PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTTICAS E HIPERESTTICAS
PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE
MXICOFACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGN
3.2. MTODO DE FLEXIBILIDADES APLICADO A MARCOS ESTTICAMENTE
INDETERMINADOS1.- Calcular las reacciones correspondientes a las
cargas indicadas. e son constantes.
SOLUCIN.a) Verificacin del grado de indeterminacin.Para el marco
mostrado, el nmero de nodos es y no hay condiciones impuestas por
la construccin, es decir . La estructura est compuesta por la
cantidad de miembros. Tanto en el pasador (apoyo articulado) como
en el hay dos incgnitas de reaccin, una horizontal y una vertical,
por lo que .como ya que el marco es estticamente indeterminado con
un grado de .b) Eleccin de la fuerza redundante y planteamiento de
la estructura primaria.Se optar porque sea la fuerza redundante. En
consecuencia, en la estructura primaria, el apoyo articulado
(pasador) en se reemplaza por un apoyo simple (rodillo u
oscilador), puesto que ste ltimo soporte no restringir en la
direccin horizontal ya que se est eliminando la reaccin redundante
elegida. Esta nueva estructura (MIF 1) es isosttica, estable (de
ningn modo debe ser inestable) y est sometida a las mismas cargas
que la estticamente indeterminada (hiperesttica).c) Principio de
superposicin.El marco real u original es equivalente a la suma de
una serie de estructuras isostticas conformada por la estructura
primaria y otro nmero de estructuras igual al nmero de redundantes
elegidas. Entonces, el marco hiperesttico de este ejemplo es igual
a MIF 1 ms otro marco que aqu hemos etiquetado como MIF II.La
estructura primaria y su subsecuente (MIF II) deben tener entre s
la misma geometra e idnticas condiciones de apoyo con la diferencia
de que la segunda en lugar de estar sometida a las cargas externas
originales, nicamente soporta a la redundante elegida () de sentido
arbitrario (en este caso se propone hacia la izquierda). De acuerdo
a lo anterior, el marco real u original es igual a la suma de las
siguientes estructuras:
Estructura primariaMIF 1(Estructura )
Este marco (MIF 1), contrariamente al marco original o real,
experimenta un desplazamiento horizontal en el punto .
Estructura liberada con fuerza redundante aplicada
En ste marco, se desplaza horizontalmente una cantidad de
d) Planteamiento de la ecuacin de compatibilidad geomtrica.Para
obtener una ecuacin adicional que haga posible la solucin del
problema hacemos uso del principio de superposicin formulado
anteriormente y tomamos en cuenta la compatibilidad del
desplazamiento horizontal en el soporte articulado . Por lo tanto,
la ecuacin de compatibilidad geomtrica para el desplazamiento
horizontal en es
El lenguaje algebraico anterior se traduce al lenguaje cotidiano
como: el desplazamiento horizontal en el punto de la estructura MIF
1 ms el desplazamiento horizontal en el punto de la estructura MIF
II es igual al desplazamiento horizontal en el punto del marco real
.Obsrvese que en el punto del marco real no se produce
desplazamiento horizontal alguno ya que la reaccin en esa direccin
del soporte articulado ah situado lo impide, as que es nulo.
Efectuando las sustituciones correspondientes, la ecuacin puede
escribirse del siguiente modo
Si a la estructura liberada le aplicamos una unidad de carga
horizontal en el punto correspondiente a la fuerza redundante, el
coeficiente de flexibilidad puede obtenerse directamente al
calcular el desplazamiento horizontal en ese mismo punto por lo que
.Estructura liberada con fuerza horizontal unitaria aplicada en MIF
2(Estructura )
e) Clculo de los desplazamientos necesarios para el sistema de
ecuaciones de compatibilidad.En resumen, en los marcos MIF 1 y MIF
2 es necesario determinar el valor del desplazamiento horizontal en
ya que (fuerza reactiva horizontal en el pasador del punto ) fue
suprimida en el marco hiperesttico.Los valores de los
desplazamientos requeridos pueden obtenerse con cualquiera de los
mtodos explicados en el tema para marcos. En este ejemplo se
utilizar el mtodo del trabajo virtual, debido a que es lo ms
recomendable. Para su sencilla aplicacin, le hemos denominado
estructura a la primaria y estructura a la liberada con fuerza
horizontal unitaria aplicada en . Es importante recordar que las
coordenadas a emplear en los cortes tienen que ser iguales y las
direcciones positivas de los momentos tampoco deben cambiar entre
las dos estructuras recin mencionadas. La primera expresin nos
indica que es el desplazamiento horizontal en el punto del marco y
que se determinar aplicando la ecuacin del trabajo virtual la cual
requiere de la combinacin adecuada de los Momentos internos con los
Momentos internos ; por su parte, la segunda expresin nos dice que
es el desplazamiento horizontal en el punto del marco y que se
calcular utilizando la ecuacin del trabajo virtual la cual necesita
de la combinacin propia de los Momentos internos con los Momentos
internos .
Anlisis de la estructura isosttica MIF 1.
Clculo de las reacciones en los apoyos.
Por trigonometra
Clculo de las componentes rectangulares.
Momentos internos . Miembro AB
Miembro CB
Anlisis de la estructura isosttica MIF 2Clculo de las reacciones
en los apoyos.
Clculo de las componentes rectangulares.
Momentos internos .Como ya se haba mencionado, debe usarse las
mismas coordenadas que las empleadas para deducir los Momentos
internos , sin importar que en ambos miembros (AB y CB) no hay
variacin de carga.Miembro AB
Miembro CB
Clculo de la incompatibilidad geomtrica .
Clculo del coeficiente de flexibilidad .
f) Clculo de la fuerza correctiva o reaccin
redundante.reescribimos la ecuacin de compatibilidad geomtrica
sustituyendo
despejando la incgnita
g) Clculo de las reacciones faltantes para la estructura
real.Las fuerzas reactivas desconocidas restantes pueden
determinarse si aplicamos las ecuaciones de equilibrio a un
diagrama de cuerpo libre en el que coloquemos la fuerza redundante
que ha sido calculada.
2.- Calcular las reacciones en los soportes con el mtodo de la
fuerza del marco mostrado en la siguiente figura. El miembro A-B
soporta una carga con variacin lineal, el B-D una carga
uniformemente repartida y el E-D una presin curva definida por la
ecuacin indicada, cuyo origen se considera en E y en la que se han
colocado sus valores en los puntos inicial y final. En la trabe hay
una articulacin en C. Considere constante. Determinar adems las
ecuaciones de momento, cortante y normal.
SOLUCIN.h) Clculo del grado de indeterminacin.
Si y , entonces , por lo que el marco es estticamente
indeterminado de grado .i) Eleccin de la fuerza redundante y
planteamiento de la estructura primaria.Seleccionaremos como accin
redundante a . En consecuencia, en la estructura primaria, el apoyo
articulado (pasador) en se reemplaza por un apoyo simple (oscilador
o rodillo), puesto que ste ltimo no restringir horizontalmente y
entonces la capacidad del marco para soportar una fuerza en esa
direccin y en ese punto se elimina. j) Principio de superposicin.El
marco real es igual a la estructura primaria ms la estructura
liberada bajo la accin de la redundante ; sea .
Estructura primariaMIF 1(Estructura )
En ste marco se desplaza horizontalmente una cantidad de
.Estructura liberada con fuerza redundante aplicada
En ste marco se desplaza horizontalmente una cantidad de .k)
Planteamiento de la ecuacin de compatibilidad geomtrica.Por
superposicin, la ecuacin de compatibilidad para el desplazamiento
horizontal en del apoyo articulado es
En el marco original no hay desplazamiento horizontal ya que est
restringido por el pasador, as que es nulo. Realizando las
sustituciones correspondientes la ecuacin puede expresarse en
trminos de la incgnita como
Si a la estructura liberada le aplicamos una unidad de fuerza
horizontal en correspondiente a la fuerza redundante, el
coeficiente de flexibilidad puede obtenerse directamente al
calcular el desplazamiento horizontal en ese punto, por lo que
.Estructura liberada con fuerza horizontal unitaria aplicada en MIF
2(Estructura )
l) Clculo de los desplazamientos necesarios para el sistema de
ecuaciones de compatibilidad.En resumen, en los marcos MIF 1 y MIF
2 es necesario determinar el valor del desplazamiento horizontal en
ya que (fuerza reactiva horizontal en el apoyo articulado del punto
) fue suprimido en el marco hiperesttico. A continuacin el orden
con el que se calcularn los desplazamientos por medio del mtodo del
trabajo virtual.
Anlisis de la estructura isosttica MIF1.Para la presin curva:
Clculo de la carga concentrada equivalente.
resolvemos la integral de forma indefinida
Sean y . Entonces , y por tanto . As, la regla de sustitucin
da
Punto de aplicacin.
Como el denominador ya ha sido resuelto, slo atendemos al
numerador.
Sea
EntoncesAl integrar por partes tendremos
El brazo de la palanca es
Clculo de las reacciones en los soportes.
Momentos internos .Miembro A-B
Miembro B-D
Miembro E-D
Para la presin curva del corte. Clculo de la carga concentrada
equivalente.
Punto de aplicacin.
Anlisis de la estructura isosttica MIF2.Clculo de las reacciones
en los soportes.
Momentos internos .Miembro A-B
Miembro B-D
Miembro E-D
Clculo de la incompatibilidad geomtrica .
Resolviendo integrales por separado
esta integral a su vez se resuelve por separado
Sea
Entonces
Al integrar por partes tendremos
Sea
Entonces
Al integrar por partes tendremos , es decir,
Sea
Entonces
Al integrar por partes tendremos , es decir,
Clculo del coeficiente de flexibilidad
Resolviendo las integrales por separado
m) Clculo de la fuerza correctiva o accin
redundante.Sustituyendo los resultados en la ecuacin y resolviendo
se obtiene
El signo positivo indica que acta en el mismo sentido al que se
muestra en la figura de MIF II.
n) Calculo de las reacciones restantes del marco original.Con el
valor obtenido, podemos calcular las dems fuerzas reactivas en los
soportes aplicando las ecuaciones de equilibrio.
o) Ecuaciones de momento, cortante y normal de la estructura
realMiembro A-B
Miembro B-D
.ando las ecuaciones de equilibrio. las demMiembro E-D