201 1 1 PROBLEMAS RESUELTOS DE ANALISIS DE ESTRUCTURAS POR EL METODO DE LOS NUDOS Problema resuelto Pág. 246 Estática BEDFORD Problema 6.1 Estática BEDFORD edic 4 Problema 6.2 Estática BEDFORD edic 4 Problema 6.4 Estática BEDFORD edic 5 Problema 6.13 Estática BEDFORD edic 4 Problema 6.14 Estática BEDFORD edic 4 Problema 6.1 BEER- Johnston edic 6 Problema 6.2 BEER- Johnston edic 6 Problema 6.3 BEER- Johnston edic 6 Problema 6.4 BEER- Johnston edic 6 Problema 6.1 Estática Hibbeler edic 10 Problema 6.2 Estática Hibbeler edic 10 Problema 6.3 Estática Hibbeler edic 10 Problema 6.4 Estática Hibbeler edic 10 Problema c-34 estática Hibbeler edic 10 Problema C-35 estática Hibbeler edic 10 Problema 6.8 estática Hibbeler edic 10 Problema resuelto Pag. 145 Estática Meriam Problema 4.1 Estática Meriam edición tres Problema 4.1 Estática Meriam edición cinco Problema 4.3 Estática Meriam edición tres Problema 4.3 Estática Meriam edición cinco Problema 4.4 Estática Meriam edición tres Problema 4.4 Estática Meriam edición cinco Problema 4.5 Estática Meriam edición tres Problema 4.7 Estática Meriam edición tres Erving Quintero Gil Tecnólogo electromecánico - UTS Ing. Electromecánico - UAN Especialista en Ingeniería del gas - UIS Bucaramanga - Colombia Para cualquier inquietud o consulta escribir a: [email protected]
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
2011
1
PROBLEMAS RESUELTOS DEANALISIS DE ESTRUCTURAS POR EL METODO DE LOS NUDOS
Problema resuelto Pág. 246 Estática BEDFORD Problema 6.1 Estática BEDFORD edic 4 Problema 6.2 Estática BEDFORD edic 4 Problema 6.4 Estática BEDFORD edic 5 Problema 6.13 Estática BEDFORD edic 4 Problema 6.14 Estática BEDFORD edic 4 Problema 6.1 BEER- Johnston edic 6 Problema 6.2 BEER- Johnston edic 6 Problema 6.3 BEER- Johnston edic 6 Problema 6.4 BEER- Johnston edic 6 Problema 6.1 Estática Hibbeler edic 10 Problema 6.2 Estática Hibbeler edic 10 Problema 6.3 Estática Hibbeler edic 10 Problema 6.4 Estática Hibbeler edic 10 Problema c-34 estática Hibbeler edic 10 Problema C-35 estática Hibbeler edic 10 Problema 6.8 estática Hibbeler edic 10 Problema resuelto Pag. 145 Estática Meriam Problema 4.1 Estática Meriam edición tres Problema 4.1 Estática Meriam edición cinco Problema 4.3 Estática Meriam edición tres Problema 4.3 Estática Meriam edición cinco Problema 4.4 Estática Meriam edición tres Problema 4.4 Estática Meriam edición cinco Problema 4.5 Estática Meriam edición tres Problema 4.7 Estática Meriam edición tres
Erving Quintero GilTecnólogo electromecánico - UTSIng. Electromecánico - UANEspecialista en Ingeniería del gas - UIS
Método de las juntas o nudos (PROBLEMA RESUELTO PAG. 246 ESTATICA BEDFORD)El método de las juntas implica dibujar diagramas de cuerpo libre de las juntas de una armadura, una por una, y usar las ecuaciones de equilibrio para determinar las fuerzas axiales en las barras. Por lo general, antes debemos dibujar un diagrama de toda la armadura (es decir, tratar la armadura como un solo cuerpo) y calcular las reacciones en sus soportes. Por ejemplo, la armadura WARREN de la figura 6.6(a) tiene barras de 2 metros de longitud y soporta cargas en B y D. En la figura 6.6(b) dibujamos su diagrama de cuerpo libre. De las ecuaciones de equilibrio.
Fig. 6. 6(a) Armadura WARREN soportando dos cargas
I FX = 0 Ax = 0 I FY =
0
AY + EY - 400 - 800 =
0
EY2800
4= 700 N
= 500 N
400 N
TAC
AY
TAB
4
I MA = 0fT\ - 400 (1) - 800 (1 +1 + 1) + EY (1+1 + 1 + 1) = 0
- 400 - 800 (3) + EY (4) = 0- 400 - 2400 + 4 EY = 0 - 2800 + 4 EY = 0
- AY (4) + 400 (3) + 800 = 0- 4 AY + 1200 + 800 = 0 4 AY = 2000
2000A Y = —
A Y = 500
NNUDO A
El siguiente paso es elegir una junta y dibujar su diagrama de cuerpo libre. En la figura 6.7(a) aislamos la junta A cortando las barras AB y AC. Los términos TAB y TAC son las fuerzas axiales en las barras AB y AC respectivamente. Aunque las direcciones de las flechas que representan las fuerzas
axiales desconocidas se pueden escoger arbitrariamente,
observe que las hemos elegido de manera que una barra estará a tensión, si obtenemos un valor positivo para la fuerza axial.
Pensamos que escoger consistentemente las direcciones de esta manera ayudara a evitar errores.
C
Figura 6.7(a) Obtención del diagrama de cuerpo libre de la junta A.
T AB = T AC = AY 2 1 3
Hallar TABT AB = AY
2 3
A Y = 500 N
TAB = 500 = 288,67 2 3TAB = 2 (288,67) = 577,35 N
Hallar TAC
T AB = T AC
2 1
TAC =
TAB = 577,35 Newton577 35
TAC = ■ 2 . = 288,67 N
TAC = 288,67 Newton
(Tensión)
5
Las ecuaciones de equilibrio para la junta A son:TAB = 577,35 Newton(compresión)
NUDO BLuego obtenemos un diagrama de la junta B cortando las barras AB, BC y BD (Fig. 6.8 a). De las
ecuaciones de equilibrio para la junta B.
