Page 1
PRIPREMNI ZADACI ZA
PRIJEMNI ISPIT GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U SARAJEVU
Ovo je Izbor zadataka koji su namjenjeni budućim studentima za lakše pripremanje prijemnog ispita na Građevinskom fakultetu Univerziteta u Sarajevu. Izbor je napravljen prema: 1. Zbirka zadataka iz algebre I, II i III (prema programu za srednje škole), Stjepan Mintaković, Zavod za izdavanje udžbenika Sarajevo; 2. Metodička zbirka zadataka iz algebre i geometrije (za sve srednje škole),Dr Marcel Šnajder, Dr Stjepan Tomić, Zavod za izdavanje udžbenika Sarajevo, te na osnovu zadataka koji su postvljeni na klasifikacionom ispitu iz matematike za upis na Elektrotehnički fakultet, Fizički fakultet i Fakultet za fizičku hemiju na Univerzitetu u Beogradu, te na osnovu primjera zadataka za test iz matematike na Sveučilištu u Zagrebu.
Page 2
2 �SADRŽAJ��RAZLOMCI...�3�ALGEBARSKI�IZRAZI...�9�KVADRATNE�JEDNA�INE...�14�JEDNA�INE�SA�APSOLUTNIM�VRIJEDNOSTIMA...�16�GRAFICI�KVADRATNE�FUNKCIJE�SA�APSOLUTNIM�VRIJEDNOSTIMA...�18�LOGARITAMSKE�JEDNA�INE�I�NEJEDNA�INE...�19�PRIMJENA�SLI�NOSTI...�21�POVRŠINA�RAVNIH�FIGURA...�22�TRIGONOMETRIJA...�24�
I��SvoĜenje�na�prvi�kvadrant...�24�II�Trigonometrijske�funkcije�složenih�uglova...25�III�Trigonometrijske�jednaēine...�27�
ANALITI�KA�GEOMETRIJA�U�RAVNI...�30��PRIMJERI�PRIJEMNOG�ISPITA�NA�RAZNIM�FAKULTETIMA...�40��Elektrotehniēki�fakultet�Uiverziteta�u�Beogradu�...��40�Fakultet�za�saobrađaj�i�komunikacije�u�Sarajevu�...42�Elektrotehniēki�fakultet�Uiverziteta�u�Sarajevu�...43�GraĜevinski���fakultet�u�Sarajevo....�46�Malo�statistike�sa�prijemnog�ispita�na�GF�u�Sarajevu��02.07.2007...�48�TESTIRAJTE�SE�ZA�PRIJEMNI�ISPIT�IZ�MATEMATIKE...�52�PROGRAMI�ZA�PRIJEMNI�ISPIT�IZ�MATEMATIKE....58���������
������������������
Page 3
3 Razlomci:��
Izraēunati�vrijednosti�numeriēkih�izraza:��
1.����������
2.����3.���4.����5.�����6.�����7.����8.�
�
PRIMJEDBA:Ovdje�je�mješoviti�broj��2 15 2 17 23 35 5 5 5 5= + = v ¸ �
Page 4
4 ���9.�����
10.�����
11.���
12.���
13.���
14.���
15.�����
16.���
17.���
18.����
19.���
20.�
�
Page 5
5 �
21.����
22.���
23.����
24.����
25.������
26.�����
27.������
28.����
29.����
30.����
31.��
� �
Page 6
6 ��
�32.������
34.������
36.�
���������������
Page 7
7 Rješenja��
�
1.���5.��9.���
12.���
13.���
14.���
17.�
�
20.���
23.����
26.����
29.���
31.������
32.�
�
Page 8
8 �
33.��������
34.�
�
Page 9
9 �
Algebarski�izrazi��
���1.����2.���3.�����4.���������5.����6.����7.����8.�
�
Page 10
10 ���9.�����
10.������
11.������
12.����
13.����
14.����
15.����
16.���
17.�����
18.��
��
��
Page 11
11 ���
19.���������
20.�
��
Riješenja�
�1.���2.��3.�������������
�4.���5.���
�
Page 12
12 6.���7.���9.�
11.���������������
12.�
Page 13
13 13.����
14.�������
15.�����
16.����
17.�������
����
�� � �
�18.�
��
Page 14
14 Kvadratne�jednaēine�
�
���1.��
�2.�������3.����4.�����5.���6.�����
�7.����
�
�����
Page 15
15 Rješenja�kvadratnih�jednaēina�
1.�����2.������3.�
��
�4.�����5.�����6.���7.�
� �
�
Page 16
16 �
Jednaēine�sa�apsolutnim�vrijednostima��
1.����2.�
�3.���4.� �
Rješenja�jednaēina��1.����������������2.��������3.�
��������4.�
�
�
Page 18
18 �
Grafici�kvadratne�funkcije�sa�apsolutnim�vrijednostima��
1.���
3.��
Rješenja����1.����������������������������2.�����3.��
���
��
Page 19
19 Logaritamske�jednaēine�i�nejednaēine�
�
1.��2.�����3.�����4.����6.�
�������
Page 20
20 Rješenja�logaritamske�jednaēine�i�nejednaēine�
��1.������������
�2.��3.��������4.����
�5.���
���6.�
�
Page 21
21 Primjena�sliēnosti�
�
�1.�
���������
���2.����3.��4.���5.����6.��
Rješenja���
1.����������
��3.����4.���
��6.��
�
Page 22
22 Površina�ravnih�figura�
�
1.����2.�
�3.���4.���5.����6.�����7.���8.��9.�����
10.��
11.����
12.���
13.����
14.�
� �
�
Page 23
23 Riješenja�
�
1.��4.��5.�7.�8.�9.�
10.��
11.��
12.��
14.��
�
Page 24
24 Trigonometrija�
�Rješenja�
�
Page 27
27 �
III�Trigonometrijske�jednaēine�
�
�
Page 29
29
��
���
ͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲ���
Page 30
30
ANALITI�KA�GAEOMETRIJA�U�RAVNI��
Taēka�
Rastojanje�d�taēaka�M1(x1,y1)�i�M2(x2.y2):��2 2
2 1 2 1d = (x - x ) + (y - y ) �
Koordinate�sredine�S�duži�M1M2�: ( ) ( )s 1 2 s 1 21 1x x x , y y y2 2
= + = + .�
�Površina�trougla�Površina�P�trougla�sa�vrhovima�M1(x1,y1)�i�M2(x2.y2)�i�M3(x3,y3):�
[ ]1 2 3 2 3 1 3 1 21P = x (y y ) x (y y ) x (y y )2
± � + � + � �
Taēke�M1(x1,y1)�i�M2(x2.y2)�i�M3(x3,y3)�su�kolinearne�(tj.�leže�na�istoj�pravoj)�akko�je�P=0.���Jednaēina�prave�•�Opšti�oblik:��Ax�+�By�+�C�=�0,���A�ili�B�je�razliēito�od�nule�(tj.� 2 2A B+ z�0�).��C=0�implicira�prava�prolazi�kroz�koordinatni�poēetak.�
•� Segmentni�oblik:�����yx 1,
a b+ = �
taēka�P(a,�0)�presjek�sa�osom�Ox,�taēka�Q(0,�b)�presjek�sa�osom�Oy;�x �= �a � �prava �paralelna �osi �Oy, � �y= �b � �prava �paralelna �osi �Ox; �jednaē ina �ose �Ox � � � �y= �0, � � � jednaē ina �ose �Oy: � � � �x= �0. �•���Eksplicitni�oblik� � � � �
y�=�kx�+�n
����������������������������������
(0,�n)�presjek�sa�osom�Oy,�n , 0 , k 0,k
� ¬�� v� �� ®�presjek�sa�osom�Ox,�D�ugao�sa�pozitivnim�smerom�ose�Ox,����k=�
tga�koeficijent�pravca.�• Pramena�pravih�sa�centrum�M0�(x0,�y0):����y�Ͳ��y0�=�k(x�Ͳ�x0).�• Prave�kroz�dvije�taēke�M1(x1,y1)�i�M2(x2.y2):�
( ) ( )( ) ( )( )2 11 1 1 2 1 2 1 1
2 1
y yy y x x ili y y x x y y x x
x x�
� = � � � = � ��
�
• Normalni�oblik��(p�!�0�je�rastojanje�prave�od�koordinatnog�poēetka,�a�E�ugao�koji�normala�na�tu�pravu�zatvara�sa�(pozitivnom)�smjerom�ose�Ox)�
x cos ysin p 0C+ C� = .�
Veza�izmeĜu�raznih�oblika�jednaēine�prave�
2 2
C C A Ca , b , k tg , , p ,A B B 2 A B
Q=� =� = B =� B+C= =± +
�
Predznak�pred�korjenom�bira�se�tako�da�je��p�!�0.�Uslov�paralelnosti�pravih�
• Prave�����y�=�k1x�+�n1,����y�=�k2x�+�n2��su�paralelne�ako�i�samo�ako�je����k1�=�k2.��• Prave��A1x�+�B1y�+�C1�=�0,��A2x�+�B2y�+�C2�=�0,�su�paralelene�akko:��������������������������������������������������������������� 1 1 2 2A : B A : B= ���������������������������������������������������������.�
����������������Uslov�normalnosti�pravih�• Prave��y�=�k1x�+�n1,�k1�z�0��i��y=�k2x�+�n2,�k2z�0,�su�normalne�akko�je��k1k2�=�—1.�• Prave�A1x�+�B1y�+�C1�=�0��i�A2x�+�B2y�+�C2�=�0�su�normalne�akko�je��A1A2�+�B1B2�=�0.�
•� Prava�kroz�Mo�(xo,yo)�normalna�na�pravu�y�=�kx�+�n,��k�z�0��je� ( )0 01y y x x .k
� =� � �
Page 31
