-
PROBABILITAS (PELUANG)
PENGERTIAN PROBABILITASDalam kehidupan sehari-hari kita sering
mendengar dan menggunakan kata
probabilitas (peluang). Kata ini mengisyaratkan bahwa kita
berhadapandengan sesuatu yang tidak pasti (uncertainty).
Misalnya: (1) mungkin nanti dalam ujian Statistika kita akan
mendapat nilaiA; (2) mungkin nanti hari akan hujan.
Peluang biasa diberi simbol P, dan dinyatakan dalam angka
positif, denganminimum 0 dan maksimum 1. Sedangkan simbol untuk
kemungkinantidak terjadinya, biasanya dinyatakan dengan , yaitu =
1- P.
-
Pengertian Peluang
Kalau P = 0: Berarti peristiwa itu tidak mungkin terjadi, atau
mustahil.Misalnya: timbulnya matahari di malam hari adalah
mustahil,maka mempunyai peluang sama dengan 0.
Kalau P = 1: Berarti peristiwa itu pasti terjadi, tidak mungkin
tidak terjadi.Misalnya: peluang darah mengalir di dalam badan
orangMisalnya: peluang darah mengalir di dalam badan orangyang
masih hidup adalah 1.
Dalam kehidupan sehari-hari peristiwa-peristiwa yang kita
jumpaimempunyai peluang antara 0 dan 1 (jarang yang tepat 0
atautepat 1).
-
PROBABILITAS(PELUANG)
PENGERTIAN PROBABILITASDalam kehidupan sehari-hari kita sering
mendengar dan menggunakan kata
probabilitas (peluang). Kata ini mengisyaratkan bahwa kita
berhadapandengan sesuatu yang tidak pasti (uncertainty).
Misalnya: (1) mungkin nanti dalam ujian statistik kita akan
mendapat nilai A;(2) mungkin nanti hari akan hujan.
Peluang biasa diberi simbol P, dan dinyatakan dalam angka
positif, denganminimum 0 dan maksimum1. Sedangkan simbol untuk
kemungkinantidak terjadinya, biasanya dinyatakan dengan , yaitu =
1- P.
-
Definisi Klasik (ClassicalDefinition of Probability)
Apabila dalam sebuah ruang sampel yang berisi N buah titik
sampel yangequally likely dan mutually exclusive terdapat a buah
titik sampel yangmenyokong suatu peristiwa A, maka peluang
terjadinya peristiwa Adidefinisikan sebagai:
P(A) = a/NP(A) = a/N
Contoh 1:
Sebuah mata uang logam (coin) yang mempunyai dua permukaan (A
dan B)dilemparkan ke atas satu kali, maka probabilitas munculnya
permukaanA atau permukaan B di atas:
P(A) = ½ = 0,5 dan P(B) = ½ = 0,5.
-
Contoh 2:
Sebuah dadu yang mempunyai 6 permukaan yang sama, dilemparkan
satu kali,maka probabilitas munculnya satu permukaan di atas:
P(1) = 1/6; P(2) = 1/6
Contoh 3:Contoh 3:
Dalam suatu permainan kita memilih sebuah kartu dari sebanyak 52
kartu bridgeyang ada, maka probabilitas akan terpilih:
a. Satu kartu berwarna hitam: P(H) = 26/52 = 0,5
b. Satu kartu King: P(K) = 4/52
-
Definisi Empirik atau Statistik (Empirical /Statistical
Definition of Probability)
Probabilitas ditentukan berdasarkan observasi, ditentukan
berdasarkanpengalaman atau peristiwa-peristiwa yang telah
terjadi
Apabila dari N buah rentetan peristiwa terdapat t buah peristiwa
A, makapeluang terjadinya peristiwa A didefinisikan sebagai:
P(A) = Lim t/NP(A) = Lim t/N
N→~
Contoh 1:
Berdasarkan pengalaman puluhan tahun lamanya di bidang
kedokteran, dari100 orang yang terkena penyakit kanker paru-paru,
99 orang meninggal.Pada suatu saat Tuan A terkena penyakit ini.
Pertanyaan: Berapapeluang dia akan meninggal karena penyakit
tersebut?
P(A) = 99/100 = 0,99
-
Definisi Subyektif(Subjective Definition of Probability)
Probailitas ditentukan berdasarkan perasaan atau kira-kira
peneliti. Jadicara ini dipengaruhi oleh pribadi seseorang sehingga
bersifat subyektif
-
Hukum-hukum Peluang(The Law of Probability)
1. Suatu peristiwa A yang pasti terjadi dan memenuhi: P(A) =
1
2. Suatu peristiwa A yang tidak mungkin terjadi dan memenuhi :
P(A) = 0
3. Akibat dari hukum 1 dan 2 maka untuk setiap peistiwa A yang
sembarang,akan memenuhi keadaan:akan memenuhi keadaan:
0 P(A) 1
4. Apabila A merupakan komplemen dari peristiwa A, maka
berlaku:
P(A) = 1 - P(A) atau P(A) + P(A) = 1
5. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa, maka
berlaku:
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A dan B)
6. ...........