Figura 6.8(a) Obtención del diagrama de cuerpo libre de la junta B.
T AB(Y ) sen 60 = TAB
AB (Y)
= TAB sen 60
T AB(Y )= T AB A/3 "
v 2 y
6
T AB(Y ) = f4l_ ^
v 2 yT AB
T AB = 577,35 Newton
‘ 3 ^T AB(Y )
TAB (Y) = 500 N
v 2 y(577,35) = 500 N
sen 60 = I5C(Y)T BC
TBC (Y) = TBC sen 60
T BC(Y )= T BC
T BC(Y ) v 2 y
I FY = 0- 400 + TAB (Y) - TBC (Y) = 0 TAB (Y) = 500 N
- 400 + 500 - TBC (Y) =
0 100 - TBC (Y) = 0
100 = TBC (Y)
I FX = 0
- TBD + TAB (X) +
TBC (X) = 0 TAB (X) = 288,67
N
TBC (X) = 57,73 Newton
- TBD + 288,67 + 57,73 = 0
- TBD + 346,4 = 0TBD = 346,4 Newton (compresión)
cos 60 =
T AB(X ) TAB
TAB (X) = TAB cos 60
T AB(X )= T AB
f 1 ^ v 2 y
TAB(X) = (2) TAB
TAB = 577,35 Newton
TAB(X ) = 2 (577,35) = 288,67 N
TAB (X) = 288,67 N
TBC(Y) =
100 = TBC (Y)
^ 3 "
v 2 yT BC
1 0 0 :
f V 3 ^
v 2 y
T BC
T BC = 100 = 200 = 115,47 N 3
vV3 y
TBC = 115,47 N (compresión)
Se halla TBC (X)f 1 ^
T BC(X ) = 2v2y
TBC = 115,47 N1
TBC
TBC(X) = 2 (115,47) = 57,73 Nv2y
TBC (X) = 57,73 Newton
NUDO D
7
Luego obtenemos un diagrama de la junta D cortando las barras BD, DC y DE . De las ecuaciones de equilibrio para la junta D.
sen 60 == T DC(Y )
T DC TDC (Y) = TDC sen 60
T DC(Y ) = T DC
(^3 ^T DC (Y )
Q3'
v 2 y
v 2 y
T DC
60 T DC(X) cos 60 = • ■
TDCT DC (X) = TDC
cos 60( O
T DC(X) = T DC - vy
T DC(Y ) = (J3'v 2 y
T DC
sen 60 = IDEÍY)T DE
TDE (Y) = TDE sen 60ÍV3 ^
T DE(Y ) = T DE
v 2 y
T DE(Y ) = Q3'v2y
T DE
I FX = 0
TBD - TDE (X) + TDC (X) = 0
60 T DE(X) cos60 = •
■TDE
TDE (X) = TDE cos 60
T DE(X ) = T DE
(1 ^
T DE(X ) :
v2y
(11 v 2 ,
T DE
TBD = 346,4 Newton (compresión)
8
346,4 - TQE (X) + TQC (X) = O
T D E (X) ■ T D C (X) = 346,4 ecuación
1
Pero:
■ f 1 1' V 2 ,
T DC(X ) = tDC
T DE(X ) tDE
f1 ^V 2 ,
Reemplazando en la ecuación 1f 1 ^ f 1 ^
TDE - TDC = 346,4 ecuación 3V 2 y
V 2 y
resolver ecuación 3 y ecuación 4
I FY = 0
- 800 + TDE (Y) + TDC (Y) = 0
TDE (Y) + TDC (Y) = 800 ecuación
2
Pero:T DE(Y ) =
T DC(Y ) =
f
43"
v 2 y
43 'V 2 y
T DE
T DC
Reemplazando en la ecuación 2
f 3^ f 3"V 2 y
T DE + V 2 y
TDC = 800 ecuación 4
^1 ^ f 1 ^TDE - TDC = 346,4 multiplicar por 3
V 2 yV 2 y
f r
V 2 y
T DE + T DC = 800
f V3"2
f-43"
V 2 y
T DE -
T DE +
DC = 346,4
T DC = 800
[3 600
33"
v2y
T DE + 33"
v2y
TDE = 600 + 800 = 1400
2 TDE = 1400
V3 T DE = 1400
v2y
TDE = ^=808,29 N
I FX = 0 10
- BX = 0 BX
= 10 KN
NUDO B
9
Problema 6.1 ESTATICA BEDFORD edic 4Determine the axial forces in the members of the truss and indicate whether they are in tensión (T) or compression (C)
I Me = 0
f+\ BY (1) - 10 (2) = 0
BY (1) = 10 (2)
B Y = 20 KN
I FY = 0 CY — BY = 0CY = BY Pero: BY = 20 KN CY = 20 KN
T D E = 808,29 Newton (compresión)Reemplazando en la ecuación 4, se halla TDC
( ( 3"v 2 y
T DE + v 2 y
TDC = 800 ecuación 4
(Vs"
v 2 y(808,29) +
Qí"v2y
T DC = 800
700 +
i2 y
(-v/3"
v2yT DC = 800
TDC = 100
TDC =
800 -
700 =
100 200
vv/3 y 3T DC = 115,47 Newton (Tensión)
= 115,47 N
A A
le
CY
A
le
CY
10
NUDO A
fBA = 10 = FAC
2 i V5
Hallamos FAC
10 = F AC i V5
FAC = 1o(V5 )= 22,36KN FAC = 22,36 KN (compresión)
FBA
BFB C
IFX = 0
By
FBC — Bx - 0
FBC - BX
pero: BX - 10 KN
FBC = 10 KN
(tensión)
IFY =
FBA — FBA -
pero:
FBA =
0
By - 0 By
By - 20 KN 20
KN (tensión)
A
m kN
I FY = 0
BY- 10 = 0
BY= 10
KN
NUDO B
11
Problema 6.2 ESTATICA BEDFORD edic 4
La armadura mostrada soporta una carga de 10 kN en C.
a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de toda la armadura y determine las reacciones en sus soportes
b) Determine las fuerzas axiales en las barras. Indique si se encuentran a tensión (T) o a compresión (C) .
