BAB IPENDAHULUAN
1.1 Persamaan diferensial Persamaan differensial adalah gabungan
antara fungsi yang tidak diketahui secaraeksplisit dan turunan
(diferensial)-nya. Dalam kuliah Fisika anda tentu masih
ingatpersamaan gerak sistem pegas.
dengan m adalah massa pegas, k tetapan pegas, c koefisien
redaman, dan x posisisebuah titik pada pegas. Karena x adalah
fungsi dari t, maka persamaan diatas dapat ditulis juga sebagaim
x"(t) + cx'(t) + kx(t) = 0atau dalam bentuk yang lebih ringkas,mx"
+ cx' + kx = 0.
1.2 Kelompok persamaan differensial Berdasarkan turunan
tertinggi yang terdapat di dalam persamaannya, PDB dapatlagi
dikelompokkan menurut ordenya, yaitu:a. PDB orde 1, yaitu PDB yang
turunan tertingginya adalah turunan pertama.Contoh (i), (ii), dan
(iii) di atas adalah PDB orde 1.b. PDB orde 2, yaitu PDB yang
turunan tertingginya adalah turunan kedua.Contoh (iv) adalah PDB
orde dua.c. PDB orde 3, yaitu PDB yang turunan tertingginya adalah
turunan ketigaContoh (v) di atas adalah PDB orde tiga.d. dan
seterusnya untuk PDB dengan orde yang lebih tinggi. PDB orde 2 ke
atasdinamakan juga PDB orde lanjut.1.3 Klasifikasi persamaan
differensiala. Persamaan differensial biasa untuk tunggal Runge
kutta Prediktor- Korektorb. persamaan differensial biasa
majemeukRunge kutta
BAB IITEORI DASAR
1. Metode Runge KuttaMetode runge kuttaMetode Runge-Kutta
mencapai ketelitian suatu pendekatan deret taylor tanpa memerlukan
kalkulasi turunan yang lebih tinggi. Bentuk persamaan umum iterasi
Runge Kutta adalah
Dimanadengan
Runge Kutta Orde 1Jika m = 1, a1 = 1
Maka persamaan iterasi orde 1 yaitu
Runge Kutta Orde 2Jika m = 2
a. Jika menggunakan metode Heuna1 = a2 =p1= q11 = 1
sehingga persamaan iterasi orde 2 metode Heun
b. Jika menggunakan metode Raltsona1 =, a2 =p1= q11 = sehingga
persamaan iterasi orde 2 metode Raltson
c. Jika menggunakan metode Poligona1 = 0, a2 = 1p1= q11 =
sehingga persamaan iterasi orde 2 metode Poligon
Runge Kutta Orde 3Adapun persamaan iterasi orde 3 adalah
Runge Kutta Orde 4
Dengan
Aplikasi MetodeRunge-Kutta pada Perhitungan Potensial
ListrikJika diketahui pada suatu atom hidrogen inti atom memiliki
medan listrik dengan persamaan E = -3s-4 ds. Dan saat s(0) =1
dimana E(0) = 1, hitunglah potensial listrik yang ada dalam atom
hidrogen tersebut. Perhitungan secara analitik
Dengan C adalah
Makadiperoleh;
volt
Perhitungan dengan metode Runge-Kutta
Rumus iterasi metode Runge-Kutta:
NXnYnK1K2K3K4Yn+1
01,01,0000,700,7150,7150,731,715
11,11,7150,730,7450,7450,762,460
21,22,4600,760,7750,7750,793,235
31,33,2350,790,8050,8050,824,040
41,44,0400,820,8350,8350,854,875
51,54,8750,850,8650,8650,885,740
61,65,7400,880,8950,8950,916,635
71,76,6350,910,9250,9250,947,560
81,97,5600,940,9550,9550,978,515
91,98,5150,970,9850,9851,009,500
2. Metode Prediktor-Korektor a. Cara metode prediktor-
korektorMetode prediktor-korektor sebagaimana metode Runge-Kutta
juga didasarkan pada persamaan (7-2) dengan beberapa modifikasi.
Integrasi numerik dengan metode prediktor - korektor didasarkan
pada interpolasi polinomial di titik xn+1 dan xn yang dinyatakan
sebagai berikut:(7-6) x : variabel bebas y : variabel tidak bebas h
: xn+1 - xn Persamaan (7-6) merupakan persamaan implisit untuk
yn+1, karena yn+1 muncul sebagai argumen di sebelah kanan tanda
sama dengan. Jika f(x,y) merupakan fungsi non linier, maka secara
umum persamaan (7-6) tidak dapat diselesaikan secara eksak. Untuk
itu yn+1 diselesaikan dengan cara iterasi. Dengan mempertahankan
harga xn, kita dapatkan hasil pendekatan pertama pada sebagai
berikut:
(7-7)
Selanjutnya dengan dilakukan iterasi pertama, dengan cara
mensubstitusikannya ke dalam persamaan (7-6), sehingga didapatkan
persamaan berikut:
(7-8) Iterasi kedua diperoleh dengan mensubstitusikan ke dalam
persamaan (7-8). Secara umum iterasi akan menghasilkan persamaan
berikut:(7-9) Iterasi dapat dihentikan jika persyaratan akurasi
pada dua iterasi terdekat terpenuhi. b. Algoritma Metode Prediktor-
Korektor
Algoritma metode Prediktor - Korektor: Step 1 : langkah prediksi
(outer iteration) untuk n mulai dari 1 dan untuk persamaan y' =
f(x,y), y(x0) = y0 dengan h = xn+1 - xn (ditentukan) dan xn = x0 +
nh, hitung dengan persamaan (7-7)
Step 2 : langkah koreksi (inner iteration) untuk k = 1,2, hitung
dengan persamaan (7-9), sampai persyaratan akurasi berikut
dipenuhi:
Ulangi step 1 untuk n = n + 1.
Nilai ditentukan dengan mengingat 'error' pada persamaan (7-6)
sebesar -(h3/12)y'''.Beberapa parameter yang harus ditentukan untuk
menyelesaikan integrasi numerik dengan metode prediktor-korektor
berdasar algoritma di atas adalah: nilai n (jumlah iterasi luar /
outer iteration) nilai k (jumlah iterasi dalam / inner
iteration)
Persamaan (7-7) bersifat eksplisit dan bertipe terbuka sering
disebut dengan prediktor, sedangkan persamaan (7-6) bersifat
implisit dan bertipe tertutup sering disebut korektor. Jika
keduanya digunakan secara simultan seperti ditunjukkan di atas,
maka metode yang dipakai disebut prediktor-korektor. Hasil
persamaan korektor biasanya lebih akurat daripada hasil persamaan
prediktor.
c. Penerapan Metode Prediktor Korektor
Ilustrasi 2: Penerapan metode Prediktor-Korektor: Diketahui
:Ditanya : solusi untuk interval x = 0 sampai x = 0.2 dengan h =
0.1 Jawab : y'''(0) -2, maka error = -(h3/12)y''' 0.0002 Step 1 :
untuk n = 1, dari persamaan (7-7) dihasilkan Step 2 : dari
persamaan (7-9) dihasilkan dan
karena nilai maka iterasi dalam dihentikan dan nilai y1 = 0.8994
dapat dipakai untuk menghitung turunannya, yaitu: pada x1 = x0 +nh
= 0.1 Step 1 : untuk n = 2 dari persamaan (7-7) dihasilkan
Step 2: dari persamaan (7-7) dihasilkan
karena nilai , maka iterasi dihentikan dan nilai y2 = 0.7960
dapat dipakai untuk menghitung turunannya, yaitu: pada x2 = x0 + nh
=0.2 Solusi dengan metode prediktor-korektor hanya diberikan sampai
dengan x = 0.2. Jika solusi diberikan sampai dengan x = 1, maka
jika digambarkan akan mempunyai bentuk yang sama dengan kurva dalam
Gambar 7.1. Solusi metode prediktor-korektor pada ilustrasi 2 lebih
teliti dari solusi metode Runge-Kutta pada ilustrasi 1, karena pada
ilustrasi 1, orde metode Runga-Kutta hanya dua, sedangkan pada
ilustrasi 2, orde solusi ditunjukkan dengan jumlah iterasi dalam
menentukan koreksinya, yaitu jumlah iterasi dalam, dalam hal ini
berjumlah tiga, sehingga dapat dikatakan orde solusinya adalah
tiga.