31 Ugao�izmedu�pravih�
• y=�k1x�+�m1,���y=�k2x�+�n2:��2 1
1 21 2
k ktg , 1 k k
1 k k�
K= ++
,��tj.��1 1 2k k+ �=�0���M�=�r900.�
Rastojanje�taēke�od�prave�
• rastojanje��«d«�taēke�M0�(x0,�y0)�od�prave�Ax�+�By�+�C�=�0,�2 2A B+ z�0,�je�
������������������������������������������������������ 0 0
2 2
Ax By Cd
A +B
+ += �
¾ dͼC�>�0�ako�su�taēke�O�i�M0�sa�iste�strane�prave�,��¾ dͼC�<�0�ako�su�taēke�O�i�M0�sa�raznih�strane�prave,��¾ d�=�0�ako�je�M0�na�pravoj,�¾ C�=�0�koordinatni�poēetak�O�je�na�pravoj.�
���
Kružnica��
je�geometrijsko�mjesto�taēaka�u�ravni�jednako�udaljenih�od�jednc�utvrĜene�taēke�(centra�kružnice).�• Polupreēnik�je�duž�ēije�su�krajnje�tacke�centar�i�bilo�koja�taēka�na�kružnici.�• Jednaēina�kružnice�sa�centrom�u�tacki�C(p,�q)�i�polupreēnikom�r�je��
(xͲp)2�+�(yͲq)2�=r2.�
x Ax2 �+�Bx�+�Ay2�+�Cy�+�D�=�0��je�jednaēina�kružnice�ako�je��B2�+�C2�Ͳ�4AD�>�0.�Tada�je:�2 2
22
B C B C - 4ADp , q , r .2A 2A 4A
+=� =� = �
Tangenta �kružnice �•� Ako�taēka�Mo(xo,yo)�pripada�kružnici���(x�Ͳ�p)
2�+�(y�Ͳ�q)2�=�r2 � �onda�je�(xo�Ͳ�p)ͼ�(x�Ͳ�p)�+�(yo�–�q)�ͼ�(y�Ͳq)�=�r
2�
�jednaēina�tangente�kružnice�u�toj�taēki.�•� Prava��y�=�kx�+�n��je�tangenta�kružnice�����(x�—�p)2�+�(y�—�q)2�=�r2����������akko��je�(1�+�k2)r2�=�(qͲkpͲn)2.�
��
Elipsa��
je�geometrijsko�mjesto�taēaka�u�ravni�sa�osobinom�da� je�zbir�rastojanja�od�dvije�utvrĜene�taēke�(fokusa�F1� i�F2)�stalan.�Zbir�rastojanja�ma�koje�taēke�elipse�do�fokusa�obilježava�se�sa�2a.�
�
Page 32
32
•����Kanonska�jednaēina:���22
2 2
yx 1a b+ = ��
•����Ekscentritet:�2
2
c be 1 1a a
= = � < ;���Fokusi�(žiže):�����(c ,0) , ��(Ͳ�c,0)���
•����Jednaēine�direktrisa:����a ax , xe e
= =� ;��fokalni�parametar:����2bp
a= �
•����Fokalni�radijusi:���r1�=�a�+�ex,���r2�=�a��Ͳ��ex�;�
•����Tangenta�u�taēki�M�(x0,�yo):����0 02 2
x x y y1
a b+ = �
•����Uslovi�da�prava�y�=�kx�+�n��bude�tangenta�hipcrbole:���a2k2�+�b2�=�n2���
Hiperbola��
je�geometrijsko�mjesto�taēaka�u�ravni�za�koje�vrijedi��da�je�razlika�rastojanja�od�dvije�utvrĜene�taēke�(fokusa�F1�i�F2)�stalna.�Stalna�razlika�udaljenosti�od�fokusa�obelezava�se�sa�2a.�
�•����Kanonska�jednaēina:������������22
2 2
yx 1a b
� = �
•�����Ekscentricitet:����2
2
c be 1 1a a
= = + > ;���Fokusi�(žiže):�����(c ,0) , ��(Ͳ�c,0)�
•����Jednaēine�direktrisa:����a ax , xe e
= =� ;��fokalni�parametar:����2bp
a= �
•����Fokalni�radijusi:���r1�=�a�+�ex,���r2�=�Ͳ��a�+�ex�;�
•����Tangenta�u�taēki�M�(x0,�yo):����0 02 2
x x y y1
a b� = �
•����Uslovi�da�prava�y�=�kx�+�n��bude�tangenta�hipcrbole:���a2k2�–�b2�=�n2�
��
���
Parabola��
je�geometrijsko�mjesto� taēaka�u�ravni�sa�osobinom�da� je�rastojanje�od� jedne� fiksne� taēke� (fokusa�F)� jednako�rastojanju�od�jedne�fiksne�prave�(direktrise�d).�•����Kanonska�jednaēina:���y2�=�2px�•����Ekscentricitet:����e�=�
• Fokus:����p , 02
� ¬� � �� ®�
• Jednaēina�direktrise:��px2
=� �,��Fokalni�parametar:����p�
Page 33
33
• Fokalni�radijus:���p r = x + 2�
• Tangenta�u�taēki�M(xo�,yo):������ ( )0 0y y p x x= + �
•� Uslovi�da�prava���y�=�kx�+�n���bude�tangenta�parabole:��2kn�=�p
Page 34
34
� 34
ZADACI��
Taēka�i�trougao��
�1.��Odrediti��taēku�M(x,y)��koja�je�jednako��udaljena��od��tacaka:�M1(l,0),�M2(2,2)�i�M3(0,�2).���� � � � � ��������Rjesenje.�Iz�uslova�zadatka�je�MM1�=�MM2���i��MM1�=�MM3,��dobije�se�slijedeđi�sistem�jednaēina:�
������������������������������ �odnosno��������������������������������2x�+4y�=�7,��2x�Ͳ�4y�=�Ͳ3,�ēije�je�rješenje��x�=�1�i�y�=�5�/�4,�pa�je�tražena�taēka��M(�1,�5�/�4).�2. Pokazati�da�je�trougao�ABC�jednakokrako�pravougli�ako�su�njegova�temena:�A(2,l),�5(5,3)�i�C(0,4).��3. Data�su�tri�uzastopna�tjemena�A(l,0),�B(3,1)�i�C(5,4)�paralelograma�ABCD.�Nađ'i�koordinate�temena�D.�����Rezultat.��D(3,3).������4..� Data�su�dva�susjedna�tjemena�A(Ͳ4,4),��B(2,8)�i�presjek�dijagonala�S(2,2)�paralelograma�ABCD.�Odrediti��tjemena�C�i�D.�Rezultat.��C(8,0),��D(2,Ͳ4).��5.� Dva�tjemena�trougla�ABC�su�A(Ͳ3,1)�i�B(2,2),�a�tređe�tjeme�C�pripada�pozitivnom�dijelu�yͲose.�Nađi�koordinate��taēke�C�tako�da�površina�tog�trougla�bude�10.��Uputstvo.�Iz�uslova�zadatka�dobija�se�slijedeđa�jednaēina:���
5y 8 20 (y 0).� = > �����Rezultat.�� ( )C 0, 28 5 . �� '�6.� Tri�tjemena�cetvorougla�ABCD�su:�A(4,0),�B(3,5)�i�C(Ͳ7,5),�a�ēetvrto�tjeme�D�pripada�negativnom�dijelu�xͲose.��Odrediti�koordinate�tacke�D�tako�da�površina�cetvorougla�ABCD�bude�50.�Rezultat.�D(Ͳ6,0).�
Prava��
7.�Data�je�taēka�A(l,2)�i�prava�jednacinom��2x�+�y�Ͳ�3�=�0.�a) Naci�jednacinu�prave�koja�prolazi�kroz�tacku�A�i�normalna�je�na�datoj�pravoj.�b) Naci�jednaēinu�prave�koja�prolazi�kroz�tacku�A�i�paralelna�je�sa�datom�pravom.�
Rjesenje.�a)�Koeficijent�pravca�date�prave�je�k�=�Ͳ2,�a�koeficijent�trazene�prave�je� 11 1k ,k 2
=� = �pa�je�jednaēina�
tražene�prave� ( )1y 2 x 12
� = � ,�odnosno�x��Ͳ��2y�+�3�=�0.���Rezultat.�b)�2x�+ �y �Ͳ�4 �=�0. ��������������������������������������������������������������������
8.�Tacke�A1(Ͳl,�0),�B1(2,1)�i�C1(0,�3)�su�sredine�stranica�trougla�ABC.�Naci�koordinate�tjemena�tog�trougla.�Uputstvo.�
Prava�BC�je�paralelna�sa�pravom�B1C1��i�lahko�je�viditi�da�je��BC:�yx 1 ;
2 2+ =
�prava�AB�je�paralelna�sa�pravom�A1B1��pa�je����
AB:�y 3x ;
3 1�=
� �prava�AC�je�paralelna�sa�pravom�A1C1��pa�je:�AC:�
y 1x 2 .1 3
�� = ���Rezultat.� �A(3,4),�B(Ͳ3,2),�C(l�Ͳ2).�
9.� U�jednaēini�prave��mxͲ2y�+�5�=0�odrediti�parametar�m�tako�da:�a) prava�bude�paralelna�pravoj��x�+�y�Ͳ1�=�0,�b) prava�bude�normalna�na�pravu�x�Ͳ�y�+1�=�0;�c) prava�zaklapa�sa�pozitivnim�smijerom�xͲose�ugao�od�60°.�
Rezultat.�a)�m�=�Ͳ2;�b)�m�=�Ͳ2;�c)� m 2 3.= �10.�Tjemena�trougla�su�ta£ke:�M1(3,0),�M2(5,2)�i�M3(4,�5).�Nađi�jednaēinu�visine�trougla�MiM2M3�koja�odgovara�temenu�M1.��Rezultat.��x�Ͳ�3y�Ͳ�3�=�0.�11.� Nađi�jednaēinu�prave�koja�prolazi�kroz�taēku�A(2,3)�i�sa�koordinatnim�osama�gradi�trougao�povrsine�12.�Uputstvo.�
Jednaēina�tražene�prave�je�yx 1
p q+ = ,�a�površna�trougla�je�
1P p q 12.2
= = �Iz�uslova�da�taēka�A�leži�na�toj�
pravoj�dobija�se�jednaēina�2 3 1p q+ = .�Za�nalaženje�veliēina�p�i�q��koristi�se�sistem�jednaēina:�«pq«=�24,��3p�+�2q�=�24.��
Rezultat.�3x�+�2y�Ͳ12�=�0.�
Page 35
35
� 35
12.� Odrediti�parametar�p�tako�da�prava�2x�+�py�Ͳ�5�=�0�zaklapa�sa�koordinatnim�osama�trougao�ēija�je�površina�5.��
Rezultat.�5p .4
= �
13.� Odrediti�koordinate�tacke�A'�koja�je�simetriēna�taēki�A(1,Ͳ1)�u�odnosun�na�pravu �x+2y �Ͳ�1�=�0.�Rješenje. �Prava�kroz�tacku�A�normalna�na�datu �pravu � ima� jednaē inu �2x�Ͳ�y�Ͳ�3 �=�0.�Presjek�tih�pravih�je�
tacka�7 1B , ,5 5
� ¬� � � �� ®�a�tražena�taēka�A'(x',y')�odreĜuje�se�iz�uslova�������������������������AB�=�B�A',��tj.�
y 17 x 1 1i5 2 5 2
aa �+= � = .�Prema�tome,�trazena�tacka�je�9 3A , .5 5� ¬�a � �� ®
�
14.� Na�pravoj�3x�Ͳ�y�+�3�=�0�naci�tacku�M2�najbližu�taēki�M1(2,�Ͳ1).��Rezultat.�M2(Ͳl,0).� �
15.��Nađi�jednaēinu�prave�koja�prolazi�kroz�taēku�M3(3,�3),��a�sa�pravom�4x�Ͳ�y�Ͳ2�=�0�zaklapa�ugao�4Q.��Uputstvo.�Iz�
uslova�zadatka�dobija�se�jednaēina��k 4 1,
1 4k� =+
�gde�je�k�koeficijent�pravca�tražene�prave.��Rezultat.�Dva�rješenja:�5x�
+�3y�Ͳ�24,�3x�Ͳ�5y�=�Ͳ6.�16.�� Odrediti�jednaēinu�geometrijskog�mjesta�taēaka�u�ravni�Oxy�koje�su�podjednako�udaljene�od�taēaka�A(Ͳ1,3)�i�B(3,l).��Rezultat.�2x�Ͳ�y�=�0.�
17. Nađi�rastojanje�izmeĜu�paralelnih�pravih��x�Ͳy�+�2�=�0�i�2xͲ2y�+�9�=�0.��Rezu l t a t .5 2
4. �
18. Odrediti�jednaēine�simetrala�uglova�koje�obrazuju�prave�8x�+�16y�Ͳ21�=�0�i�16x�Ͳ�8y�+��23�=�0.�Rezultat.�2x�–�6y�+�11�=�0,��12X�+�4y�+1�=�0.�19.�Na�pravoj�2x�Ͳ�y�Ͳ�10�=�0�nađi�taēku�M(x,y)�tako�da�je�zbir�kvadrata�rastojanja�od�taēaka�M1(Ͳ5,0)�i�M2(Ͳ3,�4)�najmanji.��Uputstvo.�Iz�uslova�zadatka�je:��MM1
2�+MM22���=2x2�+�2y2�+�16x�Ͳ�8y�+�50��i��y�=�2x�Ͳ�10,�odakle�je��MM1
2�+MM2
2�=10x2��Ͳ�80x�+�300.��Rezultat.�M(4,Ͳ2).���
Kružnica��
20.� Nađ i � jednaē inu �kružnice �koja �prolazi �kroz �taēke �A(l ,6) � i �5(3, Ͳ2), �a �centar �C �te �kružnice � leži �na �pravoj �x � Ͳ �y �+ �3 �= �0. � � �Rješenje.�Centar �C(p,q) �tražene �kružnice � lež i �na �pravoj � �x �– �4y �+ �6 �= �0 �koja � je �simetrala �duži �AB � i � lež i �na �datoj �pravoj . �Znaē i , �za �nalaženje �vel iē ina �p � i �q �postoji �sljedeđi �sistem �jednaē ina: �p � Ͳ �4q �+ �6 �= �0, �p �– �q �+ �3 �= �0, �pa � je �centar �kružnice �
C( Ͳ2, l) , �a �polupreēnik � je �r �= �AC �= 34. �Prema �tome, �tražena � jednaē ina �kružnice � je � � ( ) ( )2 2x 2 y 1 34.+ + � = �
21.� � �Na đ i � j e d na ē i n u � k r u ž n i c e � k o j a �p ro l a z i � k r o z � t a ē k e �M1 ( l , Ͳ 3 ) , �M2 ( l , �1 ) i �M3(Ͳ1,�3).�Rezultat.� � ( x �+ �3) 2+ (y �+1) 2 �= �20 . �22.� Nađ i � jednaē inu �kružnice �koja �prolaz i �kroz �koordinatni �poēetak � i � ē i j i �centar � l e ž i �na �pravo j �y �= �x �na � ra s to jan ju �
p 2 �od �koord ina tnog �poēetka . � �Re z u l t a t . x 2 � + y 2 � Ͳ 2 p x � Ͳ 2 p y � = � 0 , x 2 � + y 2 � + 2 p x � + � 2 p y � = � 0 . �
23. � Nap i sa t i � j ednaē i nu �k ružn i ce �po lupreēn i ka � r=2 , �ko ja �dod i ru je �x Ͳosu , �a �centa r � j o j � j e �na �pravo j �y=2x . � �Rezu l tat . � � ( x � Ͳ �1) 2 �+ (y �– �2 ) 2 �= �4 , � � ( x �+ �1) 2 �+(y �+ �2) 2 �= �4 . �24.�� Iz �taēke �A(15, Ͳ5) �povuđ i � �seē icu �na �kružnicu � �x2 �+y2 �= �50 �tako �da �odseca �tetivu �dužine �10. �Nađ i �jednaē inu �te �seē ice. � �Rezultat. �3x �+ �4y � Ͳ �25 �= �0, � �y �+ �5 �= �0. �25.� Nađi�jednaēinu�tetive�kružnice�x2�+y2�Ͳ�4x�+�2y�+�1�=�0�koja�je�taēkom�A(3,0)�prepolovljena.�Rezultat.�x�+�y�Ͳ�3�=�0.�26.� Odsjeēak�prave��3x�+�2y�Ͳ�6�=�0�koji�odsjecaju�koordinatne�ose�je�hipotenuza�jednakokrakog�pravouglog�trougla.�Nađi�tređe�tjeme�tog�trougla.��Uputstvo.�Taēke�presjeka�koordinatnih�osa�i�date�prave�su�A(2,0)�i�B(0,3).�Prava�4x�–�6y�+�5�=�
0�je�simetrala�duži�AB;�kružnica�ēiji�je�preēnik�AB�=� 13 �ima�jednaēlnu�(x�Ͳ1)2�+�(y�Ͳ�32)�2�=�
134.��Znaēi,�tražena�taēka�
C(x,y)�je�rješenje�sljedeđeg�sistema�jednaēina:� 2 23 134x - 6y 5 0, (x 1) (y ) .2 4
+ = � + � = � �Rezultat. �
1 25 5 1 1C , , C , .2 2 2 2
� ¬ � ¬ � �� � � � �� ® � ®� �
27.��Nađi�jednaēinu�kružnice�koja�dodiruje�pravu�x�+�y�Ͳ�2�=�0�u�taēki�A(1,1)�i�prolazi�kroz�taēku�B(4,0).�Rezultat.�2 27 7 25x y .
2 2 2� ¬ � ¬ � �� + � = � � � �� ® � ®
�
Page 36
36
� 36
28.��Odrediti�jednaēinu��kružnice�ēiji�je�centar�u��taēki�presjeka�pravih�3x�Ͳ�4y�+�11�=�0��i���5x�+�7�y�Ͳ�50�=�0����i����
koja����dodiruje���pravu��5x�+�12�y�Ͳ�10�=�0.��Rezultat.�� 2 2(x 3) (y 5) 25.� + � = �
29.�� Odrediti�n�tako�da�prava�y�=�x�+�n�bude�tangenta�kružnice�x2�+y2�Ͳ�2x�Ͳ�2y�+�1�=�0.�
Rezultat.�n1�=� 2 ,�n2�=��Ͳ� 2 .�30.� Odrediti�jednaēinu�kružnice�ēiji�je�centar�tadka�C(2,5),�a�dodiruje�kružnicu�(x�+�2)2 � �+�(y�Ͳ�l)2 �=�2.�a)�spolja;�b)�iznutra.���Rezultat .a) � (x Ͳ2) 2+(y Ͳ5) 2 �= �18; �b) � ( x � Ͳ �2) 2 �+ � (y � Ͳ �5) 2 �=50. �31.�Naci�geometrijsko�mjesto�sredina�tetiva�kruznice�x2�+�y2�=�r2�koje�prolaze�kroz�tacku�M0(Ͳr,�0).�
Rezultat.�2 2
2r rx + y =2 4
� ¬� + � �� ®,�osim�taēke�M0(Ͳr,�0).�
32.�Nađi�geometrijsko�mjesto�svih�taēaka�u�ravni�Oxy�iz�kojih�se�kruznica�x2�+y2�=�r2��vidi�pod�pravim�uglom.��Rješenje.�Neka�taēka�M(x,y)�pripada�trazenom�skupu�i�neka�je���Y�=�kX�+�y�Ͳ�kx�tangenta�date�kruznice�u�taēiki�M(X,Y)�
(X�i�Y)��su�tekuđe�koordinate�prave).�Uslov�dodira�tangente�i�kruznice�je�( ) ( )22 21 k r y kx ,+ = � �odnosno��(r2Ͳ
x2)k2+2xyk�+�r2�Ͳy2 �= �0. �Dobijena�kvadratna�jednaēina�po�k�ima�dva�rjesenja�k1�i�k2,�koja�zadovoljavaju�relaciju�k1k2��
=�Ͳ�1,�pa�je:�2 2
2 2
r y 1.r x
� =��
�Prema�tome,�tražena�jednaēiina�je��x2�+�y2�=�2r2.�
�Elipsa�
�33.�Nađi�kanonski�oblik�jednadine�elipse�ako�je�a�+�b�=�10�i�c�=� 20 ��(aͲvelika�poluosa;�b�Ͳ�mala�poluosa;�2c�ͲrastojanjeizmeĜu�žiža).��Rješenje.�Iz�uslova�zadatka�dobija�se�sljedeđi�sistem�jednaēina:�a2�Ͳ�b2�=20,�a�+�b�=�10,�ēije�je�rješenje��a�=�6�i�b�=�4,�pa�je�tražena�jednaēina�elipse�16x2�+�36y2�=�36�ͼ16.������������������������������
34.�Pod�kojim�se�uglom�vidi�žižno�rastojanje�elipse��9x2�+�36y2�=�9ͼ36��i�iz�taēke�3 3A 3, ?
2
� ¬� � � ��� ®�Rezultat.��M�=�
arctg12 .5
�
35.�U�elipsu�x2�+4y2�=�4�upisan�je�jednakostraniēni�trougao�ēije�se�jedno�tjeme�poklapa�sa�desnim�krajem�velike�poluose�te�elipse.�Nađi�koordinate�ostala�dva�tjemena�tog�trougla.�
Uputstvo.�Tjemena�B�i�C�tog�trougla�nalaze�se�na�pravama��3y = (x 2)
3� �i�
3y = (x 2)3
� � .�
Rezultat.�2 4 3 2 4 3B , , C , .7 7 7 7
� ¬ � ¬ � � � � � � � � �� �� ® � ®�
36.�� Tjemena�ēetvorougla�nalaze�se�u�žižama�elipsi:��b2x2+a2y2�=�a2b2�i��a2x2�+�b2y2�=�a2b2.�Nađi�površnu�tog�ēetvorougla.��Rezultat.��P�=�2«a2��Ͳ�b2�«.�37.� Nađi�jednaēine�tangenata�elipse�x2�+4y2�=1�koje�su�paralelne�pravoj��x�+y�=�2.� �
Rezultat . �5y x .
