Problemas Aplicativos de Inecuaciones y Ecuaciones Alumnos:
Milko Tabra Yhordi Espinoza 1120428 Escuela: Ing. de Diseo Grfico
Fecha: 01 / 06 / 12 Catedrtico: Dante Arturo Hurtado Saravia
En este caso hemos desarrollado lo aprendido en clase, aplicando
los pasos y las formulas, Una ecuacin es una igualdad matemtica
entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que
aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incgnitas,
relacionados mediante operaciones matemticas. Los valores conocidos
pueden ser nmeros, coeficientes o constantes; y tambin variables
cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras
operaciones. Las incgnitas, representadas generalmente por letras,
constituyen los valores que se pretende hallar
Tema: Problemas Aplicativos de Ecuaciones e Inecuaciones
Alumnos: Pacco Monroy, Juan Alfredo 1011825 Rojas Alcalde, Renzo
0810255 Tupia Salazar, Jair Johao 1120428 Escuela: Ing. de Diseo
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Introduccin ................................ 1 Ejercicios de
Inecuaciones ........ 3 Ejercicios de Ecuaciones ........... 12
Bibliografa .................................. 23
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1. Un fabricante de tornillos recibe un pedido de un cliente el
cual estipula que los tornillos deben tener una longitud de 7,62 cm
y son aceptables siempre y cuando el error no exceda al 5%. Cules
son las medidas que deberan tener dichos clavos? Solucin: El error
ocurre tanto si el tornillo es ms largo o ms corto Tenemos que
hallar el 5% (0,05) de 7,62cm 7,62(0,05) = 0,381 El error e acepta
con 0,385 por encima y debajo de 7,62 7,62 0,381 7,62 - 0,381=7,239
7,62 + 0,381=8,001 Repuesta: 7,239 medida 8,001 2. En cierto ao, en
el mes de julio, al medir la temperatura en la ciudad de Arequipa
se obtuvo una mnima de 12c y una mxima de 26c. es decir la
temperatura vario en el intervalo (12,26). Si medimos la
temperatura en grados Fahrenheit. Cul hubiera sido el intervalo de
variacin? a. Planteamos la ecuacin que exprese grados centgrados en
fahreheit.. C=5/9x(F-32) b. El intervalo cerrado (12,26) se
describe mediante las ecuaciones: (12C) ^(C26) 12C26 c.
Reemplazamos los valores de la frmula de la formula y despejamos el
valor de F al igual que una ecuacin. 12 < 5/9(F-32) < 26 12
< 5/9(F-32) < 26 12(9/5) < F -32 < 26(9/5) 21,6 + 32
< F < 46,8 + 32 53,6 < F < 78,8 Respuesta (53,6;
78,8)
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3. Las ventas mensuales x de cierto articulo cuando su precio es
p soles estn dadas por p=200-3x. el costo de producir x unidades
del mismo artculo es C=(650+5x) soles, Cuntas unidades de este
articulo debern producirse y venderse de modo que la utilidad
mensual sea por lo menos 2500 soles? Desarrollo Recordemos que
UTILIDAD = INGRESOS COSTOS Veamos cada uno de ellos. INGRESO =
Cantidad de Venta x Precio Ingreso = x(200-3x) Ingreso=-3x2 +200x
COSTO= Dinero invertido por producir cierta cantidad de unidades
del artculo. COSTO= 650 + 5x La UTILIDAD mensual debe ser por lo
menos de 2500 soles Utilidades 2500 Utilidad=Ingreso-Costo
Utilidad=(-3x2+200x)-(650+5x) -3x2+195x-650 2500 -3x2+195x-3150 0
Dividimos ambos lados entre -3 pero cambiamos el sentido de la
desigualdad por ser negativo X2-65x+1050 0 Mtodo de factores