I MB = 0
AX (3) - 10 (4) = 0
AX (3) = 10 (4)
3 AX = 40 40
AX = ■ = 13,33 KNX 3
AX = 13,33 KN
I MA = 0
BX (3) - 10 (4) = 0
BX (3) = 10 (4)
3 Bx = 40 40BX = ■ = 13,33KN
X 3
BX = 13,33 KN
3
AX = 13,33 KN BY = 10 KN BX =
13,33 KN
i FAB = Ax A
FCA
FcB = 16,66 kN (Tensión)
FCA = 13,33 kN (compresión)
FAB = 0
NUDO C
12
fCB
= fCA = 10 5 4 3
Hallar F C B fCB =10
5
FCB = = 16,66 KN
FCB = 16,66 kN
(Tensión)
NUDO A
X FY = 0 FAB = 0
X FX = 0 Ax - FCA
= 0 Ax = FCA
Pero: FCA =
13,33 kN Ax =
FCA =13,33 kN
Éj
FCA
AY = % F
13
Problema 6.4 ESTATICA BEDFORD edic 5The members of the truss are all of lenght L. Determine the axial forces in the members and indicate whether they are in tension (T) or compression (C)
I MA = 0f+\ CY (L) - F ( L + L/2) = 0 CY (L) - F ( 3/2 L) = 0 CY (L) = F
( 3/2 L)CY = F ( 3/2)
CY = 3/2 F
60 F DC(Y) sen 60 = • ■
FDC
v 2 y
Z FX — 0 AX — 0 Z FY
— 0
AY + EY - 400 - 800 —
0
14
FDC (Y) — FDC sen 60( 3^
F DC(Y ) = F DC'
Z FY — 0
- F + FDC (Y) — 0
F — FDC (Y)
Pero:FDC (Y) — FDC sen 60 F — FDC sen 60
DESPEJANDO FDC
FDC = 0 (F)= 1,154 F
sen 60
FDC = 1,154 F
(Compresión)
Z FX — 0
- FBD + FDC (X) — 0 FBD —
FDC (X)Pero:
F DC (X) — FDC cos 60
FBD = FDC cos 60
Pero: FDC — 1,154 FFBD = (1,154 F) cos 60 FBD = 0,577 F (tensión)
F DC(Y ) : v 2 y
F DC
NUDO B
15
F BA(Y ) TAB
FBA (Y) = TBA sen 60f 3A
F BA(Y ) = F BA
sen 60 :
v 2 y
cos 60
F BA(X ) FBA
F BA(Y ) = ^/3 "
v 2 y
F BA
F BC(Y )
F BC FBC (Y) = TBC sen 60
f 3AF BC(Y ) = F BC
sen 60
v 2 y
FBA (X) - FBA cos 60f O
F BA(X) = F BA - v y
F BA(X ) FBA
FBC(x)
FBCFBC (X) - FBC cos 60
'O
cos 60
F BC F BC(Y ) =
I FX - 0
FBD - FBC (X) - FBA (X) - 0
F BD - F BC(X ) - F BA (X )=0 F BC(X ) +
F BA (X ) = F BD
PERO:
FBD = 0,577 F
v 2 y F BC (X ) = F BC v 2 y
F BC(X ) + F BA (X ) = 0,577 F f 1 ^ f 1
^FBC + FBA = 0,577 F (ECUACION 1)
v 2 y v 2 y
I FY = 0
FBC (Y) - FBA (Y) = 0
F BC FBA = 0 (ECUACIÓN 2)
resolver ecuación 1 y ecuación 2
f 1 ^ f 1 ^FBC + FBA = 0,577 F multiplicar por [ 3
v 2 y v 2 y
16
v 2 yfBC -
Í-S'
v 2 yfBA = 0
V3 F BC = F
fBC = FvV3 y
F BC = 0,577 F (compresión)
Reemplazando en la ecuación 2
‘ 3 V ( 3 ^v 2 y / 3N
v2y
fBC -
v2y
(0,577 F)
FBA = 0 (ECUACION 2)
r43"
v2y
(0,577 F) =
fBA = 0
fBA
Cancelando terminos semejantes
(0,577 F)= FBA
FBA = 0,577 F (tensión)
NUDO AFBA
D
GY
17
Problema 6.13 bedford edic 4La armadura recibe cargas en C y E. Si F = 3 KN, cuales son las fuerzas axiales BC y BE?I MG = 0
6 (1) + 3 (1 +1) - Ay (1 + 1+1) = 0
fBA _ fACL L/2
fBA 2 FAC
L L A Y = % F
Cancelando términos semejantes CY = 3/2 Fo<Ll_C
N1
II<mLL
F DC = 1,154 F (Compresión)Pero: FBA = 0,577 F 0,577 F = 2 FAC
F BD = 0,577 F (tensión)
0,577FAC _ ■ 2 • F
F BC = 0,577 F (compresión)
FAC = 0,288 F (Compresión) F bA = 0,577 F (tensión)
I FX = 0 AX = 0
18
6 (1) + 3 (2) - AY (3) = 0 6 + 6 - 3 AY = 06 + 6 = 3 AY
FEB (X) - FEB cos 45 FEB (X) = (1,414) cos 45 FEB (X) = 1 KNI FX = 0
FGE - FEC - FEB (X) - 0
PERO:FGE - 5 kN FEB (X) - 1 KN
FGE - FEC - FEB (X) - 0
5 - FEC - 1 - 0
4 - FEC - 0FEC = 4 KN (tensión)
45 FEB(Y)sen 45 = ■ ■FEBFEB (Y) - FEB sen 45
'V2'F EB(Y ) = F EB 2
v 2 y'S'N
F EB(Y ) =2
F EB
v y
I FY = 0
FDE - 6 + FEB(Y) -
0 PERO: FDE = 5
kN
cos 45 = -EBÍXl FEB
FEB (X) - FEB cos 45
►T
j s II F EB 2v 2 y
NF EB(X ) =
v2F EB
V5 KN
NUDO C
21
= F CA(Y )
F CA FCA (Y) = FCA sen 45
ÍV2 ^F CA(Y )= F CA
sen 45 = -
V 2 y
G Y
F CA(Y )
Z FX = 0
F CA
FEC - FAC (X) - 0
FEC - FAC (X)
PERO:FEC - 4 kN
FAC (X) = 4 kNFCA (X) = FCA cos 45F = «CAÍXI=_JL_ =
CA cos 45 0,7071
FCA = 5,656 KN (tensión)
F CA(Y )
F CA(Y) =
^2 '
v 2 y
'S'V 2 y
F CA (Y) = 4
kN
cos 45
F CA cos 45/
FCAV
'V2 ].2 y
ÍVTV2.