3. Solusi Sistem Persamaan Diferensial Biasa (Majemuk)a. Metode
Runge kutta untuk PDB Metode Runge-Kutta untuk PDB tunggal dapat
dikembangkan untuksolusi sistem PDB (majemuk). Berikut adalah
contoh pengembangan metode Runge-Kutta untuk solusi sistemPDB
dengan dua persamaan yangdinyatakan sebagai berikut: = = = = (7-10)
f dan g merupakan fungsi t, x dan y yang biasanya sudah diketahui.
Untuk selanjutnya didefinisikan
(7-11)dengan parameter-parameter metode Runge-Kutta orde 4
sebagai berikut:
(7-12)
(7-13)
(7-14)
(7-15)Harga x dan y pada adalah:
(7-16)
b. solusi PDB dengan metode Runge-Kutta Ilustrasi 3: Solusi
sistem PDB dengan metode Runge-Kutta:Selesaikan persamaan berikut
yang biasanya muncul dalam hubungannya dengan masalah difusi. C dan
t masing-masing adalah variabel konsentrasi dan waktu. C'' + 2 t C'
0.5 C= 0(7-17)Interval solusi adalah t = 0 dan t = 0.5 dengan
kondisi batas C = 1 dan C' = 0Jawaban:Beda waktu (time step) atau h
ditentukan sebesar 0.1. Langkah selanjutnya adalah memodifikasi
persamaan (7-17) menjadi sistem PDB orde 1 yang didefinisikan
sebagai berikut: x = C, y = C', sehingga persamaan (7-17) dapat
dimodifikasi menjadi seperti berikut:
(7-18) dengan kondisi x = 1 dan y = 0 pada t = 0. Berdasar pada
persamaan (7-10), maka fungsi f dan g didefinisikan sebagai
berikut:
(7-19) Pada pendekatan pertama digunakan nilai Dan .
Selanjutnyadengan mensubstitusikannya dalam persamaan (7-13) s.d.
(7-15) akan diperoleh:
yang akan memberikan nilai x dan y pada step berikutnya seperti
dalam perhitungan berikut:
Hasil perhitungan selanjutnya sampai dengan iterasi kelima
diberikan dalam tabel berikut ini. Tabel 7.2: Hasil 5 Iterasi
Pertama pada Solusi Persamaan (7-17) dengan Menggunakan Metode
Runge-Kutta(Sumber: Albarede, 1995)n= Iterasi012345
00.10.20.30.40.5
11.00251.00991.02191.03821.0582
00.04970.09770.14240.18240.2167
00.00500.00980.01420.01820.0217
0.05000.04910.04660.04260.03730.0312
0.00250.00740.01210.01640.02010.0232
0.04980.04800.04470.04000.03430.0279
0.00250.00740.01200.01620.02000.0231
0.04980.04810.04480.04010.03450.0281
0.00500.00980.01420.01830.02170.0245
0.04910.04660.04250.03730.03120.0247
1.00251.00991.02191.03821.05821.0813
0.04970.09770.14240.18240.21670.2447
Metode 456
Metodeprediktor-korektorsebagaimanametodeRunge-Kuttajugadidasarkanpadapersamaan
(7-2) denganbeberapamodifikasi.
Integrasinumerikdenganmetodeprediktor -
korektordidasarkanpadainterpolasipolinomial di titikxn+1danxn yang
dinyatakansebagaiberikut:
n = 1,2,......(7-6) [])y,x(f)y,x(f2 hyy1n1nnnn1n++=+++
x :variabelbebasy : variabeltidakbebash : xn+1 - xn
Persamaan (7-6) merupakanpersamaanimplisituntukyn+1,
karenayn+1munculsebagaiargumen di sebelahkanantandasamadengan.
Jikaf(x,y)merupakanfungsi non linier, makasecaraumumpersamaan (7-6)
tidakdapatdiselesaikansecaraeksak.
Untukituyn+1diselesaikandengancaraiterasi.
Denganmempertahankanhargaxn,
kitadapatkanhasilpendekatanpertamayn(0+)1 padayn+1
sebagaiberikut:
yn(0+)1 = yn+ hf ( xn,yn) (7-7)
Selanjutnyadenganf ( xn+1,yn(0+)1 ) dilakukaniterasipertama,
dengancaramensubstitusikannyakedalampersamaan (7-6),
sehinggadidapatkanpersamaanberikut: yn(1+)1 = yn+ h2 [f ( xn,yn) +
f ( xn+1,yn(0+)1 ) ](7-8)
Iterasikeduadiperolehdenganmensubstitusikanf ( xn+1,yn(1+)1
)kedalampersamaan (7-8).
Secaraumumiterasiakanmenghasilkanpersamaanberikut:
k =1,2,...... (7-9) )(()[])y,x(f)y,x(f2
hyy1k1n1nnnnk1n++=+++
Iterasidapatdihentikanjikapersyaratanakurasipadaduaiterasiterdekatterpenuhi.
AlgoritmametodePrediktor - Korektor:
1. Step 1 : langkahprediksi(outer iteration)untukn mulaidari1
danuntukpersamaany' = f(x,y), y(x0) = y0denganh = xn+1 - xn
(ditentukan) danxn = x0 + nh, hitungyn(0+)1 denganpersamaan (7-7).
2. Step 2 : langkahkoreksi(inner iteration)untukk = 1,2,
hitungyn(k+)1 denganpersamaan (7-9),
sampaipersyaratanakurasiberikutdipenuhi:
3. Ulangi step 1 untukn = n + 1.
Nilaiditentukandenganmengingat'error'padapersamaan (7-6)
sebesar(h3/12)y'''. Beberapa parameter yang
harusditentukanuntukmenyelesaikanintegrasinumerikdenganmetodeprediktor-korektorberdasaralgoritma
di atasadalah: nilain (jumlahiterasiluar / outer iteration) nilaik
(jumlahiterasidalam / inner iteration)
Persamaan (7-7)
bersifateksplisitdanbertipeterbukaseringdisebutdenganprediktor,
sedangkanpersamaan (7-6)
bersifatimplisitdanbertipetertutupseringdisebutkorektor.
Jikakeduanyadigunakansecarasimultansepertiditunjukkan di atas,
makametode yang dipakaidisebutprediktor-korektor.
Hasilpersamaankorektorbiasanyalebihakuratdaripadahasilpersamaanprediktor.
Ilustrasi 2: PenerapanmetodePrediktor-Korektor:
Solusidenganmetodeprediktor-korektorhanyadiberikansampaidenganx
= 0.2. Jikasolusidiberikansampaidenganx = 1,
makajikadigambarkanakanmempunyaibentuk yang
samadengankurvasebagaiberikut.
Materi 789
8.10. Metode Alternating-Direction Implicit (ADI)
Untukpenjelasanmetodeini, dipilih PDP parabolik yang
mendiskripsikanperambatanpanas 2-D dengan parameter persamaan u =
u(x,y,t) dan u =u(i,j,n), dimana y =jy.