tenemos.. (x-30)(x-35) 0 Si es menor igual a 0 existen dos
posibilidades: (+,-)(-,+) ley de signos ((x 30)^(x 35))v((x 30)^(x
35)) Respuesta: deben producirse y venderse entre 30 y 35
unidades
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4. Una peluquera atiende un promedio de 100 clientes a la semana
y les cobra 5 soles por corte. Por cada incremento de 0,75 en la
tarifa pierde 10 clientes. Qu precio deber fijar de modo que los
ingresos semanales no sean menores de los que el obtiene por una
tarifa de 5 soles? Desarrollo: Llamaremos x al nmero de incrementos
0.75 entonces: Precio = 5 + 0.75x P = 5 + 0,75x El nmero de
clientes que vaya con esta tarifa ser de: CLIENTES = 100 10x C =
100 - 10x Recordemos que INGRESOS = Nro. CLIENTES x PRECIO Los
ingresos por 100 clientes a la semana son de 500, por tanto, los
nuevos ingresos deben ser de al menos 500 soles. I= CxP
I=(100-10x)(5+0,75x) (100-10x)(5+0.75x) 500 500 + 75x 50x 7,5x2 0
2,5x (-3x2+10) 0 Aplicamos las leyes de los signos para resolver la
inecuacin. Mayor igual a 0, Positivo = (+,+) (-,-) ((2,5x
0)^(-3x+10 0))v((2.5x 0)^(-3x+10 0)) 0 ((x 0)^(x 10/3))v((x 0)^(x
10/3)) 0 (0,10/3) Respuesta: Debera cobrar 7,50soles para obtener
los mismos ingresos
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5. Las fbricas A y B confeccionan camisas, que sus
representantes venden a las tiendas. Un representante de la fbrica
A cobra 500 euros ms 4 euros por camisa vendida, mientras que uno
dela fbrica B cobra 400 euros ms 6 euros por camisa vendida. Para
qu cantidad de ventas cobra ms un representante de la fbrica B?
Solucin: Sea x el nmero de camisas que venden. La inecuacin que se
debe plantear es 500+4x 100 SOLES
Compaa A Banda Ancha + llamadas a Fijos gratis: 40 SOLES / mes
Llamadas a mviles: 0,30 SOLES / min
Compaa B Banda Ancha + llamadas a Fijos gratis: 60 SOLES / mes
Llamadas a mviles: 0,20 SOLES / min
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10. Hallar un nmero entero positivo que sumado con 11 resulte
mayor que el triple de l, disminuido en 7 y que sumado con 5
resulte menor que el doble de l, disminuido en 2 Solucin: Sea x el
nmero entero x > 0 Teniendo en cuenta las primeras condiciones x
+ 11 > 3x 7 De donde 9 > x. (1) Con las otras condiciones De
donde x > 7. (2) De (1) y (2) se obtienes 7 < x < 8 y como
x es un numero entero. Luego x = 8 11. Un fabricante produce un
determinado nmero de mesas, si duplica su produccin y vende 60, le
queda unas 24. Luego fabrica 10 ms y vende 28, tendr entonces menos
de 10 mesas. El nmero de mesas que se fabric inicialmente fue:
Solucin: Sea x: el nmero de mesas producidas 2x: El nmero
duplicado, entonces 2 x 60 > 24 De donde x > 42.. (1) Luego:
[(2x 60) + 10] 28 < 10 de donde x < 44 (2) De (1) y (2) se
tiene: 42 < x < 44 como x es entero x = 43 : x + 5 < 2x
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12. Manuel invita a sus amigos al cine. Si dispone de 32 soles,
le faltara dinero para comprar entradas de 5 soles, pero si
adquiere entradas de 4 soles le sobrara dinero. El nmero de amigos
que invito Manuel es: Solucin: Sea x: Nmero de personas Primero: 5x
> 32 x > 6,4. (1) Luego: 4x < 32 x < 32.. (2) De (1) y
(2) se tiene que x = 7 Entonces el nmero de personas que invit
Manuel es: 7 1 = 6 13. Se compra un nmero par de naranjas, si se
