Problemas resueltos de derivadas parciales. Vector gradiente Matemáticas I 7 Calcular las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones en un punto genérico. ¿Qué condiciones debe verificar este punto? ݔሺݕ ,ݔሻ ݕሺݕ,ݔሻ Condiciones ሺ ሻ ሺ ݕ,ݔሻ ൌ ݔെ ݕ ݔ ݕ2 ݕሺ ݔ ݕሻ ଶ െ2 ݔሺ ݔ ݕሻ ଶ ݔ ݕ0 ሺ ሻ ሺ ݕ,ݔሻ ൌ 3 ݔଶ െ 2 ݕଶ ݔଶ ݕଶ 10 ݕݔଶ ሺ ݔଶ ݕଶ ሻ ଶ െ10 ݔଶ ݕሺ ݔଶ ݕଶ ሻ ଶ ݔଶ ݕଶ 0 ሺ ሻ ሺ ݕ,ݔሻ ൌ ݔଶ ݕ ݕݔଶ ݕݔ1 1 ݕݔ0 ሺ ሻ ሺ ݕ,ݔሻ ൌ ඨ ݔ ݕ ݔെ ݕെ ݕሺ ݔെ ݕሻ ଶ ඨ ݔെ ݕ ݔ ݕ ݔሺ ݔെ ݕሻ ଶ ඨ ݔെ ݕ ݔ ݕ ݔെ ݕ0 ݔ ݕ ݔെ ݕ0 ሺ ሻ ሺ ݕ,ݔሻ ൌ 2 ଵ ௫ା௬ െ2 ଵ ௫ା௬ ܮ2 1 ሺ ݔ ݕሻ ଶ െ2 ଵ ௫ା௬ ܮ2 1 ሺ ݔ ݕሻ ଶ ݔ ݕ0 ሺ ሻ ሺ ݕ,ݔሻ ൌ ݔ௬ ݕ௫ ݔݕ௬ଵ ݕ௫ ܮ ݕ ݔ௬ ܮ ݔ ݕݔ௫ଵ ݔ0 ݕ0 ሺ ሻ ሺ ݕ,ݔሻ ൌ ݎ ݐቀ ݕ ݔቁݎ ݐ൬ ݔ ݕ൰ െ ݔݕଶ ⁄ 1 ሺ ݔݕ⁄ሻ ଶ 1 ݕ⁄ 1 ሺ ݕݔ⁄ሻ ଶ ൌ 0 1 ݔ⁄ 1 ሺ ݔݕ⁄ሻ ଶ െ ݕݔଶ ⁄ 1 ሺ ݕݔ⁄ሻ ଶ ൌ 0 ݔ0 ݕ0 ሺ ሻ ሺ ݕ,ݔሻ ൌ ௫ ݔଶ െ ݕଶ ௫ ሺെ2 ݔ ݔଶ െ ݕଶ ሻ ሺ ݔଶ െ ݕଶ ሻ ଶ 2 ௫ ݕሺ ݔଶ െ ݕଶ ሻ ଶ ݔଶ െ ݕଶ 0 ሺ ሻ ሺ ݕ,ݔሻ ൌ ݔଶ െ ݕଶ ݔଶ ݕଶ 4 ݕݔଶ ሺ ݔଶ ݕଶ ሻ ଶ െ4 ݔଶ ݕሺ ݔଶ ݕଶ ሻ ଶ ݔଶ ݕଶ 0 ݔሺݖ ,ݕ ,ݔሻ ݕሺݖ ,ݕ ,ݔሻ ݖሺݖ ,ݕ ,ݔሻ Condiciones ሺ ሻ ሺ ݖ ,ݕ ,ݔሻ ൌ ܮ൫ ݏሺ ݔ ݕ ݖሻ ൯ െݐሺ ݔ ݕ ݖሻ െݐሺ ݔ ݕ ݖሻ െݐሺ ݔ ݕ ݖሻ cos ሺ ݔ ݕ ݖሻ 0՜ | ݔ ݕ ݖ| ൏ ߨ2 2 ߨ אԺ ሺ ሻ ሺ ݖ ,ݕ ,ݔሻ ൌ ݏሺ ݖݔ ݖݕሻ െݏ ݖሺ ݖݔ ݖݕሻ െݏݖ ሺ ݖݔ ݖݕሻ െሺ ݔ ݕሻ ݏሺ ݖݔ ݖݕሻ ሺݖ ,ݕ ,ݔሻ אԹ ଷ ሺ ሻ ሺ ݖ,ݕ,ݔሻ ൌ ௫ ݏ ݕcos ݖെ ௫ ݏ ݕcos ݖ ௫ ݕݏcos ݖെ ௫ ݏ ݕsen ݖሺݖ ,ݕ ,ݔሻ אԹ ଷ Página 1