Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Problemas Tema 1: Introducción a la Matemática Financiera -1- PROBLEMAS CON SOLUCIÓN NIVEL I TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA FINANCIERA 1. Un capital de 2.500 euros se sustituye hoy por otro de 2.600 disponible dentro de un año. ¿Cuál es el rédito de la operación? ¿Y el tanto de interés anual? € 500 . 2 C1 € 600 . 2 C2 0 t 1 1 t 2 año % 4 04 , 0 500 . 2 500 . 2 600 . 2 C C C r 1 1 2 % 4 04 , 0 1 04 , 0 0 1 500 . 2 500 . 2 600 . 2 t t C C C t t r i 1 2 1 1 2 1 2 r=4% i=4% 2. Si en el ejercicio 1, en lugar de durar un año la operación se pacta para que dure 5 años, calcule cuál será el rédito y cuál el tipo de interés que se aplica en esta operación. € 500 . 2 C1 € 600 . 2 C2 0 t 1 5 t 2 años % 4 04 , 0 500 . 2 500 . 2 600 . 2 C C C r 1 1 2 % 8 , 0 008 , 0 5 04 , 0 0 5 500 . 2 500 . 2 600 . 2 t t C C C t t r i 1 2 1 1 2 1 2 r=4% i=0,8% 0 1 años 2.500 2.600 0 5 años 2.500 2.600
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales
Problemas Tema 1: Introducción a la Matemática Financiera -1-
PROBLEMAS CON SOLUCIÓN NIVEL I
TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA FINANCIERA
1. Un capital de 2.500 euros se sustituye hoy por otro de 2.600 disponible
dentro de un año. ¿Cuál es el rédito de la operación? ¿Y el tanto de interés
anual?
€500.2C1
€600.2C2
0t1
1t2 año
%404,0500.2
500.2600.2
C
CCr
1
12
%404,01
04,0
01
500.2
500.2600.2
tt
C
CC
tt
ri
12
1
12
12
r=4%
i=4%
2. Si en el ejercicio 1, en lugar de durar un año la operación se pacta para que
dure 5 años, calcule cuál será el rédito y cuál el tipo de interés que se
aplica en esta operación.
€500.2C1
€600.2C2
0t1
5t2 años
%404,0500.2
500.2600.2
C
CCr
1
12
%8,0008,05
04,0
05
500.2
500.2600.2
tt
C
CC
tt
ri
12
1
12
12
r=4%
i=0,8%
0 1 años
2.500
2.600
0 5 años
2.500
2.600
Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales
Problemas Tema 2: Capitalización Simple -2-
PROBLEMAS CON SOLUCIÓN NIVEL I
TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1. Hace 10 años invertimos una cantidad al 10% de interés simple,
devolviéndonos 100.000€. ¿Cuál fue la inversión inicial?
€000.100C10
años 10n
simple %10i
?C0
in1
CC
n0
€000.501,0101
000.100C0
€000.50C0
C0=50.000€
2. Una inversión ha generado un interés total de 56.000€ al final de cuatro
años. Si se aplica un tipo del 10% simple anual, calcular el valor del
capital invertido.
€000.56I4
años 4n
simple %10i
?C0
Se puede calcular despejando de la siguiente expresión el valor del capital inicial. Así:
in
ICinCI
4004
€000.1401,04
000.56C0
€000.140C0
C0=140.000€
0 10 años
C0?
C10=100.000€
Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales
Problemas Tema 2: Capitalización Simple -3-
3. Sabiendo que un capital proporcionó un montante de 150.000€ y que de
ellos 50.000€ fueron de intereses, ¿cuál fue el capital inicial?
€000.150Cn
€000.50In
?C0
nn00nn ICCCCI
€000.100000.50000.150C0
€000.100C0
C0=100.000€
4. Determinar el interés total que ha producido un capital de 10.000€ durante
cinco años al tanto unitario del 12 por 100.
€000.10C0
años 5n
simple %12i
?I5
inCI 0n
€000.612,05000.10I5
€000.6I5
I5=6.000€
5. Calcular los intereses que proporcionará una inversión de 150.000€ al
14,5% anual en una operación a interés simple que durara diez años.
€000.150C0
años 10n
simple %5,14i
?I10
inCI 0n
€500.217145,010000.150I10
€500.217I10
I10=217.500€
Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales
Problemas Tema 2: Capitalización Simple -4-
6. Calcular a cuánto ascenderán los intereses de un préstamo, sabiendo que
nos prestaron 70.000€ y hemos de devolver 105.000€.
€000.70C0
€000.105Cn
?In
0nn CCI
€000.35000.70000.105In
In=35.000€
7. ¿Qué tipo de interés es necesario aplicar a un capital para que éste se
triplique en 20 años?
