Definição Definição Axiomática Axiomática de de Probabilidade Probabilidade Axiomas são proposições, sugeridas pela nossa intuição ou experiência, que não se demonstram e se aceitam como verdadeiras. Provar ou demonstrar uma proposição é mostrar, usando raciocínios lógicos que ela resulta de outras consideradas raciocínios lógicos, que ela resulta de outras consideradas verdadeiras. Teoremas são proposições que se demonstram a partir dos axiomas ou de outras proposições já demonstradas. www.joaoleal.net Professor: João José Leal 16 axiomas ou de outras proposições já demonstradas.
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Axiomas são proposições, sugeridas pela nossa intuição ou
experiência, que não se demonstram e se aceitam como
verdadeiras.
Provar ou demonstrar uma proposição é mostrar, usando
raciocínios lógicos que ela resulta de outras consideradasraciocínios lógicos, que ela resulta de outras consideradas
verdadeiras.
Teoremas são proposições que se demonstram a partir dos
axiomas ou de outras proposições já demonstradas.
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axiomas ou de outras proposições já demonstradas.
Axiomas Axiomas das Probabilidadesdas Probabilidades
(i) ( ) 0 (Probabilidade é um número não negativo)P A ( ) ( ) ( g )(ii) ( ) 1 (Probabilidade do espaço de amostras é unitário)(iii) Se então ( ) ( ) ( )
P SA B P A B P A P B (iii) Se , então ( ) ( ) ( ).A B P A B P A P B
Note que (iii) estabelece que se A e B são eventos mutuamente
exclusivos, a probabilidade da união é igual a soma de suas p g
probabilidades)
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TeoremasTeoremas
0P 1. A probabilidade de um acontecimento impossível é zero.
0P
2. A probabilidade de qualquer acontecimento A é um número do intervalo [0, 1].
0 1P A
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TeoremasTeoremas
A3. A probabilidade do acontecimento contrário é igual àdiferença entre 1 e a probabilidade de A.
1P A P A
diferença entre 1 e a probabilidade de A.
1P A P A
P A B P A P B P A B
4. Probabilidade da reunião de dois acontecimentos
P A B P A P B P A B
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Probabilidade Condicionada (RegraProbabilidade Condicionada (Regra de de BayesBayes))
Dos 100 alunos que frequentam um centro de explicações,40 têm explicações de Matemática, 25 de Física e 5 de Matemática
Fí ie Física.No diagrama de Venn seguinte está representada a
situação:Onde,
M = {alunos que têm explicações de Matemática}F = {alunos que têm explicações de Física}C = {alunos que frequentam o centro de explicações}
Encontra-se um dos 100 alunos ao acaso.
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1. Qual é a probabilidade de ele ter explicações de Matemática e Física?
5( )100
P M F 100
2. Numa sala encontram-se os 25 alunos que têm explicações deFísica. Seleccionando, ao acaso, um destes 25 alunos, qual a
b bilid d d t t t bé li õ d M t áti ?probabilidade de este ter também explicações de Matemática?
Ou seja, é a probabilidade de ele ter explicações de Matemática
5( ) 5 100 5 1100P M F
dado que (ou sabendo que) tem de Física.Assim sendo,
( ) 5 100 5 1100( / ) 25( ) 100 25 25 5100
P M FP M FP F
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100
Podemos calcular a Probabilidade do seguinte modo:
Partimos de dois acontecimentos A e B
Representando-se por P(A/B) a probabilidade da ocorrência de ARepresentando se por P(A/B) a probabilidade da ocorrência de A,
na hipótese de B se ter realizado, é:
( )( / )( )
P A BP A BP B
( )P B
(Ou seja, pretendemos determinar a probabilidade de A sabendo quese realizou B)
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Acontecimentos Independentes
Dois acontecimentos dizem-se independentes se a
probabilidade de realização de um deles não afecta ap ob b d de de e ç o de u de es o ect
probabilidade de realização do outro.
Dois acontecimentos A e B são independentes se e só se
( ) ( ) ( )P A B P A P B Dois acontecimentos A e B são independentes se e só se
( ) ( ) ( )P A B P A P B
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Factorial Factorial
Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) , como sendon! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n 2.
E por definição :Para n = 0 , teremos : 0! = 1.P 1 t 1! 1Para n = 1 , teremos : 1! = 1
Exemplos:
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 29403! = 3.2.1 = 6
M it tili f i i téti f ilitMuitas vezes utilizamos uma forma mais sintética para nos facilitaros cálculos:11! =11.10.9.8.7!6! = 6 5 4!
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6! = 6.5.4!
Princípio fundamental da contagem Princípio fundamental da contagem -- PFCPFC
Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e
se a primeira etapa pode ocorrer de n1 maneiras diferentes, a segunda de
n2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T
de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por
T = n1. n2 . n3 . ... . nm
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PermutaçõesPermutaçõesPermutações de n elementos distintos são os agrupamentos formados
com todos os n elementos e que se distinguem uns dos outros pela ordem deq g p
seus elementos.
Exemplo: com os elementos 1,2,C são possíveis as seguintes permutações:12C, 1C2, 21C,2C1, C12 e C21.
O número total de permutações simples de n elementos distintos édado por n!, isto ép ,
Pn = n!
no exemplo anterior 3!=3.2.1=6
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p
Arranjos sem repetiçãoArranjos sem repetiçãoDado um conjunto com n elementos chama se arranjo simples deDado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de
taxa p , a todo agrupamento de p elementos distintos dispostos numa certa
ordem Dois arranjos diferem entre si pela ordem de colocação dosordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos
elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos:
) j d t 2 b b b ba) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.
b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Representando o número total de arranjos de n elementos tomados
p a p por nA teremos a seguinte fórmula:p a p por Ap, teremos a seguinte fórmula:!
( )!n
pnA
n p
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( )!n p
Arranjos com repetiçãoArranjos com repetiçãoRepresentando o número total de arranjos de n elementos tomados
p a p por nA’ sendo estes diferentes ou não teremos a seguinte fórmula:p a p por nA p, sendo estes diferentes ou não, teremos a seguinte fórmula:
'n pA npA n
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Combinações sem repetiçãoCombinações sem repetiçãoDenominamos combinações simples de n elementos distintos
tomados p a p (aos subconjuntos formados por p elementos distintos
escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são
diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem
l t ã l dem que os elementos são colocados.
Exemplo:
No conjunto E= {a,b,c,d} podemos considerar:
a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad, bc, bd, cd.
b) combinações de taxa 3: abc, abd, acd, bcd.
c) combinações de taxa 4: abcd.
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c) combinações de taxa 4: abcd.
Representando o número total de combinações de n elementos
tomados p a p por nC teremos a seguinte fórmula:tomados p a p por Cp, teremos a seguinte fórmula: