Primjene kvantne mehanike Primjene kvantne mehanike Slobodna čestica ) ( ) ( 2 2 2 r E r m Za slobodnu česticu je , te je vremenski neovisna Schrödingerova jednadžba Rješenje je , Za vremenski ovisnu Schrödingerovu jednadžbu rješenje je uz uvjet da čestica zadovoljava Einsteinovu relaciju . 0 ) ( r V Ψ = ± ∙ = ℏ 2 2 2 Ψ , = (± ∙ −) , = ℏ
17
Embed
Primjene kvantne mehanike 2 < < () () r E r Primjene kvantne …mapmf.pmfst.unist.hr/~agicz/Pred2017ModPhys6.pdf · 2017-05-08 · Primjene kvantne mehanike Primjene kvantne mehanike
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Primjene kvantne mehanike
Primjene kvantne mehanike
Slobodna čestica
)()(2
22
rErm
Za slobodnu česticu je , te je vremenski neovisna Schrödingerova
jednadžba
Rješenje je ,
Za vremenski ovisnu Schrödingerovu jednadžbu rješenje je
uz uvjet da čestica zadovoljava Einsteinovu relaciju .
0)( rV
Ψ 𝑟 = 𝐶𝑒±𝑖𝑘∙ 𝑟 𝐸 =ℏ2𝑘2
2𝑚
Ψ 𝑟, 𝑡 = 𝐶𝑒𝑖(±𝑘∙ 𝑟−𝜔𝑡),
𝐸 = ℏ𝜔
Primjene kvantne mehanike
Prolaz čestice kroz potencijalnu barijeru - tunel efekt
x
)(xV
l0
𝑉0𝑉0 > 𝐸
𝐸
𝐼I 𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼
𝐼,I𝐼𝐼𝐼
𝐼𝐼
−ℏ2
2𝑚
𝑑2Ψ
𝑑𝑥2= 𝐸Ψ → Ψ1 𝑥 = 𝐴1𝑒
𝑖𝛼𝑥 + 𝐵1𝑒−𝑖𝛼𝑥22
Ψ3 𝑥 = 𝐴3𝑒𝑖𝛼𝑥, 𝛼 =
1
ℏ2𝑚𝐸
Ψ1 Ψ3
−ℏ2
2𝑚
𝑑2Ψ
𝑑𝑥2 + 𝑉0Ψ = 𝐸Ψ → Ψ2 𝑥 = 𝐴2𝑒𝛽𝑥 + 𝐵2𝑒
−𝛽𝑥, 𝛽 =1
ℏ2𝑚(𝑉0 − 𝐸)
22
Ψ2
0 l x
𝐴3𝑒𝑖𝛼𝑥
𝐴1𝑒𝑖𝛼𝑥
𝐵1𝑒−𝑖𝛼𝑥22
upadna
reflektirana
transmitirana
Primjene kvantne mehanike
Iz uvjeta neprekidnosti valne funkcije i njene prve derivacije slijede koeficijenti
Ψ1 0 = Ψ2 0 , Ψ2 𝑙 = Ψ3 𝑙
𝑑Ψ1 0
𝑑𝑥=
𝑑Ψ2 0
𝑑𝑥,
𝑑Ψ2 𝑙
𝑑𝑥=
𝑑Ψ3 𝑙
𝑑𝑥
𝐴1 + 𝐵1 = 𝐴2 + 𝐵2
𝐴2𝑒𝛽𝑙 + 𝐵2𝑒
−𝛽𝑙 = 𝐴3𝑒𝑖𝛼𝑙
𝑖𝛼𝐴1 − 𝑖𝛼𝐵1 = 𝛽𝐴2 − 𝛽𝐵2
𝛽𝐴2𝑒𝛽𝑙 − 𝛽𝐵2𝑒
−𝛽𝑙 = 𝑖𝛼𝐴3𝑒𝑖𝛼𝑙
Primjene kvantne mehanike
Koeficijent refleksije
Koeficijent transmisije
𝑅 =𝐵1
2
𝐴12
𝑇 =𝐴3
2
𝐴12
𝑅 + 𝑇 = 1
𝐴3
𝐴1=
2𝑛𝑒−𝑖𝛼𝑙
2𝑛𝑐ℎ𝛽𝑙 − 𝑖 1 − 𝑛2 𝑠ℎ𝛽𝑙, 𝑛 =
𝛽
𝛼=
𝑉0 − 𝐸
𝐸
𝐴3
𝐴1≈
4𝑛𝑒−𝑖𝛼𝑙
2𝑛 − 𝑖 1 − 𝑛2 𝑒𝛽𝑙, 𝛽𝑙 ≫ 1
𝑇 ≈16𝑛2
𝑛2 + 1 2 𝑒−2𝛽𝑙 =
16𝑛2
𝑛2 + 1 2 𝑒−2ℏ
2𝑚(𝑉0−𝐸)𝑙
Čestica veće mase teže prolazi kroz barijeru.
Prolaženje je teže što je barijera šira i razlika veća.𝑉0 − 𝐸
0 xl
Ψ 𝑥
Ψ1 Ψ2Ψ3
Primjene kvantne mehanike
Čestica u jednodimenzionalnoj pravokutnoj potencijalnoj jami
𝑥 = 0 𝑥 = 𝐿
0 < 𝑥 < 𝐿 , −ℏ2
2𝑚
𝑑2Ψ
𝑑𝑥2= 𝐸Ψ → Ψ 𝑥 = 𝐴𝑒𝑖𝑘𝑥 + 𝐵𝑒−𝑖𝑘𝑥22
Ψ 0 = 0 ,Ψ 𝑥 = 𝐶 sin 𝑘𝑥 , 𝐶 = 2𝑖𝐴
Ψ 𝐿 = 0 → 𝑘 =𝑛𝜋
𝐿, 𝑛 = 1,2,3, … kvantni broj
𝐸 =ℏ2𝑘2
2𝑚=
ℎ2𝑛2
8𝑚𝐿2diskretan spektar energija 𝐸1 =
ℎ2
8𝑚𝐿2
𝐸2 =4ℎ2
8𝑚𝐿2
𝐸3 =9ℎ2
8𝑚𝐿2
Ψ 𝑥𝐸
Primjene kvantne mehanike
Čestica u kutiji
𝑉 = 0, 0 < 𝑥 < 𝐿, 0 < 𝑦 < 𝐿, 0 < 𝑧 < 𝐿∞, u preostalom dijelu prostora
Za slobodnu česticu unutar kutije vremenski neovisna Schrödingerova jednadžba je
-ℏ2
2𝑚
𝜕2Ψ
𝜕𝑥2+
𝜕2Ψ
𝜕𝑦2 +𝜕2Ψ
𝜕𝑧2= 𝐸Ψ
Izvan kutije Ψ = 0. Zbog neprekidnosti valne funkcije Ψ = 0 na površini kutije.