Guía para Examen Extraordinario de Econometría I Profesor: Juan Francisco Islas Aguirre Solución a los 3 ejercicios seleccionados en sesión abierta del 21 septiembre 2020 Del libro de Carter, Griffiths y Lim (2011) Principles of Econometrics, 4ª. Ed, Wiley Ejercicio 5.8 POE4 Un economista agrícola realiza un experimento para estudiar la relación entre la variable dependiente YIELD = rendimiento de la producción de cacahuate (en libras por acre) y las variables independientes de los insumos de producción NITRO = cantidad de nitrógeno aplicado (en cientos de libras por acre) PHOS = cantidad de fósforo fertilizante (en cientos de libras por acre) Un total de N=27 observaciones fueron obtenidas empleando pruebas en diferentes terrenos de cultivo. El modelo cuadrático estimado, con un término de interacción, es: (a) Encontrar las ecuaciones que describen el efecto marginal del nitrógeno sobre el rendimiento y efecto marginal del fósforo sobre el rendimiento. ¿qué le dicen a Usted éstas ecuaciones? (b) ¿ Cuáles son los efectos marginales del nitrógeno y del fósforo cuando i) y y ii) cuando y ? Comente sus hallazgos. (c) Pruebe las hipótesis de que el efecto marginal del nitrógeno es cero cuando i) y ii) y
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Principles of Econometrics, 4ª. Ed, Wiley Un economista agrícola … · 2020. 9. 30. · Planteamiento de la prueba de hipótesis Estadístico de prueba ̂ ̂ ̂ ( ̂ ̂ ̂ ) √
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Guía para Examen Extraordinario de Econometría I
Profesor: Juan Francisco Islas Aguirre
Solución a los 3 ejercicios seleccionados en sesión abierta del 21 septiembre 2020
Del libro de Carter, Griffiths y Lim (2011) Principles of Econometrics, 4ª. Ed, Wiley
Ejercicio 5.8 POE4
Un economista agrícola realiza un experimento para estudiar la relación entre la variable dependiente YIELD = rendimiento
de la producción de cacahuate (en libras por acre) y las variables independientes de los insumos de producción
NITRO = cantidad de nitrógeno aplicado (en cientos de libras por acre)
PHOS = cantidad de fósforo fertilizante (en cientos de libras por acre)
Un total de N=27 observaciones fueron obtenidas empleando pruebas en diferentes terrenos de cultivo. El modelo
cuadrático estimado, con un término de interacción, es:
(a) Encontrar las ecuaciones que describen el efecto marginal del nitrógeno sobre el rendimiento y efecto marginal del
fósforo sobre el rendimiento. ¿qué le dicen a Usted éstas ecuaciones?
(b) ¿ Cuáles son los efectos marginales del nitrógeno y del fósforo cuando i) y y ii) cuando
y ? Comente sus hallazgos.
(c) Pruebe las hipótesis de que el efecto marginal del nitrógeno es cero cuando
El valor absoluto del estadístico calculado es menor que el valor absoluto crítico, no se rechaza la hipótesis nula.
| | | |
| | | |
No se rechaza que el efecto marginal del nitrógeno sea cero cuando y .
Caso iii) y
Efecto marginal igual a cero
Planteamiento de la prueba de hipótesis
Estadístico de prueba
( )
√ ( )
√
El valor absoluto del estadístico calculado es mayor que el valor absoluto crítico, se rechaza la hipótesis nula.
| | | |
| | | |
Se rechaza que el efecto marginal del nitrógeno sea cero cuando y .