2= � ± �
38.�Napisati�jednaēinu�elipse�u�kanonskom�obliku�ako�ona�dodiruje�prave:� x y 8 0, x 3y 16 0.+ � = + + = �
Rezultat.��a2�=�40,�b2�=�24.�39.� Prava�koja�odsjeca�jednake�odsjeēke�na�koordinatnim�osama�je�tangenta�elipse��iz�zad.�38.�Nađi�jednaēinu�te�tangente.��Rezultat.�x�+y�Ͳ8�=�0.�40.� Nađi�jednaēnu�tangente�elipse�9x2�+25y2�=�225�ēiji�je�odsjeēak�izmeĜu�koordinatnih�osa�taēkom�dodira�
prepolovljen�(prvi�kvadrant).��Rezultat.�3x�+�5y�Ͳ�15 2 �=�0.�41.� Nađi�jednaēinu�tangente�elipse�sa�osama��a2�=�72,�b2�=�32�koja�sa�koordinatnim�osama�zaklapa�trougao�površine�48.��Rezultat.�2x�±�3�v�±�24�=�0.�
42.��Nađi�ugao�pod�kojim�se�sjeku�kružnica��x2�+�y�2�=�4��i�elipsa�3x2�+�4y2�=�13.��Rezultat.3 = arctg .
13K �
43. Odrediti��jednaēine���zajedniēkih���tangenata���elipsi���x2+4y2=4���i��9x2�+y2�=�9.�2 35 2 35Rezultat. y 2 x , y 2 x .3 3 3 3
= ± =� ± �
�44. Nađi�geometrijsko�mjesto�centara�krugova�koji�dodiruju�kružnice�x2�+�y2�=�16�i�(x�Ͳ2)2�+y2�=�4.�
Page 37
37
� 37
Uputstvo.�Neka� je�M(x,�y)� jedna� taēka� traženog�geometrijskog�mjesta� taēaka,�a� r�polupreēnik�kružnice�koja�dodiruje�date�kružnice.�Tada�je�oēito�(obavezno�nacrtajte�sliku):�
( )2 2 2 2r 2 x 2 y , 4 r x y .+ = � + � = + �
Rezultat.�Elipsa� ( )2 28 x 2 9y 72� + = ��i�prava�y�=�0��bez�taēke�(4,0).�
II�naēin.�Neka�su:�O1�centar�veēe�kružnice��ēiji�je�polupreēnik�r1�=�4,�O2�centar�kružnice��ēiji�je�polupreēnik��r1�=�2,�tada�je�(vidi�sliku)�(O1M�=�r1�–�r,��O2M�=�r2�+�r)���O1M�+�O2M�=�r1�+�r2�=�6,�tj.�traženo�geometrijsko�mjesto�je�elipsa�ēiji�su�fokusi�
O1�i��O2,��tako�da�je�2a�=�6,�2c�=�O1O2=�r1�=�2.�Zato�je�(a,�c)�=�(3,�1)�i�2 2b = a c 8� = .�
45.�Nađi�geometrijsko�mjesto�taēaka�koje�dijele�ordinate�taēaka�kružnice�x2�+�y2�=25�u�razmjeri�3:2.�Rezultat.��9x2+25y2�=�225.�
45. Odrediti�geometrijsko�mjesto�taēaka�iz�kojih�se�elipsa�22
2 2
yx 1a b+ = �vidi�pod�pravim�uglom.��Uputstvo.�Vidi�zadatak�
32,�odjeljak�Kružnica.��Rezultat.�x2�+�y2�=�a2�+�b2..���
Hiperbola��
47.�Odrediti�jednaēinu�hiperbole�u�kanonskom�obliku�ako�ta�hiperbola�prolazi�kroz�taēke�M1(2,0)�i�M2(6,4).��Rješenje.�Iz�uslova�da�taēke�M1�i�M2�pripadaju�hiperboli�ēija�je�jednaēina:�
2 2 2 2b x a y 1� = �dobija�se�sljedeđi�sistem�jednaēina:�4b2�=�
a2�b2�,��36b2�Ͳ�16a2�=�a2�b2.�I z l az i �a2 �= �4 � i �b2 �= �2 , �pa � je � j ednaē i na � te �h iperbo le �22 yx 1
4 2� = . �
48. �Nađi�jednaēinu�hiperbole�u�kanonskom�obliku�ako�ta�hiperbola�prolazi�kroz�taēku� A( 4 2, 3) � i �ako �ona � ima �
i s te �ž i že �kao � i �e l ipsa �2 �x2 �+ �7y2 �=70. � �Rezu l tat . �22 yx 1
16 9� = . �
49. �Data � j e � j ednaē i na �e l ipse �9x2 �+ �25y2 �= �225 . �Napisat i � j ednaē i nu �h iperbo le � ē i j a �su � temena �u �ž i žama � te �e l ipse , �a �ž i že � te �h iperbo le �u � temenima �date �e l ipse . �
Rezu l tat . �22 yx 1
16 9� = . �
50. � I z raēunat i � ras to jan je �ž i ža �h iperbo le �22 yx 1
64 36� = �od �njen ih �as imptota . �Rezu l tat . �6 . �
51. �Nađ i �duž inu � tet ive �h iperbo le �5 �x2 � Ͳ �4y2 �= �20 �ko ja �pro laz i �kroz �desnu �ž i žu � te �hiperbo le � i �para le lna � j e �sa �pravom �x �+ �y �= �1 . � �Rezu l tat . �40 . �52. �Napisat i � j ednaē i nu � tet ive �h iperob le � �4x2 � Ͳ �9y2 �= �36 �ko ju �polov i � taēka �A(5 ,1 ) . �Rezu l tat . �20x � Ͳ �9y �= �91. �53. � Jednakost ran iēn i � t rougao , �ko j i � j e �s imetr iēan �u �odnosu �na �x Ͳosu , � ima � j edno � t jeme �u �koord inatnom �poēetku , �a �druga �dva � t jemena �su �na �h iperbo l i �4x2 � Ͳ �9y2 �= �36 � ( x �> �3) . �Nađ i �koord inate � t jemena � tog � t roug la . � �
Rezu l tat . �O(0 , �0) , �A(6 , �2 3 ) , �B(6 , � Ͳ2 3 ) . �54. � I z � taēke �A(1 ,0 ) �povuēene �su � tangente �na �hiperbo lu �x2 � Ͳ �y2 �=4 . �Nađ i � j ednaē i ne � t ih �
tangenata . � �Rezu l tat . ( )2 3y x 1 .3
=± � �
55. �Odred i t i � j ednaē i ne � tangenata �h iperbo le �9x2 � Ͳ �4y2 �=36 �ko je �su �para le lne �pravo j � �
2x � Ͳ �y � Ͳ �4 �= �0 . � �Rezu l tat . �y �= �2x �± � 7 . �56. �Odred i t i � j ednaē i ne � tangenata �h iperbo le �x 2 � Ͳ �2y2 �= �4 �ko je �su �normalne �na �pravo j �x �+2y �= �1 . �
Rezu l tat . �y �= �2x± 14 . �57. �Odred i t i � j ednaē i nu �h iperbo le �u �kanonskom �ob l iku �ako � ta �h iperbo la �dod i ru je �pravu �x �– �y � Ͳ �
2 �= �0 �u � taēk i �A(4 ,2) . � �Rezu l tat . �22 yx 1
8 4� = . �
58. �Ako � � �su � � �prave � � �5x Ͳ7y Ͳ l �= �0 � i �x Ͳy Ͳ l �= �0 � tangente �h iperbo le �b2x2 � Ͳ �a2y 2 �= �a � 2b 2 , �odred i t i �j ednaē i nu � te �h iperbo le . �Rezu l tat . �x2 � Ͳ �2y2 �= �2 . �59.�Pod�kojim�se�ugtom�seku�krive�x2�+�y2�=�25�i�2x2�Ͳ�y2�=�2?��Rezultat.�M�=�arctgl8.�60.�Nađi�jednaēine�zajedniēkih�tangenata�hiperbole�3x2�Ͳ�4y2�=�12�i�kružnice�2x2+2y2�=1.�Rezultat.�y�=�x �+ 1 , � y �= �x�Ͳ�1,�y �= �Ͳ�x �+�1,�y �= �Ͳ�x �Ͳ 1 . �
Page 38
38
� 38
61.� Nađ i � jednaē inu �kružnice �ē i j i � je �centar �na �y Ͳosi � i �dodiruje �hiperbolu �3x2 � Ͳ �y2 �= �3 �u � taēki �M(2,3) . � �Rezultat.�x2�+�(y�Ͳ�4)2�=�5.�62.� Nađi�jednaēinu�one�krive�ēije�su�taēke�dva�puta�dalje�od�taēke�F(8,0)�nego�od�prave�x�=�2.�Rješenje.�Neka�je�M(x,y)�proizvoljna�taēka�tražene�krive.�Iz�datog�uslova�dobija�se�jednaēina��
( )2 2x 8 y 2 x 2� + = � , �
a�posle�kvadriranja�i�sreĜivanja�dobija�se�tražena�kriva���22 yx 1
16 48� = .�
63.�Nađi�geometrjsko�mjesto�taēaka�iz�kojih�se�hiperbola�b2x2�Ͳ�a2y2�=�a2b2��vidi�pod�pravim�uglom.�Uputstvo.�Vidi�zadatak��32,�odjeljak�Kružnica.��Rezultat.�x2�+�y2�=�a2�Ͳ�b2�����(a�>�b).�64.�Nađi�geometrijsko�mjesto�centara�kružnica�koje�dodiruju�spolja�kružnice�x2�+�y2�=�4��i���x2�+�y2�Ͳ�6x�=�0.��
Rezultat.��2
238 x y 2.2
� ¬� � � =� �� ®�
��
Parabola��
65.�U�jednaēini�parabole�y2�=�2px�odrediti�parametar�p�tako�da�taēka�M(2,4)�leži�na�toj�paraboli,�a�zatim�nađ'i�direktrisu�i�žižu�te�parabole.��Rezultat.��p�=�4,�x�=�Ͳ�2,�F(2,0).�
66.�Na�paraboli�y2�=��4x��nađi�taēku�A�ēije�rastojanje�od�koordinatnog�poēetka�iznosi� 21. �Rješenje.�Neka�je�taēka�A�=�(a,b).�Tada�je�b2�=�4a,�a�iz�uslova�OA�=� 21 �dobija�se�jednaēina�a2�+b2�=�21.�Dakle,�a�i�b�se�dobiju�iz�sistem�jednaēina:�b2�
=4a�,�a2�+�b2��=�21.�Tražene�taēke�su:� ( )1,2A 3, 2 3 .= ± �
67.�U�parabolu�y2�=�2x�upisan�je�istostraniēni�trougao�ēije�se�jedno�tjeme�nalazi�u�tjemenu�te�parabole,�a�druga�dva�na�datoj�paraboli.�Nađi�koordinate�druga�dva�tjemena�tog�trougla.��
Rezultat.�� ( ) ( )A 6, 2 3 , B 6, 2 3 .= = � �
68.�Nađi�jednaēinu�tetive�parabole�y2�=�4x�koja�je�taēkom�A(3,1)�prepolovljena.�Rješenje.�2x�Ͳ�y�=�5.�69.�Kroz�žižu�parabole�y2�=�4x,�okomito�na�pravu�y�=�2x,�povuēena�je�tetiva�parabole.�Odrediti�koordinate�sredine�S�ove�tetive.�Rezultat.�S(9,Ͳ4).�70.�Nađi��tangentu��parabole���y2�=�3x���koja�je���paralelna�pravoj�3x�–�y�Ͳ�l�=�0.��Rezultat.�12x�Ͳ�4y�+��l�=�0.�71.�Pod�kojim�se�uglom�vidi�parabola�y2�=�8x�iz�taēke�A(Ͳ2,3)?��Rezultat.�M�=�S�e�2.�72.�Nađi�ugao�izmeĜu�tangenata�parabole�y2�=�2x�koje�su�povuēene�u�taēkama�preseka�te�parabole�i�prave�x�Ͳ�y�=�2.��
Rezultat.��M��=��2 5arctg
3.�
73.� Na�paraboli�y2�=�4x�nađi�taēku�najbližu�pravoj�4x�+�3y�+�46�=�0�i�izraēunati�njeno�rastojanje�d�od�te�prave.���
Rezultat.�9 3 35A , , d .