vende la cuarta parte quedan menos de 118 por vender y se venden la
sexta parte quedara ms de 129 por vender. El nmero de naranjas que
se compraron es: Solucin: Sea x: Nmero de naranjas que se
compraron. Primero: x 1/4x < 118 3/4x < 118 X < 157,3. (1)
Luego: x 1/6x > 129 5/8x > 129 X > 154,8 (2) De (1) y (2)
determinamos: 157,3 < x < 154,8 Pero como x es par entonces x
= 156
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14. Dados 3 nmeros enteros consecutivos se sabe que la tercera
parte del menor menos 10 es mayor que 14, la cuarta parte del mayor
ms 10 es menor que 29. El nmero menor es: Solucin: Primero: 1/4(x +
1) + 10 < 29 x < 75 El menor nmero es: x 1 = 74 1 = 7
x = 74
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1. Un padre decide recompensar a sus dos hijos a Jerson le
dieron su propina por haber terminado el ciclo con buenas notasy a
Robn le dieron 20 dlares ms por obtenido el primer puesto en su
carrera si ambos tienen 80 dlares cuanto recibi Jerson. Respuesta:
X + ( X + 20 ) = 80 2X = 60 X = 30 Jerson obtuvo 30 soles de
propina 2. En un concurso de matemtica cada respuesta correcta vale
5 puntos y por cada incorrecta le quitan 1 punto. Si Paola contesta
correctamente 8 preguntas y 6 contesta errneamente Cunto de puntaje
obtuvo? Respuesta: Por las 8 preguntas correctas obtiene 8 x 5 =
40. Por las 6 incorrectas se le quita 6 puntos, siendo el puntaje
obtenido 40 6 = 34 3. Una manzana pesa el doble de un pltano, el
cual pesa 100gramos, cuantas manzanas y pltanos se han colocado en
una balanza que marca 3kg, si se observa misma cantidad de cada
uno? Respuesta: Cada pareja pesa 100 + 200 = 300 Si hay X parejas:
300X = 3000 X = 10
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4. Un fabricante de televisores obtiene un beneficio de 40 soles
por cada televisor que vende y sufre una prdida de 45 soles por
cada televisor defectuoso que debe retirar del mercado un da ha
fabricado 561 televisores obteniendo unos beneficios de 8755 soles
cuantos televisores buenos y defectuosos ha fabricado ese da? 40x
45y = 8755. (i) x + y = 561 (multiplicamos por 45) 45x + 45y =
561.45.(ii) Sumamos i + ii 85x = 25245 + 8755 85X = 34000 X = 400 Y
= 161 5. En un bote pueden ir de paseo a lo mucho 5 nios con 5
adultos. Si un adulto pesa el triple de un nio. Cuntos nios como
mximo pueden ir de paseo en dicho bote? Respuesta Cada adulto se
reemplazamos por 3 nios, los adultos se reemplazan por 3 x 5 = 15 +
5 = 20 nios
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6. Si el nmero de libros que tiene una biblioteca, se duplica y
se agregan 40 libros ms, se tiene en total menos de 76 libros se
triplica y se agregan 16 libros ms, se tienen en total ms de 64
libros, Cuntos libros haba originalmente? Respuesta: Sea x el nmero
de libros DEL ENUNCIADO: ENTONCES TAMBIEN 2x + 40 < 76 . X <
18
2X < 36
3x + 16 > 64
ENTONCES 3x > 48 .. x > 16 LUEGO 16 < x < 18 X =
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7. Juan tiene un perro. Actualmente su perro tiene 12 aos menos
que l. Dentro de 4 aos, Juan tendr el triple de la edad de su
perro. Cul es la edad de Juan y su perro? Solucin: Sea x la edad
actual de Juan. Ordenemos la informacin entregada en este problema
en la siguiente tabla: Hoy Juan Su perro X X 12 En 4 aos X+4 (x 12)