-
Hukum-hukum Peluang(The Law of Probability)
6. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa yang mutually
exclusive, makaberlaku:
P(A U B) = P(A) + P(B)
7. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa conditional,
maka berlaku:
P(A dan B) = P(A) * P(B/A)
8. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa yang independen,
maka berlaku:
P(A dan B) = P(A) * P(B)
-
Hukum-hukum Peluang(The Law of Probability)
6. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa yang mutually
exclusive, makaberlaku:
P(A U B) = P(A) + P(B)
7. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa conditional,
maka berlaku:
P(A dan B) = P(A) * P(B/A)
8. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa yang independen,
maka berlaku:
P(A dan B) = P(A) * P(B)
-
MATHEMATICAL EXPECTATION
(HARAPAN MATEMATIK)
Apabila P merupakan probabilitas dari seseorang untuk memperoleh
suatu jumlahQ, maka harapan matematik dari orang tersebut adalah PQ
(Q dapat berupa jumlahbarang maupun uang). Apabila suatu gejala
deskrit yang diambil secara randomdiberi simbul X dengan
harga-harga X1, X2, ……… Xn dan probabilitas untukmendapatkan
harga-harga tersebut P(X1), P(X2) ……… P(Xn) maka harapanmendapatkan
harga-harga tersebut P(X1), P(X2) ……… P(Xn) maka harapanmatematik
dari X dinyatakan dengan rumus:
E(Xi) = X1 . P(X1) + X2 . P(X2) + ……. + Xn . P(Xn)
= X . P(X).
-
Contoh:
Apabila hujan terus-menerus, seorang penjual payung akan untung
Rp. 80.000,00seharinya, tetapi apabila cuaca baik dia akan rugi Rp.
20.000,00 seharinya. Berapaharapan matematiknya apabila
probabilitas hari akan hujan adalah 0,4.
Jawab:Jawab:
X1 = Rp. 80.000,00 dengan P(X1) = 0,4
X2 = Rp. 20.000,00 dengan P(X2) = 1 – 0,4 = 0,6
E(A) = P(X1) . X1 – P(X2) . X2
= 0,4(80.000) – 0,6(20.000)
= 32.000 – 12.000
= Rp. 20.000,00
-
Contoh:
Seorang pengusaha bakso akan membuka cabangnya di salah satu
kampus UB atauUMM. Ia telah memperhitungkan dengan teliti dengan
dibukanya cabang di UB akanmenghasilkan Rp. 8.000.000,00 tiap tahun
dengan kemungkinan 0,70, jika usahanyagagal ia akan menderita rugi
tiap tahun Rp. 3.500.000,00.gagal ia akan menderita rugi tiap tahun
Rp. 3.500.000,00.
Kemungkinan berhasil apabila ia membuka cabangnya di UMM adalah
60% denganmendapatkan laba tiap tahun Rp. 9.000.000,00 bila gagal
akan menderita rugi Rp.3.000.000,00 tiap tahun. Di mana sebaiknya
ia harus membuka cabang?
-
DistribusiDistribusi PeluangPeluang DiskritDiskrit Distribusi
BinomialDistribusi Binomial Distribusi HipergeometrikDistribusi
Hipergeometrik Distribusi GeometriDistribusi Geometri Distribusi
PoissonDistribusi Poisson
DISTRIBUSIDISTRIBUSI PROBABILITASPROBABILITAS
Distribusi PoissonDistribusi Poisson
DDistribusi Peluang Kontinuistribusi Peluang Kontinu Distribusi
NormalDistribusi Normal
-
Ciri-ciri Distribusi Binomial
Tiap percobaan memiliki dua hasil saja Tiap percobaan memiliki
dua hasil saja yakni: yakni: Sukses Sukses atau atau
GagalGagal..
Probabilitas sukses pada tiapProbabilitas sukses pada tiap--tiap
tiap percobaan haruslah sama dan dinyatakan percobaan haruslah sama
dan dinyatakan percobaan haruslah sama dan dinyatakan percobaan
haruslah sama dan dinyatakan dengan p.dengan p.
Setiap percobaan harus bersifat Setiap percobaan harus bersifat
independent (bebas)independent (bebas)
Jumlah percobaan yang merupakan Jumlah percobaan yang merupakan
komponen eksperimen binomial harus komponen eksperimen binomial
harus tertentu.tertentu.
-
RUMUS
P(x,n) =P(x,n) = P)-(1PX
n x-nx
....1!!! xNx pp
xNx
NxXP
x = 0, 1, 2, ...., N0 < p < 1
-
Keterangan Rumus
n = Banyaknya peristiwan = Banyaknya peristiwa p p == Besarnya
peluangBesarnya peluang tterjadinyaerjadinya
suksessukses !! = = faktofaktoririalal !! = = faktofaktoririalal
nn!! == nn((nn--1)(1)(nn--2)...(3)(2)(1)2)...(3)(2)(1) 0!0! == 11
1!1! == 11
Misal : 3! = 3x2x1 = 6Misal : 3! = 3x2x1 = 6
-
Contoh1 Dari 8 pria dan 7 wanita dipilih 4 pengurus yang terdiri
dari 2 pria dan 1 Dari 8 pria dan 7 wanita dipilih 4 pengurus yang
terdiri dari 2 pria dan
2 wanita. Banyak cara pemilihan pengurus adalah...2 wanita.