(d) Para la función estimada, los niveles de nitrógeno y de fósforo que dan el máximo rendimiento se obtienen al igualar a
cero las primeras derivadas obtenidas en (a) y resolviendo para obtener el nivel de nitrógeno y de fósforo óptimos,
respectivamente:
Se resuelve este sistema de ecuaciones simultáneas. A continuación se presentan tres métodos posibles de solución:
1 Método de sustitución
Despejando a en la primera ecuación
se obtiene
Sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación del sistema
[
]
Agrupando términos semejantes
[
]
Despejando
Resolviendo para
Sustituyendo esta solución para en la ecuación donde se tiene despejada
2 Método de igualación
Despejamos a en cada una de las ecuaciones, obteniendo
Igualando estas expresiones en y resolviendo para
Agrupando términos semejantes
[
]
Despejando
Resolviendo para
Sustituyendo esta solución para en cualquiera de las ecuaciones donde está despejada
3 Regla de Cramer
Se expresa de manera compacta el sistema de ecuaciones, en la forma Ax=b, donde A es la matriz de coeficientes asociados a las variables, x es el vector de incógnitas y b es el vector de términos independientes. Se ordenan los términos por variable y los términos independientes se trasladan a la derecha de la igualdad. La regla de Cramer señala que la solución al sistema de ecuaciones lineales es x=A-1b. Así, se tiene
Planteado en forma matricial
[
] [
] [
]
Para despejar al vector de incógnitas, premultiplicamos ambos lados de la igualdad por la inversa de la matriz A
[
]
[
] [
] [
]
[
]
[
] [
] [
]
[
]
[
] [
]
[
]
[
] [
] [
]
La solución es
[
] [
]
En Excel
Pulsar doble clic sobre el cuadro y F2 sobre las celdas calculadas para visualizar la fórmula en Excel
Solución de sistema de 2 ecuaciones en 2 incógnitas por Regla de Cramer
3.888 0.567 8.011 0.2716 -0.0990 8.011 1.701
0.567 1.556 4.800 -0.0990 0.6787 4.800 2.465A = b = x = A-1b = =
¿Son éstos los niveles de aplicación óptimos de fertilización para el productor de cacahuates?
Los niveles que maximizan el rendimiento ( ) no necesariamente son los niveles óptimos de fertilización. Los niveles
óptimos son los que satisfacen la condición de que el costo marginal de los insumos es igual al valor de la productividad
marginal de dichos insumos.
Así, para cambios infinitesimalmente pequeños en los factores productivos, los niveles óptimos son aquellos para los
cuales:
[ ]
[ ]
Ejercicio 6.5 POE4
Considere la ecuación de salarios
(a) Suponga que desea probar la hipótesis de que un año de educación tiene el mismo efecto sobre que un
año de experiencia. ¿Qué hipótesis nula y alternativa podría plantear?
(b) ¿Cuál es el modelo restringido, suponiendo que la hipótesis nula es verdadera?
(c) Dado que la suma de cuadrados de los errores del modelo restringido es , pruebe la hipótesis en
(a). (Para use el valor relevante a partir de la Tabla 6.4. El tamaño de la muestra es .)
Solución:
(a) La prueba de hipótesis se pueden plantear como sigue, partiendo del modelo teórico
Asumiendo que el efecto lineal de un año adicional de educación es igual al efecto lineal de un año adicional de experiencia
sobre el
es decir
Y el efecto cuadrático de un año adicional de educación sea igual al el efecto cuadrático de un año adicional de experiencia
sobre el
es decir
La prueba de hipótesis queda planteada como sigue
y
ó ó ambas
Si la hipótesis nula planteada en (a) no se rechaza, el modelo teórico restringido es
(c) El estadístico de la prueba de hipótesis es una (POE4, expresión 6A.1, pág. 254)
donde
es la suma de cuadrados de los errores del modelo restringido (restricted)
es la suma de cuadrados de los errores del modelo no restringido (unrestricted)
es el número de restricciones lineales en la prueba de hipótesis, en este caso se tienen 2 restricciones lineales sobre
parámetros, que son y
es el número de grados de libertad de la variación no explicada, en este caso N=1,000 y K=6 parámetros que se
estiman en el modelo que son , , , , , , por lo tanto N-K=1,000-6=994
Dado el valor de , para obtener la calculada se debe buscar en la Tabla dada el valor de que
corresponde al modelo completo, es decir al modelo irrestricto. Al mirar la tabla referida se observa que el modelo
completo es el de la Ecuación (B), es decir sin el término de interacción , por lo tanto
El valor crítico o teórico para esta prueba a una cola de la distribución , con 2 grados de libertad en el numerador y 994
grados de libertad en el denominador lo buscamos en las tablas de la distribución , en STATA, en R, en Python, en GRETL o
en cualquier software. En este caso:
Medio o software Imagen, comando o instrucción Resultado
Tablas de la distribución
Fuente: Carter, Griffiths y Lim (2018) Principles of Econometrics, Statistical Tables, Appendix D, TABLE D.4, 95th Percentile for the F-distribution, disponibles en: http://www.principlesofeconometrics.com/poe5/poe5tables.pdf
Las ecuaciones de costos estimadas por firma son Para la firma 1
Para la firma 2
Para la función de costos estimada en ambas firmas se valida la hipótesis de que son cúbicas al ser estadísticamente significativo el término cúbico de la cantidad de producto y la variabilidad del costo se explica en más de 95% por la cantidad de producto.
