Primzahlen und Chaos J¨ urg Kramer Nat¨ urliche Zahlen Bausteine Primzahlen Z¨ ahlen von Primzahlen Riemannsche Vermutung Riemannsche Zetafunktion Klassische Mechanik Quanten- mechanik Primzahlen und Chaos J¨ urg Kramer Institut f¨ ur Mathematik Humboldt-Universit¨ at zu Berlin 24. April 2008
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Primzahlenund Chaos
Jurg Kramer
NaturlicheZahlen
Bausteine
Primzahlen
Zahlen vonPrimzahlen
RiemannscheVermutung
RiemannscheZetafunktion
KlassischeMechanik
Quanten-mechanik
Primzahlen und Chaos
Jurg Kramer
Institut fur MathematikHumboldt-Universitat zu Berlin
24. April 2008
Primzahlenund Chaos
Jurg Kramer
NaturlicheZahlen
Operationen
Bausteine
Primzahlen
Zahlen vonPrimzahlen
RiemannscheVermutung
RiemannscheZetafunktion
KlassischeMechanik
Quanten-mechanik
Die naturlichen Zahlen
Die Menge der naturlichen Zahlen:
N = {0, 1, 2, 3, . . . }
Die Menge der ganzen Zahlen:
Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . }
Primzahlenund Chaos
Jurg Kramer
NaturlicheZahlen
Operationen
Bausteine
Primzahlen
Zahlen vonPrimzahlen
RiemannscheVermutung
RiemannscheZetafunktion
KlassischeMechanik
Quanten-mechanik
Operationen
Addition +
n,m ∈ Z =⇒ n+m ∈ ZMultiplikation •
n,m ∈ Z =⇒ n•m ∈ ZGesetze
n+m = m+n Kommutativitat von +n•m = m•n Kommutativitat von •
n+(m+k) = (n+m)+k Assoziativitat von +n•(m•k) = (n•m)•k Assoziativitat von •n•(m+k) = n•m+n•k Distributiviat von + und •
Primzahlenund Chaos
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NaturlicheZahlen
Bausteine
Primzahlen
Zahlen vonPrimzahlen
RiemannscheVermutung
RiemannscheZetafunktion
KlassischeMechanik
Quanten-mechanik
Bausteine
Alle naturlichen Zahlen lassen sich als Summe von Einsendarstellen, z.B.
5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
Die Zahl 1 ist der additive Baustein.
Multiplikative Bausteine?
Primzahlenund Chaos
Jurg Kramer
NaturlicheZahlen
Bausteine
Primzahlen
Sieb desEratosthenes
Euklid
Formeln furPrimzahlen
Anwendung
Zahlen vonPrimzahlen
RiemannscheVermutung
RiemannscheZetafunktion
KlassischeMechanik
Quanten-mechanik
Primzahlen
DefinitionEine naturliche Zahl p heißt Primzahl, falls p > 1 ist und nurdie Teiler 1 und p hat.
Fundamentalsatz der ArithmetikAlle naturlichen Zahlen lassen sich (bis auf die Reihenfolgeeindeutig) als Produkt von Primzahlen darstellen, z.B.
96 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 = 25 · 3
Die Primzahlen sind die multiplikativen Bausteine.
ζ(s) besitzt alle ihre (komplexen) Nullstellenbei s = (1/2, Im(s))(mit Ausnahme der
”trivialen“ Null-
stellen bei s = −2,−4,−6, . . .).
//Re(s)
OOIm(s)
_10i
_-10i
_20i
_-20i
_30i
_-30i
_40i
_-40i
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Primzahlenund Chaos
Jurg Kramer
NaturlicheZahlen
Bausteine
Primzahlen
Zahlen vonPrimzahlen
RiemannscheVermutung
RiemannscheZetafunktion
Eulersche Pro-duktentwicklung
Komplexwer-tigkeit
AquivalenteUmformulierung
KlassischeMechanik
Quanten-mechanik
Graph
Graph des Betrags der Riemannschen Zetafunktion aufder
”kritischen Geraden“ Re(s) = 1/2, d.h. der Funktion
|ζ(1/2 + it)| fur 0 ≤ t ≤ 50:
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Bausteine
Primzahlen
Zahlen vonPrimzahlen
RiemannscheVermutung
RiemannscheZetafunktion
KlassischeMechanik
Bewegungs-gleichung
KlassischesChaos
Quanten-mechanik
Klassische Mechanik
Bewegungsgleichung
Bei Angabe der Ausgangslage und der Anfangsge-schwindigkeit sowie der einwirkenden Krafte kanndie Bahnkurve eines Korpers (Lage, Geschwindigkeit)vorausbestimmt werden.
Beispiel: Feder
m · x = −k · x
m λ = −k/m
d2
dt2x(t) = λ · x(t)
kg
m
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Bausteine
Primzahlen
Zahlen vonPrimzahlen
RiemannscheVermutung
RiemannscheZetafunktion
KlassischeMechanik
Bewegungs-gleichung
KlassischesChaos
Quanten-mechanik
Klassisches Chaos
Kleine Anderungen des Anfangszustands bewirkenunvorhersehbare Anderungen des Endzustandes !
Beispiel: BillardspielNach der 9. Banden-Beruhrung ist die Endrichtungder Billard-Kugel nicht mehr vorherbestimmbar !