Bentukpersamaantersebutadalahsebagaiberikut:
PBH eksplisitpersaman di
ataspadalangkahwaktutnberbentuksebagaiberikut:
Untukmenjaminstabilitassolusipersamaan (8-47),
makahubunganantarabedawaktu (t) danbedageometri (x) dan (y)
dipelajariberikutini. Jikadidefinisikan
PBH implisituntukpersamaan (8-46)
mempunyaibentuksebagaiberikut:
Persamaan (8-49) dengan x =
ydapatdituliskansecaralengkapsebagaiberikut:
Sepertipadakasus 1-D, solusiimplisitsepertipadapersamaan
(8-50)stabiluntuksembarangharga.Sistempersamaan linier yang
terbentukkemudiandirepresentasikandalambentukmatriks.
Metodeeliminasi Gauss tidakefektifdigunakanuntukmenyelesaikan SPL
dalambentukmatrikstridiagonalsepertidalampersamaan (8-50).
Sebagaialternative dapatdigunakanmetodeiterasi Gauss- Seidel.Metode
ADI dapatmengatasikesulitanini. Prinsipmetode ADI
adalahmengintrodusirlangkahwaktu (time step)setengahatau t/2.Selain
itumetode ADIjugamengintrodusirduapersamaan.
Persamaanpertamamempunyaibentukimplisitdalamarah x saja,
sedangkanpersamaankeduaimplisitdalamarahysaja. Dengandemikian,
jikamerupakannilaiaktual (intermediate
value)padaakhirlangkahwaktupertama, makaakandidapatkan:
diikutioleh
Jikaditulisdalambentuklengkapdanpengaturanselanjutnyadengan x =
yuntukpenyederhanaan, makapersamaan di atasakanmenjadi:
Solusipersamaan (8-53) menghasilkan
u*yangselanjutnyaakandigunakanuntuksolusipersamaan (8-54) yang
akanmenghasilkan ui,j,n+1pada akhir interval t.
Bab
9Dasar-dasarSolusiPersamaanDiferensialParsialdenganMetodeElemenHingga9.1.PendahuluanMetodeelemenhingga
(MEH) merupakansalahsatutekniksolusipersamaandiferensialparsial
(PDP) secaranumerik.
Metodeinitelahberkembangdenganpesatmenjadibeberapavarian,
sehinggamenjadicabangilmutersendiridalambidanganalisisnumeriklanjut.
Berikuthanyadiberikandasar-dasar MEH yang
dapatdiklasifikasikandalammetode residual terbobot (weighted
residual method),metode subdomain,
metodekolokasisertametodeGalerkin. 9.2. Metode Residual
TerbobotUntukpenjelasanmetodeinidiambilcontoh PDP 2-D
untukkasusadveksi-dispersi yang dinyatakansebagaiberikut:
Persamaan (9-3) menyatakankondisibatasberupakonsentrasi yang
besarnyatertentu.
Kondisibatasinidapatdiklasifikasikankedalamkondisibatastipe I
(Dirichlet). Persamaan (9-4)
menyatakankondisibatasberupafluxdispersi yang besarnyatertentu.
KondisibatasinidapatdiklasifikasikankedalamkondisibatastipeII
(Neumann). Untukmendekatisolusianalitikpersamaan (9-1), metode
residual terbobotmengadopsifungsipendekatanberikut:
Charusmemenuhikondisibatas(9-3) padabatas domain aliran (1).Jika
N , makapendekatandenganpersamaan (9-5)
cenderungmenghasilkansolusieksakatausamadengansolusianalitik.Dalampersamaan
(9-5), parameter-parameter berikutini,yaitu:
merupakanfungsi-fungsi basis yang bebas linier. C1(t), C2(t), ,
CN(t) adalahkoefisien-koefisientaktentu yang
merupakanfungsidariwaktu (t). Selanjutnyaakanterlihat,
bahwakoefisien-koefisieninidapatditentukanberdasarpersyaratan,
bahwahanyamerupakansolusipendekatandaripersamaan (9-1) atau L(C)
0,olehkarena itumaka
merupakanfungsi-fungsi basis yang bebas linier. C1(t), C2(t), ,
CN(t) adalahkoefisien-koefisientaktentu yang
merupakanfungsidariwaktu (t). Selanjutnyaakanterlihat,
bahwakoefisien-koefisieninidapatditentukanberdasarpersyaratan,
bahwahanyamerupakansolusipendekatandaripersamaan (9-1) atau L(C)
0,oleh karenaitumaka
Persamaan (9-7) disebut residual
dandiperolehdengancaramensubstitusikedalampersamaan (9-1). Harga
residual inidiusahakansekecilmungkindalamkeseluruhandomain aliran
(R).
Persamaan (9-8) menyatakan residual rata-rata
terbobotuntukmengukur residual dalam domain (R).Parameter
W(x,y)merupakanfungsipembobotatau weighting function.Untukorde N,
makaadafungsibobotsebanyak
Fungsi-fungsipembobotinidipilihdengansedemikianrupa,sehingga
residual yang dihasilkannyaakanmempunyaihargasamadengannol,
dengandemikianakanterdapat N persamaansebagaiberikut:
Jikapersamaan (9-1) disubstitusikedalampersamaan (9-10)
dandenganmenggunakan formula Green
untukmengeliminasisukudenganturunankedua,makaakandidapatkanpersamaanberikut:
Sukuterakhirdalampersamaan di atasdidapatdarikondisibatastipe II
dalampersamaan (9-4). Jikapersamaan (9-5)
disubstitusikedalampersamaan(9-11)
akandiperolehsistempersamaandiferensialbiasa (PDB) atau ordinary
differential equations (ODE) yang
ditulisdalambentukmatrikssebagaiberikut:
padamana
Elemen-elemenmatrikskoefisien [A],[B] danvektor {F}
masing-masingadalah:
Dari sinitampakjelasbahwa, jikafungsi-fungsi basis
dalampersamaan (9-6) danfungsi-fungsipembobotdalampersamaan (9-9)
diberikanataudiketahui, makaharga-harga yang
dicaripadasemuaelemendapatdihitung.
Jikapendekatanbedahinggaditerapkandalampersamaan (9-12)
untukmendekatiturunanpertamaterhadapwaktu, makasistem PDB
akanmenjadisistempersamaan linier padasetiaplangkahwaktu (time
step). Sebagaicontoh,misal Ct adalahharga C padawaktu t dan
Ct+tadalahhargaCpadawaktu t+ t, makaturunan C terhadap t
dapatditentukandenganpendekatanbedahinggasebagaiberikut:
Substitusipersamaan (9-16) kedalampersamaan (9-12)
akanmenghasilkan:
ataudapatdituliskansecarasimboliksebagaiberikut:
padamana
Persamaan (9-17) merupakansistempersamaan linier simultan yang
dapatdiselesaikandenganmetodeiterasiatausolusilangsung.
Akibathadirnyasukuuntukadveksidalampersamaanadveksi-dispersi,
makamatrikskoefisien [A]bersifattidaksimetrisatauasimetris. Hal
inidapatdilihatdaristrukturpersamaan (9-13). Dengandemikianmatrik
[E]dalampersamaan (9-17)jugabukanmerupakanmatrikssimetris.
KetidaksimetrisaninimerupakanperbedaanutamadalamMEH antara MEH
untuksolusipersamaan transport massadan MEH
untuksolusipersamaanaliran air tanah. Jikamatriks [E]asimetris,
makasolusilangsungakanmembutuhkanlebihbanyakmemorikomputerdan
step-step perhitungan yang lebihkompleks. Setelahmenyelesaikan
Ct+tpadapersamaan (9-17), solusipendekatan C padawaktu t +
tdapatdiperolehdengancaramensubstitusi C
t+tkesebelahkanantandasamadengandalampersamaan (9-5). Penjelasan di
atasmerupakanlangkah-langkahutamasolusipersamaanadveksidispersidenganmenggunakanMEHdenganmetode
residual terbobot.
