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PROBLEMAS RESUELTOS CAPTULO III TOPOGRAFA JACK MC CORMAC Por:
Arq. Rafael Chang [email protected]
PROBLEMA 3.1
Enuncie seis mtodos para la medicin de distancias, mencionando
las ventajas y desventajas de cada uno.
Mtodo de medicin Ventajas Desventajas Medicin con pasos Medicin
rpida
Sin equipos Es de utilidad de
cualquier persona Precisin razonable Revisin de cualquier
distancia precisa
Baja precisin Baja exactitud El paso disminuye en
terreno ascendente El paso aumenta en
terreno descendente Es muy cansado en
distancias largas Odmetros y ruedas para medir distancias
Mejora el tiempo de la medicin con pasos
Revisin de cualquier distancia precisa
Baja precisin Baja exactitud Se utiliza nicamente
en superficies lisas Regln o barra horizontal de estadia
Precisin entre 1/1000 y 1/5000
Muy til para la medicin de distancias a travs de ros, caones,
calles transitadas y reas de difcil acceso.
El ngulo subtendido es independiente de la inclinacin de la lnea
visada.
No es apropiado para levantamientos de primer orden.
Baja precisin
Estadia Mediciones taquimtricas entre 1/250 y 1/1000
Mtodo prctico para la determinacin de elevaciones sobre el
terreno.
Baja precisin No es apropiado para
el levantamiento de propiedades.
Cadenas Levantamientos ordinarios con precisiones entre 1/1000 y
1/5000
Son pesadas Difcil de transportar
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Cuadrilla grande de trabajadores
Cintas mtricas Levantamientos comunes de terrenos y construccin
de edificios.
Su uso se limita en la actualidad a medicin de pequeas
distancias
Su uso se limita en la actualidad a medicin de pequeas
distancias
Se requiere de experiencia
Medicin electrnica de distancias EDM
Levantamientos precisos de urbanizaciones, terrenos.
Alta precisin 1/300 000
Son tiles en la medicin de distancias de difcil acceso.
El tiempo de lectura se reduce a unos cuantos minutos
Manejo con poco personal operativo (1 topgrafo y 1 cadenero)
Alto costo pero amortizable a mediano plazo.
No poder colocar el espejo o reflector exactamente sobre los
puntos
No funciona en das con bruma
El clima adverso provee grandes cantidades de errores
atmosfricos
Sistema de Posicionamiento Global GPS
Rapidez Alta precisin 1/1 000
000
Alto costo pero amortizable a mediano plazo.
Cielo abierto El clima adverso
provee grandes cantidades de errores atmosfricos
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PROBLEMA 3.2
Determine dos situaciones en que puedan usarse ventajosamente
cada uno de los siguientes mtodos o instrumentos para la medicin de
distancias.
Mtodos para la medicin de distancias
Situaciones ventajosas en la utilizacin del mtodo
Medicin con pasos Mediciones taquimtricas No se requiere de gran
precisin
Medicin con Odmetro Superficies lisas Mediciones
taquimtricas
Medicin con estadia Mediciones taquimtricas No se requiere de
alta precisin
Medicin con barra horizontal de estadia
Mediciones de difcil acceso Mediciones de gran precisin
Medicin con cinta Mediciones de gran precisin Equipo de bajo
costo y
mantenimiento Medicin con EDM Mediciones de gran precisin
Mediciones en reas de difcil acceso
PROBLEMA 3.3
Un topgrafo cont el nmero de pasos que se requieren para cubrir
una distancia de 500 ft. Los resultados fueron: 188, 190, 187 y 191
pasos. Despus midi con pasos una distancia desconocida, requiriendo
306, 308, 307 y 305 pasos. Determine la longitud promedio del paso
y la longitud de la segunda lnea.
Respuesta:
188+190+187+191 = 756 pasos 756 pasos / 4 = 189 pasos promedio
500 ft/189 pasos promedio = 2.6455 ft / paso
306 + 308 + 307 + 305 = 1 226 pasos 1 226 pasos / 4 = 306.50
pasos promedio 306.50 pasos promedio x 2.6455 ft / paso = 810.847
ft
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PROBLEMA 3.4
Un topgrafo mide cuatro veces con pasos una distancia de 200 ft,
obtenindose 74, 75, 76 y 75.5 pasos. Cuntos pasos se necesitarn
para que este topgrafo recorra una distancia de 340 ft?