16 2 4� ¬� � =� �� ®
�
74.� Nađi�jednaēinu�kružnice�ēiji�je�centar�na�xͲosi�i�koja�sa�parabolom�y2�=�12x�u�taēki��A(3,6)�ima�zajedniēku�tangentu.��Uputstvo.�Jednaēina�tangente�parabole�y2�=�12x�u�taēki�A(3,6)�je�y�=�x�+�3.�To�je�i�jednaēina�tangente�tražene�kružnice.�Jednaēina�normale�te�prave�u�taēki�A�je�y �=�Ͳ�x�+�9.�Taēka�C(9,0) �je�centar�kružnice,�a�
polupreēnik�je�r�=�AC�=� 6 2. ��Rezultat.��(x�Ͳ�9)2�+y2�=�72.�75.�Koja� �od�parabolu�y2�=�2px�koja�sijeēe�kružnicu�(x�+3)2�+y2�=�72�pod�pravim�uglom.��Rezultat.�y2�=�12x.�76.� Pod�kojim�se�uglom�sjeku�krive�y2�=�3x�i�x2�+�y2�Ͳ�4x�Ͳ�6�=�0?��Rezultat.�M�=�S�e�4.�77.� Nađi�zajedniēke�tangenate�kružnice�x2�+�y2�=�2��i�parabole�y2�=�8x.��Rezultat.�y�=�x�+�2,�y�=�Ͳ�x�Ͳ�2.�78.�Na�pravoj�x�+�y�+�3�=�0�nađi�taēku�iz�koje�se�parabola�y2�=�4x�vidi�pod�pravim�uglom.��Rezultat.�A(Ͳl,Ͳ2).�79.�Nađi�geometrijsko�mjesto�sredina�tetiva�krive�y2�=�12x��koje�su�paralelne�pravoj�3x�–�4y�+�24�=�0.��Re zu l t a t . � � y � Ͳ �
8 �= �0 �� � x�t �16 .9
�
80.�Koju�krivu�opisuje�centar�kružnice�koja�dodiruje�yͲosu�i�kružnicu�x2�+�y2�Ͳ�2x�=�0?�Rezultat.�y2=4x.��Grafiēki�predstavi�i�riješiti�sistem�jednaēina:���81. x2�+�y2�Ͳ�6x�Ͳ�4y�Ͳ�12�=�0�,���x�Ͳ�y�Ͳ�6�=�0.��Rezultat.�Presjeēne�taēke�kružnice�(polupreēnika�5�sa�centrom�u�
Page 39
39
� 39
taēki�(3,2))�i�prave����K���P�= ( ) ( ){ }3, 3 , 8, 2 .� �
82. x2�+ �y2�=�16,���y2�= �6x. ��Rezultat.�Presjek �kružnice�i �parabole ���� � ( ){ }2, 2 3 .± �
83. x2�+�4y2�=�4�,���4y2�=�3x.��Rezultat.�Presjek�kružnice�i �parabole ���� 31, .2
£ ²� ¬¦ ¦¦ ¦�¦ ¦� ±¤ »� ¦ ¦��� ®¦ ¦¦ ¦¥ ¼�
84. y=x2�+�3x�Ͳ1,��xy�=�3.���Rezultat.�Presjek�parabole�i�hiperbole��� ( ) ( ){ }1, 3 , 3, 1 .± ± � � �
85. x2�+�y2�+�2x�Ͳ�6y�+�5�=�0�,���x2�+�y2�–�2y�Ͳ�9�=�0.�Rezultat.�Presjek�dvije�kružnice � ( ) ( ){ }1, 4 , 3, 2 .� �
86. 9x2�+�y2�=�45,�xy�=�6.��Rezultat.�Presjek�elipse �i �hiperbole� ( ) ( ){ }2, 3 , 1, 6 .± ± ± ± �
87. x2�+�y2�=�25,�x2�+�y�=�13.�Rezultat.�Presjek �kružnice�i �parabole� ( ) ( ){ }4, 3 , 3, 4 .± � ± ��
88. x2�+�y2�=�34,�xy�=�Ͳ�15.�Rezultat.�Presjek �kružnice�i �hiperabole� ( ) ( ){ }3, 5 , 5, 3 .± ±B B �
�LITERATURA��1. M.�Merkle�(i�dr.�devet�autora):�ZBIRKA�ZADATAKA�I�TESTOVA�za�polaganje�prijemnog�ispita��IZ�MATEMATIKE�za�upis�na�tehniēke�i�.,�2.�dopunjeno�izdanje,�Beograd�2000,�Zavod�za�udžbenike�i�nastavna�sredstva,��
Page 40
40
� 40
PRIMJER�PRIJEMNOG�ISPITA��
�Elektrotehniēki�fakultet�Uiverziteta�u�Beogradu,�2003����
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Page 41
41
� 41
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Page 42
42
� 42
Fakultet za saobraüaj i komunikacije, Univerziteta�u�Sarajevu�
Zadaci za Prijemni ispit (09. 07. 2007) Grupa A
Broj zad. Tekst zadatka
1.�
�
�Odredite�skup�svih��vrijednosti�realnog�parametra�k�za�koje�kvadratna�jednaēina���
2( 1) 2 ( 1) 1 0k x k x k� � � � � �
�ima�dva�rješenja�oba�negativna.�
2.�
Riješite�u�skupu�realnih�brojeva�nejednaēine:
a)��2 3 5
2x
x�
�� �;������b)�� 3 5 1.x x� ! � �
3.�
Ako�je� ( ) 2 (1 )f x f x x� � ,��riješite��trigonometrijsku�jednaēinu�������
������������������������������2 4
(sin cos ) .6
f x x�
� �
4.�
U trouglu ABC þije stranice BC, CA, AB imaju redom dužine 24 cm, 12 cm, 18 cm upisana je kružnica K. Kroz centar te kružnice povuþena je prava koja je paralelna sa stranicom BC zadanog trougla i sijeþe stranicu AB u taþki 1B , a stranicu CA u taþki 1C . Izraþunajte: a) poluobim s zadanog trougla ABC i dužinu polupreþnika U kružnice K upisane tom trouglu; b)��površinu�� 1P ��novonastalog�trougla�� 1 1.AB C �
�
Napomena:�Ͳ�Svaki�od�zadataka��1.�Ͳ��4.��se�vrednuje�na�isti�naēin�Ͳ�po�maksimalno�10�bodova.� � ���� ��
Šifra��kandidata�Broj�bodova�po�zadacima Ukupan�broj�
bodova�1� 2 3 4
� � �
�
�
Page 43
43
� 43
�
Fakultet za saobraüaj i komunikacije Univerziteta�u�Sarajevu�
Zadaci za Prijemni ispit (09. 07. 2007)
Grupa B Broj zad. Tekst zadatka
1.�
�
Odredite�skup�svih��vrijednosti�realnog�parametra�k�za�koje�kvadratna�jednaēina���
2( 1) 2 ( 1) 1 0k x k x k� � � � � �
�ima�dva�rješenja�razliēitog�znaka.�
�
2.�
Riješite�u�skupu�realnih�brojeva�nejednaēine:
a)��2 3 5
2x
x�
!� �;������b)�� 3 5 1.x x� � � �
3.�
Ako�je� (1 ) 2 ( ) 1 ,f x f x x� � � �riješite��trigonometrijsku�jednaēinu�������
������������������������������2 4
(sin cos ) .6
f x x�
� �
4.�
U trouglu ABC þije stranice BC, CA, AB imaju redom dužine 24 cm, 12 cm, 18 cm upisana je kružnica K. Kroz centar te kružnice povuþena je prava koja je paralelna sa stranicom BC zadanog trougla i sijeþe stranicu AB u taþki 1B , a stranicu CA u taþki 1C . Izraþunajte : a) površinu P zadanog trougla ABC i dužinu njegove visine h na stranicu BC ; b) obim 1O novonastalog trougla 1 1.AB C
Napomena:��
Ͳ�Svaki�od�zadataka�1.�Ͳ��4.�se�vrednuje�na�isti�naēin�Ͳ�po�maksimalno�10�bodova.�
Komisija za pripremu, pregled i ocjenu radova Prijemnog ispita na Fakultetu za saobraüaj
i komunikacije Univerziteta u Sarajevu, akademske 2007/2008. godine
Šifra��kandidata�Broj�bodova�po�zadacima Ukupan�broj�
bodova�1� 2 3 4�
� � �
Page 44
44
� 44
Elektrotehniþki fakultet Univerziteta�u�Sarajevu�
PRIJEMNI ISPIT (02. 07. 2007) Grupa A Broj�zad.�
Tekst�zadatka
1.�
a)��Nacrtati�grafik�funkcije��f��zadane�formulom���f�(x)2 5 4.x x � � �Nakon�toga�riješiti�svaku�od��
nejednadžbi:�
�����2 5 4 0x x� � � ,���
2 5 4 0x x� � d ,���2 5 4 0x x� � ! ,���
2 5 4 0x x� � t .��
b)��Odrediti��sve�vrijednosti�realnog�parametra�k�tako�da�
jednadžba2 2 ( 2) 2 1 0kx k x k� � � � �ima�dva�realna�i�razliēita�rješenja�koja�pripadaju��
intervalu��(0,5).�
2.� Riješiti�sistem�jednadžbi:�
2 22 2
10 10 10
log ( ) 1 log 130log ( ) log ( ) log 2.