El costo marginal para la firma 1 es
A partir del modelo estimado:
El costo marginal para la firma 2 es
A partir del modelo estimado:
En ambas funciones estimadas de costo marginal se observa que es positivo cuando la cantidad de producto es cero, es
decir
si y
si .
Los coeficientes estimados en ambas ecuaciones son del mismo signo, aunque los estimadores de varianza son diferentes,
siendo mayor el de la firma 2, de 847.66 unidades cuadráticas en comparación con el de la firma 1 que es de 324.85
unidades cuadráticas.
(b) Para comparar las varianzas de los modelos de costos de las firmas 1 y 2, empleamos la distribución para probar la
hipótesis nula de que
contra la hipótesis alternativa de que
. Así, la a calcular es el siguiente
cociente de varianzas:
El valor crítico o teórico al 95% de confianza para esta prueba en dos colas de la distribución , con 24 grados de libertad en
el numerador y 24 grados de libertad en el denominador lo buscamos en las tablas de la distribución , en STATA, en R, en
Python, en GRETL o en cualquier software. En este caso, se muestran los comandos de software:
Medio o software Imagen, comando o instrucción Resultado
Microsoft Excel =INV.F(0.05,24,24) 0.5041
R qf(p=0.05, df1=24, df2=24) 0.5040933
Python import scipy.stats as stats
print(stats.f.ppf(0.05,24,24)) 0.504093346736
SAS
DATA INVCDFF;
F = FINV(0.05,24,24);
PROC PRINT;
RUN;
0.5040933467
GRETL ? f=critical(f,24,24,0.95) 0.504093
STATA display invFtail(24,24,0.95) 0.50409335
por lo tanto
El estadístico calculado es mayor que el valor crítico, se rechaza la hipótesis nula.
Las varianzas de las funciones de costos son diferentes. Los datos de la muestra dada no soportan que las varianzas de las
funciones de costos de las firmas sean iguales.
(d) Para estimar la ecuación de costos conjunta (para las firmas 1 y 2) se separan bases de datos de observaciones de
acuerdo a una variable dicotómica que identifique la firma a la que correspondan. Se unifican en una sola base de datos y
se estima la regresión, asumiendo que ambas firmas tienen los mismos efectos en todos los términos
, , , Para incorporar el efecto de las varianzas diferentes por firma que se validó en el inciso anterior, se debe realizar la estimación por el método de Mínimos Cuadrados Generalizados (MCG) sobre la base de datos combinada, con las observaciones transformadas mediante el ponderador de varianza empleando
y . Así el código de instrucciones en
STATA para estimar la ecuación por MCG es: drop _all
use "http://www.principlesofeconometrics.com/poe4/data/stata/cloth.dta", clear
keep c1 q1
ren c1 c
ren q1 q
gen firma1=1
save "C:/DATA/firma1.DTA",replace
use "http://www.principlesofeconometrics.com/poe4/data/stata/cloth.dta", clear
keep c2 q2
ren c2 c
ren q2 q
gen firma2=1
save "C:/DATA/firma2.DTA",replace
use "C:/DATA/firma1.DTA",clear
append using "C:/DATA/firma2.DTA"
gen q2=q*q
gen q3=q*q*q
replace firma1=0 if firma2==1
replace firma2=0 if firma1==1
regress c q q2 q3 [aweight=firma1]
scalar v1=e(rmse)^2
regress c q q2 q3 [aweight=firma2]
scalar v2=e(rmse)^2
gen wv=firma1*v1+firma2*v2
regress c q q2 q3 [aweight=1/wv]
Los resultados obtenidos en STATA son: . regress c q q2 q3 [aweight=1/wv]