PRIMOS GEMELOS, DEMOSTRACION KMELLIZA
CARLOS GIRALDO OSPINA
Lic. Matemticas, USC, Cali, Colombia
MATEMTICA INSLITA Derechos de Autor Registrados y
Reservados===================================================================
Existen conjeturas que se resisten a ser demostradas, debido a
su escaso grado de generalidad; una de ellas es la conjetura de los
primos gemelos, denominacin dada por Paul Stkel. Es factible que
dicha conjetura haya podido ser demostrada siglos antes si, desde
un principio, se hubiese planteado la de los primos kmellizos,
propuesta en 1849 por Alphonse Polignac. La conjetura de los primos
gemelos es un aspecto particular de la conjetura de los primos
kmellizos los matemticos se concentraron en la particularidad de
los gemelos y ello los condujo a permanecer atados a la rbita
probabilstica. La generalidad de la conjetura de los primos
kmellizos permite demostrar la conjetura de los primos gemelos de
manera cualitativa, sin acudir a la teora de probabilidades.PRIMOS
GEMELOS Y KMELLIZOSDemostrar que la cantidad de primos gemelos es
infinita, o refutar tal posibilidad, ha constituido uno de los
sueos de todo matemtico creativo en realidad, la demostracin ha
sido realizada mediante la teora de probabilidades; sin embargo,
dicha clase de demostracin no parece satisfacer las expectativas de
un significativo sector de los profesionales de la ciencia de los
nmeros... el sector renuente a confiar en demostraciones basadas en
la teora de probabilidades afirma: probabilidad es probabilidad
certeza absoluta es asunto diferente! Primos gemelos son pares de
primos de la forma , es decir primos cuya diferencia entre ellos es
2; en general, primos kmellizos son parejas de primos de la forma
siendo, naturalmente, k nmero par cualquiera, cada k define una
clase de primos kmellizos.
En general, se define como primos kmellizos de orden k a toda
pareja de primos cuya diferencia sea k: Primos kmellizos de orden 2
son los denominados primos gemelos, primos kmellizos de orden 4 son
los pares de primos cuya diferencia es 4 y as sucesivamente.
Demostrar la existencia de infinitas parejas de primos gemelos
equivale a demostrar la existencia de infinitos pares de primos
kmellizos de cada clase. Por razones de isomorfismo, demostrar la
finitud del conjunto de primos gemelos sera equivalente a demostrar
la finitud de cada una de las clases de primos kmellizos, por
separado o totalizadas.En otro documento se plante que la
posibilidad de una demostracin cualitativa de la existencia de
primos gemelos era remota, aunque no nula, en esta ocasin se
acomete la tarea de la demostracin cualitativa de infinitud del
conjunto de primos gemelos.Ejemplo sencillo para comprender la
demostracin acerca de la infinitud kmelliza. Si para se pretendiera
demostrar que no existen pares de kmellizos de orden , se empezara
por demostrar que no existen primos entre 100 y 200, o entre 100 y
115, intervalo : no se requiere saber cules son dichos primos he ah
la importancia del Teorema del intervalo dobleTeorema del intervalo
doble
El teorema del intervalo doble indica que la cantidad de primos
en cualquier intervalo se distribuye equitativamente, desde el
centro del intervalo hacia los extremos del mismo y, por tanto,
resuelve uno de los famosos interrogantes acerca de la distribucin
de los primos en el conjunto de los naturales.Nota: c es una
funcin
Teorema
Demostracin
1. . funcin prima2. .. segn 1.
3. . Segn 2.
4. segn 3. hqd.TEOREMA PRIMO GEMELAR. El conjunto de primos
gemelos es infinito
Demostracin kmelliza1. Supngase que no existen kmellizos de
orden a partir de .2. La cantidad de primos en el intervalo tiende
a ser la misma del intervalo Teorema del intervalo doble.3. En el
intervalo existen, al menos, dos primos segn 2.4. La diferencia
entre dos nmeros del intervalo es .5. En el intervalo existe, al
menos, una pareja de kmellizos de orden segn 3. y 4.
6. A partir de existe, al menos, un par de kmellizos de orden
segn 5.
7. La conclusin del numeral 6. contradice la suposicin 1.
8. Por tanto, ninguna clase de kmellizos puede ser finita segn
7. hqd.
