O problema de transporte (PT). # Definição e apresentação sobre forma de rede. # Formulação do caso equilibrado e não equilibrado. # Exemplos # Propriedades fundamentais.
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Problema de Transporte. Exemplo ProtótipoProblema de Transporte. Exemplo Protótipo
Os dados dos custos de uma carga de leite para cada combinação fábrica-armazém e das ofertas(produção) e procuras, em cargas de camião/dia, são os seguintes:
Produção da fábricaProdução da fábrica iProdução da fábricaProdução da fábrica i aaii oferta da origem oferta da origem ii aaii oferta da origem oferta da origem ii
Procura no armazém Procura no armazém jProcura no armazém Procura no armazém j bbjj procura no destinoprocura no destino j j bbjj procura no destinoprocura no destino j j
Custo de transporteCusto de transporte por carga da fábrica por carga da fábrica i para o armazém para o armazém j
Custo de transporteCusto de transporte por carga da fábrica por carga da fábrica i para o armazém para o armazém j
ccijij custo por unidade custo por unidade transportada da origem transportada da origem i i
para o destino para o destino jj
ccijij custo por unidade custo por unidade transportada da origem transportada da origem i i
para o destino para o destino jj
Problema de Transporte.Problema de Transporte.Do Exemplo ao Modelo do PTDo Exemplo ao Modelo do PT
Oferta total superior à procura total.Oferta total superior à procura total.Exemplo 1: Plano de Produção.Exemplo 1: Plano de Produção.
Uma multinacional produz aviões comerciais para diversas companhias de aviação. A última etapa no processo de produção é a produção de motores seguido da sua instalação no avião.
Para cumprir os contratos estabelecidos deve ser determinado o plano óptimo de produção dos motores para os próximos quatro meses.
Como estas restrições são de desigualdade é preciso introduzir variáveis de folga para converte-las em restrições de igualdade.
Isto significa que é preciso introduzir um destino fictício, em que as variáveis de folga representam a capacidade de produção não utilizada por cada mês .
Como estas restrições são de desigualdade é preciso introduzir variáveis de folga para converte-las em restrições de igualdade.
Isto significa que é preciso introduzir um destino fictício, em que as variáveis de folga representam a capacidade de produção não utilizada por cada mês .
Oferta total superior à procura total.Oferta total superior à procura total.Exemplo 1. Restrições de ofertas.Exemplo 1. Restrições de ofertas.
As restrições de oferta correspondem à produção de motores para cada mês i. Estas restrições são de desigualdade limitadas pela capacidade máxima de produção por mês.
Como é impossível produzir motores num mês determinado para serem instalados num mês anterior, todas as variáveis de decisão correspondentes
a i >j devem ser nulas. Para obter isto, é preciso penalizar os custos correspondentes a estas variáveis com um M arbitrariamente grande, tal
como no método do “big M”.
Como é impossível produzir motores num mês determinado para serem instalados num mês anterior, todas as variáveis de decisão correspondentes
a i >j devem ser nulas. Para obter isto, é preciso penalizar os custos correspondentes a estas variáveis com um M arbitrariamente grande, tal
como no método do “big M”.
Oferta total superior à procura total. Oferta total superior à procura total. Exemplo 1. Restrições de procuras.Exemplo 1. Restrições de procuras.
As restrições de procura correspondem ao plano de instalação para cada mês j. Estas restrições são de igualdade, correspondendo ao número de instalações requisitadas para cada mês.
MM MM 1.1001.100 1.1151.115xx3131 xx3232 xx3434 xx3535xx3333
MM MM MM 1.1301.130xx4141 xx4242 xx4444 xx4545xx4343
00
00
00
00
Este problema reformulado como problema de transporte apresenta o seguinte quadro:
Os custos são calculados tomando os dados dos custos
de produção e de armazenamento. Por exemplo
para a variável xx24 24 que
representa o número de motores produzidos no mês 22 a serem instalados no mês 4, 4,
o custo correspondente c24 = 1.11 + 0.015+0.015
=1.140
Os custos são calculados tomando os dados dos custos
de produção e de armazenamento. Por exemplo
para a variável xx24 24 que
representa o número de motores produzidos no mês 22 a serem instalados no mês 4, 4,
o custo correspondente c24 = 1.11 + 0.015+0.015
=1.140
Como a oferta total é superior à procura total foi adicionado um destino fictício com uma procura igual a: Oferta Total -Procura Total = 100 -70 = 30 u.