F CA
FCA(X )
FCA
FCA(X)
5,656kN
F CA
5,656 = 4 KN
Z FY = 0
- FCB - 3 + F CA(Y) = 0
PERO:
FCA (Y) = 4 kN
- FCB - 3 + 4 = 0
- FCB + 1 = 0
FCB = 1 KN
(compresión)
22
Problema 6.14 bedford edic 4If you don't want the members of the truss to be subjected to an axial load (tensión or compression) greater than 20 kn, what is the largest acceptable magnitude of the downward force F?
GY
1 1
FAB = 4 KN (compresión)
A
F
0 = arc tg
(0,4166) 0 =
22,610
23
cos 36,87 = FAB(X) FAB FAB (X) = FAB COs 36,87
5
+®
+Q
IIC
DO
o
pero:5 = 36,870
e = 22,610
5
+ ® + Q II CD
O o
36,87 + 22,61 + Q II C
DO
o
a = 900 - 36,87 - 22,61
a = 30,520
sen 36,87 = FAB(Y)
FAB
FAB (Y) = FAB sen
36,87 FAB(Y ) =
(0,6)fAB F AC(X ) sen a = ■ ■
F AC
sen 30,52 =
= F AC(X )
F AB(X ) = (o,8) fAB
F AC
FAC (X) = FAC sen 30,52
FAC(X ) = (0,507 )FAC I FX = 0
FAC(X) - FAB (X) = 0
0,507 FAC - 0,8 FAB = 0 ECUACION
1
I FY = 0
FAC (Y) - F - FAB (Y) = 0
cos 30,52 = FAC(Y) FACFAC (Y) = FAC cos 30,52
FAC(Y) = (0,8614 ) FAC
p = 53,120
sen 53,12 = MYlf CB
FCB (Y) - FCB sen
53,12 FCB(Y ) =
(0,7998)FCB
FAC(X) = (0,507)AC F AC
(Y ) = (0,8614 )AC
NUDO D
0,8614 FAC - F - 0,6 FAB = 0 ECUACION 2
24
NUDO C
I FX = 0
FCD - FAC(X) - FCB (X) - 0
FCD - 0,507FAC - 0,6 FCB - 0 ECUACION 3
I FY - 0
FCB (Y) - FAC (Y) - 0
0,7998 FCB - 0,8614 FAC - 0 ECUACION
4
I FX - 0
Dx - FCD - 0 ECUACION 5
0,507 FAC - 0,8 FAB - 0 ECUACION 1 0,8614 FAC - F - 0,6 FAB - 0 ECUACION 2 FCD - 0,507FAC - 0,6 FCB - 0 ECUACION 3 0,7998 FCB - 0,8614 FAC - 0 ECUACION 4 Dx - FCD - 0 ECUACION 5
DX
FCD
A
F
25
DESPEJAMOS F en la ecuación 2 0,8614 FAC - F - 0,6 FAB - 0 ECUACION 2
0,8614 FAC - 0,6 FAB - F ECUACION 6
F AB ____ 1 0,7592
- F
1,317 F
FAB = 1,317 F FAC = 2,078 F FCB = 2,238 F FCD = 2,395 FF DB = 0
26
Resolver la ecuación 1 0,507 FAC - 0,8 FAB = 0 0,507 FAC = 0,8 FAB
Despejando F AC
FAC = 00^ FAB = 1,577 FAB
FAC = 1,577 FAB
Reemplazar FAC en la ecuación 6 0,8614 FAC - 0,6 FAB = F ECUACION 6
0,8614 (1,577 FAB ) - 0,6 FAB = F 1,3592 FAB - 0,6 FAB = F
0,7592 FAB = F
Despejando F AB
FAB = 1,317 F
Reemplazar FAB en la ecuación 6 0,8614 FAC - 0,6 FAB = F ECUACION 6
0,8614 FAC - 0,6 (1,317 F) = F
0,8614 FAC - 0,79 F = F
0,8614 FAC = F + 0,79 F0,8614 FAC = 1,79 F 1 79
F AC = ■ • F = 2,078 F AC 0,8614
FAC = 2,078 F
Reemplazar F AC en la ecuación 4 0,7998 FCB - 0,8614 FAC = 0 ECUACION 4
- 1,342 F = 0 FCD = 1,053 F + 1,342 F F CD = 2,395 F
LA ESTRUCTURA MAS CRITICA ES FCD 2,395 F = 20
F = ■ 20 ■ = 8,35 KN 2,395F = 8,35 KN
Problema 6.1 beer edic 6Por el método de los nudos, halla la fuerza en todas las barras de la armadura
representada indicar en cada caso si es tracción o compresión.