MIRADA A TRAVES DE LA FASE 7, TGPPara el objetivo de la tarea se
recuerda que la denominada fase 7 del TGP (Teorema Generatriz de
Primos), o dispersin de funciones generadoras de primos, es la
siguiente:
El cuadro anterior indica que los primos gemelos, en la fase 7
del TGP, se generan a travs de tres pares de funciones
disjuntas:
, y .Ciertos valores de n definen los gemelos, mediante los
pares de funciones generadoras, en algunos casos simultneamente en
dos de ellos; es conjeturable que solo n = 0 define,
simultneamente, primos gemelos en las tres parejas de funciones.El
siguiente cuadro muestra los primeros pares de primos gemelos, para
cada par de funciones generadoras de la Fase 7 del TGP. (Nmeros en
rojo son compuestos)
Refutar la infinitud del conjunto de gemelos equivale a
demostrar la imposibilidad de primos simultneos, para cada pareja
de funciones, a partir de algn hipottico valor de n.Considrense las
funciones , , y , , y de la Fase 7 del TGP, las mencionadas
funciones generan posibles kmellizos de orden 2, 4, 6, 8, , 24 para
cada valor de n. Supngase que dichas clases de kmellizos son
finitas
Para cada los octetos generados por las funciones de la Fase 7,
TGP, solo pueden contener, mximo, un primo; supuesta la finitud de
todos los conjuntos de kmellizos de orden . Si nos concentramos en
se observa que no pueden aparecer series sucesivas de octetos con
la primera componente prima, dado que entre y la diferencia es 6, e
igual para cualquier par de filas sucesivas de octetos tampoco
deben aparecer series sucesivas de octetos con la primera
componente prima para y . , por ser las diferencias Agregue las
restricciones que imponen los valores de n para celdas mltiplos de
7 y las que obligan a que todas las componentes de los octetos sean
compuestas para posibles valores de Agregarle orden y( o caos al
caos?Notas: Si usted aplica la metodologa anterior a la totalidad
de las funciones generadoras de primos Fase 7, TGP, quedar sin
primos a partir de algn hipottico n. El trabajo es dispendioso y
carece de importancia a menos que desee realizarlo.
Una demostracin ms dispendiosa, quiz solo comprensible para
matematicos encumbrados, lo llevara a la inslita conclusin de que
solo 2 y 3 son primos y, finalmente, a la inexistencia de
primos.
DEMOSTRACION GEMELAR INFANTILTeorema. El conjunto de primos
gemelos es infinito
Demostracin1. A todo primo se le puede restar 2
2. genera infinitos primos Teorema de la serie de primos.3. 2 =
segn 1.4. genera infinitos primos. Teorema de la serie de primos.5.
= 2 segn 3.
6. Existen infinitos pares de primos cuya diferencia es 2 segn
2. 4. y 5.7. El conjunto de primos gemelos es infinito segn 6.EL
ABUELO, RHOTHOR Y LOS GEMELOS Existen razones lgicas que invaliden
la demostracin gemelar infantil? S abuelo, las hay.
Cules?
Lo lgico es que las demostraciones las realicen los
matemticos.
Y qu es lo ilgico?
Que un escolar demuestre una conjetura que no ha podido ser
demostrada por los matemticos. Hay ms razones?
La demostracin gemelar infantil la realiz mi gemelo
Dnde se encuentra tu gemelo?
Desde nio desapareci, pero su presencia se siente en el cuarto
contiguo.
En el segundo intervalo se transforma para sentir la tuya a
travs de otro...
Pareces leer mi pensamientoACOTACION. Es posible que a usted, al
igual que a muchos matemticos, le parezca sencillo lo aportado en
www.matematicainsolita.8m.com y en www.numerosprimos.8m.com;
felicitaciones si ese es su concepto. Sin embargo, llegar a los
resultados plasmados en los diferentes archivos de los mencionados
portales no ha sido tarea fcil. Buscar y hallar el camino ms
sencillo para resolver problemas, que durante siglos se han
resistido a las tentativas de matemticos de talento, constituye
parmetro prioritario en la labor del autor de estas lneas:
demostrar una conjetura, o crear un algoritmo, es trabajo que se
puede realizar siguiendo diferentes caminos
Esta pgina Web es alrgica a viajar por caminos ininteligibles
para la mayora de los aficionados y profesionales de la ciencia de
los nmeros... Trabajo correcto e incomprensible viaja al cesto de
la basura algunas exigencias de rigor se sacrifican el lector que
lo desea puede agregarlas EL TGP perfecciona la famosa y
rudimentaria Criba de Eratstenes, eliminando nmeros compuestos
hacia el infinito para todos los primos menores que el indicado por
la fase correspondiente lo mismo que usted hace cuando solo escribe
los impares en su intento de aplicacin de la famosa criba (mtodo
numrico de masacre generalizada) Qu explicacin tiene el uso
rudimentario de la famosa criba, aun en la actualidad?... Pereza
para tratar de comprender el secreto total de tan prodigioso
algoritmo, perfeccionarlo y dar las gracias pstumas a
Eratstenes?INTERVALO MINIMO DE BREUSCH Cul es el intervalo,
variable, de menor longitud que garantiza la existencia de, al
menos, un primo para todo n?