Permasalahanselanjutnyaadalahbagaimanamenentukanfungsi-fungsi basis
danfungsi-fungsipembobotuntukpenyederhanaanperhitunganmatrikskoefisien.9.3.
Metode Subdomain Metode subdomain
jugadikenaldenganmetodekolokasielemen. Berdasarmetodeini domain
aliran (R) dibagimenjadibeberapaelemen (subdomain), yaitu: dengan
(Ri), i = 1, 2, N.Setiapelemendiasosiasikandenganfungsipembobot
yang didefinisikansebagaiberikut:
Denganketentuanini,makapersamaan (9-13) sampaidengan (9-15)
dapatdisederhanakanmenjadi:
Materi 10,11,12Elemen Segitiga dan Fungsi Basis Linear
Gambar 1. Elemen Segitiga Linier dengan Node-node-nyaBerikut
adalah gambaran elemen segitiga yang kemudian disimbolkan dengan .
Misal node-node pada elemen segitiga di atas diberi nama dengan i,
j, k, masing- masing dengan koordinat ( xi , yi ), ( x j , y j )
dan ( xk , yk ) . Fungsi-fungsi basis dalam hubungannya dengan
ketiga node tersebut didefinisikan sebagai fungsi basis linier yang
mempunyai ekspresi sebagai berikut:
Dimana :
adalahluaselemensegitiga.Denganfungsi-fungsibasisyang diberikan
dalam persamaan diatas untuki jakandiperoleh :
Dari persamaan ini disubstitusikan kedalam persamaan berikut,
sehingga Aij,Bij danFi dalam elemen segitiga akan dapat dihitung
sebagai berikut :
2. adalah panjang sisi elemen segitiga bersamaan (yang
berhimpitan) dengan panjang 2. Jika keduanya tidak mempunyai bagian
yang saling berhimpitan, maka 2. = 0. Langkah selanjutnya adalah
membentuk matriks [A], [B] dan vektor {F} dengan cara merangkai
komponen-komponen pada setiap elemen dan terlihat bahwa matriks [A]
adalah matriks asimetrik akibat hadirnya suku adveksi ke dalam
sistem.Metode kolokasi merupakan metode penyelesaian masalah nilai
batas dengan mengunakan fungsi polonomial sebagai dasar
penyelesaian masalah tersebut. Masalah nilai batas pada persamaan
deferensial biasa, pada umumnya dapat diselesaikan secara analitik,
bukan secara numerik yang langsung langkah akhir dari
penyelesaiannya mengunakan teknik integrasi. Namun demikian, tidak
semua nilai batas dapat di selesaikan secara analitik. Dalam hal
ini penyelesaian dapat dilakukan secara numerik.
Pada umumnya, metode numeris tidak mengutamakan jawaban yang
tepat tetapi lebih pada mengusahakan perumusan metode yang
menghassilkan jawaban pendekatan yang berbeda atau hampir sama
dengan nilai yang sebenarnya dengan nilai tersebut sebesar suatu
nilai yang dapat diterima berdasarkan pertimbangan yang cukup dapat
memberikan penyelesaian pada masalah yang dihadapi.
Dari uraian yang diterangkan di atas, peneliti tertarik untuk
meneliti mengunakan metode beda hinga (finite difference method)
dan metode tembakan (shooting method) dalam pemecahan masalah nilai
batas pada persamaan differensial biasa orde dua yang linear. Dari
uraian tentang metode di atas yang digunakan dalam mencari
penyelesaian maslah nilai awal, terdapat metode yang mempunyai
tingkat ketelitian lebih dibandingkan metode lain. Oleh karna itu,
peneliti tertarik untuk mengetahui lebih dalam mengenai efisiensi,
kelemahan dan kelebihan metode beda dan metode tembakan kemudian
membandingkannya.
Berdasar metode kolokasi atau lengkapnya metode kolokasi titik
dipilih N titik, yaitu:
( xi , yi ), i
= 1,2, ... , N
dari dalam domain (R) yang selanjutnya disebut titik-titik
kolokasi. Fungsi-fungsi pembobot kemudian didefinisikan sebagai
berikut:
Wi ( x , y ) = ( x xi ) . ( y yi )
Dimana i =1,2,....,N
( x xi ) dan ( y yi )
adalah fungsi dirac- yang menyebabkan
Wi ( x, y) 0 hanya
pada titik ( xi ,yi ) . Untuk suatu fungsi, misalnya a( x, y) ,
maka akan diperoleh:
( R ) a( x , y )Wi ( x , y ) dx dy = a( xi ,yi )
Berdasarkan persamaan diatas, maka persamaan (9-13) s.d. (9-15)
dapat disederhanakan menjadi:
Harap dicatat, disini tidak dibutuhkan integrasi untuk
memperoleh koefisien-koefisien tersebut, sehingga metode kolokasi
atau kolokasi titik secara numerik tidak membutuhkan penanganan
komputasi yang cukup rumit. Tingkat akurasinya hanya dipengaruhi
oleh penentuan fungsi-fungsi basis dan lokasi titik-titik kolokasi.
Basis titik-titik formula kuadratik Gauss dapat dipergunakan
sebagai titik-titik kolokasi.
A. Pengertian Metode GalerkinDalammatematika,
khususnyabidanganalisisnumerik, metodegalerkinmerupakanmetode yang
digunakanuntukmengubahmasalah operator kontinu
(sepertipersamaandifferensial) kemasalahdiskret.Metoda Galerkin
juga dapat diartikan sebagai metoda elemen hingga yang dapat
diterapkan pada berbagai jenis masalah seperti teori lendutan kecil
dan besar, getaran linear dan tak linear, serta masalah stabilitas
pelat baja dan struktur selaput (shell), asalkan model persamaan
diferensiasi masalah yang dihadapi telah diketahui. Walaupun
perumusan matematis dibalik metode Galerkin cukup rumit,
interpretasi fisisnya relatif sederhana. Dalam prinsipnya, metoda
ini mirip penerapannya dengan metode variasi ke ruang fungsi dengan
mengubah persamaannya ke formusi lemah.
B. Metode GalerkinMetoda Galerkin dapat diartikan sebagai metoda
elemen hingga yang dapat diterapkan pada berbagai jenis masalah
seperti teori lendutan kecil dan besar, getaran linear dan tak
linear, serta masalah stabilitas pelat baja dan struktur selaput
(shell), asalkan model persamaan diferensiasi masalah yang dihadapi
telah diketahui. Walaupun perumusan matematis dibalik metode
Galerkin cukup rumit, interpretasi fisisnya relatif
sederhana.Sistem struktur yang ditinjau pertama-pertama dianggap
berada dalam keseimbangan. Dengan demikian, jumlah semua gaya dalam
dan luar sama dengan nol. Keadaan seimbang suatu elemen yang sangat
kecil kemudian dirumuskan dengan persamaan diferensial sebagai
berikut :1 (u,v,w) px = 02 (u,v,w) py = 03 (u,v,w) pz = 0
3
Yang menyatakan keseimbangan semua gaya dalam arah X,Y, dan Z.
Dalam persamaan yang ditunjukkan diatas :4
1, 2, 3 menunjukkan operator diferensialpadafungsiperpindahan.
px, py, dan pz adalah gaya luar.Keseimbangan pada sistem struktur
tersebut diperoleh dengan mengintegrasi persamaan diferensial dalam
persamaan diatas untuk seluruh bagian struktur.Pada metode
galerkin, metode galerkin menggunakan fungsi-fungsi basis dalam
persamaan : 1(x,y),2(x,y),.....,N(x,y)
Persamaan ini pada metode galerkin, digunakan sebagai
fungsi-fungsi pembobot. Berdasarkan metode galerkin domain (R)
dibagi menjadi beberapa elemen, yaitu (Rm), m = 1, 2, ...... M.