4 m 1,92 N
CY (4,5 ) = 5,76CY = 576 = 1,28 N Y
4,5 ’
CY = 1,28 N
I MB = 0
1,92 ( 3) - CY (4,5) =
0 5,76 - CY (4,5 ) = 0
.A
4 m
CY
3 m —► ◄---------- 4,5 m ---------►
I FY = 0
BY - 1,92 - CY = 0
BY - 1,92 - 1,28 = 0
BY = 3,2 Newton
f+\ CX ( 4) - 800 (7,5) = 0
IFx= 0 CX
— AX = 0 CX
= AX AX =
1500 Ib.
1500 lb
CX
C X =
Hallar FBC
200 _ 8,5
FBC = 8,5 (200)
FbC = 1700 N (compresión)
29
Problema 6.1 Beer edic 8Utilice el método de los nodos para determinar la fuerza presente en cada elemento de las armaduras. Establezca si los elementos están en tensión o en
Problema 6.2 beer edic 6Por el método de los nudos, halla la fuerza en todas las barras de la armadura representada indicar en cada caso si es tracción o compresión.
CX ( 1,4) = 2,8 (0,75)
1,4 CX = 2,12 1
CX = — = 1,5 N X 1,4 CX = 1,5 KNewton
I MC = 0- AX ( 1,4) - 2,8 (0,75) =
0 - AX ( 1,4) = 2,8 (0,75)-1,4 AX = 2,1
2 1AX = - ■ ■ = - 1,5 N X 1,4AX = - 1,5 KNewton (significa que la fuerza AX esta direccionada hacia la izquierda)I MC = 0
Problema 6.2 beer edic 8Utilice el método de los nodos para determinar la fuerza presente en cada elemento de las armaduras. Establezca si los elementos están en tensión o en
34
compresión.
F BC(Y )
F BC sen a =
cos a = ■ = 0,82,5 sen a = ■ = 0,6
2,5
35
F BC(X ) cos a = ■
F BC
Z FY - 0
FBC(Y) + FBA (Y) - 4,2 - 0
FBC(Y) + FBA (Y) - 4,2
0,6 F BC + 0,7079 F BA - 4,2 (Ecuación 2)
Resolver las ecuaciones
Z FX - 0
FBA(X) - FBC (X) - 0
0,7079 FBA - (0,8) FBC = 0 (Ecuación 1)
FBC (X) - cos a (FBC)
F BC (X ) = (0,8)F BC
4cos 9 = ■ = 0,7079
5,65
9 F BA(X) cos 9 = ■
F BA
FBA (X) - cos 0 (FBA)
FBA (X) = (0,7079) FBA
FBC (Y) - sen a (FBC)
F BC (Y) = (0,6) F BC
4sen 9 = ■ = 0,7079
5,65
9 F BA(Y) sen 9 = ■F BA
FBA (Y) - sen 0 (FBA) FBA
(Y ) = (0,7079) FBA
Reemplazando en la ecuación
1 0,7079 FBA - 0,8 FBC = 0
Pero:FBC = 3 KN
0,8 FBC + 0,6 FBC - 4,20,7079 FBA - 0,8 (3) = 0
1,4 FBC - 4,2
fBA
4 2= • =3KN
1,4
FBC = 3 KN (compresión)
0,7079 FBA - 2,4
2 4= 3,39 KN
0,7079
36
0,7079 FBA - 0,8 FBC = 0 (-1)
0,6 FBC + 0,7079 FBA = 4,2
- 0,7079 FBA + 0,8 FBC
- 0 0,6 FBC + 0,7079
FBA - 4,20,7079 F BA - 2,4 - 0
FBC = 3,39 KN (compresión)
37
NUDO C
38
sen p = ■ = 0,44776,7
B F CA(Y) sen B = ■FcA
FCA (Y) - sen p (FCA)
FCA (Y ) = (0.4477) FCA
2.4
FBC = 3,39 KN
(compresión) FBC = 3 KN
(compresión) FCA = 3 KN
(tension)
3
39
cos p = — = 0,8955 cos a = FCA(X)
6,7 FCA FCA (X) = cos p (FCA)
FCA (X) = (0,8955)FCA Z FX = 0
FBC(X) - FCA (X) = 0
(0,8)F BC - (0,8955)F CA = 0 (Ecuación 1)
PERO:
FBC = 3 KN (compresión)
(0,8)FBC - (0,8955)FCA = 0 (0.8)(3)-
( 0.8955) FCA = 0 2.4 - (0,8955)FCA = 0
0,8955 FCA = 2,4
F CA = ■ = 2,68 KN CA 0,8955FCA = 3 KN (tension)
Problema 6.3 beer edic 6Por el método de los nudos, halla la fuerza en todas las barras de la armadura representada indicar en cada caso si es tracción o compresión.945 lb
40
CY = 720 IbI Me = 0
f+\ 945 (3,75) - BY ( 12+ 3,75) = 0
945 (3,75) = BY ( 15,75)3543,75 = 15,75 BY
945 lbIFBA A
F CA
3543 75BY = 3543,75 = 225 lb B15,75 BY =
225 Ib.
XB FBA
FBCBY
C
FBC
12 pies
945 lb
3,75 piesNUDO B
9sen a = ■
15
12cos a = ■
15FBA (X) = sen a (FBA)
FBA (Y) = sen a (FBA)
F BA(X )=[ 15 ) FBA FbA(Y)=( Ü) F BA
BY
F BA F BC bY15 12 9 Hallar FBC
FBA FBC 225 FBC 22515 12 9 12 9
Hallar FBA
FBC =(2P5=300 ib.FBA 225
15 9
FBA = (15)9
225 = 375 ib.FBC = 300 lb. (tracción)
FBA = 375 Ib. (compresión)
Hallar FCA
FCA =(9'75)3°° = 780 IbCA 3,75
Problema 6.3 Beer edic 8Utilice el método de los nodos para determinar la fuerza presente en cada elemento de las armaduras. Establezca si los elementos están en tensión o en compresión.