Banyak cara pemilihan pengurus adalah... A. 582A. 582 B. 588B. 588
C. 625C. 625 D. 720D. 720 E. 784E. 7842 Dari 8 pria dan 7 wanita
dipilih 4 pengurus yang terdiri dari 2 pria saja 2 Dari 8 pria dan
7 wanita dipilih 4 pengurus yang terdiri dari 2 pria saja
atau 2 wanita Saja. Banyak cara pemilihan pengurus adalah...atau
2 wanita Saja. Banyak cara pemilihan pengurus adalah... A. 49A. 49
B. 56B. 56 C. 63C. 63 D. 70D. 70 E. 77E. 77
-
P= 8 ; 22852/2
!6.2
!6.7.8
)(6!2!
8!
2
8
w= 7 ;2 2142/2!5.2!5.6.7
)(5!2!
7!
2
7
-
Contoh1.1. Pada pelemparan dadu 6 kali pelemparan, tentukan Pada
pelemparan dadu 6 kali pelemparan, tentukan
peluang ada 4 kali mata dadu yang terbaca.peluang ada 4 kali
mata dadu yang terbaca.2.2. Pada mesin foto copy selalu diperoleh
50 lembar Pada mesin foto copy selalu diperoleh 50 lembar
yang cacat pada setiap memfotocopy sebanyak 500 yang cacat pada
setiap memfotocopy sebanyak 500 lembar, jika kita memfotocopy
sebanyak 3 lembar, lembar, jika kita memfotocopy sebanyak 3 lembar,
lembar, jika kita memfotocopy sebanyak 3 lembar, lembar, jika kita
memfotocopy sebanyak 3 lembar, berapakah peluang kita memperoleh 2
lembar yg berapakah peluang kita memperoleh 2 lembar yg
cacat.cacat.
6
56
1
q
p
.6
5.
6
1)(
24
Ap
46
656.46
150.
!2.3.4
!4.5.6.
6
5.16
-
945010
1
500
50
q
p.
10
9.
10
112
2310
9
500
450q
1010
1000
27.
!1.2
!2.3.
10
9.13
-
Contoh:
SebuahSebuah pengirimanpengiriman 8 8
mikrokomputermikrokomputeryang yang serupaserupa keke suatusuatu
jaringanjaringan eceraneceranberisiberisi 3 yang 3 yang cacatcacat.
. BilaBila suatusuatu sekolahsekolahmelakukanmelakukan suatusuatu
pembelianpembelian acakacak 2 2 daridarimelakukanmelakukan
suatusuatu pembelianpembelian acakacak 2 2
daridarimikrokomputermikrokomputer iniini, ,
CarilahCarilah distribusidistribusi probabilitasprobabilitas
untukuntukjumlahjumlah yang yang cacatcacat..
CarilahCarilah distribusidistribusi kumulatifkumulatif
untukuntukjumlahjumlah yang yang cacatcacat..
-
Jawab (1): AmbilAmbil X X sebagaisebagai variabelvariabel random
yang random yang didefinisikandidefinisikan sebagaisebagai
banyaknyabanyaknya mikrokomputermikrokomputer yang yang
cacatcacat yang yang mungkinmungkin akanakandibelidibeli oleholeh
sekolahsekolah tersebuttersebut. . MakaMaka dapatdapat
dituliskandituliskan ::
X X = = banyaknyabanyaknya mikrokomputermikrokomputer cacatcacat
yang yang mungkinmungkin akanakandibelidibeli oleholeh
sekolahsekolah
= 0, 1, 2= 0, 1, 2
24
= 0, 1, 2= 0, 1, 2 SehinggaSehingga dapatdapat dihitungdihitung
::
28
10
2
8
2
5
0
3
)0()0(
XPf28
15
2
8
1
5
1
3
)1()1(
XPf 283
2
8
0
5
2
3
)2()2(
XPf
Jadi, distribusi probabilitas dari X adalah
x 0 1 2
f(x) 10/28 15/28 3/28
Rumus distribusi probabilitas adalah 2,1,0,2
8
2
5.
3
)()(
xuntukxx
xfxXP
-
Jawab (2):
DistribusiDistribusi kumulatifkumulatif F(x) F(x) adalahadalah
::F(0) F(0) = f(0) = f(0) = 10/28 = 10/28 F(1)F(1) = f(0) + f(1) =
10/28 + 15/28 = 25/28= f(0) + f(1) = 10/28 + 15/28 = 25/28F(2) F(2)
= f(0) + f(1) + f(2) = 10/28 + 15/28 + 3/28= f(0) + f(1) + f(2) =
10/28 + 15/28 + 3/28
= 1= 1
25
= 1= 1SehinggaSehingga ::
11 , , untukuntuk x < 0x < 0F(x) =F(x) = 10/2810/28 , ,
untukuntuk 0 0 x < 1 x < 1
25/2825/28 , , untukuntuk 1 1 x < 2x < 211 , , untukuntuk
x x 22
-
ContohDua buah mata uang dilempar Dua buah mata uang
dilempar
satu kalisatu kaliHitunglah: Hitunglah: a. Pa.
Probabilitasrobabilitas tidaktidak diperolehnyadiperolehnyaa. Pa.
