Problemas Seleccionados por Ing. Miguel Jiménez C. Para el curso IO - PL Docente Adscrito al Dpto. Acad. De Investigación de Operaciones FII-UNP Pág 1 de 21 1) Una empresa fabricante de productos electrónicos manufactura tres tipos de productos: Transistores; Micromódulos y Circuitos Ensamblados. Posee cuatro zonas o áreas de fabricación: a) Producción de Transistores b) Ensamblaje de Circuitos c) Control de Calidad de Transistores y Micromódulos y, d) Ensamblaje y Prueba de los Circuitos Ensamblados. Producir un transistor requiere: 0.1 horas de capacidad del área de producción de transistores; 0.5 horas de capacidad del área de control de calidad de transistores y 0.70 soles de costos directos. Producir un micromódulo requiere: 0.4 horas de capacidad del área ensamblaje de circuitos, 0.5 horas de capacidad del área de control de calidad, 3 transistores y 0.50 de costos directos. Producir un circuito ensamblado requiere 0.1 horas de capacidad del área ensamblaje de circuitos, 0.5 horas del área de ensamblaje y prueba de circuitos ensamblados, un transistor, tres micromódulos y S/. 2.00 de costos directos. Cualquiera de los tres productos se vende suelto en cantidades ilimitadas a precios de S/.2.00, S/.8.00 y S/.25.00 cada uno respectivamente (transistores, micromódulos y c. ensamblados). Si existe 200 horas de trabajo disponible en cada una de las cuatro áreas de producción en el próximo mes, que productos y en que cantidad deben producirse para alcanzar la utilidad máxima. Solución Se debe tener presente que la producción de un Micromódulo se requiere 3 Transistores además del tiempo de paso por las diversas áreas que le compete, así mismo la producción de un Circuito ensamblado requiere de tres Micromódulos y un Transistor además del tiempo de paso en las áreas que le concierne; lo cual nos indica que para la elaboración de cada tipo de producto se debe considerar los productos que ellos necesitan como si fueran especialmente hechos para ellos esto implica el calculo total del tiempo total en cada área de fabricación así como también el calculo total del costo directo lo cual se resume en la tabla No1:
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Problemas Seleccionados por Ing. Miguel Jiménez C. Para el curso IO - PL
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1) Una empresa fabricante de productos electrónicos manufactura tres tipos de productos:
Transistores; Micromódulos y Circuitos Ensamblados. Posee cuatro zonas o áreas de
fabricación:
a) Producción de Transistores
b) Ensamblaje de Circuitos
c) Control de Calidad de Transistores y Micromódulos y,
d) Ensamblaje y Prueba de los Circuitos Ensamblados.
Producir un transistor requiere: 0.1 horas de capacidad del área de producción de
transistores; 0.5 horas de capacidad del área de control de calidad de transistores y 0.70
soles de costos directos.
Producir un micromódulo requiere: 0.4 horas de capacidad del área ensamblaje de
circuitos, 0.5 horas de capacidad del área de control de calidad, 3 transistores y 0.50 de
costos directos.
Producir un circuito ensamblado requiere 0.1 horas de capacidad del área ensamblaje de
circuitos, 0.5 horas del área de ensamblaje y prueba de circuitos ensamblados, un
transistor, tres micromódulos y S/. 2.00 de costos directos.
Cualquiera de los tres productos se vende suelto en cantidades ilimitadas a precios de
S/.2.00, S/.8.00 y S/.25.00 cada uno respectivamente (transistores, micromódulos y c.
ensamblados). Si existe 200 horas de trabajo disponible en cada una de las cuatro áreas de
producción en el próximo mes, que productos y en que cantidad deben producirse para
alcanzar la utilidad máxima.
Solución
Se debe tener presente que la producción de un Micromódulo se requiere 3 Transistores
además del tiempo de paso por las diversas áreas que le compete, así mismo la producción
de un Circuito ensamblado requiere de tres Micromódulos y un Transistor además del
tiempo de paso en las áreas que le concierne; lo cual nos indica que para la elaboración de
cada tipo de producto se debe considerar los productos que ellos necesitan como si fueran
especialmente hechos para ellos esto implica el calculo total del tiempo total en cada área
de fabricación así como también el calculo total del costo directo lo cual se resume en la
tabla No1:
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Tabla No1: Cálculo de horas utilizadas de las diferentes áreas para los tres productos
ÁREAS
PRODUCTO
TIEMPO
DISPONIBLE
Transistor
Micromódulo
Circuito
Ensamblado
Producción de
Transistores
0.1 hrs
3 x 0.1 = 0.3 hrs 1 x 0.1 = 0.1 hrs
3 x 0.3 = 0.9 hrs
1.0 hrs
200 hrs
Ensamblaje de
Circuitos
0.4 hrs 3 x 0.4 = 1.2 hrs
+0.1 hrs
1.3 hrs
200 hrs
Control de
Calidad de
Transistores y
Micromódulos
0.5 hrs
3 x 0.5 = 1.5 hrs
+0.5 hrs
2.0 hrs
3 x 2.0 = 6.0 hrs
+0.5 hrs
6.5 hrs
200 hrs
Ensamblaje y
Prueba de los
Circuitos
Ensamblados
0.5 hrs
200 hrs
Costos Directos
S/. 0.70
3 x 0.70 = 2.10
+0.50
S/. 2.60
1 x 0.70 = 0.70
3 x 2.60 = 7.80
+2.00
S/. 10.50
Precio de Venta S/. 2.00 S/. 8.00 S/. 25.00
Definición de las variables de decisión:
X1: Es el número total de Transistores producidos
X2: Es el número total de Micromódulos producidos
X3: Es el número total de Circuitos Ensamblados producidos
La función objetivo se define entonces como la maximización de la utilidad la cual esta
representada por la siguiente Función lineal:
Max U = (2.00 – 0.70)X1 + (8.00-2.60)X2 + (25.00-10.50)X3
o Max U = 1.3X1 + 5.4X2 + 14.5X3
Las restricciones se obtienen en forma directa del cuadro y representan el tiempo utilizado
en cada área de fabricación en consecuencia se tienen 4 restricciones como sigue:
0.1X1 + 0.3X2 + 1.0X3 <= 200
0.4X2 + 1.3X3 <= 200
0.5X1 + 2.0X2 + 6.5X3 <= 200
+ 0.5X3 <= 200
X1,X2,X3 >= 0
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2) Tengo ahora 100 dólares. Durante los próximos tres años, hay las siguientes
inversiones:
Inversión A. Cada dólar invertido ahora produce 0.10 de dólar dentro de un año y 1.30
dólares dentro de tres años.