D (22,5) - 10,8 (22,5) -10,8 (57,5) = 022.5 D - 243 - 621 = 022.5 D = 864
D = — = 38,4 Kips 22,5
D = 38,4 Kips
+ 35) = 0
A FAB
FAD
AY
10,8 Kips
B
FBCF, ABBD
10,8 Kips
FBC C *
Nudo A
50
Problema 6.4 beer edic 6Por el método de los nudos, halla la fuerza en todas las barras de la armadura representada indicar en cada caso si es tracción o compresión.I Me = 0
AY (22,5 + 35) + 10,8 (35) - D (35)
= 0 AY (57,5) + 10,8 (35) - (38,4) (35) = 057.5 AY + 378 - 1344 = 0
57.5 AY = 966A 966 . Ay = ■ = 16,8 Kipsy 57,5
AY = 16,8 Kips
51
A
*AYF:
F AD = F AB = AY 25.5 22,5 12
AY = 16,8 KipsF AD = F AB = 168 25.5 22,5 12
Hallar FAB
FAB = 16,822.5 12
FAB = 31,5
Kips
FAB = 35,7 Kips
(tensión)
FAD
AY
Hallar FADF AD 25,5
F AD
16,8
12
(25,5)
16,8
12
35,7 Kips
FAD = 35,7 Kips (compresión)
Nudo B
FAB
◄-
10,8 Kips
BBC
AB
10,8 Kips
BD
BC
10,8 Kips
B FBC ◄
----------►
FAB
F BD
FBD
I FX = 0
FBC -
FAB = 0
FAB = 35,7Kips
FBC =
FAB
FBC = 35,7Kips (tensión)
I FY = 0 FBD - 10,8 = 0
FBD = 10,8 Kips
(compresión)
10,8
Kips F BC ___ C 10,8 Kips
BCCD
10,8 Kips
FBC C
F CD
35 1237
Hallar FCD
FCD = 10,8
37 12
FCD = = 33,3 Kips
FCD = 33,3 Kips
(compresión)
AX = 0 D = 38,4 Kips
AY = 16,8 Kips
FAB = 35,7 Kips (tensión)
FAD = 35,7 Kips
(compresión) FBC = 35,7
Kips (tensión)
FBD = 10,8 Kips
(compresión) FCD = 33,3
Kips (compresión)
P| Proba. 6-L
pieses
K pies
ti
P1 = 800 lb
I FX = 0 AX -
400 = 0 AX
= 400 lb.
Nudo A
52
Nudo C
fCD fBC 10,8Problema 6.1 Estática Hibbeler edic 10Determine la fuerza en cada miembro de la armadura y establezca si los miembros están en tensión o en compresión. Considere Pi = 800 Ib. y P2 = 400 Ib.
I MA = 0
r+s - 400 (8) - 800 (6) + CY (6 + 8) = 0
53
- 400 (8) - 800 (6) + CY (14) = 0
- 3200 - 4800 + CY (14) = 0
55
cosa= BBAX) ^ TBA(X)= COS«(TBA)
f 3 ^
T BA(X )= 51 (T BA) V 5 y
Z FX = 0
- 400 + TBC (X) - TBA (X) = 0
T BC (X) - T BA (X) = 400
y2 (TBC )- 3 TBA = 400 (Ecuación 1) Z FY = 0
- 800 + TBC (Y) + TBA (Y) =
0 T BC (Y) + TBA (Y) = 800
-y (TBC ) + 4 TBA = 800 (Ecuación 2)
resolver ecuación 1 y ecuación 2
^ (TBC)- 3 TBA = 400 < -i)
Y (TBC )+4 TBA = 800
+ 5 t BA = 800
(TBC )+ 5 TBA = - 400
tBA = 400
T BA= ( 400)5
7TBA = 285,71 Ib. (Tensión)
sen
p=lBBr " TBC(Y) = S “ MTBC)
T BC(Y )= V 2 y (T BC )
COS
fi=" TBC(X)= COS^(TBC >
T BC(X )= ^/2 " V
2 y
(T BC )
Reemplazando en la ecuación 1 y- (TBC)- 3
tBA = 400 (Ecuación 1)
y- (TBC )- 5 (285,71) = 400
V2
2
2
2
(TBC )- 171,42 = 400
(TBC ) = 571,42
T BC y y ^
VV2 y 571,42
T BC = 808,12 lb. (Tensión)
56
Las ecuaciones de equilibrio para el nudo C son: tCA = tBC = CY 8 8a/2 8
Hallar Tca
tCA = tBC 8 8>/2
Pero:Tbc = 808,12 lb.
Tca = 808,12 8 8V2
TCA = 571,42 lb (Compresión)
NUDO C
TCA C
Problema 6.2 Estática Hibbeler edic 10Determine la fuerza en cada miembro de la armadura y establezca si los miembros están en tensión o en compresión. Considere Pi = 500 Ib. y P2 = 100 Ib.
I MA = 0
Ax
Ay
ATBA
6 pies —— 8 pies
■ TCA-
tensión
P2 = 100 lb
T
BA'B
TBC
Pi = 500 lb
C
,BC'> Cy
tensión 8 pies
58
sen a = = * TBA(Y)= sena(TBA >f 4^
T BA(Y )= 51 (T BA)
V
cosa= TAA^ ) ^ TBA(X)= cosa (tBA )
í r>\
T BA(X)= 5 (T BA) V 5 y
Z FX = 0
- 1°° + TBC (X) - TBA (X)
= 0 T BC (X) - TBA (X) =
1°°
~~2 (TBC )- 3 TBA = 100 (Ecuación 1)
Z FY = 0
- 500 + TBC (Y) + TBA (Y) = °
T BC (Y) + TBA (Y) = 500
-y- (TBC ) + 5 TBA = 500 (Ecuación 2)
resolver ecuación 1 y ecuación 2
^ (TBC )- 3 TBA = 100 ( -1)
(TBC )+4 TBA = 500
2 (TBC )+5 TBA = - 100
V2 , x 4(TBC )+5 TBA = 500
75 TBA = 400
sen p =W ̂
TBC(Y)= sen^(TBc)
T BC(Y )= V 2 y (T BC )
cos p=^ ^ TBC(X)= COS^(TBC )
T BC(X )= ^/2 " V
2 y
(T BC )
Reemplazando en la ecuación 1 y2(TBC)- 3
TBA = 100 (Ecuación 1)
y- (TBC )- 3 (285,71)=100
V2
2
2
2
(TBC )- 171,42 = 100
(TBC )= 271,42
T BC = y ^ ^
VV2 y 271,42
TBC = 383,84 Ib. (Tensión)
TCA
/TBC e.