Probabilitasrobabilitas tidaktidak diperolehnyadiperolehnya
permukaanpermukaan BBb.b. PProbabilitasrobabilitas
memperolehmemperoleh satusatu
permukaanpermukaan BBc. Pc. Probabilitasrobabilitas
memperolehmemperoleh
duaduapermukaanpermukaan BB
-
Dik : Dik : n = 2; n = 2; X = 0, 1, 2X = 0, 1, 2a. Probabilitas
tidak mendapat permukaan Ba. Probabilitas tidak mendapat permukaan
B
P(0;2) = P(0;2) =
= 0,25= 0,25
0,25x1x)(2!0!
20,5x0,5x
0
2 20
= 0,25= 0,25
b. Probabilitas satu permukaan Bb. Probabilitas satu permukaan B
P(1;2) = P(1;2) =
= 0,50= 0,50
0,50x0,50x)(1!1!
20,5x0,5x
1
2 11
-
c. Probabilitas mendapat 2 permukaan Bc. Probabilitas mendapat 2
permukaan B
P(P(22;2) = ;2) = 1x0,25x1x)(0!2!
20,5x0,5x
2
2 02
= 0,25= 0,25
)(0!2!
-
Contoh
KKalau 3 buah mata uang dilemparkan satu alau 3 buah mata uang
dilemparkan satu kalikali. Hitunglah Probabilitas memperoleh:.
Hitunglah Probabilitas memperoleh:a. Ta. Tidak idak adaada
permukaan Bpermukaan Bb. 1 b. 1 permukaan Bpermukaan Bb. 1 b. 1
permukaan Bpermukaan Bc. c. 2 permukaan B2 permukaan Bd. 3d. 3
permukaan Bpermukaan Be. Paling sedikit 1 e. Paling sedikit 1
permukaan Bpermukaan Bf.f. Paling banyak 2Paling banyak 2 permukaan
permukaan BB
-
Dik: nDik: n = 3; = 3; X = 0, 1, 2, 3X = 0, 1, 2, 3
a. a. P(0;3)P(0;3) === 0,125= 0,125
0,25x1x)(3!0!
3!0,5x0,5x
0
3 02
0,25x1x
)(3!0!
3!0,5x0,5x
0
3 02
0,25x1x
)(3!0!
3!0,5x0,5x
0
3 02
0,25x1x
)(3!0!
3!0,5x0,5x
0
3 02
0,25x1x
)(3!0!
3!0,5x0,5x
0
3 02
0,25x1x
)(3!0!
3!0,5x0,5x
0
3 02
0,25x1x
)(3!0!
3!0,5x0,5x
0
3 02
0,125 x 1 x )(3!0!
3!0,5 x 0,5 x
0
3 30
= 0,125= 0,125
b. b. P(1;3)P(1;3) = = 0,25x0,5x)(2!1!3!
0,5x0,5x1
3 21
= 0,375
-
c. c. P(P(22;3);3) ==
= 0,375= 0,375
0,25x1x)(3!0!
3!0,5x0,5x
0
3 02
0,25x1x
)(3!0!
3!0,5x0,5x
0
3 02
0,25x1x
)(3!0!
3!0,5x0,5x
0
3 02
0,25x1x
)(3!0!
3!0,5x0,5x
0
3 02
0,25x1x
)(3!0!
3!0,5x0,5x
0
3 02
0,25x1x
)(3!0!
3!0,5x0,5x
0
3 02
0,25x1x
)(3!0!
3!0,5x0,5x
0
3 02
0,25x1x
)(3!0!
3!0,5x0,5x
0
3 02
0,25x1x
)(3!0!
3!0,5x0,5x
0
3 02
0,25x0,5x
)(2!1!
3!0,5x0,5x
1
3 21
0,25x0,5x
)(2!1!
3!0,5x0,5x
1
3 21
0,25x0,5x)(1!2!
3!0,5x0,5x
2
3 12
d. d. P(P(33;3);3) = =
== 0,1250,125
x10,125 x )(0!3!
3!0,5x 0,5 x
3
3 03
-
e.e.P(P(xx≥1≥1)) == P(x=1) + P(x=2) + P(x=1) + P(x=2) +
P(x=3)P(x=3)
= 1 = 1 -- P(x=0)P(x=0)
= 1 = 1 -- 0,125 = 0, 8750,125 = 0, 875
0,25x1x)(3!0!
3!0,5x0,5x
0
3 02
0,25x1x
)(3!0!
3!0,5x0,5x
0
3 02
0,25x1x
)(3!0!
3!0,5x0,5x
0
3 02
0,25x1x
)(3!0!
3!0,5x0,5x
0
3 02
0,25x1x
)(3!0!
3!0,5x0,5x
0
3 02
0,25x1x
)(3!0!
3!0,5x0,5x
0
3 02
0,25x1x
)(3!0!
3!0,5x0,5x
0
3 02
0,25x1x
)(3!0!
3!0,5x0,5x
0
3 02
0,25x1x
)(3!0!
3!0,5x0,5x
0
3 02
0,25x0,5x
)(2!1!
3!0,5x0,5x
1
3 21
0,25x0,5x
)(2!1!