Inversión B. Cada dólar invertido ahora produce 0.20 de dólar dentro de un año y 1.10
dólares dentro de tres años.
Inversión C. Cada dólar invertido dentro de un año producirá 1.50 dólares dentro de
tres años.
Cada año se puede colocar el dinero no invertido en fondos del mercado de dinero, lo
que produce 6% de interés anual. Se puede colocar a lo más 50 dólares en cada una de
las inversiones A, B y C. Formule un PL para maximizar el efectivo en caja, dentro de
tres años
Solución
Una Imagen Vale más que mil Palabras
Al inicio del 1er año se tiene $100 que se invierten del siguiente modo:
X1A dólares al inicio del 1er año en el Proyecto de Inversión A,
X1B dólares al inicio del 1er año en el Proyecto de Inversión B,
Fond1 dólares al inicio del 1er año en Fondos del mercado de dinero
0 dólares en el proyecto de Inversión C dado que este proyecto no es factible invertir sino
hasta dentro de un año es decir al inicio del año 2.
La primera restricción es: X1A + X1B + Fond1 = 100
1.3X1A+1.1X1B+1.5X2C
+1.06Fond3 1.06Fond2 0.1X1A+0.2X1B
+1.06Fond1 100
1 2 3 4
X1A X1B Fond1 X2C Fond2 Fond3
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Al inicio del segundo año se cuenta con el dinero producido en el primer año por las
inversiones efectuadas y mostradas anteriormente, a saber : 0.1X1A+0.2X1B+1.06Fond1.
Este dinero se invierte del siguiente modo:
X2C dólares al inicio del 2do año en el Proyecto de Inversión C
Fond2 dólares al inicio del 2do año en Fondos del mercado de dinero
La segunda restricción es: X2C + Fond2 = 0.1X1A + 0.2X1B + 1.06Fond1
Al inicio del 3er año solo se cuenta con: 1.06Fond2 dólares, producto de la inversión de
Fond2 dólares en el año anterior.
La tercera restricción es: Fond3 = 1.06Fond2
Al final de los tres años se cuenta con: 1.3X1A+1.1X1B+1.5X2C+1.06Fond3 lo cual
hay que maximizar, en consecuencia la función objetivo es:
FO Max U = 1.3X1A + 1.1X1B + 1.5X2C + 1.06Fond3
Sin embargo por las condiciones del problema se tiene tres restricciones más que dependen
de la capacidad de inversión en los proyectos como se puede observar:
X1A <= 50, X1B <= 50 y X2C <= 50
Resumiendo el modelo matemático de Pl es:
Max U = 1.3X1A + 1.1X1B + 1.5X2C + 1.06Fond3
sa
X1A + X1B + Fond1 = 100
X2C + Fond2 = 0.1X1A + 0.2X1B + 1.06Fond1
Fond3 = 1.06Fond2
X1A <= 50
X1B <= 50
X2C <= 50
Xij>=0
Fond1,Fond2,Fond3>=0
Rpta: X1A=50
X1B=9.3023
X2C=50, Fond1=40.6977 y Max U=150.2325
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3) Una fábrica de papel recibió tres pedidos de rollos de papel con los anchos y longitudes
indicadas en la tabla siguiente:
Pedido Nº Ancho (pies) Longitud (pies)
1 5 10000
2 7 30000
3 9 20000
Los rollos se producen en la fábrica con dos anchos estándar, 10 y 20 pies, los cuales hay
que recortar a los tamaños especificados por los pedidos. No existe límite sobre la longitud
de los rollos estándar ya que para propósitos prácticos los rollos de longitud limitada
pueden unirse para proporcionar las longitudes requeridas. Formule el problema como uno
de programación lineal que permita determinar el esquema de producción (modelos de
corte) que minimice la pérdida por ajuste y satisfaga la demanda dada.
Solución
Primero se deben identificar los diferentes tipos de corte que se pueden hacer con cada
tipo de papel determinando en cada caso los desperdicios esto se resume en la tabla que
sigue:
Anchura i = 1 (10´) i = 2 (20´) Requisitos
X11 X12 X13 X21 X22 X23 X24 X25 X26
5´ 2 0 0 4 2 2 1 0 0 10000
7´ 0 1 0 0 1 0 2 1 0 30000
9´ 0 0 1 0 0 1 0 1 2 20000
Pérdida 0 3 1 0 3 1 1 4 2
Sean S1, S2 y S3 las longitudes producidas en exceso de los rollos con anchos de 5´, 7´ y 9´,
respectivamente. Entonces el modelo queda definido como: