PRJESIDE NORDMARK,1396437/FULLTEXT01.pdf · 2020. 2. 26. · ilea in Opticis Libr. VI. Propof. 22. circa annum 1270 iteravit Vitéllo,ipfam fine mutatione ulla,quaequidem A emea:

ψDISSERTATIO

REFLEXO AD SUPERFICIEM SPFLE-RICAM, INTER DUO PUNCTA

DATA, LUMINE,irwv

QUAM

VENIA AMPL. FAC. PHIL. UPSAL.

PRJESIDE

MacΖACH. NORDMARK,PKYSlC. PROF. REG. ET ORD. REG. SOCIET. SCIENT. ups,

NEC NON REG. ACAD. SCIENT. HOLM. MEMBRO,

pro gradu

P. P.

ANDREAS CARLESTRÖM,Ostrogothus;

IN ÅUDIT. GÜST. MAJ. DIE XV MARTH MDCCC.η. c.

UPSALi

litteris Joh, Fred, Edman, reg. acad. typogjc

IN

SACRAM REGIAM MAJESTATEMSUMMΜ F1DEI VIRO,

TOQC é REGN1PROCERIBUSΕ Τ

REGIME ACADEMIiE UPSALIENSIS

C Λ NCELLARTOGENERALI MAJORI

et

AD CUSTODIAM REGII CORPORIS

C AP ITANEI LOCUM TENEN Tl,REGII ENSIFERORUM ORDINIS cum MAgORI CRUCE

COMMENÖAT0RI,ORD1NISQUE GALLICI pro MERITIS MILITARIBUS

EQUITI)ILLUSTRISSIMO et EXCELLENTISSIMO

3)09fGgfS¥0 GOMU&ifa

SACR

BB

REFLEXO AD SUPERFICIES»INTER DUO Ρ UNCTA DATA, LUMINE.

_____ un i, ,, . ««i.,...» ■ .-ι.·.—^

§· I-I η Problemaribus Opticis, quae ingenia Geometrarum

prifcae seratis exercuére, ceiebratur illud Catoptricum,quo in data fuperficie fphserica quacritur pundtum, adquod incidens a dero quodam punélo lucido radius lu-minis, ad aliud pundlum darum reflectetur; cui quidemProbiemati aequivalet illud Geometricum, in quo opor¬tet in data circumferentia circuli punctum definire, adquod inflexae, å duobus punftis datis duae re£tae, sequa-les cum Tangente (vel etjam cum radio) angulos com-prehendant. Primam quaeßionis hujusee iblutionem,eamque ope Hyperbolse concinnatam, dedisfe Ptolemje-um docemur ab illis, quibus ejus de Opticis libri, non-dum edacitare temporis confe£ti, fui copiam fecerant.Floruisfe autem hunc Auftorem conftat circa annum

> P°ft natam Orbis iaiutem. Longo poft ipfutntemporis intervallo, circa annum nempe noo p. C. N.,ejusdem Problematis folutionem in Prop. 39. Libr. V.Opt. dedit perceleber ille inter Arabes Opticus Alhazen,ipfam quoque Seftionibus Coni (vel ut loquitur, Pyra-midis) oppoiiris innixamj quae quantum cum deperdit®illa Ptolemaica folutione conveniat, jem decernere htudlicet: tortuofis autera ambagibus eam esfc valde proli-xam maniFeßum eft, taediique plenisfimam. Hanc ρο·ilea in Opticis Libr. VI. Propof. 22. circa annum 1270iteravit Vitéllo, ipfam fine mutatione ulla, quae quidem

A emea:

% Φ ) © c 4*emendatioms nomen tueri posfir, reperendo. Eandérovero folutionem Optici Arabici tandem praeteriro faeculoin Se£t. 7. Libr. IX. Le£l. Opric. ita emendatam dedicclarisfinms Barrow, ut vers affirmare potuerit, dedisfefe il i am ab borribili illa prohxitate fimul ac obfcuritate, nt-tjue non ab incondita jermonis bavbarie nonnibil repurgatam.Huic δι aliam folutionem plane novarn prasmifit, in quaper lineam altioris quidem ordinis, fed ope pun&orumGsometrice defignabilium perfacile defcribendam, pecu-harem quandam qucEÜti pun£li reflexionis inveniendi meth»odum aperuir.