3!0,5x0,5x
1
3 21
= 1 = 1 -- 0,125 = 0, 8750,125 = 0, 875
f. f. P(P(x x ≤ ≤ 22)) = = P(x=0) + P(x=1) + P(x=0) + P(x=1) +
P(x=2) P(x=2)
== 0,125 + 0,375 + 0,375 0,125 + 0,375 + 0,375 = 0,875=
0,875
-
Pengertian
DDistribusi peristiwa yang jarang istribusi peristiwa yang
jarang terjadi terjadi (distribution of rare events)(distribution
of rare events)adalah distribusi kemungkinan adalah distribusi
kemungkinan teoritis dengan variasi random teoritis dengan variasi
random teoritis dengan variasi random teoritis dengan variasi
random discrete. Distribusi ini dianggap discrete. Distribusi ini
dianggap sebagai pendekatan pada distribusi sebagai pendekatan pada
distribusi binomial apabila n (banyaknya binomial apabila n
(banyaknya percobaan) adalah besar, percobaan) adalah besar,
sedangkan P (Probabilitas sukses) sedangkan P (Probabilitas sukses)
sangat kecil.sangat kecil.
-
RUMUS
P(X)P(X)==!x
e . μ -ux
= n . p = n . p
X = variabel random discrete 0,1,2,3 ……..X! = X . (X – 1) . (X –
2) ….. 2 . 1
e = bilangan irrational yang besarnya 2,718280! = 1
-
Contoh
Misalkan sebuah mobil diiklankan di surat Misalkan sebuah mobil
diiklankan di surat kabar untuk dijual. Surat kabar yang memuat
kabar untuk dijual. Surat kabar yang memuat iklan tersebut kita
misalkan mempunyai iklan tersebut kita misalkan mempunyai 100.000
pembaca. 100.000 pembaca. Jika kemungkinan seorang Jika kemungkinan
seorang akan membalas iklan tersebut 0,00002akan membalas iklan
tersebut 0,00002..
DDitanyakan :itanyakan :a.a. Berapa orangkah diharapkan akan
Berapa orangkah diharapkan akan a.a. Berapa orangkah diharapkan
akan Berapa orangkah diharapkan akan
membalas iklan tersebutmembalas iklan tersebut??b.b. Berapa
kemungkinannya bahwa yang Berapa kemungkinannya bahwa yang
membalas iklan tersebut hanya seorangmembalas iklan tersebut
hanya seorang??c.c. Berapa kemungkinannya tidak ada yang Berapa
kemungkinannya tidak ada yang
membalasmembalas??
-
Dik: Dik: nn == 100.000,100.000,pp == 0,000020,00002a. a. μμ== n
. pn . p
== 100.000 . 100.000 . 0,000020,00002== 22
jawaban
== 22RataRata--rata ada 2 orang yang rata ada 2 orang yang
membalas iklan tersebut.membalas iklan tersebut.
-
1!
e2 -21=
1
(0,13534)2
1
(0,13534)2
1
(0,13534)2
c. P(x=0)=
= 0,27068
e2 -20 (0,13534)1
b. P(x=1)=
c. P(x=0)=0!
e21
(0,13534)1= =0,13534
-
Contoh2
Apabila probabilitas bahwa seorang akan mati terkena penyakit
TBC adalah 0,001. Dari 2.000 orang penderita penyakit
tersebut berapa probabilitas :Tiga orang akan mati
Yang mati tidak lebih dari satu orangYang mati tidak lebih dari
satu orangLebih dari dua orang mati
-
Dik: Dik: nn == 2.000,2.000, p = 0,001p = 0,001 == 2.000 x 0,001
= 22.000 x 0,001 = 2
a.a. P(P(x=x=3)=3)= == == 0,180450,180453!e )2( -23
1.2.3
(0,13534).8
0,27068
b.b. P(xP(x≤1) = ≤1) = P(0) + P(1)P(0) + P(1) = =
P(x=0) =0!
e )2( -20 = 0,13534
P(x=1) =1!
e )2( -21
= 0,4060
0,4060
= 0,27068
-
c.c. P(X > 2) = 1 P(X > 2) = 1 -- P(2) P(1) P(0)
P(x=2) =2!
e )2( -220,27068=
Jadi P(X > 2) = 1 – (0,13534 + 0,27068 + 0,27068)
= 1 – 0,67670 = 0,3233
-
Mean dan Standard Deviasi Poisson
== n . Pn . P
== p.n
PROBABILITAS (PELUANG)
PENGERTIAN PROBABILITAS
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar dan
menggunakan kata probabilitas (peluang). Kata ini mengisyaratkan
bahwa kita berhadapan dengan sesuatu yang tidak pasti
(uncertainty).
Misalnya: (1) mungkin nanti dalam ujian Statistika kita akan
mendapat nilai A; (2) mungkin nanti hari akan hujan.
Peluang biasa diberi simbol P, dan dinyatakan dalam angka
positif, dengan minimum 0 dan maksimum 1. Sedangkan simbol untuk
kemungkinan tidak terjadinya, biasanya dinyatakan dengan , yaitu =
1- P.
Pengertian Peluang
Kalau P = 0: Berarti peristiwa itu tidak mungkin terjadi, atau
mustahil. Misalnya: timbulnya matahari di malam hari adalah
mustahil, maka mempunyai peluang sama dengan 0.
Kalau P = 1: Berarti peristiwa itu pasti terjadi, tidak mungkin
tidak terjadi. Misalnya: peluang darah mengalir di dalam badan
orang yang masih hidup adalah 1.
Dalam kehidupan sehari-hari peristiwa-peristiwa yang kita jumpai
mempunyai peluang antara 0 dan 1 (jarang yang tepat 0 atau tepat
1).