o intervalo de Breusch, al parecer, es el menor intervalo
variable de menor longitud conocido; sin embargo, dicho intervalo
es reducible a su mnima expresin:
Intervalo mnimo de Breusch:
Ejemplo: , cantidad muy cercana a los 57 primos existentes en
dicho intervalo. Desea realizar el proceso que permite obtener la
frmula de aproximacin a la cantidad de primos contenidos en el
intervalo mnimo de Breusch?
Desea hallar la longitud del intervalo mnimo de Breusch?
PRIMOS HERMANOS Y PRIMOS EXTICOSDenomnese primos hermanos a toda
pareja de primos p, q tal que
Ejemplos de primos hermanos: (7, 13), (79, 157) (211,
421)Denomnese primos exticos a toda terna de primos p, q, r tal que
p, q y q, r sean primos hermanos. Los primos exticos, a su vez, se
subdividen (adems de la triada solitaria) en dos clases; resulta
interesante el estudio de sus cualidades sociolgicas, desde la
perspectiva de ciertos grupos humanos.
Ejemplos de primos exticos: (2, 3, 5), (19, 37, 73), (331, 661,
1321). La primera terna es la triada solitaria. Observe que en
ninguna terna se cumple que los primos extremos sean primos
hermanos. Cuntos padres y madres existen en el caso de los primos
(2, 3, 5)?Conjetura de los primos hermanos: El conjunto de pares de
primos hermanos es infinito.
Es ms difcil demostrar la conjetura de los primos hermanos que
la de los primos gemelos? Intentara demostrar la conjetura de los
primos hermanos?Conjetura de los primos exticos. El conjunto de
ternas de primos exticos es infinito. Desea hacer el esfuerzo de
demostrar, o refutar, la conjetura de los primos exticos?
Ejercicio. Hallar las dos trilogas convenientes de funciones que
determinen los primos exticos. Dichas funciones se relacionan con
las cspides de las Torres de Collatz.PROBLEMA CURIOSO. En una
familia hay tres primos exticos, dos pares de primos hermanos y dos
primos gemelos; sin embargo, el total de individuos apenas es tres.
Puede explicar la aparente paradoja?EXPANSION DEL CONCEPTO DE
PRIMOS HERMANOSEl concepto de primos exticos constituye,
simplemente, una expansin del concepto de primos hermanos; dicha
expansin se puede ampliar de la siguiente manera:Primos
hermanos:
Primos exticos:
Primos hermanos de orden 4.
Primos hermanos de orden e.
Los primos hermanos conforman duplas, los exticos ternas, los de
orden 4 cuaternas, los de orden e e-plas. Qu primo genera la mayor
expansin?Ejemplo de 5pla de primos hermanos:
Desea hallar un 6pla de primos hermanos?
Adelante y felicitaciones si la encuentra!
Aunque las funciones empleadas para definir las componentes de
expansin de los primos hermanos son correctas, ellas no son las ms
convenientes en el momento de emprender la bsqueda de las
componentes primas de una determinada expansin. Solo hay una senda
en la que la expansin se extiende; esta cualidad permite elegir los
posibles candidatos de inicio; sin incurrir en escogencias
absolutamente infructuosas.PROBLEMAS
Hallar, si existe, el menor nmero primo que genere una 10pla de
primos hermanos. Si decide que no existe, demuestre que la decisin
es correcta. Determine la funcin que define el trmino ensimo de
cualquier expansin de primos hermanos.
Nota. Los primos de forma 2p 1 se denominan primos de Sopfie
Germain, matemtica autodidacta que hizo importantes aportes en
teora de nmeros, fsica matemtica, acstica y elasticidad en tiempos
en que la mujer estaba relegada al trabajo hogareo.
