Tiago VFS Probabilidade Condicional Exemplo Regra do produto Exemplo 5.10 Exemplo 5.11 Eventos independentes Parti¸ c˜ ao do espa¸ co amostral Probabilidade Total Teorema de Bayes Exemplo 5.15 Exerc´ ıcios Probabilidade Condicional Prof. Tiago Viana Flor de Santana www.uel.br/pessoal/tiagodesantana [email protected] – Sala 07 Universidade Estadual de Londrina – UEL Departamento de Estat´ ıstica – DSTA Tiago VFS (UEL/DSTA) 1 / 20
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Tiago VFS
ProbabilidadeCondicional
Exemplo
Regra doproduto
Exemplo 5.10
Exemplo 5.11
Eventosindependentes
Particao doespacoamostral
ProbabilidadeTotal
Teorema deBayes
Exemplo 5.15
Exercıcios
Probabilidade Condicional
Prof. Tiago Viana Flor de Santanawww.uel.br/pessoal/tiagodesantana
Definicao:Dois conjuntos A e B sao ditos independentes se satisfazem
P(A|B) = P(A)
ou, o que e equivalente
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
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Exemplo
Regra doproduto
Exemplo 5.10
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Particao doespacoamostral
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Exercıcios
Generalizacao:Uma sequencia finita de eventos A1,A2, . . .An e dita indepen-dente se satisfaz
P(Ai ∩ Aj) = P(Ai )P(Aj)
P(Ai ∩ Aj ∩ Al) = P(Ai )P(Aj)P(Al)
...
P(Ai ∩ Aj ∩ Al · · ·Ak) = P(Ai )P(Aj)P(Al) · · ·P(Ak)
Ou seja, se a probabilidade das interseccoes dos eventos combi-nados dois a dois, tres a tres, ..., n a n e igual ao produto daprobabilidade de cada evento.
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Exemplo
Regra doproduto
Exemplo 5.10
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Exercıcios
Exemplo:Os eventos A, B e C sao independentes se satisfazem
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
P(A ∩ C ) = P(A)P(C )
P(B ∩ C ) = P(B)P(C )
P(A ∩ B ∩ C ) = P(A)P(B)P(C )
Se a ultima igualdade nao e valida, entao os eventos sao mutu-amente independentes.
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Exercıcios
Definicao:Uma colecao de eventos Ai , i = 1, ...,m e uma particao doespaco amostral se
m⋃i=1
Ai = Ω em⋂i=1
Ai = ∅
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Exercıcios
Definicao:Se A1,A2, ...,An formam uma particao do espaco amostral e Be qualquer evento de Ω entao
Teorema:Se A1,A2, ...,An formam uma particao do espaco amostral e Be qualquer evento de Ω entao
P(Ai |B) =P(Ai )P(B|Ai )∑nj=1 P(Aj)P(B|Aj)
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Exercıcios
Exemplo 5.15
Para selecionar seus funcionarios, uma empresa oferece aos can-didatos um curso de treinamento durante uma semana.
No final do curso, eles sao submetidos a uma prova e
1 25% sao classificados como bons (B);
2 50% sao classificados como medios (M);
3 25% sao classificados como fracos (F)
Para facilitar a selecao, a empresa pretende substituir o treina-mento por um teste contendo questoes referentes a conheci-mentos gerais e especıficos.
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Exercıcios
Para isso, gostaria de conhecer qual a probabilidade de um in-divıduo aprovado no teste ser considerado fraco, caso fizesseo curso.
Assim, neste ano, antes do inıcio do curso, os candidatos foramsubmetidos ao teste e receberam o conceito aprovado (A) oureprovado (R).
No final do curso, obtiveram-se as seguintes probabilidades con-dicionais:
P(A|B) = 0, 80 P(A|M) = 0, 50 P(A|F ) = 0, 20
A empresa deve optar pelo teste ou pelo curso?
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Exercıcios
Exercıcio 23
Uma companhia produz circuitos em tres fabricas, I, II e III.
A fabrica I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e a III pro-duzem 30% cada uma.
As probabilidades de que um circuito integrado produzido por es-sas fabricas nao funcione sao 0,01, 0,04 e 0,03, respectivamente.
Escolhido um circuito da producao conjunta das tres fabricas,qual a probabilidade de o mesmo nao funcionar?
Resp.: 0,025
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Exercıcios
Exercıcio 23
Uma companhia produz circuitos em tres fabricas, I, II e III.
A fabrica I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e a III pro-duzem 30% cada uma.
As probabilidades de que um circuito integrado produzido por es-sas fabricas nao funcione sao 0,01, 0,04 e 0,03, respectivamente.
Escolhido um circuito da producao conjunta das tres fabricas,qual a probabilidade de o mesmo nao funcionar?
Resp.: 0,025
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Exercıcios
Exercıcio 24
Considere a situacao do problema anterior, mas suponha agoraque um circuito escolhido ao acaso seja defeituoso.
Determine qual a probabilidade de ele ter sido fabricado por I.
Resp.: 0,16
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Exercıcios
Exercıcio 24
Considere a situacao do problema anterior, mas suponha agoraque um circuito escolhido ao acaso seja defeituoso.
Determine qual a probabilidade de ele ter sido fabricado por I.