UNIVERSITA ` di ROMA TOR VERGA T A Corso di Laur ea in Matemat ica Corso di PS2-Probabilità 2, P.Baldi 2 ◦ esonero, 27 maggio 2010 Le risposte devonoessere motivate Esercizio 1Sia (X n ) n una successione di va. di densità f(t) = 0 set ≤ 1 c tα+1 set >1 dove α è un numero>0. a) Determinare la costante c in modo chefsia una densità. b) Poniamo Mn = max(X 1 ,...X n ) . Mostrare che la successione 1 n 1/α Mn conve rge in legge e determinare la f.r. della legge limite. Esercizio 2 Siano X 1 ,...,X 900 v .a. di Ber noull i B( 1, p) indipendenti e poniamo X= 1 900 (X 1 + ... + X 900 ). a) Usando l’approssimazione normale, quanto vale P(X ≥ 0.22)se p= 0.20 ? b) Usando l’approssimazione normale, quanto vale P(X ≤ 0.22)se p= 0.24 ? c) Qual e delle due pr obabi lità in a) e b) è più grande? Esercizio 3Consideriamo la matrice di transizione P= 0 1 0 0 0 1 1 9 8 9 0 a) È irriducibile? Regolare? b) Quali sono le sue distribuzioni invarianti? c) Calcolare il tempo medio di passaggio in 1 partendo da 3. Esercizio 4Consideriamo la catena di Markov sui vertici del grafo della Figura 0.1 (vedi pagina successiva) . Ad ogni transizione la catena si sposta dalla posizione in cui si trova ad uno dei vertici contigui, scelto a caso. a) Qual è la distribuzione invariante di questa catena? È unica? Si tratta di una catena regolare? b) Quantote mp o in media occorr e pe r gi un ge re in 1 pa rt en doda un o de gl i stati 5,..., 10 ?
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Corso di PS2-Probabilità 2 , P.Baldi2◦ esonero, 27 maggio 2010
Le risposte devono essere motivate
Esercizio 1 Sia (Xn)n una successione di va. di densità
f(t) =
0 se t ≤ 1c
t α+1 se t > 1
dove α è un numero > 0.a) Determinare la costante c in modo che f sia una densità.b) Poniamo
M n = max(X1, . . . Xn) .
Mostrare che la successione1
n1/αM n
converge in legge e determinare la f.r. della legge limite.
Esercizio 2 Siano X1, . . . , X900 v.a. di Bernoulli B(1, p) indipendenti e poniamo X =1
900 (X1 + . . . + X900).
a) Usando l’approssimazione normale, quanto vale P(X ≥ 0.22) se p = 0.20?b) Usando l’approssimazione normale, quanto vale P(X ≤ 0.22) se p = 0.24?c) Quale delle due probabilità in a) e b) è più grande?
Esercizio 3 Consideriamo la matrice di transizione
P = 0 1 0
0 0 119
89 0
a) È irriducibile? Regolare?
b) Quali sono le sue distribuzioni invarianti?c) Calcolare il tempo medio di passaggio in 1 partendo da 3.
Esercizio 4 Consideriamo la catena di Markov sui vertici del grafo della Figura 0.1 (vedipagina successiva). Ad ogni transizione la catena si sposta dalla posizione in cui si trova aduno dei vertici contigui, scelto a caso.
a) Qual è la distribuzione invariante di questa catena? È unica? Si tratta di una catenaregolare?
b) Quanto tempo in media occorre per giungere in 1 partendo da uno degli stati 5, . . . , 10?
Per concludere che la successione converge in legge occorre ora verificare che il limite dellef.r. è effettivamente una f.r. Basta per questo osservare che G è una funzione crescente eche, posto
G(t) =
e−t −αper t > 0
0 altrimenti
si halim
t →−∞G(t)
=0, lim
t →+∞G(t)
=1
Dunque G èunafunzionediripartizioneelasuccessione ( 1n1/α M n)n effettivamente converge
in legge.
Esercizio 2. Ricordiamo che la varianza di una v.a. B(1, p) è p(1 − p) e dunque perl’approssimazione normale la v.a.
√ 900√
p(1 − p)(X − p)
è approssimativamente N (0, 1).a) Si ha p = 0.2, 1 − p = 0.8 e dunque, indicando al solito con la funzione di
Un calcolo esatto con la f.r. di una legge B(900, p) avrebbe dato i valori 0.068 per a) e0.085 per b).
c) Evidentemente b).
Esercizio 3. a) Con la proprietà transitiva si vede facilmente che gli stati comunicano traloro e quindi che la catena è irriducibile. Per la regolarità, con un po’ di pazienza si vede
che P
5
ha tutti gli elementi > 0 (n = 3 non basta perché non si può andare da 3 a 2 in trepassi e neanche n = 4 perché p(4)11 = 0).
b) La distribuzione invariante è unica perché la catena è irriducibile. Per trovarla ciriconduciamo al sistema
v1 = 19 v3
v2 = v1 + 89 v3
v1 + v2 + v3 = 1
Dalle due prime equazioni si ricava v1 = 19 v3 e poi v2 = v3. Sostituendo nella terza si
trova v3 =9
19 e dunquev = ( 1
19 , 919 , 9
19 )
c) Indicando con ζi , i = 2, 3 i tempi medi di passaggio in 1 partendo da i rispettivamente,sappiamo che questi sono soluzione del sistema
ζ2 = 1 + ζ3
ζ3 = 1 + 89 ζ2
Si trova facilmente, sostituendo, che ζ3 = 1 + 89 (1 + ζ3) = 179 + 89 ζ3 e dunque ζ3 = 17.
Esercizio 4. a) Tutti gli stati comunicano tra loro, perché il grafo è connesso; dunque lacatena è irriducibile e la distribuzione stazionaria è unica. Per calcolarla basta ricordare cheper una catena di Markov sui vertici di un grafo c’è una formula esplicita della distribuzionestazionaria: se ki è il numero di spigoli del grafo che arrivano nel vertice i e k è la sommadei numeri ki , allora
è la distribuzione invariante. Qui ki è uguale a 3 per i vertici 1, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 5 per ivertici 2, 3, 4. Dunque k = 7 · 3 + 3 · 5 = 36. La distribuzione invariante vale 1
12 per glistati 1, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 5
36 per gli altri.La catena è regolare perché basta verificare che da ogni stato si può giungere con prob-
abilità positiva in tutti gli altri in 3 passi.c) Il tempo medio di passaggio nella classe C = {1} è evidentemente lo stesso partendo
da uno degli stati 5, . . . , 10, come pure sarà lo stesso partendo da 2, 3, 4. Indichiamoζ1 il tempo medio partendo dagli stati ‘‘esterni’’ e ζ2 quello partendo da quelli interni.Osservando che gli stati esterni comunicano in un passo con altri due stati esterni e con unointerno (probabilità di transizione = 1
3 ), mentre quelli interni comunicano ognuno con dueesterni e due interni (probabilità di transizione = 1
5 ), i numeri ζi , i = 1, 2 sono soluzione di
ζ1 = 1 + 23 ζ1 + 1
3 ζ2
ζ2 = 1 + 25 ζ1 + 25 ζ2
Dalla prima equazione si ricava ζ1 = 3 + ζ2. sostituendo questo valore nella secondaequazione si trova
ζ2 = 1 + 25 (3 + ζ2) + 2
5 ζ2 = 115 + 4
5 ζ2
e quindi ζ2 = 11 e poi ζ1 = 14 , che è il tempo medio richiesto.
Esercizio 1 a) Sia (Xn)n una successione di v.a. tale che Xn ∼ N (µn, σ 2n ), dove µn → µ ∈R e σ 2n → σ 2 > 0. Mostrare che la successione converge in legge ad una v.a. N(µ,σ 2).
b) Sia (Xn)n una successione di v.a. tale che, per ogni n, Xn segua una legge di Poissondi parametro λn e supponiamo che λn → λ > 0. Mostrare che la successione converge inlegge ad una v.a. di legge di Poisson di parametro λ.
c) Sia (Xn)n una successione di v.a. tale che, per ogni n, Xn ∼ Ŵ(α, λn) e supponiamoche λn → λ > 0. Mostrare che la successione converge in legge ad una v.a. di leggeŴ(α, λ).
Esercizio 2 Sia (Xn)n una successione di v.a. indipendenti uniformi su [0, 1].a) Calcolare media e varianza delle v.a. Y n = cos(2π Xn)
b1) Poniamo
Y n = 1
n
nk=1
cos(2π Xk) .
Mostrare che la successione (Y n)n converge in probabilità e determinarne il limite.b2) Calcolare il limite
limn→∞ P(|Y n| > 1
10√
n)
Esercizio 3 Sia (Xn)n una successione di v.a. i.i.d. di legge
P(Xn = 12 ) = P(Xn = 2) = 1
2
a) Quanto vale E(log Xn) ?b) Mostrare che la successione Y n = (X1 . . . Xn)1/n converge in probabilità e determi-narne il limite.
c) Mostrare che la successione Y n = (X1 . . . Xn)1/√
n converge in legge e determinarnela legge limite.
Esercizio 4 Una sorgente produce segnali binari di lunghezza n senza memoria (cioè i valoridi bit diversi sono tra di loro indipendenti) e nei quali ogni bit può assumere i valori 0 oppure1 con probabilità 0.8 e 0.2 rispettivamente.
a) Qual è la probabilità che per n = 1000 la sorgente produca un segnale in cui laproporzione pn di 1 sia più grande di 0.23?
b) Fissiamo ε = 10−2 e continuiamo a indicare con pn la proporzione di 1 in unmessaggio di lunghezza n. Quanto deve essere grande n perché l’eventualità di osservare
un segnale in cui pn differisca da 0.2 per più di ε si verifichi con probabilità minore diη = 4 · 10−3 ?
Esercizio 5 In un esperimento occorre misurare una certa quantità µ. Lo strumento dimisura aggiunge all’osservazione un errore sperimentale che si può modellizzare con unav.a. X di media 0 e varianza 1. Si può inoltre supporre che errori di misurazioni che siriferiscono a misurazioni diverse siano indipendenti.
Per ottenere una misura si effettuano n misurazioni e poi si stima µ con la media empiricaXn delle misurazioni ottenute.
a) Qual è la probabilità di commettere un errore più grande di 1100 , se n = 400?
b) Volendo che Xn stimi µ amenodi 1100 con la probabilità del 99%, quanto deve esseregrande n?
c) Volendo che Xn stimi µ amenodi 1120 con la probabilità del 90%, quanto deve essere
Esercizio 1. a)Sappiamochese Xn ∼ N (µn, σ 2n ), allora Xn èdellaforma Xn ∼ σ nZn+µn,dove Zn ∼ N (0, 1). Dunque, indicando con F n la f.r. di Xn,
F n(t) = P(Xn ≤ t) = P(Zn ≤ t −µnσ n ) = ( t −µn
σ n ) →n→∞ ( t −µσ ) = P(σ Z + µ ≤ t ),
dove Z è una v.a. N (0, 1). Poiché σ Z + µ ∼ N(µ,σ 2), abbiamo concluso. Lo stessorisultato si sarebbe potuto ottenere usando le funzioni caratteristiche: la f.c. di Xn è θ →eiµnθ e− 1
2 σ 2n θ 2, mentre quella di una v.a. N(µ,σ 2) è θ → eiµθ e− 1
2 σ 2θ 2. È ora immediato
cheeiµnθ e− 1
2 σ 2n θ 2 →n→∞ eiµθ e− 1
2 σ 2θ 2
per ogni θ ∈ R. Basta ora applicare il Teorema di P. Lévy.
b) Si haP(Xn = k) = e−λn
λkn
k!→
n→∞ e−λ λk
k!= P(X = k)
dove X indica una v.a. di Poisson di parametro λ, che permette di concludere. Anche inquesto caso si sarebbe potuto applicare il Teorema di P. Lévy, ricordando che la f.c. di unav.a. di Poisson di parametro λ è θ → eλ(eiθ −1)
Dunque la legge congiunta di Xn e S n è la stessa di quella di X1 e S n. Dunque le leggi
condizionali di X1 dato S n = y e quella di Xn dato S n = y sono le stesse. Dunque le
risposte alle questioni a) e b) rimangono le stesse. Per un ragionamento analogo, anche la
risposta alla questione a) resta la stessa.
Esercizio 2. a) La funzione di ripartizione di M n vale 0 per t ≤
0 e 1 per t ≥
1. Se
0 ≤ t ≤ 1,
F M n (t) = P(M n ≤ t) = P(X1 ≤ t , . . . , Xn ≤ t) = P(X1 ≤ t ) . . . P(Xn ≤ t ) = t n .
Dunque
limn→∞ F M n (t) =
0 se t < 1
1 se t ≥ 1
che è la funzione di ripartizione di una v.a. che assume il valore 1 con probabilità 1. La
convergenza ha luogo anche in probabilità, infatti
P(|M n−1| ≥ ε) = P(M n ≥ 1+ε)+P(M n ≤ 1−ε) = 1−F M n (1+ε)+F M n (1−ε) →n→∞ 0.
(infatti 1−F M n (1+ε) mentre F M n (t) →n→∞ 0 per ogni t < 1) c) Si ha P(Zn ≤ t) = 0
per t < 0 mentre per t ≥ 0
P(Zn ≤ t) = P(1 − M n ≤ t n
) = P(M n ≥ 1 − t n
) = 1 − P(M n ≤ 1 − t n
) == 1 − (1 − t
n)n = 1 − e−t
che è la funzione di ripartizione di una v.a. esponenziale di parametro 1.Esercizio 3. a) φ è una funzione infinite volte derivabile e dunque X ha finiti i momenti
di tutti gli ordini. E(X) = 0 perché, dato che φ è una funzione reale, la v.a. X ha legge
simmetrica (X ∼ −X) e dunque speranza matematica uguale a 0. Ad ogni modo le due
Esercizio 1 Siano X, Y v.a. indipendenti di legge Ŵ(2, λ). Calcolare densità e la media
della v.a. Z = min(X,Y).
Esercizio 2 Un punto viene scelto a caso nel cerchio (pieno) di raggio R con distribuzione
uniforme.
a) Qual è la probabilità che esso disti dall’origine più di r (0 ≤ r ≤ R) ?
b) n punti vengono scelti indipendentemente e con distribuzione uniforme sul cerchiodi raggio R. Qualè la probabilità che la minima distanza dall’origine sia maggiore di r ?
