probabilitas

probabilitas

prasetyadi

probabilitas (kebolehjadian)

• salah satu hal yang menjadi pertanyaan manusia adalah tentang kemungkinan sesuatu akan terjadi..

• Misalnya :berapa besar kemungkinan saya akan lulus dari suatu matakuliah, jika saya mendapatkan nilai d pada ujian tengah semesteratau berapa besar kemungkinan saya akan untung dengan melakukan investasi pada bidang tertentu.

Probabilitas (kebolehjadian)

Suatu peristiwa mempunyai probabilitas 1, jika peristiwa itu pasti terjadi.

Suatu peristiwa mempunyai probabilitas 0, jika peristiwa itu pasti tidak terjadi

Misalnya :saudara mengambil matakuliah statistik (wajib di teknik

mesin) adalah suatu peristiwa yang mempunyai probabilitas 1

saudara kuliah pada jurusan komunikasi di universitas sanata dharma adalah suatu peristiwa dengan probabilitas 0

probabilitas dan statistik

• Jika dipunyai sekumpulan data atau grafik, apa makna data – data tersebut ?

• Misalnya, mean motor mahasiswa di parkiran adalah 3 tahun 4 bulan. Berapakah kebolehjadian seorang mahasiswa membawa motor berusia 6 tahun ? Jika mean waktu mahasiswa kuliah adalah 5,6 tahun, dan biaya mahasiswa kuliah tiap tahunnya adalah 13 juta, berapakah probabilitas seseorang menyiapkan biaya perkuliahan 26 juta >

probabilitas kejadian-kejadian

• Probabilitas suatu kejadian terjadi menyatakan frekuensi relatif yang menyatakan suatu kejadian dapat diharapkan terjadi

• Cara memperoleh probabilitas :a. Empiris : dengan menguji (percobaan)b. Teoritis : menggunakan aturan probabilitasc. Subjektif : diputuskan secara personal

(biasanya berbasis kepakaran)

Probabilitas eksperimen

( )'

n AP A

n

P’(A) = adalah kebolehjadian An(A)= banyaknya kejadian A munul dalam eksperimenn = jumlah eksperimen

Misal :Dalam suatu percobaan lempar koin sebanyak 10 kali (n), diperoleh 7 kali gambar muncul (n(A)). Maka probabilitas gambar muncul berdasarkan eksperimen tersebut adalah 0.7

Andaikan dilakukan suatu percobaan pelemparan dadu. Setiap percobaan dilakukan 6 kali pelemparan. Kemudian dicatat berapa kali mata dadu 1 keluar untuk setiap percobaan.

Dalam setiap pelemparan dadu, dimiliki probabilitas keluarnya mata dadu 1 P(1) = 1/6 dengan asumsi semua sisi adalah sama, sehingga semua sisi dadu mempunyai kemungkinan keluar yang sama.

Dapat dibuat tabel hasil percobaan sebagai berikut

Per cobaan ke- Jumlah angka 1 muncul

Frekuensi Relatif Kumulatif frekuensi relatif

1 1 1/6 1/6 =0.167

2 2 2/6 3/12

3 0 0/6 3/18

4 1 1/6 4/24

5 0 0/6 4/30

6 1 1/6 5/36

7 2 2/6 7/42

8 2 2/6 9/48

9 0 0/6 9/54

10 0 0/6 9/60

11 1 1/6 10/66

12 2 2/6 12/72

13 0 1/6 13/81

14 1 1/6 14/90=0.155

Catatan atas hasil di atas

• Hasil percobaan menunjukkan bahwa munculnya dadu 1 pada setiap percobaan disekitar nilai yang diharapkan (probabilitas teori , yaitu 1/6)

• Semakin banyak percobaan, kumulatif frekuensi relatifnya semakin mendekati probabilitas yang diharapkan

• Hukum Jumlah BesarJika jumlah pengulangan percobaan ditambah, perbandingan kejadian yang diharapkan berlangsung akan cenderung mendekati probabilitas teori yang diharapkan pada setiap percobaan

Ruang Sampel Sederhana• Eksperimen :

adalah proses untuk mendapatkan suatu hasil observasi• Keluaran :

Hasil tertentu suatu eksperimen• Ruang Sampel

Himpunan semua kemungkinan kejadian yang merupakan suatu keluaran eksperimen.