+ 4 = x - 8
Luego, la ecuacin que modela este problema es: x + 4 = 3(x
8)
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Resolvamos esta ecuacin: x + 4 = 3(x 8) x + 4 = 3x 24 2x = 28 x
= 14 Respuesta: La edad de Juan es 14 aos y la edad de su perro es
2 aos. 8. Una empresa fabrica un producto que tiene costos
variables de $6 por unidad y costos fijos de $80. Cada unidad tiene
un precio de venta de $10. Determinar el nmero de unidades que
deben vender para que la compaa obtenga utilidades de $60 y
calcular el margen por unidad. Solucin: Se tiene que Utilidades =
Ingresos totales Costos totales Ingresos totales = Cantidad vendida
precio de venta Costos totales = Costos variables + Costos
fijos
Sea q = nmero de unidades que deben ser vendidas. Luego el
modelo para el problema es: 10q (6q + 80) = 60 Resolviendo esta
ecuacin lineal se tiene que: 10q (6q + 80) = 60 4q 80 = 60 4q = 140
de donde se obtiene q = 35 Respuesta: Es necesario vender 35
unidades para obtener utilidades de $60.
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9. Un grupo de jvenes decide pagar por partes iguales el
arriendo de $14.000 de un bote. A ltima hora, tres de los jvenes se
arrepintieron, con lo cual la cuota de cada uno de los restantes
jvenes subi en $1.500. Solucin: Sea n el nmero inicial de jvenes.
Ordenemos la informacin del problema en la siguiente tabla
Nmero de jvenes Valor cuota de c/uSituacin inicial Situacin
posterior n n-3 1400 / n 1400 / n - 3
Como la cuota inicial sube en $1500, se tiene que la ecuacin que
modela este problema es: 14000 = 14000 + 1500 n3 n Desarrollando
esta ecuacin se obtiene que ella se reduce a: n2 3n 28 = 0
Resolviendo esta ecuacin (cuadrtica) se obtiene que sus soluciones
son: n = 7 y n = -4. Claramente, la solucin n = -4, un puede dar
una solucin a este problema. Respuesta: (a) En el grupo inicial
haban 7 jvenes. (b) Cada joven de grupo final pag $3500
(=14000/4)
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10. La liquidacin de sueldos de un empleado de la empresa
Bienvenidos!! es la siguiente: .
Sueldo Base
Isapre (7%)
AFP (10%)
Sueldo lquido
$ 257.000
en base a la informacin entregada determinar: (a) Su sueldo base
(b) El descuento de la Isapre (c) El descuento de la AFP Solucin:
Sea x = sueldo base. Luego:
Sueldo Base
x
Isapre (7%)
0.07x.
AFP (10%)
0.1x
Sueldo lquido
$ 257.000
Por lo tanto la ecuacin que modela este problema es: x 0.07x
0.1x = 257.000 Resolviendo esta ecuacin, se tiene que x = 309.638,
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Respuesta: Los valores pedidos son (aproximados): (a) Su sueldo
base es $309.638, 5 (b) El descuento de la Isapre es $21.6746, 9
(c) El descuento de la AFP es $30.963,8 11. La familia Verdana
tiene una huerta con 90 plantas de tomates. El nmero de plantas de
cada fila excede en 3 al doble del nmero de filas. Determinar el
nmero de filas y el nmero de plantas por fila. Solucin: (a) Sea x =
nmero filas. (b) Datos:
N de filas x
N de plantas en c/fila 2x + 3
Total de plantas x(2x + 3)
(c) Ecuacin: x(2x + 3) = 90 Equivalente a: 2x2 + 3x 90 = 0 (d)
Resolviendo la ecuacin, se obtiene: x = 6 o x = 15 2 . Respuesta:
Ya que, el nmero de filas debe ser un nmero entero positivo, luego:
en la huerta hay 6 filas, y en cada fila hay 2 x 6 + 3 = 15 plantas
de tomates.