Oferta total superior à procura total.Oferta total superior à procura total.Exemplo 1. Quadro do problema de transporte.Exemplo 1. Quadro do problema de transporte.
Oferta total inferior à procura totalOferta total inferior à procura totalExemplo 2: distribuição de recursos de agua.Exemplo 2: distribuição de recursos de agua.
Uma empresa administra a distribuição de água duma região. Para isto é preciso canalizar a água de 3 rios que estão situados fora da região e distribui-la para 4 cidades.
Agora o gerente da empresa pretende distribuir toda a água disponível dos 3 rios para as 4 cidades, de forma a pelo menos satisfazer as necessidades essenciais de cada uma, minimizando o custo total.
Os dados dos custos e requerimentos para o plano de distribuição de água são os seguintes:
os custos por unidade de medida.
♦ A cidade 3 tem uma fonte independente da água que satisfaz as suas necessidades mínimas
♦ A cidade 3 tem uma fonte independente da água que satisfaz as suas necessidades mínimas♦O rio 3 não pode fornecer a cidade 4, o que significa nos termos do problema de transporte que este percurso é impossível. Neste caso é preciso penalizar este percurso com um M arbitrariamente grande.
♦O rio 3 não pode fornecer a cidade 4, o que significa nos termos do problema de transporte que este percurso é impossível. Neste caso é preciso penalizar este percurso com um M arbitrariamente grande.
♦A cidade 4 aceita toda a água que seja possível enviar além da sua necessidade mínima de 10 u.m.
♦A cidade 4 aceita toda a água que seja possível enviar além da sua necessidade mínima de 10 u.m.
Oferta total inferior à procura totalOferta total inferior à procura totalExemplo 2: distribuição de recursos de água.Exemplo 2: distribuição de recursos de água.
Oferta total inferior à procura totalOferta total inferior à procura totalExemplo 2: distribuição de recursos de água.Exemplo 2: distribuição de recursos de água.
Este problema pode ser reformulado como um problema de transporte, tomando como:
Origem i – o rio i (i =1,2,3)
Destino j – a cidade j (j=1,2,3,4)
xij - quantidade de água a enviar do rio i para a cidade j
cij - custo unitário da distribuição da água do rio i para a cidade j
Oferta total inferior à procura totalOferta total inferior à procura totalExemplo 2. Restrições de ofertas.Exemplo 2. Restrições de ofertas.
As restrições de oferta correspondem às restrições dos rios (origens). Como deverá ser distribuída toda a água disponível dos 3 rios, estas 3 restrições são de igualdade, uma por cada rio.
O limite superior para a cidade 4 pode ser calculado como a diferença entre a oferta total (50+ 60+50=160) e a soma das necessidades mínimas para as restantes
cidades (30+ 70 =100) ⇒ 160 - 100 = 60160 - 100 = 60 unidades. (a quantidade máxima que pode receber a cidade 4
para além da necessidade mínima )
Oferta total inferior à procura totalOferta total inferior à procura totalExemplo 2. Restrições de procura.Exemplo 2. Restrições de procura.
As restrições de procura determinam a quantidade de água que deve ser fornecida a cada cidade, e têm limites superiores e inferiores (excepto a cidade 2, onde coincidem a procura com a necessidade mínima).
Como a oferta total é inferior à procura total foi adicionada uma origem fictícia com uma oferta igual a:
Procura Total -Oferta Total = 210 -160 = 50 unidades.
Oferta total inferior à procura totalOferta total inferior à procura totalExemplo 2. Quadro do problema de transporte. Exemplo 2. Quadro do problema de transporte.
Para satisfazer as necessidades mínimas de água é preciso re-analisar os dados para cada cidade de forma a garantir que o mínimo procurado não seja fornecido pelo rio fictício.
Cidade 3Cidade 3: Como não tem necessidade mínima, então não é preciso alterar nada.
Cidade 3Cidade 3: Como não tem necessidade mínima, então não é preciso alterar nada.