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Bausteine
Primzahlen
Zahlen vonPrimzahlen
RiemannscheVermutung
RiemannscheZetafunktion
KlassischeMechanik
Quanten-mechanik
Schrodinger-gleichung
Quantenchaos
Quantenmechanik
Problem: Es muss zwischen Observablen (Geschwindigkeit, ...)und Messwerten unterschieden werden. Messvorgang beein-flusst das Experiment!Konsequenz:
Physikalische Zustande entsprechen Vektoren Ψ in einemunendlich dimensionalen Vektorraum H.
Beschreibung der Observablen durch lineare (selbst-adjungierte) Operatoren A in H.
Die physikalischen Messwerte entsprechen den (reellen)Eigenwerten λ des Operators A.
Bewegungsgleichung gegeben durch die Schrodinger-gleichung
ih
2π· ∂Ψ
∂t= A ·Ψ,
wobei h/2π = 1, 054 · 10−27erg · s.
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Bausteine
Primzahlen
Zahlen vonPrimzahlen
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RiemannscheZetafunktion
KlassischeMechanik
Quanten-mechanik
Schrodinger-gleichung
Quantenchaos
Quantenmechanik
Problem: Es muss zwischen Observablen (Geschwindigkeit, ...)und Messwerten unterschieden werden. Messvorgang beein-flusst das Experiment!Konsequenz:
Physikalische Zustande entsprechen Vektoren Ψ in einemunendlich dimensionalen Vektorraum H.
Beschreibung der Observablen durch lineare (selbst-adjungierte) Operatoren A in H.
Die physikalischen Messwerte entsprechen den (reellen)Eigenwerten λ des Operators A.
Bewegungsgleichung gegeben durch die Schrodinger-gleichung
ih
2π· ∂Ψ
∂t= A ·Ψ,
wobei h/2π = 1, 054 · 10−27erg · s.
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KlassischeMechanik
Quanten-mechanik
Schrodinger-gleichung
Quantenchaos
Quantenmechanik
Problem: Es muss zwischen Observablen (Geschwindigkeit, ...)und Messwerten unterschieden werden. Messvorgang beein-flusst das Experiment!Konsequenz:
Physikalische Zustande entsprechen Vektoren Ψ in einemunendlich dimensionalen Vektorraum H.
Beschreibung der Observablen durch lineare (selbst-adjungierte) Operatoren A in H.
Die physikalischen Messwerte entsprechen den (reellen)Eigenwerten λ des Operators A.
Bewegungsgleichung gegeben durch die Schrodinger-gleichung
ih
2π· ∂Ψ
∂t= A ·Ψ,
wobei h/2π = 1, 054 · 10−27erg · s.
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Quantenchaos
Quantenmechanik
Problem: Es muss zwischen Observablen (Geschwindigkeit, ...)und Messwerten unterschieden werden. Messvorgang beein-flusst das Experiment!Konsequenz:
Physikalische Zustande entsprechen Vektoren Ψ in einemunendlich dimensionalen Vektorraum H.
Beschreibung der Observablen durch lineare (selbst-adjungierte) Operatoren A in H.
Die physikalischen Messwerte entsprechen den (reellen)Eigenwerten λ des Operators A.
Bewegungsgleichung gegeben durch die Schrodinger-gleichung
ih
2π· ∂Ψ
∂t= A ·Ψ,
wobei h/2π = 1, 054 · 10−27erg · s.
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Bausteine
Primzahlen
Zahlen vonPrimzahlen
RiemannscheVermutung
RiemannscheZetafunktion
KlassischeMechanik
Quanten-mechanik
Schrodinger-gleichung
Quantenchaos
Quantenmechanik
Problem: Es muss zwischen Observablen (Geschwindigkeit, ...)und Messwerten unterschieden werden. Messvorgang beein-flusst das Experiment!Konsequenz:
Physikalische Zustande entsprechen Vektoren Ψ in einemunendlich dimensionalen Vektorraum H.
Beschreibung der Observablen durch lineare (selbst-adjungierte) Operatoren A in H.
Die physikalischen Messwerte entsprechen den (reellen)Eigenwerten λ des Operators A.
Bewegungsgleichung gegeben durch die Schrodinger-gleichung
ih
2π· ∂Ψ
∂t= A ·Ψ,
wobei h/2π = 1, 054 · 10−27erg · s.
Primzahlenund Chaos
Jurg Kramer
NaturlicheZahlen
Bausteine
Primzahlen
Zahlen vonPrimzahlen
RiemannscheVermutung
RiemannscheZetafunktion
KlassischeMechanik
Quanten-mechanik
Schrodinger-gleichung
Quantenchaos
Quantenchaos
Betrachte ein Billard-Spiel im Nanobereich (∼ 10−9m)
Die Messwerte des quantenmechanischen Billard-Spielssind gegeben durch die Eigenwertgleichung
A ·Ψ = λ ·Ψ
Vermutung:Die Eigenwerte λ entsprechen den Nullstellen derRiemannschen Zetafunktion ζ(s) auf der kritischenGeraden Re(s) = 1/2.
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Zahlen vonPrimzahlen
RiemannscheVermutung
RiemannscheZetafunktion
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Quanten-mechanik
Schrodinger-gleichung
Quantenchaos
Quantenchaos
Betrachte ein Billard-Spiel im Nanobereich (∼ 10−9m)
Die Messwerte des quantenmechanischen Billard-Spielssind gegeben durch die Eigenwertgleichung
A ·Ψ = λ ·Ψ
Vermutung:Die Eigenwerte λ entsprechen den Nullstellen derRiemannschen Zetafunktion ζ(s) auf der kritischenGeraden Re(s) = 1/2.