Selanjutnya titik-titik potong antar sisi elemen disebut dengan
node. Kadang-kadang di dalam elemen juga terdapat node. Misal dalam
seluruh domain (R) terdapat M elemen dan N node, maka persamaan
dalam persamaan metode residual berbobot dapat dimodifikasi menjadi
:
5
( 2,m) Adalah batas bersama antara (Rm) dan (2). Misal fungsi
basis ke i, yaitu i(x,y) diasosiasikan dengan node ke i yang
didefenisikan sebagai berikut:
( x j , y j ) adalah koordinat node j. Persamaan (9-31)
mempunyai arti : i ( x , y ) = 1 pada node i dan i ( x , y ) = 0
pada node yang lain, i ( x , y ) = 1 pada elemen yang dihubungkan
atau dibatasi oleh node i dan i ( x , y ) = 0 pada elemen-elemen
lainnya.Dua ketentuan ini mempunyai beberapa keuntungan, yaitu :1.
AijdanBij 0 hanyajika node idan j beradadalamelemen yang sama,2.
PerhitunganAijdanBijtidakmelibatkanintegrasipadakeseluruhan domain
(R), tetapihanyaintegrasipadaelemen-elemen yang mempunyai node idan
j,3. Berdasarpersamaan (9-31), solusiCt +tdalampersamaan (9-12)
menghasilkannilai-nilai yang tidakdiketahui (darisolusipendekatan
Cpadawaktu t + t),sehinggatidakperlukembalikepersamaan (9-5).
Dengan demikian kombinasi antara diskritisasi elemen hingga dengan
metode Galerkin akan menyederhanakan proses perhitungan. Dalam hal
ini terdapat keluwesan dalam pemilihan bentuk elemen, aturan node
serta ekspresi fungsi-fungsi basis. Dua elemen utama yang sering
dipergunakan untuk solusi persamaan adveksi-dispersi adalah elmen
segitiga dans segiempat.
Contoh Soal ;6
Selesaikan persamaan diferensial berikut dengan metode galerkin
:
JawabanGunakan fungsi dasar :
Dimana untuk fungsi dasar tersebut harus bebas lineardan
memenuhi kondisi batas nol. Sehingga untuk solusi perkiraannya
yaitu dalam bentuk :
Pergantian sisi kiri dari fungsi diatas akan menghasilkan
residual
Taking into account the orthogonality of R with respect to u1(x)
andu2(x), one arrives at the system
Substitution ofRinto this system and evaluation of the integrals
yields the linear algebraic equations7
Dengan solusi :
Sehingga :
Tabel berikut menyajikan nilai-nilai pendekatan ini dan tepat
solusi y = (sin x) / (sin 1) - x
Materi 13,14,159.6.2. Elemen Segiempat dan Fungsi Basis Linear1.
Elemen Segiempat dan Fungsi Basis BilinearGambar berikut
menunjukkan elemen segiempat (e) dengan panjang a dan lebar b.
keempat node-nya diberi identifikasi masing-masing dengan I,j,k,
dan m.
Elemen segiempat dalam sistem koordinat global dapat
ditransformasi menjadi elemen segiempat standar dalam sistem
koordinat lokal seperti pada Gambar 9.3. Pada elemen segiempat
standar, koordinat keempat node adalah =1, =1. Transformasi
koordinat dikerjakan sebagai barikut : (9-38)(x0,y0) adalah
koordinat titik tengah elemen segiempat. Fungsi-fungsi basis elemen
segiempat standar didefinisikan sebagai berikut :
(9-39)Fungsi-fungsi basis ini berupa fungsi bilinear dalam dan .
Dengan menggunakan formula transformasi integral ganda, komponen
dan dalam elemen (e) dapat ditentukan sebagai :
(9-40) (9-41) dapat ditentukan dengan cara yang sama. Setelah
perhitungan diselesaikan untuk semua elemen, langkah selanjutnya
adalah merangkai elemen-elemen tersebut untuk pembentukan matriks ,
dan vector {F} global. Dengan demikian sistem persamaan (9-12)
terbentuk untuk elemen-elemen segiempat.Ket :
9.6.3. Elemen Orde Tinggi dan Elemen HermiteFungsi kuadratik
lengkap x, y mempunyai 6 koefisien, sehingga diperlukan 6
kondisiuntuk mendefinisikannya. Jika nilai-nilai fungsi pada 6 node
setiap elemen diketahuiatau diberikan, maka kondisi yang diperlukan
segera dapat dipenuhi. Dengandemikian dapat didesain 6 node dalam
setiap elemen segitiga, yaitu 3 buah padasetiap perpotongan antar
sisinya dan 3 buah node lagi pada masing-masing sisiseperti
diilustrasikan dalam Gambar 9.4.
Penggunaan elemen segitiga dengan fungsi-fungsi basis liniernya
memberi implikasi,bahwa nilai konsentrasi yang dicari pada setiap
elemen didekati harganya denganmenggunakan fungsi yang linier,
sehingga solusi pendekatan C juga merupakanfungsi linier. Untuk
memperbaiki akurasi solusi pendekatan dipergunakan fungsikuadratik
atau fungsi dengan orde yang lebih tinggi pada elemen-elemen orde
tinggi.Elemen segitiga () dalam bidang xy seperti diilustrasikan
pada Gambar 9.4ditranformasikan menjadi elemen segitiga standar ()
dalam bidang dengansistem koordinat lokal seperti diilustrasikan
pada Gambar 9.5.
Transformasikoordinatdikerjakansebagaiberikut:
Padaelemensegitigastandar(),fungsikuadratik,lengkapmempunyaibentuk:
jikanilai fungsibasis kuadratiki(,)diasosiasikan
dengannodeidalamelemen ()yang berharga 1padanode idan
berharga0padakelima nodelainnya,maka akan diperoleh 6kondisi.
Dengan 6 kondisi, maka 6 koefisieni(,)dapat
ditentukansepertidituliskandalamTabel9.1.
Dengan persamaa (9-42), Jacobian transformasi dapat dihitung dan
semua
koefisienpersamaan(9-28)sampaidengan(9-30)dapatdiintegrasidalamkoordinatlokal.Integranberupapolinomialdalamdandenganordelebihrendahdari3.Elemenkubikdapatditurunkandengancarayangsamasepertielemenkudratik.Padaelemensegitigakubik,didefinisikan10nodeuntukmengekspresikannilaiyangdicaripadasetiapelemen,melaluipendekatandenganmenggunakanpolinomial
kubik lengkap (lihat Gambar 9.6). Dengan menggunakan transformasi
dalampersamaan(9-42),elemensegitiga()dalambidangxymenjadielemensegitiga
standar()dalambidangdengansistemkoordinatlokal.Node-nodeyangrelevandiilustrasikanpadaGambar9.9.Fungsi-fungsibasisGalerkinorde3dalamsistemkoordinatlokaldiberikandalamTabel9.1.
Denganfungsi-fungsibasisyangdiberikandalamTabel9.1,koefisienAij,BijdanFipadaelemensegitiga()dapatdihitungdenganmenggunakanintegrasinumerik.Integranberupapolinomialdalamdandenganorde4.FormulaintegrasiGaussseringkalidigunakanuntukkeperluanini.
Disampingmenggunakan10node,adacaralainuntukmenentukan10koefisienpolinomialkubik.Sebagaicontoh,didefinisikan3nodeyangberupatitikpotongantarsisielemendansebuahnodeditengahelemensegitiga.Selanjutnyadiasumsikan,bahwanilai-nilaifungsidemikianjugaturunanparsialterhadapxdanydikeempatnodetersebutdapatatausudahditentukan,makaakanterdapat10kondisiuntukmenentukan10koefisien.Jeniselemensepertiinidisebutdenganelemenhermite,sepertidiilustrasikanpadaGambar9.8.
