Principio de transmisibilidad
El principio de transmisibilidad establece que las condiciones
de equilibrio o movimiento de un slido rgido permanecern
inalterables si una fuerza F, ejercida sobre un punto dado, se
reemplaza por otra fuerza F de igual magnitud, direccin y sentido,
que acta sobre un punto diferente, siempre que las fuerzas tengan
la misma lnea de accin.
Elproducto vectorialdedos vectoreses
otrovectorcuyadireccinesperpendiculara los dos vectores y
susentidosera igual al avance de unsacacorchosal girar de u a v.
Sumduloes igual a:
Elproducto vectorialse puede expresar mediante
undeterminante:
Ejemplos:Calcular elproducto vectorialde los vectores= (1, 2, 3)
y= (1, 1, 2).
Dados los vectoresy, hallar elproducto vectorialde dichos
vectores. Comprobar que el vector hallado esortogonalay.
El producto vectorial dees ortogonal a los vectoresy.rea del
paralelogramoGeomtricamente, elmdulo del producto vectorialde dos
vectores coincide con elrea del paralelogramoque tiene por lados a
esos vectores.
Ejemplo:Dados los vectoresy, hallar el rea del paralelogramo que
tiene por lados los vectoresy
rea de un tringuloLa diagonal de un paralelogramo lo divide en
dos tringulos iguales, por tanto el rea del tringulo ser la mitad
del rea del paralelogramo.EjemploDeterminar elrea del tringulocuyos
vrtices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, 1, 5) y C(3, 3, 1).
Propiedades del producto vectorial1.Anticonmutativax=
x2.Homognea(x) = () x=x ()3.Distributivax (+) =x+x4.Elproducto
vectorialde dosvectores paralelosen igual alvector
nulo.x=5.Elproducto vectorialxesperpendicularay a.
Sean dos vectoresyen elespacio vectorial. El producto vectorial
entreyda como resultado un nuevovector,. El producto vectorial
entreaybse denota medianteab, por ello se lo llama tambinproducto
cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la
letrax(equis), es frecuente denotar el producto vectorial
mediante:1
El producto vectorial puede definirse de una manera ms compacta
de la siguiente manera:
dondees elvector unitarioyortogonala los vectoresayby su
direccin est dada por laregla de la mano derechayes, como antes, el
ngulo entreayb. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo
tambin regla del sacacorchos.Producto vectorial de dos
vectores[editar]
Sean los vectores concurrentes de, elespacio afntridimensional
segn la base anterior. Se define el producto:
Dondewes el producto vectorial deuyv, definido as:
donde la ltima frmula se interpreta como:
esto es:
Usando una notacin ms compacta, mediante el desarrollo por la
primera fila de un determinante simblico de orden 3 (simblico ya
que los trminos de la primera fila no son escalares):
Que da origen a la llamadaregla de la mano derechao regla del
sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ngulo
ms pequeo, la direccin dees el de un sacacorchos que gire en la
misma direccin.Ejemplo[editar]El producto vectorial de los
vectoresyse calcula del siguiente modo:
Expandiendo eldeterminante:
Dando como resultado:
Puede verificarse fcilmente quees ortogonal a los
vectoresyefectuando elproducto escalary verificando que ste es nulo
(condicin de perpendicularidadde vectores)
Impulso, momento de una fuerza, momento
angularImpulsoConsideremos el movimiento en una dimensinLa
definicin de fuerza esF=dpdtSi la masa es constante,
integrandomvmv0=t0tFdt
Momento de una fuerzaSupongamos que tenemos tres llaves que
actan sobre tres tornillos en la forma indicada por las figuras. Se
aplica una fuerzaFen el extremo de la llave. Es fcil contestar a
las siguientes preguntas: En qu situaciones se enrosca el tornillo?