0n C3C
años 20n
?i
n
1C
C
i 0
n
%101,020
2
20
13
20
1C
C3
i 0
0
i=10%
8. ¿Cuál fue el tipo de interés al que estuvo impuesto un capital de 100.000€
sabiendo que el interés total que produjo dicho capital durante diez años
fue de 100.000€?
€000.100C0
€000.100I10
años 10n
?i
n
1C
C
i 0
n
Pero antes de aplicar esta fórmula para hallar el tipo de interés necesitamos calcular el
capital final o montante a los 10 años:
n0n0nn ICCCCI
Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales
Problemas Tema 2: Capitalización Simple -5-
€000.200000.100000.100C10
Ahora ya sí se puede aplicar la primera fórmula para calcular el tipo de interés pedido:
%101,010
1
10
12
10
1000.100
000.200
i
i=10%
9. ¿Cuánto tiempo es necesario que transcurra para que se duplique un
capital al 10% anual?
0n C2C
anual %10i
?n
i
1C
C
n 0
n
101,0
12
1,0
1C
C2
n 0
0
años
n=10 años
10. ¿Cuánto tiempo tardará un capital de 70.000€ en generar unos intereses de
105.000€ a un tipo del 15% anual?
€000.70C0
€000.105I10
anual %15i
?n
i
1C
C
n 0
n
Pero antes de aplicar esta fórmula para hallar la duración necesitamos calcular el capital final
o montante a los n años:
n0n0nn ICCCCI
€000.175000.105000.70Cn
Ahora ya sí se puede aplicar la primera fórmula para calcular la duración pedida:
Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales
Problemas Tema 2: Capitalización Simple -6-
años 1015,0
15,2
15,0
1000.70
000.175
n
n=10 años
11. Calcular el tanto anual equivalente al 3 por 100 trimestral.
%3i4
4k
?i
kii k
%1212,0403,0i
i=12%
12. Calcular el capital final de un capital inicial de 100.000€ al 12 por ciento de
interés anual colocado durante:
€000.100C0
%12i
?Cn
a. Un semestre
Como n e i tienen que estar expresadas en la misma unidad de tiempo podemos
resolver el problema de dos formas:
Forma 1: Expresando n e i en años, por lo que n=1 semestre=1/2 año y aplicando
directamente la fórmula.
in1CC 0n
€000.10606,1000.10012,02
11000.100C 21
€000.106C 21
Forma 2 Expresando n e i en semestres, por lo que hay que k=2 y hay que calcular i2
para poder aplicar posteriormente la fórmula.
k
iikii kk
06,02
12,0i2
in1CC 0n
Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales
Problemas Tema 2: Capitalización Simple -7-
€000.10606,1000.10006,011000.100C1
€000.106C1
Cn=106.000€
b. Dos trimestres
Como n e i tienen que estar expresadas en la misma unidad de tiempo podemos
resolver el problema de dos formas:
Forma 1: Expresando n e i en años, por lo que n=2 trimestres=2/4 año y aplicando
directamente la fórmula.
in1CC 0n
€000.10606,1000.10012,04
21000.100C 42
€000.106C 42
Forma 2 Expresando n e i en trimestres, por lo que hay que k=4 y hay que calcular i4
para poder aplicar posteriormente la fórmula.
k
iikii kk
03,04
12,0i4
in1CC 0n
€000.10606,1000.10003,021000.100C2
€000.106C2
Cn=106.000€
c. Seis meses
Como n e i tienen que estar expresadas en la misma unidad de tiempo podemos
resolver el problema de dos formas:
Forma 1: Expresando n e i en años, por lo que n=6 meses=6/12 año y aplicando
directamente la fórmula.
in1CC 0n
€000.10606,1000.10012,012
61000.100C 126
€000.106C 126
Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales
Problemas Tema 2: Capitalización Simple -8-
Forma 2 Expresando n e i en meses, por lo que hay que k=12 y hay que calcular i12
para poder aplicar posteriormente la fórmula.
k
iikii kk
01,012
12,0i12
in1CC 0n
€000.10606,1000.10001,061000.100C6
€000.106C6
Cn=106.000€
d. Veintiséis semanas
Como n e i tienen que estar expresadas en la misma unidad de tiempo podemos
resolver el problema de dos formas:
Forma 1: Expresando n e i en años, por lo que n=26 semanas=26/52 año y aplicando
directamente la fórmula.
in1CC 0n
€000.10606,1000.10012,052
261000.100C 5226
€000.106C 5226
Forma 2 Expresando n e i en meses, por lo que hay que k=52 y hay que calcular i52
para poder aplicar posteriormente la fórmula.