Setiapnodedititikpotongantarsisielemensegitigaberhubungandengan3fungsi
basis dan 3 koefisien taktentu, sedangkan nodedi tengah elemen
segitiga
berhubungandenganC4(t)dan4(x,y)sepertitertulisdalamTabel9.2.Semuafungsi
basisberupapolinomialkubikdalamxdany. Sesuai dengan prinsip
penentuan fungsi-fungsi basisyangtelahditerangkan
sebelumnya,ditetapkan,padanode1nilai
Jikaekspresifungsi-fungsibasissudahdapatditentukanpadasetiapelemen,makakoefisien-koefisien
dalam persamaan(9-12) dapat ditentukan dengan
mudah.Selanjutnya3buahsolusiakandiperoleh,masing-masingberasosiasidengannode
yangberupatitikpotongantarsisielemensegitiga.Solusiinimerupakannilaiyang
dicarisertamerupakannilaiturunanparsialnyaterhadapxdanypadanodeyang
bersangkutan.Solusiyangberasosiasidengannodeditengahelemenmerupakan
nilaifungsipadanodetersebut.Solusiyangdiperolehdenganmenggunakanelemen
hermitemempunyaiturunanparsialorde1yangkontinudinodeyangberupatitik
potongantarisielemen.Halinimerupakankeunggulanelemenhermite.
JikapersamaanaliranairtanahdiselesaikanmenggunakanMEHdenganelemen-
elemenlinier,makakecepatanaliranyangdidapatberdasarhukumDarcyakan
bersifatdiskontinudisepanjangsisielemen-elemen,karenamedangradiensolusiNumerik
bernilai konstan.Untuk mengatasi masalah ini,maka disarankan
menggunakanelemenhermiteorde3,sehinggakontinuitasalirandapatdijamindanakurasisolusinumerikpersamaanadveksi-dispersidapatdiperbaiki.
9.9. Teknik Solusi Metoda Elemen Hingga 9.9.1. Karakteristik
Sistem Elemen Hingga dan Metoda Solusi Langsung Pendekatan elemen
hingga dapat digunakan baik untuk diskretisasi variabel ruang
maupun variabel waktu. Dari penjelasan sebelumnya dapat dilihat,
bahwa apapun jenis MEH yang digunakan, persamaan adveksi-dispersi
akan ditransformasikan ke dalam sistem PDB dengan ekspresi sebagai
berikut: [A] C + [B] dtdC+ F = 0 (9-59) Setelah langkah
diskretisasi variabel waktu, sistem PDB akan menjadi sistem
persamaan linier. Hasil-hasil perhitungan praktis menunjukkan,
bahwa turunan terhadap waktu lebih mudah dilakukan dengan
menggunakan pendekatan MBH (metoda beda hingga) daripada pendekatan
MEH, padahal nilai nominal hasil kedua pendekatan selalu
menunjukkan harga yang hampir sama. Pendekatan dengan MBH untuk
dC/dt dalam persamaan (9-59) dapat dikerjakan sebagai berikut:
tCCdtdCttt=+ (9-60) Konsentrasi C dalam suku pertama di sebelah
kiri tanda sama dengan dalam persamaan (9-59) dapat diambil
sebagai: C = Ct+ t + n (1 - ) Ct (9-61) adalah koefisien bobot yang
mempunyai harga 0 < < 1. Dengan mensubstitusi persamaan
(9-60) dan (9-61) ke dalam persamaan (9-59) akan diperoleh: [T] Ct+
t = R (9-62) pada mana: [T] = [A] + t]B[ (9-63) R = FC]A)[1(t]B[t
(9-64) Misal distribusi konsentrasi Ct pada langkah waktu ke t
dapat dihitung (pada t = 0 menggunakan kondisi awal), selanjutnya
distribusi konsentrasi Ct + t pada langkah waktu ke (t + t) dapat
diselesaikan dengan menggunakan persamaan (9-62). Dengan demikian
proses langkah demi langkah bisa dibentuk. Dengan IX-22menggunakan
terminologi MBH, jika = 0, maka solusi yang relevan adalah solusi
eksplisit, sedangkan jika = , maka solusi yang paling tepat adalah
solusi Crank-Nicolson serta jika = 1 solusi yang digunakan adalah
solusi implisit. Matrik koefisien sistem elemen hingga untuk
persamaan aliran air tanah bersifat sparse, symetric dan positive
definite. Sistem persamaan linier tipe ini dapat diselesaikan
dengan menggunakan metoda dekomposisi LU. Sebaliknya, akibat
hadirnya suku adveksi, matrik [T] dalam persamaan (9-62) bersifat
definitely asymetric. Untuk itu dibutuhkan penanganan khusus
menyangkut memori komputer. Dari pengalaman diketahui, bahwa solusi
langsung mempunyai tingkatMateri 16,17,18SOLUSI PERSAMAAN NONLINEAR
TUNGGAL
Solusi persamaan nonlinier tunggal pada dasarnya adalah mencari
akar fungsi nonlinier tunggal, dengan ekspresi sebagai berikut:
f(x) = 0 (6-1)
contoh:
f(x) = x3 x 1 = 0 (6-2)
1. Metode - metode dengan Iterasi Titik Tidak Tetap
a. Metode Bagi Dua (Bisection Method)
Persyaratan metode bagi dua: Fungsi f(x) kontinu dalam interval
[a0,b0], f(a0) f(b0) 0.
Algoritma metode bagi dua: Step 1: tentukan interval [a0,b0]
sedemikian rupa, sehingga diperoleh f(a0) f(b0) 0. Step 2: untuk n
= 0,1,2,, sampai terpenuhi, kerjakan:
tentukan m = (an + bn) / 2 Jika f(an) f(m) 0, tentukan an+1 = an
dan bn+1 = m Jika tidak, tentukan an+1 = m dan bn+1 = bn ulangi
untuk n yang lebih tinggi sampai f(x) = 0 dalam interval [an+1,
bn+1]. b. Metode Regula Falsi
Persyaratan metode regula falsi: Fungsi f(x) kontinu dalam
interval [a0,b0], f(a0) f(b0) 0.
Algoritma metode regula falsi: Step 1: tentukan interval [a0,b0]
sedemikian rupa, sehingga diperoleh f(a0) f(b0) 0. Step 2: untuk n
= 0,1,2,, sampai terpenuhi, kerjakan hitung w = [f(bn) an f(an) bn]
/ [f(bn) f(an)]
Jika f(an) f(w) 0, tentukan an+1 = an dan bn+1 = w Jika tidak,
tentukan an+1 = w dan bn+1 = bn ulangi untuk n yang lebih tinggi
sampai f(x) = 0 dalam interval [an+1, bn+1].
c. Metode Modified Regula Falsi
Persyaratan metode modified regula falsi: Fungsi f(x) kontinu
dalam interval [a0,b0], f(a0) f(b0) 0, Tentukan F = f(a0), G =
f(b0) dan w0 = a0.
Algoritma metode modified regula falsi: Step 1: tentukan
interval [a0,b0] sedemikian rupa, sehingga diperoleh f(a0) f(b0) 0.
Step 2: untuk n = 0,1,2,, sampai terpenuhi, kerjakan hitung wn+1 =
(Gan Fbn) / (G - F)
Jika f(an) f(wn+1) 0, tentukan an+1 = an dan bn+1 = wn+1 dan G =
f(wn+1) Jika tidak, tentukan an+1 = wn+1 dan F = f(wn+1) dan bn+1 =
bn Jika f(wn) f(wn+1) > 0, tentukan G = G / 2 ulangi untuk n
yang lebih tinggi sampai f(x) = 0 dalam interval [an+1, bn+1]. d.
Metode Secant
Persyaratan metode secant: Fungsi f(x) kontinu dalam interval
[x-1,x0].