En que situaciones se desenrosca el tornillo? Cules producen el
mismo resultado o son equivalentes?.En la primera figura, el
tornillo avanza en una direccin perpendicular al plano de la pgina,
y hacia el lector. El mdulo del momento esFd.En la segunda figura,
el tornillo avanza en la misma direccin y sentido. El mdulo del
momento esF/2(2d)=Fd. Con una llave ms larga estamos en una
situacin ms favorable que con una llave ms corta.En la tercera
figura, el tornillo avanza en la misma direccin pero en sentido
contrario. Un momento se considera positivo, si el tornillo sale,
avanza hacia el lector, la llave gira en sentido contrario al
movimiento de las agujas del reloj. Un momento se considera
negativo, si el tornillo entra, la llave gira en el sentido del
movimiento de las agujas del reloj.Se denomina momento de una
fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vector
posicinrde la fuerza por el vector fuerzaF.M=rFEl vectorMtiene Por
mdulo,M=Frsin=Fd. Siendodel brazo de la fuerza (la distancia desde
el punto O a la direccin de la fuerza) Direccin, perpendicular al
plano determinado por la fuerzaFy el punto O. Sentido, la aplicacin
de la regla del sacacorchosLa analoga de la llave y el tornillo,
nos ayuda a entender el significado fsico de la magnitud momento, y
a determinar correctamente el mdulo, la direccin y el sentido del
momento de una fuerza: El mdulo es el producto de la fuerzaFpor la
longituddde la llave.M=Frsin=Fd La direccin, es la del eje del
tornillo, eje Z El sentido viene determinado por el avance del
tornillo (hacia dentro, negativo) cuando hacemos girar a la
llave.EjemplosHallar el momento (mdulo direccin y sentido) de la
fuerzaFde mdulo 6 N respecto del origen. El punto P de aplicacin de
la fuerza se encuentra a 45 cm del origen.
Brazo de la
fuerza,d=0.45sin20MMdulo6dDireccin,ejeZSentido,=-0.92kNm
Momento angularSe define momento angularLrespecto de un punto O
como el vector producto vectorialL=rp=rmv(la direccin del vector
velocidadves tangente a la trayectoria)El clculo del momento
angular es similar al del momento de una fuerza respecto de un
punto, sutituyendo el vector fuerza por el vector momento
lineal.
2.1 Momento de una fuerzaEl momento de una resultante de fuerzas
con respecto a un punto o un eje proporciona una medida de la
tendencia de la fuerza a ocasionar que un cuerpo gire alrededor del
punto o eje.A medida que aumenta la fuerza o la distancia, es mayor
el efecto de rotacin causado; a esto tambin se le conoce como
torca, pero ms a menudo tambin se denomina momento de una fuerza o
simplemente momento.Considera una fuerzaFque acta sobre un cuerpo
rgido. La fuerza est representada por un vector que define su
magnitud y su direccin; sin embargo, el efecto de la fuerza sobre
el cuerpo rgido tambin depende de su punto de aplicacinA. La
posicin deApuede definirse por medio del vectorrque une al punto de
referencia fijoOconA, a este vector se le conoce como vector de
posicin deA.
Para fines educativos.Beer (1997).El momento deFcon respecto
aOse define como el producto vectorial deryFde la siguiente
manera:
De acuerdo con la definicin de producto vectorial, el momento
debe ser perpendicular al plano que contiene el puntoOy a la
fuerzaF. El sentido deMoest definido por el sentido de la rotacin
que hara al vectorrcolineal con el vectorF. Una manera sencilla de
definir el sentido de rotacin es basarse en las manecillas del
reloj, o bien utilizando la regla de la mano derecha: cierre su
mano derecha y mantnganla de tal forma que sus dedos estn doblados
en el mismo sentido de la rotacin queFle impartir al cuerpo rgido
alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo de la lnea de accin
deMo; su dedo pulgar indicar el sentido del momentoMo.
Finalmente, representada por el anguloentre las lneas de accin
del vector de posicinry la fuerzaF, se encuentra que la magnitud
del momento deFcon respecto aOesta dada por:
Dondedrepresenta la distancia perpendicular desdeOhasta la lnea
de accin deF. La magnitud deMomide la tendencia de la fuerzaFa
hacer rotar el cuerpo rgido alrededor de un eje fijo dirigido a lo
largo deMo.En el sistema internacional de unidades la fuerza se
deber expresar en Newtons (N) y la distancia en metros (m) por lo
tanto el momentoMose deber expresar en Newtons-metro, es decir
Joules.En el sistema ingls la fuerza se expresa en libras y la
distancia en pies o pulgadas por lo tanto el momentoMose expresara
en Lb-pie o Lb-in.2.2 Momento de una fuerza respecto a un eje
especficoImagen obtenida de
http://estaticaortegamorenomo.blogspot.comSlo para fines
educativos.Se define a MOLcomo:Dondees el vector unitario a lo
largo deOLyres el vector de posicin desde cualquier punto sobre la
lneaOLhasta cualquier punto sobre la lnea de accin deF.Como en el
caso del momento de fuerza con respecto a un punto, elegir el
vector de posicin mas conveniente simplificar los clculos. Adems se
debe recordar que los vectoresryFdeben tener el sentido correcto y
ser colocados en la frmula en el orden apropiado.El procedimiento
que se debe seguir cuando se calcula el momento de una fuerza con
respecto a un eje es expresar primero a,ryFen trminos de sus
componentes rectangulares para despus evaluar el triple producto
escalar(rxF) con el fin de determinar el momento con respecto al
eje. En la mayora de los problemas tridimensionales, la forma ms
conveniente para calcular el triple producto escalar se obtiene
empleando un determinante.2.3 Momento de un parSe dice que dos
fuerzasFy Fque tienen la misma magnitud, lneas de accin paralelas y
sentidos opuestos, forman un par. Obviamente la suma de las
componentes de las dos fuerzas en cualquier direccin es igual a
cero. Sin embargo la suma de los momentos de las dos fuerzas con
respecto a un punto dado no es cero. Aunque las dos fuerzas no
originaran una traslacin del cuerpo sobre el que estn actuando,
stas si tendern a hacerlo rotar.Imagen obtenida de
http://estaticaortegamorenomo.blogspot.comSlo para fines
educativos.Representando conrAyrBrespectivamente a los vectores de
posicin de los puntos de aplicacin deFy F, se encuentra que la suma
de los momentos de las dos fuerzas con respecto aOes la
siguiente:DefiniendorA-rB= rdonderes el vector que une los puntos
de aplicacin de las dos fuerzas, se concluye que la suma de los
momentos deFy F, con respecto aO, est representada por el
vector:Elvector Mse conoce como el momento del par, se trata de un
vector perpendicular al plano que contiene las dos fuerzas y su
magnitud est dada por:
Dondedes la distancia perpendicular entre las lneas de accin
deFy F. El sentido deFest definido por la regla de la mano
derecha.A partir de la definicin de momento par tambin se concluye
que dos pares, uno constituido por las fuerzasF1y F1y el otro
constituido por las fuerzasF2yF-2tendrn momentos iguales si:F1d1=
F2d2Y si los dos pares se encuentran en planos paralelos (o en el
mismo plano), tendrn el mismo sentido.
Ejemplo:
Para fines educativos.Hibbeler (2004).Una fuerza vertical de 100
Lb se aplica en el extremo de una palanca que est unida a una
flecha en el puntoO; determina lo siguiente:a. El momento de la
fuerza de 100 Lb con respecto aO.b. La fuerza horizontal aplicada
enAque origina el mismo momento con respecto aO.c. La mnima fuerza
aplicada enAque origina el mismo momento con respecto aO.d. Qu tan
lejos de la flecha debe actuar una fuerza vertical de 240 Lb para
originar el mismo momento con respecto aO?e. Si alguna de las
fuerzas obtenidas en los incisos b, c y d es equivalente a la
fuerza original.Solucin:a. La distancia perpendicular desdeOhasta
la lnea de accin de la fuerza de 100 Lb es:
Para fines educativos.Hibbeler (2004).b.
Para fines educativos.Hibbeler (2004).c.
Para fines educativos.Hibbeler 2004.d. e. Ninguna de las fuerzas
consideradas en los incisos b, c y d es equivalente a la fuerzas
original de 100 Lb a pesar de que estas fuerzas tienen el mismo
momento respecto aO, sus componentesxyyson diferentes.