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12. En el siguiente dibujo todos los autos son iguales:
Determinar el largo de cada auto. Solucin: Sea x el largo de
cada auto. De acuerdo a la figura, la ecuacin que modela este
problema es: 3x + 4 = 2x + 7 Resolviendo esta ecuacin se obtiene
que x = 3. Respuesta: Cada auto mide 3 metros. 13. Un farmacutico
debe preparar 15ml de gotas especiales para un paciente con
glaucoma. La solucin debe tener 2% de ingrediente activo, pero slo
tiene disponibles soluciones al 10% y al 1%. Qu cantidad de cada
solucin debe usar para completarla receta? Solucin: Sea x =
cantidad de ml. de la solucin al 10% Para ayudar a entender el
problema, se traza un esquema, como el siguiente.
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A Cantidad de ml. En cada caso Cantidad de ingrediente activo en
cada caso x
B 5-x
C 15
0.1x
0.01 (15 x)
0.02 x 15
Luego, la ecuacin que modela este problema es: 0.1x + 0.01(15 x)
= 0.02 15 Resolviendo esta ecuacin (lineal) se obtiene que x = 5 =
1.7 3 Respuesta: Se deben usar 1.7ml de la solucin al 10% y 8.3 ml.
de la solucin al1%, para obtener 15ml al 2%. 14. Un corredor inicia
en el principio de una pista y corre a velocidad constante de 10
Km/h. Cinco minutos despus, un segundo corredor comienza en el
mismo punto, y su velocidad es de 13 Km/h, siguiendo por la misma
pista. Cunto tiempo tardar el segundo corredor en alcanzar al
primero? Solucin: Sea t el nmero de horas que recorre el primer
corredor. Como el segundo corredor sale 5 minutos ( 1/12 horas)
despus que el primero, el tiempo que recorre el segundo es (t 1/12)
horas. Esto conduce a la siguiente tabla. Velocidad Corredores Km/h
Primero Segundo Horas Km. Tiempo Distancia
10 13
t t 1/12
10t 13(t 1/12)
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Luego, como en el momento en que el segundo corredor alcanza al
primero, ambos han recorrido la misma distancia, la ecuacin que
modela este problema es: 10t = 13( t 1 ) 12 Resolviendo esta
ecuacin (lineal) se obtiene que t = 13/36 = 0.36horas = 21.6 min.
Respuesta: El segundo corredor alcanza al primero en 21.6min,
aproximadamente. 15. Se debe preparar un terreno cuadrado para
sembrarlo y cercarlo con alambre. Si el costo por preparar el
terreno es de $0.5 dlares por metro cuadrado, y la cerca cuesta $1
dlar el metro lineal. Determinar las dimensiones del terreno si el
costo por prepararlo y cercarlo es de $120 dlares. Solucin: (a) Sea
x = ancho del terreno = largo del terreno. (b) Organizando los
datos: Permetro del terreno = 4xmetros rea del terreno = x2 metros2
Costo en dlares por: Cercar 1 m. Cercar todo el terreno 1(4x)
Preparar 1 m2
Preparar todo el terreno
1
0.5
0.5 . x
2
(c) Considerando los datos del problema, se obtiene la ecuacin:
4x + 0.5x2 = 120 (d) Resolviendo la ecuacin se obtiene: x = 12 o x
= 20. Respuesta: Como las dimensiones del terreno deben ser nmero
positivos, luego, la medida de cada lado cuadrado es 12 m.
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Ecuaciones
http://matesup.utalca.cl/nivemat/3_ecuaciones/3_problemas/problem
as-ejem2.pdf
Inecuaciones
http://razonamientomatematicototal.blogspot.com/2010/10/planteode-inecuaciones.html
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