Respuesta:
74 + 75 + 76 + 75.5 = 300.5 pasos 300.5 pasos / 4 = 75.125 pasos
promedio 200 ft / 75.125 pasos promedio = 2.662230 ft / paso 340 ft
/ 2.662230 ft / paso = 127.7125 pasos
PROBLEMA 3.5
Convierta a pues las siguientes distancias en metros, utilizando
la definicin ms reciente de metro, la cual se basa en la velocidad
de la luz.
Respuesta:
1. 210.20 m / 0.3048 m = 689.63 ft 2. 646.46 m / 0.3048 m = 2
120.93 ft 3. 918.73 m / 0.3048 m = 3 014.21 ft
PROBLEMA 3.6
En un extremo de una lnea se coloca una barra horizontal de
estadia de 2 m y en el otro extremo se instala un teodolito. Cul es
la longitud horizontal de la lnea si se toman las siguientes
lecturas angulares en la barra: 02316, 02315, 02317 y 02316?
Respuesta:
02316 + 02315 + 02317 + 02316 = 1.5511 1.5511 / 4 = 02316 02316
/ 2 = 01138 1 / Tan 01138 = 295.504 m
PROBLEMA 3.7
Se utiliza una cinta de acero de resta de 100 ft (lectura cero
en el extremo) para medir la distancia entre dos estacas. Si el
cadenero de atrs sostienen la cinta en el punto de 67.00 ft y el de
adelante en 0.41 ft Cul es la distancia medida?
Respuesta:
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67.00 0.41 = 66.59 ft PROBLEMA 3.8
Una cinta de acero de 100 ft tiene un espesor de 1/40 in y un
ancho de 5/16 in. Si el acero pesa 490 lb/pie. Cul es el peso de la
cinta?
Respuesta:
1/40 in equivale a 0.002083 pie 5/16 in equivale a 0.026042
pie
0.002083 pie x 0.026042 pie x 100 pie = .005425 pie 0.005425 pie
x 490 lb/pie = 2.658 lb
PROBLEMA 3.9
Repita el problema 3-8 si la cinta tiene un espesor de 0.030 in
y un ancho de 3/8 in
Respuesta:
0.030 in equivale a 0.0025 pie 3/8 in equivale a 0.03125 pie
0.0025 pie x 0.03125 pie x 100 pie = 0.007813 pie 0.007813 pie x
490 lb/pie = 3.828 lb.
PROBLEMA 3.10
Un topgrafo ha determinado que el cateto AB del tringulo
rectngulo que se muestra en la figura tiene una longitud de 234.33
ft y que el ngulo interior del vrtice A mide 3817. Determine las
longitudes de los otros lados del tringulo.
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Respuesta
C = 18000 3817 9000 C = 5143
a / sen A = b / sen B = c / sen C b / sen B = c / sen C b / sen
9000 = 234.33 / sen 5143 (234.33 x sen 9000) / sen 5143 b = 298.526
ft
a / sen A = b / sen B = c / sen C a / sen A = c / sen C a / sen
3817 = 234.33 / sen 5143 (234.33 x sen 3817) / sen 5143 a = 184.952
ft PROBLEMA 3.11
La hipotenusa de un tringulo rectngulo mide 106.32 ft y uno de
sus catetos mide 69.66 ft. Encuentre el ngulo opuesto al cateto de
69.66 ft
Respuesta:
Sen = op / hip Sen = 69.66 / 106.32 = 405603
PROBLEMA 3.12
Los tres lados de un tringulo miden 60, 80 y 100 ft. Determine
las magnitudes de los ngulos interiores.
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Respuesta:
a = b + c - 2bc cos A a - b - c = - 2bc cos A (a - b - c) / -
2bc = cos A (80 - 60 - 100) / (-2)(60)(100) = cos A A= 5313
b = c + a - 2ca cos B b - c - a = - 2ca cos B (b - c - a) / -2ca
= cos B (60 - 100 - 60) / (-2)(100)(80) = cos B B = 3687
c = a + b - 2ab cos C c - a - b = - 2ab cos C (c - a - b) / -2ab
= cos C (100 - 80 - 60) / (-2)(80)(60) = cos C C = 9000
PROBLEMA 3.13
Un dique de tierra inclinado sube 3.4 ft por cada 10 ft de
distancia horizontal. Qu ngulo forma el dique con la
horizontal?
Respuesta:
tan = op / ady tan = 3.40 / 10.00 = 184640.92
PROBLEMA 3.14
Un topgrafo obtiene que una distancia inclinada mide 1642.5 ft.
Adicionalmente, el ngulo entre la horizontal y la lnea medida es de
25630. Determine la distancia horizontal medida y el desnivel que
existe entre los dos extremos de la lnea.