C,
Pero:
TBC = 383,84
lb. TCA =
383,84 8 8^2
T CA 383,84
= 271,42 lb
TBA = 285,71 lb. (Tensión)
TBC = 383,84 lb. (Tensión)
TCA = 271,42 lb
(Compresión)
Problema 6.3 Estática Hibbeler edic 10La armadura, usada para soportar un balcón, esta sometida a la carga mostrada. Aproxime cada nudo como un pasador y determine la fuerza en cada miembro. Establezca si los miembros están en tensión o en compresión. Considere = 600 Ib P2 = 400 Ib.
I Me = 0
59
TBA = ^
TBA = 285,71 Ib. (Tensión)
NUDO C
Las ecuaciones de equilibrio para el nudo C son:T CA = T BC = CY
8 8A/2 8
Hallar TCAT CA = T BC 8 W2TCA = 271,42 lb (Compresión)f+\ P1 (4 + 4) + P2 (4) - EX (4) = 0
fAB
60
Cancelar términos semejantesFAD = 600
42
Hallar FAB
FAB = 600 lb
FAB = 600 Ib (Tensión)
Hallar FAD
FAD = 600 2
FAD = (42)600 = 848,52 lb FAD = 848,52
Ib (compresión)
600 (4 + 4) + 400 (4) - EX (4) =
0 600 (8) + 400 (4) - 4 EX = 0
4800 + 1600 - 4 EX = 0 6400 -
4 EX = 0 4 EX = 6400 6400
EX = -4
= 1600 lb
EX = 1600 lb
NUDO A FAB
Las ecuaciones de equilibrio para el nudo A
son: fAB = fAD = 600
P1 = 600 lb
4 4 2 4
61
NUDO E
E
»■EX
FED EY = 0I FX = 0 FED - EX = 0
FED - EX
PERO: EX = 1600 lb
FED = 1600 Ib
(compresión)I FY - 0 EY = 0
NUDO BP2 - 400 lb
FBC = 600 lb (Tensión)I FY - 0
FBD - 400 — 0
FBD = 400 lb
(compresión)
I FY - 0
CY - 600 - 400 - 0 CY - 1000 -
0Cy = 1000 lb.
I FX - 0 CX - EX - 0 CX - EX
PERO: EX = 1600
lb CX = 1600 lb
1 0,7071sen a:
sen a
62
NUDO C
I FY = 0 CY -
FDC(Y) = 0 CY
= FDC(Y) PERO:
Cy = 100(
FDC(Y) = 1000
Ib4
W2 2 ’
F DC(Y )
F DC
FDC = ^ sena
FDC = 1000 = 1414,22 lb 0,7071
FDC = 1414,22 lb (tensión)
EX = 1600 lb EY = 0
CX = 1600 lb Cy = 1000
lb.
63
Problema 6.4 Estática Hibbeler edic 10La armadura, usada para soportar un balcón, esta sometida a la carga mostrada. Aproxime cada nudo como un pasador y determine la fuerza en cada miembro. Establezca si los miembros están en tensión o
f+\ Pi (4 + 4) - EX (4) = 0
800 (4 + 4) - EX (4) = 0800 (8) - 4 EX = 0 6400 - 4 EX = 0 4 EX = 6400Cancelar términos semejantes
FAB
FBD
B FBC
*•
64
I FX = 0 FBC - FAB = 0
FBC = FAB
Pero:
FAB = 800 lb (Tensión) FBC = 800 lb (Tensión)
I FY = 0 FBD = 0
fABFAD = 800
42
Hallar FAB
FAB = 800 lb
FAB = 800 lb (Tensión)
Hallar FAD
FAD = 80042
FAD = (42)800 = 1131,37 lb FAD
= 1131,37 Ib (compresión)
FUERZA CEROSi tres miembros forman un nudo de armadura en el cual dos de los miembros son colineales, el tercer miembro es un miembro de fuerza cero siempre que ninguna fuerza exterior o reacción de soporte este aplicada al nudo.
I FY = 0 CY -
800 = 0 Cy
= 800 Ib.
I FX - 0 CX - EX - 0
CX - EX
PERO: EX = 1600 Ib
CX = 1600 Ib
1= 0,7071sen a =
F DC
FDC
DC (Y)
4 pies
FBD = 0 Ib
FBC = 800 Ib (Tensión)
FAB = 800 Ib (Tensión)
FED = 1600 Ib (compresión)
FAD = 1131,37 Ib (compresión)
FDC = 1131,38 Ib (tensión)
65
NUDO C
I F Y = 0 CY -
FDC(Y) = 0 CY =
FDC(Y)
PERO: Cy =
800 Ib. FDC(Y) = 800 Ib4
4^/2 2 ’F DC(Y )
sen a = ■■
FDC
F DC(Y )
sena
FDC = ■ 800 = 1131,38 lb DC 0,7071
FDC = 1131,38 Ib (tensión)
EX = 1600 Ib oii>-
LU
CX = 1600 Ib
Cy = 800 Ib.
300 lb
66
Problema c-34 estática Hibbeler edic 10Determine la fuerza en cada miembro de la armadura. Establezca si los miembros están en tensión o en
F DC = 300 = F DA 5 3 4
ÍDC = 100 = FDA
5 4Hallar FDAFDA = 100 4
FDA = (4) 100 = 400 lb (compresión)
FUERZA CEROSi tres miembros forman un nudo de armadura en el cual dos de los miembros son colineales, el tercer miembro es un miembro de fuerza cero siempre que ninguna fuerza exterior o reacción de soporte este aplicada al nudo.
