Page 1
Primena na izvodite
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
1
Voved
Pred da gi navedeme nekoi primeni na izvodot vo geometrijata, fizikata i za
ispituvawe na monotonost i ekstremni vrednosti na funkcija , }e gi dademe
definicijata na izvod na funkcija ,tabli~nite izvodi na elementarnite funkcii,
pravilata za odreduvawe na izvod od zbir, razlika, proizvod i koli~nik i izvod od
slo`ena funkcxija.
Neka funkcijata )(xfy e opredelena vo to~kata h. Izvod na funkcijata
)(xfy se odreduva so formulata :
x
xfxxfxf
x
)()()( lim
0
Tabli~ni izvodi
xctgxe
xx
xtgxee
xxaaa
xxx
x
xxRnxnx
aa
xx
xx
nn
2
2
1
sin
1)(.10log
1)log(.5
cos
1)(.9)(.4
sin)cos(.8ln)(.3
cos)sin(.72
1)(.2
1)ln(.6.,)(.1
Izvod od zbir,razlika,proizvod i koli~nik na dve funkcii
2.4
)(.3
)(.2
.,)(.1
V
VUVU
V
U
VUVUVU
VUVU
konstCUCUC
Neka ))(( xfy e slo`ena funkcija . Neka )(xu toga{ : )( ufy .
Izvod na slo`ena funkcija se odreduva so formulata : )()( /// xuufy
Tablica na izvodi na slo`ena funkcija
/
2
///
/
2
///
////
////
''/1/
sin
1.10
1ln.5
cos
1.9.4
sincos.8ln.3
cossin.72
1.2
log1
)(log.6.,.1
uu
uctguu
u
uu
utguee
uuuuaaa
uuuuu
u
ueu
uRnuunu
uu
uu
aa
nn
Page 2
Primena na izvodite
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
2
1. Deferencijabilnost i neprekinatost
Velime deka funkcijata f e deferencijabilna vo to~kata h1,ako ima izvod vo
to~kata h1.
Ako funkcijata f ima izvod vo sekoja to~ka na eden otvoren ili zatvoren
integral vikame deka e deferencijabilna vo toj integral.Neka ja zemime funkcijata
xxf )( koga .Rx Nejziniot izvod e
x2
1. Ova e isto taka izvod za sekoja to~ka h1
{to mu pripa|a na R .Toga{ xxf )( e deferencijabilna vo sekoja to~ka od oblasta
na opredelenosta R .
Mno`estvoto na site vrednosti na oblasta i opredelenosta na edna funkcuja
f ,vo koja taa e deferencijabilna,se vika oblast na deferencijabilnosta, fD na f .
Se razbira deka |
fD e podmno`estvo na .fD
Ako edna funkcija e deferencijabilna vo to~kata h1 toga{ taa e neprekinata vo
taa to~ka.
Za edna funkcija velime deka neprekinata ako:
0lim0
Zh
Nez nekoi primeri mo`eme da vidime dali nekoi funkcii se deferencijabilni i
dali se tie neprekinati.
Primer 1: Ispitaj dali funkcijatata e deferencijabilna i dali e taa
neprekinata.
Re{enie:
1
1)(
x
xxf
1
1
1
1limlim
00 x
x
hx
hxZ
hh
11
1111limlim
00 xhx
hzxxhxZ
hh
11
11limlim
22
00 xhx
hhhxxxhxZ
hh
11
2limlim
00 xhx
hZ
hh
0
110
02lim
0
xxZ
h
Funkcijata e neprekinata bidej}i 0lim0
Zh
Sega da ispitame dali )(xf e deferencijabilna.
h
Zxf
h 0
| lim)(
h
xhx
h
xfh
11
2
lim)(0
|
11
2lim)(
0
|
xhxxf
h
110
2)(|
xxxf
2
|
1
2)(
xxf
Page 3
Primena na izvodite
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
3
Gledame deka funkcijata e deferencijabilna bidej}i nejziniot izvod e
21
2
x i
zatoa taa e deferencijabilna bidej}i postoi ).(xf
2. Tangenta na kriva
Od geometrijata znaeme deka tangentata na kru{nica e prava koja ima edna dopirna
to~ka so kru`nicata.
s
t
M1
M0
Crt.1
Dadeni se to~kite M i M1 Neka to~kata M ja zamislime kako fiksirana to~ka ,a
to~kata M1 kako “promenliva”
Neka M1 se dvi`i po krivata, i se pribli`uva kon M.Toga{ velime deka M1 se stremi
kon M Toga{ i sekantata s se stremi kon tangentata t . Mo`e da ja razgledame krivata
(s) i kako grafik na funkcijata ).(xfy Za da ja postavime tangentata vo to~kata M1
}e zememe i druga to~ka M so koordinati ).,( yx Koeficientot na pravata MM1 so
M1 )( 11 yx i M ),( yx e ednakov na
1
1
xx
yy
pri .1 xx
Ovoj koli~nik e vsu{nost tangens na agolot , {to sekantata s go zafa}a so
pozitivnata nasoka na h-oskata.
1
1
xx
yytg
Ako zememe deka M se stremi kon M1 toga{ i naklonot na sekantata se stremi kon
naklonot na tangentata , t.e. 1
limMM
Vo slu~aj koga MM1 , toga{ i site koeficienti na pravci na sekantata se stremat
kon grani~na vrednost- koeficient na pravecot na tangentata vo to~kata M1 .
tgtgMM
1
lim
Bidej}i )( 11 yx e na krivata )(xfy ,mo`e da zamenime 11, xfx i xfx, .
Toga{ ja dobivame i vrskata MM1h1h toga{
1
1)()(limlim
11 xx
xfxftg
xxMM
Toga{ go dobivame i koeficientot na pravecot na tangentata,na edna kriva vo
to~kata 11, yx opredelena so ravenkata xfy
Page 4
Primena na izvodite
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
4
1
1
1
limxx
xfxfxm
xx
Izrazot hh1 e narastuvawe na argumentot i }e go bele`ime so h , a dodeka pak
razlikata (h)-(h1) e narasnuvawe na funkcijata i }e go obele`ime so .
Pa,spored toa dobivame
h
Z
h
xm lim0
)(
Narasnuvaweto 1xxh dodeka pak, hxx 1
pa,spored,toa,
Dobivame i ravenstvo:
h
xfhxfxm
h
)()(lim)( 11
01
O x1 x1+h x
y
df(x0)
Crt.2
t
M1(x1,y1)
h
M(x,y)
Q
P
so koe isto tako }e go dobieme koeficientot na pravecot na tangentata.
Primer 2: Da se opredeli narasnuvaweto na funkcijata 342 2 xxy koga ni
se dadeni 3x i 4,2h
Re{enie: Narasnuvaweto na funkcijata }e go opredelime na toj na~in {to na
sekoe h mu go dodavame h na y mu go dodavame .Z
3)(4)(2 2 hxhxy
yhxhxhxZ )344)2(2( 22
)342()3442( 222 xxhhxhxZ
342344242 22 xxhxhxhxZ
4,244,224,234 Z
6,98,48,28 Z
24Z
Za toa kako da go dobieme koeficientot na pravec na tangentata mo`eme da
poso~ime i nekoj primer.
Primer 3: Najdigo koeficientot na pravec na tangentata na krivata
xy
sin
1 vo to~kata: a)
4
b)
3
Page 5
Primena na izvodite
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
5
Re{enie:
)sin(
1
hxZy
y
hxZ
)sin(
1
Toga{ koeficientot na pravec na krivata }e bide
h
ZxMo
h 0lim)(
x
x
x
x22 sin
cos
0sin
cos00
Ako zamenime }e dobieme:
a)
4sin
4cos
)(2
0
xm 2
4
22
2
)(0 xm 02
0
045sin
45cos)( xm
b)
3
2
6
4
4
32
1
60sin
60cos
3sin
3cos
)(02
0
20
xm
3. Nekoi promeni na izvodite vo geometrijata
Nie vidovme deka prviot izvod od funkcijata go tolkuvame geometriski.Spored
toa,nie mo`eme i da pretpostavime deka i za vtoriot izvod,pa i za povisokite,postoi
geometriski tolkuvawe.Deka postoi vrska pome|u vtoriot izvod i geometriskite
svojstva na grafikot ,fG }e poka`ime so slednovo mislewe:
xf | za sekoe fGx go dava koeficientot.
So oddelni koeficienti na pravcite na protegawe na pravata se obele`uva so
“strmnosta” na funkcijata kako vo “ka~uvawe” taka i vo “pa|awe”. Zatoa }e re~eme deka
xf | go opi{uva tekot na fG vo ,|
fD a xf || tekot na
|
fG vo .|||
fff DDD Me|utoa, za
da bide opredelen tekot na fG so tekot ||f i samiot
||f mora da ima vo fG edno
geometrisko zna~ewe.
a) Ravenka na tangenta
Neka ni e dadena ravenkata na krivata .xfy
Nie sega treba da ja najdeme ravenkata na tangentata vo nekoja to~ka ., 11 yx
Ravenkata na pravata niz taa to~ka glasi:
11 xxmyy
Bidej}i kaj nas vo pra{awe e tangentata,koefecientot na pravecot e ednakov na
1
| xf .Toga{ ja dobivame ravenkata:
11
|
1 xxxfyy
So ova formula nie mo`eme da ja nacrtame tangentatana edna kriva ako go znaeme
izvodot so koja e opredelena.
b) Ravenka na normala
Normala na kriva e pravata,{to e normalno na tangentata i minuva niz dopirna
to~ka.Zatoa {to tangentata i normalata se normalni edna na druga,koeficientot na
pravecot na normalata vo to~kata 11, yx , }e bide
1
|
1
xf .
Page 6
Primena na izvodite
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
6
Pa ravenkata,koga ,01
| xf }e glasi:
1
1
|
1xx
xfyy
Ili pak:
0111
| xxyyxf
Sega mo`eme da najdeme,niz nekolku primeri,ravenka na tangenta i normala vo
nekoja to~ka ., 11 yx
Primer 4:
a) Napi{igi ravenkite na tangenti i normalite na parabolata
532 2 xxy vo prese~nite to~ki so h-oskata.
b) Najdi gi to~kite vo koi tangentite na krivite
23
1 2xxy i 232 2
2 xxy
me|usebno se paralelni.
v) Vo koja to~ka od krivata 23 2xxy tangentata e :
-Paralelna na pravata 144 xy
-Paralelna so simetralata na vtoriot kvadrant?
Re{enie:
a)
1
4
4
4
73,
2
5
4
10
4
73,
4
73
22
493
49409,2543,0532
212,1
22
xxx
DDxx
314,7,32
54,34
0,
|
1
|
1
|
1
|
1
yyyxy
xM
077:
77
170
035214:
2\02
357
2
57
2
2
|
22
1
1
|
11
yxt
xy
xy
xxyyy
yxt
x
xy
xxyyy
05142:
14\05147
14
5
72
5
7
1
017:
7\07
1
7
1
7
1
7
11
7
10
1
1
|
11
2
yxn
yx
xyxyxxyyy
yxn
yxxyxy
b) xxy 43 2|
1 34|
2 xy
Za tangentite na krivite me|usebno da bidat paralelni treba |
2
|
1 yy
1003664,3348,0383,3443222 DDDxxxxx
Page 7
Primena na izvodite
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
7
25,3,9,3
3
1
6
108,3
6
108,
3
1008
11
212,1
TM
xxl
x
9
25,
3
1,
9
25
9
27
9
23
9
22
3
13
3
12
27
7,
3
1,
27
7
27
6
27
1
9
2
27
1
3
12
3
1
25291823332
91827323
2
2
2
2
23
2
2
1
22
1
Ty
My
y
y
Vo to~kite
27
7,
3
1,9,3 i
9
25,
3
1,25,3 ,
Tangentite na ovie krivi se me|usebno paralelni.
v) - xxy 43 2|
1 |
2
|
1 yy
4|
2 y 443 2 xx , 0443 2 xx
64
4816
4842
D
D
D
3
2
2
6
484
2
1
2,1
x
x
x
27
32
0
2
1
y
y
Tangentata na krivata 23 2xxy me|usebno e paralelna so pravata 144 xy
vo to~kite 0,21M i
27
32,
3
22M .
- Ravenka na simetralata na vtoriot kvadrant e xy
xxy 43 2|
1
6
242,1
x
|
2
|
1 yy 1216D
1|
2 y 11 x 143 2 xx 4D
3
12 x 0143 2 xx 11 y ,
27
52 y
Tangentata na krivata ,2 23 xxy me|usebno se paralelni so simetralata na
vtoriot kvadrant vo to~kite 1,11 M i
27
5,
3
12M .
Primer 5: Napi{ija ravenkata na tangentata i normalata na krivata,
2
|
4
8
xy
vo to~kata apcisa h=2
Re{enie :
4
1
24
32
24
216
4
16
4
28222222
|
x
x
x
xy
124
820
y 20 x
Page 8
Primena na izvodite
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
8
22
1 xx
y 2\022
yx
21
xy
221 xy 421 xy t: 032 yx
4. Dol`ina na tangentata,normalata, subtangentata i subnormalata.
Neka nie dadena krivata .xfy Da gi pocle~eme tangentata i normalata na taa
kriva vo to~kata M (crt:3)
O x0 P x
y
Crt.3
nt
M0(x0,y0)
y0
NT
Sn
St
Dol`inata na otse~kata ,tMT me|u dopirnata to~ka M i prese~nata to~ka T na
tangentata so h-oskata ja narekuvame dol`ina na tangentata.Do deka dol`inata na
otse~kata ,nMN me|u dopirnata to~ka M i prese~nata to~ka N na normalata na
tangentata {to minuva niz dopirnata to~ka M so h-oskata,ja narekuvame dol`ina na
normalata.
Dol`inata na tSPT i nSPN ,na ortogonalnite proekcii na t i n .
Na h-oskata gi narekuvame dol`ini na subtangentata i subnormalata.
Sega da gi izvedeme formulite za presmetuvawe na ovie dol`ini:
|
2
111
y
y
tg
yctgySt
|
211 yytgySn
Po pitagorinoto pravilo }e gi najdeme dol`inite na t i n .
2|
11
2|
1
2
1
2
1
22
1
2|
12|
1
1
2|
1
2
1
2|
1
2
1
|
2
12
1
22
1
1
1
yyyyySyn
yy
y
y
yyy
y
yySyt
n
t
Za tS i nS sekoga{ rezultati }e gi zememe so apsolutna vrednost za{to se raboti
za dol`ini.
Page 9
Primena na izvodite
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
9
Sega mo`e da poso~ime i nekoj primer.
Primer 6: Presmetaj gi dol`inite na ,,, tSS nt i n vo slednive zada~i:
a) 22
1
xy
koga h=1
b)
12
2
x
xy koga h=1
v) xy sin koga
4
x
g) tgxy koga
4
x
Re{enie :
a)
112
1
21
2
2
2
21
22
|
1
y
x
xy
221
2
1
|
11
|
1
1
yyS
y
yS
n
t
2|
12|
1
1 1 yy
yt
4
541
4
1t
4
5t
541112|
11 yyn 5n
b)
2
1
1
2
1
222
1
2212222
33
22
22|
1
x
x
x
xxx
x
xxxxy
2
11 y
1
2
12
1
tS
4
1
2
1
2
1nS
52
52
4
11
4
12
1
t 5t
4
5
4
11
2
1n
4
5n
v)
2
2
4coscos|
1
xy
2
2
4sin1
y
1
2
2
2
2
tS
2
1
2
2
2
2nS
Page 10
Primena na izvodite
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
10
2
3
4
32
4
12
2
6
2
2
4
21
2
2
2
32
2
12
2
62
4
21
4
22
2
n
t
2
3
3
n
t
g) 2
4cos
1
cos
1
221
xy , 11 y ,
2
1tS , 2nS ,
4
51
4
1t
4
5t
541 n
5. Deferencijal na funkcija
Neka nie dadena funkcijata xxfy , e Df {to ima izvod vo edna to~ka h1 e
.Df Zna~i postoi broj 1
| xf takov {to:
1
|11
0lim xf
h
xfhxf
h
, i za 0,0 hh
Toga{ imame:
0limlim 1
|1
|
1
00
xf
h
xfhxfh
hh
Od vtoroto ravenstvo nie imame:
hhxhfxfhxf 1
|
11
Kade: 0lim0
hh
Narasnuvaweto na funkcijata f vo to~kata 1x {to go obele`uvame so 1Z ,t.e.
hhxhfZ 1
|
1
kade: 0lim0
hh
Prviot sobirok 1
| xhf se vika deferencijal na funkcijata f vo to~kata h1 i se
obele`uva so 1xdf ili .dy
Spored toa dobivame: hxfxdf 1
|
1
Voobi~aeno e identi~na funkcijata xX 1 da se pi{uva dxh . Pa imame
1
|
1 xfxdf
Pa od slednive doka`uvawa mo`eme da doka`eme:
Deferencijal na funkcijata f vo to~kata h1 od nejzinata oblast na opredelenost
e proizvodot na funkcijata vo taa to~ka i deferencijalot na argumentite.
Od ravenstvoto:
hhxdfZ 11
Gledame,koga 0h i razlikata 11 xdfZ ,se stremi kon nulata.Dodeka za
dovolno malo ,h mo`eme da zapi{eme:
Page 11
Primena na izvodite
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
11
11 xdfZ
Da ja sogledame geometriskata smisla na deferencijalot.
Da go nacrtame grafikonot na funkcijata i da povle~eme tangentata vo to~kata
111 , yxM (crt.4)
Nao|ame deka narasnuvaweto na argumentot ,1QMh narasnuvaweto na funkcijata
f ,za narasnuvaweto na argumentot h e QMZ 1 i narasnuvaweto na ordinatata pg, e
,1 QPxdf bidej}i, 11
| xdfxhfPQ
O x1 x1+h x
y
df(x0)
Crt.4
t
M1(x1,y1)
h
M(x,y)
Q
P
Brojot PMQPQMxdfZhh 11 ja poka`uva gre{kata {to se pravi koga
pri presmetuvawe na vrednostite na funkcijata f vo blizina na to~kata h1 se
zamenuva funkcijata so nejzinata tangenta vo to~kata ., 11 xfx
I u{te da napomenime deka od formulata ,| dxxfdy mo`eme da izvedeme u{te
edna furmula za nao|awe na izvodot koja }e glasi: dx
dyxf |
t.e.izvodot }e mo`eme da go najdeme kako koli~nik od deferencijalot na
funkcijata i deferencijalot na argumentot.
A sega mo`e da poso~ime i nekoj primer za toa kako mo`eme da go najdeme
deferencijalot na edna funkcija.
Primer 7:
a) Najdi deferencijal na funkcijata:
dx
x
xxedydxydy
x
xxey
x
xexey
x
xexey
xey
xx
xxxx
x
sin12
cossin22,,
sin12
cossin22
sin12
cossin12,
sin12
cossin1
sin1
||
||
b) Najdi go narasnuvaweto i deferencijalot na funkcijata ako:
a) ,132 2 xxxf h=1, ;01,0h xfhxfZ
Page 12
Primena na izvodite
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
12
0102,0
02,101,0
301,021401,0
524
132133242
13213322
132132
222
222
22
Z
Z
Z
hxhZ
xxhxhxhxZ
xxhxhxhxZ
xxhxhxZ
01,0101,0
34
|
dy
dxxdy
dxxfdy
01,0
34
01,0
|
hdx
xxf
dy
v) Kolkava e gre{kata kaj plo{tinata na krug so radius mcmr 2,050
cmr 50 cmmh 02,02,0 2rp
222
22
22
2
2
rrhrP
hrhrP
rhrP
hrhP
hrhP
2
2 2
281256,6
02,1000628,0
02,050,214,302,0
P
P
P
28,6
02,014,350,2
2
|
dp
dp
hrdp
drrfdp
rrf
hdr
2|
To~nata gre{ka pri presmetuvaweto 281256,6P dodeka gre{kata
presmetana so pomo{ na deferencijalot e 6,28. I tuka }e mo`eme da zabele`ime deka
razlikata e zanemarliva i mo`e da zememe deka gre{kata e .28,6 2cmdp
6. Nekoi primeni na izvodite vo fizikata Sredna i momentna brzina,zabrzuvawe
Va`no so grani~nata vrednost e i izu~uvaweto na dvi`eweto na edno telo po edna
linija.So ovoj problem posebno se zanimava Isak Wutan
O s
t tt
Ms)(ts
)( tts
M1
Da go vidime dvi`eweto na edno telo po pravata na crte` 5
Vo sekoj moment f si ima svoja polo`ba na pravata {to se opredeluva so pravata
ON = s .Patot s e funcija na vremeto .t
).(tfs
Zakonot na dvi`eweto na edno telo e daden so funkcijata .f
Treba da ja opredelime brzinata na teloto spored zakonot f
Page 13
Primena na izvodite
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
13
Nie znaeme deka brzinata pri ramnomerno dvi`ewe sekoga{ e ednakvo.Brzinata
se dobiva koga izminatiot pat }e go podelime so vremeto za koe e izminat toj pat.
Neka za t eizminat y. Toga{ za ttt 1, a pak za sss 1 .
Brzinata }e ja dobieme koga patot s a }e go podelime so vremeto t .
tt
ss
t
s
1
1
Pri ramnomerno dve`ewe na teloto ne e ramnomerno tega{ koli~nokot
t
s
ni
dava edna zamislena brzina {to ja vikame sredna brzina na Vsr vo intervalot na
teloto t .Toga{ bi imale Vsr t
s
Dokolku e pomalo t dotolku Vsr }e bide poblisku do vistinskata V na teloto vo
momentot.
Ottuka proizleguva definicijata:
Momentna brzina vo momentot t e grani~na vrednost na srednata brzina Vsr koga
t se stremi kon nula t.e.
0lim
t
V Vsr ili
tt
tftf
t
fV
ttt
1
1
0
)()(limlim
1
Eve mo`eme da zemame nekoj primer
Primer 8: Najdi ja brzinata na teloto {to se dvi`i spored zakonot
3
1: tts i 2t sek.
Re{enie :
t
ttttttV
t
tttV
tt
3323
0
33
0
33limlim
t
tttttV
t
22
0
33lim 0033 2 ttV
23tV 2
)2( 23 V 43)2( V 12)2( V
Za da go ispitame fizi~koto zna~ewe na prviot i vtoriot izvod vo opredelen
moment 01 ,0 tt go formirame koli~nikot ,t
S
na funkcijata na dvi`eweto tfS vo
okolinata na ,1t na narasnuvaweto t.e.
t
tfttf
t
S
01
Gorenavedeniot izraz ja dava srednata brzina na telo {to se dvi`i za eden
vremenski interval t Grani~nata vrednost kon koja se stremi srednata brzina za
0t e momentna brzina vo momentot .1t
Pa imame:
Page 14
Primena na izvodite
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
14
Prviot izvod na funkcijata na dvi`eweto tfs za vrednosta 1t ja dava
momentna brzina vo .1t
Sega mo`eme da ja razgledame i funkcijata na brzinata i da sozdademe u{te eden
koli~nik. Koga tfV | toga{ odnovo go formirame vo okolinata na +1 koli~nikot od
razlikite t.e.
t
tfttf
t
V
11 ''
Nie znaeme od fizikata deka koli~nikot od promenata na brzinata V i
intervalot vreme t ja dava merkata za slednoto zabrzuvawe na teloto vo intervalot
ttt 11, .Spored toa,grani~nata vrednost na ovoj koli~nik od narasnuvaweto za 0t
a toa prestavuva vtor izvod na patot po vremeto,go meri momentnoto zabrzuvawe vo
momentot .1t
Pa od ova imame:
Vtoriot izvod na funkcijata na dvi`eweto tfs za vrednosta 1t go dava
momentnoto zabrzuvawe vo .1t
A sega da poso~ime i nekoj primer za primena na izvodite vo fizikata:
Primer 9:
a) Kolkava e kineti~kata energija na telo so masa 20 grama, na krajot od tretata
sekunda ako toa se dvi`i po zakonot 232 tts .
b) Od edna ista to~ka zapo~nuvaat istovremeno da se dvi`at dve tela po zakonot
52 23
1 ttS i 123
3
2 tt
S
Nadi go momentot vo koj dvete tela se dvi`at so ednakva brzina i odredi gi
zabrzuvawata vo toj moment.
Za dvete tela {to se dvi`at so ednakva brzina treba 21 VV
v) Edno telo se dvi`i pravoliniski po zakonot .40200 2s
Najdija brzinata na krajot od pettata sekunda.
Koga teloto }e prestane da se dvi`i?
Re{enie :
a) Da napomeneme samo deka kinati~kata energija mo`eme da ja presmetame po
furmulata
2
2mvE
gm
t
20
33
JEEv
ttsv
90,2
920,3
32|
b)
0243243
229
9,43
2222
21
22
|
22
2|
11
ttttttVV
tt
tSVtttSV
01616
2244
0242
2
2
D
D
tt
Page 15
Primena na izvodite
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
15
Po edna sekunda tie tela se dvi`at so ednakvi brzini .
2
|
22
2
|
11
22
24
s
mtVW
s
mGtVW
Ova se zabrzuvawata na tie dve tela vo toj moment.
v)
s
msv
ttsv
ts
3052405
240
40200
|
|
2
st _5
Brzinata na krajot od 5 y }e iznesuva s
m30
Dodeka teloto }e prestane da se dvi`i koga
st
t
t
tv
_20
402
0240
240
Teloto }e prestane da se dvi`i po 20 y.
7. Rastewe i opa|awe na funkcija
Ovde }e najde vrska me|u prviot izvod i svojstvoto na rastewe i opa|awe na
dadena funkcija f(x), {to e opredelena vo nekoj interval (a,b).
Teorema 1: Ako funkcijata f(x) na intervalot (a,b) e diferencijabilna i
monotono raste~ka (monotono opadnuva~ka) toga{:
f’(x) 1)0 (f’(x) 0) x (a,b)
Dokaz: Neka funkcijata f(x) e monotono raste~ka funkcija na intervalot (a,b) i
neka se x, x+h (a,b).(Crt.6)
O x x+h x
y
f(x)f(x+h)-f(x)
Crt.6
Toga{: f(x+h)-f(x)>0 koga h>0 i f(x+h)-f(x)<0 koga h<0. Spored toa, sekoga{:
1) Znakot za ravenstvo mo`e da va`i samo za nekoi to~ki od intervalot (a,b)
Page 16
Primena na izvodite
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
16
0
h
)x(f)hx(f od kade {to sleduva: 0
0
)x('f
h
)x(f)hx(flimh
{to
treba{e da se doka`e.
Analogno se doka`uva ako funkcijata e monotono opa|a~ka.
Teorema 2 : (Obratna teorema) Neka funkcijata f(x) e diferencijabilna na
intervalot (a,b) . Toga{ funkcijata e monotono raste ako f’(x)> 0 , a monotono opa|a ako
f’(x)<0 .
Primer 10: Da se oredelat intervalite na monotonost na funkcijata f(x)=x2, x R.
Re{enie: a) Od ravenstvoto f'(x) >0 za h>0, t.e funkcijata monotono raste na
intervalot 0
b) Od ravenstvoto f'(x) <0 za h<0, t.e funkcijata monotono opa|a na intervalot 0
v) f'(x) =0 za h=0. Vo ovaa to~ka velime deka funkcijata stagnira. Taaa to~ka se vika
stacionarna to~ka (Crt. 7).
Crt.7
Voop{to, to~kite od apcisnata oska vo koi {to f'(x) =0 se vikaat stacionarni
to~ki na funkcijata f(x).
Primer 11: Da se ispita monotonosta na funkcijata f(x)=sinx vo inervalot [0, )
Re{enie: Bidej}i f'(x)=cosx , imame ;
a) f'(x) >0 t.e cosx>0, za
20
,x b) f'(x) <0 t.e cosx<0, za
,x
2v) f'(x) =0 t.e cosx=0,
za
2
x .
Zaklu~uvame deka funkcijata sinx monotono raste na intervalot
20
, , monotono
opa|a na intervalot
,
2 , a stagnira vo to~kata
2
x . (Crt. 8).
Page 17
Primena na izvodite
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
17
Crt.8
Primer 12: Da se ispita monotonosta na funkcijata f(x)=tgx vo inervalot
22
,
. Re{enie: Bidej}i
xcos
1(x)f'
2 f'(x) za
22
,x zaklu~uvame deka funkcijata
f(x)=tgx monotono raste na intervalot
22
, (Crt. 9).
Crt.9
Primer 13: Da se ispita monotonosta na funkcijata f(x)=2x .
Re{enie: Bidej}i 0ln22(x)f' x za sekoj Rx zaklu~uvame deka funkcijata
f(x)=2x monotono raste na intervalot , (Crt. 10).
Crt.10
Page 18
Primena na izvodite
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
18
Primer 14: Da se ispita monotonosta na funkcijata f(x)=x3 .
Re{enie: Bidej}i 03(x)f' 2 x za sekoj {0}\Rx zaklu~uvame deka funkcijata
f(x)=x3 monotono raste na intervalot , (Crt. 11).
Crt.11
Koristej}i go geometriskoto tolkuvawe na prviot izvod, mo`eme da go dodademe
slednovo geometrisko tolkuvawe na pogore ialo`enite teoremi:
a) Ako f(x) monotono raste na intervalot (a,b) (f’(x) 0, ),( bax , toga{ tangentata
vo sekoja to~ka od toj interval, so pozitivnata nasoka na apcisnata oska zafa}a ostar
agol, ili vo nekoi to~ki e paralelna na apcisnata oska (Crt.12a).
b) Ako f(x) monotono opa|a na intervalot (a,b) (f’(x) 0, ),( bax , toga{ tangentata
vo sekoja to~ka od toj interval, so pozitivnata nasoka na apcisnata oska zafa}a tap
agol, ili vo nekoi to~ki e paralelna na apcisnata oska (Crt.12b).
O x
y
Crt.12
a)
O x
y b)
Page 19
Primena na izvodite
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
19
8.Ekstremni vrednosti na funkcija
Ovde }e gi primenime prviot i vtoriot izvod na daena funkcija za opredeluvawe
na nejzinite ekstremni vrednosti: maksimum i minimum. Od porano znaeme deka deka
funkcijata f(x) vo intervalot (a,b) ima maksimum (minimum) za ),(0 bax , ako postoi
broj takov {to za sekoj ),( 00 xxx i 0xx va`i neravenstvoto
))()((),()( 00 xfxfxfxf (Crt.13). Isto taka, znaeme deka to~kata so apcisa 0x vo koja
{to funkcijata ima maksimum (Crt.13/a) go odeluva intervalot na rastewe od
intervalot na opa|awe. Ako pak, funkcijata ima minimum vo to~kata so apcisa 0x
(Crt.13/b) toga{ taa go odeluva intervalot na opa|awe od intervalot na rastewe.
O x
ya)
0x0x 0x
O x
y
Crt.13
b)
0x0x 0x
Od prethodno ka`anoto sleduva deka: Prviot izvod na funkcijata f(x) go menuva
znakot od pozitiven vo negativen koga funkcijata ima maksimum i od negativen vo
pozitiven koga funkcijata ima minimum, a samo vo to~kata so apcisa 0x toj e dnakov na
0 t.e. f’(x)=0.
Geometriski zna~i deka tangentata na krivata vo to~kata so apcisa 0x e paralena
so apcisnata oska .
Od prethodno ka`anoto doa|ame do slednovo svojstvo:
Ako funkcijata f(x) ima ekstrem za to~kata Dxx 0 , toga{ f’(x)=0.
No, obratnoto tvrdewe neva`i, t.e funkcijata mo`e da ima prv izvod vo dadena
to~ka ednakov na 0, no vo taa to~ka funkcijata da nema izvod. Na primer, funkcijata
f(x)=x3 vo to~kata 0x =0 ima prv izvod ednakov na 0, t.e f’(0)=0, a sepak , za 0x =0, nema
ekstrem t.e. taa monotono raste za celata oblast na opredelenost.
Od prethodniov prime mo`e da se zaklu~i deka f’(x0)=0 e samo potreben uslov, no
ne i dovolen uslov da dadena funkcija vo 0x ima ekstrem. .
Page 20
Primena na izvodite
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
20
Dovolnite uslovi za toa dali dadena funkcija f(x) ima ekstrem , vo dadena to~ka
0x za koja f’(x0)=0 i dali toj ekstrem e maksimum i minimum proizleguvaat od
definiciite za ekstremi i glasat:
a) Ako f ’(x)>0 za x <0x i f ’(x)<0 za x >
0x , t.e. funkcijata f (x) levo od to~kata
0x raste, a desno od to~kata 0x opa|a, toga{ f(x0) e najgolema vrednost na f(x) vo
intervalot ),( 00 xx i po definicija pretstavuva maksimum na funkcijata.
b) Ako f ’(x)<0 za x <0x i f ’(x)>0 za x >
0x , t.e. funkcijata f (x) levo od to~kata
0x opa|a, a desno od to~kata 0x raste, toga{ f(x0) e najmala vrednost na f(x) vo
intervalot ),( 00 xx i po definicija pretstavuva minimum na funkcijata.
v) Ako f ’(x)<0(f ’(x)>0 ) za sekoj ),( 00 xxx , t.e. f ’(x) ne go menuva
znakot za vrednostite na argumentot od okolinata na to~kata 0x , toga{ funkcijata
nema ekstremna vrednost vo to~kata x0 . e najmala vrednost na f(x) vo intervalot
),( 00 xx i po definicija pretstavuva minimum na funkcijata.
Zaklu~ok: Ako pri premin, od levo na desno na argumentot h niz to~kata x0, vo koja
f’(x)=0,
prviot izvod go menuva znakot od pozitiven vo negativen, toga{ funkcijata f(x)
vo to~kata 0x ima maksimum.
prviot izvod go menuva znakot od negativen vo pozitiven , toga{ funkcijata
f(x) vo to~kata 0x ima minimum.
prviot izvod ne go menuva znakot funkcijata f(x) nema ekstremni vrednosti.
Primer 15: Funkcijata f(x)=1+x2 ima prv izvod f’(x)=2x, koj {to e ednakov na nula
vo to~kata x0=0, t.e.f’(0)=0. Bidej}I f’(x)<0 za x<0 i f’(x)>0 za x>0 sleduva deka
funkcijata ima minimum vo to~kata x0=0 koj {to ednakov na 1, t.e. f(0)=1.(Crt.14)
Crt.14
Page 21
Primena na izvodite
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
21
Zabele{ka 1: Funkcijata f(x) vo to~kata Dx mo`e da iama ekstrem iako vo taa
to~ka prviot izvod ne postoi, a samo go menuva znakot .
Primer 16: Funkcijata
0x,x
0x,xx)x(f ima prv izvod
0x,1
0x,1)x('f koj {to go
menuva znakot od negativen vo pozitiven vo x0=0, pa spored toa vo to~kata ima minimu,
iako f’(0) ne postoi.(Crt.15)
x
y
-3 -2 -1 0 1 2 3
1
2
3
4
5
Crt.15
Primer 17: Da se opredelat ekstremnite vrednosti na funkcijata
1x3x23
x)x(f 2
3
Re{enie: Prviot izvod na funkcijata e: 3x4x)x('f 2 . So re{avawe na
ravenkata 03x4x2 gi nao|ame to~kite h1=1 i h2=3. Spored toa )3x)(1x()x('f .
Go ispituvame znakot na f’(x) vo sekoja od to~kite h1=1 i h2=3 {to pretstavuvaat
stacionarni to~ki na funkcijata.
Imame: f’(x)>0 za x<1 i f’(x)>0 za x>1, a toa zna~i deka funkcijata za h=1 ima
maksimum {to e ednakov na
3
7)x(f . f’(x)<0 za 1<x<3 i za x>3, pa spored toa funkcijata
ima minim vo to~kata h=3 {to e ednakov na f(3)=1.(crt.16)
Crt.16
Page 22
Primena na izvodite
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
22
Utvrduvaweto na znakot na prviot izvod na funkcijata f(x) vo oklinata na
stacionarnata to~ka ne e sekoga{ lesno, a toa zna~i deka, ne e lesno i samoto
opredeluvawe na ekstremnite vrednosti so pomo{ na prviot izvod. Ponekoga{ toa se
olesnuva ako funkcijata f(x) ima vtor izvod vo stacionarnata to~ka.
Neka pretpostavime deka funkcijata f(x) ima vtor izvod vo stacionarnata to~ka
x0 i vo nejzinata okolina ima prv i vtor izvod i pritoa neka f’(x)=0. Kako {to se
utvduva, vrz osnova na znakot na prviot izvod vo oklinata na to~kata x0. dali
funkcijata raste ili opa|a , taka vrz osnova na znakot na vtoriot izvod (f’’(x)) , mo`e
da se utvrdi dali funkcijata f’(x) raste ili opa|a vo oklinata na to~kata x0.
O~igledno, ako funkcijata f(x) vo to~kata x0 ima maksimum, toga{ neziniot prv
izvod f’(x) vo okolinata na to~kata x0 opa|a preminuvaj}i od pozitivni vrednosti preku
nulata na negativni vrednosti. Toa zna~i deka, toga{, vo okolinata na to~kata x0
prviot izvod (f’(x))’=f’’(x) na funkcijata f(x) e negativen, t.e. f’’(x)<0.
Ako, pak, funkcijata f(x) vo to~kata x0 ima minimum, toga{ neziniot prv izvod f’(x)
vo okolinata na to~kata x0 raste preminuvaj}i od negativni vrednosti preku nulata na
pozitivni vrednosti. Toa zna~i deka, toga{, vo okolinata na to~kata x0 prviot izvod
(f’(x))’=f’’(x) na funkcijata f(x) e pozitivenen, t.e. f’’(x)>0.
Vo praktikata, za utvrduvawe dali funkcijata f(x) ima ekstrem vo to~kata x0 i od
koj vid e toj ekstrem, se koristi slednovo pravilo:
Ako f’(x)=0 i f’’(x)<0, toga{ vo to~kata x0 funkcijata f(x) ima maksimum, ako pak
f’(x)=0 i f’’(x>,0, toga{ vo to~kata x0 funkcijata f(x) ima minimum.
Zabele{ka 2: Ova pravilo ne mo`e da se primeni ako vo to~kata x0 i vtoriot
izvod na funkcijata f(x) e nula, t.e. f’’(x0)=0. Toga{ utvduvaweto dali funkcijat f(x) vo
to~kata x0 ima ekstrem i od koj vid e toj ekstrem, se vr{i so utvduvawe na znakot na
prviot izvod na funkcijata.
Funkcijata f(x)=x4 ima prv izvod f’(x)=4x3, {to ednakov na nula vo to~kata x0=0. No vo
taa to~ka i vtoriot izvod f’’(x)=12x2 e ednakov na nula , pa zatoa gornoto pravilo ne
dava mo`nost da se utvrdi ekstrem vo to~kata x0=0 i od koj vid e toj ekstrem. So
utvrduvawe na znakot na prviot izvod vo taa to~ka( go menuva znakot od negativen vo
poziteven) zaklu~uvame deka funkcijata vo x0=0 ima minimum. (Crt.17)
Page 23
Primena na izvodite
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
23
x
y
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
0
1
2
3
4
5
Crt.17
Prakti~no, opredeluvaweto na ekstremnite vrednosti na funkcijata f(x) se
sveduva na slednovo pravilo:
1. Se opredeluva prviot izvod f’(x).
2. Prviot izvod se izramnuva na nula i se re{ava ravenkata f’(x)=0, t.e. se
opredeluvaat stacionarnite to~ki.
3. Se opredeluva vtoriot izvod f’’(x) i se ispituva negoviot znak vo sekoja
stacionarna to~ka, posebno.
Primer 18: Da se opredelat ekstremnite vrednosti na funkcijata:
f(x)=2x3-9x2+12x.
Re{enie:
1o: f’(x)=6x2-18x+12
2o f(‘x)=0 sleduva 6x2-18x+12=0, od kade se nao|aat stacionarnite to~ki x1=1 i x2=2
3o f’’(x)=12x-18
Sega }e go ispitame znakot na vtoriot izvod vo stacionarnite to~ki: f”(1)=-6<0 od
kade sleduva deka funkcijata ima maksimum vo to~kata x1=1 ednakov na f(1) =5,
f”(2)=6>0 od kade sleduva deka funkcijata ima minimum vo to~kata x2=2 ednakov na f(2)
=4.(Crt.18)
Crt.18
Page 24
Primena na izvodite
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
24
Primer 19: Da se opredelat ekstremnite vrednosti na funkcijata f(x)=sinx ,
x[0,].
Re{enie:
1o: f’(x)=cosx
2o f(‘x)=0 sleduva cosx=0, od kade se nao|aat stacionarnite to~ki x1=2
i x2=
2
3
3o f’’(x)=-sinx
Sega }e go ispitame znakot na vtoriot izvod vo stacionarnite to~ki: f”(2
)=-sin
2
=-
1<0 od kade sleduva deka funkcijata ima maksimum vo to~kata x1=2
ednakov na f(
2
)
=1, f”( 2
3)=sin
2
3=-1>0 od kade sleduva deka funkcijata ima minimum vo to~kata x2=
2
3
ednakov na f(2
3) =-1.(Crt.19)
Crt.19