Nasceu em Milão em 1598.
Aos 15 anos foi aluno do Galileu.
Membro de ordem religiosa dos jesuados.
Viveu em Milão e Roma.
Professor de matemática da universidade de Bolonha de 1629 até 1647.
Morreu em 1647 aos 49 anos.
Em 1621, tornou-se assistente do Cardeal Federico
Borromeo no monastério de Milão. Depois de ensinar
teologia, tornou-se prior de São Pedro, em Lodi (1623).
Após três anos em Lodi, foi para o monastério de
Parma, sendo nomeado para cadeira de matemática
em Bologna (1629), quando já estava desenvolvendo a
famosa teoria dos indivisíveis, que apresentou na sua
obra Geometria indivisibilis continuorum nova (1635).
Deixou obra vasta abrangendo astronomia, óptica , geometria e trigonometria.
Introdução dos logaritmos na Europa(matemático influente).
Em 1632 publicou Directorium universale uranometricum contendo tabelas de seno, secantes e senos versos junto com os logaritmos até oito casas.
Tratado de geometria indivisibilibus publicada em 1635 ( apresenta seu método dos indivisíveis contendo o que hoje é conhecido como principio de cavalieri).
Exercitationes geometricae sex publicada em1647 na qual apresentou de maneira mais clara sua teoria.
Foi o primeiro matemático italiano que
apreciou em todo seu valor os logarítimos.
Também figurou entre os primeiros que
ensinaram a teoria copérnica dos planetas.
Outros trabalhos seus dignos de renome
são o desenvolvimento dado a trigonometria
esférica, assim como o descobrimento das
fórmulas relativas aos focos dos espelhos e
das lentes.
Manteve contato com muitos matemáticos
da época, como Galileu, Mersènne,
Renieri, Rocca, Torricelli e Viviani. Seu
último livro foi Trattato della ruota
planetaria perpetua (1646). Faleceu em
Bologna no ano de 1647.
È um dos pilares que hoje conhecemos como calculo
integral ajudando a definir a noção de integral.
Serve para calculo de áreas e volumes.
Podem resolver muitos problemas de mensuração que
normalmente requerem técnicas avançadas de cálculo.
Se dois sólidos têm alturas iguais, e se
secções feitas por planos paralelos ás
bases e a distâncias iguais dessas estão
sempre numa dada razão, então os
volumes dos sólidos estão também nessa
razão.
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O Princípio de Cavalieri e o Volume da esfera
No século XVII o matemático Italiano Bonaventura Cavalieri estabelece um
princípio básico para o cálculo de volumes, que diz que dois sólidos que
tiverem a mesma altura e, sempre que seccionados por um mesmo plano
gerarem áreas iguais, terão o mesmo volume.
Se A1 = A2 então
V1 = V2
Usaremos o Princípio de Cavalieri no cálculo do volume de
uma esfera.
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Ao seccionarmos uma esfera por um plano qualquer, à uma distância d doseu centro, iremos sempre obter um círculo.
x2 + d2 = r2
x é o raio do círculo.
d é a distância do centro da esfera ao centro do círculo.
r é o raio da esfera.
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Vamos considerar uma esfera de raio r apoiada sobre um plano . Ainda
sobre esse plano, tomemos um cilindro eqüilátero de raio r e altura 2r.
Desse cilindro retira-se dois cones com raio r e centro no ponto médio da
altura do cilindro. Observe a figura abaixo:
Se mostrarmos que as seções obtidas na esfera e no sólido que restou
com a retirada dos cones têm a mesma área, pelo Principio de Cavalieri,
poderemos obter o volume da esfera através do cálculo do volume do
sólido formado.
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Verifiquemos que esses dois sólidos, quando “cortados” à uma
distância h, de seus centros, geram áreas iguais.
Sólido da esquerda – área da coroa = r2 - h2 = .(r2 – h2)
Sóli
do da direita – área do círculo = x2 , mas como x2 = r2 – h2, teremos
Área do círculo = .(r2 – h2)
x
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Logo, de acordo com Cavalieri, esses sólidos terão o mesmo volume, o
que garante que o volume da esfera é igual ao volume do sólido que
sobrou ao retiramos os dois cones, do cilindro.
Se calcularmos o volume desse sólido, teremos o volume da esfera.
Esse volume será igual ao volume do cilindro eqüilátero, de raio r, menos
duas vezes o volume do cone, de raio r e altura r, vejamos:
3
πr4
3
πr2πr2V
3
rπr2.(2r)πrV
333
x
22
x
CONCLUSÃO:
O Volume de uma esfera de raio
r é dado pela fórmula: 3
r 4πV
3
Calculo de Volumem de Esfera. Disponível em: http://212.170.234.89/educared/PDF/volumen_esfera.docacesso em:11/11/2010.
BOYER, Carl B. História da Matemática. 2ªed. São Paulo: Edgard Blücher,1996.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática ,volume único. São Paulo: Ática, 2005.
EVES, Howard. Introdução á História da Matemática. São Paulo: Editora da Unicamp, 2004.
IEZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar, volume 10. 7ªed. São Paulo: Atual,1996.
MARCÍLIO, Ulysses da Cruz. Geometria Espacial no Cabri 3D. Goiás: UFG, 2006. Disponível em: http://www.mat.ufg.br/bienal/2006/poster/ulysses.pdf acesso em: 11/11/2010.
PEIXOTO, Lourenço de Lima. A Construção do Pensamento sobre o Principio de Cavalieri Através da Lei da Alavanca.Uberlândia: Farmat revista,2003.Disponível em: http://www.famat.ufu.br/revista/revistadez2003/salaaula/ProjetoLourenco.pdf acesso em: 12/11/2010.
Principio de Cavalieri.Disponível em: http://caraipora.tripod.com/cavprin.htm acesso em :11/11/2010.
SÁ, Ilydio Pereira.Estudo das Esferas.Rio de Janeiro: UERJ-USS.Disponível em : http://www.magiadamatematica.com/uerj/cap/14-esferas.pps acesso em: 12/11/2010..
SMOLE, Kátia Cristina Stocco. Matemática,volume 2. 3ªed. reform. São Paulo: Saraiva, 2003.
TROTTA, Fernando. Matemática Aplicada. 3ª ed. São Paulo: Ed. Moderna, 1980.