COMPETENCIA DE ORDENADORESLos adictos a la programacin tienen la
oportunidad de competir para hallar la mayor expansin de primos
hermanos hasta que el siguiente adicto derrumbe el rcord impuesto a
menos que sea imbatible Pueden avanzar hacia la mayor cantidad de
familias en el rcord impuesto, si ste es imbatiblePROBLEMA
DIFICILDemostrar que cualquier expansin de primos hermanos es,
forzosamente, finita. La finitud significa que para ningn primo el
orden , en el hipottico evento de hallar alguno que parezca
interminable en la generacin de primos hermanos.OTRA FAMILIA
INTERESANTE DE PRIMOSDenomnese primos tenorios a dos primos p, q
tal que . Ejemplo: (2, 5)Al igual que en el caso de los primos
hermanos, se puede expandir la familia de primos tenorios: (2, 5,
11, 23, 47)Familia de primos tenorios:
Ejemplo de una familia tenorio de 6 componentes:
Se pueden hacer, con respecto a la expansin de primos tenorios,
los mismos interrogantes aplicados a la expansin de primos
hermanos. Demuestre que la funcin define el trmino ensimo de
cualquier familia de primos tenorios.
Denomnese primos manitos a dos primos p, q tal que . Intente
hallar una familia de primos manitos que tenga 9 componentes.
EXPANSIONES PRIMAS EULERIANAS
La funcin parablica da la impresin de tener su origen en
intentos de Euler de responder la inquietud planteada por Goldbach,
acerca de que todo par mayor que 2 se puede expresar como la suma
de dos primos.
origina primos para todo natural, desde 1 hasta para algunos
valores de p; dichos primos aparecen por partida doble, en el
correspondiente intervalo, dado que la funcin que los origina es
una parbola. Denomnese continuidad prima euleriana a los primos
generados por la funcin para los valores de p que la hagan
verdadera; en particular, denomnese primos de Euler a todo primo de
forma .Conjetura de continuidad prima euleriana. Solamente genera
primos , mediante
Observacin: si son primos consecutivos de la continuidad prima
euleriana.
Desea refutar, o demostrar, la Conjetura de continuidad prima
euleriana?RECORRIENDO LA MISMA SENDA DE
La funcin recorre, respectivamente, la misma serie continua de
primos que , cuando . La razn de que ambas funciones produzcan la
misma serie continua de primos se debe a que, simplemente, se ha
efectuado un traslado de al lugar de . Es decir, se puede trasladar
a y generar con sta ltima funcin la misma serie continua de primos
que . Ejemplos: y producen la misma serie de primos que . Qu clase
de funcin genera la mayor serie continua de primos?Resulta
sorprendente que Edgar Karst afirme que genera primos para todo ;
se reconoce que dicha funcin posee alta frecuencia en la generacin
de primos. , , la unidad es anmala si considera como primo; todo
primo tiene, exactamente, dos divisores en el conjunto de los
naturales.
produce ms de 40 nmeros compuestos si y ni siquiera genera una
serie continua de 20 primos Total el rcord de 40 primos impuesto
por Euler, con , contina imbatible para funciones polinmicas
CONTINUIDADES EN PRIMOS DE EULEREs relativamente fcil hallar
funciones que generen largas series de primos de Euler; aunque
probablemente ninguna supere 40 primos seguidos. Ejemplo. genera
primos de Euler. 40 primos en serie y en serio! ... Es decir, la
famosa funcin de Euler no es la nica que produce una seguidilla de
40 primos!
y generan 32 y 30 primos de Euler en serie, respectivamente.
Existir la funcin polinmica que supere el rcord euleriano?Sea una
expansin prima tal que
Ejemplo: Cul ser el orden de la mayor expansin?
EXPANSIONES PRIMAS DE MERSENNESean p, q primos tal que , p
define un primo de Mersenne.
Es primo o compuesto? Cul ser la mayor expansin prima de
Mersenne? Excelente trabajo para los programadores! El mayor primo
de Mersenne descubierto es pequeito con respecto al factible
candidato a sexta componente de
Es primo o compuesto?EXPANSIONES PRIMAS DE FERMAT
Fermat conjetur que todos los nmeros de forma son primos,
conjetura refutada por Euler al verificar, sin calculadora, la
falsedad para . El autor de este documento supone que Fermat, luego
de agotar una buena cantidad de divisores primos, decidi que el
riesgo de trabajar en vano era superior al riesgo de que alguien
verificara la posible falsedad de su conjetura; en aquellos tiempos
era impensable la llegada de los cerebros electrnicos.Aventurarse a
verificar la conjetura para implica la posibilidad de recorrer
infructuosamente todos los primos menores que 65536; aunque Fermat
ide un mtodo para factorizar nmeros largos, parece que no le fue de
utilidad. Euler, 100 aos despus, decidi aventurarse y hall que al
llegar al primo 641 se incumple lo postulado por Fermat; Es posible
que haya empleado el mtodo de factorizacin ideado por Fermat?