Qual è la probabilità che la minima distanza dall’origine sia maggiore di r√ n
? Quanto vale
il limite di questa probabilità per n → ∞?
Esercizio 3 Sia (Xn)n una successione di v.a. i.i.d. di legge
P(Xn = 12
) = P(Xn = 2) = 1
2
a) Quanto vale E(log Xn) ?
b) Mostrare che la successione Y n = (X1 . . . Xn)1/n converge in probabilità e determi-
narne il limite.
c) Mostrare che la successione Y n = (X1 . . . Xn)1/√
n converge in legge e determinarne
la legge limite.
Esercizio 4 Un’urna contiene inizialmente 2 palline rosse (R) e 2 palline nere (N ). Due
giocatori, A e B, giocano con le regole seguenti.
Viene lanciata una moneta: con probabilità p, 0 ≤ p ≤ 1, la composizione dell’urna
non viene modificata. Con probabilità 1 − p invece si effettua un’estrazione: se la pallina
estratta è N , essa viene messa da parte, se la pallina estratta è R essa viene rimessa nell’urna
insieme ad una nuova pallina N .Il giocatore A vince non appena nell’urna ci sono 4 palline N , B vince non appena
nell’urna non ci sono più palline N .
Indichiamo con Xn il numero di palline nere nell’urna al tempo n.
a) Scrivere la matrice di transizione, P , di questa catena.
b) Qual è, al variare di p, la probabilità che il giocatore A vinca?
c) Quanto dura in media, al variare di p, la partita?
a) Qual è la probabilità invariante di questa catena? È unica? Si tratta di una catenaregolare?
b) Supponiamo ora che gli stati 4 e 5 siano assorbenti. Qual è la probabilità partendoda 2 di arrivare in 4 in un tempo finito?
Esercizio 2 La v.a. Y è esponenziale di parametro λ mentre X ha una densità condizionaledato Y = y che è di Weibull di parametri α e y, cioè
f X|Y
(x|y)
=αyxα
−1e
−yx α
, x > 0
a) Qual è la densità di X ?b) Qual è la densità condizionale di Y dato X = x ? Si tratta di una densità nota? Qual
è la media condizionale di Y dato X = x ?
Esercizio 3 Siano X, Y v.a. indipendenti N (0, 1).a) Determinare la legge e la densità della v.a. (X + Y, X − 2Y ).b) Determinare il valore α in maniera che le v.a. X − 2Y e X + αY siano indipendenti.
Esercizio 4 Sia (Xn)n una successione di v.a. indipendenti uniformi su [0, 1].
a) Calcolare media e varianza delle v.a. Y n = cos(2π Xn)b1) Poniamo
Y n = 1
n
nk=1
cos(2π Xk) .
Mostrare che la successione (Y n)n converge in probabilità e determinarne il limite.b2) Calcolare il limite
Esercizio 1. a) La regoletta sulla legge stazionaria delle passeggiate a caso sui grafi affermache la distribuzione
v1 = v4 =1
6 , v2 = v3 = v5 =1
4(qui il numero totale di spigoli uscenti dai vertici è k = 12). Essa è l’unica distribuzionestazionaria, dato che il grafo è connesso e quindi la catena è irriducibile. Per la regolaritàsi vede, con un po’ di pazienza, che in quattro passi si può andare con probabilità positivada uno stato a qualunque altro. Attenzione: tre passi non sono sufficienti perché in tre passinon si può andare con probabilità positiva da 1 a 1 o da 4 a 4.
b) Le probabilità di assorbimento in 4 quando gli stati 4 e 5 sono assorbenti partendodagli stati 1, 2 o 3 sono la soluzione del sistema
λ1 =1
2 +1
2 λ2λ2 = 1
3 λ1 + 13 λ3
λ3 = 13 + 1
3 λ2
esprimendo λ1 e λ3 in funzione di λ2 a partire dalla prima e dalla terza equazione rispetti-vamente e sostituendo nella seconda equazione, questa diviene
λ2 = 16 λ2 + 1
6 + 19 λ2 + 1
9
ovvero 1318 λ2
=5
18 e quindi
λ2 = 513
Anche se non esplicitamente richiesto si possono ora anche calcolare immediatamente ivalori
λ1 = 913 , λ3 = 6
13
Esercizio 2. (Questo è l’Esercizio 1 del Tutorato 5) a) La densità congiunta di X e Y è
f ( x, y) = λαyxα−1e−yx α
e−λy
per x > 0, y > 0 ed è 0 altrimenti. Dunque la densità di X è
f X(x) = +∞
−∞f ( x, y) dy =
+∞
0λαyxα−1e−y(λ+xα ) dy = αλx α−1
(λ + xα )2
b) La densità condizionale di Y dato X = x è, per y > 0,
Esercizio 3. a) Le due v.a. X + Y e X − 2Y , sono congiuntamente gaussiane, dato che(X + Y, X − 2Y ) è una funzione lineare di (X,Y). Occorre quindi unicamente calcolare lamedia e la matrice di covarianza C. La media è evidentemente uguale a 0. Per la matricedi covarianza si trova
Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) = 2
Var(X − 2Y ) = Var(X) + 4 Var(−Y ) = 5
Cov(X + Y, X − 2Y ) = Var(X) − 2 Var(Y ) = −1
Dunque
C =
2 −1−1 5
Si ha det C = 9, dunque C è invertibile e (X + Y, X − 2Y ) ha una densità congiunta. Percalcolarla occorre prima trovare l’inversa di C:
C−1 = 1
9
5 11 2
Le densità è quindi, ponendo z = (u, v),
f(u,v) = 1
2π√
9e− 1
2 C−1z,z = 1
2π√
9exp
−1
2( 5
9 u2 + 29 v2 + 2
9 uv)
b) Come in a) le v.a. X − 2Y e X + αY sono congiuntamente gaussiane. Perché sianoindipendenti basta dunque che siano non correlate. Ora
Esercizio 1 a) Volendo modellizzare l’evoluzione della disoccupazione in un certo ambitosociale, si è considerato un modello costituito da una catena di Markov a due stati: 0(disoccupato) e 1 (impiegato), con la matrice di transizione
P = 0.6 0.4
0.1 0.9
Qual è, a regime, la proporzione di disoccupati con questo modello?b) Si è ritenuto poi che il modello precedente non catturasse bene tutti gli aspetti del
problema. In effetti occorre distinguere tra disoccupati di lungo periodo e di corto periodo,per i quali le probabilità di reinserimento sono diverse. Dunque un modello a due stati, peressere corretto dovrebbe risultare non markoviano (perché?). Si è proposto allora il modelloseguente a tre stati: 1 (disoccupati di lungo periodo) 2 (disoccupati di corto periodo) e 3(impiegati). La matrice di transizione considerata è ora
P =
0.9 0 0.10.1 0.6 0.30 0.1 0.9
Si tratta di una catena di nascita e morte? Qual è la probabilità stazionaria di questa catena?Quanto vale ora la proporzione di disoccupati a stazionarietà?