x yx y x y
� �
� � �
®¯
�
3.�
Odrediti�sve�kompleksne�brojeve��z����koji�zadovoljavaju�uslove:��
12 5
8 3
z
i z
�
� ,��4
18
z
z
�
� ,���gdje�je��i���imaginarna�jedinica.�
4.� Izraēunati�sve�vrijednosti�izraza�sin cos
tgD E
D�
��ako�je��3i sin5
D E S D� .�
5.�U�trokut�ēije�stranice�imaju��dužine��24�cm,�12�cm�i��18�cm�upisana�je�kružnica.�Kroz��centar�te�kružnice�povuēena�je�prava�paralelna�s�najdužom�stranicom.�Izraēunati�obim�novonastalog�trokuta.�
Napomene:��
- Svi�zadaci�se�vrednuju�na�isti�naēin�Ͳ��po�maksimalno�8�bodova.�- Rezultati�prijemnog�ispita��bit�đe�objavljeni��03.�07.�2007.��u��1400,���u�zgradi�
Elektrotehniēkog�fakulteta,�ul.�Zmaja�od�Bosne,�bb.,�KAMPUS.��
Ime�i�prezime�kandidata�
Broj�bodova�po�zadacima Ukupan�broj�bodova�
1� 2� 3 4 5�� � � �
���
�
Page 45
45
� 45
Elektrotehniþki fakultet Univerziteta�u�Sarajevu�
����������������������������������������PRIJEMNI�ISPIT��(02.�07.�2007)���� ��������Grupa�B�
roj�zad.� Tekst�zadatka
1.�
a)��Nacrtati��grafik�funkcije��f��zadane�formulom���f�(x)2 4 3.x x � � �Nakon�toga�riješiti�
svaku�od��nejednadžbi:�
�����2 4 3 0x x� � � �,���
2 4 3 0x x� � d ,�2 4 3 0x x� � ! ,���
2 4 3 0x x� � t .��
b)��Odrediti�sve�vrijednosti�realnog�parametra��k��tako�da�jednadžba�������������2 ( 1) 1 0kx k x k� � � � �ima�dva�realna�i�razliēita�rješenja��od�kojih�taēno�jedno��pripada�
intervalu�(0,�1).�
2.�
Riješiti�sistem�jednadžbi:��
2 210 10
2 2 2
log ( ) 1 log 130log ( ) log ( ) 4log 2.
x yx y x y
� �
� � �
®¯ �
3.�
Odrediti�sve�kompleksne�brojeve��z����koji�zadovoljavaju�uslove:
8 3
12 5
z i
z
�
� ,��8
14
z
z
�
� ,���gdje�je��i���imaginarna�jedinica.�
4.� Izraēunati�sve�vrijednosti�izraza� tgsin +cos
DD E
��ako�je��3i cos5
D E S D� .�
5.�U trokut þije stranice imaju dužine 24 cm, 12 cm i 18 cm upisana je kružnica. Kroz centar te kružnice povuþena je prava paralelna s najdužom stranicom. Izraþunati površinu novonastalog trokuta
Napomene:��
- Svi�zadaci�se�vrednuju�na�isti�naēin�Ͳ��po�maksimalno�8�bodova.�- Rezultati�prijemnog�ispita��bit�đe�objavljeni��03.�07.�2007.��u��1400,���u�zgradi�
Elektrotehniēkog�fakulteta,�ul.�Zmaja�od�Bosne,�bb.,�KAMPUS.� ������������ � ��������������������Sarajevu,��školske�2007/2008.�godine�
Ime�i�prezime�kandidata�
Broj�bodova�po�zadacima Ukupan�broj�bodova�
1� 2� 3 4 5�� � � �
�
Page 46
46
� 46
GRA�EVINSKI���FAKULTET,��Sarajevo�02Ͳ07Ͳ2007.�
�ZADACI�ZA�KVALIFIKACIONI�ISPIT�IZ�MATEMATIKE.�
Svaki�zadatak�ima�ēeteri�ponuĜena�odgovora:�a,�b,�c,�d.�OBAVEZNO�:�
1. riješite�postavljeni�zadatak,�a�zatim��2. zaokružiti�SAMO�taēan�rezultat.��SMATRA�SE�DA�NISTE�RIJEŠILI�TAJ�ZADATAK,�ako:��
(i) zaokružite��netaēan�rezultat�ili�više�od�jednog�ponuĜenog�rezultata�(a,�b,�c,�d),��(ii) ne�zaokružite�nijedan�od�odgovora�(a,�b,�c,�d),�(iii) samo�zaokružite�taēan�rezultat�a�da�niste�zapisali�rješenje.��(iv) �
1.�ZADATAK������
Nejednaēina:�( ) 2m 1 x 2mx m 0� + + b �važi�za�sve�realne�x,�ako�je:��
a)�0 m 1b b � b)�m 0b � c)�m 1b � d)�m 1p �
2.�ZADATAK���
Neka�se�na�horizontalnom�terenu�iz�taēke�A�toranj�visok�30m�vidi�pod�uglom�od� 6Q�.�Da�bi�se�iz�iste�taēke�toranj�vidio�
pod�uglom�od� 3Q�trebao�bi�biti�visok:�
a)�60m� b)�75m� � c)�90m� � d)�60 2 �
3.ZADATAK��Ako�je�je�hipotenuza�c�=�4,�a�za�mjerne�brojeve�oštrih�uglova�vrijedi�D�:�E�=�1�:�3,�tada�je��površina�pravouglog�trougla:�
������a)� ( )2 2 2 1� ;��� ����b)�2 3 ;��� c)� 5 1+ ;��� d)�2 2 .�����
4.ZADATAK��Osnovica�ravnokrakog�trougla�je�a�=�5,�a�krak�b�=�10.�Tada�je�polupreēnik�opisanog�kruga�oko�trougla:�
a)�3 5 ;��� ���b)�4 15
3 ;��� ���c)�� ( )2 3 1+ ;���d)�3 14
2 �
5.�ZADATAK��Izraz:�
� � � �13 3
2 2 22 2
x y 2y xy: x y 2 4 8 16 1 2x y x y x y
�§ ·�� � � � � � � �¨ ¸� � � © ¹
�
ima�vrijednost:��
a)�4;��� � b)�xy�+�3;��� � c)�2;��� � d)�xy+4.��
5.�ZADATAK�
Ako�je:���63 7cos 2 , 0, i cos , 0, ,65 2 2130
S S§ · § ·D � D� E E�¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹
�
tada�je��D � E ��jednako:�
1� 2� 3� 4 5 6 ¦�
� � �
� � �
Page 47
47
� 47
a)��450;������� b)��900�;����� c)�600�;�������� d)�1350.�
�
Korisne�formule:�
( )
1 cos2 1 cos2cos , sin ,2 2
cos x y cos x cos y sin x sin y
+ R � RR = ± R = ±
+ = �.�
U�pravouglom�trouglu�ēije�su�katete�a�i�b,�a�hipotenuza�c:����sinD�=�ac ,���cosD�=�
bc � � �
RJEŠENJA�
1.Zadatak�
�Kvadratni�trinom�f(x)�=�ax2�+2bx�+�c��ne�mijenja�znak�ako�je�diskriminanta�D�=�b2�–�ac�d�0,�tj.�
�������������������� � � � � �
� � � �x R ( f x 0 D 0 a > 0 )
(f x 0 D 0 a < 0 )
� � t � d �
d � d � �
Dakle,��
( ) ( ) ( )( ) ( )2 2( x R m 1 x 2mx m 0) D m m 1 m m 0 m 1 0
m 0.
� � � + + b � = � � = b � � <
� b�
Drugi�naēin�(S.�Dolareviđ):�( )( )( )
22
2xx R m 1 x 2mx m 0 m m 0.
x 1� � � + + b � b � b
+ �
2.Zadatak�
Neka�je��x�=�CA��i�tražena�visina�tornja�H�=�CB,�tada�je:�x�=�hctg300�=30 3 ,�H�=�xtg600=�30 3 3 =�30.3=�90�m.�
��
� � � � � � �
� ����
3.Zadatak�
�Iz��D�:�E�=�1�:�3,�izlazi�E�=�3D�,�tako�da�iz��osobine�zbira�oštrih�uglova�u�pravouglom�trouglu��D�+�E�=�900,�izlazi�4D=900,����������tj.�����2D=450.�
������Katete�pravougli��trougao�ABC�su�(nacrtati�sliku)�:�a�=�csinD,�b�=�c�cosD�,�te�je�površina�tog�trougla��
�����������������������������������������������1P2
ab�=12 �csinD�c�cosD�=�
21 c sin 24
D �=21 24 2 2
4 2 .�
C��CAB1=30
0,����CAB=600�
C�
�CAB1=300,����CAB=600�
A�C�
�CAB1=300,����CAB=600�
A�
h�
Page 48
48
� 48
4.Zadatak�
Iz�pravouglog�trougla�BDS�(�ēiji�su�vrhovi�(nacrtati�sliku):�B�vrh�na�osnovici�a�=BC�ravnokrakog�trougla�ABC,�D�je�podnožje�visine�h�=�AD,�povuēene�iz�vrha�A�na�osnovicu�BC,�dok�je�S�centar�opisanog�kruga�oko�ravnokrakog�trougla�
ABC),�ēije�su�katete�12 a��i��h�–�r�,�a�hipotenuza�r,��izlazi�
��h�=�AD�=
22 a 5 15b
2 2§ ·� ¨ ¸© ¹
���(�r�je�polupreēnik�kruga�opisanog�oko�trougla�ABC�)��
�r2�=�(h�Ͳ�r)2�+�
2a2
§ ·¨ ¸© ¹
,�tj.��2hr�=�h2�+� � �2
2a b2
§ · ¨ ¸© ¹
.�Dakle��r�=�2b 4 15
2h 3 .�
5.Zadatak�
Kako�je:�
�
� � � � � �� �� �
� �� �� �
� �� � � �� � � �� �
2 23 32 2
2 2
2 2 2 2 2
x y x xy z 2y x y xyx y 2y xy 1A : x y .x y x y x yx y x y x y x y x y
x xy z xy 2y x y 1,x y x y x y x y x y x y
� � � � �� � � � �
� � �� � � � �
� � � � �
� � � � � �
�
� � � � � �12 2 1 2 1B 2 4 8 16 1 2 2 2 2 2 4 3 2 2 1 3,
2 2tako da je I = A+B=4.
