Principio de Trabajo-Energía en 2 y 3 dimensionesacademic.uprm.edu/jalemar/cap8confe1.pdf · Fuerza Conservativa Definición 1: El trabajo realizado por una fuerza conservativa es

Fuerza Conservativa Definición 1: El trabajo realizado por una fuerza conservativa es independiente de la trayectoria seguida por la partícula cuando se mueve de un punto a otro.

Definición 2: Una fuerza es conservativa si el trabajo que hace para mover una partícula a través de una trayectoria cerrada, volviendo al punto de partida, es cero.

El trabajo hecho por una fuerza conservativa depende sólo de los puntos 1 y 2.

Energía Potencial

∫ ⋅−=∆

⋅−=2

1sdFU

sdFdU

UsdFW

dUsdFdW

∆−=⋅=

−=⋅=

∫2

1

Energía potencial gravitatoria próxima a la superficie de la Tierra

kdzjdyidxsd

jmgFˆˆˆ

ˆ

++=

−=

∫ +== 0UmgydymgU

mgyU =

Si U es 0 cuando y = 0, entonces U0=0. Entonces

Ejemplo:

Un animal de 2 kg cuelga de la rama de un árbol a una altura de 5 metros. Calcula la energía potencial con respecto al piso y con respecto al balcón. Calcula el cambio en energía potencial con respecto al piso y al balcón si el animal cae al piso.

Energía potencial de un resorte

ikxF ˆ−=

idxsd ˆ=

( ) 20

12

U kx dx kx U= − − = +∫2

21 kxU =Si U es 0 cuando x = 0,

entonces U0=0. Entonces

Conservación de energía mecánicaConsidera un sistema sobre el cual solo actúan fuerzas internas las cuales son conservativas. Estamos asumiendo que no hay fuerzas externas que hagan trabajo sobre el sistema, o sea, el sistema está aislado. El principio de trabajoenergía dice:

netoW K= ∆Como todas las fuerzas que hacen trabajo son conservativas,

1 2neto

neto

W U UW U

= −∆ −∆ −

= −∆donde U es la energía potencial total:

1 2U U U= + +

Combinando las ecuaciones anteriores tenemos

( ) 0U K

K U K U−∆ = ∆

∆ + ∆ = ∆ + =La suma de la energía cinética y las energías potenciales de un sistema se conoce como la energía mecánica Emec:

mecE K U= +Combinando ecuaciones tenemos:

0mecE∆ =La ecuación anterior dice que la energía mecánica de un sistema aislado no cambia si las fuerzas que hacen trabajo son conservativas. Esta es la ley de conservación de energía mecánica.

Ejemplo:

Una nena de masa m está inicialmente en reposo en el tope de una chorrera acuática de altura h = 8.5 m. Asumiendo que no hay fricción (debido al agua), calcula su velocidad al llegar a la parte baja de la chorrera. Usa conservación de energía mecánica.

Una fuerza conservativa puede expresarse en términos de su función (energía) potencial

dzFdyFdxFsdFdU

zyx −−−=⋅−=

Si tratamos las variables (y, z) como constantes, entonces

xUFx ∂∂

−= Similarmente tenemos,

zUF

yUF zy ∂

∂−=

∂∂

−= ,

Podemos usar estas relaciones para desarrollar un método para demostrar si una fuerza es conservativa.

Energía potencial y equilibrio en una dimensión: caso de masa/resorte

En el equilibrio estable un pequeño desplazamiento da lugar a una fuerza restauradora que acelera la partícula hacia atrás en busca de su posición de equilibrio.

Equilibrio inestable

En el equilibrio inestable un pequeño desplazamiento de lugar a una fuerza que acelera la partícula alejándola de la posición de equilibrio.

Conservación de energía, caso generalEn la discusión de conservación de energía mecánica asumimos que todas las fuerzas que hacen trabajo son conservativas. En la práctica siempre existen fuerzas no-conservativas, las cuáles están asociadas con otras clases de energía. Una de estas fuerzas es la de fricción, cuyo trabajo reduce la energía mecánica del sistema. Esta disminución está asociada con un aumento en la energía térmica.

La energía total E de un sistema es la suma de la energía mecánica, la térmica y otras asociadas con fuerzas no conservativas internas adicionales a la fricción:

intmec terE E E E= + +

Conservación de energía, caso generalEn general, el principio de trabajo-energía dice:

extW E= ∆

Si el sistema está aislado, entonces el trabajo hecho por fuerzas externas es cero y la energía total E se conserva:

( )0E sistema aislado∆ =

Ejemplo:

Una caja de 2 kg se desliza en una superficie horizontal suave con una rapidez de 4 m/s. De momento se encuentra con un resorte de constante elástica k = 10,000 N/m colocado en una parte de la superficie donde hay fricción. Calcula la distancia d que se comprime el resorte si la fuerza de fricción cinética sobre la caja es igual a 15 N.