:. .3,4=12 Luego: lim→√ + −√ −+= lim→ + − ++ Haciendo: 1 = →1 =

1 2 = →1 2 =

Tenemos:

= ⋯

Ahora, para racionalizar el numerador, multipliquemos por su factor racionalizante

Así:

lim→0 1 1 2= lim→0 1 – 1 2 ⋯⋯

=lim→0 ⋯ =lim→01 1 2⋯ =lim→0

6411 6 1281 ⋯

FACTOR RACIONALIZANTE


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=lim→0468861 ⋯

=lim→04688 61 ⋯ =lim→0 4688 61 1 ⋯ 1 2 = 0 0 0 0 01 01 1 1 1 1=612=12

19. Calcular: lim→2√ −√ √ −√ SOLUCION:1º) Al “sustituir” por “2” se obtiene

2º) Para levantar la indeterminación: multiplicar el numerador por su conjugado y eldenominador por su factor racionalizante.

Así:

lim→2√ √ 2√ √ 2 = lim→2(√ √ 2)(√ √ 2)(√2√ √ 2 √2)(√ √ 2)(√√ √ 2 √2)(√ √ 2)

=lim→2 2(√√ √ 2 √2)2(√ √ 2)=lim→2√√ √ 2√ 4√ √ 2

20. Calcular: lim→0√ +−√ +− SOLUCION:1º) Al “sustituir por 0”, obtenemos 2º) Buscar el factor racionalizante del numerador y del denominador.

Pero:

lim→0√ ∓−√ +− = lim→0√ +−√ √ + −√

2


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lim→√ 11 lim→√ 11

= lim→(√ 1)(√√ 1)1(√√ 1) lim(√ 1)(√ 1)1(√ 1) = lim→ 11(√√ 1) lim→ 11√ 1

= lim→1√√ 1 lim→1√ 1=13 12=56 2º Método:Cuando las subradicales son iguales (en este ejercicio las dos subradicales tiene eltérmino " ") entonces, para eliminar los radicales, se extrae el mínimo común múltiplede los índice:Así: m.c.m. 2,3=6 Por tanto

"6" será el nuevo índice de todos los radicales.

Entonces: √ = √ = / = /√ = √ = / = / Haciendo: / = ↔ = En consecuencia:lim→√ √ 21 = lim→ 21 =lim→ 12 21 1 = lim→ 2 21=56


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23. Calcular:

lim→ + −+ =

SOLUCION:

METODO A SEGUIR PARA LEVANTAR LA INDETERMINACION : Dividir numerador ydenominador por el termino cuyo exponente sea el mayor de todos los otros términos.En el ejercicio dividir numerador y denominador por "" Así:

Lim→+=lim→+ .+=

= lim→+2 33 211 lim→+23 3211 = 2 31=72

24. Calcular: lim→+ + +√ √ += SOLUCION:

Pero lim→+ + +√ √ += lim→+ + +√ + ; ahora dividirnumerador y denominador por :

lim→+ 1 √

11 = lim→+ 1 √

11 =


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=√ √ + =

26. Hallar los valores de las constantes que hacen que la función = ;


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=2 ; < 2

3 ; 2≤3 2 ; >1

SOLUCION:

Como están definida en = 2 y en =1, entonces los límites laterales, tantoen 2 como en 1 deberán ser iguales.En = 2 deberá cumplir que:lim→− = lim→−

(I)……..

3 2 = 2 2

En =1 deberá cumplirse que:lim→ = lim→ (II)……. 31 2 = 31 Ahora resolvamos el sistema de ecuaciones (1) y (2)

{3 2 = 2 231 2 =31

8 = – =

9 =

=13 4 (4) en (3): = 1 = 113 =23

=23 28. Calcular: lim→∞−−+ − SOLUCION:

Téngase en cuenta que el grado del numerador es menor que el grado del denominador

Sea continua en todo


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Si

→∞ tendremos:

−∞ ∞ ∞ 1=∞∞

Dividiendo en este caso entre se tendrá:

lim→∞5 37 2 1 = lim→∞537 21 ==lim→∞537121

Evaluando: −− + −==0 29. Calcular:

lim→ ∞+ +√ −+ +√ −

SOLUCION:

Cuando →∞, la expresión toma la forma =lim→∞5 3√ 3652 2√ 4 7 = lim→∞5 3 365

2 2

4 7

=lim→∞5 3 3652 2 47 → =5 3√ 36 02 2√ 4 0 =5 32 2=84=2

30. Calcular:

lim→ ∞√ +

SOLUCION:La expresión puede escribirse:


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=lim→ ∞ + ;

donde: √=||=→ ∞;


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