Esercizio 2 Per 0 ≤ α ≤ 12 consideriamo la catena di Markov su {1, 2, 3} associata alla
matrice di transizione
0 14
34
α 1 − 2α α34
14 0
a) Mostrare che, se 0 < α ≤ 1
2 , la catena è irriducibile e regolare.b) Supponiamo α = 1
4 . Calcolare la distribuzione stazionaria della catena. La catenaè reversibile?
c) Supponiamo α = 0. Determinare gli stati ricorrenti e quelli transitori.d) Cosa si può dire di limn→∞ P1(Xn = 1) nei casi b) e c) rispettivamente? (P1 è la
Esercizio 3 Un topolino si sposta sui vertici di un grafo come nella Figura 1Ad ogni time slot esso si sposta dal vertice in cui si trova ad uno di quelli adiacenti, scelto
ogni volta a caso e con probabilità uniforme.a) Giustificare l’uso di una catena di Markov per modellizzare questa situazione e
scrivere la matrice di transizione.b) Si tratta di una catena irriducibile? Regolare? Quali sono le distribuzioni stazionarie
di questa catena?
c) Supponiamo che in 7 ci sia un pezzo di formaggio ed in 4 stia acquattato un gatto.Qual è la probabilità che il topo riesca a raggiungere il cibo prima di imbattersi nel gatto,supponendo che esso parta dallo stato 2? Qual è lo stato partendo dal quale la probabilitàè più piccola? (Almeno indicare i calcoli da fare)
d) Quali sarebbero le risposte alle questioni a) e b) se al grafo venisse aggiunto unospigolo che unisse i vertici 7 e 5?
Esercizio 4 Dire, delle seguenti affermazioni, quali siano vere e quali false.a) Una catena finita irriducibile non può avere stati transitori.b) In una catena (finita) irriducibile (Xn)n su E = {0, 1, . . . , m}, per ogni i ∈ E
limn→∞ P(Xn = i) = πi , dove π indica la distribuzione stazionaria, qualunque sia ladistribuzione iniziale.c) In una catena (finita) regolare per ogni i ∈ E limn→∞ P(Xn = i) = πi , dove π
indica la distribuzione stazionaria, qualunque sia la distribuzione iniziale.b) In una catena (finita) irriducibile (Xn)n su E = {0, 1, . . . , m}, qualunque sia la legge
iniziale non si può mai avere limn→∞ P(Xn = i) = πi per ogni i ∈ E
Esercizio 1. a) La probabilità stazionaria di una generica catena a due stati è stata già vistaa lezione ed in questo caso vale
π0 = 0.10.1 + 0.4
= 0.2 = 20%, π1 = 0.40.1 + 0.4
= 0.8 = 80% .
A regime la proporzione di disoccupati è 0.2b) La catena non è di nascita e morte, a causa del comportamento dello stato 1, da cui
in un passo si può andare in 3, mentre in una catena di nascita e morte si può fare un passoalla volta ad ogni transizione. Per ottenere la distribuzione stazionaria occorre risolvere ilsistema lineare v = vP associato. Questo diventa
Eliminando la terza equazione e sostituendola con la relazione v1 + v2 + v3 = 1 si trova ilsistema
v1 = 0.9 v1 + 0.1 v2
v2 = 0.6 v2 + 0.1 v3
v1 + v2 + v3 = 1 .
Dalla prima equazione si ricava v1 = v2, mentre dalla seconda v2 = 14 v3. Sostituendo
questi valori, la terza equazione diventa32 v3 = 1, da cui si ricava
v1 = 16
, v2 = 16
, v3 = 23
.
La proporzione di disoccupati ora è v1 + v2 = 13 = 33.33%.
• Se si ritiene che le probabilità di reinserimento nel mondo del lavoro di un disoccu-pato da lungo tempo siano diverse da quelle di un disoccupato recente, allora un modellomarkoviano a due stati non è più adatto. Infatti la probabilità di passare dallo stato 0 (dis-occupato) ad 1 (occupato) dovrebbero risultare diverse se Xn è rimasto in 0 da molto tempoo no.
Esercizio 2. a) Si vede subito che gli stati 1 e 3 comunicano con gli altri due in un passo solo.Se α > 0, allora 2 comunica sia con 3 che con 1 e la catena è irriducibile. Se 0 < α < 1
2allora c’è un elemento > 0 sulla diagonale e quindi la catena, essendo irriducibile, è ancheregolare. Se α = 1
2 , allora bisogna provare a fare le potenze della matrice di transizione.Usando le stelline,
4 , allora la matrice è bistocastica e la distribuzione stazionaria è l’uniformeπ = ( 1
3 , 13 , 1
3 ). La reversibilità è immediata, dato che P è simmetrica.c) Se α = 0,alloralostato2èassorbenteedunquericorrente. Glistati1e3comunicano
con 2 che non comunica con loro. Sono quindi transitori.d) Se α > 0, allora, poiché la catena è regolare, la legge al tempo n converge alla
distribuzione stazionaria. In particolare, se α = 14 , limn→∞ P1(Xn = 1) = π1 = 1
3 . Seinvece α = 0, sappiamo che, partendo da 1 la catena in un tempo finito giunge nello statoassorbente 2 per poi restarci. Dunque limn→∞ P1(Xn = 1) = 0.
Esercizio 3. a) L’uso di una catena di Markov si giustifica con il fatto che, ad ogni iterazione,lo stato su cui spostarsi viene scelto in maniera indipendente dal comportamento della catenaagli istanti precedenti. La matrice di transizione è
P =
1 2 3 4 5 6 71 0 1
2 0 12 0 0 0
2 12 0 1
2 0 0 0 03 0 1
3 0 13 0 1
3 04 1
3 0 13 0 1
3 0 05 0 0 0 1
2 0 12 0
6 0 0 13 0 1
3 0 13
7 0 0 0 0 0 1 0
b) La catena è irriducibile, poiché il grafo è connesso e tutti gli stati comunicano. Nonè regolare perché, con la numerazione prescelta, gli stati con numero pari sono adiacenti astati con numero dispari e basta ripetere il ragionamento dell’Esempio 5.26 del libro. Danotare che se avessimo numerato gli stati in maniera diversa la risposta a questa questionesarebbe stata molto meno evidente.
La distribuzione stazionaria di questa catena è naturalmente unica perché la catena è ir-riducibile. Usando il metodo dell’Esempio5.22 si calcola subitola distribuzione stazionaria.Ci sono tre stati (1, 2 e 5) da cui si dipartono due spigoli, tre da cui se ne dipartono tre (3, 4
e 6) ed uno da cui se ne diparte uno solo. Sommando si trova k = 2 × 3 + 3 × 3 + 1 = 16.Dunque la probabilità stazionaria è
π = 1
8, 1
8, 3
16, 3
16, 1
8, 3
16, 1
16
.
c) Se si cambia la matrice di transizione in corrispondenza degli stati 4 e 7 facendolidiventare assorbenti, la probabilità di giungere in 7 prima che in 4 è uguale alla probabilitàdi passaggio in 7 per questa nuova catena. Le probabilità di passaggio λi soddisfano in
Quindi la probabilità che il topolino ce la faccia è λ2 =4
29 .d) Aggiungendo lo spigolo indicato, dato che il grafo a maggior ragione è connesso,la catena continua ad essere irriducibile ed ha quindi una distribuzione stazionaria unica.Questa si calcola come in b), con piccole differenze: ora k = 18ecisono3archicheesconodal vertice 5 e 2 dal vertice 7. Quindi
π = 1
9, 1
9, 1
6, 1
6, 1
6, 1
6, 1
9
.