Eodem fere tempore Algebraice tra£fcari Pi*oblemacoeptum eft,å clarisfimis viris Hugenio, Slusio & Ab·bäte Catelano; quorum praecipue duo primi varias illiusconftru&iones, ex aequationibus erutas, propofuére; quaequidem in TransaSl. Philo/, a. 1675. Ν. 97 & 98 legun-tur: adeo ut folutionum multirudine jam hoc Problemavideri posfer ad tenue elimatum. Interim in fuperfluiscenferi non debent, quae hoc faeculo prodiére, quippeomnes antegresfas concinnitate fuperantes; ceterum, per-parum a fe invicem abludentes. Harum unam in Re¬marks on Eulers Treatife on Motion &c. p. 7f. 76. Benjami¬ns Robins publici juris fecit, ex Hugeniana folutionededu&am illam quidem, ac Geometrie« demonftrationisslegantia in melius adornacam: alteram in Appendice adSeEtiones Conicas exhibuit clarisfimus Geometra Rob.Simson, eximia veterum Analyfi Geometrica pariter at-que Syntheil concinnatam; quam quidem folutionem cumAuäor jam inde ab anno 1729 difcipulis quotannis prae-legerit, patet, esie eam duarum jamjam memoratarumsetare priorem.

§. Ii.Copia igitur potius quam inopla folutionum laborato

boc Problema videtur; in prirnis poft folutionem Sim-(ih··

4 ) » ( 4* ί

Jbmnnam baud probabili fuccesfu quis elegantiorem quae··fi verit. Sed quamvis nec ipfi ne c Robinfiana ad pulcri-rudinem aliquid deesfe videatur , rnulra tarnen ad plenamdiverfornm cafuum explicationem deiiderantur. Cum e-nim ope Hyperbolae cum circulo inteifedionis Proble·ma confiruatur, atque Hyperbolae oppofitae, quemadmo-dum omnes Sediones Conicse, circulutn in quatuor pun-dis fecare posfint; liquet, non unum tantum punctumconfiderandum esfe, fed omnia quatuor esfe fingulatimexcutienda; ut pareat, an fingula Problemati non Geometrice tantum, (de quo nulluni esfe dubium poteft),fed Phyfice etjam confiderato, fatisfacianr. Haud enirnraro eccidit, ut Fhyficae corporum prcprietates in cer-tis caiibus applicationi folutionis Geometricae limites prse-ilituantj id, quod etjam hic locum habere obttenfuri fi*»mps, patebitque, quatuor horum pundorura bina tan¬tum Problemati, Phyfice ipedato, (olvendo infervire;binis reliquis ad hos ufus prorfus inutilibus, quamvis inGeometrie eandem cum illis dignitatem tueantur. Quaeut eo manifeftiora fiant, omnia in hac folutione quatuorinterfedionis punda figillatim confiderabimus,

§. III.Sint eum in finem (Fig. I, If, III, IV),Ccentrum

Sphaerae, atque A & B punda duo dara, å quorum u»no A radius luminis in fuperficiem fphaericam incidensrefledi debet ad alrerum B: fecetque planum reflexion?«?ACB fpbaeram in circulo maximo Ζ/Λλ. Ducantur re-dae AC Si BCy ipfiqus AC & radio Sphaerae inveniaturtertia proportionalis CD; parirerque fit ipfi BC eodetn-.que radio tertia proportionalis CE: junda DE bifeceturin F, a quo pundo ducatur FH ita redarn CR fecans,ut angulus FGC fit aequalis ipfi EDC, Quo fedo, dia-raerris aequalibus, quarum transverfa fit DE & conjuga-

A a tfc

4 4 ) O ( φ

ta ipfi sequalis jsceat in re&a F//, defcribantur Hyper-bolae aequilaterae oppofitae ZZY & Λ-0Λ; quae circuiumin punftis quaeiitis Z, /, Λ, λ interiecabunr.

Eligatur jam prirao punctum L (Fig. i); arque du·&is ALy BL, CL, DL, ELy ab hoc ipfo L duca tur re-£ta LK ordinacim applicara diametro transverfe DE, b.e. parallela hujus conjugarae FH, fecetqus ipfam CB inA/. Quoniarn itaque, circa communem angulum ACL,proportionales funt AC, CL, CD\ fimilia erunr Trian-gula ACL & DCL, eritque angulus ALC aequalis ipiiLDC, Eadem ratione, ob proportionalitarem rectarumBCy CL, CE communem angulum BCL comprehenden-lium, patent & iimilitudo Triangulorum BCL & LCE3fttque angulorum BLC <5c L.EC sequalitas. Porro, quo·niam Hyperbola aequilatera eft, erit reflangulum com·prehenfum abfcisfis DK & KE aequale quadrato ex or¬dinärs LK} quocirca proportionales erunr DK, LK, KE.Sed funt erjani circa communern angulum DKL$ ergofimilia funt Triangula DLK, LEK, arque angulus LDKjequalis ipil ELK feu ELM. Si his addantur aequales(perConftr.) aoguli EDC&FGC itw LME; habebitur ang.LDK -4- ang, ZZXT = ang. ELM -b ang. LME, h. e. ang.LDC = ang. LEC, Ergo erjam anguli, his aequales, aequan-tur inter fe: quocirca erit angulus ALL aequalis ipiiBLC. Hioc, eblaro urrinrique snguio re&o, patet re£hsAL & BL aequales cum rangente per L dufta anguloscomprebendere, idque ad easdem tangentis partes Γ igi*tur ex A incidens radius luminis AL ad B reflecbtur,Solvit itaque pun&um Ζ Problema, non Geometricotantum, fed Phyiico etjam fenfii fumtum.