• Kejadian:Setiap himpunan bagian ruang sampel. Jika A adalah suatu kejadian, maka n(A) adalah bilangan yang menyatakan keluaran suatu eksperimen yang menyusun kejadian A

Contoh pelemparan koin 1000 an dan 500 an

1000 an 500 an Keluaran

G G G,G

A G,A

A G A,G

A A,A

Ruang Sampel S ={(G,G),(G,A),(A,G),(A,A)}n(S) = 4

Pada suatu pelemparan daduS={1,2,3,4,5,6} dan n(S)=6

Aturan Probabilitas

n A

P An S

Sifat – sifat0≤P(A)≤1∑P(A) = 1 (seluruh keluaran yang mungkin)

Komplemen 1P A P A

1P A P A

Probabilitas Kejadian Komposit

• Kejadian – kejadian (event) komposit tersusun dari kejadian – kejadian sederhana

• Dasar komposit kejadianProbabilitas peristiwa A atau B terjadi. P(A) atau P(B)Probabilitas peristiwa B dan peristiwa A terjadi, P(B) danP(A)Probabilitas A terjadi jika B terjadi P(A|B)

probabilitas komposit

• Mutually Exclusive Events (Kejadian Yang Saling Ekslusif):Merupakan kejadian yang terjadinya kejadian tersebut mengakibatkan kejadian yang lain tidak boleh terjadi.

• Contoh :Misalnya, pada suatu kantor dipunyai 100 karyawan, 60 karyawannya adalah fulltime, sedangkan 40 karyawannya adalah partime. Jika diambil sembarang karyawan. A adalah kejadian terpilih karyawan fulltime, B adalah terpilih karyawan partime. Kejadian A dan B adalah bersifat salih eksklusif.

• Jika dari 60 karyawan tetap, 45 karyawan pria dan 15 karyawan wanita, dan dari 40 karyawan partime, 15 karyawan pria dan 25 karyawan wanita. Kejadian C adalah kejadian terpilihnya karyawan wanita dan kejadian D adalah kejadian terpilih karyawan pria.

• Kejadian A dan C tidak saling ekslusif, tetapi mempunyai interseksi (perpotongan).

45 2515

A C

P (A atau B) : Penjumlahan

• P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(A dan B) Jika A dan B saling ekslusif ( P(A dan B) = 0)

P(A atau B) = P(A) + P(B)

P(A) P(B)P(A dan B)

Aturan Penjumlahan

• Pada contoh karyawan sebelumnya, probabilitas kejadian terpilihnya karyawan perempuan atau tetap P( A atau C ) adalah

• P( A atau C ) = P (A) + P( C ) – P(A dan C)

60

100

n AP A

n S

40

100

n CP C

n S

dan 15

dan 100

n A CP A C

n S

atau 0,6 0,4 0,15 0,85P A C

• Dua buah dadu hitam dan putih, hitunglah kemungkinan munculnya mata dadu putih kurang atau sama dengan 3, dan jumlah kedua mata dadu 9 atau lebih.

• Karena P ( A ) = 1/2• Karena P ( B ) = 10 / 36• Karena P ( A dan B ) = 1/36• Maka P( A atau B )= ½ + 10/36 – 1/36 = 0.75

Kejadian Saling Bebas

• Kejadian saling bebas adalah kejadian – kejadian yang jika dan hanya jika terjadinya suatu kejadian tidak mempengaruhi kemungkinan kejadian lainnya.

• MisalnyaDalam pelemparan 2 buah dadu, hitam dan putih. Munculnya angka 2 pada dadu putih, tidak berpengaruh pada munculnya angka 2 pada dadu hitam.

Perkalian pada kejadian saling bebas

• Pada kasus A dan B saling bebas, P( A dan B ) = P(A) x P (B).

• Contoh2 buah dadu, hitam dan putih dilemparkan bersama. Berapakah kebolehjadian munculnya mata dadu 2 pada hitam dan 5 pada putih.P(A) = 1/6, P(B)=1/6, sehingga P(A dan B) = 1/36

Probabilitas Bersyarat

• P(A|B) menyatakan kebolehjadian A terjadi jika B terjadi, disebut sebagai probabilitas bersyarat.

Kejadian – kejadian dikatakan saling bebas jika dan hanya jikaP(A|B) = P(A) dan P(B|A) = P(B)

• Jika dilemparkan satu dadu, dan didefiniskan dua buah kejadian A = keluar angka 4, B keluar angka genap.

• Diketahui bahwa P ( A ) = 1/6• Diketahui bahwa P ( B ) = ½

dan

|n A B P A B

P A Bn B P B

1

16|1 32

P A B

Perkalian (Umum)

• P(A dan B) = P(A) x P(B | A)Atau

P(A dan B) = P(B) x P(A | B )

Ringkasan

• Kejadian yang saling eksklusif adalah kejadian – kejadian yang tidak mungkin terjadi secara bersamaan.

• Kejadian yang saling bebas adalah kejadian – kejadian yang saling tidak mempengaruhi kebolehjadian kejadian lainnya.

• Suatu kejadian tidak mungkin akan saling eksklusif sekaligus saling bebas.

Contoh soal

Manakah kejadian – kejadian berikut yang saling independena. Melempar dadu : mendapatkan 1 pada lemparan pertama dan 1

pada lemparan ke dua.b. Mendapatkan sekop saat mengambil 1 kartu dan mendapatkan

sekop lagi dari tumpukan yang sama, jika kartu tadi tidak dikembalikan

c. Mendapatkan sekop saat mengambil 1 kartu dan mendapatkan sekop lagi dari tumpukan yang sama, jika kartu tadi dikembalikan

d. Memiliki mobil berwarna merah dan rambut ikale. Memiliki mobil berwarna merah dan roda besarf. Mempersiapkan ujian dan lulus dari ujian tersebut

A, C.D

Contoh soal

• Jika P(A) = 0.3 dan P(B)=0.4, sedangkan P(A dan B)= 0.12, tentukanlah :

a. P(A|B)b. P(B|A)c. Apakah A dan B saling independen ?

Bagaimana jika P(A)=0.3, P(B)=0.4 dan P(A dan B)=0.2 ?

dan 0.12

| 0.30.4

P A BP A B

P B

( dan ) 0.12

| 0.40.3

P B AP B A

P A

Contoh Soal

• Dipunyai P(A)=0.3, P(B)=0.4, P(A|B)=0.2Tentukanlah P(A atau B) ?

dan |

dan | 0.2 0.4 0.08

P A BP A B

P B

sehingga

P A B P A B P B

atau dan

atau 0.3 0.4 0.08 0.62

P A B P A P B P A B

sehingga

P A B

Contoh soal

Seorang anak mempunyai 2 permen jeruk dan 3 permen strawbery di dalam kantong.

a. Berapa kemungkinan ia mengambil permen jeruk dan memakannya ?

b. Berapa kemungkinan ia kembali mendapatkan permen jeruk ?

c. Berapakah kemungkinan ia mendapatkan permen jeruk dan diikuti permen jeruk?

2

5

1

4

2 1 1

5 4 10

Tinjuaan soal di atas

• Jumlah kemungkinan mula – mula = 5, jumlah permen jeruk 2

• Anak mengambil permen jeruk dan memakannya = P(A) = 2/5

• Jumlah kemungkinan yang tersisa = 4, jumlah perment jeruk 1

• Anak kembali mengambil permen jeruk dan memakannya = P(B|A)=1/4

• Anak mengambil permen jeruk (tanpa mengembalikan) dan diikuti permen jeruk = P(A dan B) = 0.1

Soal

• Anak mempunyai 5 kelereng merah dan 3 kelereng putih. Berapakah kemungkinan anak mengambil kelereng 2 merah dan 1 putih

5 4 3 60

8 7 6 336

5! 3!20 3 603! 2!

8! 336 3365!

Kombinasi

• Banyaknya kemungkinan kejadian – kejadian komposit tanpa memandang urutannya

!

!nN

NC

N n

Contoh soal

• Tracy bermain bridge di satu meja, dan bermain poker di meja lain. Kebetulan ia mendapatkan suatu kombinasi kartu yang sama. Berapakah probabilitas ia mendapatkan kartu tersebut?

13 1352 52

26104

*C C

C

Merah HitamBiru Putih

Honda 25 30 20 40 115

Yamaha 25 15 10 10 60

Suzuki 20 15 10 15 60

Kawasaki 2 4 4 5 15

72 64 44 70 2501. Probabilitas orang memilih warna merah2. Probabilitas orang memilih warna merah atau hitam merek

honda ?3. Probabilitas orant tidak meilih warna merah atau honda4. Apakah pemiihan warna merah dan merek honda saling

bebas ?