�§ · � � � � � � � � � � ¨ ¸
© ¹ �
6.Zadatak�
Za�oštre�uglove�D�i�E�izlazi(ispred�korjena�uzet�znak�plus�zato�što�je�D�oštar�ugao):�
1 cos2 1 63 1cos 1 ,2 2 65 65
1 cos2 1 63 8sin , 12 2 65 65
� ¬+ B �B = = � =� �� ®
� ¬� B �B = = + =� �� ®
,�
�������������������������������������������������������2
2 7 9sin 1 cos 1 .130 130
E � E � � � � � �����
Zato�je:���� ( ) 1 7 8 9 7 72 2cos cos cos sin sin265 130 65 130 65 2
�B + C = B C� B C = � = =� �
tj.� � �0135 iz 0, i 0, slijedi 0, .2 2
§ S S ·§ · § ·D �E D� E� D �E� S¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹© ¹
�
Page 49
Gradevinski fakultet, Sarajevo 10.9.2007.
Prijemni ispit
Svaki zadatak ima cetiri ponudena odgovora: a), b), c), d)
Rijesite zadatak, a zatim obavezno zaokruzite tacan rezultat.
Smatrace se da niste rijesili zadatak ako:
i) zaokruzite netacan rezultat ili vise od jednog ponudenog rezultata;
ii) ne zaokruzite nista;
iii) samo zaokruzite tacan rezultat a niste prilozili rjesenje.
1. 2. 3. 4. 5. 6.
P
1. Ako su
x = 1
7
20
: 2, 7 + (0, 4 : 2
1
2
) · (4, 2� 1
3
40
)
i
y = (
1
b�p
a
+
1
b +
pa
) :
a
�2b
�1(
19)� 1
2
a
�2 � a
�1b
�2,
onda je xy jednako:
a)
23 ; b) 3; c) 2; d) 2ab.
2. Rjesenja kvadratne jednacine
a
bx + x
+
a + 1
b
2x
2+ 2bx
2+ x
2= 1
su:
a) x1 = 1, x2 = 2; b) x1 =
a+1b+1 , x2 = � 1
b+1 ;
c) x1 =
a
b+1 , x2 =
1b+1 ; d) x1 =
1b+1 , x2 = � 1
b+1 .
3. Rjesenje nejednacine
1x
+ 1 <
1x+1 je:
a) (1, 2]; b) (�1,�1) [ (0,1); c) (�1, 0); d) [�1, 0).
4. Dijagonale jednakokrakog trapeza sijeku se pod pravim uglom, a njihovi
dijelovi su 4 i 3. Povrsina trapeza je:
a) 1; b)
p2; c)
492 ; d)
49p
22 .
5. Rjesenja trigonometrijske jednacine tg
2x� (
p3� 1)tg x�
p3 = 0 su:
a)
⇡
6 + m⇡, �⇡
4 + n⇡, m, n 2 Z; b) 2m⇡,
⇡
4 + n⇡, m, n 2 Z;
c) �⇡
3 + m⇡, �⇡
4 + n⇡, m, n 2 Z; d)
⇡
3 + m⇡, �⇡
4 + n⇡, m, n 2 Z.
6. Ako je sin ↵ =
513 , sin � =
1213 , a ↵ i � su ostri uglovi, onda je sin(↵� �) jednako:
a) �119169 ; b) 1; c) �1; d)
119169 .
Page 50
Gradevinski fakultet
Univerzitet u Sarajevu
07.07.2010.
Prijemni ispit
Svaki zadatak ima pet ponudenih odgovora: a), b), c), d), e)
Rijesite zadatak, a zatim obavezno zaokruzite tacan rezultat.
Smatrace se da niste rijesili zadatak ako:
i) zaokruzite netacan rezultat ili vise od jednog ponudenog rezultata;
ii) ne zaokruzite nista;
iii) samo zaokruzite tacan rezultat a niste prilozili rjesenje.
1. 2. 3. 4. 5. 6.
P
1. Izraz A = (
3(x+2)2(x3+x
2+x+1) +
2x
2�x�102(x3�x
2+x�1)) : (
5x
2+1 +
32(x+1) �
32(x�1))�
x+22 jednak je:
a) 0 b) x c) 2 d) �x e) N
2. Rjesenje nejednacine | x+22x�3 | < 3 je skup:
a) (�1,
32 )[( 11
5 ,1) b) (�1,1)[( 115 ,1) c) (1,
115 ) d) (�1,1][[ 115 ,1) e) N
3. Rjesenja jednacine cos
22x� 2 sin x cos x = �1 koja se nalaze u intervalu (0, 2⇡) su:
a) {⇡
4 ,
5⇡
4 } b) {⇡
4 ,
3⇡
4 } c) {3⇡
4 ,
7⇡
4 } d) {�⇡
4 ,�5⇡
4 } e) N
4. Rjesenje jednacine x + log2(10� 2
x
) = 4 koje se nalazi u intervalu (1, 3] je:
a) 1 b) log2 6 c) 3 d) 2 e) N
5. Ako je u trouglu ABC dato b = 12, a� c = 10 i � =
⇡
3 , onda je a + c jednako:
a) 2
p69 b)
p69 c) 2
p69� 10 d)
p69� 5 e) N
6. Ako je prava (1� a)x + (1 + a)y � 7 = 0 (a 6= �1) normalna na pravu 2x + y = 3,
onda a ima vrijednost:
a) �1 b)
13 c) 1 d) 3 e) N
N-Nijedan od ponudenih odgovora nije tacan.
Page 51
Gradevinski fakultet
Univerzitet u Sarajevu
07.09.2010.
Prijemni ispit
Svaki zadatak ima pet ponudenih odgovora: a), b), c), d), e)
Rijesite zadatak, a zatim obavezno zaokruzite tacan rezultat.
Smatrace se da niste rijesili zadatak ako:
i) zaokruzite netacan rezultat ili vise od jednog ponudenog rezultata;
ii) ne zaokruzite nista;
iii) samo zaokruzite tacan rezultat a niste prilozili rjesenje.
1. 2. 3. 4. 5. 6.
P
1. Izraz A = (
ab +
ba
ab�
ba
+
1
1+
ba
� 1
1� ba
) :
1�a�3ba+b
3a+ba�b �3
jednak je:
a)
1
a�b
b) 1 c)
3a
2+b
2
(a�b)
2 d) ab e) N
2. Rjesenje nejednacine
|x�1|x+2
< �2 je skup:
a) (�5,�2)[(�2,�1) b) (�5,�2) c) {�2} d) (�5,�1) e) N
3. Rjesenja jednacine 2
4�2 cos
2x�4 sin x � 2 · 2sin
2x�2 sin x+1
+ 1 = 0 iz intervala (0, 4⇡) su:
a) {⇡
2
,
5⇡
2
} b) {3⇡
2
,
5⇡
2
} c) {5⇡
2
,
7⇡
2
} d) {3⇡
2
,
7⇡
2
} e) N
4. Rjesenje jednacine log
2
x + log
2
(x + 2) = 3 je:
a) �4 b) log
2
3 c) 2 d) 4 e) N
5. Ako je u trouglu ABC dato a =
p3, b =
p2 i ↵ =
⇡
3
, onda je ugao � jednak:
a)
3⇡
4
b)
7⇡
12
c)
⇡
4
d)
5⇡
12
e) N
6. Jednacina normale na pravu 2x + 3y = 2 koja prolazi tackom A(
2
3
, 1) je:
a) 2x� 3y = 0 b) 2x + 3y = 0 c) 3x� 2y = 0 d) 3x + 2y = 0 e) N
N-Nijedan od ponudenih odgovora nije tacan.
Page 52
49
� 49
MALO�STATISTIKE�
- Uspješnost�rješavanja�pojedinih�zadataka�(tj.�broj�kandidata�koji�su�riješili�pojedine�zadatke):�Zadatak�br.� 1.� 2.� 3. 4. 5. 6.� Nijedan�zad.
Rijšilo�kand.� 18� 25� 6 13 35 6� 80
ͲͲ%(0d�141)�� 12.75� 17.73� 4.25 9.21 24.82 4.25� 56.74
�
- Uspješnost�kandidata�po�ukupnom�broju�rješenih�zadataka:�Rješili�ukupno�
zadataka�0� 1� 2 3 4 5� 6
kandiddata� 80� 33� 16 10 2 0� 0
%��(od�141�kand.)� 56.74� 23.40� 11.35 7.09 1.42 .00� .00
�
Gornje�tabele�sve�kažu�o�nevjerovatno�lošem�predznanju�kandidata:��
x najlakši�zadatak�br.�5�(operacije�sa�razlomcima�:�elementarna�algebra�i�aritmetika)�riješilo�je�35�(slovima�„tridesetpet“,�tj.�samo�25%�od�141�kandidata�),�
x nepoznavanje�trigonometrije�je�još�gore�(zadaci�2,�3,�6�).��
Navodim�nekoliko�“�rariteta”�iz�radova�kandidata�koji�se�ne�vide�iz��priloženih�tabela:�
�
1. formule�za�površinu�trougla�koje�se�koriste�u�3.�zadatku.��:�
����������������������� �c c b b a bP , P a 2b, P , P
2 2 3� D � E � � �
� ,�
2. „Pitagorina�formula�za�pravougli�trougao�c2�=�b2�–�a2,�gdje�je�c�hipotenuza�i�a,�b�su�katete��pravouglog�trougla;� � � �
3. u��2.�zadatku�jedan�kandidat�koristi�proporciju�H:�h�=�D�:�E,�te�je�tražena�visina�tornja�0
060H h 30 60;30
D
E �
4. „biseri“�iz�aritmetike�vezani�za�5.�zadatak:� 2 4 8 16 2 4 8 16 30� � � � � � ,�tj.�treba�da�je�
taēno� x y x y� � ,��ili�„analogan�rezultat“:��1 2 3 4 102 2 2 2 22 2 2 2 2� � � ...��
���
Page 53
50
� 50
GraĜevinski�fakultet,�Sarajevo�03.07.2008.� � � � � �Prijemni�ispit�
Svaki�zadatak�ima�ēetiri�ponuĜena�odgovora:�a),�b),�c),�d).�Riješite�zadatak,�a�zatim�obavezno�zaokružite�taēan�rezultat.�Smatrađe�se�da�niste�riješili�zadatak�ako:�i)��zaokružite�netaēan�rezultat�ili�više�od�jednog�ponuĜenog�rezultata;�ii)�ne�zaokružite�ništa;�iii)�samo�zaokružite�taēan�rezultat�a�niste�priložili�rješenje.�
�
1.� 2.� 3.� 4.� ��¦�� � � � �
� � � � �
�
1.��Riješiti�jednaēinu:���������������� � �� � � �2
2 2log sinx log 1 cos2xsinx 1.� � �
���Skup�rješenja�je:��
��������
5 5a) 2k , 2k , 2k k ; b) 2k , 2k , 2k k ;2 6 6 2 6 6
5 5c) 2k , 2k , 2k k ; d) 2k , 2k , 2k k .2 6 6 2 3 6
S S S S S S ½ ½� S � � S � S �= � S � S � S �=® ¾ ® ¾¯ ¿ ¯ ¿
S S S S S S ½ ½� � S � S � S �= � S � S � S �=® ¾ ® ¾¯ ¿ ¯ ¿
�
2.��Ako�je�u��'ABC�:��b�+�c�=�10,��6S
D ��i�površina�P�=�6,�izraēunati�polupreēnik�R�opisane�kružnice.��
� a) R= 100 24 3; b) R= 52 44 3; c) R= 52 24 3; d) R= 52 26 3. � � � � �
3 . � �Dat�je�jednakokraki�trapez�ēija�se�veđa�osnovica�iz�presjeka�dijagonala�vidi�pod�uglom�23S
M ,�a�odsjeēci�na�
dijagonalama�su�2�i�1.�Izraēunati�obim�O�i�površinu�P��trapeza.�(Nacrtati�skicu).�
���������������������������;
11 3 11 3a) O 7 3, P , b) O 5 3, P4 4
9 3 9 3c) O 7 3, P ; d) O 5 3, P .4 4
= = = =
= = = =�
4.���Odrediti�skup�rješenja�nejednaēine�������2 3 x
1.x 1�
p�
���
3 3 1 1 1 1 1 1a) 1, ,1 b) 1, ,1 c) 1, ,1 d) 1, ,1 .4 4 2 2 4 4 2 4
� ¯ ¬ � ¯ ¬ � ¯ ¬ � ¯ ¬ � � � �° ¡ ° ¡ ° ¡ ° ¡� � � � � � � � � � � � � � � �° ¡ ° ¡ ° ¡ ° ¡� ® � ® � ® � ®± ¢ ± ¢ ± ¢ ± ¢* * * * �
P o t r e b n e � f o rmu l e . � �
1 ) � S i n u s n i � s t a v : � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �a b c 2R.