Algoritma metode secant: Step 1: dalam interval [x-1,x0]
kerjakan Step 2: untuk n = 0,1,2,, sampai terpenuhi, kerjakan
hitung xn+1 = [f(xn) xn -1 f(xn -1)xn] / [f(xn) f(xn-1)] ulangi
untuk n yang lebih tinggi sampai f(x) = 0 dalam interval
[x-1,x0].
Untuk menghindari kemacetan perhitungan, dimana ada kemungkinan
harga f(xn) = f(xn-1), maka akan lebih baik perhitungan xn+1
menggunakan rumus berikut ini:
suku [f(xn) f(xn -1)] / [xn xn-1] merupakan secant atau
kemiringan atau gradien f(x) melalui titik {xn -1,f(xn -1)} dan
titik {xn, f(xn)}, jika f(x) bersifat kontinu dan mempunyai
turunan. Jika demikian halnya, maka akan lebih baik menggantikan
[f(xn) f(xn -1)] / [xn xn-1] dalam koreksi dengan turunan f'(x),
sehingga akan didapatkan formula berikut ini.
Formula ini kemudian dikenal dengan formula iterasi Newton
berikut ini.
e. Metode Newton
Persyaratan metode Newton: Fungsi f(x) kontinu dan mempunyai
turunan di titik x0.
Algoritma metode Newton: Step 1: untuk n = 0,1,2,, sampai
terpenuhi, kerjakan hitung xn+1 = xn f(xn) / f(xn) ulangi untuk n
yang lebih tinggi sampai f(x) = 0.
Metode Newton merupakan kasus khusus dalam metode iterasi titik
tetap (fixed point iteration) yang akan dibahas selanjutnya. Metode
iterasi titik tetap secara umum mempunyai bentuk sebagai
berikut:
dengan demikian formula Newton dari segi metode iterasi titik
tetap akan berbentuk:
Ilustrasi 1: solusi persamaan nonlinier dengan menggunakan
metode iterasi:
Diberikan fungsi f(x) = x 0.2 sin x 0.5 yang mempunyai akar
eksak di antara x0 = 0.5 dan x1 = 1.0, karena f(0.5) f(1.0) < 0,
dan f(x) mempunyai turunan dalam interval [0.5,1].
Tabel 6.1: Hasil Iterasi Berdasar Beberapa Algoritma untuk
Solusi Persamaan f(x) = x 0.2 sin x 0.5
2. Metode-metode dengan Iterasi Titik Tetap Dari persamaan (6-1)
didapatkan persamaan berikut:
sehingga sembarang solusi persamaan (6-8), yaitu sembarang titik
tetap (fixed point) dari g(x) merupakan solusi dari persamaan
(6-1). Berikut ini akan diberikan beberapa metode iterasi titik
tetap. a. Metode Iterasi Titik Tetap Persyaratan metode iterasi
titik tetap agar diperoleh hasil yang optimal: Untuk titik awal x0,
dapat dihitung secara suksesiv titik x1, x2, Urutan x1, x2, akan
konvergen pada titik , Limit merupakan sebuah titik tetap dari
g(x), yaitu = g() yang merupakan akar fungsi g(x). Algoritma metode
iterasi titik tetap: Step 1: untuk n = 0,1,2,, sampai terpenuhi,
kerjakan hitung xn+1 = g(xn) ulangi untuk n yang lebih tinggi
sampai konvergen di
b. Metode Iterasi Steffensen Formula yang digunakan dalam metode
iterasi Steffensen adalah:
Algoritma metode iterasi titik tetap Steffensen: Step 1: untuk
fungsi iterasi g(x) kerjakan langkah berikut Step 2: untuk n =
0,1,2,, sampai terpenuhi, kerjakan tentukan xo = xn hitung x1 =
g(xo), x2 = g(x1) hitung xo dan x1 berdasar persamaan (6-9) hitung
r berdasar persamaan (6-10) hitung xn + 1 = x2 + x1 / ( r 1)
Contoh Kasus Solusi Persamaan Nonlinier Tunggal - Penentuan
Titik Potong antara Fungsi Topografi dan Highwall
Permasalahan: Suatu tambang batubara terbuka (pit) direncanakan
dengan besaran-besaran berikut: - Persamaan garis topografi: H(x) =
-3(10-09) x3 + 2(10-05) x2 - 0.0591x + 362.06, dengan x (m) dan
H(x) adalah posisi dari titik referensi dan ketinggian dari
permukaan laut (m). - Kemiringan (dip) batubara dan highwall
masing-masing adalah 6o dan 60o. - Koordinat titik A dan B adalah
(10,361) dan (1510,100) Sebenarnya penentuan titik C didasarkan
pada solusi persamaan linier yang pada kesempatan ini akan
dibuktikan mempunyai koordinat (1629,306). Dengan data-data di atas
diminta menentukan koordinat titik C.
Formulasi masalah:
Titik C merupakan perpotongan fungsi topografi dan fungsi
highwall. Ekspresi fungsi topografi telah diberikan (H(x)). Fungsi
highwall (F(x)) dapat ditentukan berdasar data koordinat titik B
dan kemiringan highwall. Perpotongan kedua fungsi akan mempunyai
harga absis (x ) dan ordinat (f(x)) yang sama di titik C. Hal ini
dapat dilakukan dengan cara mencari solusi persamaan nonlinier
tunggal. Fungsi topografi (H(x)) dan fungsi highwall (F(x))
dinyatakan sebagai berikut:
Solusi persamaan linier tinggal, yaitu persamaan dilakukan
dengan cara iterasi titik tetap yang diberikan pada tabel berikut
ini.
Materi 19STOKASTIK1. PengantarModel Stokastik adalahmodel
matematikadimana gejala-gejala dapat diukur dengan derajat
kepastian yang tidak stabil. Pada Model Stokastik disebut juga
model probabilistik peluang dari masing-masing kejadian benar-benar
di hitung, menyusun sebuah model stokastik cenderung lebih sulit
dari model deterministik. Kaidah-kaidah peluang adalah alat
matematika yang cukup vital dalam menyusun model stokastik. Contoh
model stokastik adalah teori antrian dan teori permainan, dimana
ini merupakan pengembangan daririset operasi modern.Dalam teori
probabilitas, probabilitas menunjuk pada eksperimen yang terdiri
dari procedure dan observasi. Konsep variabel acak memetakan hasil
eksperimen tersebut ke dalam garis bilangan real. Sedangkan konsep
proses stokastik (acakk) merupakan perluaan dari konsep variabel
acak dengan memasukkan waktu. Kata proses dalam konks ini berarti
fungsi dari waktu. Jadi proses stokastikk (acak) dapat diartikan
sebagai fungsi stokastik dari waktu.Berkenaan dengan karakteristik
persoalan yang hendak diselesaikan dengan pendekatan OR, maka
dibedakan dua jenis permasalahan:(1) Deterministik, dicirikan oleh
nilai-nilai parameternya yang pasti dantime-invariant,(2)
Stokastik, dicirikan oleh ketidakpastian nilai
parameter-parameternya dantime-variant.Contoh penerapan pemodelan
stokastik adalah : Rantai Markov dengan Waktu Diskret, Proses
Poisson,Rantai Markov dengan Waktu Kontinu, Proses
BercabangDanProses Pembaruan dan Penerapannya.Pemetaan ruang sampel
ke dalam fungsi sampel
2. Konsep Proses StokastikX(t,S1)
Fungsi sampelRuang sampelX(t,S3)X(t,S2)S1S2S1
Konsep Proses Stokastik Proses stokastik X(t) terdiri dari
eksperimen dengan pengukuran probabilitas didefinisikan pada ruang
sampel S dan fungsi yang menugaskan fungsi waktu x(t,s) untuk tiap
outcome s dalam ruang sampel eksperimen tersebut. Fungsi sampel
x(t,s) adalah fungsi waktu yang dihubungkan dengan outcome s dari
eksperimen Ansambel dari proses stokastik adalah himpunan dari
seluruh fungsi waktu yang mungkin dihasilkan dari suatu
eksperimen.
