Математика Тест 2 Кључ за оцењивање ОПШТЕ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ Кључ за оцењивање дефинише начин на који се оцењује сваки поједини задатак. У општим упутствима за оцењивање дефинисане су оне ситуације које могу да се јаве у одговорима на различита питања, а која је важно да сви оцењивачи реше на јединствен начин. 1. Задатак са исправним поступком и тачним резултатом (одговором) добија максимални број поена без обзира да ли је рађен на други начин од оног који предвиђа кључ. 2. Бодови се не одбијају ако тачан резултат (решење, одговор) није уписан у кућицу предвиђену за резултате. 3. Задатак у коме се појављује мерна јединица добија максималан број поена чак иако та јединица није написана. 4. Максималан број поена добија се за тачно урађен задатак у чијем решењу постоји слика (или цртеж) иако та слика (цртеж) није урађена, осим ако се то изричито тражи. 5. Бодови се не одбијају ако је цртеж у задатку тачно урађен графитном оловком. 6. Прегледач уписује бодове у предвиђену кућицу поред задатка. За погрешно урађен задатак у кућицу уписати нулу, а за неурађен задатак уписати црту. 7. Уколико је ученик написао тачан резултат (решење) а није урадио поступак у задацима у којима је поступак потребан, добија нула поена. 8. Уколико је ученик уочио грешку и прецртао део поступка и након тога урадио тачно задатак, добија максималан број поена предвиђених за тај задатак. 9. Број � се мора уписивати и током израде задатка и у одговору ако је то у тексту назначено.
12
Embed
Prijemni ispit za upis u srednje skole - Resenja matematike 2009
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
МатематикаТест 2
Кључ за оцењивање
ОПШТЕ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ
Кључ за оцењивање дефинише начин на који се оцењује сваки поједини задатак. У општим упутствима за оцењивање дефинисане су оне ситуације које могу да се јаве у одговорима на различита питања, а која је важно да сви оцењивачи реше на јединствен начин.
1. Задатак са исправним поступком и тачним резултатом (одговором) добија максимални број поена без обзира да ли је рађен на други начин од оног који предвиђа кључ.
2. Бодови се не одбијају ако тачан резултат (решење, одговор) није уписан у кућицу предвиђену за резултате.
3. Задатак у коме се појављује мерна јединица добија максималан број поена чак иако та јединица није написана.
4. Максималан број поена добија се за тачно урађен задатак у чијем решењу постоји слика (или цртеж) иако та слика (цртеж) није урађена, осим ако се то изричито тражи.
5. Бодови се не одбијају ако је цртеж у задатку тачно урађен графитном оловком.
6. Прегледач уписује бодове у предвиђену кућицу поред задатка. За погрешно урађен задатак у кућицу уписати нулу, а за неурађен задатак уписати црту.
7. Уколико је ученик написао тачан резултат (решење) а није урадио поступак у задацима у којима је поступак потребан, добија нула поена.
8. Уколико је ученик уочио грешку и прецртао део поступка и након тога урадио тачно задатак, добија максималан број поена предвиђених за тај задатак.
9. Број � се мора уписивати и током израде задатка и у одговору ако је то у тексту назначено.
111. Два суплементна угла су у размери 5 : 7. Одредити те углове.
112. Дванаест радника радећи по 8 часова дневно заради 120.000 динара. Колико сати дневно треба да ради 10 радника да би зарадили 150.000 динара?
113. У математичкој секцији једне школе има 40 чланова, од којих су 60% девојчице. У ту секцију се учланило 10 нових чланова. Ако су сви нови чланови дечаци, за колико се смањио проценат девојчица?
114. Тридесет процената једне дужи износи 42 cm. Колика је дужина читаве дужи?
115. За колико процената треба повећати број 60 да би се добио број 75?
116. Књига је купљена на сајму књига са попустом од 20% и плаћена је 656 динара. Колика је цена те књиге без попуста?
117. На кружном дијаграму је приказано како је Милица потрошила свој месечни џепарац.
А) Где је Милица потрошила највећи део џепарца?
Б) Који проценат џепарца је Милица потрошила у књижари?
118. После преласка на ново радно место једном раднику је плата повећана за 20%. Колика му је била плата ако је то повећање 3.200 динара?
119. На једном километру дужине пута успон износи 48 m. Колики је тај успон у процентима?
120. Трговац је извесну робу платио 48.000 динара. Половину те робе продао је уз зараду од 15%, трећину уз зараду од 8%, а остатак уз губитак од 6%. Колико је трговац зарадио?
121. На изборе је изашло 70% од укупног броја уписаних гласача. Од њих, 40% гласало је за једног кандидата. Колики проценат укупног броја уписаних гласача је гласао за тог кандидата?
122. Цена књиге снижена је за 10%, а затим за 20% и сада износи 288 динара. Колика је цена била пре првог снижења?
књижара
позориште
дискотека телефон
пекара
1
1
4. КООРДИНАТЕ И ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
19
88. График функције 2 3y x= − садржи тачку A(1, –3) једино ако је
3 2 1 3− = ⋅ − ,
то јест –3 = –1. Наравно, то није тачно, па график те функције не садржи тачку А.
График функције 2 3y x= − садржи тачку B(2, 1) једино ако је
1 2 2 3= ⋅ − ,
то јест 1 = 1, што је тачно.
График функције 2 3y x= − садржи тачку P(–l,–5) једино ако је
5 2 ( 1) 3− = ⋅ − − ,
то јест 5 5− = − , што је тачно.
Према томе, график фукције 2 3y x= − садржи тачке B(2, 1) и P(–l, –5), али не и тачку A(1, –3).
89. Тачка А(x, –2) припада графику функције 3 1y x= − + једино ако је
2 3 1x− = − + ,
то јест:
3 2 1,3 3,
1.
xx
x
= +=
=
Тражена тачка је A = А(1, –2).
90. Тачка P(x, x), чија је ордината једнака њеној апсциси x, припада графику функције 5 12y x= − једино ако је
5 12x x= − ,
то јест:
4 12x− = − ,
3x = .
Тражена тачка је ( )3,3P P= .
91. 1) Нула функције 3 6 0x y− + = је вредност променљиве x за коју је 0y = , то јест решење једначине
3 0 6 0x − + = ,
па је нула дате функције: 2x = − .
2) Тражени број x је решење једначине
3 ( 3) 6 0x − − + = ,
то јест 3 9x = − , па је 3x = − .
4. КООРДИНАТЕ И ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
19
88. График функције 2 3y x= − садржи тачку A(1, –3) једино ако је
3 2 1 3− = ⋅ − ,
то јест –3 = –1. Наравно, то није тачно, па график те функције не садржи тачку А.
График функције 2 3y x= − садржи тачку B(2, 1) једино ако је
1 2 2 3= ⋅ − ,
то јест 1 = 1, што је тачно.
График функције 2 3y x= − садржи тачку P(–l,–5) једино ако је
5 2 ( 1) 3− = ⋅ − − ,
то јест 5 5− = − , што је тачно.
Према томе, график фукције 2 3y x= − садржи тачке B(2, 1) и P(–l, –5), али не и тачку A(1, –3).