§. IV.Ut järn eodem modo pun&um / (Tig· H·) exami·

netur; ducantur hic etjam re&ae Al, Bl} Cl, Dl, El>at-

♦ ) β ( 4- i

etque β pun£lo l Diametro transverfae DE ordinatimapplicerar //T, quae erit parallela ipfi FH; fecerque ea-dem re£lam CB in Λ1 Quosiam itaque eil AC ad Clut Cl ad CD, idque circa communein angtilum ACl; fi-rniiia erunt Triangula ACl, DCly atque anguli ÄlC SclDC «quales. Eodem paélo, ob BC ad Cl ut Cl ad CEySc engulum HCl commtincm; Triangula BCl Sc ICE fi-rnilia erunt, arque sequales anguli BIC Se IEC; unde et-jam horum fupplementa ad duos re£tos, h. e. anguliBIN Sc BEI feu MEl aqua η tur. Proprer Hyperbolamaurem aequilaterarn reétangulum DK χ KE äquale eilquadrato ex //Γ, adeoque DK ad IK ut IK ad KE, id¬que circa communem angulum DKL Quocirca Triangu¬la DIK, IEK, fimilia eruntj etque aequales anguli IDKSc ElK feu E/M: qui, Γι fubtrahantur ab angulis aequali·bus EDC Sc FCC feu BMI, relinquent angulos aequfilesIDC Sc MEl Sed (per dem.) erat ang. AIC aequalis ipiiIDC\ Sc B/N aequalis ipii MEl; ergo eft ang. AIC aequa-Iis ipii BIN. Si itaque per / duci tångens intelligatur,re&ae Al Se Bl etjam cum håc äquales angulos compre-hendent, adeoque etjam cum crrcumferentia circuli inpun£lo contailus. Sed, quia ad diverfas hujus tången-tis partes redlae Al Sc Bl jacent; Bl nequit esfe radiusreflexus incidenris rsdii luminoii Al, qui in concavamfuperficiem incidens repcrcutietur verfus partes Λ; adeout IB iit tantum radii reflexi, retro produ&i, continua-tio Geometrica. Senfu itaque Geomerrico tantum, nonitetn Phyfico, ope pun&i / ProbJema folvitur. Quod ficui nihilominus retroa£li radii luminoii transitum per Brefitxionem verfus hoc pun&um nominare placuerit; ad*dat, oportet, vocsbulum imaginärutm, ad exempluni/0-fi iviagimrii, cujus in Opticis crebra fir mentio,

A 3 §. V,

φ ) ο ( φ

§· ν·Sei ige tur jarr» in Hyperbola oppofita pun&um Λ

(Fig. Iii): du&isque ut antea, ΑΑ, ΒΛ, CA, DA, ΕΑ,atque re&a A/f ordination applicata Diametro DE; fecethsec re£tam CB in M. Quia itaque eundem angulumACA comprehendunt re&Ge continue proportionales AC9CA, CDi erit Triangulum ACA fimile ipii ΛDC, Sc an-gulus AaC asqu-alis ipii ADC. Similiter, ob re&arumBC, CA, CE continuam proportionalitatem, eundemqueinterceptum angulum BCA\ fimilia erunr Triangula BCASc ACA, atque angulus BAC arqualis ipii ΛEC, ProprerHyperboi-e aarem ισοπλβυξΰχν erjam in cafu praeienrifequalia Tunt re£iangulurn DK χ KE Sc quadratumex A A", adeoque erunt reciae DB, AK, KE proportio¬nales; Sc, quia idem ab his angulus DKA interci-pitur, Triangula DAK Sc AEK fimilia erunt, angu-'ique ΛDK Sc EaK feu ΕAM äquales. Qui, ii addan-dantur angulis aequalibas ΕDC Sc FGC feu EMA, dabuntfummas asquales h. e. ang. ADK + ang. ΕDC = ang.EAM ■+■ ang. EMA. Hae ftaque fummae de duobus re-&is demtae fupplementa dabunt sequalia; quare ang. ΛDCjequalis erir ipii CEA \ unde erjam aequales his ipfis ar-quantur toter fe, h. e., erit ang. AAC aequalis ipii BAC:quo rum utroque eblato ab angulo re&o, patet re&as AASi BA aequales cum Tangente per A du£ta angulos efii-cere idque ad easdem Tangentis partes. Ergo incidensradius luminis AA reflecletur ad ß: Sc folvit punciumΛ Probkma, tam Geosoetrice quam Pbyfice inrejlectum.