Respuesta:
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sen = op / hip hip Sen = op 1642.50 x sen 25630 = op op = 84.292
ft
cos = ady / hip hip cos = ady 1642.50 x cos 25630 = ady ady=
1640.336 ft
PROBLEMA 3.15
Los ngulos existentes en los vrtices de un campo triangular son
de 32 58 y 90 y la hipotenusa mide 262.20 ft. Cul es la longitud en
pies que debe tener una barda perimetral para este campo?
Respuesta:
sen = op / hip hip Sen = op 262.20 x sen 32 = op op = 138.945
ft
cos = ady / hip hip cos = ady 262.20 x cos 32 = ady ady= 222.358
ft
138.945 + 222.358 + 262.20 = 623.25 ft
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PROBLEMA 3.16
Se desea determinar la altura de la torre de una iglesia.
Suponiendo que el piso es horizontal, se mide una distancia de 500
ft desde la base de la torre y se determina que hay un ngulo
vertical de 3630 desde ese punto en el suelo hasta la altura de la
torre Cul es la altura de la torre?
Respuesta:
tan = op / ady ady x tan = op op = 500 ft x tan 3630 op =
369.981 ft
PROBLEMA 3.17
Repita el problema 3.16 si se instala un instrumento a 600 ft de
una torre, con un telescopio centrado a 5 ft por encima del suelo.
Se dirige la visual horizontalmente hasta un punto ubicado a 5 ft
de la base de la torre y luego se mide el ngulo hasta la parte
suprior de la misma, cuyo valor es de 2434. Qu altura tiene la
torre?
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Respuesta:
tan = op / ady ady x tan = op op = 600 ft x tan 2434 op =
274.279 ft
Altura de la torre 274.279 + 5.000 = 279.279 ft
PROBLEMA 3.18
Se pretende pavimentar una seccin de una carretera que tiene una
pendiente de 3% (3 ft verticales por cada 100 ft horizontales). Si
el camino tiene 24 000 ft de ancho y su longitud horizontal total
es de 900 ft. Calcule el rea por pavimentar del camino.
Respuesta:
3 ft / 100 ft = h / 900 ft ( 900 ft x 3 ft ) / 100 ft = h h = 27
ft
c = a + b c = 27 ft + 900 ft c = 900.405 ft
A = Area a pavimentar A = 24 ft x 900.405 ft A = 21 609.718
ft
PROBLEMA 3.19
Repita el problema 3.18 si en lugar de que el camino tenga una
pendiente de 3% forma un ngulo de 3 con la horizontal.
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Respuesta:
tan = op / ady op = ady x tan op = 900 ft x tan 300 op = 47.167
ft
c = a + b c = 47.167 ft + 900 ft c = 901.235 ft
A = Area a pavimentar A = 24 ft x 901.235 ft A = 21 629.643
ft
PROBLEMA 3.20
Se necesita medir la altura de la aguja de la torre de una
iglesia, segn se muestra en la ilustracin. Se ha encontrado una
distancia horizontal y se han determinado dos ngulos verticales,
segn se muestra. Qu altura tiene la aguja de la torre? Observe que
en este caso no es necesario medir la altura del instrumento sobre
el terreno.
Respuesta:
tan = op / ady op = ady x tan op = 420 ft x tan 1846 op =
142.707 ft
tan = op / ady op = ady x tan op = 420 ft x tan 512 op = 38.223
ft
A = Altura de la torre A = 142.707 ft + 38.223 ft A = 180.930
ft
OBSERVACIN: Ntese que el autor, no proporciona el ancho de la
torre, por lo tanto, la respuesta de este problema no es correcta.
PROBLEMA 3.21
Repita el problema 3.20 si la distancia horizontal es de 452.00
ft, el ngulo superior es de 45010 y el inferior es de 164230.
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Respuesta:
tan = op / ady op = ady x tan op = 452 ft x tan 164230 op =
135.678 ft
tan = op / ady op = ady x tan op = 420 ft x tan 45010 op =
38.242 ft
A = Altura de la torre A = 135.678 ft + 38.242 ft A = 173.920
ft
OBSERVACIN: Ntese que el autor, no proporciona el ancho de la
torre, por lo tanto, la respuesta de este problema no es
correcta.
PROBLEMA 3.22
Repita el problema 3.20 considerando que la altura del
instrumento es de 5.00 ft por encima del terreno y que la distancia
inclinada desde el centro del instrumento hasta
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la base de la iglesia es de 446.10 ft. Suponga que el ngulo
vertical medido desde el telescopio del instrumento hasta la parte
suprior de la aguja sigue siendo de 512. El ngulo inferior no se
midi.
Respuesta:
c = a + b a = c - b a = 446.10 ft - 420.00 ft a = 150.350 ft
sen = op / hip sen = 150.350 ft / 420.00 ft = 194146.3 ft
A = Altura de la torre A = 150.350 ft + 38.223 ft A = 188.573
ft
OBSERVACIN: Ntese que el autor, no proporciona el ancho de la
torre, por lo tanto, la respuesta de este problema no es
correcta.
PROBLEMA 3.23
Un topgrafo midi cuatro veces con pasos una distancia de 150
metros, obteniendo los resultados siguientes: 186, 188, 184 y 187.
Despus midi una distancia desconocida en la que requiri 208, 206,
205 y 207 pasos. Calcule la longitud promedio del paso del topgrafo
y de la segunda lnea.
Respuesta:
186 + 188 + 184 + 187 = 745 pasos 745 pasos / 4 = 186.25 pasos
promedio 150.00 metros / 186.25 pasos = 0.805 m
208 + 206 + 205 + 207 = 826 pasos 826 pasos / 4 = 206.50 pasos
promedio 206.50 pasos x 0.805 m = 166.233 m
PROBLEMA 3.24
Se va a trazar un edificio de 24 m x 48 m con una cinta de acero
que tiene un error de longitud de +0.004 m. Qu distancias deben
medirse en el terreno?
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Respuesta:
Nota: El autor no menciona la longitud de la cinta, pero se
supondr que es de 20 m.
La cinta es MAS LARGA, por lo tanto, la correccin deber restarse
de la medicin total deseada.
24.00 / 20 = 1.020 mediciones 1.20 mediciones x 0.004 m = 0.0048
m 24.00 m 0.0048 m = 23.995 m
48.00 / 20 = 2.400 mediciones 2.400 mediciones x 0.004 m =
0.0096 m 48.00 m 0.0096 m = 47.990 m
Las dimensiones correctas que deben medirse son 23.995 m x
47.990 m
PROBLEMA 3.25
Dos puntos de una lnea inclinada estn separados por una
distancia aproximada de 100 m y tienen una diferencia de elevacin
de 12 m Qu distancia inclinada se debe medir para obtener una
distancia horizontal de 100 m?
Respuesta:
c = a + b c = 12.000 m + 100.000 m c = 100.717 m
PROBLEMA 3.26
Los lados de un tringulo miden 33.49 m, 46.56 m y 27.81 m.
Determine la magnitud de los ngulos interiores.
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Respuesta:
a = b + c - 2bc cos A a - b - c = - 2bc cos A (a - b - c) / -
2bc = cos A (27.81 - 33.49 - 46.56) / (-2)(33.49)(46.56) = cos A A=
361302
b = c + a - 2ca cos B b - c - a = - 2ca cos B (b - c - a) / -2ca
= cos B (33.49 - 46.56 - 27.81) / (-2)(46.56)(27.81) = cos B B =
452134
c = a + b - 2ab cos C c - a - b = - 2ab cos C (c - a - b) / -2ab
= cos C (46.56 - 27.81 - 33.49) / (-2)(27.81)(33.49) = cos C C =
982524
PROBLEMA 3.27
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El ngulo de elevacin de una torre inaccesible situada en un
plano horizontal es de 5319. Desde un punto que est a 68.5 m de la
torre, el ngulo de elevacin es de 2241. Encuentre la altura de la
torre.
Respuesta:
a / sen A = b / sen B = c / sen C a / sen A = b / sen B a / sen
2241 = 68.50 / sen 3038 (68.50 x sen 2241) / sen 3038 a = 51.843
m
sen = op / hip op = 51.843 x sen 5319 op = 41.575 m
OBSERVACIONES:
EL AUTOR MENCIONA QUE EXISTE INACCESIBILIDAD DESDE EL PRIMER
PUNTO DE OBSERVACIN Y LA BASE DE LA TORRE.
LA DISTANCIA HORIZONTAL QUE SE REGISTR EN LA SEGUNDA LECTURA,
SEGURAMENTE ES LA DISTANCIA QUE EXISTE ENTRE LOS DOS PUNTOS DE
OBSERVACIN Y NO A LA BASE DE LA TORRE.
PROBLEMA 3.28
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Un topgrafo observa que su posicin A est exactamente en lnea
recta con dos objetos inaccesibles B y C. Mide una lnea AD = 200 m,
la cual forma con la primera un ngulo BAD = 6436, y desde D observa
que ADB = 2820 y BDC = 5248. Determine la distancia BC.
Respuesta:
LA DISTANCIA BC ES DE 255.922 M