FUERZA CERO
FCA = 0 FDC = FCB
Pero: FDC = 500 lb FCB
= 500 lb (Tensión)
NUDO AFCA = 0
rFAB =
V
FDA A AX
I FX = 0 FDA - AX
= 0 I FY = 0 FAB
= 0
F D
FCD
3 pies
FCD
C
800 lb
67
FCA = 0 FAB = 0
FCB = 500 lb (Tensión)
FDA = (4) 100 = 400 lb (compresión)
FDC = (5) 100 = 500 lb (Tensión)
Problema C-35 estática Hibbeler edic 10Determine la fuerza en los miembros AE y DC. Establezca si los miembros están en tensión o en compresión. E
◄Ax
= 0
I FY = 0
AY - 800 oII>
-O+
Pero: CY = 400 lb
AY - 800 + 400 = 0
AY - 400 = 0
AY = 400 lb
I FY = 0 FCB - 0 ...... -EEM
FCD
C
CY
p
CY - FCD - 0
Pero: CY - 400 lb
CY - FCD
FCD = 400 Ib
(compresión)
I FX - 0
FCB = 0
68
I MA = 0
r+s - 800 (4 ) + CY (4 + 4) =
0 - 3200 + CY (8) = 0CY (8) = 3200
= 3200 = 4QQ lb Y
8 CY = 400 lb
I FX = 0 AX =
0
NUDO C
2 KN
Yl _ 1,732
D FCD FCD < ---------- 3 m ---------- ►
C
NUDO AFAF = 0 AY 5 3 4Hallar FAE
F AE _ 400 5 3
400(5)
f AE _ AY _ F AB 5 3
4
Pero: AY = 400 Ib
f AE _ 400 _ f AB
P FCD
FCD
C
CY
fAE3
FAE = 666,66 Ib (compresión)
69
Problema 6.8 estática Hibbeler edic 10Determine la fuerza en cada miembro de la armadura y establezca si los miembros están a tensión o en compresión. Considere P1 = 2 KN y P2 = 1,5 kN.
PROBLEMA RESUELTO ESTATICA MERIAM Edic 3.Calcular, por el método de los nudos, la fuerza en los miembros del entramado en voladizo
74
Solución. Si no se deseara calcular las reacciones externas en D y E, el análisis de un entramado en voladizo podría iniciarse en el nudo del extremo en que se aplica la carga. Sin embargo, este entramado lo analizaremos por completo, por lo que el primer paso será calcular las fuerzas exteriores en D y E empleando el diagrama de sólido libre del entramado en conjunto. Las ecuaciones de equilibrio dan I ME = 0
- T (5) + 30 (5 + 5) + 20 (5) = 0- 5 T + 30 (10) + 20 (5) = 0- 5 T + 300 + 100 = 0-5 T + 400 = 0 5 T = 400
T 4005
80 NT = 80 N
cos 30 = TX T
TX = T cos 30Pero: T = 80 N TX = 80 (0,866)
TX = 69,28 N ZFy
= 0TY + EY - 30 - 20 = 0 Ty + EY - 50 = 0 Pero: Ty = 40 N 40 + EY - 50 = 0 Ey - 10 = 0
sen 30 = TY T
TY = T sen 30Pero: T = 80 N Ty
= 80 (0,5)
TY = 40 N
IFX = 0
TX - EX = 0
Pero: TX = 69,28
NTX = EX
EX = 69,28 N
Se halla FAC
30= F AC 4,33 2,5
FAC(30)2
,5 = 4,33
TI > O II
17,32 kN
= 17,32 KN
75
EY = 10 KN
A continuación, dibujamos los diagramas de sólido libre que muestren las fuerzas actuantes en cada nudo. La exactitud de los sentidos asignados a las fuerzas se comprueba al considerar cada nudo en el orden asignado. No debe haber dudas acerca de la exactitud del sentido asignado a las fuerzas actuantes en el nudo A. El equilibrio exige
Problema 4.1 Estática Meriam edición cinco; Problema 4.2 Estática Meriam edición tresHallar la fuerza en cada miembro de la armadura simple equilátera
r+N CX (2) - 735,75 ( 1,732) =
0 CX (2) = 1274,31 1274 31CX = i27431 = 637,15 N
X 2CX = 637,15 Newton
CX
735,75 _ FCA
2 1^ 735,75fCA _
CXCA
FBC ")30°
2FCA = 367,87 Newton (tensión)
C
84
Nudo CfBC _ fCA _ CX
2 1 1,732FBC = 735,75 Newton (compresión)
Problema 4.3 Estática Meriam edición tresHallar la fuerza en cada miembro de la armadura cargada. Explicar por que no hace falta saber las longitudes de los miembros.
2,4 kN
2,4 kN
2,4 kN
2,4 kN
F BA(Y ) _ fBA
f 1 ^F BA(Y ) :
V 2 y
f 11v 2 y
fBAPara abreviar los cálculos
30 i V3 i 30 A/3sen 30 _ ■ : sen 60 _ ■ : cos 60 _ • • cos 30 _ ■ ■
2 2 2 2
85
86
sen 60 =FBC(Y)fBC
FBC(Y) = FBC sen 60
^/3
^ v 2
y
FBC(Y ) = fBC
FBC(Y ) = — fBCv 2 y
Z FX = 0
FBA(X) - FBC(X) = 0 f
f j ^V3'
v2y
cos 60 = ÍBCÍX) fBC
FBC(X) = FBC cos 60f O
FBc(x) = fBC
FBc(x)
V 2 y
fBC
cos 30
FBA(X )
fBA
FBA(X) = FBA cos 30
f ^F BA(X ) = fBA
F BA(X ) =
v2y
v2yfBA
FBA - FBC = 0 (ECUACION 1)v2y
Resolver las ecuacionesf /i\3
v2yf 1 1
FBA - 2 FBC = 0 (V3)v2y
Z FY = 0
FBA(Y) + FBC(Y) - 2,4 = 0
f 1 ^v2y
fBA + f
43'v2y
FBC = 2,4 (ECUACIÓN 2)
v2y
fBA +f V3 ^
v2y
fBC = 2,4
2 FBA = 2,4
2 4FBA = -y = 1,2 kN
FBA = 1,2 kN (compresión)
88
Problema 4.3 Estática Meriam edición cincoDetermine the forcé in each member of the truss. Note the presence of any zero-force members.& kN