Cidade 4Cidade 4: procura > necessidade (60 > 10). Como o rio fictício fornece apenas 50 unidades, pelo menos fica garantido que as 10 unidades mínimas não podem ser obtidas deste rio. Não é preciso alterar nada.
Cidade 4Cidade 4: procura > necessidade (60 > 10). Como o rio fictício fornece apenas 50 unidades, pelo menos fica garantido que as 10 unidades mínimas não podem ser obtidas deste rio. Não é preciso alterar nada.
Oferta total inferior à procura totalOferta total inferior à procura totalExemplo 2. Análise do rio fictício.Exemplo 2. Análise do rio fictício.
Cidade 2Cidade 2: procura = necessidade Esta cidade não pode ser fornecida pelo rio fictício. Para isto é preciso penalizar com M o percurso que une o rio fictício com a cidade 2.
Cidade 2Cidade 2: procura = necessidade Esta cidade não pode ser fornecida pelo rio fictício. Para isto é preciso penalizar com M o percurso que une o rio fictício com a cidade 2.
Cidade 1Cidade 1: procura > necessidade
Esta cidade deve ser dividida em 2 destinos: um que verifica a necessidade mínima (onde o rio fictício fica penalizado) e o outro que corresponde à quantidade de água que pode ser tomada além do requerimento mínimo.
Cidade 1Cidade 1: procura > necessidade
Esta cidade deve ser dividida em 2 destinos: um que verifica a necessidade mínima (onde o rio fictício fica penalizado) e o outro que corresponde à quantidade de água que pode ser tomada além do requerimento mínimo.
Oferta total inferior à procura totalOferta total inferior à procura totalExemplo 2. Análise do rio fictício.Exemplo 2. Análise do rio fictício.
Problema de Transporte. Propriedades Problema de Transporte. Propriedades fundamentais(1).fundamentais(1).
Se um problema de transporte está equilibrado, i.e., a oferta total é igual à procura total, então tem sempre soluções admissíveis.
Se um problema de transporte não está equilibrado,i.e., a oferta total não é igual à procura total, então pode ser introduzida uma origem ou um destino fictício para converter as restrições de desigualdade em igualdade e poder obter assim um problema equilibrado.
O problema de transporte tem sempre óptimo finito.
Qualquer SBA do problema de transporte tem no máximo m+n-1 variáveis básicasDo total de m+n equações só m+n-1 são linearmente independentes, existindo sempre uma equação redundante, i.e., uma equação pode ser obtida como combinação linear das restantes.
Problema de Transporte. Propriedades Problema de Transporte. Propriedades fundamentais(2).fundamentais(2).
A base correspondente a qualquer SBA do problema de transporte é uma matriz triangular.
Se as quantidades das ofertas e procuras são valores inteiros, então qualquer SBA tem sempre valores inteiros.Como a matriz da base é uma matriz triangular composta por 0 e 1, a resolução do sistema conduz necessariamente a uma solução cujas variáveis assumem apenas valores inteiros, pois apenas exige adições e subtracções.
Como m=3 e n=4 e a característica de A, c(A)=m+n-1=6, qualquer base BB tem dimensão 6x6. Uma base pode ser obtida, por exemplo, tomando as colunas P11, P12, P22, P23,
P33, P34 e eliminando à restrição 4.
P11 P12 P13 P14P21P22P23P24P31P32P33P34
(1) 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
(2) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
(3) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
(4) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
(5) 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
(6) 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
(7) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
A=A=
P11 P12P22P23P33P34
(1) 1 1 0 0 0 0
(2) 0 0 1 1 0 0
(3) 0 0 0 0 1 1
(5) 0 1 1 0 0 0
(6) 0 0 0 1 1 0
(7) 0 0 0 0 0 1
B =B =
P11 P12P22P23P33P34
(1) 1 1 0 0 0 0
(5) 0 1 1 0 0 0
(2) 0 0 1 1 0 0
(6) 0 0 0 1 1 0
(3) 0 0 0 0 1 1
(7) 0 0 0 0 0 1
B =B =
Base e Solução Básica Admissível para o PT.Base e Solução Básica Admissível para o PT.Minimizar z = x11 + 2 x12 + 3 x13 + 4 x14 +