sin sin sin
D E J�
2 ) � K o s i n u s n i � s t a v � ( k a d � s u �u�'ABC� d a t e � d v i j e � s t r a n e � i � z a h v a đ e n i � u g a o , � n p r . � s t r a n e � a , � b � i � u g a o � J ) : �
2 2 1c a b 2ab cos ; ab sin .2
� � J 5 J �
3 ) �O s o b i n a � k v a d r a t n e � j e d n a ē i n e : � �
� � � � b r o j e v i � u � i � v � s u � k o r i j e n i � k v a d r a t n e � j e d n a ē i n e � x 2 � Ͳ � p x � + � q � = � 0 � � a k k o � j e � � � � � � u + v = p � � i � � u v = q .
Page 54
51
� 51
Gradevinski�fakultet,�Sarajevo�03.07.2008.� � � � � � ͲBͲ�Prijemni�ispit�
Svaki�zadatak�ima�ēetiri�ponuĜena�odgovora:�a),�b),�c),�d).�Riješite�zadatak,�a�zatim�obavezno�zaokružite�taēan�rezultat.�Smatrađe�se�da�niste�riješili�zadatak�ako:�i)��zaokružite�netaēan�rezultat�ili�više�od�jednog�ponuĜenog�rezultata;�ii)�ne�zaokružite�ništa;�iii)�samo�zaokružite�taēan�rezultat�a�niste�priložili�rješenje.�
�
�
1. U�istokraēnom�trapezu�dijagonale�se�sijeku�pod�uglom�23S
M ,�a�odsjeđci�na�dijagonalama�su�2�i�1.�Izraēunati�
obim�O�i�površinu�P��trapeza.�(Nacrtati�skicu).�
���������������������������;
9 3 11 3a˳) O 7 3, P , b) O 5 3, P ˳4 4
9 3 11 3c˳) O 5 3, P ; d˳) O 7 3, P .4 4
= = = =
= = = =�
2. Odrediti�skup�rješenja�nejednaēine�������3 x 2
1.x 1
�b�
����
����������������1 1 1 1 1 3 3 3a) 1, ,1 b) 1, ,1 c) 1, ,1 d) 1, ,1 .4 4 2 2 4 4 4 4
� ¯ ¬ � ¯ ¬ � ¯ ¬ � ¯ ¬ � � � �° ¡ ° ¡ ° ¡ ° ¡� � � � � � � � � � � � � � � �° ¡ ° ¡ ° ¡ ° ¡� ® � ® � ® � ®± ¢ ± ¢ ± ¢ ± ¢* * * * ��
3. Riješiti�jednaēinu:���������������� � �� � � �2
2 2log sin x log 1 cos 2xsin x 1.� � �
���Skup�rješenje�je:��
��������
5 5a) 2k , 2k , 2k k ; b) 2k , 2k , 2k k ;2 6 6 2 6 6
5 5c) 2k , 2k , 2k k ; d) 2k , 2k , 2k k .2 6 6 2 3 6
S S S S S S ½ ½� S � S � S �= � S � � S � S �=® ¾ ® ¾¯ ¿ ¯ ¿
S S S S S S ½ ½� � S � S � S �= � S � S � S �=® ¾ ® ¾¯ ¿ ¯ ¿
�
4.��U��'ABC�je��a�+�c�=�10,��6S
E ��i�površina�P�=�6.�Izraēunati�polupreēnik�R�opisane�kružnice.��
� a) R= 64 24 3; b) R= 52 24 3; c) R= 62 24 3; d) R= 102 24 3 .� � � � �
P o t r e b n e � f o rmu l e . � �
1 ) � S i n u s n i � s t a v : � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �a b c 2R.
sin sin sin
D E J�
2 ) � K o s i n u s n i � s t a v � ( k a d � s u �u�'ABC� d a t e � d v i j e � s t r a n e � i � z a h v a ē e n i � u g a o , � n a p r . � s t r a n e � a , b � i � u g a o � J ) : �
2 2 1c a b 2ab cos ; ab sin .2
� � J 5 J �
3 ) �O s o b i n a � k v a d r a t n e � j e d n a ē i n e : � �
� � � � � b r o j e v i � u � i � v � s u � k o r j e n i � k v a d r a t n e � j e d n a ē i n e � x 2 � Ͳ � p x � + � q � = � 0 � � a k k o � j e � � u + v = p � � i � � u v = q . �
1. 2. 3.� 4.� ��¦�� � �
� � �
Page 55
52
� 52
Testirajte se za prijemni ispit iz matematike!
Za rešavanje testa koristite papir i olovku, a zatim unesite rešenja zadataka!�
Ime: ���Prezime:
1. Vrednost izraza �
�
�
�
�
�
2. Za a=30 i b=6 vrednost izraza je: �
�
�
�
�
�
3. U jednakokrakom trouglu ABC (AC=BC) duĐina osnovice AB=10, a duĐina krakova AC i BC iznosi 13. Zbir duĐina sve tri visine trougla ABC je: �
�
�
�
Page 56
53
� 53
�
�
4. Ako je , onda vrednost izraza pripada intervalu: �
�
�
�
�
�
5. Za svako realno x razlomak je jednak: �
�
�
�
�
�
6. Sfera S1 polupreþnika upisana je u kocku ivice 1, a sfera S2 polupreþnika je opisana oko
te kocke. Zbir je: �
�
�
�
�
�
7. Vrednost izraza je: �
Page 57
54
� 54
-1�
nijedan od ponuÿenih�
1�
i�
-i�
8. Ako je i , onda je : �
9�
19�
7�
8�
4�
9. Zbir svih rešenja jednaþine je: �
�
�
�
�
�
10. Proizvod svih rešenja jednaþine je: �
12�
24�
2�
6�
0�
11. Srednja linija trapeza deli trapez na dva dela þije se površine odnose kao 7:5. Odnos manje i veüe osnovice trapeza je: �
1:3�
1:5�
Page 58
55
� 55
1:4�
1:6�
1:2�
12. Skup svih vrednosti realnog parametra za koje su rešenja kvadratne jednaþine
negativna je podskup skupa: �
�
�
�
�
�
13. Jednaþina na segmentu : �
ima taþno 1 rešenje�
ima više od 4 rešenja�
ima taþno 2 rešenja�
nema rešenja�
ima 4 rešenja�
14. Broj rešenja jednaþine je: �
3�
1�
0�
2�
bar 4�
15. Zapremina paralelepipeda þije su sve strane rombovi stranice i oštrog ugla jednaka je: �
�
�
�
Page 59
56
� 56
�
�
16. Rastojanje izmeÿu tangenti na hiperbolu koje su normalne na pravu
je: �
�
�
�
�
�
17. Zbir svih vrednosti realnog parametra za koje sistem , ima jedinstveno rešenje je: �
2�
-3�
-2�
1�
3�
18. Ako je i , tada je jednak: �
�
�
�
�
�
Page 60
57
� 57
19. Osoba A trþi stalnom brzinom po kruĐnoj putanji i obiÿe je za 40 sekundi. Osoba B trþi u suprotnom smeru stalnom brzinom i mimoiÿe se sa A svakih 15 sekundi. Za koliko sekundi B obiÿe putanju? �
55�
25�
12�
24�
27.5�
20. Broj preseþnih taþaka svih dijagonala unutar konveksnog sedmougla ABCDEF kod kojeg se nikoje tri i više dijagonala ne seku u jednoj unutrašnjoj taþki tog sedmougla je: �
21�
28�
42�
45�
35
Page 61
58
� 58
�
�
�
Programi�za�prijemni�ispit�iz�Matematike��
1. Osnovne�logiēke�operacije.�Pojam�funkcije.��2. Racionalni�algebarski�izrazi.�Polinomi.��3. Linearna�funkcija.�Linearne�jednaēine�i�nejednaēine.�Sistemi�linearnih�jednaēina�i�
nejednaēina.��4. Kvadratna�funkcija.�Kvadratne�jednaēine�i�nejednaēine.�Sistemi�kvadratnih�jednaēina.��5. Algebarske�i�iracionalne�jednaēine�i�nejednaēine.��6. Pojam�logaritma.�Logaritamska�i�eksponencijalna�funkcija.�Logaritamske�i�eksponencijalne�
jednaēine�i�nejednaēine.��7. Trigonometrijske�funkcije.�Identiteti,�jednaēine�i�nejednaēine.�Primena�trigonometrije�na�
trougao�i�mnogougao.�8. Kompleksni�brojevi.��9. Analitiēka�geometrija�u�ravni�(prava,�krug,�elipsa,�hiperbola�i�parabola).��10. Planimetrija�(prvenstveno�geometrija�trougla,�ēetvorougla�i�kruga).��11. Stereometrija�(prizma,�piramida,�zarubljena�piramida,�valjak,�kupa,�zarubljena�kupa,�sfera�i�
delovi�sfere).��12. Binomna�formula.�Aritmetiēka�i�geometrijska�progresija.��13. Pojam�graniēne�vrednosti.�Izvod�i�primjena�izvoda.��
� � ���� �
�
�
�
�
�
� � ���� �
�
�
� �