k
iikii kk
00230769,052
12,0i52
in1CC 0n
€000.10606,1000.10000230769,0261000.100C26
€000.106C26
Cn=106.000€
Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales
Problemas Tema 2: Capitalización Simple -9-
e. Ciento ochenta días (considerando el año comercial=360 días)
Como n e i tienen que estar expresadas en la misma unidad de tiempo podemos
resolver el problema de dos formas:
Forma 1: Expresando n e i en días, por lo que n=180 días=180/360 años y aplicando
directamente la fórmula.
in1CC 0n
€000.10606,1000.10012,0360
1801000.100C 360180
€000.106C 360180
Forma 2 Expresando n e i en días comerciales, por lo que hay que k=360 y hay que
calcular i360 para poder aplicar posteriormente la fórmula.
k
iikii kk
0003333333,0360
12,0i360
in1CC 0n
€000.10606,1000.100000333333,01801000.100C180
€000.106C180
Cn=106.000€
f. Ciento ochenta días (considerando el año civil=365 días)
Como n e i tienen que estar expresadas en la misma unidad de tiempo podemos
resolver el problema de dos formas:
Forma 1: Expresando n e i en días, por lo que n=180 días=180/365 años y aplicando
directamente la fórmula.
in1CC 0n
€81,917.105059178,1000.10012,0365
1801000.100C 365180
€81,917.105C 365180
Forma 2 Expresando n e i en días civiles, por lo que hay que k=365 y hay que calcular
i365 para poder aplicar posteriormente la fórmula.
k
iikii kk
Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales
Igualamos esta suma con el capital único actualizado y despejamos t:
días 83,117002778,0
327342,0t327342,0t002778,0
327342,0t002778,0d327342,01dt002778,01
d327342,01dt002778,01
000.51
d43,694.16
000.51
000.51dt002778,01
000.51
d43,694.16000.51d
360
t1
d43,694.16000.51d360
t1000.51
Segunda forma: A través de la fórmula del vencimiento medio del descuento comercial:
C
tC
t
s
n
1s
s
años 327342,0000.51
45,694.16
000.51
11,861.667,666.567,166.4
000.51
360
130000.19
360
120000.17
360
100000.15
t
Pasamos los años a meses multiplicando el tiempo anterior por 360 días que tiene un año:
días 84,117360327342,0t
Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales
Problemas Tema 3: Equivalencia Financiera de Capitales -23-
t=117,84 días
7. Un artículo cuesta 300€ a pagar dentro de 80 días. En sustitución de esta
deuda se aceptan dos efectos, uno de 100€ que vence dentro de 60 días y
otro de 205€ cuyo vencimiento se desconoce. Si el tanto de descuento es
del 9% simple anual y se considera el año comercial, ¿en qué momento
deberán pagarse los 205€?
€300C
días 80t
€100C1
días 60t1
€205C2
?t2
%9d
Gráficamente:
Primera forma: Capital por capital, pero ahora considerando que la incógnita es el nominal
de una de los dos efectos a sustituir:
)dn1(CC n0
€5,98)09,0360
601(100C01
t05125,0205t00025,01205)09,0360
t1(205C02
La suma de estos dos capitales actualizados es igual a:
t05125,05,303t05125,02055,98CC 0201
Igualamos esta suma con el capital único actualizado y despejamos C2:
días 37,18505125,0
5,9t5,9t05125,02945,303t05125,0
t05125,05,303294t05125,05,303)09,0360
801(300
Segunda forma: A través de la fórmula de descuento comercial en el momento 0, pero
considerando que la incógnita es el nominal de una de los dos efectos a sustituir:
0
300
días
d=9%
60 t? 80
100 205
Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales
Problemas Tema 3: Equivalencia Financiera de Capitales -24-
dt1
dt1C
C
n
1s
ss
días 37,18505125,0
5,9t5,9t05125,0
2942055,98t05125,0t05125,02055,98294
t00025,012055,9898,030098,0
t00025,012055,98300
09,0360
801
09,0360
t120509,0
360
601100
300
dt1
dt1C...dt1Cdt1CC
nn2211
t=185,37 días
Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales
Problemas Tema 4: Aplicaciones de la Capitalización Simple: Letra de Cambio y Cuenta Corriente -25-
PROBLEMAS CON SOLUCIÓN NIVEL I
TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN SIMPLE:
LETRA DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE
Utilícese para todos los problemas siguientes el año comercial, excepto para los
problemas de liquidación de liquidación de cuentas corrientes que se considerarán los
días correspondientes de cada mes.
1. Sea una letra girada a 90 días y negociada cuando aún faltan 40 días para
su vencimiento. El nominal de la misma asciende a 2.500€. Si el banco
aplica una tasa de descuento comercial del 13,5%, una comisión del 0,4% y
unos gastos fijos de 2,5€, determínese el efectivo abonado por el banco.
días 40t
€500.2N
%5,13d
%4,0C
2,5€OG
?E
€450.250500.25,2500.2004,0135,0360
40500.2500.2
OGCd360
tNNOGCINDNE
E=2.450€
2. Calcular el descuento que se efectuará sobre un capital de 4.000 euros
nominales, que vence dentro de 90 días, si el tomador del título desea
obtener un tanto de interés anual del 15%
€000.4N
días 90t
%15i
?D
Para calcular el descuento, previamente habremos de calcular el Efectivo, sabiendo que:
N=2.500€
40 0 días
E?
Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales
Problemas Tema 4: Aplicaciones de la Capitalización Simple: Letra de Cambio y Cuenta Corriente -26-
DNE
Como no nos dicen que el descuento sea comercial, y nos dan el tipo de interés,
actualizamos de forma racional. Esto es:
€42,855.30375,1
000.4
15,0360
901
000.4
i360
t1
NE
€58,14442,855.3000.4ENDDNE
D=144,58€
3. La empresa Sorbona, S.A. presenta al descuento la siguiente remesa de
efectos: un primer efecto de 30.000€ de nominal que vence dentro de 30
días; un segundo efecto de 45.000€ de nominal que vence dentro de 60
días; un tercer efecto de 15.000€ de nominal que vence dentro de 90 días; y
un último efecto de 50.000€ de nominal que vence dentro de 120 días. Si
las condiciones que se le van a aplicar para descontar esa remesa de
efectos son: tipo de descuento 10%, comisión de 2‰ con un mínimo de 90
euros y 5€ por efecto como gastos de correo, se pide descontar la remesa
anterior.
Efecto Nominal Días de descuento
A 30.000 30
B 45.000 60
C 15.000 90
D 50.000 120
%10d
2C ‰ (mínimo 90€)
5€/efectoOG
?E
Efecto Nominal Días Tipo Intereses Porcentaje Comisión Correo
A 30.000 30 10% 250 60: mínimo 90 5
N=4.000
90 0 días
E?
Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales
Problemas Tema 4: Aplicaciones de la Capitalización Simple: Letra de Cambio y Cuenta Corriente -27-
€33,568.1362037067,041.3000.140
OGCINOGCINEDNE
E=136.568,33€
4. Liquida por el método hamburgués la siguiente cuenta corriente en la que
se producen los siguientes movimientos:
Fecha Concepto Cuantía Signo 27-05 Ingreso apertura 5.000 Haber 29-07 Transferencia a su favor 34.000 Haber 15-06 Domiciliación 22.000 Debe 26-06 Letra a su cargo 4.000 Debe 13-07 Cheque c/c 1.000 Debe
Sean las condiciones de liquidación las siguientes:
• Fecha de liquidación: el 31 de julio.
• Por cada apunte una comisión de 6 euros.
• IRC: 17%
• El interés anual aplicado es el 4% para saldos acreedores y 11% para
saldos deudores.
• Año natural: 365 días. (2,5 puntos)
Liquidación del periodo 27-05 al 31-07
B 45.000 60 10% 750 2‰ 90 5
C 15.000 90 10% 375 30: mínimo 90 5
D 50.000 120 10% 1,666,67 2‰ 100 5
140.000 3.041,67 370 20
Fecha Movimiento Cuantía Signo Saldos Signo Días Números
Acree/Deu. 27-05 Ingreso apertura 5.000 H 5.000 H 19 95.000 15-06 Domiciliación 22.000 D 17.000 D 11 187.000 26-06 Letra a su cargo 4.000 D 21.000 D 17 357.000 13-07 Cheque c/c 1.000 D 22.000 D 16 352.000 29-07 Transferencia a su favor 34.000 H 12.000 H 2 24.000 31-07 65
Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales
Problemas Tema 4: Aplicaciones de la Capitalización Simple: Letra de Cambio y Cuenta Corriente -28-
Cálculo de los días:
Cálculo de los números comerciales acreedores:
Cálculo de los números comerciales acreedores:
cliente del fijo dorMultiplicaacreedores números de Sumaacreedores Intereses
€04,13365
04,0000.119acreedores Intereses
Cálculo de los números comerciales deudores:
Cálculo de los números comerciales deudores:
cliente del fijo dorMultiplicadeudores números de Sumadeudores Intereses
€03,270365
11,0000.896deudores Intereses
Retención impuestros:
€22,204,31 de %17impuestos tenciónRe
Comisión de administración (número de apuntes):
€305ciónadministra de Comisión
Saldo después de la liquidación:
€79,710.113022,203,27004,13000.12nliquidació la de después Saldo