PROBABILITAS (PELUANG)
PENGERTIAN PROBABILITAS
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar dan
menggunakan kata probabilitas (peluang). Kata ini mengisyaratkan
bahwa kita berhadapan dengan sesuatu yang tidak pasti
(uncertainty).
Misalnya: (1) mungkin nanti dalam ujian statistik kita akan
mendapat nilai A; (2) mungkin nanti hari akan hujan.
Peluang biasa diberi simbol P, dan dinyatakan dalam angka
positif, dengan minimum 0 dan maksimum1. Sedangkan simbol untuk
kemungkinan tidak terjadinya, biasanya dinyatakan dengan , yaitu =
1- P.
Definisi Klasik (Classical Definition of Probability)
Apabila dalam sebuah ruang sampel yang berisi N buah titik
sampel yang equally likely dan mutually exclusive terdapat a buah
titik sampel yang menyokong suatu peristiwa A, maka peluang
terjadinya peristiwa A didefinisikan sebagai:
P(A) = a/N
Contoh 1:
Sebuah mata uang logam (coin) yang mempunyai dua permukaan (A
dan B) dilemparkan ke atas satu kali, maka probabilitas munculnya
permukaan A atau permukaan B di atas:
P(A) = ½ = 0,5 dan P(B) = ½ = 0,5.
Contoh 2:
Sebuah dadu yang mempunyai 6 permukaan yang sama, dilemparkan
satu kali, maka probabilitas munculnya satu permukaan di atas:
P(1) = 1/6; P(2) = 1/6
Contoh 3:
Dalam suatu permainan kita memilih sebuah kartu dari sebanyak 52
kartu bridge yang ada, maka probabilitas akan terpilih:
Satu kartu berwarna hitam: P(H) = 26/52 = 0,5
Satu kartu King: P(K) = 4/52
Definisi Empirik atau Statistik (Empirical /Statistical
Definition of Probability)
Probabilitas ditentukan berdasarkan observasi, ditentukan
berdasarkan pengalaman atau peristiwa-peristiwa yang telah
terjadi
Apabila dari N buah rentetan peristiwa terdapat t buah peristiwa
A, maka peluang terjadinya peristiwa A didefinisikan sebagai:
P(A) = Lim t/N
N→~
Contoh 1:
Berdasarkan pengalaman puluhan tahun lamanya di bidang
kedokteran, dari 100 orang yang terkena penyakit kanker paru-paru,
99 orang meninggal. Pada suatu saat Tuan A terkena penyakit ini.
Pertanyaan: Berapa peluang dia akan meninggal karena penyakit
tersebut?
P(A) = 99/100 = 0,99
Definisi Subyektif (Subjective Definition of Probability)
Probailitas ditentukan berdasarkan perasaan atau kira-kira
peneliti. Jadi cara ini dipengaruhi oleh pribadi seseorang sehingga
bersifat subyektif
Hukum-hukum Peluang (The Law of Probability)
Suatu peristiwa A yang pasti terjadi dan memenuhi: P(A) = 1
Suatu peristiwa A yang tidak mungkin terjadi dan memenuhi : P(A)
= 0
Akibat dari hukum 1 dan 2 maka untuk setiap peistiwa A yang
sembarang, akan memenuhi keadaan:
0 P(A) 1
4. Apabila A merupakan komplemen dari peristiwa A, maka
berlaku:
P(A) = 1 - P(A) atau P(A) + P(A) = 1
5. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa, maka
berlaku:
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A dan B)
6. ...........
Hukum-hukum Peluang (The Law of Probability)
6. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa yang mutually
exclusive, maka berlaku:
P(A U B) = P(A) + P(B)
7. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa conditional,
maka berlaku:
P(A dan B) = P(A) * P(B/A)
8. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa yang independen,
maka berlaku:
P(A dan B) = P(A) * P(B)
Hukum-hukum Peluang (The Law of Probability)
6. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa yang mutually
exclusive, maka berlaku:
P(A U B) = P(A) + P(B)
7. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa conditional,
maka berlaku:
P(A dan B) = P(A) * P(B/A)
8. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa yang independen,
maka berlaku:
P(A dan B) = P(A) * P(B)
MATHEMATICAL EXPECTATION (HARAPAN MATEMATIK)
Apabila P merupakan probabilitas dari seseorang untuk memperoleh
suatu jumlah Q, maka harapan matematik dari orang tersebut adalah
PQ (Q dapat berupa jumlah barang maupun uang). Apabila suatu gejala
deskrit yang diambil secara random diberi simbul X dengan
harga-harga X1, X2, ……… Xn dan probabilitas untuk mendapatkan
harga-harga tersebut P(X1), P(X2) ……… P(Xn) maka harapan matematik
dari X dinyatakan dengan rumus:
E(Xi) = X1 . P(X1) + X2 . P(X2) + ……. + Xn . P(Xn)
= X . P(X).
Contoh:
Apabila hujan terus-menerus, seorang penjual payung akan untung
Rp. 80.000,00 seharinya, tetapi apabila cuaca baik dia akan rugi
Rp. 20.000,00 seharinya. Berapa harapan matematiknya apabila
probabilitas hari akan hujan adalah 0,4.