89. Тачка А(x, –2) припада графику функције 3 1y x= − + једино ако је
2 3 1x− = − + ,
то јест:
3 2 1,3 3,
1.
xx
x
= +=
=
Тражена тачка је A = А(1, –2).
90. Тачка P(x, x), чија је ордината једнака њеној апсциси x, припада графику функције 5 12y x= − једино ако је
5 12x x= − ,
то јест:
4 12x− = − ,
3x = .
Тражена тачка је ( )3,3P P= .
91. 1) Нула функције 3 6 0x y− + = је вредност променљиве x за коју је 0y = , то јест решење једначине
284. Троугао ABC је правоугли, са правим углом код темена C. Ако су подаци као на цртежу, одредити углове троуглова ADC и CDB и дужину висине CD троугла ABC.
285. Ако су катете правоуглог троугла a = 6 cm и b = 8 cm, одредити катете њему сличног
троугла чија је хипотенуза c' = 30 cm.
286. Марко је висок l,5m и стоји поред јарбола који је ортогоналан на водоравном плочнику. У једном тренутку, дужине сенки Марка и јарбола су 0,5 m и 6 m. Одредити висину тог јарбола.
287. Странице троугла ABC су a = 12 cm, b = 18 cm и c = 8 cm. Одредити обим њему сличног троугла чија је најдужа страница 27 cm.
288. Странице троугла ABC су a = 18 cm, b = 6 cm и c = 21 cm. Одредити странице њему сличног троугла чији је обим 30 cm.
289. Тачке A и B су са исте стране равни α. Ако су A' и B' ортогоналне пројекције тачака А и B на ту раван и A'B' = 12 cm, AA' = 4 cm , BB' = 9 cm,
одредити дужину дужи AB.
290. Кругови k (O, R) и k1 (S, r) се додирују споља у тачки T. Права која садржи тачку T сече те кругове у тачкама A и B. Ако је R = 12 cm и r = 8 cm, одредити размеру AT : TB.
B
A
B΄
A΄α
7. СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА СА ДВЕ НЕПОЗНАТЕ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
30
160. Решити систем једначина
33
1,2.5
x y x
y xy
+ + = −
−− = −
161. Решити систем једначина
4 1 5 1 153 4 6
3 7 2 9 27 .4 3 3
x y
x y
− ++ =
+ ++ =
162. Решити систем једначина
3 53 5
2 3 1 1.2 2
x y x y
x y
− ++ = −
− +− = −
163. Проверити да ли је уређен пар (–1, 1) решење система једначина
3x + 2y + 1 = 0
0,2x + 5 = y + 3,8.
164. Решити систем једначина
( )24 1 76 3 61 3 1.2 4
x yx
x y
−− − =
− +− = −
165. Pешити систем једначина
( )0,7 2 0,33 0,2 1,2.
2
x y xy x
= − +− = −
166. Решити систем једначина
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2
5 5 1 3 4
2 2 2 .
x x y x
x y y y y
− ⋅ + − − = +
+ − ⋅ + = −
167. Ако је 3 5 14x y+ = и 6x y− = , онда је x y+ једнако:
А) 0;
Б) 5;
В) 6;
Г) 7.
Заокружити слово испред тачног одговора.
168. Одредити линеарну функцију y = kx + n чији график садржи тачке А(–2, 0) и B(3, 2).
284. Како су троуглови ABC и ADC правоугли, за назначене углове α , β , γ важи:
54 90 ,α + ° = ° 54 90 ,β + ° = ° 90 ,α γ+ = °
па су тражени углови: 36 , 36 , 54α β γ= ° = ° = ° .
То такође значи да троуглови ADC и CDB имају исте углове. Тиме су они слични, па су њихове странице наспрам једнаких углова пропорционалне. Зато је:
2
: : ,4 : : 9
4 9.
AD CD CD BDCD CD
CD
==
= ⋅
Тражена дужина висине CD је 6 cm.h CD= =
285. Ако је c хипотенуза датог правоуглог троугла, на основу Питагорине теореме важи:
2 2 2 2 26 8 ,c a b= + = +
то јест 2 100c = , па је 10 cm.c = Зато, ако су a′ и b′ катете њему сличног троугла, тада мора бити:
a ca c′ ′
= и ,b cb c′ ′
=
то јест:
30 ,6 10a′
= 30 ,8 10b′
=
6 3,a′ = ⋅ 8 3.b′ = ⋅
Тражене катете a′ и b′ су 18 cma′ = и 24 cm.b′ =
286. Марко и његова сенка одређују један правоугли троугао са катетама 1,5 ma = и
0,5 mb = . На исти начин, јарбол и његова сенка одређују правоугли троугао са катетама a h′ = и 6 mb′ = , где је h висина тог јарбола.
Одговарајуће странице та два троугла су паралелне, па они имају исте углове. Зато су ти троуглови слични, па су њихове одговарајуће странице пропорционалне. Тиме је:
: ::1,5 6 : 0,5
0,5 6 1,51 9 / 22
18.
a a b bh
h
h
h
′ ′==
⋅ = ⋅
= ⋅
=
Тражена висина јарбола је 18 m.h =
0,5
1,56
h
Поступак обавезан Тачно постављена пропорција - 0,5 поена
284. Како су троуглови ABC и ADC правоугли, за назначене углове α , β , γ важи:
54 90 ,α + ° = ° 54 90 ,β + ° = ° 90 ,α γ+ = °
па су тражени углови: 36 , 36 , 54α β γ= ° = ° = ° .
То такође значи да троуглови ADC и CDB имају исте углове. Тиме су они слични, па су њихове странице наспрам једнаких углова пропорционалне. Зато је:
2
: : ,4 : : 9
4 9.
AD CD CD BDCD CD
CD
==
= ⋅
Тражена дужина висине CD је 6 cm.h CD= =
285. Ако је c хипотенуза датог правоуглог троугла, на основу Питагорине теореме важи:
2 2 2 2 26 8 ,c a b= + = +
то јест 2 100c = , па је 10 cm.c = Зато, ако су a′ и b′ катете њему сличног троугла, тада мора бити:
a ca c′ ′
= и ,b cb c′ ′
=
то јест:
30 ,6 10a′
= 30 ,8 10b′
=
6 3,a′ = ⋅ 8 3.b′ = ⋅
Тражене катете a′ и b′ су 18 cma′ = и 24 cm.b′ =
286. Марко и његова сенка одређују један правоугли троугао са катетама 1,5 ma = и
0,5 mb = . На исти начин, јарбол и његова сенка одређују правоугли троугао са катетама a h′ = и 6 mb′ = , где је h висина тог јарбола.
Одговарајуће странице та два троугла су паралелне, па они имају исте углове. Зато су ти троуглови слични, па су њихове одговарајуће странице пропорционалне. Тиме је:
: ::1,5 6 : 0,5
0,5 6 1,51 9 / 22
18.
a a b bh
h
h
h
′ ′==
⋅ = ⋅
= ⋅
=
Тражена висина јарбола је 18 m.h =
0,5
1,56
h
7. СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА СА ДВЕ НЕПОЗНАТЕ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
43
166. Применом формуле за разлику квадрата и поједностављивањем једначина, добија се:
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
5 5 1 3 4
2 2 2
25 1 3 42 2 2
3 4 262 2
3 302 2
102 10 2
102 12
106
x x y x
x y y y y
x y xx y y y y
x x yx y y y
yx y
yx
yx
yx
− ⋅ + − − = +
+ − ⋅ + = −
− − + = ++ − − = −
− + = +− − + =
=− =
=− =
==
==
Решење система је уређени пар (6, 10).
167. Да бисмо израчунали збир вредности добијених за x и y, решићемо систем једначина:
3 5 14
6
x y
x y
+ =
− = 5
3 5 145 5 30,
x yx y
⋅
+ =− =
сабирањем једначина добијамо 8 44,x = значи
448
x = .
Заменом добијене вредности за x у другој једначини добијамо
44 6,8
44 48 ,8 84 .8
y
y
y
− =
= −
= −
Дакле,
44 4 40 5.8 8 8
x y + = + − = =
Тачан је одговор под Б).
7. СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА СА ДВЕ НЕПОЗНАТЕ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
43
166. Применом формуле за разлику квадрата и поједностављивањем једначина, добија се:
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
5 5 1 3 4
2 2 2
25 1 3 42 2 2
3 4 262 2
3 302 2
102 10 2
102 12
106
x x y x
x y y y y
x y xx y y y y
x x yx y y y
yx y
yx
yx
yx
− ⋅ + − − = +
+ − ⋅ + = −
− − + = ++ − − = −
− + = +− − + =
=− =
=− =
==
==
Решење система је уређени пар (6, 10).
167. Да бисмо израчунали збир вредности добијених за x и y, решићемо систем једначина:
3 5 14
6
x y
x y
+ =
− = 5
3 5 145 5 30,
x yx y
⋅
+ =− =
сабирањем једначина добијамо 8 44,x = значи
448
x = .
Заменом добијене вредности за x у другој једначини добијамо
44 6,8
44 48 ,8 84 .8
y
y
y
− =
= −
= −
Дакле,
44 4 40 5.8 8 8
x y + = + − = =
Тачан је одговор под Б).
7. СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА СА ДВЕ НЕПОЗНАТЕ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
43
166. Применом формуле за разлику квадрата и поједностављивањем једначина, добија се:
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
5 5 1 3 4
2 2 2
25 1 3 42 2 2
3 4 262 2
3 302 2
102 10 2
102 12
106
x x y x
x y y y y
x y xx y y y y
x x yx y y y
yx y
yx
yx
yx
− ⋅ + − − = +
+ − ⋅ + = −
− − + = ++ − − = −
− + = +− − + =
=− =
=− =
==
==
Решење система је уређени пар (6, 10).
167. Да бисмо израчунали збир вредности добијених за x и y, решићемо систем једначина:
3 5 14
6
x y
x y
+ =
− = 5
3 5 145 5 30,
x yx y
⋅
+ =− =
сабирањем једначина добијамо 8 44,x = значи
448
x = .
Заменом добијене вредности за x у другој једначини добијамо
44 6,8
44 48 ,8 84 .8
y
y
y
− =
= −
= −
Дакле,
44 4 40 5.8 8 8
x y + = + − = =
Тачан је одговор под Б).
Поступак обавезан Тачно израчуната једна променљива - 0,5 поена
6
МАТЕМАТИКА ТЕСТ 2
Место за рад:
10.
11. КРУГ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
46
11. КРУГ 240. Одредити обим и површину круга полупречника r = 7cm (за број π узети приближну
вредност 3,14).
241. Површина квадрата је 12 cm2. Одредити површину круга који је описан око тог квадрата.
242. Одредити пречник и површину круга чији је обим 31,4 cm и π ≈ 3,14.
243. Дужина тетиве AB датог круга је 4 cm, а њено растојање од центра круга 1 cm. Одредити површину тог круга.
244. Тетиве AB и AC једног круга су ортогоналне и дужина 6 cm и 8 cm. Одредити полупречник и обим тог круга.
245. Дужина кружног лука AB једног круга је π cm, а централни угао над тим луком 15°. Одредити обим тог круга.
246. Ако су ознаке као на приложеном цртежу и ∠BAO = 50°, одредити назначене углове α и β.
247. Угао између две тетиве AB и AC једног круга је 60°. Ако је полупречник тог круга r = 6 cm и тачка O његов центар, одредити:
А) угао BOC;
Б) угао OBC;
В) дужину тетиве BC.
248. Обим круга је 62,8 cm. Колики је централни угао α који одговара кружном луку дужине 12,56 cm (π ≈ 3,14)?
14. ПРИЗМА И ПИРАМИДА ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
60
294. Дужина ивице коцке је 5 cm. Израчунати површину и запремину коцке.
295. Збир дужина свих ивица коцке је 24 cm. Одредити површину њеног дијагоналног пресека.
296. Дужине ивица квадра су 3 cm, 4 cm и 12 cm. Одредити површину тог квадра и дужину његове дијагонале.
297. Одредити површину квадра који је, као на приложеном цртежу, састављен од четири једнаке коцке ивице a = 2 cm.
298. Колико је потребно квадратних метара картона да се направи кутија облика квадра чије су димназије 50 cm, 40 cm и 45 cm?
299. Површина базе правилне четворостране призме је 49 cm2, а висина призме је 3 cm. Израчунати површину призме.
300. Дијагонала основе правилне четворостране призме је 5 cm, а висина призме је 12 cm. Израчунати запремину призме.
301. Основа четворостране призме је ромб чије су дијагонале дужине 16 cm и 12 cm. Израчунати површину призме ако је њена висина 4 cm.
302. Дијагонала правилне четворостране призме нагнута је према равни основе под углом од 60º. Ако је дијагонала основе 6 2 cm, израчунати запремину призме.
303. Израчунати запремину правилне тростране призме чија је основна ивица 9 cm, а дијагонала бочне стране је 15 cm.
1
1
9.
Место за рад:
11. КРУГ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
70
244. Дати круг је описан око правоуглог троугла ABC , па његов центар S мора бити средиште хипотенузе BC . Зато, ако је r полупречник тог круга, биће 2r BC= , па на основу Питагорине теореме важи:
( )
2 2 2
2 2 2
2
2
,
2 6 8 ,
4 100,25.
BC AB AC
r
rr
= +
= +
==
Тражени полупречник датог круга је 5 cmr = , а његов обим 2 ,O rπ= то јест 10 cm.O π=
245. Нека је r полупречник и O обим тог круга. Дужина његовог лука који одговара централном углу α је:
2360 360
r Ol π α α= ⋅ = ⋅° °
.
За cml π= и 15α = ° , та се формула своди на:
15 ,
360
,24
O
O
π
π
= ⋅ °°
=
па је тражени обим круга 24 cm.O π=
246. Троугао OAB је једнакокраки, па је и 50ABO = ° . При том је збир углова у том троуглу једнак 180° , па из
50 50 180α + ° + ° = °
следи да је 80α = ° .
Угао β је периферијски, а угао α централни угао над истим луком AB. Зато је 2α β= , то јест 2 80β = ° . Тражени углови су 80α = ° и 40β = ° .
247. А) Угао BOC је централни, а угао BAC периферијски над истим луком BC. Зато је:
2 2 60BOC BAC= ⋅ = ⋅ ° ,
то јест 120BOC = ° .
Б) Како је OB OC r= = , троугао OBC је једнакокраки. Зато су углови на његовој основици једнаки: OBC OCB= . Збир углова у том троуглу је 180° , па је:
244. Дати круг је описан око правоуглог троугла ABC , па његов центар S мора бити средиште хипотенузе BC . Зато, ако је r полупречник тог круга, биће 2r BC= , па на основу Питагорине теореме важи:
( )
2 2 2
2 2 2
2
2
,
2 6 8 ,
4 100,25.
BC AB AC
r
rr
= +
= +
==
Тражени полупречник датог круга је 5 cmr = , а његов обим 2 ,O rπ= то јест 10 cm.O π=
245. Нека је r полупречник и O обим тог круга. Дужина његовог лука који одговара централном углу α је:
2360 360
r Ol π α α= ⋅ = ⋅° °
.
За cml π= и 15α = ° , та се формула своди на:
15 ,
360
,24
O
O
π
π
= ⋅ °°
=
па је тражени обим круга 24 cm.O π=
246. Троугао OAB је једнакокраки, па је и 50ABO = ° . При том је збир углова у том троуглу једнак 180° , па из
50 50 180α + ° + ° = °
следи да је 80α = ° .
Угао β је периферијски, а угао α централни угао над истим луком AB. Зато је 2α β= , то јест 2 80β = ° . Тражени углови су 80α = ° и 40β = ° .
247. А) Угао BOC је централни, а угао BAC периферијски над истим луком BC. Зато је:
2 2 60BOC BAC= ⋅ = ⋅ ° ,
то јест 120BOC = ° .
Б) Како је OB OC r= = , троугао OBC је једнакокраки. Зато су углови на његовој основици једнаки: OBC OCB= . Збир углова у том троуглу је 180° , па је:
180 ,
2 120 180 ,2 60 .
OBC OCB BOCOBCOBC
+ + = °⋅ + ° = °⋅ = °
Тражени угао је 30OBC = ° .
B
C
S
A
Поступак обавезан(Уколико ученик упише све углове
на цртежу признати и то као поступак) Тачно израчунат угао α - 0,5 поенаТачно израчунат угао β - 0,5 поена
11. КРУГ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
70
244. Дати круг је описан око правоуглог троугла ABC , па његов центар S мора бити средиште хипотенузе BC . Зато, ако је r полупречник тог круга, биће 2r BC= , па на основу Питагорине теореме важи:
( )
2 2 2
2 2 2
2
2
,
2 6 8 ,
4 100,25.
BC AB AC
r
rr
= +
= +
==
Тражени полупречник датог круга је 5 cmr = , а његов обим 2 ,O rπ= то јест 10 cm.O π=
245. Нека је r полупречник и O обим тог круга. Дужина његовог лука који одговара централном углу α је:
2360 360
r Ol π α α= ⋅ = ⋅° °
.
За cml π= и 15α = ° , та се формула своди на:
15 ,
360
,24
O
O
π
π
= ⋅ °°
=
па је тражени обим круга 24 cm.O π=
246. Троугао OAB је једнакокраки, па је и 50ABO = ° . При том је збир углова у том троуглу једнак 180° , па из
50 50 180α + ° + ° = °
следи да је 80α = ° .
Угао β је периферијски, а угао α централни угао над истим луком AB. Зато је 2α β= , то јест 2 80β = ° . Тражени углови су 80α = ° и 40β = ° .
247. А) Угао BOC је централни, а угао BAC периферијски над истим луком BC. Зато је:
2 2 60BOC BAC= ⋅ = ⋅ ° ,
то јест 120BOC = ° .
Б) Како је OB OC r= = , троугао OBC је једнакокраки. Зато су углови на његовој основици једнаки: OBC OCB= . Збир углова у том троуглу је 180° , па је:
180 ,
2 120 180 ,2 60 .
OBC OCB BOCOBCOBC
+ + = °⋅ + ° = °⋅ = °
Тражени угао је 30OBC = ° .
B
C
S
A
11. КРУГ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
70
244. Дати круг је описан око правоуглог троугла ABC , па његов центар S мора бити средиште хипотенузе BC . Зато, ако је r полупречник тог круга, биће 2r BC= , па на основу Питагорине теореме важи:
( )
2 2 2
2 2 2
2
2
,
2 6 8 ,
4 100,25.
BC AB AC
r
rr
= +
= +
==
Тражени полупречник датог круга је 5 cmr = , а његов обим 2 ,O rπ= то јест 10 cm.O π=
245. Нека је r полупречник и O обим тог круга. Дужина његовог лука који одговара централном углу α је:
2360 360
r Ol π α α= ⋅ = ⋅° °
.
За cml π= и 15α = ° , та се формула своди на:
15 ,
360
,24
O
O
π
π
= ⋅ °°
=
па је тражени обим круга 24 cm.O π=
246. Троугао OAB је једнакокраки, па је и 50ABO = ° . При том је збир углова у том троуглу једнак 180° , па из
50 50 180α + ° + ° = °
следи да је 80α = ° .
Угао β је периферијски, а угао α централни угао над истим луком AB. Зато је 2α β= , то јест 2 80β = ° . Тражени углови су 80α = ° и 40β = ° .
247. А) Угао BOC је централни, а угао BAC периферијски над истим луком BC. Зато је:
2 2 60BOC BAC= ⋅ = ⋅ ° ,
то јест 120BOC = ° .
Б) Како је OB OC r= = , троугао OBC је једнакокраки. Зато су углови на његовој основици једнаки: OBC OCB= . Збир углова у том троуглу је 180° , па је:
180 ,
2 120 180 ,2 60 .
OBC OCB BOCOBCOBC
+ + = °⋅ + ° = °⋅ = °
Тражени угао је 30OBC = ° .
B
C
S
A
14. ПРИЗМА И ПИРАМИДА ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
89
298. Ако су a , b и c ивице квадра и ако је 50 cm 0,5 ma = = , 40 cm 0,4 mb = = и 45 cm 0,45 mc = = , тада је тражена површина:
( )( )( )
2
2 ,
2 0,5 0,4 0,5 0,45 0,4 0,45 ,
2 0,2 0,225 0,18 ,2 0,605,1, 21 m .
P ab ac bc
P
PPP
= ⋅ + +
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅
= ⋅ + += ⋅=
Значи, потребно је 21, 21 m картона да се направи кутија датих димензија.
299. База правилне четворостране призме је квадрат (видети цртеж), па из 2B a= то јест 249 ,a= добијамо 7 cma = . Како је њена висина 3 cmH = , тражена површина
призме је:
2
2
2 ,2 4 ,2 49 4 7 3,98 84,182 cm .
P B MP a a HPPP
= += + ⋅ ⋅= ⋅ + ⋅ ⋅= +=
300. Дијагонала основе правилне четворостране призме је 2d a= (видети цртеж), па је зато:
5 2 ,
5 2 ,2 2
a
a
=
= ⋅
то јест 5 2 cm2
a = .
Како је висина призме 12 cmH = , биће:
2
2
3
,,
5 2 12,2
25 2 12,4
150 cm .
V B HV a H
V
V
V
= ⋅= ⋅
= ⋅
⋅= ⋅
=
a
a
H
a
a
H
d
14. ПРИЗМА И ПИРАМИДА ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
89
298. Ако су a , b и c ивице квадра и ако је 50 cm 0,5 ma = = , 40 cm 0,4 mb = = и 45 cm 0,45 mc = = , тада је тражена површина:
( )( )( )
2
2 ,
2 0,5 0,4 0,5 0,45 0,4 0,45 ,
2 0,2 0,225 0,18 ,2 0,605,1,21 m .
P ab ac bc
P
PPP
= ⋅ + +
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅
= ⋅ + += ⋅=
Значи, потребно је 21, 21 m картона да се направи кутија датих димензија.
299. База правилне четворостране призме је квадрат (видети цртеж), па из 2B a= то јест 249 ,a= добијамо 7 cma = . Како је њена висина 3 cmH = , тражена површина
призме је:
2
2
2 ,2 4 ,2 49 4 7 3,98 84,182 cm .
P B MP a a HPPP
= += + ⋅ ⋅= ⋅ + ⋅ ⋅= +=
300. Дијагонала основе правилне четворостране призме је 2d a= (видети цртеж), па је зато:
5 2 ,
5 2 ,2 2
a
a
=
= ⋅
то јест 5 2 cm2
a = .
Како је висина призме 12 cmH = , биће:
2
2
3
,,
5 2 12,2
25 2 12,4
150 cm .
V B HV a H
V
V
V
= ⋅= ⋅
= ⋅
⋅= ⋅
=
a
a
H
a
a
H
d
Поступак обавезанТачно израчуната основна ивица призме - 0,5 поена
Тачно израчунат површина призме - 0,5 поена
7
МАТЕМАТИКА ТЕСТ 2
Место за рад:
11.
14. ПРИЗМА И ПИРАМИДА ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
61
304. Површина основе правилне тростране призме је 36 3 cm2, а висина призме је 8 cm. Израчунати површину призме.
305. Одредити запремину тавана куће ако су подаци као на приложеном цртежу.
306. Основа тростране призме је правоугли троугао чије су катете 15 cm и 20 cm, а највећа бочна страна призме је квадрат. Израчунати површину призме.
307. У акваријум облика квадра може да стане 200 литара воде. Одредити његову висину ако се зна да је његова дужина 80 cm, а ширина 50 cm.
308. Израчунати запремину правилне шестостране призме чија је основна ивица 3 cm, а дијагонала бочне стране је 6 cm.
309. Дата је правилна шестострана призма (видети цртеж), основне ивице 2 3 cm и висине 52 cm. Израчунати површину правоугаоника ACD1F1.
310. Израчунати површину и запремину правилне четворостране пирамиде чија је основна ивица 12 cm, а висина пирамиде је 8 cm.
311. Израчунати површину правилне четворостране пирамиде ако је висина пирамиде 15 cm, а запремина 1280 cm3.
312. Израчунати запремину правилне четворостране пирамиде ако је основна ивица 24 cm, а апотема 20 cm.
313. Израчунати запремину правилне четворостране пирамиде ако је њена основна ивица a = 8 cm и ако је површина једне њене бочне стране 20 cm2.
S
A B
D
H
O
C
a
1,5
14. ПРИЗМА И ПИРАМИДА ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
94
311. Запремина правилне четворостране пирамиде је 213
V a H= ⋅ ⋅ , а како је 31280 cmV =
и 15 cmH = добијамо:
2
2
2
11280 15,3
1280 3 ,15
256,16 cm.
a
a
aa
= ⋅ ⋅
⋅=
==
Применом Питагорине теореме на троугао OPS (видети цртеж), добијамо апотему h :
22 2
2
2
,2
225 64,289,
17 cm.
ah H
hhh
= +
= +=
=
Тражена површина је:
2
2
,
4 ,2
256 2 16 17,800 cm .
P B Ma hP a
PP
= +⋅= + ⋅
= + ⋅ ⋅=
312. Применом Питагорине теореме на троугао OPS (видети цртеж), добијамо висину H пирамиде:
22 2
2 2 2
2
,2
20 12 ,256,
16 cm.
aH h
HHH
= −
= −=
=
Тражена запремина је:
2
3
,3
,3
576 16 ,3
3072 cm .
B HV
a HV
V
V
⋅=
⋅=
⋅=
=
a
hH
a2 PO
D C
BA
S
a
hH
a2 PO
D C
BA
S
Поступак обавезанТачно израчуната висина H пирамиде - 1 поен
Тачно израчуната запремина пирамиде - 0,5 поена
14. ПРИЗМА И ПИРАМИДА ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
94
311. Запремина правилне четворостране пирамиде је 213
V a H= ⋅ ⋅ , а како је 31280 cmV =
и 15 cmH = добијамо:
2
2
2
11280 15,3
1280 3 ,15
256,16 cm.
a
a
aa
= ⋅ ⋅
⋅=
==
Применом Питагорине теореме на троугао OPS (видети цртеж), добијамо апотему h :
22 2
2
2
,2
225 64,289,
17 cm.
ah H
hhh
= +
= +=
=
Тражена површина је:
2
2
,
4 ,2
256 2 16 17,800 cm .
P B Ma hP a
PP
= +⋅= + ⋅
= + ⋅ ⋅=
312. Применом Питагорине теореме на троугао OPS (видети цртеж), добијамо висину H пирамиде:
22 2
2 2 2
2
,2
20 12 ,256,
16 cm.
aH h
HHH
= −
= −=
=
Тражена запремина је:
2
3
,3
,3
576 16 ,3
3072 cm .
B HV
a HV
V
V
⋅=
⋅=
⋅=
=
a
hH
a2 PO
D C
BA
S
a
hH
a2 PO
D C
BA
S
8
МАТЕМАТИКА ТЕСТ 2
Место за рад:
12.
15. ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
65
337. Површина праве купе је 90π cm2, а површина основе је 25π cm2. Израчунати запремину купе.
338. Ако је дужина пречника праве купе 18 cm, а површина купе је 216π cm2, израчунати површину осног пресека купе.
339. Израчунати површину праве купе ако се зна да је њен осни пресек једнакостранични троугао површине 16 3 cm2.
340. Основа пирамиде је квадрат странице 6 2 cm, а основа купе је круг описан око тог квадрата. Ако су им висине 8 cm, одредити однос њихових запремина.
341. Обим основе праве купе је 36π cm. Изводница купе нагнута је према равни основе под углом од 45º. Израчунати:
А) површину купе;
Б) запремину купе.
342. Гомила песка има облик купе чији је обим основе 8π m, а висина 3 m. Колико кубних метара песка има у тој гомили?
343. Полупречник лопте је 3 cm. Израчунати површину и запремину лопте.
344. Запремина лопте је 4 π3
cm3. Одредити површину лопте.
345. Пречник лопте је 16 cm. Одредити површину и запремину лопте.
346. Обим великог круга лопте је 36π cm. Израчунати запремину лопте.
347. Полупречник лопте је 4 cm. Ако се полупречник повећа за 3 cm, за колико ће се повећати површина лопте?
348. Посуда облика ваљка, полупречника основе r = 5 cm, испуњена је водом до 1112
њене
висине. Ако се у ту посуду потопи лопта полупречника 0r = 2,5 cm, ниво воде достиже тачно врх те посуде. Колика је њена висина H?
349. Пречник лопте од пластелина је 8 cm. Aко се од те лопте направи купа чији је пречник основе једнак пречнику лопте, колика је висина те купе?
350. За бојење дрвене кугле пречника 16 cm утрошено је 32g боје. Колико је боје потребно за бојење 10 кугли пречника 2 dm?
A BO
S
s
r
45O
45O
1,5
15. ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
108
Изводница s купе је дијагонала квадрата OBDS , па је 18 2 cm.s =
А) Тражена површина је:
( )
2
2
2
,
18 18 18 2,
324 1 2 cm .
P r r s
P
P
π ππ π
π
= +
= + ⋅ ⋅
= +
Б) Тражена запремина је:
2
2
3
1 ,31 18 18,31944 cm .
V r H
V
V
π
π
π
= ⋅
= ⋅ ⋅
=
342. Обим основе купе је 8 mO π= , па добијамо 8 2 ,rπ π= то јест 4 m.r = Тражена запремина је
2
2
3
,3
,3
4 3 ,3
16 m .
B HV
r HV
V
V
π
π
π
⋅=
⋅=
⋅=
=
Значи, у тој гомили има 316 mπ песка.
343. Тражена површина је:
2
2
2
4 ,4 3 ,36 cm .
P rPP
ππ
π
== ⋅ ⋅=
Тражена запремина је:
3
3
3
4 ,34 3 ,336 cm .
V r
V
V
π
π
π
=
= ⋅ ⋅
=
H = r
O B
S D
s
45O
45O
Поступак обавезанТачно израчунат полупречник основе купе - 0,5 поена
Тачно израчуната запремина купе - 1 поен
15. ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
108
Изводница s купе је дијагонала квадрата OBDS , па је 18 2 cm.s =
А) Тражена површина је:
( )
2
2
2
,
18 18 18 2,
324 1 2 cm .
P r r s
P
P
π ππ π
π
= +
= + ⋅ ⋅
= +
Б) Тражена запремина је:
2
2
3
1 ,31 18 18,31944 cm .
V r H
V
V
π
π
π
= ⋅
= ⋅ ⋅
=
342. Обим основе купе је 8 mO π= , па добијамо 8 2 ,rπ π= то јест 4 m.r = Тражена запремина је
Одавде је 6cmBS = , па се из правоуглог троугла ABS добија:
2 2 2
2 2 2
2
2
,5 6 ,25 36,61,
61 cm.
AS AB BSASASAS
d AS
= += += +=
= =
187. Нека су P и Q тачке у којима круг k додирује краке p и q правог угла pOq. Тада су у четвороуглу OPSQ углови са теменима O, P и Q прави, па и његов четврти угао мора бити прав: 360 90 90 90 90PSQ = ° − ° − ° − ° = ° . Зато је тај четвороугао правоугаоник. При томе су његове суседне странице SP и SQ подударне (као полупречници r круга k) па је тај правоугаоник квадрат странице r. Дијагонала квадрата OPSQ је 6 cmd OS= = , па из 2d r= следи да је
6 6 2 3 3
22r = = = .
Тражени полупречник круга k је 3 2 cmr = . 188. Према приложеном цртежу, висина лествица је висина x једнакокраког трапеза са
основицама 1,6 ma = , 0, 4 mb = и краком 1 mc = . Зато, на основу Питагорине теореме, важи:
22 2
22 2
2 2
2
2
,2
1,2 1 ,2
1 0,6 ,1 0,36,0,64,
a bx c
x
xxx
− + =
+ =
= −= −=
то јест 0,8 mx = . Највећа висина коју Милан може досегнути ако се попне на лествице је 2h x= + , то јест 2,8 mh = .
x c
b
c
a
Место за рад:
Место за рад:
14.
13.
6. ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ СА ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
8. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА 181. А) Једна катета правоуглог троугла је 5 cm, а његова хипотенуза c = 13 cm. Одредити
њeгову другу катету.
Б) Катете правоуглог троугла су a = 9 cm и b = 12 cm. Одредити његову хипотенузу.
182. Површина правоуглог троугла је 24 cm2, а једна од његових катета a = 8 cm. Одредити:
1) другу катету тог троугла,
2) обим тог троугла.
183. Катете правоуглог троугла су a = 9 cm и b = 12 cm. Одредити његову површину Pи висину h која одговара хипотенузи.
184. Странице правоугаоника ABCD су 8 cm и 6 cm. Одредити растојање тачке B од праве која садржи тачке A и C.
185. Висина која одговара основици једнакокраког троугла je h = 12 cm, а његов крак b = 13 cm. Одредити:
1) основицу тог троугла,
2) висину која одговара краку тог троугла.
186. Ако су подаци као на приложеном цртежу, одредити растојање d између тачке A и средишта S дужи BC.
187. Круг k са центром у тачки S додирује краке p и q правог угла pOq. Ако је OS = 6 cm, одредити полупречник тог круга k.
188. Стојећи на поду, Милан може да досегне висину од највише 2 m. Коју највећу висину Милан може досегнути ако се попне на лествице чије су димензије као на цртежу?
8. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА 181. А) Једна катета правоуглог троугла је 5 cm, а његова хипотенуза c = 13 cm. Одредити
њeгову другу катету.
Б) Катете правоуглог троугла су a = 9 cm и b = 12 cm. Одредити његову хипотенузу.
182. Површина правоуглог троугла је 24 cm2, а једна од његових катета a = 8 cm. Одредити:
1) другу катету тог троугла,
2) обим тог троугла.
183. Катете правоуглог троугла су a = 9 cm и b = 12 cm. Одредити његову површину Pи висину h која одговара хипотенузи.
184. Странице правоугаоника ABCD су 8 cm и 6 cm. Одредити растојање тачке B од праве која садржи тачке A и C.
185. Висина која одговара основици једнакокраког троугла je h = 12 cm, а његов крак b = 13 cm. Одредити:
1) основицу тог троугла,
2) висину која одговара краку тог троугла.
186. Ако су подаци као на приложеном цртежу, одредити растојање d између тачке A и средишта S дужи BC.
187. Круг k са центром у тачки S додирује краке p и q правог угла pOq. Ако је OS = 6 cm, одредити полупречник тог круга k.
188. Стојећи на поду, Милан може да досегне висину од највише 2 m. Коју највећу висину Милан може досегнути ако се попне на лествице чије су димензије као на цртежу?
1,6 m
0,4 m
1 m
5 cm 13 cm
A
B CS
6. ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ СА ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
32
137. Ако су n, n + 1, n + 2 и n + 3 четири узастопна природна броја, тада је:
1 2 3 1014,4 6 1014,4 1008,
252.
n n n nnn
n
Значи, тражени бројеви су 252, 253, 254 и 255.
138. Ако је x тражени број ученика у одељењу, тада је:
3 447 7
x x 7
3 28 4 ,28.
x xx
Број ученика у одељењу је 28.
139. После x година мајка ће имати 30 + x, а син 6 + x година. Према услову задатка важи:
30 4 6 ,30 24 4 ,
4 24 30,3 6,
2.
x xx x
x xx
x
Мајка ће бити четири пута старија од сина за 2 године.
140. Ако је s дужина пута, тада је:
1 13005 2
s s 10
3000 2 5 ,1000 m 1 km.
s ss
Дужина пута је 1000 m, то јест 1 km.
141. Ако са b означимо крак једнакокраког троугла, а са h висину која одговара основици, према услову задатка следи да је b = h + 2 cm. Троугао DBC је правоугли (видети цртеж) па на основу Питагорине теореме важи:
2 2 2
2 2 2
6 ,
2 6 .
b h
h h
Применом формуле за квадрат бинома добијамо:
2 2
2 2
4 4 36,4 4 36,
4 32,8 cm.
h h hh h h
hh
Висина троугла је 8 cmh .
h b
6
C
D BA 6
6. ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ СА ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
32
137. Ако су n, n + 1, n + 2 и n + 3 четири узастопна природна броја, тада је:
1 2 3 1014,4 6 1014,4 1008,
252.
n n n nnn
n
Значи, тражени бројеви су 252, 253, 254 и 255.
138. Ако је x тражени број ученика у одељењу, тада је:
3 447 7
x x 7
3 28 4 ,28.
x xx
Број ученика у одељењу је 28.
139. После x година мајка ће имати 30 + x, а син 6 + x година. Према услову задатка важи:
30 4 6 ,30 24 4 ,
4 24 30,3 6,
2.
x xx x
x xx
x
Мајка ће бити четири пута старија од сина за 2 године.
140. Ако је s дужина пута, тада је:
1 13005 2
s s 10
3000 2 5 ,1000 m 1 km.
s ss
Дужина пута је 1000 m, то јест 1 km.
141. Ако са b означимо крак једнакокраког троугла, а са h висину која одговара основици, према услову задатка следи да је b = h + 2 cm. Троугао DBC је правоугли (видети цртеж) па на основу Питагорине теореме важи:
2 2 2
2 2 2
6 ,
2 6 .
b h
h h
Применом формуле за квадрат бинома добијамо:
2 2
2 2
4 4 36,4 4 36,
4 32,8 cm.
h h hh h h
hh
Висина троугла је 8 cmh .
h b
6
C
D BA 6
Поступак обавезан Тачно постављена једначина - 0,5 поена
Одавде је 6cmBS = , па се из правоуглог троугла ABS добија:
2 2 2
2 2 2
2
2
,5 6 ,25 36,61,
61 cm.
AS AB BSASASAS
d AS
= += += +=
= =
187. Нека су P и Q тачке у којима круг k додирује краке p и q правог угла pOq. Тада су у четвороуглу OPSQ углови са теменима O, P и Q прави, па и његов четврти угао мора бити прав: 360 90 90 90 90PSQ = ° − ° − ° − ° = ° . Зато је тај четвороугао правоугаоник. При томе су његове суседне странице SP и SQ подударне (као полупречници r круга k) па је тај правоугаоник квадрат странице r. Дијагонала квадрата OPSQ је 6 cmd OS= = , па из 2d r= следи да је
6 6 2 3 3
22r = = = .
Тражени полупречник круга k је 3 2 cmr = . 188. Према приложеном цртежу, висина лествица је висина x једнакокраког трапеза са
основицама 1,6 ma = , 0, 4 mb = и краком 1 mc = . Зато, на основу Питагорине теореме, важи:
22 2
22 2
2 2
2
2
,2
1,2 1 ,2
1 0,6 ,1 0,36,0,64,
a bx c
x
xxx
− + =
+ =
= −= −=
то јест 0,8 mx = . Највећа висина коју Милан може досегнути ако се попне на лествице је 2h x= + , то јест 2,8 mh = .
x c
b
c
a
Поступак обавезанТачно израчуната катета BC - 0,5 поена
Тачно израчунато одстојање d = AS - 0,5 поена
10
МАТЕМАТИКА ТЕСТ 2
15.
11. КРУГ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
48
255. Кругови k(O, R) и k1(S, r) се доди-
рују споља. Права p додирује те кругове у тачкама A и B. Ако је R = 9 cm и r = 3 cm, одредити AB.
256. Пречници кругова k1 и k2 су дијагонале AC и BD ромба ABCD чија је страница a = 5 cm. Одредити збир површина та два круга.
257. Над катетама правоуглог троугла ABC су конструисани једнакостранични троуглови чије су површине Pa = 64 3 cm2 и Pb = 36 3 cm2. Одредити површину круга који је описан око троугла ABC.
258. Површина датог квадрата ABCD је 144 cm2. Одредити површину круга k чији је центар средиште S тог квадрата и који његову страницу AB дели на три једнака дела.
259. Круг k је описан око правилног шестоугла ABCDEF странице 6 cm, а круг k0 уписан у троугао АCЕ. Одредити површину њиховог кружног прстена.
B
S
A
CD1,5
Место за рад:
11. КРУГ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
75
257. Ако су Pa и Pb површине једнакостраничних троуглова са страницама a BC= и b AC= , тада важи:
2 2
2
3 34 4
64 3 34
a ba bP P
a
= =
=2
: 3 36 3 34b=
2
: 3
644a=
2
4 364b⋅ =
2 2
4
4 64 256, 4 36 144.a b
⋅
= ⋅ = = ⋅ =
Како је троугао ABC правоугли и са хипотенузом AB, на основу Питагорине теореме важи:
2 2 2
2 2 2
2
2
,,
256 144,400,
20 cm.
= += += +=
=
AB BC ACAB a bABABAB
Хипотенуза правоуглог троугла ABC је пречник 2r његовог описаног круга. Зато је:
2 ,
20 2 ,10 cm.
==
=
AB rr
r
Површина круга полупречника 10 cm=r је 2 210P r π π= = . Тражена површина круга описаног око троугла ABC је 2100 cmπ=P .
258. Нека је а страница посматраног квадрата. Како је 2 144a = , то је 12 cm.a = Означимо са M и N тачке у којима круг k сече страницу AB и са T средиште те странице. Тада је
2aST = и 1 1 1
2 3 6MT a a= ⋅ = .
Троугао MTS је правоугли, па за полупречник r круга k важи:
2 22
2 2 2
2
,2 6
6 2 ,40.
a ar
rr
= +
= +=
Површина круга k је:
2
2
,40 cm .
P rP
ππ
==
B
S
A
r a—2a—6
MT
N
CD
11. КРУГ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
75
257. Ако су Pa и Pb површине једнакостраничних троуглова са страницама a BC= и b AC= , тада важи:
2 2
2
3 34 4
64 3 34
a ba bP P
a
= =
=2
: 3 36 3 34b=
2
: 3
644a=
2
4 364b⋅ =
2 2
4
4 64 256, 4 36 144.a b
⋅
= ⋅ = = ⋅ =
Како је троугао ABC правоугли и са хипотенузом AB, на основу Питагорине теореме важи:
2 2 2
2 2 2
2
2
,,
256 144,400,
20 cm.
= += += +=
=
AB BC ACAB a bABABAB
Хипотенуза правоуглог троугла ABC је пречник 2r његовог описаног круга. Зато је:
2 ,
20 2 ,10 cm.
==
=
AB rr
r
Површина круга полупречника 10 cm=r је 2 210P r π π= = . Тражена површина круга описаног око троугла ABC је 2100 cmπ=P .
258. Нека је а страница посматраног квадрата. Како је 2 144a = , то је 12 cm.a = Означимо са M и N тачке у којима круг k сече страницу AB и са T средиште те странице. Тада је
2aST = и 1 1 1
2 3 6MT a a= ⋅ = .
Троугао MTS је правоугли, па за полупречник r круга k важи:
2 22
2 2 2
2
,2 6
6 2 ,40.
a ar
rr
= +
= +=
Површина круга k је:
2
2
,40 cm .
P rP
ππ
==
B
S
A
r a—2a—6
MT
N
CD
Поступак обавезан Тачно израчуната страница квадрата - 0,5 поенаТачно израчунат полупречник круга - 0,5 поенаТачно израчуната површина круга - 0,5 поена
11
МАТЕМАТИКА ТЕСТ 2
Место за рад:
16.
14. ПРИЗМА И ПИРАМИДА ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
60
294. Дужина ивице коцке је 5 cm. Израчунати површину и запремину коцке.
295. Збир дужина свих ивица коцке је 24 cm. Одредити површину њеног дијагоналног пресека.
296. Дужине ивица квадра су 3 cm, 4 cm и 12 cm. Одредити површину тог квадра и дужину његове дијагонале.
297. Одредити површину квадра који је, као на приложеном цртежу, састављен од четири једнаке коцке ивице a = 2 cm.
298. Колико је потребно квадратних метара картона да се направи кутија облика квадра чије су димназије 50 cm, 40 cm и 45 cm?
299. Површина базе правилне четворостране призме је 49 cm2, а висина призме је 3 cm. Израчунати површину призме.
300. Дијагонала основе правилне четворостране призме је 5 cm, а висина призме је 12 cm. Израчунати запремину призме.
301. Основа четворостране призме је ромб чије су дијагонале дужине 16 cm и 12 cm. Израчунати површину призме ако је њена висина 4 cm.
302. Дијагонала правилне четворостране призме нагнута је према равни основе под углом од 60º. Ако је дијагонала основе 6 2 cm, израчунати запремину призме.
303. Израчунати запремину правилне тростране призме чија је основна ивица 9 cm, а дијагонала бочне стране је 15 cm.
1,5
14. ПРИЗМА И ПИРАМИДА ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
90
301. Применом Питагорине теореме на троугао ABO (видети цртеж), добијамо основну ивицу a призме:
2 22 1 2
2 2 2
2
,2 2
8 6 ,100,
10 cm.
d da
aaa
= +
= +=
=
Како је висина призме 4 cmH = , тражена површина је:
1 2
2
2 ,
2 4 ,2
16 12 4 10 4,352 cm .
P B Md dP aH
PP
= +
= ⋅ +
= ⋅ + ⋅ ⋅=
302. Троугао 1ACC је правоугли са једним углом од 60° , а троугао 1AEC је једнакостранични (видети други цртеж), па је његова страница 2AE d= , односно 12 2 cmAE = . Висина призме H је висина троугла 1AEC па ће бити:
3 ,2
12 2 3 ,2
6 6 cm.
AEH
H
H
⋅=
⋅=
=
Како је дијагонала основе 2d a= , биће:
6 2 2,6 cm.
aa
==
Тражена запремина је:
2
3
,,
36 6 6
216 6 cm .
V B HV a H
V
V
= ⋅= ⋅
= ⋅
=
a
a
H
D
C1D1
B1A1
2
d1
2O
C
BA
d2
H
dd
C1
30°
60°
30°
60°CA E
a
H
a
D
30°
60°
D1 C1
B1A1
BA
C
14. ПРИЗМА И ПИРАМИДА ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
90
301. Применом Питагорине теореме на троугао ABO (видети цртеж), добијамо основну ивицу a призме:
2 22 1 2
2 2 2
2
,2 2
8 6 ,100,
10 cm.
d da
aaa
= +
= +=
=
Како је висина призме 4 cmH = , тражена површина је:
1 2
2
2 ,
2 4 ,2
16 12 4 10 4,352 cm .
P B Md dP aH
PP
= +
= ⋅ +
= ⋅ + ⋅ ⋅=
302. Троугао 1ACC је правоугли са једним углом од 60° , а троугао 1AEC је једнакостранични (видети други цртеж), па је његова страница 2AE d= , односно 12 2 cmAE = . Висина призме H је висина троугла 1AEC па ће бити:
3 ,2
12 2 3 ,2
6 6 cm.
AEH
H
H
⋅=
⋅=
=
Како је дијагонала основе 2d a= , биће:
6 2 2,6 cm.
aa
==
Тражена запремина је:
2
3
,,
36 6 6
216 6 cm .
V B HV a H
V
V
= ⋅= ⋅
= ⋅
=
a
a
H
D
C1D1
B1A1
2
d1
2O
C
BA
d2
H
dd
C1
30°
60°
30°
60°CA E
a
H
a
D
30°
60°
D1 C1
B1A1
BA
C
Поступак обавезан Тачно израчуната висина H призме - 0,5 поена
Тачно израчуната основна ивица a призме - 0,5 поенаТачно израчуната запремина призме - 0,5 поена
268. Ако делове кругова са центрима у тачкама C и D преместимо (као на слици) површина осенчене фигуре биће једнака збиру површина квадрата и круга, то јест:
( )2 2 2144 36 36 4 cmP a r π π π= + = + = + .
Доњи део осенчене фигуре је начињен од два кружна лука центалног угла од 90°. Ако та два лука пресликамо као на слици, видимо да је обим осенчене фигуре једнак збиру обима два круга полупречника r , то јест:
2 2 24 cm.O rπ π= ⋅ =
269. Уочимо, прво, да је 120ASB = ° (видети цртеж). Наиме, збир углова делтоида OASB је 360° , а углови код темена A и B су прави, па је:
( )360 90 90 60 120ASB = ° − ° + ° + ° = ° .
С друге стране, површина делтоида OASB једнака је површини једнакостраничног троугла 1OB S странице 24 cm. Тражена површина једнака је разлици површина делтоида и кружног исечка са централним углом 120° :
268. Ако делове кругова са центрима у тачкама C и D преместимо (као на слици) површина осенчене фигуре биће једнака збиру површина квадрата и круга, то јест:
( )2 2 2144 36 36 4 cmP a r π π π= + = + = + .
Доњи део осенчене фигуре је начињен од два кружна лука центалног угла од 90°. Ако та два лука пресликамо као на слици, видимо да је обим осенчене фигуре једнак збиру обима два круга полупречника r , то јест:
2 2 24 cm.O rπ π= ⋅ =
269. Уочимо, прво, да је 120ASB = ° (видети цртеж). Наиме, збир углова делтоида OASB је 360° , а углови код темена A и B су прави, па је:
( )360 90 90 60 120ASB = ° − ° + ° + ° = ° .
С друге стране, површина делтоида OASB једнака је површини једнакостраничног троугла 1OB S странице 24 cm. Тражена површина једнака је разлици површина делтоида и кружног исечка са централним углом 120° :