3. Klasifikasi Proses Stokastik1. Proses stokastik: waktu
kontinu dan amplitude kontinuXn+1 (t)
Dengan:t
A, konstan0
tt00Xn-1(t)Xn(t)
2. Proses stokastik: waktu diskrit dan amplitude kontinuXn+1
(t)
Dengan:t
A, konstan0
tt00Xn-1(t)Xn(t)
3. Proses stokastik: waktu kontinu dan amplitude diskritXn+1
(t)
Dengan:A, konstant0
tt00Xn-1(t)Xn(t)
4. Proses stokastik: waktu kontinu dan amplitude diskritXn+1
(t)
Dengan:A, konstant0
tt00Xn-1(t)Xn(t)
4. Contoh Soal StokastikContoh soalVariabel acak didefinisikan
sebagai:X: jumlah mahasiswa yang memeproleh nilai A dalam MK
Probabilitas dan Proses StokastikY: jumlah panggilan telepon yang
dijawab dalam tiap jamZ: jumlah menit waktu untuk menjawab
panggilan telepon berikutnyaTentukan tipe dari variabel acak
tersebut ke dalam variabel acak diskrit atau kontinu
Solusi:Variabel acak XRange X himpunan nilai yang dapat
dihitungMisal: Sx={1,2,3,4,5,6} mahasiswa
Variabel acak Ydiskrit
Range Yhimpunan nilai yang dapat dihitungMisal Sy={1,2,,10}
panggilan teleponVariabel acak Zkontinu
Ruang sampel himpunan bilangan treal tak negatif
Contoh Model Stokastik Kejadian stokastik adalah kebolehjadian
yang hanya dapat ditentukan distribusi frekuensinya. jadi kejadian
stokastik ini tidak dapat ditentukan fungsinya dengan pasti, namun
hanya berupa kisaran fungsi yang nilainya belum dapat ditetapkan.
Contoh dari kejadian stokastik adalah jumlah daun yang berguguran
setiap harinya. Helai-helai daunberguguran dari hari ke hari, namun
belum dapat dipastikan berapa jumlahnya dan fungsi seperti apa yang
dapat menggambarkan proses bergugurnya daun-daun tersebut. Kejadian
stokastik ini dapat didekati dengan suatu fungsi interval yang
bentuknya akan menyerupai, yaitu pada saat-saat tertentu mencapai
nilai maksimal sedangkan saat yang lain mencapai titik minimal.
Contoh lain Stokastik1. Jumlah penumpang busSebagai contoh
jumlah penumpang ketika pagi hari, mendekati jam kerja sangat
banyak. Jumlah ini akan berangsur-angsur menurun ketika jam kerja
sudah dimulai dan menjelang jam istirahat. Jumlah penumpang akan
kembali naik ketika jam pulang kerja. Hal ini berlangsung hampir
setiap hari, namun tidak dapat dipastikan fungsi apa yang
mendekatinya.2. Jumlah pengunjung Grojogan SewuJumlah pengunjung
Grojogan Sewu akan meningkat tajam pada saat liburan sekolah maupun
weekend. Namun setiap harinya juga terdapat pengunjung yang
jumlahnya tidak menentu. Dari jumlah pengunjung ini tidak dapat
ditentukan fungsi yang pasti, namun dapat didekati dengan suatu
fungsi interval yang bentuknya akan meningkat pada saat weekend
ataupun liburan.3. Pengunjung warung makanPengunjung warung makan
akan meningkat pada saat jam-jam makan siang dan istirahat, dan
akan berangsur-angsur berkurang ketika jam makan sudah usai. Begitu
seterusnya.
Kejadian stokastik ini dapat didekati dengan suatu fungsi
interval yang bentuknya akan menyerupai fungsi seperti di bawah
ini, yaitu pada saat-saat tertentu mencapai nilai maksimal
sedangkan saat yang lain mencapai titik minimal.
Tipe formulasi1. Formulasi statis, termasuk persamaan aljabar
atau fungsi dengan satu atau lebih variabel random, dapat berupa
skalar atau vektor, berniali diskrit atau kontinyu dan berkendala
atau tidak berkendala2. Formulasi dinamis, termasuk proses
stokastik dengan variabel benas t yang mewakili waktu jika
digunakan untuk model dinamis tak pasti
Teori Peluang Peluang adalah harapan terjadinya suatu kejadian
yang dikuantitatifkan. Peluang berhubungan dengan gagasan atau
konsep kesempatan atau kemungkinan. Kita katakan peluangnya besar
artinya kesempatan atau kemungkinan terjadinya besar, sebaliknya
peluang kecil artinya kesempatan terjadinya kecil.Definisi
PeluangDefinisi Klasik = Jika suatu percobaan mempunyai k hasil
percobaan yang berbeda dan masing-masing mempunyai kemungkinan yang
sama untuk terjadi maka :>peluang masing-masing kejadian
tersebut adalah 1/k>peluang kejadian E = P(E) = m/k dimana m
adalah hasil percobaanyang menyusun kejadian tersebutMenurut
definisi klasik, peluang dapat ditentukan sebelum percobaan
dilakukan.Definisi Modern / Frekuensi RelatifPeluang Kejadian E =
P(E) = lim n> tak hingga ne/ n, dimana ne= jumlahkejadian E
dalam percobaanMenurut definisi modern, peluang dapat ditentukan
setelah percobaan dilakukan.Definisi SubjektifPeluang Subjektif
artinya ialah peluang yang disampaikan oleh para pakar /
expertsKonsep dasar Peluang :Ruang Contoh= himpunan semua
kemungkinan hasil suatu percobaan (dilambangkan dengan S) =
kumpulan dari semua titik contohMisal : ruang contoh S bagi
pengambilan kartuS = { Diamond, Club, Heart, Spade}S1= {Merah,
Hitam}Kejadian= himpunan bagian dari ruang contohE = {Diamond}E1=
{Merah}Kejadian dibagi dua :-Kejadian Sederhana = kejadian yang
hanya memuat satu titik contohKejadian Majemuk / Komposit =
kejadian yang memuat lebih dari satu titik contoh
5. KesimpulanDari uraian materi sebelumnya dapat disimpulkan:1.
Model Stokastik adalahmodel matematikadimana gejala-gejala dapat
diukur dengan derajat kepastian yang tidak stabil. Disebut juga
model probabilistic peluang dari masing-masing kejadian benar-benar
di hitung.2. Stokastik, dicirikan oleh ketidakpastian nilai
parameter-parameternya dantime-variant.Contoh penerapan pemodelan
stokastik adalah : Rantai Markov dengan Waktu Diskret, Proses
Poisson,Rantai Markov dengan Waktu Kontinu, Proses
BercabangDanProses Pembaruan dan Penerapannya.3. Klasifikasi proses
stokastik yaitu: waktu kontinu dan amplitude kontinu, waktu diskrit
dan amplitude kontinu, waktu kontinu dan amplitude diskrit, waktu
kontinu dan amplitude diskrit.4. Kejadian stokastik adalah
kebolehjadian yang hanya dapat ditentukan distribusi frekuensinya.
jadi kejadian stokastik ini tidak dapat ditentukan fungsinya dengan
pasti, namun hanya berupa kisaran fungsi yang nilainya belum dapat
ditetapkan. Contoh dari kejadian stokastik adalah jumlah daun yang
berguguran setiap harinya. Helai-helai daunberguguran dari hari ke
hari, namun belum dapat dipastikan berapa jumlahnya dan fungsi
seperti apa yang dapat menggambarkan proses bergugurnya daun-daun
tersebut.