i vi.Ultimo tandem loco videnduni eft, in quantum pun¬

ctum λ (Fig. IV.) Problemati fatisfaciar. Eum in finem.ad hoc ipfum ducantur, ut antea, re£lae Αλ,Βλ, CA,Då, CA; erque ex ipfo ad Diametrum DE dejiciuur or-

di-

ψ ) ο ( φ τ

dinatim applicata λ/f, re£lam CB in ik/ fecarrs. Jsm inhoe etjam cafu proportionslitas re£tarum AC, CA, C/>circa eundem angulum /^CA, iimilia efficit TriangulaACK & OCA, arque aequales angulos ΑλC & ADC. Con-iinua pariter re<ftarum BC> CA, CZ? proporrio, arque an-guii inuercepri BCå communiras, iimilia arguunt Trian-gula BCk & kCEl, arque äquales angulos BhC δί λEC:quorum ifaque erjam fupplementa ad duos re&os, leuanguli ΒλΝ & λΕΒ aequantur. Sed etiam in hoc Sche-mate Hypeibola aequilatera quadrato ex AK aequar re£lan-gulum DK χ KE; unde, quemadmodum in antecedenstibus, oftenuitur, Triangulura DkK esfe fimile Triangu-lo λδΤΓ, angulumque λ DK esfe äqualem angulo ΕλΚ fettΕλΜ. His addendo angulum KDC aequalem ipfi FGEfeu ΕΜλ, oritur angulus KDC aequalis ipfi AEB'r quocir-ca anguli, his äquales, etjam mutuo aequales erunr, a-deoque eft ang. AxC aequalis ipfi BkN> & tandem ΑλΝtequalis ipfi ΒλΟ. Si itaque per A duci cogiterur Tan¬gens·, re&ae Αλ & Βλ etjam cum häc, adeoque erjamcum peripheria circuli, aequales angulos comprehendenn:fed, quia non ad easdem fuperficiei refle&enris partesfitae funt; radius iuminis Αλ nequir in λB refle&i, Tedeft λΒ radius reftexus retro produftus. In fenfu igiturGeometrico tantum Problemati fatisfacere' pundum Αreperitur.

§. VII.Retentis, ut nos quidem fecimus, iisdem nominibuSj

patec omnium cafuum esfe fmilem demonftrationem. Sedquia tarnen non eft plane eadem; cum jam tngulorumduorum fumma, jam differentia, jam ipforum, jam de·nique fummarum fupplementa ad duos re&os adhiben»da fint 3 quae fingula in una eadetnque demonftrationekaud commode conjungi posfunt; pro unoquoque inter-

ß 4 ) ο ( 4fe&ionis pnn£lo fuam cuique demonftrationem fepsratimexhibuimus, uc negotium, circumvolitaturis alioquin adomnes figuras oculis facesfendum, eviraremus. In Fi-gura ΙΪ. re&am LK> quae Diametro FH aequicttihns esfedeberet, ab hoc parallelisnio aliquantulum indinare ne-cesfe habuimus, ne litferae Ey Κ, Μ nimis denfe ftipa-renturj Ted hoc fine perfpicuitatis ja£lura nos fecisfe fpe«ramus. Praeterea in transitu monitum volumus, unarnHyperbolarum transire per C; quamvis hoc ipfuxn de-monftrationem non ingrediatur. Cererum eundem tra-&andi modum, quo quatuor interfe&ionis pun£la in ca-fu prarfenti, pun&orum nempe A Sc B extra circulumconftitutorum, examinavimus; ad reliquos etjam cafusadcommodari posfe manifeftum eft, exiiftente nempe velutroque horum pun£lorum A & B inträ, veieorumunointra, altero extra circulum: adeo ut fupervacaneutn es·fet, his minutatim perfequendis diutius immorari.