Existe un teorema de Euler que permite averiguar si un nmero
inmenso es primo o compuesto siempre y cuando se agreguen otras
arandelas.Tributo a la memoria de Fermat.
Sean p, q, r primos tal que q, r sean primos de Fermat. Existir
una tripleta ?. Las componentes de la tripleta deben ser todas
impares, dado que no es posible para el primo par.
No es factible responder el interrogante, mediante ejemplo
concreto, sin la honorable ayuda de un supercomputador. Partiendo
de , se debe averiguar si el numerito es primo o compuesto; el
siguiente primo que genere una tripleta debe ser mayor que 20, dado
que 5, 7, 19 son rechazables por no generar primos de Fermat. En
definitiva, existirn interrogantes cuya respuesta exige
inteligencia quedando por fuera la ayudita del sumiso autmata a
menos que se transforme en un superautmataCHISTE ROHTHORISTA
Conoces los nicos tres primos cuya suma de cuadrados es un primo?
Listo abuelo, deben ser , si solo existen tres. Puedes demostrar el
hecho de que sean los nicos? Fcil abuelo: , cualquier otra terna de
primos impares implica que la suma de sus cuadrados es mltiplo de
3, dado que 15 es mltiplo de 3.Aunque la demostracin dada por
Rohthor es bromista, ella contiene la propiedad de la suma de los
cuadrados de cualquier terna de primos impares diferente de .
Usted, como matemtico serio, queda invitado a realizar la
demostracin. CONJETURA PRIMA 5La manera ms sencilla, aunque no
convincente, de parecer matemtico invencible es resolver alguna o
varias conjeturas ante las que hayan sucumbido los predecesores,
aducir que se carece de inters en otras no resueltas y evitar
producir alguna que lo obligue a reconocer su propia incapacidad
para demostrarla o refutarla he aqu una nueva:Conjetura prima 5.
Existen infinitos grupos de 5 primos sucesivos tales que su suma
equivale a un primo e igual sucede con la suma de sus
cuadrados.Primos sucesivosSuma de primosSuma de cuadrados
5, 7, 11, 13, 1753653
29, 31, 37, 41, 431816701
31, 37, 41, 43, 471998069
53, 59, 61, 67, 7131119541
107, 109, 113, 127, 13158769389
127, 131, 137, 139, 14968393581
La suma de los cuadrados de los primeros 5 primos impares es un
primo, pero no lo es la suma de stos.
[email protected] master: Wailly Giraldo Len
[email protected]+7
30n+11
30n+31
30n+29
30n+23
30n+19
30n+17
30n+13
Estas tres parejas de funciones generan los primos gemelos
TGP. Fase 7: Eliminacin de los mltiplos de 2, 3 y 5
El TGP es perfeccionamiento de la Criba de Eratstenes hacia el
infinito
31
29
30n+ 31
30n+ 29
30n+ 23
30n+ 19
30n+17
30n+ 13
30n+ 11
30n+ 7
23
19
17
13
11
7
61
59
53
49
47
43
41
37
91
89
83
79
77
73
71
67
121
119
113
109
107
103
101
97
151
149
143
139
137
133
131
127
181
179
173
169
167
163
161
157
211
209
203
199
197
193
191
187
5
4
3
2
1
0
n
6
+2
npnpnpnp015231011320503302693112931171216413130112109712472279732334739111341239713337014743145324116334407355931583251373354463646116131261601364871734717197271847375297825118281282111385741917319383292393396203
Teoremas
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
+4
Continuidad prima euleriana EMBED Equation.3
+10
+6
+8
Kmellizos?
Un parcito?
Gemelos?
Infinitos!
Kmellizos!
TEOREMA FACILITO
Para p, q, r primos, tal que
EMBED Equation.3
solo existen EMBED Equation.3
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agradece sus comentarios y sugerencias
Tabla peridica FASE 7, TGP: Celdas rosadas corresponden a
mltiplos de 7
.
217m + 2
217m + 1
217m
n
30n +31
30n +29
30n +23
30n +19
30n +17
30n +13
30n +11
30n +7
PAGE 5
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