Jawab:
X1= Rp. 80.000,00 dengan P(X1) = 0,4
X2= Rp. 20.000,00 dengan P(X2) = 1 – 0,4 = 0,6
E(A)= P(X1) . X1 – P(X2) . X2
= 0,4(80.000) – 0,6(20.000)
= 32.000 – 12.000
= Rp. 20.000,00
Contoh:
Seorang pengusaha bakso akan membuka cabangnya di salah satu
kampus UB atau UMM. Ia telah memperhitungkan dengan teliti dengan
dibukanya cabang di UB akan menghasilkan Rp. 8.000.000,00 tiap
tahun dengan kemungkinan 0,70, jika usahanya gagal ia akan
menderita rugi tiap tahun Rp. 3.500.000,00.
Kemungkinan berhasil apabila ia membuka cabangnya di UMM adalah
60% dengan mendapatkan laba tiap tahun Rp. 9.000.000,00 bila gagal
akan menderita rugi Rp. 3.000.000,00 tiap tahun. Di mana sebaiknya
ia harus membuka cabang?
Distribusi Peluang Diskrit
Distribusi Binomial
Distribusi Hipergeometrik
Distribusi Geometri
Distribusi Poisson
Distribusi Peluang Kontinu
Distribusi Normal
DISTRIBUSI PROBABILITAS
DISTRIBUSI BINOMIAL
Ciri-ciri Distribusi Binomial
Tiap percobaan memiliki dua hasil saja yakni: Sukses atau
Gagal.
Probabilitas sukses pada tiap-tiap percobaan haruslah sama dan
dinyatakan dengan p.
Setiap percobaan harus bersifat independent (bebas)
Jumlah percobaan yang merupakan komponen eksperimen binomial
harus tertentu.
RUMUS
P(x,n) =
x = 0, 1, 2, ...., N
0 < p < 1
Keterangan Rumus
n = Banyaknya peristiwa
p =Besarnya peluang terjadinya sukses
! = faktorial
n! = n(n-1)(n-2)...(3)(2)(1)
0! = 1
1! = 1
Misal : 3! = 3x2x1 = 6
Contoh
1 Dari 8 pria dan 7 wanita dipilih 4 pengurus yang terdiri dari
2 pria dan 2 wanita. Banyak cara pemilihan pengurus adalah...
A. 582
B. 588
C. 625
D. 720
E. 784
2 Dari 8 pria dan 7 wanita dipilih 4 pengurus yang terdiri dari
2 pria saja atau 2 wanita Saja. Banyak cara pemilihan pengurus
adalah...
A. 49
B. 56
C. 63
D. 70
E. 77
P= 8 ; 2
w= 7 ;2
Contoh
Pada pelemparan dadu 6 kali pelemparan, tentukan peluang ada 4
kali mata dadu yang terbaca.
Pada mesin foto copy selalu diperoleh 50 lembar yang cacat pada
setiap memfotocopy sebanyak 500 lembar, jika kita memfotocopy
sebanyak 3 lembar, berapakah peluang kita memperoleh 2 lembar yg
cacat.
Contoh:
Sebuah pengiriman 8 mikrokomputer yang serupa ke suatu jaringan
eceran berisi 3 yang cacat. Bila suatu sekolah melakukan suatu
pembelian acak 2 dari mikrokomputer ini,
Carilah distribusi probabilitas untuk jumlah yang cacat.
Carilah distribusi kumulatif untuk jumlah yang cacat.
Jawab (1):
24
Ambil X sebagai variabel random yang didefinisikan sebagai
banyaknya mikrokomputer yang cacat yang mungkin akan dibeli oleh
sekolah tersebut. Maka dapat dituliskan :
X = banyaknya mikrokomputer cacat yang mungkin akan dibeli oleh
sekolah
= 0, 1, 2
Sehingga dapat dihitung :
Jadi, distribusi probabilitas dari X adalah
x012
f(x)10/2815/283/28
Rumus distribusi probabilitas adalah
Jawab (2):
25
Distribusi kumulatif F(x) adalah :
F(0) = f(0) = 10/28
F(1)= f(0) + f(1) = 10/28 + 15/28 = 25/28
F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 10/28 + 15/28 + 3/28
= 1
Sehingga :
1, untuk x < 0
F(x) =10/28, untuk 0 x < 1
25/28, untuk 1 x < 2
1, untuk x 2
Contoh
Dua buah mata uang dilempar satu kali
Hitunglah:
a. Probabilitas tidak diperolehnya permukaan B
b. Probabilitas memperoleh satu permukaan B
c. Probabilitas memperoleh duapermukaan B
Dik : n = 2; X = 0, 1, 2
a. Probabilitas tidak mendapat permukaan B
P(0;2) =
= 0,25
b. Probabilitas satu permukaan B
P(1;2) =
= 0,50
c. Probabilitas mendapat 2 permukaan B
P(2;2) =
= 0,25
Contoh
Kalau 3 buah mata uang dilemparkan satu kali. Hitunglah
Probabilitas memperoleh:
a. Tidak ada permukaan B
b. 1 permukaan B
c. 2 permukaan B
d. 3 permukaan B
e. Paling sedikit 1 permukaan B
f. Paling banyak 2 permukaan B
Dik: n = 3; X = 0, 1, 2, 3
a. P(0;3)=
= 0,125
b. P(1;3)=
= 0,375
c. P(2;3) =
= 0,375
d. P(3;3) =
= 0,125
e.P(x≥1) = P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)
= 1 - P(x=0)
= 1 - 0,125 = 0, 875
f. P(x ≤ 2) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)
= 0,125 + 0,375 + 0,375
= 0,875
Distribusi Poisson
Pengertian
Distribusi peristiwa yang jarang terjadi (distribution of rare
events) adalah distribusi kemungkinan teoritis dengan variasi
random discrete. Distribusi ini dianggap sebagai pendekatan pada
distribusi binomial apabila n (banyaknya percobaan) adalah besar,
sedangkan P (Probabilitas sukses) sangat kecil.