Resta la questione della regolarità, che come al solito, è la più antipatica. Il criterio di nonregolarità usato in b) non è più valido perché ora lo stato 5 è adiacente ad un altro stato con
numero dispari. A meno di idee brillanti il modo più semplice di procedere è di verificaredirettamente che, partendo da qualunque stato si può trovare un cammino che porta ad ognialtro stato in esattamente 6 passi. Osservate comunque che un cammino che congiungauno stato pari con uno dispari in esattamente 6 passi deve necessariamente passare per lospigolo 5—7, altrimenti la parità si conserva e ci si può trovare alla fine solo in uno statopari. Questa osservazione vale anche per congiungere uno stato dispari con uno pari.
Esercizio 4. a) Vero. Abbiamo visto (Proposizione 5.8) che in una catena finita uno stato i
è transitorio se e solo se esiste uno stato j tale che i → j ma j → i. Questo non è possibilese la catena è irriducibile, perché allora tutti gli stati comunicano.
b) Falso. Abbiamo visto nell’Esempio 5.26 che Pi (Xn = j ) = p(n)ij prende alternati-
vamente, a seconda che n sia pari o dispari, valori = 0 e > 0. Quindi, se convergesse, illimite dovrebbe essere uguale a 0 per ogni j .
c) Vero. È esattamente quello che dice in Teorema di Markov 5.17.d) Falso. Se la legge iniziale è la distribuzione stazionaria π , allora Xn ha legge uguale
a π per ogni n. Dunque non solo Pi (Xn = j ) →n→∞ πj , ma Pi (Xn = j ) = πj perogni n. E questo resta vero per ogni catena avente una probabilità invariante (anche se nonirriducibile e con insieme degli stati numerabile)
Esercizio 5 Calcoliamo la funzione di ripartizione di Y : se t ≥ 0
F Y (t) = P(−1
λ log X ≤ t) = P(log X ≥ −λt) = P(X ≥ e
λt
) = 1− e−λt
Seinvece t < 0lostessocalcolodà F Y (t) = 0. Riconosciamolaf.r. diunav.a. esponenzialedi parametro λ. Dunque Y è esponenziale di parametro λ. Per calcolare la densità di Z èconveniente scrivere che Z = 3
√ Y . Dunque, poiché Y prende valori positivi con probabilità
1, la funzione di ripartizione è, per t ≥ 0,
F Z (t) = P(3√
Y ≤ t) = P(Y ≤ t 3) = 1 − e−λt 3
per cui la densità vale
f Z (t) = 3t 2e−λt 3
per t > 0 e f Z (t) = 0 per t < 0.Esercizio 5. Le v.a. X e Y hanno densità congiunta
f ( x, y) =
λ2e−λ(x+y) se x > 0, y > 00 se no
La probabilità P(|X−Y | > t) non è altro che l’integrale della densità congiunta sull’insiemeA = {(x,y); |x − y| > t }. Per t > 0 si tratta dell’insieme nella Figura 1 .
Chiaramente l’integrale su A2 produce lo stesso risultato, per cui si ottiene P(|X − Y | >
t) = e−λt . Scegliendo t = 1λ
si trova P(|X − Y | > 1λ
) = e−1. Comunque questo calcolopermette di determinare immediatamente la funzione di ripartizione della v.a. |X − Y |:
P(|X−
Y | ≤
t)=
1−
e−λt
da cui si riconosce la f.r. di una v.a. esponenziale di parametro λ.
c) Calcoliamo la f.r. di X − Y . Se t > 0, allora P(X − Y ≤ t) è uguale all’integraledella densità congiunta f sull’insieme B, quello ombreggiato nella Figura 2 .
f ( x, y) dxdy. Possiamo quindi riprendere il calcoloprecedente, per cui, per t > 0,
P (X − Y ≤ t) = 1− 1
2e−λt
La densità g di X − Y si ottiene da questa derivando rispetto a t ed è dunque uguale ag(t) = λ
2 e−λt . Per trovare la densità per valori di t negativi occorre prima calcolare la f.r.per t < 0. Ora in questo caso la funzione di ripartizione è data dall’integrale della densitàcongiunta su un insieme della forma
equindi Y èuniformesu[0, 1]. Chiaramente X e Y nonsonoindipendenti, dato chel’insieme0 < y < x < 1 (la porzione di quadrato che sta sotto la diagonale) ha probabilità 0 per ladensità congiunta mentre il prodotto delle densità marginali ivi è strettamente positivo.
b) LaprobabilitàP(Y > 2X) è uguale all’integrale della densità congiunta nel triangoloindicato con l’ombreggiatura più intensa nella Figura 5. Dunque
P(Y > 2X) = 1
0
1
ydy
y2
0dx = 1
2
Si sarebbe naturalmente anche potuto integrare prima in dy e poi in dx:
Questa matrice è invertibile e quindi Y e Z hanno densità congiunta. Linversa è
1
108
13 −3
−3 9
Per cui la densità è
g(y, z) = 1
2π√
108exp
− 1
216
13y2 + 9z2 − 6yz
d) La matrice di covarianza di W si calcola facilmente con uno dei metodi richiamati
in c) e vale
CW
= 7 −1 6
−1 4 3
6 3 9
con un po di pazienza (oppure osservando che la prima colonna è uguale alla terza meno
la seconda) si vede che questa matrice ha determinante 0. Quindi non ci può essere una
densità. In realtà questo si poteva vedere da subito dato che si può scrivere
W = BX
dove B è la matrice
B = 1 0
0 11 1
che può essere al massimo di rango 2. Dunque la matrice CW , che si ottiene anche come
prodotto
CW = BCXB∗ =
1 0
0 1
1 1
7 −1
−1 4
1 0 1
0 1 1
può essere al massimo di rango 2 e non può essere invertibile.
Esercizio 2. a) Dallo sviluppo in serie di potenze si ricava φ′(0) = φ(3)
(0) = 0 e φ′′(0) =−2. Dunque
E(X) = iφ′(0) = 0
E(X2) = −φ′′(0) = 2
E(X3) = −iφ(3)(0) = 0 .
b) Poiché X e Y sono centrate, grazie ad a), si ha E[(X + Y )2] = Var(X + Y ) =Var(X) + Var(Y ) = E(X2) + E(Y 2) = 4. Per il momento di ordine 4, basta trovare il
coefficiente del termine di ordine 4 dello sviluppo in serie di potenze di φ(θ)2. Moltiplicando
gli sviluppi,
φ(θ)2 = 1 − θ 2 + θ 4 + o(θ 4)1 − θ 2 + θ 4 + o(θ 4) = 1 − 2θ 2 + 3θ 4 + o(θ 4)Dunque il coefficiente del termine del quartordine nello sviluppo in serie di potenze di
φ(θ)2 è 3 e quindi
E[(X + Y )4] = d 4
dθ 4φ(θ)2 = 3 · 4! = 72 .
Esercizio 3. a) Abbiamo visto a lezione che Z = X + Y ha legge Ŵ(α + β,λ).
b) Poiché X e Y sono indipendenti, la loro densità congiunta è
f ( x, y)= λα+β
Ŵ(α)Ŵ(β)xα−1yβ−1e−λ(x+y) se x > 0 e y > 0
0 altrimenti .
La legge congiunta di (X, X + Y ) si può ottenere al solito osservando che questa coppia di
v.a. si ottiene da (X,Y) applicando la trasformazione lineare associata alla matrice
A =
1 0
1 1
.
Il teorema di cambio di variabile (vedi lEsempio ‘tre.122’) permette di affermare che
la densità g di (X, X
+Y ) è data da
g(x,y) = 1
| det A| f (A−1
xy
) .
Ora det A = 1 e
A−1 =
1 0
−1 1
e dunque
g(x,y) = f ( x , y − x) .
Tenuto conto che f si annulla a meno che le coordinate non siano entrambe > 0, si trova
g(x,y) =
λα+β
Ŵ(α)Ŵ(β)xα−1(y − x)β−1e−λy se y > 0 e 0 < x < y
0 altrimenti .
c) Indicando con gX+Y la densità di X +Y , che sappiamo essere una Ŵ(2, λ), la densità
Esercizio 1 In statistica si chiama indice di skewness (o di asimmetria) di una v.a. X la
quantità
γ =E[(X − µ)3]
σ 3
dove µ = E(X) e σ 2 = Var(X) (purché X abbia un momento di ordine 3 finito). L’indice
γ in un certo senso misura la simmetria della legge di X: valori di γ positivi indicano lapresenza di una ‘‘coda spessa’’ verso destra (come nella Figura 1), mentre valori negativi
che ha l’aria molto più indigesta. . . Con questi integrali multipli conviene sempre provare
a scambiare l’ordine d’integrazione quando ci si trova in difficoltà: scambiando l’ordine
d’integrazione il valore dell’integrale non cambia ma la difficoltà del calcolo sì. . .
b) La funzione di ripartizione di S = Y − X è data da F(t) = P(Y − X ≤ t) = P(Y ≤
X + t) = P((X,Y) ∈ At ), dove At = {y ≤ x + t } è il semipiano che si trova sotto allaretta y = x + t . Tenendo conto sempre che la densità congiunta di X e Y è non nulla solo
nel primo quadrante, ci troviamo a doverne calcolare l’integrale sull’insieme descritto dalla
Figura 3 se t > 0 e dalla Figura 4 se t < 0.
0
t •.....................................................................................................................................................................................................................
Figura 5 Grafico della densità f (λ = 1.2). Un po’ a sorpresa, nonostante il valore assoluto,si tratta di una funzione derivabile, come per altro si può verificare formalmente.
b) Qual è la densità di X ?c) Le v.a. X e XY sono indipendenti?
d) Quanto vale P(XY ≤ 1) ?
Esercizio 2 Siano X, Y v.a. indipendenti di legge N (0, 1). Poniamo
U = nX − Y, V = nX + Y .
a) Qual è la legge di ( U , V )? Possiede una densità?
b1) Quanto vale la speranza condizionale di U dato V = 1 ?
b2) Quanto vale la varianza della legge condizionale di U dato V = 1 ? Quanto valela varianza della legge condizionale di U dato V = −1.5 ? Come si comportano queste
varianze condizionali per n → ∞ ?
Esercizio 3 Si sa che per ogni α > 0 la funzione
φα(t) =1
(1 + θ 2)α
è una funzione caratteristica. Indichiamo con Xα una v.a. di funzione caratteristica φα.
a) Calcolare media e varianza di Xα , al variare di α.b) Calcolare E(X4
α), al variare di α.
c) Mostrare che, per ogni α, si possono trovare due v.a. Y, Z indipendenti ed aventi la
stessa legge tali che Y + Z ha la stessa legge di Xα.
Esercizio 1 a1) Sia X una v.a. di legge Ŵ(α, 1). Qual è la legge di 1λ
X ?a2) Se indichiamo con qβ il quantile di ordine β, 0 < β < 1, di una legge Ŵ(α, 1), qual
è il il quantile di ordine β di una legge Ŵ(α, λ)?b1) Siano X1, . . . , X100 v.a. indipendenti di legge esponenziale Ŵ(1, 1). Qual è la legge
della v.a. X = 1100 (X1 + . . . + X100)?
b2) Sapendo che i quantili di ordine 0.025 e 0.975 di una legge Ŵ(100, 1) sono rispetti-
vamente q0.025 = 81.36 e q0.975 = 120.53, determinare un intervallo [a, b] tale cheP(a ≤ X ≤ b) = 0.95 .
Esercizio 2 Sia ( U , V ) una coppia di v.a. di densità congiunta
f(u,v) =
c · 2vu
θe−u2/θ se 0 < v < u
0 altrimenti
dove c è una opportuna costante.a) Determinare il valore di c in funzione di θ .
b) Le v.a. U e U V sono indipendenti? Quanto vale la probabilità P( U V ≤ 2)?Esercizio 3 a1) Calcolare la f.r. di una legge di Laplace di parametro λ, cioè di densità
f(x) = 1
2λe−λ|x|
a2) Come fareste per simulare una v.a. di Laplace di parametro λ ?b) Come fareste per simulare una v.a. di Weibull di parametri α, λ? (le leggi di Weibull
sono quelle di densitàf(x) = λαx α−1e−λxα
per x > 0 e f(x) = 0 per x ≤ 0).
Esercizio 4 Una v.a. X ha funzione caratteristica
φ(θ) = 1√ 1 + θ 2
·
a) Mostrare che X ha varianza finita e calcolare E(X) e Var(X).b) Siano X, Y v.a. indipendenti entrambe di funzione caratteristica φ. Calcolare
Esercizio 1. a1) Indichiamo con F e f rispettivamente la f.r. e la densità di una leggeŴ(α, 1). Con il solito metodo della funzione di ripartizione si trova che la f.r. di 1
λX è
P( 1λ
X ≤ t) = P(X ≤ tλ) = F(tλ)
e derivando si ottiene che la densità g di 1λ
X vale
g(t) = λf(tλ) = λ1
Ŵ(α)(tλ)α−1e−λt = λα
Ŵ(α)t α−1e−λt
dove riconosciamo la densità di una v.a. Ŵ(α, λ).a2) Abbiamo visto in a1) che se X ∼ Ŵ(α, 1), allora 1
λX ∼ Ŵ(α, λ). I quantili qβ
restano determinati dalla relazione P(X ≤ qβ ) = β. Dalla relazione
P( 1λ
X ≤ 1λ
qβ ) = P(X ≤ qβ ) = β
si vede che il quantile di ordine β di una legge Ŵ(α, λ) è 1λ
qβ .b1) La v.a. X1 + . . . + X100 ha legge Ŵ(100, 1) (Proposizione ‘tre.200’) e dunque,
grazie ad a1), X100 ∼ Ŵ(100, 100).b1) Grazie ad a2), i quantili di ordine 0.025 e 0.975 di X100 sono rispettivamente
Lintegrale si può anche calcolare dallaltra parte:
f ( u , v ) du dv = c
+∞
0du
u
0
2u
θe−u2/θ v d v = c
θ
+∞
0u3e−u2/θ du.
e si conclude integrando per parti.b) Uno dei modi possibili per mostrare che le v.a. U e U
V sono indipendenti consiste
nel calcolo della loro densità congiunta, per poi verificare che questa si può scrivere comeprodotto di due funzioni, ciascuna delle quali dipende solo da una delle variabili. Il calcolodella legge congiunta di U e U
V si può fare osservando che
U, U
V = φ ( U , V)
dove φ è la funzione φ(u,v) = (u, uv
); questa funzione è certo infinite volte derivabile peru > 0, v > 0: se essa fosse anche invertibile e la sua inversa derivabile potremmo calcolarela densità congiunta g di U e U
V con il teorema di cambio di variabile negli integrali multipli,
grazie al quale si ha che
(1) g(x, y) = f (φ−1(x,y))| det Dφ−1(x,y)| .
Le tappe successive per mostrare che U eU V sono indipendenti sono dunque le seguenti:primaoccorremostrareche φ è invertibile e calcolarne linversa (ovvero calcolarne linversa,
ilcheproveràche φ è invertibile). Poi bisogna calcolare il differenziale Dφ−1 (che in questocaso è una matrice 2 ×2) e il suo determinante. A questo punto potremo calcolare la densitàcongiunta g tramite la (1) e verificare che essa è il prodotto di una funzione della solavariabile x moltiplicata per una funzione della sola variabile y. Come si vede si tratta diun programma abbastanza complesso, ma nel quale ogni singola parte non presenta grossedifficoltà.
Per calcolare linversa di φ, fissati dei valori x e y dobbiamo determinare dei numeri u
e v tali che φ(u,v)
=(x,y). In altre parole dobbiamo risolvere rispetto a u e v il sistema
per cui det Dφ−1(x,y) = − xy2 . Abbiamo quindi calcolato tutte le quantità che compaiono
nella (1). Sostituendo i valori trovati dobbiamo però ricordare che f(u,v) è = 0 a menoche non sia 0 < v < u. Dunque otteniamo f (φ−1(x,y)) = f(x, x
y) = 0 a meno che non
sia y > 1 e x > 0. In conclusione
g(x,y) = 2θ
2x
θe−x2/θ 1{x>0}(x)1{y>1}(y) x
y =f (φ−1(x,y))
x
y2 =| det Dφ−1(x,y)|
=
= 4
θ 2x3e−x2/θ 1{x>0}(x)
funzione della sola x
1
y3 1{y>1}(y) funzione della sola y
e dunque U e U V
sono indipendenti. La densità di U V
è la seconda marginale di questa densitàcongiunta. Dunque è della forma
g2(y) = cy3 1{y>1}(y)
perché lintegrale di g2 faccia 1 deve essere c = 2 e infine
P( U V
≤ 2) = 2 2
1
1
y3 dy = 3
4·
Esercizio 4. a) φ è una funzione infinite volte derivabile e dunque X ha finiti i momentidi tutti gli ordini. E(X) = 0 perché, dato che φ è una funzione reale, la v.a. X ha leggesimmetrica (X ∼ −X) e dunque speranza matematica uguale a 0. Ad ogni modo le due
prime derivate di φ valgonoφ′(θ ) = −θ (1 + θ 2)−3/2
φ′′(θ ) = −(1 + θ 2)−3/2 + 3θ 2(1 + θ 2)−5/2 .
DunqueVar(X) = E(X2) = −φ′′(0) = 1 .
b) La funzione caratteristica di X + Y è
φX+Y (θ) = φ(θ)2 = 1
1 + θ 2 ·
Il momento del quarto ordine di X + Y è uguale alla derivata quarta di φX+Y in 0. Malo sviluppo in serie di potenze di φX+Y è ben noto (a partire dalla serie geometrica, adesempio):
φX+Y (θ ) = 1
1 + θ 2 =∞
k=0
(−1)k θ 2k .
Il coefficiente del termine di ordine 4 è 1, da cui si ricava
Esercizio 1 Sia (Xn)n una successione di v.a. indipendenti esponenziali di parametro λ.
a) Poniamo Zn = min(X1, . . . , Xn). La successione (Zn)n converge in legge ? In caso
affermativo precisarne il limite.
b) Poniamo Y n = max(X1, . . . , Xn). La successione (Y n)n converge in legge? In caso
affermativo precisarne il limite. E la successione ( 1log n
Y n)n ?
Esercizio 2 Fare la classificazione degli stati della matrice di transizione
P =
0 0 113
13
13
1 0 0
Si tratta di una catena irriducibile ? Regolare? Quali sono le sue probabilità invarianti ?
Come cambierebbe la risposta alle domande precedenti se fosse
P 1 = 1 0 0
13
13
13
0 0 1
?
Esercizio 3 Consideriamo la matrice di transizione
P 2 =
0 0 1
23
0 13
29
23
19
a) Si tratta di una catena irriducibile? Regolare?
b) Determinare tutte le probabilità invarianti della catena. Se (Xn)n è la catena diMarkov associata a P , quanto vale approssimativamente P1(Xn = 3) per n grande? (Ri-
cordare che P1 è la probabilità partendo dallo stato 1).
Esercizio 4 Consideriamo la catena di Markov su E = {1, 2, 3} associata alla matrice di
Per P 2. 1 e 3 sono assorbenti e dunque ancora ricorrenti. 2 è transitorio, per lo stesso
motivo di prima. A differenza di P 1, per P 2 ci sono due classi irriducibili invece di una sola.
Esercizio 3. a) Si ha 1 → 3 → 2, mentre sia 2 che 3 comunicano con gli altri stati in un
passo solo. La catena è dunque irriducibile e, dato che c’è un elemento > 0 sulla diagonale,
è anche regolare.
b) La distribuzione invariante, π , è naturalmente unica per il Teorema di Markov 5.17
che garantisce anche che limn→∞ P1(Xn = 3) = π3. Calcoliamo allora la distribuzione
stazionaria. Il sistema agli autovalori è
π1 =2
3π2 +
2
9π3
π2 =2
3π3
π3 = π1 + 13
π2 + 19
π3
Dalle prime due equazioni si ricava π2 = π1 = 23
π3. Sostituendo questa relazione nella
condizione π1 + π2 + π3 = 1, si ottiene
7
3π3 = 1
da cui si ricava π3 = 37
e poi π1 = π2 = 27
.
Esercizio 4. a) Si vede subito che gli stati 1 e 2 comunicano con gli altri in un passo solo.Se 0 ≤ α < 1 allora 3 → 2 e, dunque, anche 3 → 1. Gli stati quindi comunicano tra loro e
la catena è irriducibile. Viceversa, se α = 1, allora 3 è uno stato assorbente e non comunica
con nessun’altro stato. In questo caso {3} è una classe chiusa strettamente contenuta in E e
la catena non è irriducibile.
b) Se α = 14
, sappiamo già che la catena è irriducibile grazie ad a); poiché per di più
c’è un elemento > 0 sulla diagonale della matrice di transizione, la catena è anche regolare.
La matrice di transizione prende la forma
P =
1
2
1
4
1
412
0 12
0 34
14
L’osservatore attento vede che P è bistocastica (la somma delle colonne è uguale a 1)
e dunque la distribuzione uniforme π = ( 13
, 13
, 13
) è stazionaria. Non è reversibile: ad
esempio π1p13 = 112
, mentre π3p31 = 0. Un attimo di riflessione del resto mostra che
quando la distribuzione invariante è uniforme, essa è reversibile se e solo se la matrice di
Esercizio 1 a) Calcolare la funzione caratteristica di una v.a. di legge geometrica di para-metro p (P(X = k) = p(1 − p)k , k = 0, 1, . . .).
b) Sia (Xn)n una successione di v.a. di legge geometrica di parametro rispettivamentepn = λ
n. La successione ( 1
nXn)n converge in legge? In caso affermativo, qual è la legge
limite?
Esercizio 2 (Leggi Beta) Sia (Xn)n una successione di v.a. con Xn ∼ Beta(nα, nβ).
Mostrare che la successione (Xn)n converge in probabilità e determinare il limite.Esercizio 3 Sia (Xn)n una successione di v.a. indipendenti di legge di Laplace di parametro1 (cioè di densità f(x) = 1
2 e−|x|).a) Mostrare che la successione
S n = 1√ n
X1 + . . . + Xn
converge in legge e determinare la legge limite.b) Quanto vale, per n grande
P
1√ n
X1 + . . . + Xn
≥ 3
?
Esercizio 4 Supponiamodisaperedell’esistenzadiunapartitadidaditruccaticheproduconoil 6 con probabilità 2
9 . Per decidere se un dado è equilibrato o truccato usiamo la proceduraseguente: lo lanciamo 900 volte e decidiamo che esso è truccato se si ottiene il 6 più (≥)di 180 volte. Qual è la probabilità che un dado truccato venga effettivamente individuato?Qual è la probabilità che un dado equilibrato venga invece dichiarato truccato con questaprocedura?
Esercizio 5 Sia (Xn)n una successione di v.a. i.i.d. uniformi su [0, 1]e poniamo
M n = max(X1, . . . , Xn) .
a) Mostrare che la successione (M n)n converge in legge e determinare la legge limite.Converge anche in probabilità?
(vedi anche il libro, Esempio 3.68).b) Perstudiareillimiteinleggepossiamocalcolareillimitedellefunzionidiripartizione
oppure quello delle funzioni caratteristiche.Primo modo: funzioni di ripartizione. Se indichiamo con F n la f.r. di Y n = 1
nXn, allora
F n(t) = 0 per t < 0, mentre per t ≥ 0
F n(t) = P(Xn ≤ nt) = P(Xn ≤ nt ) =nt k=0
λ
n
1 −λ
nk
= 1 − 1 −
λ
nnt +1
( è la funzione parte intera) e dunque per ogni t ≥ 0
(1) limn→∞ F n(t) = 1 − e−λt ,
infatti
limn→∞
1 − λ
n
nt +1= lim
n→∞
1 − λ
n
n 1n
(nt +1)
elim
n→∞1n
(nt + 1) = λt e limn→∞
1 − λ
n
n
= e−1
Riconosciamo ora nel termine a destra nella (1) la f.r. di una legge esponenziale di parametroλ. Dunque Y n converge in legge ad una v.a. che ha questa distribuzione.
Secondo modo: funzioni caratteristiche. Ricordando l’espressione della funzione carat-teristica di una v.a. geometrica, si ha
che è appunto la funzione caratteristica di una legge esponenziale di parametro λ.
Esercizio ‘ex4.beta’. a) Una v.a. Beta(α, β) ha media αα+β
e varianza αβ(α+β)2(α+β+1)
(vedi il libro). Dunque
E(Xn) = α
α + β, Var(Xn) = αβ
(α + β)2(nα + nβ + 1)·
Dunque le v.a. Xn hanno tutte la stessa media αα+β
, mentre la loro varianza tende a 0 pern → ∞. Basta ora applicare la disuguaglianza di Chebyshev, che dà
P(|Xn − αα+β | ≥ η) ≤ Var(Xn)
η2 →n→∞ 0
e dunque
XnP→
n→∞α
α + β·
Esercizio ‘ex4.laplace-conv’. La soluzione di questo esercizio è del tutto simile aquella del precedente. Prima di tutto si osserva che le v.a. di Laplace sono centrate, Dunquela loro varianza è
E(X2i ) = +∞
−∞x2e−|x| dx = 2 .
Dunque adesso
S n→
n→∞ N (0, 2)
e, indicando con Z una v.a. N(0, 1),
P 1√
n
X3
1 + . . . + X3n
≥ 3
P√
2 Z ≥ 3 = 1 −
3√ 2
= 1 − (2.12) = 0.017 .
Esercizio ‘ex4.an-dado’. Se un dado è truccato allora il numero totale X di 6 ottenuti in900 lanci si può scrivere X = X1 + . . . + X900, dove le v.a. X1, . . . , X900 sono di BernoulliB(1, 2
Dunque un dado truccato viene individuato con una probabilità del 95%.In questo caso l’approssimazione normale è giustificata, dato che np = 900 × 2
9 = 200è largamente più grande di 5. È preferibile all’approssimazione poissoniana che indica inquesto caso che B(900, 2
9 )
∼Poiss(200). Infatti quest’ultima darebbe
P(X ≥ 180) ∼ 1 − e−200179k=0
200k
k!
che obbligherebbe al calcolo di una somma di 180 termini. Inoltre qui l’ approssimazionepoissoniana non appare precisa: un calcolo numerico qui darebbe
vero valore approssimazione normale approssimazione poissoniana0.9512 0.9495 0.9283
Se invece il dado fosse equilibrato allora il numero totale di 6 in 900 lanci sarebbe mod-ellizzato da X = X1 + . . . + X900, dove però le v.a. Xi sono indipendenti e di BernoulliB(1, p ) , p = 1
6 . Poiché E(Xi ) = 16 e Var(Xi ) = 1
656 , usando l’approssimazione normale
P(X ≥ 180) = P(X1 + . . . + X900 > 179.5) ≈ 1 −
179.5 − 900 · 1
6900 · 1
6 · 56
=
= 1 − (2.63) = 0.0044 = 0.44% .
Esercizio ‘conv-max1’. a) La funzione di ripartizione di M n vale 0 per t
≤0 e 1 per
t ≥ 1. Se 0 ≤ t ≤ 1,
F M n (t) = P(M n ≤ t) = P(X1 ≤ t , . . . , Xn ≤ t) = P(X1 ≤ t ) . . . P(Xn ≤ t ) = t n .
Dunque
limn→∞ F M n (t) =
0 se t < 11 se t ≥ 1
che è la funzione di ripartizione di una v.a. che assume il valore 1 con probabilità 1. Laconvergenza ha luogo anche in probabilità, infatti
P(|M n−1| ≥ ε) = P(M n ≥ 1+ε)+P(M n ≤ 1−ε) = 1−F M n (1+ε)+F M n (1−ε) →n→∞ 0.
(infatti 1 − F M n (1 + ε) = 0 per ogni n mentre F M n (t) →n→∞ 0 per ogni t < 1)b) Si ha P(Zn ≤ t) = 0 per t < 0 mentre per t ≥ 0
P(Zn ≤ t) = P(1 − M n ≤ t n
) = P(M n ≥ 1 − t n
) = 1 − P(M n ≤ 1 − t n
) == 1 − (1 − t
n)n = 1 − e−t
che è la funzione di ripartizione di una v.a. esponenziale di parametro 1.