34
RUMUS
P(X)=
=n . p
X =variabel random discrete 0,1,2,3 ……..
X! =X . (X – 1) . (X – 2) ….. 2 . 1
e =bilangan irrational yang besarnya 2,71828
0! =1
Contoh
Misalkan sebuah mobil diiklankan di surat kabar untuk dijual.
Surat kabar yang memuat iklan tersebut kita misalkan mempunyai
100.000 pembaca. Jika kemungkinan seorang akan membalas iklan
tersebut 0,00002.
Ditanyakan :
Berapa orangkah diharapkan akan membalas iklan tersebut?
Berapa kemungkinannya bahwa yang membalas iklan tersebut hanya
seorang?
Berapa kemungkinannya tidak ada yang membalas?
Dik: n =100.000,p =0,00002
a. μ=n . p
=100.000 . 0,00002
=2
Rata-rata ada 2 orang yang membalas iklan tersebut.
jawaban
=
c. P(x=0)=
= 0,27068
=
=0,13534
b. P(x=1)=
Contoh2
Apabila probabilitas bahwa seorang akan mati terkena penyakit
TBC adalah 0,001. Dari 2.000 orang penderita penyakit tersebut
berapa probabilitas :
Tiga orang akan mati
Yang mati tidak lebih dari satu orang
Lebih dari dua orang mati
Dik: n=2.000,p = 0,001
=2.000 x 0,001 = 2
P(x=3)= = = 0,18045
P(x≤1) = P(0) + P(1) =
P(x=0) =
= 0,13534
P(x=1) =
= 0,4060
= 0,27068
c.P(X > 2) = 1 -
P(x=2)=
0,27068
=
Jadi P(X > 2)=1 – (0,13534 + 0,27068 + 0,27068)
=1 – 0,67670 = 0,3233
Mean dan Standard Deviasi Poisson
=n . P
=
P)
-
(1
P
X
n
x
-
n
x
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
(
)
(
)
(
)
....
1
!
!
!
x
N
x
p
p
x
N
x
N
x
X
P
-
-
-
=
=
28
52/2
!
6
.
2
!
6
.
7
.
8
)
(6!
2!
8!
2
8
=
=
=
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
21
42/2
!
5
.
2
!
5
.
6
.
7
)
(5!
2!
7!
2
7
=
=
=
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
6
5
6
1
=
=
q
p
.
6
5
.
6
1
)
(
2
4
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
A
p
4
6
Ì
656
.
46
150
.
!
2
.
3
.
4
!
4
.
5
.
6
.
6
5
.
1
6
=
=
10
9
500
450
10
1
500
50
=
=
=
=
q
p
.
10
9
.
10
1
1
2
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
2
3
Ì
1000
27
.
!
1
.
2
!
2
.
3
.
10
9
.
1
3
=
=
28
10
2
8
2
5
0
3
)
0
(
)
0
(
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
=
=
X
P
f
28
15
2
8
1
5
1
3
)
1
(
)
1
(
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
=
=
X
P
f
28
3
2
8
0
5
2
3
)
2
(
)
2
(
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
=
=
X
P
f
2
,
1
,
0
,
2
8
2
5
.
3
)
(
)
(
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
=
=
x
untuk
x
x
x
f
x
X
P
0,25
x
1
x
)
(2!
0!
2
0,5
x
0,5
x
0
2
2
0
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
0,50
x
0,50
x
)
(1!
1!
2
0,5
x
0,5
x
1
2
1
1
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
1
x
0,25
x
1
x
)
(0!
2!
2
0,5
x
0,5
x
2
2
0
2
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
0,25
x
1
x
)
(3!
0!
3!
0,5
x
0,5
x
0
3
0
2
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
0,125
x
1
x
)
(3!
0!
3!
0,5
x
0,5
x
0
3
3
0
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
0,25
x
0,5
x
)
(2!
1!
3!
0,5
x
0,5
x
1
3
2
1
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
0,25
x
0,5
x
)
(1!
2!
3!
0,5
x
0,5
x
2
3
1
2
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
x1
0,125
x
)
(0!
3!
3!
0,5
x
0,5
x
3
3
0
3
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
!
x
e
.
μ
-u
x
1!
e
2
-2
1
1
(0,13534)
2
0!
e
2
-2
0
1
(0,13534)
1
3!
e
)
2
(
-2
3
1
.
2
.
3
(0,13534)
.
8
0!
e
)
2
(
-2
0
1!
e
)
2
(
-2
1
0,4060
0,27068
[
]
P(2)
P(1)
P(0)
+
+
2!
e
)
2
(
-2
2
p
.
n